Arkadaşlar merhabalar. AYT tekrarımızda trigonometrideyiz artık. Şaka maka ilerledik bayağı ama diğer taraftan da bu trigonometri uzun olduğu için bunu tek parçada yapmayayım.
Trigonometri malum birinci kısım var, 11. sınıf, 12. sınıf kısmı var. Ben bunları dört parçaya ayırdım trigonometride. ayrı videoda inşallah inceleyeceğiz arkadaşlar.
Birincisi trigonometrinin ilk kısmında temel bilgilerimizi bir hatırlayalım. Önce şunu tabii ki bir kenarda hatırlatayım sorularda kullanacağımız için. Trigonometride şöyle bir x açısı olduğu zaman buraya a, buraya b, buraya c desek sinüs x neydi? Karşı bölü hipotenüs yani a bölü c.
Kosinüs x komşu bölü hipotenüstü b bölü c. Sonra Tangent x karşı bölü komşuydu. A bölü B ve kotangent x komşu bölü karşıydı. B bölü A. Birim çemberde de bunları kullanacağımız için ilk önce bu temel trigonometrik bilgileri hatırlayalım.
Sekant x neydi? 1 bölü cos x. Onu da söyleyelim. Sekant x 1 bölü cos x ve cosecant x de 1 bölü sin x demek arkadaşlar. Şimdi hemen şuna dikkat edeceğiz.
Sinüs, hipotenüs... Bak burada dikkat et. Hipotenüs A'dan daha büyük olduğu için evet A bölü C'ye ne olur? Birden küçük olur. Kosinüs X B C'den küçük olduğu için ne olur?
Birden küçük olur. Tanjant X'de ama öyle bir sıkıntımız yok. Her şey olur.
Kotanjant X'de öyle bir sıkıntımız yok. Her şey olur. Bir de tabii ki biz sadece dar açılarla ilgilenmeyeceğiz arkadaşlar. 360 derece boyunca bütün açılarla ilgilendiğimiz için sinüs Ne verirsek verelim.
Kaç derece verirsek verelim. Sinüs her zaman eksi 1 ile 1 aralığındadır. Kosinüs yine eksi 1 ile 1 aralığındadır. Ancak tanjant ve kotanjantta böyle bir sıkıntımız yok.
Tanjant ve kotanjantta her değeri alır. Eksi sonsuzdan sonsuza tanjant ve kotanjantta her değeri alıyor arkadaşlar. Sonra gelelim.
Sin kare artı kos kare x 1'dir. Tabii ki burada çok basit bir durum var aslında. Bunu... Gidip Pisagor'dan bile görebilirsiniz. A kare artı B kare C kare olduğu için burada sin kare ve cos kareyi toplayınca en sonda C kare bölü C kare geliyor.
Bir geliyor. Ama biz tabii ki hani artık o ispatları çok uzun bir şekilde biliyorsunuz. Ben AYT video destekli defterde en böyle ispatını hani merak etmeyeceğiniz şeylerin bile ispatını yapmıştım. Ama artık tabii ki zaman itibariyle bize ne lazım?
Bunların net kurallarını uygulamak lazım. Tanjant ve kotanjant birbirinin çarpmaya göre tersi olduğu için çarpımları 1'dir. Asin x artı b kus x ya da asin x eksi b kus x bu toplamın veya farkın alabileceği en büyük değer katsayıların kareler toplamının kare kökü. En küçük değer de katsayılar toplamının kare kökünün eksilisi. Bunu bir söylemiş olayım sorularda görürsek yaparız.
Diğer taraftan demin söylediğim gibi tanjant ve kotanjant. Eksi sonsuzdan artı sonsuza her değeri alabiliyorlar. Bölgelerdeki işaretleri bir hatırlayalım. Trigonometri sorularında olabildiğince arkadaşlar indirgeme mantığıyla birinci bölgeyle işaret edeceğiz.
Çünkü birinci bölgede bütün değerlerimiz pozitif. Bu bizim için kurtarıcı bir nokta oluyor. Soruları rahatlıkla yapmamızı sağlıyor. O yüzden birazdan göstereceğim indirgeme ile hepsini mümkünse dar açılarda ilk bölgede hallederiz.
Gördüğünüz gibi hepsi pozitif değerli. Gelelim şimdi ikinci bölgeye. İkinci bölgede arkadaşlar şunu söylemek istiyorum. Şimdi biz dik üçgenden yararlandığımız zaman birim çemberde burası bir birim olduğu için buraya A diyelim hatta X diyelim. X demeyin varmış orada.
A diyeyim buraya da B diyeyim. Şimdi A bölü 1 zaten neye eşit oluyor? Cos X'e.
B bölü 1 ne oluyor? Sin X'e. O zaman ben şunu anlıyorum. Analitik düzlemde birim çemberde absis cos X'dir arkadaşlar. Ordinat da sinüs x'tir.
İster birinci bölge ister ikinci bölge ister 3 ister 4 hiç fark etmez. Hepsinde aynı durum söz konusudur. Dolayısıyla burada geldiğiniz zaman ikinci bölgede şunu görüyorsunuz. İkinci bölgede tabi ki absis negatif ordinat pozitif. O zaman absis dediğim cos x negatif oluyor.
Ordinat dediğim sin x pozitif oluyor. Bu sayede neyi anlıyorum? Sin x ikinci bölgede pozitiftir. Diğer bütün hepsi.
negatiftir. Çünkü tanjant ne demek? Sim bölü kos. E doğal olarak artı bölü eksiden eksi gelir. Kotanjant ne demek?
Kos bölüsün. Eksi bölü artıdan ne olacak? Eksi. O zaman ikinci bölgede sadece sinüs pozitiftir. Gelelim üçüncü bölgeye.
Üçüncü bölgedeki bir noktanın özelliği nedir? Absiste ordinat da eksidir. Absis neydi? Hatırlayalım.
Cos x. Ordinat neydi? Sin x. O zaman buradan ne söylüyoruz? Sinüs ve cosinüs eksidir.
Tanjant ve kotanjant sin bölü cos veya cos bölü sin olduğu için böylece ne olmuş olacak? Eksi bölü x'den artı gelmiş olacak. Dördüncü bölgeye geldiğimiz zaman yani 270 ile 360 derece aralığına geldiğimiz zaman ne söylüyoruz? Dördüncü bölgede bir noktanın absisi pozitif, ordinatı negatif olduğu için artık sadece kosinüs pozitif, sinüs doğal olarak y değeri olduğu için negatif.
Tanjant ve kotanjant da artı bölü eksi, eksi bölü artıdan dolayı negatif geliyor arkadaşlar. Bunları kullanacağız. Nerede kullanacağız özellikle? İşte bak bu kocaman tabloda.
Şimdi bu tablo böyle hani eskiden ilkokulda çarpım tablosunu ezberler gibi. Ezberlenecek bir tablo değil tabii ki. Çıkarımlarınızı düzgünce yaparsanız bunu rahat ezberlersiniz. Ezberlemek demeyin daha doğrusu bilirsiniz.
Çünkü bunu bilmeye ihtiyacımız var. Biz bütün dönüşümleri yaparak sorulan soruları rahatlıkla çözebiliyoruz. Şimdi arkadaşlar nelerden yararlanacağız? Öncelikle bu işaretlerin pozitif ve negatif olmasından yararlanacağız. Birinci bölgede hepsi pozitif.
İkinci de sadece sinüs. Üçüncü de... Tanjant ve kotanjant dördüncüde sadece kosinüs arkadaşlar pozitiftir.
Hatta bunun için ezber bilgi veriyor muydu öğretmenleriniz 11. sınıftayken? Bütün sınıf kara tahtada coşardı. Yani böyle bir ezberimiz var ya bütün sınıf kara tahtada coşar. Şimdi bak birinci bölgede hepsi pozitif.
İkinci bölgede sinüs pozitif. Üçüncü bölgede kotanjant ve tanjant. Dördüncü bölgede...
Ne oluyor? Kusinus pozitif geliyor. Bütün sınıf kara tahtada coşar diye saçma olan bu ifade sayesinde bazı öğrenciler belki daha iyi ezberleyebilir. Şimdi gelelim indirgemelere arkadaşlar. İndirgemelerde net bilgiyi önce bir söyleyelim.
180 ve 360'da fonksiyonun ismi değişmez. Ancak 90 ve 270'de fonksiyonun ismi değişiyor. O yüzden 180 artı 180 eksi.
360 artı 360 eksi. Bunlarda isim değişmez. 90 artı 90 eksi. 270 artı alfa 270 eksi alfa.
Fark etmeksizin kesinlikle bunlarda da isim değişiyor arkadaşlar. Bunu söyleyelim. İsim değişmez. İsim değişir. O zaman biz ikinci bölgede bakalım değerleri nasıl söyleyeceğiz.
Bir kere önce burayı bir pas geçelim. 180'de isim değişmez. 180 eksi alfa.
fark etmiyor. 180'in ertel fark etmiyor. İkinci bölgede isim değişmez. Sinsin, kos kos, tantan kot kot diyeceksin. Sonra şuna bakacaksın.
İkinci bölgede sadece sinüs pozitif o yüzden olduğu gibi çıkar ama kosinüs tanjant ve kotanjant bak ne oldu? İşaret değiştirdi. Hemen bir örneğini söylersek.
Kosinüs 150, 180 eksi 30'dan eksi kos 30'a eşittir. Birbirini 180'e tamamlayanların sadece sinüsü aynı işarettir. Diğerleri zıt işaretlidir. Gelelim bunun bir de 90 versiyonuna.
İkinci bölgeyi pi'yi eksi alfa ile ifade edebileceğin gibi ikinci bölgeyi pi bölü 2 artı alfa ile de ifade edebilirsin. E hocam ben hangisini yapacağımı nereden bileceğim? Özgürsün. Soruda hangisi kolayına geliyorsa onu da yap.
Mesela cos 150 yerine sen canın ister. Cos 90 artı 60 da diyebilirsin. Burada problem yok.
Problem olmaması için yapacağın tek şey doğru işlem yapmak. İster 90 cinsinden yaz ister 180 cinsinden yaz hiçbir problem teşkil etmiyor. Ama 90'da isim değişiyor.
Sinkosa, Kossine, Tankota, Kottana. Önce ismi hallet basitten başla. 90'da isim değiştirir dedik sonra işarete bakacaksın.
İkinci bölgede kim pozitif sadece sinüs. O zaman olduğu gibi çıkar. Kosinüs eksi, tanjant eksiyle çıkar.
Kotanjant eksiyle çıkar. Gördüğün gibi sadece sinüs pozitif olduğu için yine kotan ve kos eksiyle çarpılarak çıktı. Tamam mı?
Gelelim 3. bölgeye. Simpi artı alfada da yapabilirsin. 270 eksi alfada da yapabilirsin.
Ne yapacaksın? Diyeceksin ki 3. bölgede önce isim değişmez. 180'de sinüs sinüs.
Kosinüs kosinüs. Tanjant tanjant. Kotanjant kotanjant.
Bak rahat ol önce. 180 ve... 360'da hemen İsimleri değiştirmeden bodoslamaya.
Sonra işaret kısmına geç. Üçüncü bölgede kim pozitif? Tanjant ve kotanjant. Bak olduğu gibi çıktı.
Sinüs ve kosinüs negatif olduğu için eksiyle çarpılarak çıktı. Gel bir de bunun 270 versiyonunu yapalım. 270 eksi alfa.
Sinüs isim değiştirir. Kosinüs değiştirdi. Tanjant değiştirdi.
Kotanjant değiştirdi. Ne oluyor peki isim değiştirirken? Sin kosa dönüyor. Kos yine dönüyor.
Tan kota dönüyor. Kot da tada dönüyor. İşaret olarak bir sıkıntımız yok ama tanjant ve kotanjant olduğu gibi bak sinüs ve kosinüs de eksiyle çarpılarak çıkıyor tamam mı?
Sin, kos, kot ve tan. Hangisi olduğu fark etmeksizin 360 eksi a'da yani 4. bölgede İsim değişmez. Sadece ama sinüs eksi sin, kotanjant eksi kot, tanjant eksi tan diye çıkar.
Sadece kosinüs dördüncü bölgede pozitif olduğu için olduğu gibi çıkar arkadaşlar. Gelelim şimdi buraya. Sinüs 3 pi bölü 2 artı alfa, kosinüs, tanjant, kotanjant fark etmez.
Hepsinin ismini değiştirdim mi? Sinkos, kosin, tan, kot ve kottan yaptım. İşarete dikkat et. Sadece kosinüsün işareti pozitif olduğu için olduğu gibi çıkar.
Diğerleri işaretini değiştirir tamam mı? Basit bilgiyi sona sakladım. Birbirini 90 dereceye tamamlayanların tabii ki herhangi bir işaret problemi olmadan aynı işaretlidir.
Sinkosa, kosine, tankota ve kottana eşit olur. Burada önemli bir uyarıda bulunacağım. Şimdi arkadaşlar bu kurallar sadece dar açılar için geçerli değil. Dar açılar için hani alfa bir dar açıymış gibi düşünüyoruz.
Bölgedeki işaretleri hatırlatmak için. Böylece pi bölü 2 artı alfa. 180 eksi alfa daha kolay aklımda kalır.
Yalnız alfa ne olursa olsun bu kuralların hepsi geçerlidir. Size bir bilgi vereyim mi? Bak şimdi alfa şey yapalım tamam mı?
200 derece olsun. Bak şimdi alfa 200 derece olsun ama kurala göre düşünelim. Hani 200 derece olsun ama alfalı yazayım. Sinüs.
Pi artı alfa nedir diye sordum tamam mı? Sen yine şunu diyeceksin. Üçüncü bölgede sinüs işaret değiştirir, eksi sin alfa olur. Ama bir dakika hocam, üçüncü bölgede dediniz ne alaka?
Kurulu yaparken hep daraçıymış gibi düşünürsen kafan karışmaz. Sen önce bunun neye eşit olduğunu bil. Bak sana işaret falan sormuyorum. Sinüs pi artı alfa nedir dersem, bunu not et, nedir dersem, işarete takılmadan...
Alfa sanki dar açıymış gibi sadece sen kuralı uygulayacaksın. Kural bu demiyor mu? Bak yukarıda yazmış mıyım? Alfa dar açı için geçeldir, başka hiçbir açı için geçerli değildir demiş miyim?
Hayır. Alfa ne olursa olsun bu kuralların hepsi işaret değiştirme olarak geçerlidir. O yüzden ne yapacaksın? Burada alfa kaç olursa olsun sana nedir, neye eşittir dersem sakın işarete takılma. Normal böyle bodoslama eksi sin alfa de.
Birinci durum bu. İkinci durum. Sana eğer işaret sorarsan işte o zaman cevap ver.
Diyelim dedim ki sin pi artı alfanın işareti nedir? Bak neye eşittir demekle işareti nedir demek arasında fark var. Burada üst kısımda birinci durumda ne yaptık?
Sadece neye eşit olduğunu gördük. İkinci durum işareti nedir? Ne yapacaksın?
Kuralı uygula. Birinci adım önce eksi sin alfa diye çıkar. Tamam mı?
Tamam. Sonra de ki bu 200 derece dedik ya şimdi. Sinus 200. Üçüncü bölgede işareti nedir? Eksi.
Önünde bir de eksi var. Eksi çarpa eksiden bunun cevabı artıymış. Olay budur tamam mı?
Neyi eşittir dersem darıçı gibi düşünüyorum normal. Kuralını uyguluyorum. Kafamı karıştırmadan yapmam gereken bu tamam mı? Yoksa bir dakika şimdi orada onu ekledim.
Bir saniye şimdi bu 200 olduğuna göre o zaman bir de üzerine ben bunun. 180 eklersem kaçıncı bölge? Böyle kafan gider. Yapacağın net belli. Bir tane daha göstereyim bak.
Kotanjant 3 pi bölü 2 artı. Bak bilerek yazıyorum bunu. Hani şeye takılma.
3 pi bölü 2 artı. Teta diyeyim tamam mı? Teta da 150 derece olsun. Bak şimdi. Teta 150 olsun.
Gidip 270 ile 150'yi toplama bana. Maksat hani ne olduğunu görelim diye. Teta 150 derece olsun tamam mı? Bunu unuttum şimdi. Önce sana bu neye eşittir dersem.
İsim değiştirir diyeceksin. Tana döner diyeceksin. Dördüncü bölge gibi düşüneceksin.
Eksi tan teta diyeceksin. Çünkü kuralı bu. 270'de işaret değişiyor. Dördüncü bölge gibi oluyor.
Bu yüzden net bilgi. Dediğim gibi bir daha tekrarlıyorum. Alfa ne olursa olsun bu kurallar geçerlidir.
Tamam mı? Doğal olarak buradan eksi tan teta olur. Sonra ben sana dersem ki. Bu birinci durum. Ben sana kod.
3 pi bölü 2 artı teta'nın işaretini sorarsam gel yapalım şimdi. Eksi tan teta diye çıktı mı? Çıktı. Tan teta aslında ne?
Gerçekte 150. Tanjant 150 nedir? İkinci bölgede negatiftir. Önünde bir de eksi var.
Eksi çarpı eksiden artı oldu. İşte bu şekilde iki adımda yap. Bunlar çünkü arkadaşlar gözden kaçıyor.
Sonra problem oluyor tamam mı? Bir dakika hocam dar açımı kabul edeceğiz. Bir dakika hocam. E açının ne olduğunu bilmiyoruz. Sorun değil.
Dönüştürme yaparken, indirgeme yaparken daraçı gibi hayal et ki işaret hatası yapma. İşaret sorarsam en sonda sorunun sonunda işaretini lütfen dikkate al. Bunlar basit ama önemli detaylar tamam mı? Bunu bir söylemiş olayım arkadaşlar. Şimdi gelelim artık bu ön bilgilerimizden sonra sorularımızı çözmeye.
Evet birinci sorumuz. Cos x çarpı sin küp x artı sin x çarpı cos küp x bölü. 1 eksi sin kare x. Ne yapacağız?
Hemen şunu diyeceğiz. Sin kare x artı cos kare x'in nimetlerinden ve tanjant x çarpı tanjant x'in nimetlerinden yararlanmamız lazım. Bir de şundan da yararlan s artı c diye yazacağım kısacası.
Sin artı cos'un karesini aldığım zaman sin kare artı cos kare artı 2s c olur. Bak bu neye eşit? 1'e. Dolayısıyla bazen sin x eksi cos x ya da sin x artı cos x'in karesini alıp Bunların kareler toplamının 1 olduğundan yararlanabiliriz.
Tamam mı? Şimdi bu soruda da ne yapacağım? Kısaca CS yazayım.
CS küp artı SC küp bölü 1 eksi S kare. SC parantezini al ortak paranteze. S kare solda, C kare sağda bölü 1 eksi sin kare x nedir?
Cos kare x'dir. Bu basit bilgiye dikkat edelim. Sin kare artı cos kare nedir? 1'dir. O zaman uzun halin artık.
Artık yazıyorum sin x çarpı cos x bölü cos kare x sadeleştirdim. Buradan da sin bölü cos geldi. Yani tanjant x oldu ilk sorumuzun cevabı. Gelelim buraya.
Tanjant x artı kotanjant x 3 olduğuna göre tan kare x artı kot kare x ifadesinin değeri kaçtır diye sormuşum. Hemen bir düşünelim ne yapabiliriz diye. Hemen şunu söyleyebilirsin. tanjant x artı kotanjant x'in parantez karesini alırsan ne var bunda? t kare artı c kare var.
Kısaca yazıyorum. Artı 2 tc var. Zaten bunun karesi 3'ün karesi. t kare artı c kare bana soruluyor.
Tanjant çarpı kotanjant neydi? Aynı açı değerinde 1 artı 2. Buradan da ne geldi bak cevabımız. Tan kare x artı kot kare x 7 olmuş oldu. Evet sin x çarpı cos x 2 bölü 5 olduğuna göre sin üzeri 4 artı cos üzeri 4 ifadesinin değeri kaçtır diye soruyorum.
Şimdi sin üzeri 4 cos üzeri 4 büyük bir ifade gibi ama yararlanacağımız nokta burada nedir? Sin kare ve cos karenin toplamının biri olmasıdır. Bu sayede şöyle diyebilirsin bak sin kare artı cos karenin karesi eksi... 2s kare c kare neye eşittir?
s üzeri 4 artı c üzeri 4. Temel matematikte çarpanları ayırma öğrendiğimiz zaman şunun ne kadar önemli olduğunu söylemiştik. Trigonometride bile çıkıyor bak. a kare artı b kare.
1a artı b'nin karesi eksi 2ab'dir. Veya a eksi b'nin karesi artı 2ab'dir. Tabii ki burada sin kare artı kos kare önemli olduğu için böyle sin kare artı kos karenin karesi eksi 2s kare c kare dedim. Sin kare artı kos kare nedir?
2 bölü 5. 1 eksi 2 çarpı 4 bölü 25 eşittir. Pi ile eşitlediğimiz zaman ne oluyor? 17 bölü 25. Demek ki s üzeri 4, c üzeri 4. Bunların toplamı 17 bölü 25'miş arkadaşlar. Evet geldik 10. sorumuza. 10. soruda şimdi ne diyeceğiz bakalım.
B, O, L'ye alfa verilmiş. Benden K noktasının koordinatlarını istiyor. Birim çemberde koordinatlarda neye dikkat etmelisin?
Tabii ki pozitif yöndeki yani saat yönünün tersindeki açıya bak bu. Görüyor musun? Bu K noktasının koordinatı o yüzden hemen yapıyorum. Ters açıdan burası alfa değil mi? 90, 90, 90. Yani K açısı gerçekten neymiş pozitif yönde?
270 artı alfa açısına sahipmiş. O zaman ne diyoruz? Dördüncü bölge evet.
Hangi bölgede olursa olsun. Kosinus 270 artı alfa. Absis budur bak. Ordinat sin 270 artı alfadır.
Buna göre o zaman şıklarda buna veya buna eşit olan cevaba bakabiliriz. Direkt bu varsa problem yok. Bakalım.
Evet c şıkkında direkt bu var. Olmasa da olabilirdi. Bak onu da söyleyeyim. Şöyle de bir şey görebilirdin.
Eksi sin alfa virgül pardon dördüncü bölge oluşum ne diyorduk? Kosinus pozitif. Kos 270 artı alfa olduğu gibi çıkıyordu. Sinus eksiyle çarpılarak çıkıyordu ve isim değiştiriyordu. Bak bu da olabilirdi şıklarda.
Sin alfa virgül eksi kos alfa da olsa yine doğru olurdu. Bak sana abartılı bir şey söyleyeyim mi? Bazen şunu yapar ÖSYM. Der ki hangisine eşittir bir bak bakalım. Hemen söylüyorum.
Mesela soruda şöyle bir şey dese de olurdu. Sinus 180 eksi alfa virgül kosinus 180 eksi alfa. Buna da eşit olurdu. Ama hocam açımız o değil. Sayısal olarak eşit ama bak.
Sinus 180 eksi alfa yine sinüs alfa eşit mi? Evet. Problem yok o zaman.
Eksi kos alfa gerçekten kosinus 180 eksi alfa eşit değil mi? Evet olabilir. Şıklarda hangisi varsa bunlarda onu yapmak lazım o yüzden. Tamam mı?
Gelelim şimdi bu sorumuza. Yukarıda verilen birim çemberde EOCX verilmiş. DE bölü AB oranı nedir diye soruyor.
Evet bunları arkadaşlar birim çember verildiği zaman ne yapacağız? Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant, kosekant cinsinden birim çemberde bu değerleri yazacağız. Yapalım.
Aslında DE zor bir şey değil. Dikkat edersen X80'in de neydi birinci bölgede? Tabii ki absis kos X'ti.
Sonra ordinat neydi? sin x'ti. Bu sayede ben d e ye ne derim? Yarı çap 1 olduğu için birim çember.
Bak dikkat et. d e buradan 1 eksi cos x oldu. Tamam mı?
Geliyorum şimdi a b ye. a b için ne yapacağız? a b için de sana güzel bir şey göstereyim mi? Paralel çek. Yöndeş açıdan buraya x de.
Şuraya da a diyelim. a b ye de a diyorum. Hemen dikkat et lütfen.
Dikdörtgenden dolayı Şu yeşile boyadığım kenar 1-cos x değil mi? O zaman 1-cos x'in AB'ye oranı cos x değil midir? Evet.
O zaman AB ne geldi bak? 1-cos x bölü cos x oldu işte. Dolayısıyla 1-cos x'ler sadeleşti.
Doğru cevabımız cos x oldu. Temel trigonometrik bağıntılar arkadaşlar. Karşı bölü komşu, komşu bölü hipotenüs yani sin, cos, tan, cot bunları kullanacağız. Ve bunları kullanarak iş halledeceğiz.
Dolayısıyla bazen o yüzden bu basit şeyler zor gelebiliyor insana. Evet bazen de böyle birim çember üzerinde değil de dik üçgen üzerinde yapacak. Ne diyeceğiz bunlarda bir düşün bakalım soruyu.
B'de aşağıdakilerden hangisine eşittir diyor. Soruda önemli bilgi şudur bu x'i kullan. Tan mı yapıyorsun, cot mu, cos mu, sin mi, cosecant mı, secant mı sana bırakıyorum.
Ama verilen şu bilgiyi de kullan. Bir birim. Buna tutunmamız lazım.
Ne yapacağız bakalım o zaman? ABC dik üçgen demiş. AC AB'ye dikmiş.
O zaman buranın da 90 derece olduğunu aman atlama. Soruda vermiş o bilgiyi. AB AC'ye diktir diyor bak. Şimdi bundan sonra senden istediği BD kenarına nasıl ulaşabilirsin? Bunu bir düşün bakalım.
Ben şöyle ulaşırım. Derim ki BD'yi Ve x'i kullanacağım. Tan, kot, kosin, sekant artık hangisi denk gelirse.
Bu dik üçgenin veya dik açıların birden fazla olduğu durumlarda benim önerim şudur. Açıyı taşı. Mesela x artı y 90 olsun. O zaman y ise mecburen şu açıya ne kalır?
x kalır. O zaman en azından geri kalan şu yeni açının da x olduğunu görürsün. Eee ne olacak hocam dersen? Şunu dersin. A, d, y, m, d.
Ne alaka hocam? Oradan da m'den bu bd'ye de ne diyeyim? Neye geçiş yapacağım? m bölü 1. Kosinüs x değil mi?
O zaman bak m ne oldu? Ne güzel x çinisinden yazıldı. Hedefimiz harf değil sadece x çinisinden yani sadece x harfini kullanarak ve trigonometrik bağıntıları kullanarak yapmaktır.
Yaptık m'ye kos x dedik. Sonra n'ye için konuşalım. Şimdi hemen dikkat et. Tanjant x daha doğrusu kotanjant x diyeyim.
Kotanjant x n'ye bölüme değil mi? O zaman... Ne buradan içler dışlar yaparsam kot x çarpı m olmaz mı?
m'yi de ben kos x bulmadım mı? Kot x çarpı kos x. İşte cevabı buldum.
Gördün mü? Hedefim budur. Abuk sabuk enteresan böyle acayip şeyler düşünmeyeceğiz. Ama düzgünce bunların var olan bilgilerinden sin, tan, kos, kottan da sonuna kadar yararlanacağım. Şıklarda böyle yok hocam.
Tamam. Kot anjantı açarsın. Kos x bölü sin x dersin. Çarpınca bak ne oluyor?
Cos kare x bölü sin x oluyor. Doğru cevabımız A şıkkı geliyor. Basit ama önemli sorudur. Gelelim bu sorumuza.
180 ile 270 aralığında bir x vermişim bak. Hangileri sıfıra eşit olabilir diyorum. İkinci bölge, üçüncü bölge, dördüncü bölge, birinci bölge.
Hangisi? Üçüncü bölge. Üçüncü bölgede sin x negatif. Cos x yine negatif. Tanjant x pozitif.
Hemen bakıyoruz. İki tane negatif sayının toplamı yine negatiftir. Geç. A çarpı B. Eksi çarpı eksiden artı.
E geliyorum C'ye. Bak evet. Burada ne olacak? Bu olabilir.
Çünkü artıdan artı çıkaracağım. O zaman A x derece kaç derece bilmediğim için. Tabii ki sin ile cos'un çarpımı tanjanta eşit olabilir. O zaman bunların farkı da sıfır olabilir. Birbirini götürebilir yani.
İşaretleri aynı olduğu için. Akarenet bilgi pozitif. C zaten pozitif. Tan x olduğu için 3. bölgede pozitif. Bu da olmadı.
Bu daima. Pozitif geldi. Yani B şıkkı sadece olmuş oldu. Gelelim şimdi buraya.
4 sin x artı cos x bölü 3 sin x eksi 2 cos x eşitleri 16 olduğuna göre cos x nedir diye soruyorum. Önce lütfen şunu dikkate alma tamam mı? Yapman gereken şey önce bir sayısal bağıntı bulmak. Çünkü 90 ile 270 geniş bir aralık vermiş bak.
Biraz da hani böyle kafa karıştırıyor gibi oluyor. Ne yapacaksın? Hiç üşenmeden içler dışlar.
Sinüs'e s diyeyim. cosinuse c. 16 çarpı 3 48 s.
Eksi 32 c. Eşittir 4 s artı c. Attım sol tarafa 44 s attım sağ tarafa 33 c 11 ile sadeleşiyor. 4 s eşittir 3 c oldu mu? Güzel.
O zaman şimdi her iki tarafı bir c ve 4'e böleyim. Sinüs bölü cosinus ne oldu? 3 bölü 4. Böyle bir şey elde ettiğin zaman önerim şudur.
Hemen ya her iki tarafı sinüse böl ya da kosinüse böl. Ki buradan tanjant veya kotanjantaya ulaş. 4 sinüs eşittir, kosinüs geldi.
O zaman ne güzel benim yaptığım gibi önce 4'e böl her iki tarafı. Sonra da kosinüse böl. Bak mis gibi.
S'ye böleceği. Yani tanjant x eşittir. 3 bölü 4 oldu. Tanjant x 3 bölü 4 ise verdiği bilgiyi artık daraltalım.
90 ile 270 bilerek geniş verilmiş. Hatalı değil. Bilerek geniş veriyor.
Evet. Tanjant 3 bölü 4 olan bir... Açı 90 ile 270 arasında olur mu olur ama daha da daraltırsam gerçekte neymiş?
180 ile 270. Evet. 180 ile 270, 90 ile 270'nin arasında ama daha spesifik olarak tanjantın işaretinden yararlanarak bunu görmeliydim. Kosekant x nedir?
Hemen dik üçgeni çiziyorum. X. Önce şunu diyebilirsin.
Ya hocam dar açı ya o nasıl olur? Hiç takılma. Çünkü trigonometrik bağıntılarda bulduğun sayılar ya negatifidir ya pozitiftir. Yani şöyle düşün. Tanjant x 3 bölü 4. İşaret hatası yaptığımdan dolayı eksi 7 bölü 8 geldi.
Hayır. Ya 3 bölü 4 bulursun ya eksi 3 bölü 4 bulursun işlem hatası yapmadıysan. Dolayısıyla o yüzden klasik bir bilgi ama vereyim. Açıları dar açı gibi düşün.
Dik üçgenini yap sonra işareti dikkate al. Buraya 3'ü yapıştırdım. Buraya 4'ü yapıştırdım.
Buraya da 5. Kosekant x nedir? 1 bölü sin x. Yani 5 bölü 3. Ancak hemen şuna dikkat edeceksin. Kosekant x 1 bölü sin x ya.
Sin x 3. bölgede yani 180 ile 270 arasında nedir? Negatif. O zaman doğru cevabım ne oldu? Eksi 5 bölü 3. Ne yapıyormuşuz o zaman?
Önce sanki dar açıymış gibi pat pat pat pat pat dik üçgende işlemlerimizi yapıyoruz. Bütün işlemler bittikten sonra sayısal mutlak değerini buluyoruz. Hani onun oranını buluyoruz.
Bak oran bulduk bir tane. O oranı bulduktan sonra en son işareti dikkate al. Oranı bulmadan işarete girme sakın.
Tamam mı? Durduk yere kafanı karıştırırsın. Bakalım şimdi cos x eksi 1 bölü 2 4 bölü cosecant x artı 1 eşitliği sağlanmaktadır diyor. Buna göre cot x değeri kaçtır?
Evet şimdi şöyle bir içler dışlar yaparsak aslında cosecant kare x eksi 1 eşittir 8 oldu. Burada güzel bir durumumuz var aslında onu söylemek istiyorum. Evet cosecant kare x'den yaparız soruyu öbür tarafa atarız 1 diyemem. Ben size şunu hatırlatacağım.
Kosekant kare x neye eşit biliyor musunuz? Kot kare x artı 1. Sekant kare x de tan kare x artı 1. Lazım olduğunda bu bilgileri de kullanın olur mu? Özel bilgiler değildir.
Tamamen payda eşitlemeden dolayı geliyor. Belki unutmuşsunuzdur diye ben bir hatırlatayım. O yüzden bunun yerine direkt kot kare x yazacağım.
Buradan da kotanjant x eşittir. 2 kök 2 olacak çünkü x dar açı demiş. Yani pozitif olmalı. O zaman kotanjant x 2 kök 2 ise zaten cevabı bitirdik. Bak a şıkkı geldi.
Hocam şöyle yapamaz mıydık? Kosekant kare x eşittir 9. O zaman 1 bölü sin kare x 9'dur. Yani sin kare x hocam 1 bölü 9'dur. O yüzden sin x pozitif olduğu için 1 bölü bir itirazım yok.
Sadece ben kuralı hatırlattım ve kurallı şak diye çözdük bak. Dolayısıyla burası x burası. 1 diyelim buraya 3 diyelim. Pisagordan 9-1 8 yani 2 kök 2 oldu. Hakikaten kotanjant x 2 kök geldi.
Bu da böyle ikinci yol olmuş olsun. Evet şimdi sıralamaya bakalım. Sıralamada arkadaşlar önerim şudur. Önerim kesinlikle daraçıya indirgeyin tamam mı? Ne yapıyoruz peki daraçılarda?
Şunu söyleyeceğiz. Orada da benim önerim sinüs ve tanjant üzerinden gitmek. Yani kosinüsü git sinüse çevir.
Kotanjantı git tanjanta çevir. Çünkü bunlar daha kolay anlaşılıyor. Sinüs çok sade. Sıfırdan doksana gittikçe sinüs değerleri büyür. Kosinüs tam tersi.
Sıfırdan doksana gidince azalıyor. O zaman bir anlık kafa karışıklığı olur ya ben neyi tercih ederim? Kafamı karıştırmayanı yani sinüsü. Tanjant sıfırdan doksana gittikçe artıyor.
Kotanjant da sıfırdan doksana gittikçe azalıyor. O zaman ters düşünmeyeyim diye Ben bütün soruyu sin ve tan üzerinden kurguluyorum. Bu birinci önerim.
İkinci vereceğim bilgi de aynı açıda tabii ki tanjant x sin x'den büyüktür. Görelim mi birim çemberde niye öyle? Aynı açıda bak bakalım. Bir x açısı şöyle tanjant x eşittir bir doğrusu.
Ve burada bak böyle bir yeşil doğru. Yeşil mi daha uzun? Tabii ki. Yoksa mavi mi? Tabii ki mavi daha olsun değil mi?
O zaman tanjant x sen x'den büyüktür. Bunu da böyle belirtmiş olayım. Bir de üçüncü olarak da şunu söyleyeceğim.
45 ile 90 arası tanjant x nedir? Net birden büyüktür. Bu bilgi bile bizim için şöyle önemli.
Kosinüs ve sinüs asla birden büyük olamıyor. Ama tanjant 45 ile 90 arası birden büyük olduğu için o da bize güzel yorumlar verir. Şimdi tan 221 ne yapacaksın? Hemen diyeceksin ki ben bunu tanjant... 180 artı 41 diye yazayım.
Böyle olunca ne oluyor? Üçüncü bölgede tanjant değişmediği için işaret tanjant 41 oluyor. Cos 139. Ben onu sine çevireceğim. Çünkü dediğim gibi sinüsten anlamak daha kolay geliyor.
C eşittir. Cosinus 90 artı 49. Eşittir. Eksi sin 49. Aman dikkat ikinci bölgede cosinus negatif. Sonra geliyorum. Sinus 139'da.
Sinus 139 nedir? Sinus cinsinden yazalım yine. Yani ismi değiştirmemek için 180'den 41'i çıkarayım. O zaman B'de ne oldu? İkinci bölgede sinüs pozitiftir o yüzden işaret değişmez.
Sin 41 geldi. Kotanjant 139 nedir? Tanjanta çevir. Kotanjant 90 artı 49 olduğu için ne yapar?
D'de buradan. eksi tanjant 49 oluyor. Neden eksi dersen tabii ki orada dikkat edeceğimiz şey tanjant ve kotanjant ikinci bölgede negatif oluyor. Dolayısıyla böyle bir durum.
Bakalım o zaman burada en büyük hangisi? Hemen kontrol ettiğimiz zaman şunu bir sileyim artık nasıl olsa çevirdim. Eksi sin 49 var. Eksi tan 49 var.
Onlar bir kere negatif olacak. O zaman en büyük tanjant 41. Ne demiştim? Aynı açıda Tabii ki sinüs tanjanttan küçüktür. Sonra normalde sin 49 tan 49'dan küçük ama eksiyle çarpıldığı için hemen C büyük D diyeceğiz. Ve doğru cevabı D olarak işaretleyeceğiz.
Gelelim buraya. ÖSYM'de bıkmıyor, usanmıyor bunları soruyor arkadaşlar. Hani tabii şu da var yani trigonometri sorarken bütün sorular zor olacak diye bir şey yok. Limit türevi integral de aynı şekilde.
Bazıları gerçekten rahat sorular oluyor. Şu konuyu da söylemem lazım. ÖSYM 2021 hariç böyle aman aman zorlayıcı sınavlar yapmadı ama şimdi şöyle düşünmek lazım. Mesela 2019 yılındaki sınav o günün şartları için iyi bir sınavdı. Öğrencileri güzel sıralamıştı.
2019 zorluğunda demiyorum. O şartlara göre düşünürsek güncelleyelim 2024-2025 neyse. Yapması gereken bir böyle 5 veya 6 tane seçici soru sormaktır. Sonra genel böyle normal düzey sorular sorulabilir. Yalnız dediğim gibi sakın şu hataya düşmeyin.
2019 seviyesi değil. 2019 üzerinden 4 yıl geçti. Hatta 5 yıl geçti.
Doğal olarak şimdi sana o sorular çok basit gelir. Ama o dönemin şartlarında daha yeni yeni yeni nesil otururken güzel böyle ilk defa, hayatınızda ilk defa gördüğünüz sorular soruyordu ÖSYM. Maalesef bunu azalttı. 2021'de bir istisna oldu. 2020 sıradan bir sınavdı.
Pandemi etkisi belki. 2022. Sıradana yakın bir sınavdı. 2023 yine sıradana yakın bir sınavdı. Bunu şundan dolayı söylüyorum. Elbette tabii ki sıradan olsun olmasın yaklaşık 40 sorunun 30'u seviyenizi bilemem ama yapılabilir sorular oluyor.
O yüzden ben bu tekrarı yapmak istedim. Çünkü açık söylemek gerekirse benim yaptığım bir tekrar var. Bundan yaklaşık 4 yıl önce veya 3 yıl önce. Hala bence güncelliğini koruyor.
Bir tekrara daha ihtiyacım var. Yani aynı trigonometre başka bir soruyla da tekrar edeyim derseniz. Açın gelişiyorum oynatma listesi var.
Eyüp Bey gelişiyorum oynatma listesi. Hatta ben unutmazsam açıklamaya da bırakayım. Bir daha oradan da çalışabilirsiniz. Hedefiniz çok daha yüksekse 40'lara oynuyorsanız.
Hani 35 ile 40 arası istiyorsanız da. Bunun üzerine muhakkak bir soruyorum. Hedef ilk bin serisinde.
Özellikle de sınava yakın. İşte Mayıs. Ayı içinde min denemeleri de ihmal etmenizi istemem. Şimdi biz klasik yine özdeğeme tipi bir sorumuza bakalım.
Tanjant 140 eksi tan 200. Sin 40 eksi kos 40. Tanjant 70 eksi kot 60. Evet işaretlerine bakacağız. Hemen dar açıya indirge en kolay öyle yorumlarsın. Tanjant 40 nedir? Eksi tan 40'tır. 180 eksi 40. İkinci bölge negatif.
Tanjant 200. 180 artı 20. O zaman ne olur? Üçüncü bölgede tanjant pozitif. Yani? Olduğu gibi çıkar ama bir de önünde eksi var.
Eksi tan 20. Sin 40, sin 40. Cos 40'a gelelim. Cos 40 yerine hemen şunu yazacağım. Sin 50. Daha kolay anlayayım diye. Sonra tanjant 70, tanjant 70. Kotanjant 60 yerine de tanjant 30 yazacağım.
Şimdi artık neyi göreceğiz? 1. Bir kere tanjant 70 eksi tanjant 30 net bilgi pozitif. Çünkü tan 70 tan 30'dan büyüktür.
Dolayısıyla artı olarak çıkar. Sin 40 sin 50'den küçüktür. Dolayısıyla farkları negatiftir.
Tan 40 ve tan 20 normalde pozitif önünde eksi olduğu için iki negatif sayının toplamı eksidir. Doğal olarak doğru cevabımız C şıkkı gelir. Bakalım 18. sorumuza.
0 ve pi bölü 2 aralığında hem x hem y. x artı 2'ye pi bölü 2. Buna göre ifadesinin değeri kaçtır diye soruyor. Evet bir düşünün.
Yapın bakalım soruyu nasıl yaptınız. Hemen şunu söyleyeceğiz. X artı y ile y'nin toplamına bir bakar mısın? 90 derece. Birbirini 90 dereceye tamamlayanların sinüsleri kosinüslerine eşittir.
O zaman bu 1 olur işte. Mis gibi. Tanjant x eksi y bölü kotanjant 3y. X eksi y ile 3y'yi topla bakalım.
Neye eşit oluyor? X artı 2y. X artı 2y ne? Pi bölü 2. O zaman tanjant ve kotanjant birbirini götürür.
Çünkü birbirinin aynısıdır. İşte bu. Toplamları 90 olanların tanjantları kotanjantlarına.
Sinüsleri, kosinüslerine eşittir. Bunu görmen yeterliydi. Yoksa senden y, 3y, x, x, y, x, y, y'ye dair bir bilgi bulmanı istemiyor ekstradan. Dolayısıyla 1-1'den doğru cevap sıfır oldu.
Aradaki bu 90, 180, 270, 360 mümkünse bu ilişkiler varsa onları keşfetmek çok önemli oluyor sorularda. O yüzden bu özel açılara dikkat etmek lazım tamam mı? Trigonometride 0, 90, 180, 360, 270 önemlidir.
Gelelim şimdi alfa ve beta dar açıları olmak üzere. Sinüs alfa, kosinüs betadan küçüktür. Oh hocam dediniz ki ne güzel. Bize gidin sinüsleri, kosinüsleri sinüse çevirin.
Ama burada şimdi ne alfayı ne betayı bilmiyorum. Üstüne üstlük gitmiş burada bir de kos beta sin alfadan daha büyük demiş. Ne yapacağız hocam biz şimdi burada? Telaş yapmaya gerek yok.
Nasıl olsa dar açı, sinüs alfa. Git öbürünün yerine şunu yaz. Sinüs 90 eksi beta.
İşte bu. Bu sayede artık... alfa nedir? 90 eksi beta'dan küçüktür.
Beta artı alfa da nedir? 90'dan küçüktür. Gördüğün gibi böyle yaptım. İşte bu şekilde bunu gittim.
Tamamladım ve hallettim. Yine bildiğime benzettim yani. O zaman beta artı alfa 90 dereceden küçükse dar açıdır. Evet o yüzden kosinüs alfa.
O zaman kosinüs alfa. Şunları besleyeyim. Kosinüs alfa artı beta.
E pozitif olmalı. Burada ne demiş? Ha negatif. O zaman birinci öncül net. Yanlış değil mi?
Dar açının kosinüsü nedir? Pozitif. Alfa artı beta artı theta.
Pi ise tanjant theta küçüktür. Sıfırdır. Hemen şuna bakacaksın.
Ne bulduk? Alfa artı beta 90'dan küçük. Yani dar açı. Atıyorum 89 gibi düşün. O zaman mecburen her türlü teta'ya ne oluyor?
90'dan büyük değer kalıyor. İstersen 89.9'da her türlü bak Yani teta ne oldu? 90'dan büyük. Yani geniş açı.
Geniş açının tanjantı nedir? Negatiftir. Net bilgi. Kesinlikle bu da doğru oldu. Tanjant alfa, tanjant betadan küçüktür demiş.
Şimdi bunu yorumla bakalım. Alfa ve betanın hangisi daha büyük, hangisi daha küçük biliyor muyuz? Yo. Sadece bildiğim alfa artı beta 90'dan küçük.
Ama ben alfa ve beta arasında büyüklük-küçüklük ilişkisi kuramadığım için bunu bilemeyeceğim arkadaşlar. Bu öncüllü sorular, kesinlikle sorular evet bazen biraz baş ağrıtıyor. Ama doğru matematik açısından doğru yorumları yaparsak ve her zaman böyle uydurma sayılar da vermeyin yani. Biraz matematik üzerinden gidin. Çünkü sayı verdiğiniz zaman hesap etmediğiniz bir şeyler olabilir.
Bak düzgünce yapınca. Hiç sayı vermeden düzgünce yapınca alfa ve beta arasına ilişik kuramadık. Bu yüzden yalnız 2 oldu.
B şıkkı geldi. Kendimizi kandırmayalım yani bu şeyle ilgili. Hani yaparız hocam ya sayı veririz. Öncüllü sorularda olabildiğince tanım, kural, bilgiler çok iyi irdelenmeli. Kendi kandırma muhabbeti olunca size şunu da söyleyeyim.
Okuyacaktım bak tam da yeri denk geldi. O zaman şimdi okuyayım. Suç ve cezadan bir parça okuyayım.
Raskolnikov yani bu kendi yaptığı şeyle alakalı bir kılıf uydurma diyelim biz ona. Hemen şunu da belirteyim tabii. Kitapları okurken bunların mutlak doğrulardan bahsetmediğini bilmek lazım. Yoksa hani aa böyleymiş ya koskoca Dostoyevski böyle diyor diye de hani okumayın tabii ki. Senden daha kapasiteli veya daha kapasitesizden bağımsız düşünerek, irdeğleyerek okumak lazım.
Burada da mesela. Arkadaşıyla yaptığı bir konuşma var. Bak şimdi yani anlattığına bak hayret edersin. Bu Raskolnikov diyor ki suç işleme hakkıyla alakalı konuşuyor.
Diyor ki yani bu suç işlemem, suç işliyor Raskolnikov. Biliyorsunuzdur konusunu ama yine de hiç bilmeyenler için şey vermeyelim şimdi ipucu. Yaptığının bir bahanesi olarak baya böyle abartıyor.
Bir noktada diyor ki bak şimdi... Şuraya geleyim. Evet.
İnsanlar doğa yasaları gereğince genellikle iki bölüme ayrılırlar. Aşağılar yani sıradanlar ki bunların biricik görevleri kendileri gibi olanların çoğalmalarını sağlamak bu işin aracı olmaktır. Ve kendi çevrelerine yeni bir söz söylemek yetenek ve dehasında olanlar.
Doğaldır ki bu arada sınırsız sayıda alt bölümleme yapılabilir. Ama bu iki ana bölümün ayırt edici çizgileri oldukça keskindir. Birinciler yani kendileri gibi olanların...
Çoğalmasına araç olanlar doğaları gereği tutucudurlar. Uyusaldırlar. Boyun eğerek yaşarlar ve boyun eğmeyi severler. Bence de bunlar uyusal ve boyun eğici olmak zorundadırlar.
Çünkü bu onların görevleridir. Ve burada onlar için aşağılatıcı bir durum söz konusu değildir. İkinci bölümdekiler ise, burada pek itiraz edebileceğimiz bir şey yok gibi görünüyor başlangıçta. İkinci bölümdekiler ise sürekli olarak yasaları çiğnerler. Onlar kim?
İkinci bölümler, aşağıdakiler. Ve diğeri de yetenek ve dahi olanlar bak ikinci bölümdekiler. Yetenekli ve dahi olanlarsa sürekli olarak yasaları çiğnerler, yıkıcıdırlar ya da yeteneklerine bağlı olarak yıkılcılığa yatkındırlar.
Düşünülebilir üzerine felsefi bir tartışma yapılabilir. Bunların işledikleri suçlar doğaldır ki son derece çeşitli ve görecelidir. Ama büyük çoğunluğu birbirinden apayrı nedenler ileri sürerek daha iyi şeyler adına şimdinin yıkılmasını isterler.
Bunların ülkülerini gerçekleştirmeleri için cesetlerin kan göllerinin üzerinden atlamaları gerekse bence kendilerine bu izni vicdan rahatlığıyla verebilirler. Tabi bu söz konusu ülkünün ne olduğuna, boyutlarının ne olduğuna bağlı olan bir şeydir. Bu noktaya dikkatinizi çekerim. Yazımdaki suç işleme hakkını ben bu bağlamda ele aldım. Hatırlarsanız hukuksal bir sorunun tartışması olarak girmiştir konuya.
Aslında fazla telaş edecek bir durum yok ortada. İkinci bölümdekilerin kendilerine tanıdıkları hakkı yığın hiçbir zaman onlara tanımamıştır. Onları en ağır biçimde cezalandırmış, boyunlarını vurmuştur.
Bunu yaparken de tümüyle haklı olarak kendi tutucu görevini yerine getirmiştir. Bununla birlikte sonraki kuşaklarda aynı yığın, başları vurulan bu insanların heykellerini dikmiş ve onlara tapınmıştır. Birinci bölümdekiler hep bugünün, ikinci bölümdekiler ise hep yarının efendileridir.
Makul görünüyor ama yine de burada kitabın tamamını okuyunca aslında bu cümleleri biraz daha irdelemek ve şüpheyle yaklaşmak gerektiğini görüyorsunuz. Birinciler dünyayı korurlar ve onu sayıca çoğaltırlar. İkinciler dünyayı hareket ettirirler ve onu bir amaca doğru yöneltirler.
Her iki bölümdekiler de tümüyle eşit yaşam hakkına sahiptirler. Tek kelime ile her iki yanında hakları birbirine eşittir. Demiş ve yaşasın ezeli ve ebedi savaş diye de sonlandırmış.
Şimdi burada tabii dediğim gibi bunlar tartışmaya açık şeyler. Amaçlar uğruna belli şeyler feda edilebilir mi? Hatta işte buna insan hayatı da dahil mi? Bunlar biraz zor konular. Üzerine konuşmanın anlamsız olduğu şeyler eğer yaşamıyorsanız.
Ancak bu kitlelerden yola çıkıp bireysel de bunlara girersek o zaman hepimiz suç. Makinesine döneriz. Düşünün sevmediğiniz biri var ve bu sevmediğiniz biri insanlara zulmediyor. Bu insanın ortadan kaldırılması gerekiyor fikrine kapıldığınız zaman o zaman genel olarak da bir sürü şeyi düşünmeniz ve sorgulamanız gerekir. İnsan doğası gereği daha doğrusu doğasında şu var mıdır?
Yıkmak var mıdır? Varsa ne ölçüde kullanır ve biz bir şeyi halledemiyorsak yıkıp... Çöpe atmak veya öldürmek zorunda mıyız, yok etmek zorunda mıyız? İnşa etmek, öldürmek, çaresiz kalmak, bir şeyden toptan kurtulmak, bunlar çok çetrefilli şeyleri olduğu için insanın kendi donanımını hem maddi hem manevi gerçek anlamda sağlaması gerekiyor. Çünkü zihin kaymalarına da girebilirsiniz.
İnsan bazen çok kötü şeylerle ilgili düşünürken çok zorlanıyor. Bunlarla ilgili çözüm üretmenin de kolay olmadığını düşünüyorsun. Ama burada şöyle bir handikap var.
Suç, suçu doğuruyor arkadaşlar. Bunu kabul etmek gerekiyor. Kötülük, kötülüğü doğuruyor. Dünya da eskiden beri yani ilk zamanlardan beri evet kötü olmanın daha kolay olduğu, iyi olmanın da daha zor olduğu bir dünya. İşte burada insanın kendi değerlerinin olması, insani değerlerinin olması Birisine faydası olsun olmasın.
Ben bunu yaparım veya yapmam diye belli kriterleri olması lazım. Şöyle düşünün. Beni kimse görmezse ben yola tükürür müyüm? Eğer evetse cevabınız burada biraz daha insanın açık söylemek gerekirse belli başlı kendi ile ilgili şeyleri düşünmesi gerekir.
Beni kimse görmezse ben hırsızlık yaparım. Evetse cevap bunun üzerine düşünmek lazım. Çünkü o zaman... Bazen birilerinin görmesi önemli olurken bir noktadan sonra birilerinin görmemesi de veya görse bile umursamayacağınız hale gelmek de oluyor.
Bak basit bir şeyden acayip çıkarımlar bile yapılabilir. O zaman insanın normal şartlar altındayken bak anormal demiyorum. Allah korusun savaş hali, açlık hali bilmem ne hani insanın imtihan olduğu şeylerde konuşması ve hemen öyle ben asla böyle yapmam demesi zor.
Ona girmemek lazım ama normal şartlar altında. Sıradan hayatlarımızı yaşarken kendimize, benliğimize, ruhumuza, kalbimize olabildiğince yatırım yapmalıyız. Çünkü insan her zaman sıradan ve normal şartlardan geçmiyor. Bazen çok açıkçası olumsuz şartlardan da geçebiliyor.
Bununla ilgili hani şey durumu var ya, Titanic paradoksu mu diyelim ona ne diyelim. Titanik'tesiniz, batmakta olan bir gemi. Filikalar indirilmiş. Orada insanlar hunharca filikalara binmeye çalışırken insanları ezip geçip kendinizi mi kurtarırsınız yoksa kaderinize razı olup eğer binmek ihtimali varsa bineyim ama ben sırf kendimi kurtaracağım diye de milleti ezmeyeyim çünkü ben binersem benim yerime de birisi binemeyeceği için bu sefer o mu ölecek dersiniz.
Bak bunlar ne kadar acayip şeyler değil mi? Belki ben ölmezsem topluma faydalı olacağım. O titanik paradoksunda işte.
Ölmezsem fayda olacağım. Belki benim yerime gelen insan dünyaya zulmedecek. O zaman ben kurtulmalıyım mı diyeceksin o an.
Yoksa bana ne yapma diyeceksin. İşte böyle anlarda insanın karar alması kolay olmadığı için bu zamanlara göre insan kendine yatırım yapamaz. Bu zamanlarda ne olacağı da belli değil.
Örnek veriyorum kötü bir şey ama sevdiğine birisi zarar verirse sen mesela adalet... Sağlamak için kendin mi harekete geçersin yoksa hayır suçu suçu doğurur deyip normal yapılması gerekene mi yaparsın? O yüzden böyle şeyler üzerine konuşmak da harekete geçmek de çok mümkün olmadığı için sağlıklı bir şekilde konuşmak ve düşünmek.
O yüzden normal günleri iyi değerlendirmeli insan, kendine olabildiğince yatırım yapmalı ve mümkünse eğer bu kadar da bencilleşmemeli açık. açıkçası yaşadığımız birçok şeyin sebebi bencillik oluyor. Kendini hak görmek oluyor.
Sonra zaten zıvanadan çıkıyoruz. Neyse, kendini kandırmaktan nerelere geldik? Evet, okumak lazım arkadaşlar. Okumak insanı direkt doğruya ulaştırmıyor.
Doğru dediğiniz şey de çoğu zaman matematik doğrusu gibi olmadığı için değişkenlik arz edebiliyor. Ama genel ortalama bir hal tutturmak için okumak iyi okumaya, kaliteli okumaya da yönlendiriyor insanı. Tanıks artı kotik seçim...
Evet ne yapacağız? Artı vermişim eksi sormuşum. Nasıl olacak bu iş? Çok basit. Matematikte yaptığımız a artı b'nin karesi a x b'nin karesi ilişkisi.
a artı b'nin karesinden 4ab'ye çıkarırsan a x b'nin karesine ulaşırsın. O yüzden a x b a artı b mevzusu önemlidir. Dolayısıyla bu soruda tanjant x eksi kotanjant x çarpı.
Tanjant x artı kotanjant x. Tanjant x artı kotanjant x zaten 4. O zaman tan x x kot x'i hadi bulalım. Şimdi kısaca t ve c diyeceğim.
t artı c'nin karesi eksi 4 tc. Neye eşittir? t eksi c'nin karesi özdeşlik.
Bir dakika hocam nasıl oluyor bu dersen. t kare artı c kare artı 2 tc eşittir. Öbürüne gel şimdi. t kare artı 2 c kare eksi 2 tc.
Bu t eksi c'nin karesi. Bak bu da t artı c'nin karesi. Özdeşlik önemli. Hakikaten t artı c'nin karesinden 4 tc çıkarırsan bunu elde ediyorsun.
Bu yüzden tamam mı? Onu da hatırlatmış olayım. Dolayısıyla bu 16. Tanjant çarpı kotanjant.
Tanjant x çarpı kotanjant x neydi? 1'di. O yüzden 4. Yani 12 oldu. t eksi c'nin karesi.
O zaman pozitif çıkaralım. Şıklarda hep pozitif var. Tanjant x eksi kotanjant x 2 kök 3 oldu.
2 kök 3 de buraya yazdığımız zaman 4 ile çarparız. 8 kök 3 olur. Negatif de çıkabilirdi.
Bilmediğimiz için işaretlere dair pozitif kısmını aldık. Şıklarda olduğundan dolayı. Evet.
Bir denklem verilmiş. Sin x çarpı cos x çarpı mı nedir diye soruyor. Burada ne var arkadaşlar? İçler dışlar yaptınız mı?
Ne yaptınız? Ben şunu gördüm. Böyle sorularda ben kısaca harfli yazıyorum ki. Olur da denk gelirse çarpanlara ayırayım diye.
Şöyle yaptım. Bak 2s artı c çarpı s eksi c oldu değil mi? Şimdi gerçekten bak şöyle bir bakayım. Şurası artı burası eksi oldu. Yapınca cidden bu ifadeyi elde ettik.
Aşağıya gelelim. 3s'ye 2s diyeyim. Eksi c'ye artı c diyeyim. Hakikaten bak oluyor.
O zaman bu da 3s'ye artı c çarpı 2s eksi c. 2s eksi c sadeleşti. Güzel. O zaman eşittir 1 bölü 2. Şimdi içler dışlar.
3S artı C eşittir 2S artı 2C. Buradan da S eşittir C geldi. S eşittir C ise her iki tarafı gidelim. Kosinüse bölelim.
Sinüs bölü kosinüs neye eşit oldu? 1. Dar açılarda ne zaman sinüs bölü kosinüs yani tanjant x 1 olur? 45 derecede. O zaman sin 45 neydi? Kök 2 bölü 2. Kos 45. 5 neydi?
Kök 2 bölü 2. Çarpımları ne geldi? 1 bölü 2 gelmiş oldu. Evet bakalım sorumuza.
Simpiye. Evet. Bunlardan ne demişiz? Hangisi de doğru olarak verilmiştir? Simpiye eksi x.
Şimdi yalnız yönlü açı gördün mü? Yönlü açıda neye dikkat edeceğiz? Ok verdiği zaman hemen yönlere dikkat edeceğiz. Saat yönünün tersi pozitiftir. Saat yönü negatiftir.
O zaman bu saat yönü değil mi? Dolayısıyla x'e örnek veriyorum. Bir sayı verelim. Mesela eksi 40 diyelim tamam mı?
Y'ye de gidelim atıyorum. Saat yönümü tersi. O zaman Y'ye de 30 derece diyelim. Şimdi sin pi'ye eksi x ne olacak? Burada hemen dikkat edelim.
Atıyorum bu tabii eksi 1 derece de olabilir. Bilmiyoruz yani. Ama en nihayetinde her türlü a eksi eksten artı olacağı için 180'i geçiyor.
Ve 3. bölgede sinüs neydi? Negatifti. O yüzden a burada.
Negatif olur. Örnek bir eksi bir derece bile desen hani küçük bir sayı bile versen her türlü 180'i geçiyor negatif olduğundan dolayı. Şimdi gelelim C şıkkına.
Tanjant pi bölü 2 artı y. Y bir dar açı ve pozitif. O zaman 90'a bir dar açı eklersek ikinci bölge olur. İkinci bölgede tanjant negatif eksi geldi.
2 pi esas ölçüde sıfıra karşılık gelir. O zaman kotanjant x neydi hatırla. Negatif dışarı nasıl çıkıyordu örnek verelim. Kotanjant eksi 40 mesela ne olarak çıkıyordu dışarı? Kotanjant sinüs.
Kotanjant sinüs ve tanjant da eksi dışarı çıkıyordu. Tek fonksiyondu çünkü bunlar. Dolayısıyla eksi kot 40 oluyor.
Yani yine negatif oluyor. Örnek bir sayı verdim. İster eksi 1 de ister eksi 10 da istersen eksi 89 de ne dersen de. 2 pi'nin S ösü ölçüsü 0'dır.
Bu yüzden bunun işareti de negatif olacaktır. Kos y artı x'de durum ne? Kosinüs eksi bir dar açıda veya artı bir dar açıda pozitiftir. Yani birinci bölgede ve dördüncü bölgede pozitiftir. O yüzden y'ye gittin atıyorum 89 dedin.
X'e gittin eksi 88 dedin. Zaten pozitifler aç olur problem olmaz. E gittin y'ye eksi 50 derece dedin. X'e 30 derece dedin.
Şey pardon tam tersi y pozitifti. Y'ye 30 derece dedin. X'e de gittin eksi 40 dedin. E toplamda eksi 10 olsa kosin üstteki eksiyi yutuyordu zaten. O yüzden her türlü bu da ne oldu?
Pozitif. İster cos x'ı 40 ister cos 40. İster cos x 10 ister cos 10. Fark etmez. Hepsi birbirine eşittir.
O yüzden yine pozitif olacaktır. y artı x garanti bir şekilde dar açı olacağı için negatif veya pozitif fark etmeksizin dolayısıyla doğru cevabımız d şıkkı oldu. Evet şimdi bakalım. Sim pi bölü 2 artı x eşittir.
1 bölü kök 10 denmiş. Evet bu sorularda arkadaşlar. Önerim şudur. Önce şu açıyı kafan karışmaması için sakın dikkate alma.
Önce sanki bir dik üçgende yapıyormuşsun gibi düşün. Hemen gel bakalım. Pi bölü 2 artı x nasıl çıkıyor?
İsim değiştiriyor. Cos x oluyor. Cos x 1 bölü kök 10. Çiz dik üçgeni.
X. Açıyı önemsemiyorum bak. Dar açıymış muamelesinde bulunuyorum. 1 yazdım kök 10 yazdım.
Pisagordan ne oldu? 3 oldu. Şimdi ne diyeceğim bundan sonrasında? Artık Benden istediği sekant kare 3 pi eksi x eksi 2. Bunları da düzenleyelim. Hemen ne deriz?
3 pi'nin esas ölçüsü pi eksi x'tir. Pi eksi x de ne olur? Olduğu gibi çıkar.
Yani sekant kare x eksi 2 olur. Karesini aldığımız için sekantın ister negatif ister pozitif her türlü gördüğün gibi karesi zaten burada pozitif bir sayı olacak. Kotanjanta gel şimdi.
Kotanjant 7 pi bölü 2 esas ölçüsü nedir? Hemen hesapla. nasıl buluyorduk SOS ölçüyü hatırlıyor musun? 7 bölü 4 diyorduk değil mi? Paydanın 2 katına böl.
Böldüğün zaman ne oldu? Kalanın 3 geldi. Yani 3 pi bölü 2 SOS ölçü.
İsim değiştirir. 4. bölgede tanjant negatiftir. Eksi tan x artı 1 oldu.
Şu an x'in asla pi ile 2 pi arasında olduğunu dikkate almadan yap. Ne zaman işareti kale alacağım? En son sayıları bulurken arkadaşlar. Şimdi sekant kare x neydi?
1 bölü cos x yani kök 10 bölü 1. Karesini aldım 10 oldu. Karesini aldığım için pozitif oldu hiç takılmadım. Tanjant x'e gel. Tanjant x ne görünüyor?
3 görünüyor. Ancak, ancak şimdi son önemli bilginiz. Cosinus ne çıktı dikkat et.
En son artık sorunun sonunda bütün her şeyi bitirdin. Sayıları vermeye başladığın an x yerlerine olayı halledeceksin. İşarete bakacaksın.
Son anda bakacaksın. Dolayısıyla burada Cos x bir bölük yok olsa pozitif. O zaman pi ile 2 pi arasında bir açının kosinüsü pozitifse ne olmalı? Hemen tabii ki dördüncü bölge.
Yani aslında bu hatal değil. Geniş vermiş. Neyi görmen gerekiyor? 3 pi bölü 2 ile 2 pi arasında. Yani dördüncü bölge.
Aslında bu x dördüncü bölgedeymiş. Bak çok önemli. Son ana kadar hiç dikkat etmedim.
Ama son anda artık yerine yazarken kullanacağım için. Tan x dördüncü bölgede nedir? Negatif.
O zaman 3 değil. eksi 3 yazacaksın. Bir de önünde eksi var. Aman dikkat. Artı 3 oldu.
Tamam mı? Dolayısıyla buradan da 8 bölü 4'ten doğru cevabımız 2 olmuş oldu. İşte bu bizim için önemli. Sorularda lütfen buna dikkat et.
Son ana kadar hiç pi 2 pi muhabbetlerine girme. Son anda cevabı bulurken, sayıyı yazarken artık orada kaçıncı bölgede olduğunu anlayarak işareti yap. Bak mesela bu soruya bakalım. Hadi bunu sen dene. Şimdi bu anlattığıma göre pi ile 3 pi bölü 2 arasına a demişim.
Önce bunu dikkate almıyorum. Bakıyorum şimdi tanjant pi eksi a nasıl çıkar dışarı? Eksi olarak çıkar değil mi?
Çünkü ikinci bölge gibi bak dar açı gibi düşünüyorum. Kuralı uygularken indirgeme yaparken hep a dar açı gibi düşüneceğiz. Çünkü kuralı uyguluyoruz. Eksi tan a eşittir.
Eksi 5 bölü 12. Bunlar gitti. Tanjant a 5 bölü 12 geldi. Doğru. Hakikaten 3. bölgede zaten tanjant ne olmalıydı? Pozitif olmalıydı.
Geliyorum buraya. Kotanjant eksi pi bölü 2. Eksi pi bölü 2 olduğu zaman kafan karışmasın. Ne yapacaksın?
Eksi pi bölü 2'nin esas ölçüsü nedir? 2 pi ekle. 3 pi bölü 2. Bak onun da esas ölçüsünü aldım. Bildiğim formata getirdim yani soruyu.
Burada eksi 3 bölü 4 geldi. Heh şimdi güzel yıldızlı durum. Bunlardan sadece biri doğruymuş.
Hayda. Şimdi bak tan'a 5 bölü 12 doğru dedik. 4. pardon bu 3. bölgedeydi değil mi?
180 ile 270. Ama burada tanjant A eksi 3 bölü 4 geldi. Bu hatalı. İşte bak burada da güzel durum var. ÖSYM bazen böyle yapıyor değil mi?
Hatta bir kere geometri de yapmıştı. Bilgilerden bazılarını doğru veriyor. Bazılarını yanlış. Oradan sen doğruya ulaşıyorsun. Ve burada ne öğrendik işte?
Tanjantın 5 bölü 12 olması gerektiğini, işareti doğru olduğu için 3. bölgede. Artık bunu kapat. Bununla bir işin yok. Bu hatalı bilerek verilmiş.
Şimdi soruya dön. Önce işaretleri sadece A'yı dikkate almadan dar açıymış gibi yap. 270'de isim değişir ve işaretle değişir. Üçüncü bölge çünkü eksi kosa.
Dediğim gibi son ana kadar dikkate almıyoruz A dar gibi. Cos pi eksi A nedir? İkinci bölgeyi bir düşün.
Cos pi eksi A nedir? Her zaman dikkat edeceksin. Her zaman kuralı uygulayacaksın burada. Sayıyı yerine yazmadan sadece indirgeme yaparsan sadece burada A dar açıymış gibi.
O zaman ne oldu? Eksi kosa. Bölü.
İsim değiştir. Kotanjant ama eksi kotanjanta. Eksi eksi artı oldu.
2 kosa bölü kosinus a bölü sinus a. Sadeleşti. 2 sinus a oldu.
Şimdi artık biz ne bulduk? Tanjantın 5 bölü 12 bu olduğunu bulmuştuk değil mi? Dar açıymış gibi yaz. Üçgene 5, 12, 13. Sinus a ne oldu?
5 bölü 13. 2 çarpı 5 bölü 13, 10 bölü 13. En son ne demiştim sana? En son sayıyı buldum da artık bak bakalım. Üçüncü bölgede sinüs neydi? Negatif.
O zaman önüne eksi koymayı unutma. Eksi 10 bölü 13 oldu. D şıkkı geldi. Bakalım şimdi 25. soruda.
Birim çemberin merkezi O olmak üzere AB aşağıdakilerden hangisidir diye soruyor. Dene lütfen soruyu. AB'yi soruyorum. Evet güzel. Birazcık geometri bilgimizden yararlanır mıyız bu soruda?
Yani tamamen üçgende açı öyle aman aman böyle bir devasa geometri bilgisinden yararlanmamıza gerek kalmayacak. Şuna bakalım ama. Şimdi AB'yi nasıl bulabilirim? AB'yi nasıl üretebilirim?
AB şöyle bir T desem. ABT dik üçgeninin hipotenüsü gibi. O zaman bunu bir düşünelim biz. AT veya TB'yi bulabilir miyim? Tabii bak hemen.
kendi kendime soru sorarken cevap da üretiyorum. Ben zaten A, O'nun 1 olduğunu biliyorum değil mi? Hadi gel şimdi T, O'yu bulalım.
Böylece oradan da A, T'ye oradan da A, B'ye ulaşayım. Şimdi T, O hemen kontrol ediyoruz. Normalde 3. bölge olduğu için yarım çember bak dikkat et 3. bölge 180'den büyük.
O zaman şöyle cos x virgül sin x'tir değil mi? Şöyle bir k noktasının absisi ve ordinatı. Sadece orada neye dikkat edeceğiz?
Aman aman dikkat. t o uzunluğuna eksi cos x demelisin. Nasıl yani hocam?
E cos x burada 3. bölgede negatif değil mi? Ama uzunluk negatif olamaz. O zaman t o eksi cos x'miş.
Doğal olarak a t de bak. 1 eksi eksi cos x. Dediğim gibi eksi cos x burada sakın negatif zannetme. 3. bölgede olduğu için. Eksi bir de önünde eksi olduğu zaman 1 artı cos x oldu tamam mı?
At uzunluğu. Şimdi buradan AB'ye nasıl geçiş yapacağım? Açı taşımak lazım.
Sonuçta burada x'i hallettik ama AB'ye gitmek için bir dik üçgen yorumu. Onda da şöyle yapalım. Gel bak şu yeşil açıya x eksi 180 diyebilirim değil mi? Sonuçta burada 180'den büyük bir açı.
Çıkardım 180'i. Yeşil açıyı x-x 180 buldum. 90 derece. x-x 180 ve a açısı.
Buraya şimdilik alfa diyeyim. Alfa artı x-x 180 artı 90. Üçgenli iç açılar toplamından dolayı. 180 derece. Buradan da alfa eşittir 270 eksi x oldu.
Güzel. Artık bu alfayı siliyorum. 270 eksi x yazıyorum.
Şimdi buradan artık AB nasıl yapabiliriz? AT'yi biliyorum. AT bölü AB neye eşit olacak? Kosinüs.
270 eksi x'e eşit olacak tamam mı? Kosinus 270 eksi x'de nedir? Hemen dikkat 3. bölge olduğu için işaretle değişecek. Kosinus da sinüse dönüşecek. Bu şekilde üstte bir daha yazayım da gör.
Bu şekilde komşu bölü hipotenüs. At bölü ab. At'yi biliyorum. Ab'yi de buradan bulacağız. Yapalım o zaman.
At neydi? Hemen onu bir hatırlayalım. at uzunluğumuz 1 artı cos x'ti.
Şu at uzunluğu 1 artı cos x. O zaman ab'yi bulduk. 1 artı cos x bölü eksi sin x oldu.
ab'nin uzunluğu. Tamam. Güzel.
Şıklarda yok ama hocam. Hiç problem değil. 1 bölü sin x nedir? cos x.
O zaman bak eksi cos x. Buna dikkat et. 1 bölü sin x'in 1 cos x olduğunu unutma.
Sonrasında da Eksi cosecant x yazdım bir bölü sin x yerine ve 1 artı cos x ile çarpıyorum. Bu sayede eksi cosecant x, eksi cosecant x neydi? Bir bölü sin x. O zaman cos bölüsünden eksi cosecant x artı şey eksi olacak cotangent x oldu. Bu sorumuzun cevabı valla yani burada baya birim çemberi.
Sağlam bir şekilde kullandık. Açı taşıma önemli. Sonuçta karşı bölü hipotenüs yapmak önemli. Bu yüzden de değerli bir soruydu. Yıldızı yapıştıralım.
Geldik 26. soruya. DE paralel OB olmak üzere OB çaplı yarım daire DE'ye C noktasında T'et. Şöyle bir C noktası olur gösterelim de.
C'yi. C noktasında T'et diyor. O zaman T'et olduğu yer neresi?
Burası olacak. değil mi? Evet.
Sonra o çeyrek dairenin merkezi olduğuna göre oranı kaçtır demiş. Aslında ilk etapta burada tabii ki bir geometri yorumu yapmamız lazım. Çeyrek daire 90 derece burası böyle bir 90 derece gösterelim. Sonra hemen şunu gör bak. Merkezden TT'nin doğru diktir ve yarı çaptır.
O zaman 3 tane 90 derece paralellikten bu da 90 derece oldu. Bir kare geldi. Şimdi dikkat et bak bunlar yarı çaplar birbirine eşit. R, R. E kare oldu bak. Dikdörtgen değil.
Tamam. Bu benim ne işime yarayabilir peki? Nereye varacağız buradan?
Çıkmış bir soru da vardı buna benzer. Bak şu O, E'ye lütfen dikkat et. Şimdi O, B yarı çapı kaç birim? 2R birim. O zaman O, E yine ne olacak?
Kesinlikle şu uzunluğumuz burada 2R oldu. Hemen dikkat et. Bir dik kenar R, hipotenüs 2R.
Bu neyi söyler bize? 30-60-90 üçgeni. O zaman burada artık R, R olduğu için 45-45-90 üçgenini de gör. Nerede? Şuradaki D, O, Ç, D bak.
45-45-90 üçgeni doğal olarak 30-60-90 olması için X'e 15 kaldı. İşte ilk önce geometri sorusuydu bu. Şimdi yansıtalım. Pi bölü altı 30 derece. Tanjant 45, 1. 5 pi bölü 6, 150 derece.
15 çıkarırsak sin 135. O zaman ne oldu? Kök 2 bölü 2. Sonra 11 pi bölü 12 nedir? 300 kaç derece yapıyor? 15 derece yapıyor değil mi? 315 mi yapıyor?
Dur bakayım bir. 180 bölü 12, 15. 15 çarpı 11. Ha yok, 165 derece mi oluyor? Dur bakayım bir.
180 bölü 12 15 15 evet 165 15 daha ekledim o zaman cos 180 oldu. Cos 180 neydi? Eksi 1. Sonra pi bölü 4. 15 derece ekledim. Ne oldu? Cos 60 oldu.
O da nedir? 1 bölü 2'dir değil mi? Şimdi artık buradan o zaman doğru cevabımız.
Eksi kök 2 gelmiş oldu sorumuzun cevabı. Yani bayağı burada iki parça soru. 1 geometri şu kısım.
2 burada gördüğün gibi trigonometri tekrarı. Cos x a olduğuna göre tan x aşağıdakilerden hangisidir? Açı da bak pi ile. 3 pi bölü 2 arasına verilmiş. Şimdi bunlarda ne yapıyoruz?
Önce dik üçgenimizi çiziyoruz. Çiz dik üçgeni. X'i dar açıymış gibi kabul et.
S hani 3 4 2 1 falan dediğimi düşün. Sayı gibi. O zaman cos x a ya.
Buraya a de buraya 1 de. İşte sana cos x a bölü 1 den a. Pisagordan ne olur? Bu dik kenar 1 eksi a karenin kare kökü. O zaman artık burada tanjant x.
Hemen kontrol ediyorum. Kök içinde 1 eksi a kare bölü a. Yalnız en son fosforladığın işareti sakın dikkate almayı unutma.
Hemen gel bakalım. Üçüncü bölgede cos x nedir aslında? Negatif sayı.
Hee şey şöyle yapayım. Negatif sayı. O zaman a buradan negatiftir.
Cos x'i ben vermişim a diye. Üçüncü bölgede de senin görmen lazım negatif olduğunu. O zaman eksi oldu.
Demek ki eksi ise tanjant x de üçüncü bölgede nedir? Pozitif. Eee şuna dikkat edeceksin.
Kök içinde 1 eksi akare daima nedir? Tamam problem yok pozitif. A nedir? Bu soru da negatif.
Ama tanjant x negatif değil pozitif olmalı. O zaman önüne bir eksi koyarsan eksi çarpı eksiden artı olur. Aman dikkat A'nın işareti negatif.
Önüne eksi koymalıyım ki pozitif olsun demeyi ihmal etme. Bu yüzden doğru cevap e şıkkı olmalıydı. 1 eksi akare bölü A önünde de eksi var. Böyle şeyler olduğunda diyelim bir anlık kafan karıştı ya şunu düşüneceksin. a-2 olsa mesela.
Baksana bir şey a-2 olmaz da hani cos x'den dolayı. a-1 bölü 2 olsun. Örnek veriyorum. Şimdi şu ifade ne oldu bak.
Negatif oldu değil mi? O zaman pozitif olması için önüne x koyacaksın. Bu kadar düz bilgi.
Dolayısıyla bunu ihmal etmeyelim. Geldik 28. soruya. Esas ölçülü bir soru.
10 pinin esas ölçüsü nedir? Sıfır. Sin kare.
Eksi x. Bak sakın hata yapma. Abartarak göstereyim. Sin eksi x çarpı sin eksi x. Nasıl çıkar dışarı?
Eksi sin x. Nasıl çıkar dışarı? Eksi sin x.
O yüzden karesini alınca yine pozitif oluyor. Merak etme. Gördüğün gibi sin kare x oldu.
10 pi'nin de esas ölçüsü dediğim gibi 0 olduğunu unutma. 2 pi'yi tam bölünüyor. 13 pi'nin esas ölçüsü nedir?
2 ile bölümünden kalan 1'dir. O yüzden pi artı x. Ne diyoruz?
Normalde cosinus Pi artı x nedir? Eksi cos x'tir. Üçüncü bölge olduğu için.
Ama eksi cos x ve eksi cos x çarpınca tabii ki cos kare x oldu bak. Cos kare pi artı x yine cos kare x oldu. Lütfen bunlara dikkat et.
İki tane negatif sayı çarpınca pozitif geldiğini burada da unutma tamam mı? Sin 8 pi hemen orada tabii ki esas ölçüsü 0. O yüzden sin x diyorum. Yukarıda. Sin kare x eksi cos kare x vardı.
Aşağıya geldiğimiz zaman eksi 11 pi'nin esas ölçüsü 12 pi eklersek pi olur. Hemen yazıyorum bak cos x artı pi. Cos x artı pi neydi? Eksi cos x'ti.
Bir de önünde var artı cos x. Sadeleştir bunları artık ne oldu? Sin x eksi cos x.
Bak işaretin önemli olduğu bir soruydu. Bu bizim için kıymetli çünkü arkadaşlar şöyle hatalar yapan arkadaşları gördüm onları uyarayım. Kosinus şey kosinus diyorum bu sorudaki gibi sin eksi x'in böyle komple karesini alıyoruz. Şöyle diyor mesela eksi sin kare x midir?
Aman demin söylediğim gibi iki tane eksi sin x'i çarparsan tabii ki işaret ne olur? Eksi x'den artı olur. Buna dikkat etmemiz gerekiyor.
Evet yılların sorusu. Valla şaka maka böyle soru. 10 yıl olmuştur herhalde bu soruyu ilk defa görelim.
Ne kadar zaman geçmiş. İnsan tabii geçmişe bir gidiyor şöyle bir soru üzerinden bile. cos x bölü 1 eksi sin x eşittir 1 bölü 4 1 artı sin x bölü cos x.
Ne düşüneceğiz? Bak bakalım. Şöyle bir hamlemiz var.
1 eksi sin x 1 artı sin x. Ben bunu hemen gördüm bak. cos x ve cos x. Şimdi ters çevirsem buna a desem. Bak bakalım.
Cos x bölü 1 eksi sin x. Hemen onu ters çevir. Ya da şeyi ters çevireyim ya. Bunu ters çevireyim.
Boşver. Ters çeviriyorum şimdi 1 bölü 4'ü. 1 bölü 4'ü ters çevirirsem ne olur? 1 eksi sin x bölü cos x. 1 bölü 4 olduğu için ters çevirdim 4 geldi.
Çarpı a yani 1 artı sin x bölü cos x. Eşit oldu bak dikkat et. 1 eksi sin x 1 artı sin x. Ne geldi?
1 eksi sin kare x. Cos x çarpı cos x ne oldu? Cos kare x.
E 1 eksi sin kare x zaten cos kare x. Cos kare x ile cos kare x sadeleşti. 1 oldu.
İşte 4 ile A'nın çarpımı 1 olunca A da buradan 1 bölü 4 geldi arkadaşlar. Değişikli oldu. Evet sona geliyoruz yavaş yavaş.
A, B, C, X olduğuna göre kotiks kaçtır? Şöyle 13. Böyle 13 eşit kolları olduğu için hemen yapıştıralım. İkiz kenar bir üçgende tabana inendik. Tabanı 2'ye böler. Bu yüzden 5 5. Sonra buradan 12. Sadece bir tane bir pergeli hatırlayalım.
Eşit kollu olunca böyle bir görelim diye. Dolayısıyla ne olmuş oldu? 5 12 13. Kotanjant x'de 5 bölü 12 yani 5'i olmuş oldu.
Evet burada bir OCD dik üçgeni ve OBA üçgeni verilmiş. OCB doğrusal. OCD üçgeninin alfa türünden alanına oranı nedir? ABC üçgeninin alanına.
Şimdi burada şuna bir bakın bakalım. Ben hemen geometrik bir yorum yapacağım. İkiz kenar bir üçgen değil mi?
OAC üçgeni. O zaman ben bu soruyu şöyle çözerim arkadaşlar. Bunu çekerim. İkiz kenar bir üçgende.
Hemen kenarda bilgi hatırlatayım. Eşit kenarlara dikler indirdiğin zaman şu şekilde burada bu fosforladığım üçgenle şimdi gösteriyorum şu boyadığım üçgen eş üçgendir. Burası A birimse bu A'dır.
Bu B ise bu B'dir. Bu şekilde eşlik gelir tamam mı? Dolayısıyla hemen şunu göreceksin. Burada işte bu maviyle çizdiğim üçgen de boyalı yeşil üçgenin aynısı.
Dolayısıyla hemen şimdi... Burada şunu görelim. Normalde bir sileyim.
Birim çember olduğu için OD nedir? Kosinüs alfa değil mi? O zaman ben bunu çizdiğim zaman tabii ki aynı durum. Bak zaten ne fark eder ki? Hemen gör.
Şöyle kırmızıya boyadığım uzunluk OA1 olduğu için ne geliyor? Bak kosinüs alfa geliyor. Tamam sonra ne diyeceğim? Şimdi şunu göreceksin. Bu kosinüs alfa tepe noktaları A olduğu için kırmızı üçgenle Sarı üçgenin yükseklikleri aynı oldu.
Bu yüzden alanlar oranı tabanlar oranıdır. Hemen CB'yi bulalım. CB'de de neye dikkat edeceksin?
Şimdi şu OB, 1 bölü OB neye eşit? Kosinüs alfaya. O zaman 1 bölü kos alfa neye eşit?
OB'ye. CB'yi bulmak için neyi çıkaracağım? OC yani yarı çapı.
CB eşittir. Tamamı... 1 bölü kos alfa eksi oc yani 1. O zaman artık bc uzunluğunu da buldum. Burada ne geldi?
1 bölü kosinüs alfa eksi 1 geldi. Şimdi alanlar oranı tabanlar oranı yapabilirim. Ne söylüyordu?
abc üçgeninin. abc üçgeni paylaşıkla 1 eksi kos alfa bölü kos alfa. Yaptım.
Sonra bunun tabanı bu. Gidiyorum. oc'de üçgeni.
O da artık kırmızı üçgeni de eş üçgen olduğu için. Bunun. Tabanında neye eşit?
Tabii ki kosinüs alfa. O zaman ne oldu? 1 eksi kos alfa bölü kos kare alfa oldu. Doğru cevabımız da C şıkkı geldi. Son sorumuz.
ABC dik üçgeninde BDAC dik DC 1 santim. Buna göre AC'nin X şensinden değeri sorulmuş. Burada hedefimiz şudur.
1'i düzgünce kullanmak ve X'i kullanmak. Oradan da AC'ye geçiş yapmak. Nasıl olabilir?
Düşünebilirsin. Ben şöyle yaparım. AC hipotenüsü değil mi?
O zaman ben bu 1'i kullanarak önce giderim BC'yi bulurum. Böylece büyük dik üçgende yorum yaparım. Hemen buraya Y'de.
Burada ne söyleriz? Y'nin 1'in Y'ye oranı cos X'de mi? O zaman Y ne oldu? 1 bölü cos X oldu. Bu 1. Y'yi yazdım.
Sonra büyük üçgene gel bakalım. Büyük üçgende. Tamamı.
BC bölü AC neye eşit? Yine cos x'e eşit. Zaten soru benden AC'yi istiyor.
BC. B, C dediğimde Y yani 1 bölü cos X. 1 bölü cos X.
Hatta şöyle yapalım önce. Y bölü AC eşittir cos X diyeyim. Y bölü cos X eşittir AC diyeyim.
Ve diğer taraftan artık Y gördüğüm yere ne yazayım? 1 bölü cos X yazayım. Bundan sonra 1 bölü cos kare X eşittir AC oldu. 1 bölü cos kare X yok ama sekant kare X var.
Doğru cevabımız C eşittir. çıkı olmuş oldu. Böylece arkadaşlar trigonometrenin ilk testini bitirmiş olduk.
İkinci kısma geçeceğiz. Orada görüşmek üzere. İyi çalışmalar.