इंटीग्रेशन एंड डिफरेंशियल

परिचय

• लेखक: साइंस एंड फन के टीचर
• मुख्य विषय: इंटीग्रेशन और डिफरेंशियल
• 70% डिफरेंशिएशन, 30% इंटीग्रेशन
• डिफरेंशिएशन अधिक महत्वपूर्ण है और उसे समझने के बाद इंटीग्रेशन समझना आसान होता है

डिफरेंशिएबल (Derivative)

• परिभाषा: गणितीय टूल जो किसी मात्रा के दूसरी मात्रा के हिसाब से छोटे-छोटे बदलावों की गणना में मदद करता है।
• उदाहरण: एक्सीलरेशन - चेंज इन वेलोसिटी / टाइम
• फिजिक्स में एक्सीलरेशन के रूप में इस्तेमाल
• एक्स की पावर n का डिफरेंशिएबल:
  • पावर आगे आ जाती है और पावर में से एक माइनस
  • उदाहरण: d(x³)/dx = 3x²
• यदि कोई कांस्टेंट मल्टीप्लाई हो तो कांस्टेंट बाहर आ जाता है

महत्वपूर्ण कॉन्सेप्ट्स और फॉर्मूले:

1. xⁿ का डिफरेंशिएबल: d(xⁿ)/dx = n*xⁿ⁻¹
2. dx/dx = 1
3. d(Constant)/dx = 0
4. कांस्टेंट मल्टीप्लिकेशन: d(c*xⁿ)/dx = c * d(xⁿ)/dx
5. d(m + n)/dx = d(m)/dx + d(n)/dx (जो प्लस या माइनस ऑपरेशन के लिए प्रयोग होता है)
6. d(sin(x))/dx = cos(x)
7. d(cos(x))/dx = -sin(x)

प्रोडक्ट रूल

• d(u*v)/dx = u'v + uv'
• जैसे: d(x²*sin(x))/dx

डिविडेंड रूल

• d(u/v)/dx = (vu' - uv') / v²
• जैसे: d(10x)/dx

इंटीग्रेशन (Integral)

• परिभाषा: गणितीय टूल जो किसी संख्या के कई टर्म्स को जोड़ने में मदद करता है।
• समेशन: ज्ञात वस्तुओं को जोड़ने का टूल
• इंटीग्रेशन: अनंत टर्म्स को जोड़ने के लिए

कॉन्सेप्ट्स और फॉर्मूले:

1. dx का इंटीग्रेशन: x
2. xⁿ का इंटीग्रेशन: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1)
3. कांस्टेंट मल्टीप्लिकेशन: ∫c*xⁿ dx = c * ∫xⁿ dx
4. केवल कान्स्टेंट: ∫c dx = c * x
5. ∫sin(x) dx = -cos(x)
6. ∫cos(x) dx = sin(x)
7. ∫(m + n) dx = ∫m dx + ∫n dx
8. विशेष केस: ∫x⁻¹ dx = ln(|x|)

फाइना इट इंटीग्रल

• एक दिए गए सीमा पर इंटीग्रल निकालने का तरीका
• ∫[a,b] f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a)
• उदाहरण: ∫[0,2] x² dx = [2³/3] - [0³/3] = 8/3