Introduzione ai numeri complessi

Importanza dei numeri complessi

• Fondamentali in matematica e fisica
• Necessità di strumenti per risolvere problemi non affrontabili con numeri reali

Evoluzione degli insiemi numerici

• Numeri Naturali ➔ Numeri Interi ➔ Numeri Razionali ➔ Numeri Reali
• Espansione necessaria per risolvere equazioni

Esempi di equazioni

• Esempio: x² = 3 (soluzioni: √3, -√3 nei numeri reali)
• Problema: x² = -1 (nessuna soluzione nei numeri reali)

Introduzione ai numeri complessi

• Risolvono equazioni di secondo grado con discriminante negativa
• Rappresentati come punti nel piano complesso

Definizione delle operazioni

Somma

• Somma per componenti
• Esempio: (1,2) + (2,3) = (3,5)

Prodotto

• Definizione: (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
• Esempio: (1,2) * (2,3) = (-4,7)

Proprietà delle operazioni

• Associativa, commutativa, distributiva
• Elemento neutro addizione: (0,0)
• Elemento neutro moltiplicazione: (1,0)

Rappresentazione dei numeri reali

• I numeri del tipo (a,0) sono equivalenti ai numeri reali
• Scrittura semplificata: "a" al posto di (a,0)

Proprietà interessante dei numeri complessi

• Un numero complesso moltiplicato per se stesso può dare -1
• Il numero che soddisfa questa condizione è l'unità immaginaria: i

Notazione

• Forma cartesian: A + Bi
• A = parte reale, B = parte immaginaria
• Piano di Gauss:
  • Asse X = asse reale
  • Asse Y = asse immaginario

Conclusione

• Prossimo video: operazioni con numeri complessi in forma cartesiana
• Invito a interagire con il canale e i social media