Ciao ragazzi, in questo video e nei video successivi della playlist parleremo di numeri complessi, che come molti di voi sapranno rivestono un'importanza fondamentale non solo in matematica ma anche in numerose altre discipline come ad esempio la fisica. Cerchiamo innanzitutto di capire come mai, ad un certo punto, è sorta la necessità di introdurli. Nell'evoluzione della matematica si è assistito ad una progressiva estensione del concetto di numero. Dal più semplice insieme dei numeri naturali si è passati all'insieme dei numeri interi, poi dall'insieme dei numeri interi si è passati all'insieme dei numeri razionali e infine dall'insieme dei numeri razionali si è passati all'insieme dei numeri reali. E la ragione principale di questi ampliamenti è legata all'incapacità di dissolvere, all'interno di un certo insieme numerico, un determinato problema.
Giusto per farvi un esempio, l'equazione x² uguale a 3 non ammette soluzioni nell'insieme dei numeri razionali mentre ne ha ben due, ovvero radice di 3 e meno radice di 3, se passiamo alla sua estensione l'insieme dei numeri reali. La necessità di ampliare ulteriormente l'insieme numerico e di andare quindi oltre i numeri reali si presenta nel momento in cui cerchiamo di risolvere equazioni di secondo grado come x² uguale a meno 1. Questa equazione infatti non ammette soluzioni reali, visto che il quadrato di un qualunque numero reale è una quantità maggiore o uguale di 0 e non può quindi essere uguale a meno 1. Più in generale, il problema è comune a tutte le equazioni di secondo grado con discriminante negativo e sta nel fatto che la funzione reale radice quadrata non è definita per i numeri negativi. Come vedremo, l'insieme dei numeri complessi, che si indica con questo simbolo, ci consentirà di risolvere il problema, visto che all'interno di quest'ultimo ci sono effettivamente dei numeri il cui quadrato è uguale a meno 1. Senza perdere altro tempo, vediamo subito come i numeri complessi vengono formalmente introdotti, per poi passare rapidamente alla forma cartesiana, che è forse quella più utilizzata. L'idea, detta in parole semplici, è quella di passare dalla dimensione 1 dei punti della retta reale alla dimensione 2 dei punti di un piano che chiameremo il piano complesso. E dunque i numeri complessi, che potremo identificare come i punti di questo piano, saranno individuati, un po' come accade solitamente nel piano cartesiano, da una coppia di coordinate, ovvero da una coppia di numeri reali.
Consideriamo allora l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali AB e su queste definiamo due operazioni, somma e prodotto, nel seguente modo. Per quanto riguarda la somma, la definizione è molto semplice e si tratta banalmente di sommare per componenti, mentre la definizione del prodotto potrebbe apparire un pochino controintuitiva la prima volta che uno la vede, ma si rivela essere vincente come ci sarà chiaro tra breve. Per fissare meglio le idee, qui sotto vi ho riportato un esempio numerico.
Vedete che per la somma le cose sono davvero molto intuitive, ci basta fare 1 più 2 e otteniamo 3 e poi 2 più 3 e otteniamo 5, mentre per il prodotto dobbiamo procedere così. Per la prima componente dobbiamo fare a per c meno b per d, quindi nel nostro caso 1 per 2 meno 2 per 3 e ci viene naturalmente meno 4, mentre per la seconda componente dobbiamo fare a per d più b per c, quindi nel nostro caso 1 per 3 più 2 per 2. E ci viene naturalmente 7. Non è difficile dimostrare che le operazioni definite in questo modo godono delle stesse proprietà di cui già godevano nell'insieme dei numeri reali, come la proprietà associativa, la proprietà commutativa, la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, ed è anche facile far vedere che l'elemento neutro dell'addizione è la coppia 0,0, mentre l'elemento neutro della moltiplicazione è la coppia 1,0. Per chi fosse interessato ad approfondire tutte queste proprietà, vi lascio un link in descrizione qui sotto, ma la cosa importante da capire qui è che se valgono tutte queste proprietà, allora siamo autorizzati a chiamare questi nuovi oggetti a due componenti numeri, e per distinguerli dagli altri che già conosciamo, si è deciso di chiamarli numeri complessi.
A questo punto vale la pena di fare un paio di osservazioni importanti, che ci consentiranno tra l'altro di alleggerire molto la notazione e di non dover più utilizzare le coppie. La prima è che se sommiamo o moltiplichiamo tra loro i numeri del tipo a0, ovvero i numeri che hanno come seconda coordinata 0, otteniamo ancora numeri di questa forma. E la stessa cosa vale se ne facciamo l'opposto o ne facciamo il reciproco.
Di nuovo otteniamo dei numeri con la seconda coordinata nulla. Ora, se operando con numeri di questo tipo siamo certi che otteniamo sempre e comunque dei numeri con la seconda coordinata nulla, a prescindere dal tipo di operazione che facciamo, capite che a questo punto non ha senso scriversela tutte le volte questa seconda coordinata, tanto siamo certi che è sempre 0. E quindi possiamo sostanzialmente identificare i numeri del tipo A0 con i nostri vecchi numeri reali, tanto da poter scrivere semplicemente A al posto della coppia. a 0. I più delicati di voi potrebbero a questo punto pensare che qui ci sia un piccolo abuso di notazione, visto che poco fa abbiamo detto che i numeri complessi sono delle copie ordinate di numeri e questo certamente non è una coppia. Tuttavia è la stessa cosa che facciamo quotidianamente quando al posto del numero razionale della frazione per capirci tre primi pensiamo al numero naturale 3. Tre primi e tre sono due oggetti formalmente diversi.
che però si comportano allo stesso identico modo in praticamente qualunque situazione e quindi ci viene automatico utilizzare quello più semplice. A nessuno avrebbe mai in mente di scrivere tre primi. Tutti mettiamo automaticamente tre.
Ecco, qui è un po' la stessa cosa. E quindi al posto del più complicato a zero, d'ora in avanti potremo utilizzare semplicemente a. Capite anche a questo punto in che senso si dice che i numeri complessi siano un'estensione dei numeri reali.
Siamo infatti riusciti a trovare all'interno del più vasto insieme dei numeri complessi un sottoinsieme che con le dovute precisazioni corrisponde al nostro vecchio insieme dei numeri reali. La seconda osservazione importante da fare è che il numero complesso gode di una proprietà molto interessante. Se infatti lo moltiplichiamo per se stesso, naturalmente utilizzando il prodotto che abbiamo definito prima per i numeri complessi, si ottiene come risultato meno 1,0 che però...
in base a quanto dicevamo poco fa, è semplicemente meno 1. Ma quindi capite, siamo riusciti a trovare un numero che moltiplicato per se stesso, ovvero che elevato al quadrato, dà come risultato meno 1. A questo numero, che è quindi una delle soluzioni dell'equazione x quadro uguale a meno 1 che nei numeri reali non riuscivamo a risolvere, si dà il nome di unità immaginaria e lo si indica con questo simbolo, una i minuscola. A questo punto disponiamo di tutto quello che ci serve per semplificarci la vita e non dover più utilizzare questa notazione un po' pesante con le coppie. Per fare questo si fa un po' una furbata e ci si riscrive la coppia AB come somma tra la coppia A0 e il prodotto tra la coppia 01 e la coppia B0. Per convincersi che questa strana uguaglianza è corretta è sufficiente svolgere le due operazioni così come le abbiamo definite prima. Ora.
Al posto della coppia A0 e della coppia B0, in base alla prima delle due osservazioni importanti che abbiamo fatto prima, possiamo riscrivere più semplicemente il numero reale A e il numero reale B. Mentre al posto della coppia possiamo naturalmente utilizzare il suo simbolo I. E dunque, mettendo insieme il tutto, potremmo sostituire alla coppia AB la più agevole notazione A più IB. E quando un numero complesso è scritto in questa forma... si dice che è scritto in forma cartesiana o equivalentemente in forma algebrica.
In questo caso A prende il nome di parte reale del numero complesso mentre AB si dà il nome di parte immaginaria. E vedete che la nostra unità immaginaria, ovvero quel numero che elevato al quadrato faceva meno 1, svolge un ruolo di separatore tra la parte reale e la parte immaginaria analogo a quello della virgola se utilizziamo la notazione con le coppie. Da un punto di vista geometrico, come dicevamo prima, possiamo pensare al numero complesso A più IB come al punto di coordinate AB in un ipotetico piano cartesiano che prende il nome di piano di Gauss.
In questo piano, all'asse X e all'asse Y si danno rispettivamente il nome di asse reale e asse immaginario. Naturalmente, ai punti dell'asse reale corrispondono i nostri vecchi numeri reali, mentre ai punti che stanno sull'asse immaginario... corrispondono dei numeri che prendono il nome di immaginari puri.
Tra questi c'è chiaramente anche la nostra unità immaginaria I di cui parlavamo prima, e corrisponde al punto di coordinate Approfondiremo meglio la questione nel prossimo video, dove vedremo tra l'altro come molte delle operazioni con i numeri complessi diventino estremamente più semplici quando il numero è scritto in forma cartesiana. Io per il momento ragazzi vi saluto, come sempre se avete trovato utile il video ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarci sulla pagina facebook e date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video.