¡Hola a todos! Vamos a empezar ya con este segundo vídeo del curso. Vamos a la página 6 del dossier y estamos en el tema 3 de distribuciones de probabilidad.
Vamos a empezar con este tema de probabilidad que tenemos, el tema 3, que lo tendríamos dividido en tres partes. Hay una primera parte que haremos ahora de introducción a la... a sucesos, a la probabilidad. Luego tenemos el estudio de las variables continuas y estudio de las variables discretas, que lo haremos ya en el próximo vídeo.
Entonces, en primer lugar tenemos algunos conceptos como el suceso aleatorio o el experimento aleatorio del espacio muestral. Primero, ¿qué sería un experimento aleatorio? El experimento aleatorio es lo que vamos a trabajar en probabilidad y se refiere a un experimento cuyo resultado...
depende del azar, ¿sí? Es algo aleatorio, depende del azar. No podemos predecir, ¿no? Así que cuando hacemos algo que no podemos predecir el resultado, pues decimos que es un experimento aleatorio, ¿no? Por ejemplo, si tiramos una moneda, no sabemos si va a salir cara o cruz.
no lo podemos predecir y por tanto decimos que depende del azar y eso quiere decir que es un experimento de tipo aleatorio y tirar una moneda y mirar el resultado es un experimento aleatorio o tirar un dado y mirar el resultado es otro experimento aleatorio lo que sí podemos hacer es saber qué posible resultado nos puede dar ese experimento y es lo que se llama el espacio muestral si podemos hablar del espacio muestral espacio muestral de, por ejemplo, de tirar una moneda que puede ser cara o cruz, ¿no? O el espacio muestral que tendríamos, se representa con esta letra omega, al tirar un dado que sería, pues, o nos sale un 1, o un 2, o un 3, o un 4, o un 5, ¿no? Espacio muestral al tirar una moneda, o cara o cruz, y espacio muestral al tirar un dado, 1, 2, 3, 4, 5 o 6, ¿no? Bien, luego tenemos los sucesos.
Un suceso sería cualquier subconjunto dentro de ese espacio muestral. Cualquier subconjunto dentro del espacio muestral. Por ejemplo, un suceso, vamos a trabajar con el caso del dado, que será más práctico. Un suceso sería, por ejemplo, que nos saliera un número mayor de 3. ¿No?
Un número mayor de 3, porque implicaría una parte del espacio muestral. O un 4, un 5, un 6. O que saliera un número par. Por ejemplo, que fuera un par, que fuera un 2, un 4, un 6. Todo eso serían subconjuntos dentro del espacio muestral.
Que salga un número par, que salga un número mayor de 3, que salga un número impar. Todo eso serían sucesos dentro del espacio muestral. Entonces, cuando tenemos definidos diferentes sucesos, vamos a trabajar con estos sucesos. Suceso A sería, por ejemplo, que nos salga un número impar, 1, 3, 5. Suceso B podría ser que nos salga un número menor de 4. Y sucesos C sería, por ejemplo, que saliera un número par, pero que no fuera un 2, por ejemplo, ¿no? Sí, esos serían tres ejemplos de sucesos, ¿no?
Vamos a trabajar con esos tres sucesos. Cuando trabajamos con sucesos, podemos hacer una serie de operaciones con esos sucesos. Lo que se llama el álgebra de sucesos o las operaciones con los sucesos, ¿no? Donde podríamos hablar de la unión de dos sucesos. Unión.
Unión. ¿Qué la expresaremos? La unión de dos sucesos la expresaremos con esta simbología, como esta U alargada.
Y esto quiere decir, lo vamos a leer como O, que ocurra el suceso A, O que ocurra el suceso B. Por ejemplo, en este caso, ¿cuándo ocurriría O el suceso A o el suceso B? Si sale un O, ¿pasaría el suceso A o B? Sí, de hecho pasaría los dos. No es uno excluyendo, es decir, o que pase A o B, o los dos.
Que suceda alguno de los dos casos, ¿no? Por tanto, A o B sería el 1 está incluido, ¿no? Si sale un 2, ¿pasaría O A o B? Pasaría B. Por tanto, pasaría O A o B.
Si sale un 3, ¿pasaría O A o B? Sí, pasaría las dos cosas. Si sale un 4, ¿pasaría O A o B? No está el 4, por tanto, el 4 no es la unión.
Y si sale un 5, pasaría o A o B. Aquí está el 5, por tanto, sí pasaría A, por tanto, o A o B. Y si sale un 6, ni A ni B, por tanto, no es la unión. Así que la unión de A o B, en este caso, sería 1, 2, 3, 5. También podemos hablar de la intersección.
La intersección se refiere cuando hablamos de que ocurra una cosa y la otra. Que ocurra una cosa y la otra, es decir, las dos cosas a la vez. Es como una I este símbolo de esta U invertida. ¿Cuándo pasaría a la vez A y B? Pues si sale un 1, pasaría a la vez A y B.
Si sale un 3, también pasaría a la vez A y B. Si sale un 5, ya no. Si sale un 2, tampoco.
O sea, sólo pasaría A y B si sale un 1 o si sale un 3. Por tanto, sería 1 y 3, la intersección de A y B. Y luego también podemos hablar del complementario. Que lo expresamos como una rayita arriba, o a veces se pone como una c pequeñita.
¿Sí? El complementario, algún grupo lo hace así, me parece. Y esto lo vamos a leer como no.
Que no pase el suceso a. Cuando queremos expresar que no pase el suceso a... Lo expresamos negándolo arriba, poniéndolo en la rayita arriba.
Que no pase el suceso A. Por ejemplo, tengo 1, 3, 5, es el suceso A. ¿Cuándo no pasaría el suceso A? Cuando no ocurra eso. Es decir, si el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5, 6, pues no pasaría A si sale un número par 2, 4, 6. Son todos los otros valores del espacio muestral que no son A.
Eso sería el suceso no A, el complementario. Bien, pues a veces podemos tener definidos unos sucesos y tenemos que hacer unas operaciones con ellos. Unión, intersección y complementario.
Bien, luego nos dice, probabilidad en sucesos aleatorios, conceptos básicos. Venga, tenemos este apartado de la probabilidad. Hasta ahora no hemos hablado de probabilidad.
¿Qué sería la probabilidad? La probabilidad nos va a indicar cómo de probable, cómo de fácil es que ocurra un suceso determinado, ¿no? Cómo de fácil es que suceda algo, es decir, nos va a decir cuántos números tenemos de que ocurra eso, ¿sí? Por ejemplo, el suceso unión a v. Es más probable, tiene más números de que pase, que el suceso A y B, ¿no?
Pues esa será la probabilidad. La probabilidad va a ser un valor que va entre el 0 y el 1, ¿no? 0 es algo imposible. Uno es algo seguro, ¿sí? Y por tanto, entre que sea imposible y que sea seguro, pues tenemos todo ese gradiente de probabilidades que podríamos tener, ¿no?
El concepto clásico de probabilidad nos dice que la probabilidad de un suceso, que es el concepto de Laplace, Laplace o el concepto clásico de probabilidad, nos dice que la probabilidad es el cociente entre los casos favorables Y los casos posibles. Casos favorables entre casos posibles. Por ejemplo, si hablamos de este suceso, vamos a hablar del suceso A, por ejemplo, ¿no? Si hablamos del suceso A, ¿cómo de probable es que nos ocurra el suceso A?
Pues, ahí... tres casos en los que estaría ocurriendo el suceso A de un total de seis, ¿no? Tres casos favorables de seis posibles.
Pues la probabilidad de que ocurra el suceso A sería igual a 0,5, ¿sí? Es el concepto clásico de probabilidad, coger todos los elementos y a partir de ahí cuántos cumplen eso. Si yo tengo a 10 alumnos y de los 10, 7 han aprobado, podemos deducir que la probabilidad de aprobar ¿Cuál será? Si hay 10 alumnos y 7 han aprobado, pues 7, o vamos a poner que sois, no sé, como 200, ¿no? Pues vamos a decir que de los 200 alumnos, resulta que 140 han aprobado, ¿sí?
Pues, ¿cuántos casos favorables habrían a aprobar 140? De un total de 200, ¿no? Es decir, la probabilidad de aprobar el examen de biostatística sería de 0,7.
Así que la ley de Laplace o el concepto clásico de probabilidad nos dice que para calcular la probabilidad de un resultado posible, de un suceso, dividimos casos favorables entre casos posibles. Nos dará un valor entre 0 y 1, donde el 0 es imposible y el 1 es algo seguro. Y así podremos ver si tenemos muchos números o pocos de que nos ocurra aquello.
Concepto clásico de probabilidad. Luego tenemos el concepto experimental de la probabilidad. Este sería el concepto clásico.
Y el concepto experimental de la probabilidad... concepto experimental... vamos a pararlo...
el concepto experimental de la probabilidad nos dice que hay veces que no podemos tener a toda la muestra. Yo no puedo tener a todos los alumnos que han hecho el examen de biostadística, a lo mejor, ¿no? Entonces, si yo he cogido una muestra y tengo aprobados y suspendidos, he cogido una muestra y resulta que tengo... 7 aprobados, 3 suspendidos, de un total de 10. Pues, si yo tengo una muestra de toda la población donde los aprobados son 7 de 10, podemos decir que la probabilidad se aproximará a la frecuencia relativa, que en vuestro caso la hacíamos como HI.
Se aproximará a la frecuencia relativa obtenida en la muestra. Es decir, en este caso sería 7 casos favorables de 10, ¿no? La frecuencia relativa. Esto no lo hacéis en i.
Esto lo hacéis en fi. Es que lo hacéis un poco raro esto de fi. H. FI y HI, ¿no?
Entonces esto sería 0,7, esto sería 0,3, ¿no? ¿Sí? Por tanto, la frecuencia relativa es 0,7 de los aprobados, pues da probabilidad... La probabilidad de probar la podemos aproximar a 0,7.
Es decir, que si no tenemos los datos de todo el espacio muestral, sino que tenemos solo una parte, pues la frecuencia relativa obtenida en la muestra tiende a parecerse a la probabilidad completa. Y eso es la teoría frecuencialista o teoría, el concepto experimental de la probabilidad o teoría frecuencialista. Muy bien.
Vale, más cosas. Luego, a veces con probabilidad, podemos trabajar en forma de árbol. Eso sobre todo es útil cuando trabajemos con sucesos que son de tipo secuenciales. Por ejemplo, imaginaos que tenemos seis bolas en un bombo.
y de las cuales dos son negras y cuatro son blancas, por ejemplo, ¿no? Y yo me pregunto, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea negra? Yo me puedo preguntar por qué pasa si saco dos bolas, ¿no?
¿Qué probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra? O al revés, ¿no? Eso lo podemos expresar en forma de árbol.
La primera bola que cojamos puede ser o blanca o negra, ¿no? La primera puede ser o blanca o negra. La probabilidad de que la primera sea blanca es de 4 sextos, ¿no? Porque hay 4 casos favorables de los 6 posibles.
La probabilidad de que sea negra sería de 2 casos de los 6, ¿no? Si la bola sale blanca, entonces esta bola, por ejemplo, ya no la tendríamos. Entonces, ¿qué ocurre? Que puede volver a salir o blanca o negra.
Y si sale negra, también puede salir o blanca o negra. Si la primera me sale blanca, la probabilidad de que la siguiente me salga blanca ya no es la misma, si no hay reposición. Es decir, ahora me quedan solo tres blancas de las cinco que me quedan, ¿no?
Tres de cinco. Y si la primera me sale blanca, ¿cuál es la probabilidad ahora de que sea negra? Pues ahora quedan dos negras todavía de las cinco, ¿no?
Y si la primera me ha salido negra, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente me salga blanca? Si la primera me ha salido negra, la probabilidad de que la siguiente sea blanca es, ahora me quedan cuatro blancas de las cinco. Y negras me queda solo una de las cinco.
¿Sí? Entonces, yo puedo calcular la probabilidad de cualquier secuencia. ¿Ya?
Si yo expreso la probabilidad... probabilidad así el resultado posible luego se vuelve a empezar y las ramas en las ramas le pongo la probabilidad correspondiente pues la probabilidad que la primera sea blanca y la siguiente también sería hacer cuatro sextos por tres quintos es decir esto sería 04 la prueba de que la primera sea blanca y la siguiente negra Sería de 0,27. Y la probabilidad de que la primera sea negra y la siguiente blanca, segunda blanca, sería 2 sextos por 4 quintos, ¿vale? Multiplicamos las ramas, sería otra vez 0,27. Y la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda también sería 2 sextos.
por un quinto sería 0,07 si yo sumo todo esto nos tiene que dar nos tiene que dar Nos daría igual a 1, bueno, lo he redondeado, quedaría 1,1, pero bueno, porque hemos redondeado los dos valores, ¿eh? Pero prácticamente sería de 1, ¿no? Esto era 0,6, 0,6 periódico, ¿no?
Bueno, por el redondeo, pero nos tiene que dar 1 si yo sumo todas las probabilidades. Si lo hubiera puesto con todos los decimales, nos habría salido 1 la suma de todo. ¿De acuerdo?
Así que el diagrama del árbol es muy útil cuando nos preguntamos... Por algo de tipo secuencial, es decir, qué probabilidad de que primero ocurra no sé qué y con la segunda persona ocurra no sé cuánto. ¿Vale? Probabilidad de que primero pase una cosa y luego pase la otra. Y entonces yo puedo hacerme esto de las ramas y multiplicar las ramas.
¿No? Esto por esto nos da esto. Esto por esto nos da esto. Esto por esto nos da esto.
Aquí hemos hecho un caso sin reposiciones, es decir, cogemos la bola y ya no la volvemos a meter. Si la volviéramos a meter, entonces la probabilidad sería de todo el rato el mismo. O sea, sería 4 sextos, 2 sextos, 4 sextos, 2 sextos, 4 sextos, 2 sextos, ¿no?
Sí, sería en el caso de que hubiera reposición. Bueno, pues cuando tengamos algo de tipo secuencial, a veces puede ser de 3 o 4 secuentes. O sea, una secuencia de 3 o 4 pasos, ¿no?
O sea, primero... Primero pasa no sé qué, probabilidad de que primero pase esto, luego pase esto, luego pase esto, luego pase esto. ¿Sí? Es multiplicar la probabilidad de cada uno de los pasos.
Y eso lo podemos hacer con el diagrama del árbol. Hacéis el tema de probabilidad muy a nivel teórico. Hacéis muy poquitos ejercicios y veréis que en el examen os lo van a preguntar muy teórico. Así que, bueno, haremos algún ejemplo para que no sea todo tan abstracto.
Pero luego en el examen ya veréis que os lo van a preguntar bastante teórico. En plan, ¿para qué sirve el diagrama del árbol? O que es una unión, ¿no?
Más teórico que más que de cálculos. Pero bueno, algún cálculo sí que también nos puede salir. Bien, luego tenemos el concepto de probabilidad condicionada.
Hemos hablado de la probabilidad, concepto clásico, concepto experimental. Hemos hablado de que la probabilidad se puede calcular también a nivel secuencial con el diagrama del árbol. Y luego teníamos las probabilidades condicionales. Condicionales o condicionadas.
Una probabilidad... condicionada la expresaremos así. Quiere decir, probabilidad de que ocurra esto, sí, sabemos que ha pasado esto otro. Probabilidad de que ocurra esto, sí, ha pasado esto otro.
O sea, esta línea la vamos a leer como un sí, como un sí. Sí, la vamos a leer como un sí condicional. Es decir, el suceso A podría ser aprobar el examen y el suceso B podría ser ir a los grupos que son de tardes, que van a la tarde, de tardes a la una.
Entonces, ¿esto qué sería? La probabilidad de aprobar si somos de los de tardes. No la probabilidad de aprobar en general, sino la probabilidad de aprobar si somos del grupo de tardes.
Probabilidad condicionada. Venga, así que esa sería una probabilidad condicionada y la probabilidad condicionada siempre la vamos a poder obtener con esta expresión. Una condicionada siempre es la intersección entre la probabilidad de la condición. Intersección entre probabilidad de la condición. Es decir, sería la probabilidad de aprobar y ser de tardes a la vez.
Probabilidad de aprobar y ser de tardes a la vez entre la probabilidad de ser de tardes. que sería ese valor de b, ¿no? Probabilidad de ser de tardes y aprobar entre probabilidad de ser de tardes. Vale, luego veremos algún ejemplo de cálculo, ¿sí?
Pero si quiero calcular una probabilidad condicionada, no es una probabilidad general, sino es una probabilidad de que ocurra esto si sabemos que ha ocurrido lo otro, ¿sí? Venga, entonces, con la probabilidad condicionada también podemos valorar si los dos sucesos son independientes o no son independientes. Si dos sucesos son independientes...
lo que va a ocurrir es que la condicionada va a ser igual a la probabilidad sin la condición. Es decir, si la probabilidad de aprobar si soy de tardes es la misma que la de aprobar en general, quiere decir que ser de tardes no influye en aprobar. Y por tanto, que son dos sucesos independientes.
Así que diremos que son dos sucesos independientes si la condicionada es igual a la probabilidad sin la condición. ¿Vale? Serán dos sucesos independientes.
si se cumple eso, ¿no? Decíamos que esto es intersección entre condición, ¿no? Así que imaginaos que esto lo ponemos aquí abajo, así que si esto lo de abajo lo paso multiplicando, me queda que la intersección, vamos a ponerlo así, probabilidad de B, ¿no?
Hemos dicho que esto es lo mismo que esto, ¿no? Esto es esto entre esto. Por tanto, si ahora esto lo paso multiplicando, nos queda una segunda fórmula que es exactamente la misma. Sí, es lo mismo, si se cumple la cosa se va a cumplir la otra. Pero es otro segundo método para poder ver si dos sucesos son independientes o no.
Si la intersección es igual al producto de las probabilidades simples, es que son dos sucesos de tipo independientes. Si la intersección es el producto de las probabilidades simples, son dos sucesos independientes. ¿De acuerdo? Así que esa sería una segunda forma de valorarlo.
Si se cumple esto, seguro que se va a cumplir esto, porque es lo mismo, es la misma fórmula desarrollada, ¿eh? Así que siempre se va a cumplir. ¿Vale? Tened en cuenta que esto no es una igualdad, ¿eh?
Esto no tiene por qué cumplirse. ¿Vale? No me pongáis, busco esto y tengo esto y esto, lo resuelvo aislando. No. Porque no sabemos si son independientes.
Si son independientes, se cumple esto. Si no lo son, no se cumple. Así que no se cumple siempre.
Bien, y luego tenemos algunas leyes de probabilidad. Vamos a irnos poniendo las formulitas aquí para que ahora cuando hagamos los ejercicios tengamos las fórmulas a mano. Hemos dicho que la intersección siempre es intersección. entre probabilidad de la condición, ¿no?
Vale. Más fórmulas. Tenemos diferentes leyes de probabilidad.
La ley del complementario nos dice que la probabilidad de que no ocurra un suceso, la probabilidad de que no ocurra un suceso, La probabilidad de que no ocurra un determinado suceso siempre es uno menos la probabilidad de que sí ocurra dicho suceso. ¿Vale? Probabilidad de que no ocurra un suceso es el complementario de que sí ocurra ese suceso.
ese suceso. Tenemos la ley de la adición que nos dice que la probabilidad de que ocurra A o B, una cosa o la otra, es igual a la probabilidad de lo primero más la probabilidad de lo segundo y menos la probabilidad de la intersección de las dos cosas. Si yo me pregunto por la probabilidad de que pase una cosa o la otra, lo puedo obtener a partir de sumar la probabilidad de lo primero más la probabilidad de los segundos.
Pero claro, aquellos que les pasen las dos cosas los estaré contando en este grupo y en este otro. Así que hay que restarle la intersección. Es decir, la probabilidad de que aprobemos o seamos de tardes, que decíamos antes, sería la probabilidad de aprobar más la probabilidad de ser de tardes. Pero que la gente que se vean las dos cosas a la vez. Y por tanto las he contado aquí y aquí.
Hay que finalmente restar la intersección. Así que para una unión se puede calcular la unión mediante la intersección. Hay una relación entre unión e intersección.
Luego tenemos la ley de la multiplicación. La ley de la multiplicación nos dice que si yo quiero calcular una intersección, la puedo calcular a través del teorema de la probabilidad condicionada o de la teoría de la probabilidad condicionada, la intersección hay que ser igual a la condicionada por la condición, ¿no? Pues es la misma fórmula.
Intersección es igual a la condicionada. Por la condición. Fijaros que esto en el fondo es lo mismo que esto, es la misma fórmula desarrollada.
Pero lo ponen como una expresión independiente. Ley de la multiplicación. Siempre que queramos una intersección será hacer la condicionada por la condición.
Lo podemos resolver así. Y finalmente tenemos la ley de la probabilidad total. La ley de la probabilidad total nos dice que si quiero la probabilidad... de un suceso, lo puedo resolver a partir de las condicionadas de las diferentes partes.
Es decir, si yo busco la probabilidad, por ejemplo, de ser de tardes, pues podría calcular la probabilidad de ser de tardes para los que han aprobado, los de la primera categoría, por la probabilidad de haber aprobado, más la probabilidad de ser de tardes Si somos de los que, por ejemplo, no han aprobado, por la probabilidad de no haber aprobado más, ¿no? Para todos los casos que tengamos. Así que puedo resolver una probabilidad simple, una probabilidad general, en este caso la probabilidad, decíamos, de ser de tardes, a partir de la probabilidad de ser de tardes en un grupo, o vamos a hacer lo mejor, probabilidad de aprobar, que se entiende mejor.
Si esto fuera aprobar, pues cambio lo de antes, si esto fuera aprobar, pues sería la probabilidad de aprobar general, la puedo sacar. Con la probabilidad de aprobar si somos de tardes, por la probabilidad de ser de tardes, más la probabilidad de aprobar si somos de mañanas, por la probabilidad de ser de mañanas. La podemos obtener a partir de ese cálculo. Es decir, el teorema o la ley de la probabilidad total nos permite sacar una probabilidad general cuando tenemos la probabilidad de aquello, pero en diferentes partes. En los de mañanas, en los de tardes, a través de condicionadas.
Así que nos permite conseguir esa probabilidad. Y a veces hay dos partes, como aquí decíamos aprobados o suspendidos, o mañanas y tardes, pero pueden haber tres partes o cuatro partes. O yo puedo sacar, por ejemplo, la probabilidad de aprobar en general.
Pues saco la probabilidad de aprobar en general. a partir de la probabilidad de aprobar si soy de la clase 1 por la clase 2. La probabilidad de ser de la clase 1 más la probabilidad de probar si soy de la clase 2 por la probabilidad de ser de la clase 2 más la probabilidad de ser de la clase 3 por la probabilidad de ser de la clase 3. Si hubieran tres clases, pues sería una suma de tres valores. Y si fueran cuatro, pues una suma de cuatro valores. Bueno, pues esas son las fórmulas principales que tenemos para trabajar con probabilidades.
Vamos a hacer algunos ejemplos. Porque eso lo pueden poner en forma de un pequeño ejercicio que tengamos que aplicar estas propiedades o a través de una tabla de frecuencias. ¿Vale?
Venga, dice si A y B son dos sucesos independientes. Ahí, perdón, si son dos sucesos. Donde probabilidad de A resulta que es 3 octavos. Donde la probabilidad de B es de un medio. 3 octavos, 1 medio, y la probabilidad de la intersección de A y B es de 1 cuarto.
Vamos a... 3 octavos, 1 medio... Y un cuarto. Entonces, para poder trabajar con este ejercicio de forma más fácil, vamos a expresarlo todo en octavos. ¿Vale?
Un medio son cuatro octavos, ¿no? Y una cuarta parte son dos octavos. ¿Vale?
Así vamos a expresarlo. a poder hacer las operaciones con fracciones en lugar de con probabilidades con decimales. Lo podemos hacer así perfectamente. 3 octavos, 4 octavos y 2 octavos. Entonces nos piden cuál es la probabilidad de que ocurra o A o B de la unión de A o B.
¿Cómo podemos resolver una unión? Nos vamos a las fórmulas. ¿Teníamos alguna fórmula de la unión?
Sí, teníamos esta fórmula de la unión, ¿no? Pues la unión la podemos obtener a partir de sumar la probabilidad de lo primero más la probabilidad de lo segundo, menos la intersección de las dos cosas. Y lo tengo todo, ¿no?
La probabilidad de lo primero, de lo segundo y la intersección. Así que en este caso yo podría resolver la probabilidad de la unión a partir de coger la probabilidad de lo primero, que son 3 octavos, más la probabilidad de lo segundo, que son 4 octavos, menos la intersección de las dos cosas, que son 2 octavos. Lo resolvemos, quedaría 7 octavos menos 2, 5 octavos. Sí, pues hemos resuelto con estas probabilidades que nos han dado. ¿Vale?
Lo podemos mantener en fracciones o lo podríamos haber resuelto y puesto con probabilidades, ¿eh? Y haber hecho la operación con probabilidades nos daría la misma prueba. Con fracciones casi es un poco más fácil y así no tenemos que estar con la calculadora en este caso, ¿no? Probabilidad de la unión. Venga, luego podemos hablar también de...
Nos preguntaban también la probabilidad de que no ocurriera, de que no nos ocurriera el suceso A. Probabilidad de que no nos ocurriera el suceso A, ¿cómo lo podemos calcular? Probabilidad...
La probabilidad de que no pase A, hemos dicho que era 1 menos la probabilidad de que sí pase, ¿no? Probabilidad de que no ocurra A es 1 menos probabilidad de que sí pase. Es decir, sería 1 menos la probabilidad de que ocurra el suceso A, que serían 3 octavos. Por tanto, acabaría siendo 5 octavos.
Pues la probabilidad de que no pase A es de 5 octavos, ¿no? 0,625, ¿no? Bueno, pues ya tendríamos resuelto este primer ejemplo. Si os preguntan algo sobre probabilidad, podemos utilizar estas fórmulas.
Entonces, nos expresamos lo que nos piden y buscamos la forma. Como la que más nos encaja para poder resolver esa probabilidad. Puede ser que nos lo pidan directamente, como en este caso. O puede ser que nos lo pidan en un enunciado, que tenemos que sacar las probabilidades. Vamos a hacer el siguiente ejemplo.
Nos dice, en un examen de estadística, los hombres tienen una probabilidad de aprobar del 45%. En un examen de estadística, los hombres tienen una probabilidad de aprobar del 45%. ¿Cómo lo expresamos eso? Probabilidad de aprobar si somos hombre, ¿no? Probabilidad de aprobar si somos hombre sería del 0,45.
Las mujeres, y las mujeres del 48%, probabilidad de aprobar si somos mujer sería del 0,48, ¿no? Probabilidad de aprobar si somos hombres del 0,45, probabilidad de aprobar si somos mujeres del 0,48. Dice, sabemos que en la clase el 60% son hombres, así que probabilidad de ser hombre sería el 60%, ¿no?
recordar las condicionadas, lo de arriba es lo que busco probabilidad de aprobar si somos hombres 0,45, probabilidad de aprobar si somos mujeres leíamos la raya como un sí así que si el 60% son hombres La probabilidad de ser mujer sería del 0,4, ¿no? Así que tenemos 60% de hombres y 40% de mujeres. Dice, ¿qué probabilidad tienen los alumnos de aprobar? ¿Qué sería lo que nos preguntan? ¿Qué probabilidad hay, en general, de aprobar?
Probabilidad de aprobar. ¿Cómo resolvemos la probabilidad de aprobar? Nos preguntan por una probabilidad simple, probabilidad de aprobar, y tengo una probabilidad de aprobar pero en dos grupos diferentes, en los dos grupos que forman la población. Tengo la probabilidad de aprobar en los hombres y la probabilidad de aprobar en las mujeres, pero me interesa la probabilidad en general de aprobar.
Pues podríamos aplicar la ley de probabilidad. Probabilidad total, ¿no? No sé cómo lo llamaban. La ley de probabilidad total, sí. ¿Vale?
Podríamos aplicar esta ley de probabilidad total. La probabilidad de aprobar general la podemos sacar a partir de la probabilidad de aprobar de los hombres por la probabilidad de ser hombre. Más la probabilidad de aprobar de las mujeres por la probabilidad de ser mujer. Ese sería el cálculo que podríamos hacer para resolver una probabilidad simple a partir de probabilidades de las diferentes partes que forman esa población. La probabilidad de aprobar si somos hombre 0,45 por ser hombre 0,6 más 0,48.
por 0 4 0 45 por 0 6 más 0 48 0 4 bien y si hacemos este cálculo vamos a hacer el cálculo sería 0 45 por 0 6 más 0 48 por 0 4 Nos daría 0,462. Pues sabiendo que los hombres aprueban el 45% y las mujeres aprueban el 48%, la probabilidad general global de aprobar sería del 46,2%. Sí, hemos conseguido una probabilidad sí.
A partir de las diferentes partes. Muy bien. Pues hemos aplicado esta fórmula. Os podéis encontrar con algún ejercicio en el que os hagan aplicar alguna de las fórmulas.
¿No? Hemos visto un ejercicio en el que hemos tenido que resolver esto, otro que hemos tenido que resolver. esto otro que hemos tenido que resolver esto nos podemos encontrar con alguno de estos ejercicios sencillamente el primero expresamos lo que nos han dado expresamos lo que nos piden y buscamos la fórmula que nos encaje para poderlo resolver También a veces las probabilidades os las piden a través de tablas de frecuencias. Por ejemplo, tengo una tabla donde, como esta de aquí, ¿no? Los de mañanas, los de tardes, los de mañanas que han aprobado y su...
Bueno, tengo aprobado suspendido mañana tarde. 16, 4, 12, 8, 28, 12, 20, 20 y 40. Bien, entonces, a partir de aquí, a partir de aquí nos pueden pedir cualquier probabilidad con esta tabla de las que hemos estado trabajando. Por ejemplo, nos pueden pedir una probabilidad individual. ¿Qué sería una probabilidad individual? Sería si os pido, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que aprobemos este examen?
¿Cómo calcularíais la probabilidad de que aprobemos el examen? Pues sería aplicar la ley de Laplace o el concepto clásico, ¿no? ¿Cuántas aprobadas hay?
¿Sí? Si yo os preguntara por la probabilidad de ser de mañanas, ¿cómo la calcularíamos? ¿De mañanas cuántos hay?
20 de un total de 40, ¿no? Pues sería 0, 5. 20 de un total de 40 sería 0, 5. Muy bien. ¿Sí?
Probabilidades individuales. Luego podemos calcular una probabilidad condicionada. Una probabilidad condicionada como podemos... Podría ser, una condicionada sería por ejemplo, probabilidad de aprobar si eres del grupo de tardes. Probabilidad de aprobar si eres de tardes.
Probabilidad de aprobar para los de tardes. Pues tenéis aquí la expresión que tenemos que utilizar. Sería la casilla interior entre el total de fila o columna. Es decir, estoy hablando de los de tardes.
Estoy hablando de estos. ¿No? Son 20 los de tardes, no son 40 ya.
Hablo de los de tardes solo. ¿Cuántos aprueban de los de tardes? Aprueban 12 de los 20, casilla interior entre total de fila o columna. ¿Sí?
Sería 12 entre 20, es decir, el 60% de los de tarde aprueban. ¿Sí? Eso sería una probabilidad condicionada. También lo podríamos hacer respecto a aprobar suspender, ¿no? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que si he suspendido, ¿no?
Probabilidad de que si es suspendido hubiera sido del grupo de mañanas. Probabilidad de ser de mañanas si hemos suspendido. Yo sé que tengo un alumno suspendido. ¿Qué probabilidad hay de que fuera de mañanas?
Eso es lo que yo sé, eso es lo que me pregunto, ¿no? Probabilidad de ser esto. Pues ahora, ¿qué haríamos? Lo mismo, pero ahora respecto a la columna.
Estamos hablando de que el alumno ha suspendido, ¿no? ¿Cuál es la probabilidad de ser de mañanas dentro de lo suspendido? de mañana hay 12. De los 12 que son de mañana, ay, perdón, de los suspendidos son 12. De los 12 que son suspendidos, de mañana han sido 4. Así que han sido un 0,25.
¿No? Han sido un 0,25. No, 0,25 no, 0,33.
¿Sí? Por tanto, la probabilidad de ser de mañanas, si hemos suspendido, sería 4 entre 12, ¿no? Siempre la condicionada es lo que me determina el denominador, ¿sí?
Porque hablo de ese subgrupo. Aquí hablo de los de tardes, aquí hablo de los suspendidos, ¿de acuerdo? Venga, muy bien.
Y luego también podemos hablar de la probabilidad de una intersección. Sería, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de aprobar y a la vez ser de mañanas? Probabilidad de una intersección, probabilidad de aprobar y a la vez ser de mañanas.
Entonces lo que tenemos que hacer es... coger la casilla interior entre el total porque ahora hablamos de toda la muestra. De toda la muestra, ¿cuántos son de aprobados y de mañanas? Hay 16 que son aprobados y de mañanas de los 40 de la muestra. Pues la probabilidad de que te ocurran las dos cosas a la vez es 16, la casilla interior, entre 40 que sería el total.
Así que haríamos el cálculo de 16 entre 40 Nos daría 0,4. ¿Sí? El 40% de la muestra son aprobados y de mañanas, las dos cosas a la vez.
¿Vale? Aprobados y de mañanas. Muy bien.
Bien, entonces, ¿qué más? Luego podemos hablar de una unión también. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar o ser de tardes? En una unión deberíamos aplicar el teorema de la adición que decíamos, ¿no?
En una unión, como tenéis aquí la expresión, sería calcular la probabilidad de ser de aprobado más la probabilidad de ser de tardes y luego quitarle la intersección. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar? 28 de 40, ¿no?
¿Cuál es la probabilidad de ser de tardes? 20 de 40. ¿Y cuál es la probabilidad de ser las dos cosas a la vez? Pues, la probabilidad de tardes hay 12 de los 40, ¿no?
Pues la probabilidad que estamos buscando sería... Esto nos quedaría... 16...
16 más 20... 36... De 40, ¿no?
Aprobados y de tarde serían 36 entre 40, esa probabilidad, ¿no? Y luego, finalmente, si es una condicionada, si es una probabilidad complementaria, pues sencillamente es 1 menos esa probabilidad, ¿no? La probabilidad de no aprobar, pues sería 1 menos.
probabilidad de aprobar. Bueno, eso no sería nada específico de la tabla, ¿no? Así que fijaros que con una tabla de frecuencias podemos resolver una probabilidad simple, una condicionada, una intersección o una unión.
¿Sí? Venga, entonces. Seguimos.
Y luego nos hablan ya de parámetros y estadísticos. Venga, con esto acabamos esta pequeña introducción sobre la probabilidad, sobre los conceptos básicos estos de probabilidad, ¿no? Con esto acabamos esta introducción a la probabilidad y ahora vamos a empezar a hacer modelos de probabilidad y para entender por qué es necesario hablar de los modelos de probabilidad, vamos a hablar del tema este de parámetros y estadísticos. Durante toda la asignatura, a partir de ahora, vamos a estar hablando de la población y de la muestra.
Hablaremos de la población y de la muestra. Cuando hablábamos de la población, eran todos aquellos que queríamos conocer, ¿no? Y de la muestra era un grupito representativo de la población.
Sí, esto lo vimos en el primer vídeo, ¿no? Entonces, cuando hablamos de la población entera, hablamos de todo nuestro objeto de estudio. Por ejemplo, queríamos conocer cómo ha ido el examen de biostadística. Pues mi población son todos los árboles que han hecho el examen. Y la muestra, como la población, es demasiado grande y no tengo a todos los alumnos que han hecho la asignatura, yo puedo coger una muestra al azar, por ejemplo, de 30 alumnos y trabajar con esa muestra, ¿no?
Entonces, cuando yo hago cualquiera de los cálculos que hemos visto, por ejemplo, la media o la varianza o la proporción, el resultado va a ser diferente si nos referimos, por ejemplo, a la media del examen. En la población entera, o si nos referimos a la media de la nota, la media del examen, en nuestra muestra. A lo mejor en toda la clase la nota media es un 6, pero a lo mejor en mi muestra de 30 alumnos ha sido un 6,2. O ha sido un 5,7.
O ha sido un 5,9. ¿No? ¿Sí?
Así que no tiene por qué ser igual la media de la población, que coge a todos los alumnos, con la media de mi muestra, aunque tienden a parecerse. ¿Sí? Entonces, por eso utilizaremos una nomenclatura diferente. Cuando hablamos de la media, y nos referimos a la media de toda la población, por ejemplo, en la nota media de todos los alumnos, decíamos ahora, los expresaremos con la letra.
Cuando hablamos de la nota media, pero de mi muestra... Será la x con la rayita arriba. O cuando hablemos de la desviación típica, será sigma en la población o s en la muestra. Cuando hablemos de la varianza, sería sigma al cuadrado en la población o s al cuadrado en la muestra. Y cuando hablemos de una proporción, por ejemplo, la proporción de aprobados en la población, proporción de aprobados en mi muestra.
Cuando hablamos de la proporción de aprobados sería P. Y cuando hablamos de la proporción de aprobados en mi muestra en concreto sería la P estimada. Estos valores calculados para la población decíamos que eran los parámetros. Mientras que estos valores son los estadísticos. Sí, parámetros se refieren a la población y son fijos aunque desconocidos, ¿vale?
Media de la nota del examen, solo hay una, ¿sí? Hay una media y ya está, es un valor único. Lo que pasa es que normalmente no lo tendré, es desconocido.
Así que es un valor único pero desconocido. En cambio, los estadísticos son aleatorios, son variables aleatorias. Yo, la media que me salga... depende del azar porque depende del azar las 30 personas que he cogido en mi muestra así que si yo cojo 30 personas al azar puede ser que me salga una media o que me salga otra dependerá del azar de las personas que forman parte de mi muestra me saldrá una media o me saldrá otra así que la media muestral por ejemplo los estadísticos Son variables aleatorias.
Son conocidas, porque yo tendré la muestra y lo podré calcular, son conocidas, pero son valores conocidos, pero aleatorios. Y el proceso que... Decíamos que vamos a hacer durante toda la asignatura, va a ser este proceso con el cual a partir de los estadísticos vamos a intentar entender los parámetros, que es el proceso de la inferencia estadística. A partir de los temas siguientes vamos a empezar a hablar de... de inferencia estadística.
Con los estadísticos intentaremos entender los parámetros, ¿vale? Lo haremos en los siguientes temas. Todavía no estamos empezando a hacer la inferencia.
Bien, entonces, por tanto, parámetros y estadísticos, los parámetros son cálculos estadísticos referidos a la población y los estadísticos son cálculos referidos a la muestra. ¿Por qué nos introducen esto de que de los estadísticos y los parámetros en el tema de probabilidad? Porque durante toda la asignatura vamos a estar trabajando con estadísticos cuando queremos conocer los parámetros o al revés.
Es decir, vamos a buscar esa relación entre los dos elementos correspondientes. Y eso lo podemos estudiar desde un punto de vista probabilístico. Por ejemplo, si la media del examen es un 6 en la realidad, si la media del examen es un 6 en la realidad, ¿Cuál será la media que salga del examen en mi muestra?
Pues no lo sabemos. Habría que coger la muestra y mirarlo. Hemos dicho que es una variable aleatoria.
Yo no sé la nota media que me saldrá en la muestra. Dependerá del azar. Es una variable aleatoria.
Es un experimento aleatorio. Depende del azar. Pero sí sé que la nota media de mi muestra, que es representativa de la población, tenderá a parecerse a la nota media de toda la población. Tenderá a parecerse. ¿Sí?
Así que este valor yo no sé cuál es. Pero sí sé que tiende a parecerse a la población general. Es decir, que la nota media que me saldrá en mi muestra cuando recoja la muestra al azar, no sé cuál será.
Depende del azar. Pero sí sabemos... ¿Qué tiende a parecerse? Al valor de la población entera. ¿Sí?
A la media de la población. Si la media es 6, lo que me saldrá en la muestra será algo parecido a 6. Más parecido o menos parecido. Pero estará alrededor de 6. Lo más probable es que esté cerca de 6 y es poco probable que sea una media mucho más alta que 6 o mucho más baja que 6. Así que podemos decir que seguirá un modelo de probabilidad el estadístico Seguirá un modelo de probabilidad normal centrada en el propio parámetro que sería nuestro centro de la normal. Así que estadísticos y parámetros no son iguales, pero sí sabemos que tienden a parecerse y que si tuviéramos el parámetro poblacional, el estadístico sabemos que tiene una probabilidad normal centrada en el propio parámetro.
¿Sí? Por eso nos lo introducen aquí, porque ahora vamos a empezar a hablar de distribuciones de probabilidad normales y lo vamos a ver ahora, ¿sí? Y eso lo estudiamos porque luego nos va a tocar hacer esto, ¿sí?
Así que vamos a verlo. a pasar ahora a trabajar con distribuciones continuas como la normal porque en los temas posteriores trabajaremos con esto de con el estadístico conocer el parámetro con el parámetro conocer el estadístico y jugar con la probabilidad para resolver diferentes cuestiones. Por tanto, parámetro es un valor calculado en la población, estadístico es un valor calculado en la muestra. Y los dos tienden a parecerse, pero no tienen por qué ser iguales y se puede aproximar lo que será uno a partir del otro a través de un modelo probabilístico como la distribución normal en el caso de la media. Bien, vamos a la página 8. Vamos a empezar ahora con las distribuciones continuas.
Una distribución... de probabilidad continua es una distribución de probabilidad donde tengo una variable que es continua, que tiene infinitos valores. ¿Sí?
Distribuciones continuas habrían muchas. La que vamos a estudiar es la distribución normal. La distribución normal es aquella distribución de probabilidad que sigue esta forma, que es la forma de la campana de Gauss. Y hay dos formas de trabajar con una distribución de probabilidad continua. como puede ser una normal.
Esto podría ser las notas del examen, que es una variable continua. O la altura de los alumnos, que sería una variable continua. Algo que sea valores continuos.
Si son valores discretos, yo digo número de hermanos del alumno, 0, 1, 2, eso ya no es una variable continua. Trabajaremos con variables que son continuas. Entonces una variable que es continua se puede expresar Su probabilidad mediante lo que se llama una función de densidad o mediante lo que se llama una función de distribución. Una función de densidad, vamos a poner aquí debajo mejor, es el típico gráfico que teníamos de la distribución normal que habréis visto muchas veces.
En una función de densidad, la probabilidad la vamos a tener expresada mediante el área. Así que si me dicen cuál es la probabilidad de tener más que x, más que este valor, pues sería el área la probabilidad. Cuando expresamos la probabilidad mediante el área por debajo de la curva, eso es una función de densidad.
Cuando vemos el típico gráfico de la normal, eso es una función de densidad. de densidad de la normal. La probabilidad queda expresada mediante el área.
¿Que tengo un área más grande? Pues aquí hay más probabilidad, que aquí es más probable que ocurra que tengamos un valor menor de y, que tengamos un valor mayor de x. Así que la función de densidad sencillamente es una forma de trabajar con probabilidades donde expresamos las probabilidades mediante el área.
que nos queda debajo de la curva. En cambio, en una función de distribución, lo que vamos a hacer va a ser expresar la probabilidad acumulada del valor. Probabilidad acumulada del valor.
¿No? Por ejemplo, en una normal... Sería una cosa parecida a esta, ¿vale? Donde aquí tenemos la probabilidad de 0,5, de 1. Entonces, en una función de densidad, si esto es, por ejemplo, la altura del alumno, 1,50, 1,60, 1,70, 1,80, 1,90, ¿no?
Y yo me pregunto, ¿cuál es la probabilidad de tener más de 1,85? Pues sería este área de aquí, ¿no? En el gráfico de densidad.
Pero, en el gráfico de distribución, sería irnos aquí a, si decíamos esto es 1,50, 1,60, 1,70, 1,80 y 1,90, pues diríamos, vale, la probabilidad de tener una altura superior a 1,80, perdón, la probabilidad de tener una altura inferior a 1,80, vale, tener 1,80 o menos, que sería este área de aquí, vamos a dibujarlo en los dos casos igual. La probabilidad de tener menos de 1,80... En este gráfico sería esta zona pintada. En este gráfico sería el nosar un 80. Y el lavar en el valor de la línea.
Nos vamos aquí. Vale. Pues habría una probabilidad, por ejemplo, del 75%.
Pues este sería el área, el 0.75, o aquí en este gráfico lo veríamos así. Así que hay dos formas de representar la probabilidad en una variable continua. La función de densidad, donde la probabilidad nos queda expresada mediante el área, que es con lo que vamos a trabajar. O la función de distribución, donde nos dice la probabilidad acumulada de cada valor.
Cada valor, la probabilidad acumulada que tengo. Pues esas son las dos formas de trabajar con probabilidades. En variables continuas.
Y en toda variable continua. Vamos a tener dos características principales. Una es la esperanza matemática, que se refiere al centro de la distribución. La esperanza matemática será el centro de la distribución, es la media.
Cuando trabajamos con una variedad de cuantitativa continua, la esperanza será su media. Por ejemplo, la media de la altura es lo que tendríamos en el centro. Y la varianza de la distribución... la varianza de la distribución se refiere a la dispersión que tenemos así que todo modelo de probabilidad todo modelo de probabilidad quedará siempre definido por dos parámetros principales dos características donde está centrado que su esperanza y que dispersión tienen los valores que es su varianza sí así que cuando hablamos de cualquier variable vamos a necesitar siempre esas dos características la esperanza es la media y la varianza sería la sigma al cuadrado vale aquí tenéis las fórmulas para calcularlo la esperanza en una variedad de continua habría que hacer un cálculo integral que tenemos aquí que no se van a pedir vale y la varianza pues saldría de hacer ese cálculo eso tampoco Así que, bueno, lo he puesto como lo tenéis en las diapos, diría las fórmulas, pero la esperanza es el centro de la distribución, solo es importante que os quedéis con el concepto, la varianza se refiere a la dispersión. Bien, entonces, vamos a empezar ya con el modelo principal de variable continua con el que vamos a trabajar, que es la distribución normal.
Venga, entonces, la distribución normal es un modelo de variable continua. De variables continuas hay muchas. Podríamos hablar de una variable continua que es una uniforme, que siempre es igual, o que sigue la curva normal, o que es de tipo exponencial, o variable. ¿no?
Podríamos tener muchos tipos de variables continuas, de distribuciones continuas. Vamos a trabajar con un caso concreto que es muy habitual o que es muy práctico, que es la distribución normal, ¿no? porque muchas variables siguen una distribución normal, ¿no? Si medimos la nota del examen seguramente seguirá una curva parecida a la normal, la mayoría de exámenes seguirán a la normal, la altura de los alumnos seguirá a la normal, o si hablamos de cualquier característica física o un parámetro en sangre, ¿no?
La mayoría de variables siguen esa distribución. distribución de probabilidad, sigue en la curva normal y por eso la estudiamos de forma más detallada. Distribución normal. Cuando hablamos de que una variable sigue una normal, la expresaremos así.
Una variable sigue una normal. Una normal que queda definida... Por dos características, la media, que es su centro, que era la esperanza que decíamos antes, y la desviación típica, que nos indica la dispersión, que al cuadrado sería la varianza, que decíamos antes. Así que una vez tengo yo que una varianza es la desviación, llave es normal. Sé su media y sé su desviación típica, lo sé todo, no necesito nada más.
Por ejemplo, yo puedo decir que la altura de los alumnos sigue una normal donde la media es unos 70 y la desviación típica es de 15. Pues con eso ya sé perfectamente cómo se reparte la altura de todos los alumnos. Son las únicas dos características que necesito saber. Norma del 68-95-99,7.
En una normal, en cualquier distribución normal, habrían infinitas normales. Si yo les cambio la media o cambio la desviación típica, pues tendremos normales diferentes. Entonces, tendremos infinitas normales, ¿no?
Hay muchas normales, pero todas cumplen lo mismo, que es la forma que tenemos de la campana de Gauss. En la distribución normal, si yo cojo una desviación típica y se la sumo a la media, y cojo la media y le resto la desviación típica, o sea, si cojo la media y le sumo la desviación típica, y le resto la desviación típica, si le sumo y le resto una desviación típica, nos va a quedar siempre el 68% de toda la probabilidad. Siempre nos quedará el 68% de toda la probabilidad entre una desviación típica arriba y abajo de la media. Si yo cojo dos desviaciones típicas, Si, o sea, mu más 2 sigma o mu menos 2 sigma, si cojo dos desviaciones típicas, eso nos va a recoger el 95% de toda la probabilidad. 95% de toda la probabilidad.
Y si recojo tres desviaciones típicas por encima y tres desviaciones típicas por debajo de la media... debajo y por encima, nos quedaría el 99,7% de la probabilidad. ¿Vale?
Es esto de la norma del 68, 95, 99,7. En nuestro ejemplo decíamos que la altura sigue una normal de media, 170, y desviación típica, 15. Eso quiere decir que si la altura es una media de 170 y desviación típica, 15, cuando yo le resto una desviación típica, típica, me quedaría 155, y si le sumo una desviación típica nos quedaría 185, pues entre 155 y 185 tendremos al 68% de toda la probabilidad, ¿vale? Si yo cojo dos desviaciones típicas, es decir, 15 más 15, 15 más 15, es decir, 30 de más, es decir, 2 metros, entre 2 metros y 1,40, ¿vale? Vamos a recoger al 95% de toda la probabilidad.
Y entre 1,05 y el... No, entre 1,25. Entre 125 y 215, pues entonces ya recogeríamos el 99,7% de toda la probabilidad. ¿De acuerdo? ¿Sí?
Esto sería aplicado al eje. La desviación típica es 15, pues 15 arriba, 15 abajo, y luego 15 y 15, 30 arriba, 30 abajo, recogemos el 95%, 45 arriba, 45 abajo, recogemos el 99,7%. Siempre en una normal se nos cumple esa característica.
Bien, entonces, vamos a pasar ahora a cómo se calculan probabilidades en una distribución normal. ¿Cómo calculamos probabilidades en una distribución? normal. Imaginaros que yo estoy hablando de la altura de los alumnos y me pregunto por la probabilidad de que tengamos un alumno de más de un 80 de altura.
Me pregunto por esta probabilidad, tener más de un 80. ¿Cómo podríamos resolver esa probabilidad de tener más de un 80? Pues en teoría deberíamos resolver este área. Por tanto, habría que hacer una integral entre un 1,80 y el más infinito en la curva normal, la función normal, que es una función complicadísima, para poder resolver esa probabilidad. 15 desviación típica, ¿no?
Deberíamos hacer este cálculo, no lo podemos hacer, no sabemos hacer cálculos integrales complejos, así que no podemos resolver eso. ¿Cómo vamos a poder trabajar para resolver probabilidades en una normal sin necesidad de cálculo integral? Pues vamos a utilizar las tablas de estadística.
Las tablas de estadística son unas tablas que están todos los cálculos ya resueltos. Así que, imaginaros un grupo de matemáticos que, hartos de ponerse a hacer integrales para cada cálculo, dijeron, esto ya está bien. Vamos a hacer los cálculos una vez, lo ponemos en una tabla, y entonces ya, pues, cada vez que necesitemos un valor, lo buscamos en la tabla.
¿No? Entonces, para hacerlo... Cogieron una distribución normal que sirviera de referencia. Porque claro, yo puedo calcular todas las probabilidades en esta normal, que a la que tenga otra, ya no me sirve. Así que dijeron, vamos a coger la normal más sencilla posible.
La normal más sencilla posible. Cogieron una normal que era de media cero y desviación típica 1. Y le llamaron la distribución normal estándar o la Z. Es una normal de media cero y desviación típica 1. Cogieron esta normal estándar, una normal de referencia, y a partir de aquí hicieron todos los cálculos de cada uno de los valores hacia el extremo.
Los tenemos siempre hacia el extremo. La probabilidad de todos los valores hacia el extremo los tenemos así en la tabla. ¿Sí?
Probabilidad de cada uno de los valores z hacia el extremo. ¿Sí? Entonces, todos los valores de esta normal los tenemos calculados. Pero claro, si yo quiero resolver una probabilidad en mi normal, ¿cómo lo podemos hacer? Porque el 1.80 no estará en la tabla de la normal.
Porque la tabla de la normal me habla de la normal estándar. Así que como mucho llegará al 3 o al 4, al menos 3, menos 4, estaremos aquí, pero no nos hablará del 1.80. Así que lo que tenemos que hacer es lo siguiente. Siempre que queramos resolver una probabilidad en una distribución normal utilizando las tablas, vamos a coger nuestro valor y lo vamos a tener que transformar en la puntuación equivalente en la normal estándar.
su puntuación que llamamos su puntuación z esta es mi variable la altura y la tengo que pasar a z que sería la puntuación en la normal estándar para hacer esta transformación de aquí a aquí de la normal que tengo a mi normal estándar a la normal estándar hay que hacer esta fórmula el valor menos la media entre la desviación típica de forma que si el valor es 180 Pues la z sería 180 menos la media, que hemos dicho que era 170, entre la desviación típica que es 15. Es decir, nos quedaría 10 entre 15, es decir, 0,3... No, 0,6, periódico, ¿no? 10 entre 15. 0,67, vamos a decir, ¿vale?
A dos decimales. Así que nos quedaría una z de 0,67. Es decir, el 1,80 es equivalente...
En uno... 80 en una normal de 170 y desviación típica 15 es equivalente a una zeta de 0,67. Es equivalente a una zeta de 0,67. ¿Sí?
Entonces, a partir de aquí, como nuestra puntualidad... puntuación es equivalente a esta, el cálculo que yo haga para la Z de 0.67 será la misma probabilidad que el 1.80. Entonces, buscaremos el 0.67 en la tabla.
Nos vamos al final del dosier que tenemos la tabla de la normal, ¿vale? Al final que tenemos las tablas. Tenemos la primera tabla, que pone tabla de la normal, y buscamos este valor, 0,67.
¿Cómo funciona la tabla de la normal? Hay que buscar la unidad y el primer decimal en la fila, y la columna es el segundo decimal. Así que sería 0,6 la fila, y el 7 sería la columna. 0,6 de fila, la fila 0,6, columna 7. 0,6 y 7. Sería una probabilidad de 0,2514.
Esta probabilidad es de 0,2514. Sí, la tabla siempre nos va a devolver la probabilidad hacia el extremo. Si estoy aquí, nos va a devolver la probabilidad hacia la derecha.
Si tengo un número negativo, es decir, si estoy por la izquierda de la media, si tengo un número negativo, los negativos no salen en la tabla. Pero es que la normal es perfectamente simétrica. Así que la probabilidad del menos 0,67 para la izquierda, ¿verdad?
Es exactamente la misma que la del más 0,67 a la derecha, porque la distribución es simétrica. Así que me da igual... El signo. Yo si me da un valor z negativo, yo lo busco como positivo.
Siempre que pensemos que lo que nos da la tabla, siempre es la probabilidad hacia el extremo más cercano. Es decir, si estoy aquí es hacia la derecha, pero si fuera un valor negativo, lo busco como positivo y pienso que lo que... Y me va a dar a la tabla es la probabilidad hacia el extremo. ¿Sí? Más cercano.
Así que la probabilidad del trozo pequeño, podemos decir. Así que yo he buscado el 0.67 y su trozo pequeño, porque yo podría buscar la probabilidad para abajo del 0.67 o para arriba, pues en este caso el trozo pequeño, la probabilidad hacia el extremo es esta, pues me devuelve una probabilidad del 25%. Pues ya lo tenemos resuelto. Si esto es un 25%, esto también es lo mismo. Es la puntuación equivalente.
Así que la probabilidad de tener más de un 80 sería una probabilidad del 0,25, del 25%. Y un 25% de probabilidades de encontrarnos un alumno que mida más de un 80. Bien, pues esa es la forma de trabajar con la distribución normal. Siempre que tengamos...
una distribución normal y queramos hacer cualquier cálculo de probabilidad vamos a tener que estandarizar es decir pasar de la puntuación en nuestra variable a z mediante la fórmula y una vez lo tenga pasado a z lo buscará en la tabla para conseguir la probabilidad y la probabilidad siempre será la de el valor hacia el trozo pequeño si estoy aquí éste si estoy aquí éste la probabilidad del extremo más cercano o hacia el trozo de esa manera tendremos la probabilidad correspondiente si luego yo quiero la probabilidad del otro trozo por lo resto a 1 si aquí tengo un 25% pues si hubiera querido esto pues sería un 0.75, no hay problema. ¿Vale? Si yo luego quiero el trozo grande, lo resto 1. Si quiero el trozo pequeño, es lo que nos da la tabla.
Ahora veremos algunos ejercicios también. Si quiero un intervalo, entonces vamos a tener que restar las dos probabilidades, para que nos dé la probabilidad de estar entre los dos valores. Vamos a hacer ejemplos.
Vamos a la página 9. Venga, hacemos esta última página y acabaremos por este vídeo. Así que vamos a dejarnos un poco este esquema. De que una normal se expresa de esta manera y que siempre el proceso es de un valor en mi variable hay que pasarlo a z, del valor z lo vamos a buscar a probabilidad.
Es decir, es el valor menos la media entre la desviación típica, la forma de estandarizar. Dice, ejemplo, dice la nota del examen se distribuye como una normal. La nota del examen sigue una normal. De media 5,5.
de media 5,5 y de desviación típica 2,2. Nos dibujamos la media y la desviación típica. Lo podemos poner directamente.
5,5 y 2,2. O podemos decir, la nota del examen sigue una normal de media 5,5 y desviación típica 2,2. ¿Sí? Primero definimos la normal.
Dice, ¿cuál es la probabilidad de que cojamos a un alumno al azar y saque más de un 5? Nos preguntan cuál es la probabilidad de que saquemos más de un 5. Entonces, primero nos dibujamos la normal, con su media y su desviación típica. Y luego dibujamos lo que nos preguntamos, probabilidad de tener más de 5. Sería este área de aquí. Y nos pintamos el área que buscamos. Bien, una vez hemos hecho esto respecto a nuestra variable, para resolver las probabilidades hemos hecho que teníamos que hacer lo siguiente.
Hay que pasar la puntuación siempre a z. ¿Cómo la pasamos a z? ¿Cómo la pasamos a z? Pues la z la vamos a dibujar debajo de nuestra normal. Pero en lugar de hacer otra vez la curva debajo, no hace falta que esto sea un concurso de dibujo, no hace falta hacer nuestras cuantas normales, nos la vamos a dibujar debajo así simplificada, como con otra línea.
¿Vale? Así que... que nuestra normal y nuestra normal estándar, ¿no? La z.
Así que en la normal estándar el 0 era la media y el 1 la desviación típica. Nuestra normal y debajo nos dibujamos la z que nos será muy útil, ¿vale? Una vez lo tenemos así, el objetivo en primer lugar es pasar nuestra puntuación a z. Y luego buscar el valor en la tabla.
¿Cómo pasábamos de nuestro valor a z? Con la fórmula. La fórmula es esta.
Es decir, el valor 5 menos la media, que es 5,5, entre la desviación típica, que sería 2. Entonces, si hacemos 5, menos 5,5, menos 5,5 y entre 2,2, nos daría menos 0,23. ¿Vale? Tendríamos menos 0,23.
Por tanto, el valor 5 nos daría menos 0.23 de puntuación equivalente en la normal estándar. Ahora, este valor lo podemos buscar en la tabla. Decíamos que en la tabla no hay negativos, pero no pasa nada porque la distribución es simétrica.
Así que lo buscamos en la tabla sin signo, es decir, buscamos el 0.23. Es decir, fila 0.2, fila 0.2. Nos vamos a la fila 02 y a la columna 3. Fila 02, 023. Fila 02 y columna 3. El valor que nos da la tabla es 0,409. ¿Qué es lo que nos dará la tabla?
Siempre decíamos que era el trozo pequeño. El 5 tiene dos trozos, este y este. Pues lo que nos da la tabla es el trozo pequeño de probabilidad. Nos da esto, ¿sí? Y hemos dicho que es 0,409, ¿no?
Bueno, redondeado a tres decimales, 0,23 es 0,409. Ya tenemos esta probabilidad. ¿Esta probabilidad es la que buscábamos?
No, la que buscamos es esta otra. No, la que buscamos es esta otra probabilidad. Así que hacemos 1 menos esa probabilidad. Si buscamos la probabilidad del trozo grande y tenemos el trozo pequeño, sería pues 1 menos 0,409. nos daría 0,591.
Pues esa es la probabilidad que estamos buscando. La probabilidad de tener más de 5 es equivalente a la probabilidad de que la z sea más de menos 0,23. Y esa probabilidad es 1 menos 0,409, es decir, es 0,591.
Pues ya tendríamos la probabilidad resuelta. La probabilidad de tener más de 5 en ese examen es de un 59,1%. Hay una probabilidad de un 59,1% de que nos ocurra eso. A ver... Probabilidad del 59,1% de que ocurra eso.
Bien, seguimos. Y luego nos dicen, ¿y cuál es la probabilidad de que tengamos menos de un 7? Ya hemos hecho este primer apartado A. Apartado B, dice ahora, probabilidad de que tengamos menos de un 7. Probabilidad de menos de un 7, vamos a volver a hacernos el dibujo de la normal. Era una normal, decíamos de media 5,5, desviación típica 2,2.
Y ahora nos preguntan por la probabilidad de tener menos de un 7. Probabilidad de tener menos de un 7, nos lo dibujamos, el 7 estaría encima de la media, es este trazo. ¿Cómo sería el procedimiento? Pues el mismo de antes.
Nuestra variable la tendremos que pasar a z y buscaremos la probabilidad de que la x sea inferior a 7. ¿Qué hacemos? Lo pasamos a z, la puntuación 7, con la fórmula. Es decir, sería 7 menos la media de 5,5 entre la desviación típica de 2,2. Si hacemos este cálculo, 7 menos 5,5 y luego entre 2,2 nos queda 0,68.
Así que nuestro valor 7 lo pasamos a z con la fórmula y nos queda 0,68. Muy bien. Ya hemos resuelto la z equivalente al 7. Y lo buscamos en la tabla. Luego, para pasar de z a probabilidad, lo buscamos en la tabla.
¿Cómo lo tendremos que nos devolver a la tabla? Hemos dicho que la tabla siempre nos devuelve el trozo pequeño. Así que si estoy aquí, el trozo pequeño ahora es este. La tabla nos devuelve el trozo pequeño de probabilidad. Depende de la tabla que trabajáis, es la del trozo pequeño.
Así que sería esta probabilidad de aquí. Muy bien. Pues como tenemos esa probabilidad de aquí, para resolverlo, buscaremos la probabilidad del trozo pequeño.
Buscamos el 0,68 en la tabla. ¿Vale? Buscaremos el 0,68. En las tablas del final, fila 06, columna 8 y nos daría 0,248. 0,248.
8, ¿no? 0,68, la probabilidad hacia el extremo sería 0,248. ¿Es la probabilidad que buscamos?
Pues otra vez no, ¿vale? No busco esta probabilidad sino que busco esta otra. Así que sería 0,752, ¿no? Restamos 1...
menos 0,248 nos quedará 0,752. Por la probabilidad de que la X sea menor de 7 es equivalente a que la Z sea menor de 0,68, es decir, 1 menos la probabilidad que nos da la tabla que es 0,248, es decir, 0,752. Venga, pues ya tenemos resuelto este segundo apartado.
Probabilidad de menos de un valor, en este caso, por encima de la media. En función de si estoy encima de la media o debajo de la media, ojo que la probabilidad de la tabla nos la dan hacia un lado o hacia el otro. Así que hay que tener en cuenta eso y por eso es muy útil siempre hacerse un dibujo. Venga, muy bien. Vamos a hacer el apartado C.
Nos dicen ahora, ¿y cuál es la probabilidad de tener entre un 7 y un 9? Probabilidad de tener entre un 7 y un 9. Entonces, la probabilidad de tener entre un 7 y un 9 sería, si esto es el 5,5 y esto hemos dicho que era 2,2, ¿no? Sería la probabilidad de estar entre el 7 y el 9. Los dos valores están por encima de la media, ¿no?
Entre 7 y 9. ¿De acuerdo? Entonces, a partir de aquí, lo que tenemos que hacer es... Lo mismo que hemos hecho hasta ahora. ¿Vale?
Antes de nada, tenemos los dos valores de nuestra variable. Y los tenemos que pasar los dos a z. Los pasamos los dos a z.
Pasamos el 7 y pasamos el 9. El 7 ya lo hemos pasado antes. Era 0,68, hemos dicho, ¿no? Si el 7 era 0,68, lo acabamos de hacer.
Vamos a hacer el 9. ¿Vale? El valor z es el valor menos la media entre la... la desviación típica pues 9 menos cinco y medio entre dos con dos no lo mismo de antes y conseguimos la puntuación z equivalente del 9 sería 9 menos 0 68 entre 9 menos cinco y medio entre dos con dos nos daría 159 Pues ya tenemos los dos valores, el 7 y el 9, pasados a z. ¿Cuál va a ser el procedimiento para resolver el intervalo? Yo cuando busque el 7 en la tabla, es decir, cuando lo busque como 0,68, la probabilidad que me va a devolver va a ser esta.
Va a ser toda esta, ¿no? Y cuando busque el 9, me va a dar... Cuando lo busque como 1,59, me va a dar esta.
Así que, ¿qué deberíamos hacer para resolver la probabilidad del intervalo? Deberíamos coger la probabilidad de más de 7, esta, y le vamos a restar la probabilidad de más de 9. Es decir, esta. Y de esa manera vamos a conseguir la probabilidad del intervalo. Si tengo un intervalo, pues sencillamente voy a tener que restar las dos probabilidades.
Si las dos las tengo hacia la derecha o si las dos las tengo hacia la izquierda, yo restaré. Estaré la probabilidad más grande menos la más pequeña y nos quedará el espacio entre los dos. ¿Vale? Así que vamos a buscar el 0,68 en la tabla.
Nos había dado... Ya no me acuerdo. Vamos a buscarlo en la tabla. El 0,68. Nos da una probabilidad 0,68 de 0,248, decíamos, ¿no?
Es una probabilidad de 0,248. Y el 1,59, 1,59, es una probabilidad de 0,056. 0,056. Así que si yo quiero resolver la probabilidad de estar entre el 7 y el 9, sencillamente tengo que coger 0,248, que es todo esto, le resto el 0,0...
Si esto va a la derecha, este menos este. Si esto va a la izquierda, este menos este. Si es entre medio, sería uno menos esto y menos esto.
Y nos dará la probabilidad de estar en el intervalo. ¿Vale? Ya veremos alguna cosa.
ejemplo si no salen a un examen. Venga, entonces lo resolvemos. 0,248 menos 0,056. Pues la probabilidad de estar entre un valor y el otro nos daría 0,192. Pues hay un 19%, un 19,2% de probabilidades de que una persona saque entre un 7 y un 9 en este examen, ¿vale?
Hay una probabilidad. del 19,2% de que nos ocurra esto. Bien, y vamos al último apartado ya.
Nos dice, ¿y qué nota limitaría el 10% mejor de la clase? ¿Qué nota nos limita el 10% mejor de la clase? Vamos al último apartado, que sería el tercer tipo de ejercicio que nos podemos encontrar. Nos podemos encontrar una probabilidad simple, una probabilidad de un intervalo, o ahora veremos que nos podríamos encontrar con que nos piden un valor cuando nos da la probabilidad. Así que ahora nos dicen, ¿cuál es la nota?
Ahora nos están hablando de la probabilidad, pues ahora nos preguntan por una nota, una puntuación. ¿Cuál es la nota en nuestra normal, que era 5,5, 2,2? ¿Cuál es la nota, cuál es este valor, que limita el 10% superior de la distribución?
Fijaros que el ejercicio es al revés de lo que hemos hecho hasta ahora. Hasta ahora yo tenía el valor y me preguntaba por la probabilidad, ¿no? Ahora es al revés.
Ahora tengo la probabilidad y me pregunto por el valor. Como el ejercicio que me piden es del revés, vamos a tener que hacer toda la secuencia pero del revés. Es decir, vamos a empezar aquí. Probabilidad, la probabilidad es del 0,10. ¿Sí?
Ojo que la probabilidad siempre tiene que estar expresada como trozo pequeño. O sea, si me dieran el 0,90, yo hablo del 0,10 hacia el extremo más cercano, ¿eh? O sea, probabilidad 0,10.
Entonces, lo tengo que pasar a Z, ¿no? Lo paso a la normal estándar de media 0 y desviación típica 1, ¿vale? Así que nos vamos a la tabla de la normal, nos vamos a la normal, La tabla de la normal. Y buscamos ahora del revés el valor que nos deja un 0,1, un 10% como trozo pequeño.
¿Vale? Así que ahora lo buscamos. por dentro de la tabla el valor que deja el 0,10 como trozo pequeño.
Por dentro. ¿Dónde está el valor que más se acerca al 0,10? Lo buscamos y el que más se le acerca es 0,1003. Si buscáis por dentro de la tabla... El que más se le acerca al 0,10 sería 0,1003 de todos esos números.
Están ordenados, ¿eh? Contamos el 0,1003. ¿Y qué valor sería equivalente? Pues encontramos en la tabla el valor, o sea, la probabilidad de 0,10, y sacamos su valor z.
Sería el 1,28. Así que buscamos la tabla del revés, buscamos por dentro el que más se acerca a esto y nos da el valor z, 1,28. Una vez tengo el 1,28, tenemos que tener en cuenta, el 1,28, una vez tenemos el 1,28, hay que tener en cuenta que la tabla no me habla nunca de negativos.
Así que si yo hubiera estado en este lado, entonces hubiera sido menos 1,28. ¿Vale? El signo se lo damos nosotros.
Aquí están los negativos, aquí están positivos, porque la tabla no me da negativos. ¿Vale? Así que tener en cuenta que si el ejercicio implicara un valor que está aquí, habría sido negativo.
¿Vale? En este caso no, porque estoy a la derecha de la media, que es el 0, es un valor positivo, es el 1,28 positivo. Muy bien, pues ahora tengo que sacar el valor x.
¿Cómo pasamos de z a x? Con la fórmula. Ahora la z es lo que tengo, es el 1,28.
La x es lo que tengo. que quiero saber y la media y la media es el 5 y medio y la desviación típica el 2 con 2 Así que fijaros que puedo aplicar la fórmula de la z, pero ahora no la resuelvo directamente la z, sino que la z la tengo y busco la x. Es utilizar la fórmula también del revés. Es todo el proceso del revés. Entonces hacemos el cálculo y nos quedaría 1,28 por 2,2 más 5,5.
Nos quedaría una x. De 8,316. 8,316.
Pues este valor que estamos buscando aquí es el 8,316. Ya está resuelto. La nota que limita el 10% superior es una nota de 8,316.
El 10% de la clase tiene una nota por encima del 8,316. 16. Pues ya tendríamos resuelto el ejercicio. Así que hay tres tipos de ejercicios de normal que nos piden una probabilidad simple.
Entonces sencillamente lo pasamos a z y lo buscamos en la tabla. Si es la pequeña, pues es tal cual. Si es la grande, la probabilidad grande, 1 menos esa. El intervalo es restar las dos probabilidades siempre que vayan al mismo lado, ¿vale?
Restar con el dibujo para que no nos liemos porque puede ser hacia un lado o hacia el otro. ¿Vale? Restamos las dos probabilidades para tener siempre el intervalo. Y finalmente puede ser que nos pidan el valor que limita una determinada probabilidad. Entonces lo hacemos del revés.
Partimos de la probabilidad, la expresamos siempre como trozo pequeño. Lo buscamos en la tabla, nos dará la zeta. Lo buscamos al revés en la tabla, por dentro buscamos la probabilidad que más se acerque.
sacamos su z, la z le damos el signo porque la tabla no me habla de negativos y positivos así que a la z le damos el signo si estoy a derecha o izquierda, estoy a derecha, positivo ¿vale? y luego utilizamos la fórmula para aislar la x es el proceso pero del revés bueno, esto lo iremos practicando más en los temas siguientes, aquí solo como una introducción de la distribución normal, os he puesto pocos ejemplos de esta normal porque lo veremos más adelante en ya en esto lo aplicaremos a varias cosas, así que, bueno, por eso tenéis estos ejemplos sencillos porque tampoco os van a preguntar ejercicios muy complejos de la distribución normal, ¿no? Bueno, pues venga, hemos acabado ya la teoría de la normal, hemos acabado el ejercicio que os he puesto práctico de utilizar tablas para resolver cosas de la normal.
Bueno, luego os he puesto también un ejemplo del R, ¿vale? Aquí tenéis algunos ejemplos del R. Estos cálculos los podemos resolver con el R. Entonces, si yo quiero una probabilidad de la normal, la quiero con el R, la puedo resolver de la siguiente manera. Le puedo pedir PNORM, el comando es PNORM, probabilidad normal.
El primer valor que le pongo es la media. No, perdón, el primer valor que le pongo es la X, luego la media, luego la desviación típica, y luego le digo esto de lower.tail, que puede ser true o puede ser false. Si es true...
quiere decir que le voy a pedir la probabilidad para abajo. Si es false, le voy a pedir la probabilidad para arriba. Y este comando es el que me devolverá la probabilidad correspondiente. Por ejemplo, el primer ejercicio que decía cuál es la probabilidad de sacar más de un 5. sería Pnorm del 5 con una media de 5,5, una desviación típica de 2,2 y yo quería la probabilidad de más de un 5, o sea, la derecha, es decir, lower tail false, cola baja no, falso, hacia la derecha, es el primer comando.
Y fijaros que nos da un 0,590. Nos da una probabilidad de 0,590, que es lo que nos había dado el primer ejercicio. El segundo ejercicio era la probabilidad de menos de un 7. Pues era 7, 5,5, 2,2, y ahora era menos de un 7. Pues es true para la izquierda, y la probabilidad es esta, 0,752. Es el ejercicio B. Y finalmente, el tercer comando que os he puesto sería para resolver el apartado D.
Si yo lo que quiero es, como en este último caso, el valor que limita una determinada probabilidad, entonces pongo QNORM como comando, y en lugar del valor X le voy a decir la probabilidad P. Así que yo le diría, ¿cuál es el valor que deja 0,1 en una normal de media 5,5 y desviación típica 2,2? el valor que deja ver un uno a la derecha osea false y eso nos da el resultado que nos ha salido aquí 8 coma 3, 1, 9. ¿Vale? Así que nos quedaría un valor de 8,319.
Bueno, pues esos serían ejemplos del R, ¿no? Se pueden resolver ejercicios de normal con el programa R. Y de esa manera, pues siempre que sepamos cómo es el comando a introducirlo, nos lo resuelve sin necesidad de tablas ni nada. Nos lo resuelve rápidamente, como vemos aquí.
¿Vale? Venga, entonces, ¿por qué nos introducen esto de la distribución normal? Bueno, pues... Por lo que os decía antes, de que la distribución normal la vamos a aplicar en el estudio de los parámetros y los estadísticos en los temas posteriores.
Si yo conozco que la media del examen decía que es un 6, por ejemplo, y yo me pregunto por la media de mi muestra, la media muestral, ¿sí? En una muestra, por ejemplo, de 30 alumnos, ¿sí? Yo sé que la media que me saldrá en la muestra es una variable aleatoria, depende del azar, depende de las 30 personas que hemos cogido, lo hemos explicado antes, ¿no? Pero sí sé que está centrado en la media de la población entera.
¿Vale? Así que tengo la media muestral, esa es la media de la población entera, ¿sí? Y vamos a tener que esta distribución tiene una desviación típica. ¿Qué sale de hacer este cálculo de sigma entre raíz de n?
Eso es lo que llamamos la distribución muestral de medias. Es el modelo de probabilidad que nos explica cómo son las medias que nos podrían salir cuando cogemos una muestra de un tamaño n determinado. Sabiendo que la población tiene una media mu determinada. Entonces, a partir de aquí, como sabemos que la media de la muestra va a seguir una normal, va a seguir una normal centrada en la media de la población, podríamos llegar a hacer cal...
de probabilidades siguiendo la distribución normal. Si la fórmula para calcular la z es el valor menos la media entre la desviación típica, si la fórmula para estandarizar y pasar a z es esta, si yo me pregunto por la probabilidad de tener más de una media determinada, lo que voy a tener que hacer es lo siguiente. Ahora el valor de estudio va a ser una media muestral.
La media poblacional es la media poblacional y la desviación típica es sigma entre raíz de n. Así que sencillamente, si no me preguntaran por la probabilidad de que un alumno sacara menos de un 7, que decíamos antes, sino si me preguntaran por la probabilidad de que el grupo de 30 alumnos de media sacara menos de un 7, Si nos preguntáramos por una media muestral en lugar de por una puntuación individual, que es lo que hemos hecho antes, lo podríamos resolver con esta fórmula de la z modificada. ¿Vale? Cogiendo media muestral menos poblacional entre sigma raíz de n, haciendo este cálculo. Lo veremos más adelante, aquí solo es como una introducción que tenéis, si os ponen la fórmula yo os la pongo por si acaso, ¿vale?
Pero no tenéis acertidos de eso, ¿sí? Así que, esa sería la forma de trabajar con la distribución muestral de medias, ¿vale? Si quisiéramos calcular lo probable que es que la muestra nos saliera una media determinada, en lugar de una puntuación individual determinada, como lo que hemos visto antes, la media. Y siempre que trabajemos...
Con la desviación típica poblacional desconocida y tengamos la desviación típica muestral, si no tenemos la sigma, sino que tenemos la S, si no tenemos la desviación poblacional, sino que tenemos la desviación muestral, vamos a utilizar una T de Struden de T de S. de n-1 grados de libertad, ¿vale? Es decir, utilizaremos otra distribución. Es una introducción, ahora os va a sonar un poco a chino esto, lo veremos más adelante, ¿vale? Todo esto, solo se introduce en que relacionada con la normal tenemos esta historia de...
De que podríamos trabajar con la probabilidad de que nos salga una determinada media muestral. A partir de la media poblacional con el modelo normal. Con una fórmula Z modificada.
Y que si sigma es desconocida se utiliza una T. Lo veremos más adelante. Repito, es solo una introducción para luego después verlo mejor. Venga, pues lo vamos a dejar aquí.
Por esta clase. Nos hemos quedado aquí en distribuciones discretas. Así que venga, lo vamos a dejar aquí. Y en la próxima clase trabajaremos ya con los modelos de probabilidad de isque.
Lo dejamos aquí y hasta la próxima clase.