मानक विचलन (Standard Deviation) और आवृत्ति डेटा (Frequency Data)

मानक विचलन के मूल तत्व

• मानक विचलन का प्रतीक: σ
• सामान्य डेटा के लिए सूत्र:
  [ SD = \sqrt{\frac{\sum (x_i^2)}{n} - (\bar{x})^2} ]
• यहाँ ( \bar{x} ) को लिखा जा सकता है:
  [ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} ]

आवृत्ति डेटा के लिए मानक विचलन सूत्र

• आवृत्ति डेटा के लिए सूत्र:
  [ SD = \sqrt{\frac{\sum (f_i x_i^2)}{\sum f_i} - (\bar{x})^2} ]
• यहाँ ( \bar{x} ) के लिए:
  [ \bar{x} = \frac{\sum (f_i x_i)}{N} ]

बड़ी संख्याओं का समावेश

• बड़ी संख्याओं के केस में, जब हम ( x^2 ) निकालते हैं, तो आंकड़े और बड़े हो जाते हैं।
• इस स्थिति में, गिनती में गलतियाँ होने की संभावना बढ़ जाती है।

अनुमेय औसत तकनीक (Assumed Mean Technique)

• यदि अनुमेय औसत के साथ मानक विचलन की गणना करनी है, तो सूत्र होगा:
  [ SD = \sqrt{\frac{\sum f_i (d_i^2)}{N} - (\bar{d})^2} ]
• यहाँ ( d_i = x_i - A ) है, जहाँ A अनुमेय औसत है।
• यह तकनीक गणना को सरल बनाती है।

डेटा का आयोजन

• डेटा को व्यवस्थित रूप में प्रस्तुत करना चाहिए।
• उदाहरण के लिए:
  • x: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
  • संबंधित आवृत्तियाँ: 2, 7, 1, 5, 10, 4, 1

सीमा (Range) और अनुमेय औसत निकालना

• सीमा निकालने के लिए:
  [ Range = Maximum - Minimum ]
• उदाहरण:
  • 16 - 10 = 6
  • आधी सीमा = 3
  • अनुमेय औसत = 10 + 3 = 13

डेटा से डी (d) की गणना

• डी निकालने के लिए, सभी डेटा से अनुमेय औसत घटाना होगा।
• उदाहरण:
  • ( d = x - A )
  • माइनस 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

डी स्क्वायर (d²) की गणना

• ( d² ) की गणना करने की आवश्यकता है।
• उदाहरण:
  • -3 का स्क्वायर = 9
  • -2 का स्क्वायर = 4
  • -1 का स्क्वायर = 1
  • 0 का स्क्वायर = 0
  • 1 का स्क्वायर = 1
  • 2 का स्क्वायर = 4
  • 3 का स्क्वायर = 9

निष्कर्ष

• मानक विचलन की सटीकता के लिए, सही तकनीक का चयन करना आवश्यक है।
• अनुमेय औसत तकनीक जटिल डेटा सेट के लिए उपयोगी है।

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ये नोट्स मानक विचलन और आवृत्ति डेटा की गणना के लिए महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं।