Notes sur le Chapitre des Équations Différentielles

Introduction

• Objectif: Rappeler et expliquer les éléments clés des équations différentielles.
• Importance des exercices pour la préparation d'un contrôle ou d'un examen.

Notion d'Équations Différentielles

• Définition: Une équation différentielle est une égalité où l'inconnu est une fonction, par opposition à une équation classique où l'inconnu est un nombre.
• Exemple d'équations différentielles:
  • y' = 2x
  • 2y' = 3y + 1
  • y' = y + f

Classification des Équations Différentielles

• Ordre:
  • Premier ordre: Contient uniquement la première dérivée (ex: y').
  • Second ordre: Contient la dérivée seconde (ex: y'').

Résolution des Équations Différentielles

• Pour résoudre une équation, on cherche l'ensemble des solutions, souvent infinies.
• Exemple simple: Pour y' = 2x, la solution est y = x² + C (où C est une constante).

Vérification d'une Solution

• Pour vérifier que y = e^(2x) est une solution de y' - 2y = 0, on remplace y et y' dans l'équation et on vérifie si l'égalité est vérifiée.

Méthodes de Résolution

• Forme générale des solutions:
  • Pour y' = ay, les solutions sont de la forme Ce^(ax).
• Équations du type y' = y + b:
  • Solutions sous la forme: u(x) + v(x) où u est une solution particulière et v est la solution générale de y' = y.
  • La solution particulière est calculée comme -b/a.

Conclusion

• Les équations différentielles sont un domaine vaste avec différentes méthodes de résolution.
• L'importance des exercices et de la pratique pour maîtriser le sujet.