bonjour dans cette vidéo je te propose de voir tout le cours sur le chapitre des équations différentielles l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on commencera pas revoir la notion d'équations différentielles qu'est ce que c'est comment elle est définie puis on verra des équations différentielles particulière du type y prime égale à y/y prime égale à y plus b et enfin y prime égale à y plus f je rende pas plus dans les plus dans les détails pour l'instant on verra tout de suite ce que cela signifie en tous les cas pour préparer un contrôle ou un examen il te faudra également entraîné en faisant de nombreux exercices c'est vraiment très important pour ce chapitre il ne faut pas s'arrêter à ce cours je te conseille donc de cliquer sur le lien qui tend mènera vers une playlist où sont hébergés d'autres vidéos proposant de nombreux exercices encore en tout cas pour le court c'est parti alors avant de commencer ce qu'il faut savoir c'est que le champ des équations différentielles est extrêmement vaste il existe une multitude d'équations différentielles différentes et pour chacune tête chacune d'elles des méthodes de résolution différentes et on en connaît tous pleins mais nous cette année on va voir seulement une première approche de la notion d'équations différentielles on va pas aller très loin mais cela va déjà nous permettre de comprendre ce que c'est qu'une équation différentielle et les techniques de résolution qu'on dispose alors pas commençons déjà par définir une équation différentielle on sait ce que c'est qu'une équation une équation d'inconnus x et bien c'est une égalité dans laquelle j'ai un nombre inconnu que je cherche à déterminer alors une équation différentielle c'est beaucoup plus large que ça l'inconnu dans une équation différentielle n'est pas nécessairement un nombre c'est de façon plus générale une fonction voici quelques équations différentielles y prime égale de l'x est une équation différentielle deux y prime égale trois y plus un étude équations différentielles tout ça ce sont des équations différentielles ans qu'est-ce que cela signifie déjà on remarque on a dit y ait des y qui apparaissent quel est le statut de cette variable y est ce le même que celui de la variable x ici et bien non car en fait y n'est pas vraiment une variable y est en fait une fonction je lui dis juste avant la grande différence entre les équations classique et les équations différentielles c'est que pour une équation différentielle l'inconnu est une fonction ce qui fait que cet inconnu j'aurais pu la notte f ou l'écrire avec ce invariable f 2 x mais on a choisi par convention pourquoi pas après tout della notte y ce qui signifie que ici quand je vois y c'est en fait dû y 2x ici c'est à dire que là c'est vraiment une fonction qui dépend de x par exemple cette équation j'aurais pu la notte deux y primes de x égal 3 y 2x plus 5 c'est à dire deux fois la dérive et de ma fonction inconnue est égal à trois fois la fonction inconnu +5 je le répète le seul y de geeks y a le même statut que le f qu'on utilise habituellement pour nos fonctions c'est juste une convention donc ce qu'il faut bien comprendre ici c'est que ce y sont y prime ici ce n'est pas une variable classique comme on les avait avant avec les x c'est véritablement tout un mécanisme mathématiques qui se cache derrière et donc une fonction quand on regarde cette équation différentielle qui mélange d y ait des x c'est très important de comprendre parce que là ici j'ai bien dû y primes de x là j'ai dû y 2x donc derrière ceux-ci se cachent des fonctions alors que là j'ai juste ma variable x classique qu'on retrouve comme pour des équations habituels sauf que ce n'est pas x que je veux déterminer je le répète encore mille troisième fois les solutions d'une équation différentielle ou la solution d'une équation différentielle sa dépense est une fonction donc c'est bien y que je veux déterminée et qu'elle a compris maintenant quand on voit ici lui y prime eh bien il s'agit bien de la dérive les deux y c'est à dire que dans l'écriture de nattes équations différentielles apparaît la fonction y y y mais parfois également sa dérive et y primes y primes etc d'ailleurs même on pourrait aller plus loin en faisant apparaître dans une équation différentielle ce qui s'appelle sa dérivée seconde la dérivée de la dérive et hull a peut être déjà rencontré bien ça donnerait quelque chose comme ça y seconde égal 3 y ça c'est également une équation différentielle alors les équations différentielles ou c'est juste la dérive et qui apparaît on les appelle des équations différentielles du premier ordre les équations différentielles ou la dérivée seconde apparaît on les appelle des équations différentielles du second ordre et puis on peut monter comme ça bon on n'y est pas encore on va déjà s'attaquer à ce type de d'équations différentielles et on va voir que ça va déjà nous donner du grain à moudre alors ce que je propose pour bien rentrer dans le mécanisme parce que là pour l'instant on n'a pas encore tout dit on va juste un petit peu s'attarder sur cette équation différentielle alors pourquoi celle là bien tout simplement parce que pour résoudre cette équation différentielle on n'a pas besoin de voir la suite du court tu connais déjà la réponse elle est très simple la réponse regardons un peu on nous dit là qu'on a une fonction y est une fonction dont la dérive et est égal à 2 x c'est ça que traduit cette équation différentielle mais je connais une fonction dont la dérive est égal à 2 x on la travaille depuis longtemps c'est laquelle la fonction x au carré est bien la solution de cette équation et y 2x égal 1 x au carré alors j'ai écrit ici y 2x pour se rappeler que cette fonction dépens de x mais on va tout doucement se détacher de ce y de x ça va être yvette là de façon implicite c'est à dire que il est là mais on a le droit ne pas l'écrire et on peut écrire que tout simplement y est égale x au carré ça peut être un peu confus parce que du coup on sait pas qui la variable mais on se souvient comme je vais juste avant que y est une fonction donc ça c'est une fonction qui dépend de x et ça c'est le x donc écrire y 2x est égal pardon écrire y égale x au carré c'est pareil que quand on écrivait avant f 2 x et gallix au carré c'est exactement la même chose ce y est de la même nature que est de 8 donc voilà on a déjà la solution d'une équation différentielle mais on pourrait en trouver une autre de solutions parce qu'on va voir en fait que quand on résout une équation différentielle la plupart du temps on dit pas la solution mais l'ensemble des solutions il y en a tout plein oui on sait que quand on dérive une constante elle disparaît ce qui va dire que là derrière x au carré je pourrais très bien mettre par exemple +5 que se passe-t-il quand je dérive y ça va me faire y prime égale 2 x + 0 c'est-à-dire y prime égale deux hits autrement dit cette fonction-là y est gallic secret puis 5 est également solution de l'équation différentiel juste au dessus est bien dorée tout plein d'autres tu as bien compris qu'il y en aurait même une infinité top alors ce qu'on va voir tout de suite maintenant c'est comment vérifier qu'une fonction une fonction qu on t'aurait donné est effectivement solution d'une équation différentielle mais d'une équation différentielle peut-être un peu plus complexe que celle là c'est à dire une équation différentielle ou certainement on ne voit pas tout de suite la solution c'est la suivante alors voilà une équation différentielle qu'on va apprendre à résoudre tout de suite tout à l'heure là vous êtes livré sa solution gratuitement la question n'est pas déterminée l'ensemble des solutions de cette équation différentielle la question est prouvé que la fonction y égale exponentielle de 2x et bien solution de cette équation différentielle donc on fait le travail à l'envers un peu comme on le faisait pour les équations si par exemple je te donne une équation classique jeu par ixo carré plus 2x plus un égale à zéro prouve que x égal moins un est effectivement solution de cette équation bon bah tu remplaces x pas moins un et tu vérifies que ça donne effectivement 0 donc fait exactement la même chose seulement ici la solution c'est une fonction et donc qu'est ce qu'on va faire eh bien on va remplacer dans l'expression de l'équation différentiel la fonction qui disait qui nous est donné et on va regarder si effectivement cette expression vérifie bien notre équation c'est exactement le même principe c'est normal quelque part c'est une équation 1 alors allons-y eh bien on remplace y primes - 2 y y gagnent donc je vais m y prime ici c'est à dire la dérive et de exponentielle de deux états se rappelle de la dérive est exponentielle de cas x x ck fois exponentielle de caix ici caveau de ça nous donne deux exponentielle de 2 6 - 2 x y donc moins deux fois exponentielle de 2,6 bon bah ça va assez vite deux fois est cependant ciel de 2x moins deux fois exponentielle deuxième does it ça fait zéro eh bien on en conclut que y prit mois deux y est bien égale à zéro avec exponentielle de deux hits exponentielle de 12x et bien solution de notre équation mais attention c'est une solution il en existe peut-être d'autres la réponse est oui il en existe plein d'autres il en existe une infinité d'autres essais la suite du cours justement comment résoudre une équation du type y prime égale à y sens et qu'une ici y prime je fais passer le moins deux y de l'autre côté y prime égale 2 y donc là maintenant dans la suite du court on va voir comment déterminer l'ensemble des solutions d'une telle équation pas juste une mais toutes les solutions c'est parti alors comme je l'avais dit en introduction la résolution des équations différentielles s'appuie sur des méthodes des techniques d'été vrai protocole qui sont parfois longs et est même difficile est lourd mais qui ont l'avantagé de marché à tous les coups si on reconnaît la forme d'une équation différentielle et on colle et qu'on sait que pour cette forme là qui fait intervenir telles expressions telles fonctions on a ce protocole on est sûr que ça marche il suffit juste de l'appliquer alors nous cette année les protocoles vont être très raccourci je te rassure puisque on va voir des équations différentielles assez simple déjà donc du premier ordre avec seulement une dérive et premières et donc la plupart du temps ça se résume à une propriété ici donc on va s'attaquer aux équations différentielles du type y prime égale à y donc à c'est un nombre un nombre réel et on a directement et bien c'est pour ça j'ai dit le protocole est raccourci une propriété qui nous dit que l'ensemble des solutions d'une telle équation bien ce sont les fonctions de la forme c'est exponentiel de à x ou c est une constante réel quelconque alors c'est ce fameux c'est qui va nous permettre de générer en fait toutes les solutions appliquons cette propriété à notre équation différentielle de tout à l'heure qui était donc y prime égale 2 y donc on retrouve bien notre équation tout alors j'avais écrit y prit -2 y égal à zéro donc y meygal deux y sous cette forme là on reconnaît directement la forme donnée par la propriété et la propriété nous dit que dans ce cas là est bien la forme générale des solutions et ce2 ax ici à vos deux donc c'est à eux de 2,6 alors ceux ci se sont tous les y qui marche on va les noter y ces 2 x c'est donc la fonction y qui dépend de geeks variable x je mets ici un petit c'est en indice pour bien me faire rappeler que la gelée j'ai les solutions sous leur forme générale qu'est ce que ça signifie eh bien ça signifie que je peux prendre n'importe quelle valeur de ses réels 2,4 un tiers - racines de deux pays peu importe je le mets ici je prends cette expression avec n'importe quelle valeur de ces que tu choisiras ça marche cette expression sera solution on a donc bien ici un ensemble de solutions et cet ensemble de solutions s'écrit par toutes les fonctions de la forme ce2 2x mais parfois dans certains exercices on y dit oui c'est bien là tu as la forme générale de toutes les solutions mais moi j'aimerais avoir une solution telle qu'on est une condition particulière et cette condition particulière elle est définie à l'aide d'un nombre et de son image par la fonction y on nous dit par exemple y prime égale 2 y est on sait que y21 est égal à 2 alors là ça change tout parce que avec cette condition on va pouvoir déterminer notre c est donc on va pouvoir obtenir une solution une fonction solution unique comment faire ilyas y21 égale à 2 je connais l'expression de y elle est ici ce2 2x ya ça veut dire que ici je remplace x par un y21 ça nous fait donc ce2 deux fois 1 et se y21 vaut deux donc ceci ça fait deux qu'est ce que je vois la joie du coup une mini équation dont l'un connu cesser ce qui fait je vais pouvoir déterminer ses allons-y ça fait donc ce2 deux égale à 2 et donc c est égal à 2 e 2 - 2 ici en fait j'ai fait passer le quart et de l'autre côté qui devient un sur carré 1 sur carré ça fait 2 2 - 2 et bien voilà on à neutre c'est à partir de là on va pouvoir remplacé ici par notre valeur de ces ça me donne quoi eh bien on va l'appeler y tout court ici cette fonction soit y 2x égal à je remplace c'est pas 2 - 2 voilà et ça donc x e 2 2x et là on voit qu'on se trouve dans un cas particulier ce qui fait qu'on trouve une solution particulière cette solution là elle est unique ici c'est une fonction d'une variable simplement x ici 2 2 - 2 c'est un nombre que je multiplie par eux de 2,6 alors on aurait pu ici par cohérence noté y ait en indices ici puisque la en avc m 2 de moins 2 on peut le faire c'est un petit peu lourd parce que 2 2 - 2 c'est quand même un une expression qui est pas simple voilà donc pour un premier exemple d'équations différentielles avant de passer à un deuxième exemple juste proposer une petite propriété qui sert pas tous les jours mais qui est assez simple à comprendre c'est que si jamais on a deux solutions deux fonctions solution d'une équation différentielle du type y prime égale à y est bien il se trouve que la somme de ces deux solutions est également solution de notre équation différentielle et que le produit d'une des solutions par un réel est également solution si on le lit ça nous dit ça nous donne si elle fait j'ai sont deux solutions d'une équation différentielle du type y prime est égal à y est bien dans ce cas-là f + g et k fois f avec carey elle est également fin sont également solution de la même équation différentielle on poursuit maintenant avec un autre type d'équations différentielles on va donc s'attaquer aux équations différentielles du type y prime égale à y plus b bon bah par rapport à tout à l'heure qu'est ce qui change j'ai plus b alors juste pour info pour ta culture ce type d'équations s'appelle des équations différentielles linéaire du premier ordre on se souvient du premier rang c'est parce que c'est des dérivés simple à coefficient constants les a et b ici sont des nombres des nombres réels constants mais il existe des équations différentielles ou a et b sont des fonctions c'est dû à 2 x et b de x ça complique encore notre affaire on n'y est pas alors comment résoudre une équation différentielle de ce type c'est un tout petit peu plus compliqué qu'avant mais je te rassure ça va quand même le principe va être le suivant on va s'appuyer sur cette propriété qui nous dit alors pour l'instant je n'ai pas afficher encore intégralement que les solutions l'ensemble des solutions la forme générale des solutions d'une telle équation sont du type u 2 x + v2x voilà en quelque sorte là j'ai déjà résumé la forme générale de mes solutions problème c'est que j'ai rien dit parce que j'ai pas dit ce que c'était jugez pas dit ce que ctv mais on a bien compris que la forme générale des solutions d'une équation de ce type là c'est la somme de deux fonctions u2 x et v2x alors qu'est ce que c'est que tu es bien lu c'est une solution particulière de l'équation y prime égale à y plus b donc c'est une solution parmi tant d'autres mais une solution donc c'est pour ça qu'on dit une solution particulière constante ah ça c'est intéressant c'est une information ça veut dire que cette solution c'est un nombre réel constants ça bouge pas y'a pas de x dans cette solution particulière alors calé cette solution particulière eh bien elle fait partie du protocole et a été livré cette solution particulière c'est la première propriété elle est sous la forme - b / a et voilà c'est gratuit c'est sympa on te dit que finalement notre fonction u2 xnote solutions particulières et de la forme - b / a donc je l'écris ici - be sure a donc on comprend bien que c'est juste un tout petit calcul on va récupérer les valeurs de a et b qui nous seront données en vrac on valoir tout de suite sur un exemple et je calcule - b / a et v alors qu'est ce que c'est que fait et bien v est une solution quelconque de l'équation y prime égale à y c'est à dire c'est en fait l'ensemble des solutions la forme générale d'une solution de notre équation y prime égale à y de tout à l'heure mais on connaît ça on l'a déjà fait on sait sous quelle forme c'est créer une telle solution c'est sous la forme ce2 ax je récupère tout simplement la propriété d'avant donc ce qui signifie que ici je le met quoi eh bien je vais mettre mon ce2 ax et à yves aucoin je le récupère est également là dans l'expression d'entrée de mon équation différentielle toujours avec ses qui est un nombre quelconque réel et qui fait que j'aurai donc plein de solutions et bien voilà là j'ai en fait écrit l'ensemble des solutions d'une équation différentielle du type y prime égale à y puisent b donc j'ai envie dégâts deux propriétés l'une dans l'autre lune qui définit un peu mieux l'autre mais je crois qu'on peut se souvenir du principe c'est que une équation du type y prime égale à y plus b à des solutions qui sont sous la forme eu 2 x + v2x la somme de deux fonctions l'une c'est la solution particulière constante de y prime égale à y plus b on la connaît c'est moins b / à l'autre eh bien c'est la vente générale 2 notre équation sans le b qui s'écrit sous la forme ce2a x alors ceci bien évidemment ça se démontre ça fait pas l'objet de cette vidéo ici il ya déjà pas mal de choses mais ça se démontre il c'est pas des essais d'ailleurs pas très compliqué a démontré en tout cas là ici pour l'instant on accepte on l'admet et on a tout de suite l'appliquer avec une équation y prime égale 2 y plus tard c'est un exemple très simple là encore on va aller très vite sur la rédaction je t'invite encore une fois à visionner les autres vidéos qui concerne les équations différentielles donc qu'est ce qu'on sait bas on sait que du coup à vos deux bébés vaut 4 ce qui veut dire que là je peux remplacer départ 4 et à part 2 est ici et bien à vos deux baies vocal je peux remplacer à part 2 bon bah voilà notre affaire est réglée on l'a notre ensemble solution ce sont donc toutes les fonctions du type y ces 2 x égal à moins quatre demies puces et ce2 2x on va l'écrire un tout petit peu plus simplement on va mettre l'expression exponentielle devant s'affaisser eux 2x moins qu'à demi ça fait moins deux donc moins deux avec ses constantes réel toutes les fonctions du type ce2 2x moins de vérifie cette équation tu as un doute c'est simple tu dérive ton expression tu remplaces ici tu verras que c'est fait la même chose que deux fois l'expression de départ + 4 et on arrive donc au dernier type d'équations différentielles qu'il faudra savoir résoudre les équations différentielles du type y prime égale à y pcf alors qu'est-ce que cela signifie tu te rappelles sans doute j'avais dit tout à l'heure il ya cinq petites minutes que notre a et b sont des réelles des nombres réels et qu' il existe parfois des équations différentielles ou a et b peuvent être des fonctions à 2x et bmx alors on ne va pas étudié une équation différentielle ou a et b sont des fonctions mais on va quand même en étudier un type ce sont les équations différentielles où notre b est une fonction du coût comme b est une fonction je l'écris f notre b voilà pour que pour pas que j'étais de confusion entre un nombre réel est une fonction on remplace donc b par la lettre f on a donc bien ici y prime est égal à y à une constante réel f une fonction qui varient eh bien on a là encore un protocole un peu tout fait pour résoudre ce type d'équations mais c'est un peu plus compliqué si on nous fait pas cadeau de quelque chose que je vais te dire tout de suite déjà l'ensemble de ceux des solutions s'écrit comme tout à l'heure sous la forme eu 2 x + v2x la somme donc de deux fonctions uc quoi et bien eu c'est à nouveau une solution particulière de mon équation y prime égale à y plus f et wc quoi le maintien wc de nouveau une solution quelconque de l'équation y prime égale à y c'est très sympa finalement c'est exactement comme tout à l'heure sauf que il ya une toute petite différence regarde bien pour lui il est écrit solution particulière de l'équation avant il était écrit solutions particulières constante et oui car la u n'est pas nécessairement une fonction constante ça peut être une fonction variable et c'est là que ça change car cette fonction là elle est pas si simple que ça à déterminer mais je te rassure cette année cette fonction-là te sera donné c'est à dire que la question va se faire dans l'autre sens on va pas te dire déterminer eu et on va te dire tiens voilà le eu est ce que tu pourrais vérifier que ce une convient bien et que ce u est effectivement une solution particulière alors qu'est ce que ça donne concrètement on va le voir sur un exemple sans rentrer dans les détails parce que ça fait l'objet d'une autre vidéo que je t'invite à visionner donc je vais pas refaire deux fois la même chose mais je veux juste ici temps d'expliquer le principe voilà donc notre équation y prime égale 2 y y puis 6 au carré on a bien autre à qui est une constante est ici notre f qui est une fonction une variable alors les solutions s'écrivent sous la forme du 2x plus v2x comme tout à l'heure on va écrire voilà donc là j'ai déjà la structure de mes solutions maintenant qu'est ce qu'on va mettre ici pour u2 x qu'est ce qu'on va mettre ici pour v8 alors comme je lis di u 2 x sera donné dans l'énoncé et on va te dire voilà la fonction eu qui est définie par - 1/2 de xo carré - à deux amis du xe - 1/4 prouve que cette fonction est une solution particulière de l'équation différentiel c'est à dire qu on en revient au tout début de la vidéo où on avait simplement vérifier que ça marche et c'est à dire que la fonction vérifie l'expression de notre équation alors comment je vais faire pour le vérifier que notre hub convient eh bien on va vérifier que ceux ci fonctionnent avec lui alors je le répète je ne vais pas le faire j'explique comment le faire et bien on va commencer par calcul et la dérive et le u u primes de x j'y vais je dérive et je vais calculé de u2 x + x au carré 2 unix aix aucun jeu remplace donc je prends au jeu multiplie par deux je rajoute x au carré eh bien tu as compris que normalement quand on a fini on doit trouver la même chose et vu qu'on va trouver la même chose on pourra donc en déduire que notre hub vérifie bien notre équation c'est donc bien une solution particulière et donc c'est bien lui qui convient et 9 et alors c'est quoi notre v m à 9 essais comme tout à l'heure v reste une solution quelconque de l'équation y prime égale de y est l'ensemble des solutions de ce type là on sait le faire maintenant on l'a déjà rencontré plusieurs fois cce de 1x avec active aux deux donc c'est eux 2 2x avec notre c'est toujours qui est une constante réunion et bien voilà on en a fini ça ici c'est l'ensemble des solutions c'est la forme générale des solutions d'une équation de ce type là donc je le répète en fin de compte ce type d'équations et pas trop difficile cette année tant qu'on nous donne ici la solution particulière qu'il faut juste vérifier parce que pour l'autre c'est vite fait après quand on aura à déterminer ces solutions particulières ça sera un autre travail mais on n'y est pas encore en attendant pour nous cette séquence est terminée