Hello बच्चो, आज हम Projectile Motion का Complete Explanation लेके आए हैं इसके पहले अगर आपने Motion Under Gravity या मेरे Motion In A Straight Line Kinematics की वीडियो नहीं देखे हैं तो Kinematics Physics वाला सर्च कर लीजे, Motion In A Straight Line Physics वाला YouTube पे सर्च कर लीजे और अगर देखे हैं, तो Welcome, Very Good Morning, हम स्टार्ट कर रहे हैं आज Projectile Motion, ठीक है तो बच्चों, projectile motion, I don't know आपकी book में क्या लिखा है, और internet पे जगे जगे क्या बता रहे हैं, जो actual meaning है projectile motion की, उसका मतलब होता है motion under gravity, जो actual meaning है, जो word से meaning निकलती है, वो है motion under gravity, मतलब gravity के presence में जो motion होता है, जैसे हम ball को perfect नहीं चाहती, पर हमारे syllabus में या हमारी किताबों में ज यह ना सब ने देखा होगा कि जैसे स्कूल में हम बॉल से कैच कैच खिलते थे ऐसे बॉल को फेकते थे बॉल ऐसी आज हम फुटबॉल को या तो हम किक करें तो फुटबॉल ऐसे ऐसे रोल करते हुए इधर आती है मतलब हमारे syllabus में जो projectile motion की बात की है वो motion in a plane में है क्या होता है sir motion in a plane बच्चो plane एक ऐसी figure है जो दो dimensional होती है जैसे ये board ये plane है ये x direction में भी है और y में भी है अभी तक आप पढ़ ले थे, motion इन a straight line, मतलब एक single line में motion था, या तो ऐसे चल रहा था, या तो उपर चल रहा था, एक straight line में motion था, अभी motion plane में आ गया है, मतलब दो dimensional में, जैसे इस ball को देखो, ये ball लगातार उपर भी जा रही, और लगातार आगे भी जा रही, यहां से यहा मतलब motion एक्स में भी हुआ है और बाई में भी हुआ है इसको motion in a plane या motion in two dimension कहते हैं और projectile motion हमारे syllabus में जो है वो motion in two dimension का example है ये जो figure बनी है ये सबसे basic तरह का projectile motion है जब हम ball को ground से ही फेकते हैं और ball ground पे ही लोटाते हैं और भी कई तरह के projectile motion हमें आगे देखने हैं बट this is the most basic form और यही से हम स्टार्ट करेंगे तो बच्चों, जैसा हमने आपको बता दिया कि projectile motion 2 dimension का motion है, कितने dimension का है? 2 dimension का है, तो बच्चों, 2 dimension के motion को tackle करने का जो सबसे easy way है, पहले मैं वो बताऊंगा, फिर vector भी बताऊंगा, ठीक है, vector में कैसे deal करते हैं, पहले सबसे easy way देखो, आपना इस motion को, इस motion को 2 dimension में divide कर लो, यह motion देखो x में भी है और y में भी, तो इस पूरे motion को हम दो direction में divide करेंगे, माल लेते हैं हमने ball को यहां से फेका है with speed u, इसकी initial speed u है, और इसकी initial speed के हमें दो component देखने होंगे, जैसे माल लो यहां पे theta angle पे फेका, तो बच्चों इसको हम बोलते हैं angle of projection, कितने angle पे project किया है, एक x में और एक y में बच्चों जिदर angle θीटा होता है उधर component आता है cos θीटा और उसके perpendicular में component आता है u sin θीटा ये मैंने आपको vector के वीडियो पर बहुत बार समझाया कि अगर ये u है ये angle θीटा तो इस तरफ आएगा u cos θीटा और इसके perpendicular में u sin θीटा बच्चों ये इसकी speed हो गई किस direction में x direction में तो मैंने बोल दिया initial velocity in x direction और ये इसकी speed हो गई y direction में तो initial velocity in y direction में तो आपको ये समझना जरूरी था कि एक speed x direction में होगी एक y में अब x और y में कैसा कैसा motion हो रहा और बात करते हैं कि x और y में कैसा कैसा motion हो रहा तो x direction में initial velocity है u cos theta और y direction में initial velocity है u sin theta बच्चा ये जब ball आगे बढ़ेगी या ऐसे आगे बढ़ेगी ऐसे आगे बढ़ेगी तो इसके इस आगे वाले motion को oppose करने वाला या support करने वाला कोई exploration नहीं है अगर आप बोलोगे यहाँ पे exploration कौन सा है तो exploration यहाँ पे नीचे की तरफ लगता हुआ जी है exploration due to gravity क्या exploration due to gravity x direction में act करता है बिलकुल नहीं करता मतलब मैं यह कह रहा हूँ इसके पूरे motion में x direction में कोई exploration नहीं है मतलब exploration in x direction कितना है बच्चों? जीरो exploration जो भी है वो y direction में है और y direction में कौन सा exploration है?
जी किस तरफ है? नीचे की तरफ तो मैंने बोल दिया minus g तो हम लिखेंगे exploration in x direction is zero एन एक्स्क्लेरेशन वाइड डिरेक्शन है माइनस जी एन एट विल बी ऑलवेज माइनस जी जैसे यहाँ पर जी किदर लगेगा नीचे यहाँ पर जी किदर लगेगा नीचे यहाँ पर जी किदर लगेगा नीचे तो जी विल ऑलवेज एक डाउनवर्ड्स तो इस प्रोजेक्टाइल मोशन में एक ही एक्स्क्लेरेशन है जो वाइड डिरेक्शन में ठीक है अब बच्चों मान लो किसी मोशन में एक्स्क्लेरेशन ना हो तो विलोसिटी के साथ क exploration is the rate of change in velocity यानि x direction में कोई exploration नहीं है तो हम ये बोल सकते हैं कि x direction की जो velocity है वो पूरे रास्ते कैसी रहेगी constant रहेगी x direction की velocity change नहीं होगी जैसे मालो u cos theta की value 4i तो वो value पूरे रास्ते 4 रहेगी यहाँ पे before यहाँ पे before यहाँ और यहाँ भी 4 क्योंकि x direction को oppose या support करने वाला कोई exploration नहीं मतलब हम यह समझते हैं कि projectile motion में जो x direction की velocity है it will remain constant y direction की velocity की बारें बच्चों क्या सोचते हो अब यह ball मान लो उपर जा रही initially 3 से ऐसी मान लिया 3 meter per second से तो gravity इसकी speed को कम करेगा नहीं ना यहां आते आते इसकी speed मालनो 2.5 हो गई, यहां आते आते 1 हो गई, और यहां आके इसकी speed 0 हो गई, कौन सी speed 0 होई, सिर्फ y वाली, x वाली 0 नहीं, सिर्फ कौन सी y वाली, तब ही तो यहां पे आके इसने उपर जाना बंद कर दिया, मतलब इस point पे इसकी एक speed 0 हो गई, कौन सी velocity in y direction becomes 0, and velocity in x direction is still what it was in the beginning, शुरुवात में जितनी थी उतनी ही रहेगी क्योंकि वो change नहीं है यानि y की velocity धीमे धीमे धीमे धीमे कम होते हुए इस point पे पहुँचके सबसे उपर पहुँचकर 0 होती है अगर ये 0 नहीं होती तो particle और उपर जाता पर क्योंकि y की velocity 0 हो गई तो particle ने उपर जाना बंद कर दिया अब gravity उसे खीच के नीचे लाएगी तो यहाँ y की velocity 0 हुई अब यहाँ पे बंद हो गई अब gravity ने और खीचा यहाँ 2 हो गई और यहाँ आते आते वापस 3 हो गई तो जिससे फेका था वापस आके वही velocity होगी मतलब y की velocity घटती जाएगी देखो y की velocity घटती जा रही यहाँ पे velocity 3 है यहाँ पे मालो 2 हो गई यहाँ पे आके 1 हो गई यहाँ आके 0 फिर बढ़ना start की नीचे की तरफ हो जाएगी अब तो y की 1 हुई, 2 हुई और यहाँ आके वापस 3 हो गई तो y direction की velocity की बात करें तो first it decreases फिर at maximum height यह जो जगा है maximum height दिख रही है height सबसे ज़्यादा velocity in y direction becomes 0 and after that after that it increases यहां से यहां decrease की फिर यहां से यहां increase तो हमने आपको एक थोड़ा सा analyze करके बताया कि motion में क्या होगा जो x की velocity होगी वो लगातार constant रहेगी और जो y की velocity है वो शुरू में घटते घटते घटते 0 होगी फिर बढ़ते बढ़ते बढ़ते वापस वही value ले लेगी जिससे हमने फेका था because of conservation of energy. हमने यहाँ पर यह माना है कि कोई air resistance नहीं है, कोई friction नहीं है, कोई और object नहीं है.
तो बच्चों इतनी बात हमेशा दिमाग में रखनी है कि x direction की velocity constant होती है और y direction की velocity increase और decrease फिर increase करती है. एक बात और ध्यान रखना कि इस जगह पर क्या हुआ है? आपका क्लास का टीचर, आपका कोचिंग का टीचर ये सवाल जरूर पूछता है कि इस जगह पर क्या हुआ है?
क्या इस जगह पे बॉडी की स्पीड जीरो है? Answer me, answer me नहीं, इस जगह पे बॉडी की वर्टिकल स्पीड, वाई डिरेक्शन वाली स्पीड जीरो है एक्स वाली तो अभी भी वही है जो शुरू में थी इस जगह पे बॉडी की स्पीड जीरो होती है तो ये मैंने आपको basic बताया, अब projectile motion में कुछ special formulae होते हैं, और उनकी हम derivation भी सीखेंगे, क्या special formulae होते हैं, क्या special terms होते हैं, आएए बात करें, जैसे मान लो ये projectile motion है, यहां से फेका, यहां पहुची ball, फिर यहां ball, stone, कुछ भी, बच्चो एक term होता है कि यहां से यहां क इसमें कितना time लगा ठीक दूसरा होता है बच्चों maximum height maximum height vertical direction में maximum कितना उपर गया देखो इतना उपर इतना उपर इतना उपर और यहाँ पर देखो maximum height है इसके बाद height तो इसको हम बोलते हैं H max या H से denote करते हैं अगली चीज़ होती है बच्चों horizontal range इसको बोलते हैं R यह क्या है यह है कि X direction में horizontal direction में यह कितना दूर गया यह चीज़ X direction में कितना travel किया इसको हम बोलते हैं R horizontal range इसको बोलते हैं maximum height और जो time लगा उसको बोलते हैं T तो आईए सबसे पहले स्टार्ट करते हैं डिस्कस करना time of flight को time of flight निकालेंगे हम ठीक है तो हमको expression निकालना है time of flight का तो पहले तो इसको note करके यादी कर लो 2u sine theta बराबर g ठीक है तो पहले तो इसको याद कर लो 2u sine theta बराबर g time of flight note कर लो 2u sine theta बराबर g वह यू इस इनिशियल विलोसिटी theta इस एंग्ल आफ प्रोजेक्शन एंड जी इस एक्सप्लेशन ड्यूटू ग्राविटी अब आइए देखिए हम कैसे निकाले हम एक काम करते हैं कि हम मोशन को कंसिडर करते हैं मोशन कंसिडर इन वाइ डायरेक्शन चीज के एक बार में कोई एक मोशन लेना तभी मजा आएगा मोशन को कंसिडर करते हैं किस डायरेक्शन में वाइ और इस पॉइंट को मैं बोल देता हूं ए इसको बोल दिया बी इसको बोल दिया सी और हम मोशन कंसिडर करते हैं एसे बी तक अब A से B तक में मुझे यह बताओ, Y direction की initial velocity क्या होगी? तो बच्चों, इस तरफ velocity आएगी U cos theta, और इस तरफ आएगी U sin theta.
तो Y direction में initial velocity कितनी है? U sin theta. फिर मैं पूछूं, exploration Y direction का कितना है?
Y direction में कितना exploration है? एक ही exploration है G, जो कि Y में लग रहा. तो मैंने लिखा minus G. क्योंकि escalation के दार लग रहा नीचे motion कहां से कहा है? a से b फिर मैं पूछा final velocity in y direction क्या होगी?
final velocity मतलब b point पे तो b point पे आप देख रहे हो कि y वाली velocity कितनी हो जा रही? 0 यहां आकर y की velocity 0 तब ही तो और उपर नहीं गया क्योंकि y वाली velocity 0 और x वाली तो वही रहेगी जो शुरू में थी तो final velocity हो गई 0 अब यहां से यहां कितना time लगा? let that time be t अब हम apply करते हैं equation of motion under uniform acceleration क्योंकि acceleration तो uniform है constant है so v is equals to u plus a t apply किया y direction में a से b final velocity 0 initial velocity u sine theta acceleration minus g और time को लिखा t यह दर गया g t और t is equals to आ जाएगा u sine theta बराबर g यह g t इधर जाएगा फिर t is equals to 2 years sorry u sine theta बराबर g तो यहां से यहां तक time लगा, u sine theta बराबर g, अब जितने time में यह उपर जाएगा, उतने time में निचे आएगा, मतलब अगर यह वाला time t है, तो यह वाला time भी कितना होगा, t, तो हम बोलेंगे total time, यह जिसको हम बोलते है, time of flight capital t, वो 2 t के बराबर होगा, which will be 2u sine theta, divide by g, तो simple सी derivation थी, क्लियर हो गया होगा, बहुत असान है, मैंने बोला motion को किस में consider करो, y में, यहाँ पर initial velocity u sine theta, final velocity इस जगह पर 0, कहां से कहां consider करो, a से b consider करो, इस जगह को किस में, minus g y direction, time नहीं पता, v is equal to u plus 80 लगाया, t की value आई, जितने time में उपर गया, उतने time में नीचे, तो total time हो गया, 2t, 2u sine theta by g, बच्चों, इसे चीज को derive करने का एक और तरीका है, derive कर सकते हैं, y direction का ही motion लेकर, वाइड डिरेक्शन का ही मोशन लेकर पर एसे सी तक देखकर एसे बी की चगा एसे सी एक बार में आप मुझे बताओ इनिशल विलोसिटी इन वाइड डिरेक्शन कितनी है यू साइन थीटा है उपर की तरफ है तो प्लस एस्कलरेशन इन वाइड डिरेक्शन कितना है माइनस मैं बोलू टाइम कितना लगा तो मैंने टाइम को बोला capital D पूरी जर्नी में जो टाइम लगा उसको बोल दिया capital T अब जो मैं question बोलूंगा उसका answer सोच के देना displacement in y direction कितना है बच्चों यहां से यहां तक में y direction में कितना displacement है यहां से यहां तक में y direction में कितना है भाई वाई में ये वाई में ये कहा पे था इस जगे पे था उपर गया उपर गया उपर गया फिर नीचे आया नीचे आया नीचे आया वापस वाई में तो वही पहुँच गया अगर वाई एक्सिस पे देखो तो ये बिलकुल नही डिस्प्लेसमेंट वो किसमें है?
एक्स में. यहाँ का जो वाई कॉर्डिनेट होगा वो यहाँ का होगा? बाई वाई में जितना उपर गया उतना ही तो लट के नीचे आ गया. मतलब वाई में बिलकुल मूव नहीं कहा.
यहाँ से और यहाँ पर देखो उपर है ये पॉइं� टाइम को बोला capital T plus half, एक इतना है minus G into T square, ठीक है, यहां से मैं क्याम करता हूँ, T common हो जाएगा, तो बचेगा U sine theta minus GT बराबर 2, अब इसके दो solution बढ़ेंगे बच्चों, या तो ये term 0 हो, या तो ये term 0 हो, तो ये term 0 मतलब time 0 हो, तो इसकी तो कोई मिनग नहीं हुई. अब दो solution बन सकते हैं या तो T0 हो तो T0 का मतलब तो initial यही वाला answer आ रहा है तब भी तो displacement in Y0 था equation of motion अपना answer दे रही है वो कह रही है displacement Y में 0 यहाँ पर भी है और दूसरा answer यह रहा जब U sine theta minus GT बराबर 2 कितना हो 0 इधर से GT बराबर 2 इधर लाए U sine theta is equals to GT बराबर 2 यहाँ से T क 2U sine theta बराबर G तो आप ऐसे derive करो या वैसे derive करो conceptually दोनों सही है इसका concept समझ में आया A से C ले लिया और Y direction का motion देखा तो A से C में displacement कितना है Y में 0 initial velocity U sine theta acceleration minus G और time को T S is equal to UT plus half KT square लगाया और आ गया तो हमने पहला term पढ़ लिया time of flight 2u sin theta बराबर g और derive करने का तरीका भी देखा और ये भी समझा कि जितने time में उपर जाता है उतने time में नीचे आता है ठीक है तो मैं यहाँ side में time of flight का formula लिख लेता हूँ 2u sin theta बराबर g बाद में तो concept बहुत बढ़िया बनेगा अब बच्चों बात करते हैं maximum height की maximum height और ये maximum height किस direction में है सबको दिख रहा है y direction में है तो हम y direction का ही motion consider करेंगे और y direction का motion consider कर लो a से b का क्योंकि maximum height कहाँ पर पहुँच रही है b पे अच्छा what is the initial velocity in y direction तो u sine theta क्योंकि a से b चल रहा हो तो a initial point what is the final velocity in y direction यहाँ पर आके y की velocity कितनी हो गई है zero पक दिया exploration in y direction कितना है बच्चो minus g और यहाँ से यहाँ displacement कितना है y में ठीक है यहां से यहां y में कितना displacement है तो हमने बोला इसको h बोल दे यहां पे y 0 है यहां पे y h है तो displacement in y direction is equals to हम लिख सकते हैं h y में कितना उपर गया है h उपर गया है इसके बाद आप apply कर दो v square is equals to u square plus 2as v 0 का square u u sine theta का whole square plus 2 x a कितना है minus g, s कितना है h, यह 2gh इधर गया, तो 2gh is equals to u sine theta का whole square, मतलब u square sine square theta, यहां से h की value u square sine square theta divided by 2g, तो maximum height का expression क्या आएगा, u square sine square theta divided by 2g, अब आपको कोई initial velocity देगा, कोई angle बताएगा, आपसे पूछेगा maximum height कितनी है, तो आप खटाक से formula से बता सकते हैं, यह नहीं कि solve किया, आपको उसने initial velocity बताया, आपको angle theta बताया, आपने height निकाल दी, so the maximum height, h max या h ही लिख देते हैं कई बार, u square sine square theta divided by 2g, ठीक है, उपर देख तो दो formula आपको मिल गए और meaning भी समझ में आ गई, एक हमारा time of flight का, एक maximum height का, ठीक है, maximum height में क्या लिया हमने, a से b का motion लिया, और y direction में consider किया, initial velocity u sine theta, यहाँ पे आके y वाली velocity 0, बार बार बोल रहा हूँ इसको याद रखो, यहाँ पे पूरी velocity 0 नहीं, y वाली 0, एस्कलेशन पूरे रास्ते minus g, और displacement यहाँ से यहाँ, y में माना h, x की बात नहीं कर रहे हैं, वी आली equation लगा दी, और solve करके answer आया u square sin square theta बराबर 2g तो इनको note जरूर करें अब शुरू में अब बच्चों आखरी term को हम derive करेंगे that is our horizontal range r ठीक है तो हमारा आखरी term है horizontal range R, अब बच्चों R का formula मैं पहले आपको बता देता हूँ, R का formula है U square sin 2 theta बराबर G, U square sin 2 theta बराबर G, यह इसको आप ऐसे भी लिख सकते हो, U square 2 sin theta cos theta बराबर G, ठीक है, दोनों ही formula सही है, यह sin 2 theta क्या होता है, 2 sin theta, x cos theta, sin 2 theta का formula क्या होता है, 2 sin theta x cos theta, आएए, इसको derive करने के लिए बच्चों, जो हम motion consider करेंगे, वो x direction का motion consider करेंगे, क्यों sir, क्योंकि आप देख रहे हो, horizontal range किस direction में है, x direction में ही है, तो हम x direction का motion consider करने जा रहे है, इनीशल velocity in x direction कितनी है बच्चों, u cos theta, x में initial velocity, यू कॉस्ट थीटा एक्सप्लेशन एक्स डिरेक्शन कितना है बच्चों सबने बोला जीरो क्योंकि जो भी एक्सप्लेशन है वह वहीं डिस्प्लेसमेंट एक्स में कितना है कहां से कहां देख रहे एसे लेकर सी तक एसे लेकर सी तक पूरा मोशन कंसिडर कर है तो डिस्प्लेसमेंट एक्स में कितना है इसी को तो हमने आर बोला है यह जो डिस्टेंस है इसी को हमने आर है टाइम बच्चों कितना लगा है यहां से यहां तक में टाइम कितना लगा है टाइम ऑफ फ्लाइट के बाराबर तो time किसके equal हो गया, टी के, अब आप apply कर दो, s is equals to ut plus half 80 square, s हमारा r, u है u cos theta, और t क्या है, time of flight, यहां से यहां कितना time लगा, time of flight के बराबर, तो इस value को, time of flight की value को t की जगह put कर देंगे, 2u sin theta बराबर g, plus half, और एस्क्लेडेशन की वैलू 0, तो इसको तो लिखने का कोई मतलब नहीं, 0 हो गया, तो रेंज हमारी आ गई बच्चों, u2 2 sin theta cos theta बराबर g, यही हमको लानी थी, u2 2 sin theta cos theta बराबर g, और 2 sin theta cos theta क्या होता है, sin 2 theta होता है, 2 sin theta cos theta क्या होता है, sin 2 theta, तो इसी को हम लिख सकते हैं, u sin2 theta बराबर g तो formulas बहुत धेर सा रहे हैं थोड़ा बहुत याद करेंगे दीमे दीमे याद हो जाएगा एक paper पे इसको लिखना पड़ेगा याद करना पड़ेगा तो range आ रही है u square sin2 theta बराबर g और derive कैसे किया motion consider किया x direction में a से c तक initial velocity x में u cos theta acceleration x में 0 displacement x में range के बराबर और time कितना लगा time of flight के बराबर ठीक है बच्चों तो सबसे पहले आप इन तीन formulas को लिखें, इनको याद करें, इन में difference समझें, रट जाना चाहिए आपको ये formula, तो एक बार pause करके इस formula को try करें, ठीक है, एक बार याद करें, क्या क्या formula हमारा T, time of flight का, maximum height का, और range का, इसका formula क्या है, 2u sin theta बराबर g, height का formula क्या है, u square sin square theta बरा� यू स्क्वेर साइन टू थीटा बराबर जी तो हम लोगों कैसे याद हुआ यह निमेरिकल लगाकर और बार-बार रिवाइस करके तो इसे कुछ बेसिक निमेरिकल लगा लो और फॉर्मलेस को लिख लो जबकि मैं आपको बता रहा हूं आगे बिना फॉर्मले के भी फॉर्मले बेसिक विशेष आते हैं एग्जाम में यह से हमसे बोला अब बॉल इस थ्रोन अ इस थ्रोन विद फाइव मीटर पर सेकंड एक्ट एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन एक एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन 37 डिग्री फाइंड टाइम फ्लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज तो अब यह नहीं कि पूरा डाइग्राम तो फॉर्मला एक खटाक से लगा देते हैं टाइम का फॉर्मला बोलो तू यू साइन थीटा बराबर जी और जी की value उन्होंने हमसे बोली कि 10 ले लीजिए आप 10 meter per second square मैं 10 video में इसलिए लेता हूँ काई calculation easy रहे हैं आई तो 2 into you कितना है 5 sign 37 divide by 10, 2 5s are 10, 2 5s are 10, cancel हो गया sign 37 तो बच्चो 37 वाला triangle मैंने आपको बहुत बार-बार बना कि नहीं कहा या यह होता है जब यह 37 degree होता है तो यहां पर 3 यहां पर 4 यहां फाइब होता है दो ट्रैंगल फेमस है बार-बार में हर वीडियो में दिखा रहा हूं आपको 153 डिग्री का इसमें सामने होता है फोर यहां पर थ्री यहां पर फाइब राइट एंग्ल ट्रैंगल है 345 वाला अब साइन 37 की वैल्यू यहां स��� बोलो क्या होगी थ्री बटे फाइब हो जाएगी परपेंडिकुलर अपन है प्रियस थ्री बटे फाइब तो यह आपका टाइम आ गया यानी 0.6 सेकंड्स हाइट पूछिए बच्चों तो हाइट इज इक्वल्स टो यू स्क्वेयर साइन स्क्वेयर थीटा बराबर टू जी यू कितना है 5 का square, sin 37 का square, divided by 2, into g की value 10, तो 25, sin 37 का square, यानि 3 by 5 into 3 by 5, divided by 2 into 10, 5 5s are 25 cancel, 9 बटे 20 is the maximum height. लास्ट पार्ट में क्या पूछा है आपसे रेंज, u square sine 2 theta by g, तो आप रेंज भी निकाल सकते हो, आइए, तो range is equals to u square sine 2 theta by g, है न, अब आप sine 2 theta को क्या लिख सकते हो, u square 2 sine theta cos theta by g, u square यानि 5 into 5 into 2 into sine 37 multiplied by cos 37, डिवाइडेड बाई 10, 2 5s are 10, 10 cancel, 5 into sin 37 यहाँ से, 3 by 5, cos 37, 4 by 5, बेस अपन है, 5 5 cancel, 12 बटे, 5 meter is the range, तो यह basic सा सवाल हो गया, जिसमें आपको formula से सारे answers निकाल ले थे, अब बच्चों मैं इसी में आपसे एक सवाल पूछूंगा, इसी question में, कि आपसे कहा, यह चीज दिवन है, express, एक्सप्रेस इनिशियल एंड फाइनल विलोसिटी एंड फाइनल विलोसिटी इन वेक्टर फॉर इन वेक्टर फॉर यह डाइग्राम बनाते हैं यह मैंने वॉल को ऊपर फेका 5 से यह एंग्ल है साथ इस डिग्री तो इस तरफ कॉम्पोनेंट कितना आएगा 5 कॉस्ट 37 जो कि कितना हो जाएगा 4 बाई 5 तो यह 4 और इस तरफ कॉम्पोनेंट आएगा 5 साइन 37 साइन 37 कितना ठीक है अब यहीं से देख लो जब यह चीज 5 होती है तो वर्टिकल वाला 3 होता है और जोनका वाला फोर ठीक है या तो आप कर लेना यह कंपनेंट कितना होगा पाइव कॉस्ट 37 कॉस्ट 37 कितना होगा फोर बाइफ तो फोर बाइफ लिखोगे तो फोर आ गया इसी तरह से यह यहां लाइक कंपनेंट यहां लाइक कंपनेंट फाइव साइन 37 फाइव साइन 37 और साइन 37 कितना होगा फ्री बाइफ फाइव तो यहां पूट कर दोगे फ्री बाइफ और यह कितना जाएगा थ्री आच्छा अब वेक्टर फॉर्म में इस विलोसिटी को मैं लिखूं इनिशियल विलोसिटी को तो एक्स वाली 4 है उसके आगे लगा दूँगा आई कैप वाई वाली 3 है उसके आगे लगा दूँगा जे कैप तो ये हो गई इनिशियल विलोसिटी इन वेक्टर फॉर्म और माल लो यहां पे गिरी ठीक है ठीक है थोड़ा खिच गया ऐसे ठीक है ऐसे एंटर की थी तो बच्चों एक velocity होगी ऐसे और एक velocity होगी ऐसे अब तो नीचे की तरफ होगी अब मैंने आपको जो concept बताये उसको याद रखो x की velocity कहीं change नहीं होगी मतलब यहाँ पे भी x की velocity कितनी होगी 4 y की velocity decrease करते करते यहाँ पे y की velocity कितनी हो जाएगी 0 फिर increase करते करते यहाँ पे उतनी ही हो जाएगी जिस से फेका था तो y में कितने से चला था 3 से तो यहाँ पे y की velocity कितनी हो जाएगी 3 this is the final velocity तो अगर मैं final velocity की बात करूँ, तो x में कितनी है? 4i cap, y में किदर है?
नीचे चली गई, तो minus 3j cap, तो x की final velocity 4i cap, y की नीचे की तरफ, तो minus 3j cap, इतना clear हो गया बच्चों, बहुत बढ़िया, अब इसी question में अगर मैं आपसे पूछूं, इसी सवाल में अगर मैं आपसे पूछ थोड़ा change कर देते हैं, a ball is thrown with 50 meter per second at angle of projection 37 degree, find velocity vector and speed of particle Speed of particle after 2 seconds of projection projection के 2 second बाद आप ये चीजे determine करें ठीक है कर पाएंगे आइए देखते हैं, यह है, इसको मैंने फेका, अब इसकी speed कितनी है हमारी, 50 meter per second, angle कितना है, 37, तो इस बार इस तरफ कितना आ जाएगा, 40 आ जाएगा, इस तरफ कितना आ जाएगा, 30 आ जाएगा, कोई भी angle दिया हो, इधर cos theta, इधर उसका sin theta, यह हो गए initial velocity in x direction, यह हो गए initial velocity in y direction, इस बार पूछा है, velocity vector and speed, after, टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन तो बच्चों दो सेकंड बाद की कहानी के ही है एक काम करते हैं आफ्टर टू सेकंड्स तो आप मेरे को बताओ कौन सी स्पीड चेंज होगी कौन सी स्पीड चेंज नहीं होगी तो दो सेकंड के बाद एक्स डिरेक्शन की हो सकता हुआ यहाँ आ गया हुँ मुझे नहीं पता है एक approximation लिया अच्छा तो x की तो same है y की निकालने के लिए हम लगाते हैं y direction का motion क्योंकि y की speed घट रही है और फिर बढ़ भी रही है तो initial velocity in y direction is 30, acceleration in y direction is minus g और इन्होंने हमसे बोला g को ले लो 10 तो हमने लिखा minus 10 ठीक है time तो आप apply कर दोगे, v is equals to u plus 80, u कितना है हमारा 30, a की value minus 10, t की जगह 2, 30 minus 20 कितना हुई, 10, तो यह कितनी आएगी, 10 कैसी आ रही, plus, मतलब इसी तरफ है, 30 से घटते घटते 10 हुई है, भी यहीं पे है, तो velocity in y direction कितनी रहेगी, 10 meter per second, तो 2 second के बाद देखो, x की तो same है, y की कम हो� तो velocity vector x में 40 है, 40 i cap, y में 10 है, plus 10 j cap, और क्या पूछा है, speed of particle, अब बच्चों आपको ये तो पता होगा कि speed होती क्या है, magnitude of velocity, velocity का जो magnitude होता है, उसको speed बोलते हैं, इस vector का magnitude हम कैसे निकालते हैं, vector का magnitude निकालने के लिए, i वाले term का square, plus j वाले terms का square, ये आ गई आपकी speed, under root x का square plus y का square, जो velocity का magnitude होगा, वही क्या बनेगा, speed बन जाएगा, इसी question बच्चों आप से और क्या पूछ सकता था, in the same question, they could have asked you, find velocity vector and, मालो आप से यह पूछ लिया, find velocity vector and, and, angle it makes with horizontal, विद विलोसिटी वेक्टर विलोसिटी वेक्टर यह एंगल कितना है अब सोचने वाली बात है क्या प्रोजेक्टाइल प्रोजेक्टाइल यह तो 40 ही रहा, यह चोटा हो गया, तो वेक्टर इधर जुग जाएगा, तो यह एंगल भी चेंज हो गया, हमसे यह एंगल पूछा बच्चों, तो यह एंगल हम कैसे निकालेंगे, हमसे पूछा 2 सेकंड के बाद विलोसिटी होरिजॉन्टल से कितना एंगल बना रही, यहा y direction में 10, x direction में 40, तो आप यहां से बोल दो, tan theta is equals to क्या होगा, vy बटे vx, tan theta क्या होता है, perpendicular upon base, तो vy कितना है, 10 बटे 40, तो वो angle कुछ ऐसा होगा, कि उसका tan theta 1 by 4 के बराबर होगा, ठीक है, यह भी हम कर सकते थे, बहुत बढ़िया, बच्चों इसी सवाल में आप से और क्या पूछ सकता था, find, है एंड डिस्प्लेसमेंट आफ्टर टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन डिस्प्लेसमेंट वेक्टर निकालिए और डिस्प्लेसमेंट निकालिए आइए बच्चों तो यह रहा मोशन हमारा अगर हमसे कंप्लीट रास्ते में डिस्प्लेसमेंट पूछता तो यह बाद आपने देखा यहां आया तक पार्टिकल ठीक है तो हमसे पूछ रहा है एक्स में कितना डिस्प्लेसमेंट है और वाइड एक्स ठीक है और y में इतना उपर गया है यह x में आगे और y में उपर हमें दोनों निकालने है तो आइए दोनों displacement को अलग-अलग निकालते हैं आइए x का निकालते हैं और y का निकालते हैं x direction में initial velocity कितनी है हमारी तो हम बना लेते हैं फिर से diagram 50 थी 37 degree तो इधर 50 cos 37 कितना आ रहा 40 इधर 50 sin 37 कितना आ रहा 30 तो x की 40 है और y की initially 30 है तो ये 40 acceleration in x direction 0 x में कोई acceleration रहता नहीं time कितना 2 seconds तो आप यहाँ से लगा दो s is equals to ut plus half 80 square s की जगह put करोगे आप x put कर दो displacement हमने x माना है u कितना है 40 time है 2 और ये term 0 हो जाएगा क्योंकि a 0 तो x में displacement कितना है 80 meter y में निकालना है बच्चों initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus 10, time लिया 2 seconds apply कर दो s is equal to ut plus half a t square s की जगा रख दो इस बार y क्योंकि इसको y बोला है u कितना है 30 into time 2 plus half a की जगा minus 10 और t कितना है 2 का square 4 तो y कितना हो जाएगा 60 माइनस 20 तो वाइट के वालों कितने आगे 40 ठीक है कैकुलेट कर लोगे यू की जगह 30 टाइम की जगह 2 60 हाफ एक जगह माइनस 10 टी स्क्वेर चार्ड टू डूज़र फोर माइनस 20 40 तो एक्स में डिस्प्लेसमेंट एक्टी है वाइड इस प्लेसमेंट फॉर्टी है तो अगर आप से डिस्प्लेसमेंट वेक्टर आर पूछ रहा है डिस्प्लेसमेंट वेक्टर तो एक्�� में कितना है 80 तो हम बोलेंगे असी आई कैप असी आई कैप अ और y में कितना है 40 plus मतलब उपर की तरफ है तो 40 j क्या यह हो गया displacement vector 80 i क्लाब plus 40 j क्या फिर क्या पूछ रहा है and displacement displacement भी निकालो तो बच्चों displacement का जो magnitude है वो निकाल सकते हैं यह vector है इसका magnitude निकालना है यानि mod r पूछ रहा है तो mod r under root 80 square plus 40 square यह आगे आपका magnitude of displacement ठीक है बच्चों तो यह मैंने कुछ आपको इस तरह question कराए तो बच्चो फॉर्मले पे बेस कुछ और question क्या आ सकते हैं हमारे पास जरा उनको देख लीजे माल लीजे हमसे कहा for a projectile motion for a projectile motion from फ्रॉम ग्राउंड टू ग्राउंड मतलब सेम हॉरिजन्टल लेवल पर एच इज इक्वल्स टू आर फाइंड एंगेल ऑफ प्रोजेक्शन ठीक है मतलब किसी प्रोजेक्टाइल मोशन की मैक्सिमम हाइट और रेंज बराबर है तो आपसे कह रहा है आप एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन निकालो ठीक है बच्चों तो एच इग्वल्स टू आर फॉर्मुला बेस है एच की जगह यू स्क्वेयर साइन स्क्वेयर थीटा बराबर टू जी आर की जगह टू यू सॉइड आर की जगह यू स्क्वेयर साइन टू थीटा बराबर जी यू स्क्वेयर ने तो साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू और साइन टू थीटा को लिखेंगे टू साइन थीटा कॉस्ट थीटा साइन थीटा ने एक साइन थीटा को भी मार दिया तो यह हो जाएगा साइन थीटा बटे कॉस्ट थीटा और यह टूज़ा के मिल्टिप्लाइफ फॉर तो टैन थीटा इस इक्वेल्स टू फॉर तो एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन ऐसा है जिसका टैन थीटा फॉर है या बोल दो थीटा इस इक्वेल्स टू एन इन्वर्स फॉर इस इस दिया इंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन ठीक अच्छा बच्चों, समझ में आया है, अब मान लो, इसी में एक question थोड़ा चेंज कर दू, कि for a projectile motion from ground to ground, if maximum height is 30 root 3 meter and horizontal range is 120 meter, find फाइंड इनिशियल विलोसिटी एंड एंगल ऑफ प्रोजेक्शन इनिशियल विलोसिटी एंड एंगल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा पूछा है और U पूछा है, initial velocity and angle of projection. ठीक है, तो हमको दिया है height कितनी है 30 root 3 और हमको range बता रखी है कितनी है, कितनी range है 120. आए दोनों के formulas put करते हैं, तो समझ में आएगा कि U और theta किस तरह से निकलेंगे. तो height का formula हो जाएगा U square sine square theta बराबर 2G is equals to 30 root 3. रेंज का फार्मुला क्या है हमारा, U square sine 2 theta बराबर G is equals to 120, अब बच्चो sine 2 theta को D, करने का तरीका हम लोग बार बार सीख लिये हैं कि क्या लिख लें sin2 theta की जगा 2 sin theta cos theta ठीक अब ध्यान से देखो अगर मैं इसको इसको divide कर दू तो u square u square cancel हो जाएगा g g cancel हो जाएगा और theta का term आ जाएगा तो आप first equation को second से divide कर दो first equation divided by second u square sin square theta upon 2 g इससे डिवाइट करोगे तो यह cross multiply जी अपन U2 2 sin theta cos theta is equals to 30 root 3 divided by 120, यहाँ से जी ने जी को मारा, U2 ने U2 को मारा, 1 sin theta से 1 sin theta मर गया, बचा क्या, sin theta अपन cos theta और 2 to the 4, इस तरफ देखें, 30 root 3 upon 120, 0 سے 0 मरा, 3 वनजा 3, 3 वनजा 12, 4 से 4 मरा, sin theta by cos theta, tan theta is equals to root 3, अब बच्चो tan theta root 3 कब होता है, जब theta कितना हो, 60 degree, तो हमको angle of projection मिल चुका है, कितना है, 60 degree, अब आपको initial velocity निकालनी है, तो इन दोनों में से कोई भी formula यूज़ कर लो, इनिशल velocity आ जाएगी, चाहिए formula, चाहिए formula, चलो मैं इसको यूज़ कर लेता हूँ, फर्स्ट वाले फॉर्मुले को यूज कर लूँ मैं आईए फर्स्ट वाले को यूज किया हमने तो हो जाएगा U square sine square 60 upon 2G is equals to 30 root 3 और G की value वही प्यारी सी 10 ले लेंगे हम तो U square sine 60 होता है root 3 by 2 इसका square मतलब 3 by 4 sine 60 root 3 by 2 इसका square करेंगे तो 3 by 4 upon 2G x 10 is equal to 30 root 3, now you can get the value of u as well, समझ में आ गया होगा, यहाँ से आपको u की value भी मिल जाएगी, और theta की value आपने कैसे निकाली, दोनों को divide करके निकाली, ठीक है बच्चो, अच्छा, मान लो आपको question दे दे, for a projectile motion from ground to ground, अभी हम सारे उन ही motion की बात कर रहे हैं, जो ground to ground है इस lecture में, horizontal and horizontal and vertical component of initial velocity are are let it be any horizontal vertical 6 meter per second and 8 meter per second ok find find टाइम ऑफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज यह सवाल दिया आपको और एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा सब पाइंट करिए तो अब यह सवाल क्या कह रहा है आपसे हॉरिजन्टल और वर्टिकल कंपोनेंट दिया इनीशल विलोसिटी थीटा ठीक है यह इनीशल विलोसिटी यू मानते थे हम एंग्ल थीटा इधर कितना यू कॉस्ट थीटा इधर कितना यू साइन थीटा ठीक तो हमसे बोल लाइट यू कॉस्ट थीटा हॉरिजन्टल कितना है सिक्स और वर्टिको का उपने कितना है 8 तो U sine theta 8 तो हमसे बोला है U cos theta is 6 U sine theta is 8 क्या क्या निकालना है time of flight निकालना है height निकालना है r और theta खटक से निकलेगा time of flight का formula बोलो 2 U sine theta बराबर G तो 2 into U sine theta कितना है 8 बराबर G की value 10 निकलाया फिर क्या बोला है height निकालना है height का formula बोलो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर 2 जी इसको ऐसे लिख सकते हो यू साइन थीटा का होल स्क्वेर बराबर 2 जी यू साइन थीटा की वैल्यू कितनी है 8 तो 8 का स्क्वेर अपन 2 इंटू 10 निकलाया और क्या निकालना है रेंज निकालना है यू स्क्वेर साइन 2 थीटा बराबर जी और साइन 2 थीटा को लिखने का तरीका 2 sin theta cos theta बराबर जी, अब इसमें मैं एक काम करता हूँ, इसको ऐसे लिख दूँ, u sin theta, ध्यान से देखो, ध्यान से देखो, u sin theta, u cos theta, into 2 बराबर जी, लिख सकता हूँ, u sin theta, u cos theta, into 2 बराबर जी, u sin theta की value आपको given है 8, u cos theta की value आपको given है 6, 2 divide by g की value, 10 और इस तरह से आप range, height या time of flight निकाल सकते हो, अगर आपको initial velocity का horizontal और vertical component दिया हो, तो बस सोचना था कि horizontal u cos theta की value है, u sin theta, formless या थे, 2u sin theta, u sin theta की value डाल दी, u square sin square theta, मैंने सोचा u sin theta का square, यहाँ यहाँ पर U2 2 sin theta cos theta, मैंने कहा एक को U sin theta, एक को U cos theta और values उठा के रख दिये, और क्या angle of projection theta, इससे इसको divide कर दो, इससे इसको divide कर दो, divide करोगे तो U U cancel, sin theta बटे cos theta is equals to 8 बटे 6, 2 4 जा 8, 2 3 जा 6, यह कितना हो गया, tan theta is equals to 4 by 3, तो ऐसा triangle है, इसमें यह theta है, 4 by 3, perpendicular by base, 4 by 3, 5, ये triangle कौन सा है पैचानते ही होंगे आप जहाँ पे theta कितना होता है 53 degree plan theta 4 by 3 ये triangle पैचान रहे है कि नहीं perpendicular base hypotenuse ये theta कितना होता है 53 so theta will be 53 और सारे answer आपने निकाल दिये तो बच्चो ये कुछ basic तरह के सवाल थे जो projectile motion पे आते हैं बिना formulas के solve होंगे without any formula ठीक है बच्चो अब हम बात करते हैं range के बारे में रेंज के बारे में एक चर्चा, एक important topic, एक important बाते हमें करनी जरूरी है और वो ये है बच्चों कि range is same for two different angles of projection if U is same ठीक है दो डिफरेंट एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन के लिए रेंज सेम होती है जब यू सेम हो और वह डिफरेंट एंग्ल होते हैं एक होता है थीटा तो दूसरा होता है 90 माइनस थीटा ठीक है इसका डायग्राम आपको मैं दिखाता हूं समझ में आएगा मान लीजिए मैंने यू विलोसिटी से थीटा एंग्ल पर किसी चीज को प्रोजेक्ट किया ठीक है तो उसकी रेंज हुई यह ठीक है भाई समझ में आया है मान लो उसी को मैं 90-थीटा पे प्रोजेक्ट करूँ, जैसे मान लो पहले मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, तो फिर 90-30 मतलब 60 पे प्रोजेक्ट किया, एक बार मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, अब 60 थोड़ा उपर बनेगा ऐसे, अगली बार मैंने 60 पे प्रोजेक्ट किया, एंग्ल डेफिनेटली अलग है, मैक्सिमम हाइड भी अलग-अलग है, 60 पे आप देख रहे होंगे मैक्सिमम हाइड ज़्यादा है, 30 पे कम, पर जो होरिजॉन्टल डिस्टेंस है, वो क्या आ रहा?
सेम. तो ये एक important point आपको copy में डालना पड़ेगा, कि range is same for two different angles of projection, if U is same, और वो different angle होंगे theta और 90-theta, मतलब 30 degree पे जो range आएगी, वही 60 पे आएगी, या 20 degree पे जो range आएगी, वही 70 पे आएगी. या 10 degree पे जो range आएगी वही 80 पे आएगी या 15 degree पे जो range आएगी वही 75 पे आएगी बात समझ में आई कि range same होगी दो different angle of projection पे मैक्सिमम हाइट अलग है पर रेंज देखो क्या आ रही है सीमा रही है ठीक है तो यह एक इंपोर्टेंट कंसेप्ट है इसको आप याद रखेंगे बच्चों अच्छा आपको विश्वास नहीं हो रहा तो मैं इसका प्रूव भी दे दूँ आपको रेंज का फॉर्मला बोल थीटा की जगा थीटा put करूँगा, एक बाद थीटा की जगा 90 minus थीटा, तो यह थीटा वाली कहानी हो गई, अब 90 minus थीटा, r is equals to u square sine 2 90 minus थीटा बराबर g, अब बच्चों यह कितना हो गया, u square sine 180 minus 2 थीटा बराबर g, अब sine 180 minus 2 थीटा will be sine थीटा, भाई sine के अंदर अगर 180 minus x साइन x की equal आता है, तो ये कितना आएगा, u square, साइन 2 theta बराबर जी, तो आपने देखा, चाहे मैं यहाँ पर theta put करूँ, चाहे यहाँ पर 90 minus theta, range क्या आती है, same, तो range is same for two different angle of projection, for same velocity, initial velocity, if those angles are theta and 90 minus theta, ठीक है, clear हो गया, but क्या चीज़ अलग होती है बच्चों इसमें, maximum height, याद रखना, रेंज तो सेम होती है इन दोनों केस पर, पर maximum height और ठीक है इसके लिए हमें option दिया या तो under root 4 h1 h2 is equals to r या तो under root 2 h1 h2 is equals to r option c under root 4 4h1 h2 is equal to r या option d 2 under root h1 h2 is equal to r ऐसे option दिए और हमसे कैसे solve करो तो हम क्या करते हैं एक बार मान लेते हैं theta पे height हाइट है एच वन और 90 माइनस थीटा पर मान लेते हैं हाइट है एच टू ठीक है तो डिफरेंट डिफरेंट पर हमने हाइट डिफरेंट मान ली अब एच वन के लिए आप क्या लिख सकते हो आप लिख सकते हो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू जी और एच टू के लिए क्या लिख सकते हो लिख सकते हो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर कितना 90 माइनस थीटा बराबर टू जी बचों ये क्या बन जाएगा यह बन जाएगा U square sin square 90 minus theta is cos square theta बराबर 2G अब बच्चों range का formula क्या होगा अब range तो दोनों case में क्या होगी same क्या हैगी U square sin square sin 2 theta बराबर G अब sin 2 theta को हम क्या लिख सकते हैं U square 2 sin theta cos theta बराबर G लिख सकते हैं इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं बच्चों, U sine theta into U cos theta into 2 बराबर G, अब U sine theta की value यहां से निकालो, U sine theta कितना हो गया, root 2G H1, इसी तरह से यहां से U cos theta कितना आएगा, 2GH2 उधर गया, और root लग जाएगा, 2GH2, समझ में आ रहा है, वो square है न, तो U sine theta की जगह, अंडर रूट 2G H1, U cos यह जाए, अंडर रूट 2G H2, multiplied by 2 बटे G, यहाँ से GG multiplied होके रूट के बाहर आएगा, GG cancel, 2 और 2, तो रूट के अंदर हो गया 4H1H2, और GG cancel हो गया, यह आ गया R, तो R is equals to under root 4H1H2, कौन सा option है, option A, ठीक, तो clear हो गया, इसी तरह से हमारी range पे एक और बात बड़ी important होती है, कि maximum range कब होगी, ठीक है, range हमारी maximum कब होगी, when will be the range, will be maximum, ठीक है जैसे मान लो हमारे long jump के competition होते हैं जिसमें एक athlete दौड़ता है दौड़के कूदता है तो उसको ज़्यादा उचा नहीं कूदना उसको सबसे लंबा कूदना है ठीक है सबसे लंबा कूदने के लिए दो factor responsible होंगे अगर range का formula आप देखो तो u square sine 2 theta बराबर g तो दो factors responsible है जिस एंगल पे कूदा, कम एंगल पे कूदे तो शायद कम रेंज हो, जादा पे शायद जादा, कहीं भी या बीच में जादा, अभी हमें यह नहीं पता, जी तो कॉंस्टेंट रहेगा उसके लिए, या तो अपनी स्पीड बढ़ाए, स्पीड कैसे बढ़ाएगा, तेज दो कि उसमें से क्या चीज उसके हाथ में ज्यादा है या ज्यादा इजली है वह है एंग्ल बाइस पीट तो सब उतनी गेन करेंगे बाइस दोड़कर तो इंसान जितनी स्पीड गेंशन कर सकता है करेगा अपने मैक्सिमल फर्ट से बाद में दिमाग लगा कि वह क्या च तो रेंज है वो कैसी आए, maximum, जो वो long jump लेना चाहता है, वो कैसी हो, maximum, theta की help से, u तो change करने के लिए वो तेज़ दोड़ेगा है, जितना तेज़ दोड़ सकता उतना तेज़ दोड़ेगा, रेंज उतनी ज़ादा होगी, u जितना ज़ादा, तो वो जितना तेज़ दोड़ हम लोग को लंबा कूदना होता है, हम लोग खुब तेज़ दोरते हैं, पर angle भी यहाँ पे role play करेगा, तो बच्चों, angle अगर 45 degree होगा, तो range हमारी कैसी होगी, maximum होगी, बाब बोलोगे कैसे निकाला, तो अगर आपने मेरा differentiation का video देखा है, तो बहुत अच्छी बात है, क्योंक जहां पर डी वाइ बाई डी एक्स जीरो होता है वह जगह मैक्सिमा की होती है यह मैंने आपको बताया था तो इसको डिफरेंशेट कर लो विच रिस्पेक्ट टू थीटा तो डी आर बाई डी थीटा हम निकालेंगे इसको डिफरेंशेट करोगे यू जीवन जाए जीवन हो जाए मतलब यू स्क्वेर कॉस्ट टू थीटा मल्टीप्लाइड बाई टू डिवाइड तो at 45 degree the range is maximum and what is range maximum आओ चेक करें u square sine 2 theta बराबर g theta की जगह 45 तो u square sine 45 into 2 90 बराबर g sine 90 is 1 so range maximum होती है u square बराबर g तो इसको आप याद भी कर सकते हो that the maximum range is u square बराबर g मैक्सिमल रेंज कितनी है?
U2 बराबर G और कब आती है जब एंगेल ओफ प्रोजेक्शन कितना ले ले? 45 बिगरी ग्राउंड से ग्राउंड वाले केस में तो बच्चों ये प्रोजेक्टाइल मोशन की बेसिक चीज़े बताई वो कैसी पात है? कैसी पात है?
पैराबोलिक यह जो path लेता है projectile motion, इस path को हम circular नहीं बोलते, parabolic बोलते हैं, यह जो path है, यह maths में इस curve का नाम रखा गया है parabolic curve या parabola, बोला ठीक है पैराबोलिक या पैराबोला यह सर्किल नहीं है यह स्ट्रेट लाइन नहीं है यह पैराबोला का कर्व है बच्चों पैराबोला के कर्व ऐसे होते हैं मैच में या तो ऐसा कोई कर्व ना हो या तो ऐसा कोई कर्व ना हो या तो ऐसा कोई कर्व बना हो या तो ऐसा कोई कर्व बना हो quadratic equation के graph भी आप देखो तो parabolic होते हैं ऐसे graph को हम maths में या science में parabolic graph बोलते हैं तो ये graph देखो parabolic जैसा है तो इसको हम बोलते हैं बच्चों जो projectile motion है जो हमारा projectile motion है इसकी जो path होती है, वो path कैसी होती है? Parabolic. तो यार देख के तो decide नहीं करना चाहिए ना, क्योंकि हम science पढ़ रहे हैं, physics पढ़ रहे हैं, देख के decide तो circle भी हो सकता है, ना. तो इसके लिए हमें condition है, जो देखनी पढ़ेगी. और बच्चों पैराबोला की जो condition होती है वो होती है y square is proportional to x दिखाना पड़ेगा बोलो बोलो क्या दिखाना पड़ेगा y square is proportional to x पैराबोला का जो equation होता है उसमें एक term y square का होना चाहिए एक term x का होना चाहिए जो पैराबोला की equation बनती है तो ideal equation होती है y square is equal to 4ax तो इस form में अगर projectile की equation को हम express कर सके तो projectile parabolic होगा, नहीं कर पाए तो parabolic नहीं होगा तो हमें कुछ इस form में projectile की equation को लाना है कि एक y square का term हो और एक x का term हो इस पूरे topic को बच्चो जो नाम किताब में देते हैं वो देते है equation of trajectory क्या नाम देते है?
equation of trajectory equation of trajectory trajectory का मतलब होता है path trajectory का मतलब होता है path एक्वेजिन आफ ट्रेजेक्टरी वो होती है जो y और x को रिलेट करें कि उनकी कोई भी पार्टिकल मोशन कर रहा है उसके y और x को रिलेट करें जैसे हम बोलें कोई पार्टिकल मूव कर रहा है y is equals to x से तो आप समझ जाओगे कि जितना x में चलता है उतना ही y में चलता है म तो ऐसी equation बना के देना जो particle के x और y को relate करें और बताए कि उसकी path कैसी है उसको बोलते है equation of trajectory equation of trajectory में बच्चों time का term नहीं होता no term of t या टाइम का टर्म नहीं होता इसमें सिर्फ हम वाइड और एक्स को रिलेट करते हैं कि जब एक्स इतना होगा तो वाइड कितना या जब वाइड इतना होगा तो एक्स कितना मतलब प्रोजेक्टाइल मोशन में से हमको टाइम को हटाना है और वाइड एक्स को रिलेट करना है एक नॉर्मल सा प्रोजेक्टाइल मोशन हम ले लेते हैं ठीक है इनिशन विलोसिटी मान लेते हैं यू एंगल लेते हैं थीटा माल लेते हैं t time बाद particle यहां पहुचा, कितने time बाद? t time बाद particle यहां पहुचा, तो x में आगे बढ़ा x, y में उपर गया y, अब हमें y और x को relate करना है इस point तक, तो motion को consider करो x direction में और y direction में, initial velocity in x direction कितनी होगी बच्चों? u cos theta, initial velocity in y direction कितनी होगी? यू साइन थीटा, एस्कलेशन इन एक्स डिरेक्शन कितना है? जीरो, एस्कलेशन इन वाई डिरेक्शन है?
माइनस जी, कितने टाइम तक चले टी, कितने टाइम तक चले टी, अपलाई कर दो दोनों तरफ, S is equals to U T plus half A T square, यहाँ S की जगह कितना रखोगे, डिस्प्लेस्में स is equals to U T plus half A T square, स की जगा कितना रखोगे, Y, Y में displacement, U की जगा U sine theta, T की जगा T, plus half A की जगा minus G, multiplied by T square, अब इन दोनों को आपको relate करना है, और इसमें से क्या हटाना है, time, time को eliminate करना है, time को eliminate, तो यहाँ से हम T की value निकाल ले, टी इस एक्वल्स टू एक्स बराबर यू कॉस थीटा और टी की इस वैलू को यहाँ पर पुट कर दे काम खत्म टी की वैलू यहाँ पुट करोगे वाई और एक्स का रिलेशन मिल जाएगा तो आएए टी की वैलू पुट करते हैं और वाई और एक्स का रिलेशन देखते है प्लस यहाँ पर माइनस लगा है तो माइनस हाफ जी टी स्क्वेर टी की जगह एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस स्क्वेर थीटा ठीक है ना टी का स्क्वेर है तो एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस स्क्वेर थीटा यू ने यू को मारा वाई इक्वल्स टू इसी को बोलते हैं equation of trajectory equation of trajectory बहुत बेटर होगा आपको याद हो जाए y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta अब इस equation देखो y का term भी है और x square का term भी है मतलब ये कौन सी equation है parabola अगर y और x होते सिर्फ y और x होते तो straight line अगर y square और x square होते तो circle और y और x square निकले तो parabola, वैसे कुछ और भी condition है पर आपको exam में वो show नहीं करनी है, ये equation of trajectory है, किसकी, projectile की, y is equals to x tan theta minus half gx square upon 2u square cos square theta, निकालने का तरीका, x direction का motion, y का motion, time की value निकाल के यहाँ put कर दो, exam में ये बहुत आता है, बहुत important पात है, ठीक है तो आपको अब पता चल गई कि प्रोजेक्टाइल मोशन पैराबोलिक पात लेता है और उसकी जो एक्वेशन है तो वो है वाई इज एक्वेल्स टू एक्स टैन थीटा माइनस हाफ जी एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस स्क्वेर थीटा इस इस दिए एक्वे यह डिराइफ करने को एक्जाम में पूछता है तो आप डिराइफ कर लेंगे टाइम के टर्म को हटाना है एक्स और वाई के मोशन को कंसिडर करना टी टाइम तक टाइम की वालू एक्स वाले इसमें निकाल के वाई वाले में पूछ कर देना क्वेश्चन ऐसे बनता है कि मान लो एक एक्वेशन है y is equals to ax minus bx square अब आप से बोला this is the equation for projectile motion this is the equation for what for projectile motion आप से पूछा find फाइन इनिशियल विलोसिटी एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन ठीक है आपसे यू पूछा थीटा पूछा आपसे कहा इनिशियल विलोसिटी निकालिए आपसे कहा टाइम और फ्लाइट निकालिए आपसे कहा मैक्सिमम हाइट निकालिए आपसे कहा रेंज निकालिए तो बच्चों क्या करो इसको आप एक आइडियल equation से compare कर दो, तो x के साथ क्या लिखा है, tan theta, मतलब एक इसके equal हो जाएगा, tan theta के, तो ये आगे angle of projection, theta is equals to tan inverse एक, पहला पार्ट खतम, फिर b को x square के साथ जितने terms हैं उसको b से equate कर दो मतलब b is equals to half g u square cos square theta यह मिल गया अब आपको यहां से u निकालना है कैसे निकालोगे यहां से देखो tan theta का मतलब sin theta बराबर cos theta is equals to a बोल सकते हैं यहां से यह दर गया है तो यू स्क्वेर इस एक्वेल्स टू जी अपन टू बी कॉस्ट स्क्वेर थीटा यह आएगा अच्छा अब क्या करें हम देखो टाइन थीटा किसके एक्वेल है एक यहां एक ट्रैंगल बनाओ इसको बोलो ठीक ना टैन थीटा क्या होता है टैन थीटा होता है परपेंडिकुलर अपन बेस तो हम बोल सकते हैं टैन थीटा इस इक्वल्स टू ए बाई वन ए बाई वन यहां से यह कितना आ जाएगा बनते हो अंडर रूट ए स्क्वेर प्लस वन अब जी अपन टू बी कॉ a square plus 1 upon 2b, अब आप यहां से u भी निकाल सकते हो, u is equal to क्या लिद दोगे, इसका under root, इसी तरह से आप से time पूछेगा, तो 2u sin theta by g, u भी मिल गया है, sin theta आप यहां से निकाल सकते हो, यह बाई है, इस तरह से आप से range पूछेगा, तो u square 2 sin theta cos theta by g, या maximum height, 1 को इससे compare किया, तो tan theta एक equal आया, तैन थीटा इस परपेंडिकुलर अपॉन बेस यहां ट्रैंगल बनाया ए बाई वन इसको अंड ए लूटे स्क्वार प्लस वन तो बच्चों इस तरह से एक्वेशन आफ ट्रेजेक्ट्री कुशन सॉल्व करते हैं ये प्रोजेक्टाइल मोशन का बड़ा ही बेसिक लेक्चर