फंक्शन पर लेक्चर के नोट्स

परिचय

• सभी को जैश्री कृष्ण, राधे।
• फंक्शन कैलकुलस की बुनियाद है।
• नोट्स तैयार करने के लिए एक नोटबुक और पेन साथ रखें।

फंक्शन की परिभाषा

• फंक्शन f एक विशेष प्रकार का संबंध है जो हर तत्व A के लिए एक अद्वितीय तत्व B से जुड़ता है।
• हर संबंध फंक्शन नहीं होता।
• संबंध को याद रखने के लिए:
  • संबंध = पुरुष
  • फंक्शन = महापुरुष

चित्रण और मैपिंग

• A का हर तत्व B के किसी तत्व से जुड़ा होता है।
• F(A) = B, जहाँ A प्री-इमेज है और B इमेज।
• फंक्शन को मैपिंग भी कहा जाता है।

फंक्शन की विशेषताएँ

• फंक्शन के लिए A का हर तत्व B के अद्वितीय तत्व से जुड़ना चाहिए।
• यदि A का तत्व एक से अधिक B के तत्वों से जुड़ता है, तो वह फंक्शन नहीं होगा।

फंक्शन को मशीन के रूप में समझना

• फंक्शन को मशीन के रूप में समझा जा सकता है जहाँ इनपुट A से निकलता है और आउटपुट B में जाता है।
• डोमेन: सभी इनपुट्स का सेट।
• रेंज: सभी आउटपुट्स का सेट।
• को-डोमेन: जो सेट में मौजूद है।

महत्वपूर्ण टाइप्स ऑफ फंक्शन

पॉलिनॉमियल फंक्शन

• सामान्य रूप: a0x^n + a1x^(n-1) + ... + an
• हर पॉलिनॉमियल फंक्शन निरंतर होता है।
• पॉलिनॉमियल फंक्शन का रेंज हमेशा को-डोमेन का सबसेट होता है।

रैशनल फंक्शन

• दो पॉलिनॉमियल्स का अनुपात।

साइनम फंक्शन

• इनपुट का साइन बताता है।
• ग्राफ के अनुसार इसकी रेंज -1, 0, 1।

लोगारिदमिक फंक्शन

• f(x) = log_a(x)
• डोमेन: x > 0, रेंज: सभी वास्तविक संख्याएँ।

एब्सोल्यूट वैल्यू फंक्शन

• f(x) = |x|
• डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ, रेंज: 0 से अनंत तक।

ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन

• f(x) = ⌊x⌋
• डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ।
• ग्राफ: सीढ़ी के आकार का।

ग्राफ और टेस्ट

वर्टिकल लाइन टेस्ट

• ग्राफ एक फंक्शन है यदि हर वर्टिकल लाइन उसे केवल एक बिंदु पर काटती है।

वर्टिकल लाइन टेस्ट के उदाहरण

• ग्राफ पर वर्टिकल लाइन बनाएं।
• यदि लाइन एक बिंदु पर काटती है, तो वह फंक्शन है।

फंक्शन का अध्ययन

• हर फंक्शन की डिग्री, रेंज, और डोमेन को समझें।
• गोलाकार ग्राफ्स के लिए वर्टिकल और हृदय ग्राफ्स का परीक्षण करें।

एक से अधिक फंक्शन के प्रकार

• वन-वन, कई-वन, ऑन-टू और इन-टू फंक्शन।
• वन-वन फंक्शन में A के प्रत्येक तत्व का केवल एक इमेज होता है।
• ऑन-टू फंक्शन में B के प्रत्येक तत्व का प्री-इमेज होना चाहिए।

इनवर्स फंक्शन

• एक बायजेक्टिव फंक्शन का इनवर्स हमेशा यूनिक होता है।
• इनवर्स को खोजने के लिए y = f(x) लिखें और x को y के रूप में हल करें।

कंपोजिट फंक्शन

• कंपोजिट फंक्शन का मतलब है दो या अधिक फंक्शन का संयोजन।
• g(f(x)) = g of f.

पीरियडिक फंक्शन

• पीरियडिक फंक्शन वह होते हैं जो निश्चित अंतराल पर अपनी वैल्यू को दोहराते हैं।
• उदाहरण: sin(x), cos(x) और tan(x) के लिए पीरियड 2π और π होता है।

महत्वपूर्ण बातें

• हर होमोजीनियस फंक्शन की डिग्री होती है।
• बाउंडेड फंक्शन के लिए वैल्यू एक निश्चित सीमाओं के बीच रहनी चाहिए।
• हर फंक्शन को ग्राफिकल रूप से भी समझ सकते हैं।

निष्कर्ष

• इस लेक्चर में हमने फंक्शन, उनके प्रकार और उनके महत्व को समझा।
• प्रश्नों का उत्तर देकर फंक्शन की समझ को सुदृढ़ करें।
• जैश्री कृष्ण, राधे।