हलो प्यारे बच्चों, सभी को मेरी तरफ से हमेशा की तरह, जैशरी कृष्ण, राधे, तो welcome to another mind map series on functions, और functions जैसा कि आप जानते हैं, it is the foundation, बुनियाद है, किसकी, calculus की, यानि यही से कैलकुलस की, टेल के लिए ज्यादा अच्छा आप एक नोटबुक और पेन के साथ बैठ खटा-खटा नोट करते जाएं ताकि आपके इस लेक्शन के अंत तक आपके एक शॉट नोट तैयार हो जाएं तो ध्यान रखिए कभी भी एफ एक्स बराबर एफ इनवर्स एक्स को सॉल्व आपको सॉल्यूशन एफेक्स बराबर एक्सरक्कर ही मिल जाएंगे इसके ऊपर जी में एक बार सवाल पूछ चुका है अभी तो जितने भी क्लास में आपको क्वेश्चन करा हैं आप उन सारे क्वेश्चन को एक बार पढ़ दीजिए करके देख लीजिए तो ऐसा आने से आपका चप्टर पूरी तरीके से रिपेर कर जाएगा अलो प्यारे बच्चों सभी को मेरी तरफ से हमेशा की तरह जय शुरीकृष्ण राधे तो वेलकम टू अनदर माइंड ब्लॉइंग माइंड मैप सीरीज ऑन फंक्शन यानी के आज के इस रिविजन यानि के फंक्शन में जितने भी थिरिटिकल पॉइंट्स है वह सारे के सारे पॉइंट्स आपके ब्रेन पर मैप करने वाले हैं और फंक्शन जैसा कि आप जानते हैं इट इस द फाउंडेशन बुनियाद है किसकी कैलकुलस की यानि यही से कैलकुलस की शुरुव जादा अच्छा होगा आप एक notebook और pen के साथ बैड़ जाएं और खटा-खटा note करते जाएं ताकि आपके इस lecture के अंत तक आपके short notes तयार हो जाएं, जो definitely आपको revision में काफी फाइदा देंगे exam से पहले, तो चलिए जानते हैं सबसे पहले what is a function, function है क्या, a function f from a to b is a special type of relation which associates to each and every element of a unique element of b, यानि function एक relation ही होता है, every function is a relation, but every relation is not a function, लेकिन जो function है, वो special type of relation होता है, जहाँ पर A का हर element, B के किसी ना किसी element के साथ uniquely associated होता है, यानि यहाँ पर कोई भी ऐसा element A का नहीं होता, जो B के किसी ना किसी element से associate ना हो, और दूसरी शर्द, association कैसा होना चाहिए, यहाँ का एक element, वहाँ के दो elements के साथ associate नहीं होना चाहिए, तब जाकर वह relation, फंक्शन बनता है इसे आप ऐसे याद रखें relation is पुरुष and function is महापुरुष तो हर महापुरुष पुरुष तो होता ही है लेकिन हर पुरुष महापुरुष नहीं होता तो every relation is a पुरुष and every function is a महापुरुष और महापुरुष जो निकल कर आते हैं वो पुरुषों में से मान लीजिए A का कोई element है A और वो B के साथ associated हो, यानि के ये हमारे पास set है A और यह set है B, suppose this set is A and this set is B, और A का यहां से यहां क्या है, association कौन कर रहा है, function F कर रहा है और इसका element है A, और उसने इसको associate किया किस से, B से associate किया, तो A को क्या बोलते हैं, A को बोलते है pre-image, this is called as pre-image of A. प्रीमेज ऑफ बी दिस इसका लेस्ट प्रीमेज ऑफ बी एंड दिस इसका लेस्ट इमेज ऑफ ए और इसको मैसे लिखते हैं और इस पर इस चीज को मैसेज लिख सकते हैं द वैल्यू ऑफ फंक्शन एट बी द वैल्यू ऑफ फंक्शन एट बी एट एक्स इक्वल टू आट ए इस बी अ that is, इसको ऐसे लिखा जाता है, F of A is equal to B, यानि function की value A पर B है, तो अगर function एक element A को B पर map करता है, तो B को तो बोलते हैं image, और A को बोलते हैं preimage of B, और या फिर हम इस चीज़ को ऐसे भी बोल सकते हैं, कि function में, अगर A डालोगे, तो output B आएगा, या फिर F की value A पर कितनी है, B है, लिखे न, so that is how you should know, कि mapping कैसे की जाती है और कैसे एक element को दूसरे element पर map करता है function, function का दूसरा नाम क्या है, साथ-साथ mapping भी कहलाता है, function is also called as mapping, mapping बोलो या function बोलो, बात एक ही है, क्योंकि एक तरीके से function क्या करता है, a elements को b elements पर map करता है, तो आपको मुझे बताना है, जैसे अब इससे शायद और clarity क्या यहाँ पर A सेट का हर element associated है, हाँ associated है, क्या association unique है, यहाँ का एक element, यहाँ के सिर्फ एक element से associate होना चाहिए, बिल्कुल सर, यहाँ, तो यह है, एक function है, so therefore this is a function, क्या यह function है, यहाँ A का हर element, B के किसी ना किसी element से associate तो है, लेकिन association unique नहीं है, unique का मतलब, यहाँ का यह element, y1 से भी associated है, y2 से भी associated है, यानि एक element कितने से associated है, दो से, जबकि function के definition में मैं लिखा था, कि definition क्या है, every element of a is associated to unique element of b, तो यहां association unique नहीं है, so this is not a function, क्या यह function होगा, बिल्कुल सही कह रहे हैं आप, यह function नहीं होगा, कारण क्या है, जल्दी से नीचे comment box में लिखो, फिर जो c part है, क्या यह function है, अगर नहीं है तो हमने cross लगा दिया, क्यों नहीं है, नीचे comment box में अभी की अभी लिखो, ताकि मुझे पता जले कि हाँ तुम्हें function के definition clear हो गई, अच्छा एक चीज और, यहाँ पर अगर mapping जैसे, यह relation क्या बन गया, function, तो हम कैसे कह सकते हैं, fx1 is equal to y1, ऐसा भी कह सकते हैं तो अगर मैं पूछू pre-image of y1, तो pre-image की बजाएं यहां हो जाएगा pre-images of y1, और वो हो जाएगा x1, x2, इस case में, that will be the pre-images, अगर मैं आपसे पूछू image of x3, या image of x2, then that will be y1, image of x2 under f, pre-image of y1 under f, तो यह हो जाएगा, तो मेरे खास आपको बहुत अच्छे समझ में आ गया, image क्या है, pre-image क्या है, function की value किसी point पर से क्या मतलब है, function को समझने का एक बहुत ही और बहतरीन तरीका है, function को हम समझ सकते हैं एक machine की तरह, function को हम समझ सकते हैं एक machine की तरह, a function is like a machine which picks up its input, जो अपने input कहां से उठाता है, it picks its input from the set A, ये set A से अपने input उठाता है, और जो यहां से आउटपुट देता है वह देता है सेट बी में तो फंक्शनिक मशीन की तरह है यहां ऐसे क्या आते हैं सारे के सारे इनपुट्स एक सारे के सारे एफ के सारे इनपुट्स और यहां बी में जाते हैं सारे आउटपुट्स अक्सर क्लास में मैं इसको बहुत अच्छे से ऐसे एक्सलेन करता हूं जैसे कि आटा चक्की आप समझें आटा चक्की जरूर देखी होगी तो आटा चक्की जो है जहां पर गेहूं पिसाते हैं शायद आपके महले में शायद आप आपके गाउं में हो शायद आपके नगर में हो शायद आपके जीले में कहीं ना कहीं आपने डिफिनेटली कभी ना कभी एक आटा चक्की विजिट की होगी तो आटा चक्की इज ए ब्यूटिफुल एग्जांपल आफ फंक्शन तो आटा चक्की क्या है एक आटा चक्की सम� और वहे बाहर एक बोरे में collect होता है, और वहे सारा का सारा आटा ऐसे जमीन पर नहीं भिकरता, एक बोरे के अंदर collect होता है, वो बोरा कहलाता है co-domain, तो यहाँ पर input हो गया domain, यहाँ पर एक बोरा कहलाता है co-domain, और बी वो बोरा है जहाँ पर सारे outputs आ रहे हैं, यह है co-domain, और इसी के अंदर भरा हुआ है range, तो diagrammatically अगर मैं आपको यहाँ दिखाऊं, तो यह है A, यह है बी और यह है फंक्शन मान लीजिए फंक्शन एफ के सारे एलिमेंट्स को मैप कर देता है इस रीजन के अंदर-अंदर यानि यहां जो भी एलिमेंट्स थे जितने भी यह सारे-सारे यहां मैप हो जाते हैं तो यह वाला जो रीजन है यह रीजन यह कहलाता है रेंज यह रेंज और यह रीजन कहलाता है डोमेन दस पॉइंट डोमेन का मतलब जो मशीन में इनपुट्स हम डाल रहे हैं वह डोमेन कहलाता है यह सेट ऑफ ऑल इनपुट्स इस कॉल्ड आज डोमेन एंड द सेट ऑफ ऑल आउटपुट्स इस कॉल्ड आज रेंज और यह सबके सब जिसके अंदर कंटेंड होते हैं वह कहलाता है को डोमेन ठीक है हमारे लिए इंपॉर्टेंट रेंज और domain होती है, co-domain question में दी होगी, उसकी चिंता आपको करने की ज़रूरत नहीं है, तो अगर f a to b function है, तो आप समझ जाएं कि a तो क्या हो गया, domain हो गया, और b क्या हो गया, co-domain हो गया, और range हमेशा इसी के अंदर आएगी, तो एक बात बिल्कुल साफ है, clearly, जो range होती है, वो हमेशा, co-domain का subset होती है range is always a subset of co-domain रेंज हमेशा एक सबसेट होती है किसका कोडोमेन करें जो आप सबसेट आपको डोमेन क्योंकि वह उसी के अंदर कंटेंड होती है तो डिफिनेटली वह सबसेट होगी कोडोमेन का ठीक है यह बात क्लियर हो गई मेरे खास से सारी चीजें समझ में आई तो यहां हमने पढ़ा फंक्शन एजा मशीन के फंक्शन को हम मशीन की तरह सोच सकते हैं जिसमें एक सेट आफ इनपुट होता है और एक सेट आफ आउटपुट होता है तो function is like a machine, machine and function are one in the same thing, ठीक है ना, तो machine बोलो, या function बोलो, एक ही बात है, so machine is equal to a function, बरिखास एक बात बहुत अच्छे से, समझ में आ गई होगी, ठीक है, तो यहां, उन ही सारे से सारे points का, summarization कर देते हैं, देखो, domain is the set of all inputs of function, range is the set of all outputs of the function, in other words, it is hit of all values which a function can take, यानि वो सारे output जो function से बाहर आते हैं, किसी भी continuous function के लिए, यह बहुत important है, किसी भी continuous function के लिए, the interval from minimum to maximum value, gives its range, जैसे sign है, sign function कैसा, continuous, उसका graph कहीं पर भी तूटता नहीं है, उसकी minimum value कितनी, minus 1, maximum value कितनी, 1, तो उसकी range हो गई, minus 1 से 1, that gives you the range for any continuous function, y equal to x square है, parabola, आपको पता है minimum value 0 और maximum value it goes to infinity, तो हम कह सकते हैं इसकी range हो जाएगी, 0 से infinity, close 0 से open infinity, if a function from A to B, if F is a function from A to B, B को क्या बोलते हैं, codomain, और A को बोलते हैं domain, range is always a subset of codomain, तो हमने एक तरीके से यहाँ पूरा का पूरा, जो अभी आपको बताया, उसका निचोड यहाँ आपके सामने रख दिया, फिर आते हैं vertical line test, कैसे हम किसी graph को देखकर, किसी curve के graph को देखकर यह पता लगा सकता है, जा सकते हैं कि वह ग्राफ एक फंक्शन का है या फिर एक फंक्शन का ग्राफ नहीं है तो इसका सीधा साधा सा टेस्ट है कि आप वाय एक्सिस के पैरलेल लाइन बनाएं अगर हर लाइन जो बाय एक्सिस के पैरलेल बने वह ग्राफ को हद से हद एक पॉइंट पर काटे तो डेफिनेटली जो करव आपको दी गई है वह एक फंक्शन को रिपरेजेंट करती है सो व्हाट इज वर्टिकल क्या यह function है, जो हमने यहां आपके सामने रखा है, क्या यह function है, नहीं, यह function नहीं है, क्यों, क्योंकि यहां एक vertical line, definitely इसके गाफ को एक point पर नहीं, एक से ज़दा point पर काट रही है, क्या यह function है, is this a function, देखा जाए, तो सर कोई भी vertical line बना लीजे, बिल्कुल सर, यह तो function है, क्या यह function है, नहीं, यह function नहीं है, क्योंकि अगर आप एक vertical line यहां बनाएंगे, तो डिफिनेट लीट कट दिस एट इनफानिट नंबर फॉर सुधे फॉर दिस नॉट फंक्शन यह फंक्शन नहीं है अगर ऐसी बनाएं ग्राफ यह फंक्शन है बिल्कुल यह फंक्शन है क्या यह फंक्शन है यह भी फंक्शन है यह फंक्शन नहीं है वर्टिकल आईन अब कुछ important types of functions पर बात करते हैं, सबसे पहले है polynomial function, तो अब हमने जान लिया range क्या है, domain क्या है, co-domain क्या है, function क्या है, image of an element क्या है, pre-image of an element क्या है, है न, ये सब चीज़े जान ली, range हमेशा co-domain का क्या होती है, subset होती है, और साथ किसी graph को देखकर हम पैचान सकते हैं, सबसे पहला है polynomial function, polynomial function बच्चपन से पढ़ते आ रहे हैं, quadratic में पढ़ा हमेशा से जान रहे हैं, polynomial function होता है a0 x की power n, a1 x की power n-1 and so on up to a n, यानि के यहां जो n है, वो क्या है, whole number है, n क्या है, whole number और a0, a1, a2, a n, ये सबके सब real numbers हैं, real polynomial के लिए, और a0 0 नहीं है, इसको हम बोलत highest degree power of x का coefficient, ये zero नहीं है, तो हम कहते हैं ये एक polynomial function है, जिसकी degree n है, तो अगर यहां अंग्रेजी को छोड़ा जाए, सीधी-सीधी भाषा में बात करूँ, तो भाईया एक ऐसा expression जिसमें सिर्फ x, x और x की कुछ powers दिखाई दें, और वो powers भी कैसी, whole numbers, यानि कोई भी power negative ना हो, कोई भी power fractional ना हो, तो ऐसा expression जो कहलाता है, जो दिया गया है, वह polynomial कहलाता है. सचा expression is called as polynomial function, जैसे example के दोर पर अगर मैं आपसे कह दूँ fx बराबर, fx बराबर x square या x cube, माइनस एक्स स्क्वेयर प्लस पाई एक्स प्लस थ्री क्या यह है एक पॉलिनॉमियल फंक्शन है नीचे कमेंट बॉक्स में लिखकर बताइएगा है ना यह पहला पार्ट और दूसरा पार्ट मैं लिख रहा हूं एक्स क्यूब प्लस एकी पावर एक्स स्क्वेयर माइ या नहीं है, देखते हैं कितने लोग सही से पचान पाएंगे, नीचे मुझे कारण भी बताएंगे, कि यह polynomial है या नहीं है, ठीक है, यह polynomial है या नहीं है, और नहीं है तो क्यों नहीं है, अब polynomial function के बारे में बहुती important सी बात, पहली, सबसे पहली, जितने भी polynomial functions होते हैं, यानि जितने भी polynomial functions हैं, तो interval from minimum to maximum value will give you the range of all polynomial functions, और, दूसरी important बात, तो यहाँ पर आपने देख लिया, polynomial function is always continuous, तो ध्यान रखेगा polynomial function हमेशा continuous होते हैं, और इस relation को satisfy करने वाले, fx into f of 1 upon x is equal to fx plus f of 1 upon x, इस relation को satisfy करने वाले, दुनिया में दो polynomial functions हैं, fx non-zero है, non-zero दो polynomial functions हैं, और वो क्या है, fx equal to x की power n plus 1, या फिर 1 minus x की power n, जहां n एक positive integer है, तो इस condition को satisfy करने वाले, non-zero, दुनिया में सिर्फ non-zero, non-constant polynomial अगर मैं कहूं, तो ऐसे सिर्फ दो ही हैं, और वो क्या है, fx equal to 1 plus minus x की power n, तो यह चीज़ ध्याद रखेगा, इसके अलावा अगर देखा जाए, तो fx बराबर 0, और fx बराबर 2, fx बराबर 2, यह है भी ऐसे, दो polynomial functions हैं, जो इस condition को satisfy करते हैं, आप कहोगे, ये polynomial कैसे है, बिल्कुल ये polynomial है, कितने degree का, 0 degree का, और fx बराबर 0, 0 function, यह भी एक polynomial function है, इसकी degree defined नहीं होती, ठीक है न, इसको तो लिख सकते है, 2 into x की पार 0, और यहाँ पर इसकी degree defined नहीं है, तो 0 function, 0 polynomial, as well as constant polynomial fx equal to 2 also satisfies this condition.
अब, राशनल फंक्शन क्या होता है, अगर आप दो polynomial को लेकर divide कर दें, तो जो नया फंक्शन बनता है, उसे हम कहते हैं rational function, तो what is a rational function, it is the ratio of, comes from the word ratio, it is the ratio of two functions, दो functions का ratio है, जहां hx 0 polynomial नहीं है, और इसकी domain क्या होगी, domain का मतलब क्या हुआ, set of all inputs, जो चीज फंक्शन में डाली जा सके, अगर हम कहें आठा चक्की में गेहू डाला जा सकता है, दाले डाली जा सकती है, तिलहन डाला जा सकती है, सकता है तो वह सब उसकी डोमेन में आएगा लेकिन कल कोई बोले आटा चक्की में हम पत्थर डाल दे तो पत्थर उसकी डोमेन में नहीं आता कि फंक्शन उस पर काम नहीं कर पाएगा तो कहने का मतलब है फंक्शन की डोमेन होती है वह सारे इनपुट्स जिस पर फंक्शन क्या कर सके काम कर सके और एक फाइनल आउटपुट दे सके ठीक है ऐसे इनपुट को क्या बोलते हैं डोमेन तो यहां पर इस केस में इस फंक्शन की डोमेन होगी भाई एच एक्स जहां जीरो बनेगा वह पॉइंट अगला आता है, signum function, signum function को हम sign function भी कहते हैं, इसका दूसरा नाम क्या है, sign function, क्योंकि एक तरीके से आपको input का sign बताता है, देखें कैसे, अगर input 0 से बड़ा है, तो answer देगा plus 1, अगर input 0 से छोटा है, तो answer देगा minus 1, और अगर input 0 है, तो यह answer देगा 0, तो एक तरीके से यह आ� इसका graph कैसा दिखाई देगा, the graph of signum function, जल्दी से बताओ, बिल्कुल सही सोच रहे हो, कैसा graph दिखाई देता है इसका, so the graph of signum function looks like this, यह हो जाता है graph of signum function, तो यह हो गया 1, यह हो गया minus 1, और 0 पर value 0, so that is the graph of signum function, और यह है जो graph है, यह जो ग्राफ है, अगर मैं आपसे इसकी domain पूछूं, तो domain होगा, यह हर R पर defined होता है, पूरा R, domain है R, और इसकी range क्या होगी, range होगी, तिर्फ तीन numbers, minus 1, 0, और 1, these are the, this is the range of this function, signum function, तिर अगला आता है, logarithmic function, fx is equal to log x base a, इसके लिए आप जानते हो जहां A0 से बड़ा हो, A1 नहीं होना चाहिए, इसकी domain जो होगी, domain का मतलब input, input क्या-क्या हो सकते हैं, sir, domain होगा, domain होगा x should be greater than 0, that is r plus, r plus is the domain, और जो range होती है, range is the entire r, और इसका graph आप सब लोग जानते हैं, कैसा दिखाई देता है, the graph of logarithmic function looks like this, ऐसा दिखाई देता है, यह कब दिखाई देता है, जब a वन से बड़ा हो, ग्राफ कैसा होता है, increasing, इस case में ग्राफ है increasing, basic math नहीं बताया था, और अगर इसको देखा जाए, तो यह है, अगर a 0 से 1 के बीच में हो, लेकिन दोनों ही स्थितियों में, दोनों ही परस्थितियों में, जो range आती है, वो पूरा r आती है, log x base a, so that is logarithmic function, एक चीज और बता दें, अगर मान लो कभी ऐसा लिखा हो, log of, fx to the base gx और आपको ये function hx दे रखा हो और इसकी domain आपसे पूछी जाए तो इसकी domain के लिए क्या करोगे, sir fx को 0 से बड़ा रखेंगे and gx को 0 से बड़ा रखेंगे और साथ में gx 1 नहीं होना चाहिए, gx is not equal to 1, फिर हम इन तीनों का intersection कर देंगे और intersection करने के बाद जो हमारे पास finally जो answer आएगा, वो आजाएगा domain, वो किसका domain आजाएगा, domain of h, वो आजाएगा domain of h x, यह हमारे पास domain आजाएगा, अगला आता है absolute value function, या फिर जिसे हम modulus function भी कहते हैं, fx बराबर modulus of x, और यह बराबर होता है x के, अगर x greater than or equal to 0 हो, और अगर x less than 0 हो, तो minus x, तो इसका graph आप जानते ही है, the graph of mod of x looks like looks like what? a v-shaped graph it is a v-shaped graph, यह है एक v-shaped graph होता है, जिके 0 पर, so that is a v-shaped graph modulus of x इसका domain क्या होगा? तो domain होता है पूरा r, और range होता है 0 से in infinity 0 to infinity that is the range of absolute value function फिर आते हैं ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन पर ना वह टेस्ट इंटीजर फंक्शन ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन आफ एफेक्स इगल टू स्क्वेयर ब्रैकेट एक्स उठाओगे पहली बात उसका डोमेन है पूरा आर इसका डोमेन क्या है पूरा आर जब भी आप अ domain में से x उठाओगे, input उठाओगे, दो बाती होगी, या तो वो integer होगा, या फिर वो integer नहीं होगा, अगर वो integer हुआ, तो fx is equal to greatest integer of x, अगर वे integer हुआ, इसका value, if x is an integer, x belongs to integer, तो उस case में direct output x ही आ जाएगा, और अगर x integer नहीं हुआ, इफेक्ट्स नॉट एन इंटीजर तो इट एड फैक्ट इफ पिक अप एनी नाचर एफ पिक अप एनी रियल नंबर विच इज नॉट एन नॉन इंटीजर रियल नंबर उठाएंगे तो डेफिनेटली वह दो कॉन्सेक्यूटिव इंटीजर के बीच में लाइट करेगा और ग्रेटेस्ट इंटीजर का आंसर होगा आप इसका जवाब हो जाएगा वही इसका आंसर हो जाएगा यह कब है एक्स इंटीजर को बिलॉंग नहीं करता एक्स डॉज नॉट बिलॉंग टू इंटीजर तब यह हो जाएगा इसकी जो रेंज आती है क्योंकि इसकी रेंज में अगर एक्स इंटीजर है बाहर ऐसे का ऐ तो that is the range of greatest integer function and domain is R. Properties की बात करें, तो x जो है, वो हमेशा greatest integer of x से बड़ाया बराबर, और greatest integer of x plus 1 से छोटा होता है, इसका use sandwich theorem में भी किया जाता है.
Greatest integer of x plus m, जहां m को integer है, तो ये क्या करता है, हमेशा integer को बहार spit out कर देता है, यानि के integer बहार आजाएगा अगर plus में या minus में हो, तो integer will always come out, ध्यान रखियेगा. अगर addition में है या subtraction में integer है तो वो बाहर आ जाएगा as it is product में या division में होगा, तो बाहर नहीं आएगा, यानि कल को अगर ऐसा लिखा है, greatest integer of x minus 2, तो आप इसे लिख सकते हो, greatest integer of x minus 2, ऐसे लिखा जा सकता है, अगर ऐसा लिखा हो, greatest integer of x plus 3, या 2x plus 3, then it will be just 2x plus 3, यह 2 बाहर नहीं आ सकता, प्रोडक्ट में है, तो सिर्फ addition, या subtraction में ही integer बाहर आता है greatest integer of x plus greatest integer of minus x यह होता है 0 अगर x integer है और अगर x integer नहीं है तो इसकी value minus 1 होती है you should remember these three properties यह continuity वेगरा में कहीं जगा पर use होता रहता है greatest integer का graph कैसा दिखाई देता है it is a step up graph staircase graph होता है 0 से 1 के बीच में 0 से 1 के बीच में जो वैल्यू आती है वह हमेशा जीरो आती है वन पर वैल्यू वन एंड इट टेस टू बी वन इल टू इट स्टेश टू वीवन न वन रहती है वैल्यू और टू पर वैल्यू फिर टू हो जाती है और इस तरह से ग्राफ आगे बढ़ता चला जाता है लड़ इस हॉट प्रोसीड यह थ्री और इधर यह माइनस वन फिर यहां यह माइनस टू नाट इज हाविट रोसी सो दिस द ग्राफ ऑफ वाइ इज इकुल टो ग्रेटेस्ट इंटीजर ऑफ एक्स यह ग्राफ कैसा है नोन डिक्रीजिंग फंक्शन नगर ने वाला फंक्शन है इसका मतलब हुआ इफ डाइस इफ एक्स वन इस ग्रेटर था एक्स टू तो इन ग्रेटर सिंटीजर ऑफ एक्स वन इस बाउंट टू वी ग्रेटर था ने इक्वल टू ग्रेटर सिंटीजर ऑफ एक्स टू था टू व्हाट वी मीन बाय नॉन डिक्रीजिंग तो दिस ग्राफ इस अ नॉन डिक्रीजिंग पंक्षन ठीक है तो यह याद रखें फिर आता है आप सम इंपोर्ट टाइप फंक्शन में आता है फ्रैक्शनल पार्ट फंक्शन यह है इसका एक नज़दी की रिष्टा है किसके साथ greatest integer function के साथ और यह defined कैसे है fractional part function is defined as zx is equal to fractional of x इसको fractional of x में curly bracket लगाते हैं it is x minus greatest integer of x x minus greatest integer of x अब यह भी हमने देखा था कि greatest integer of x हमेशा x से बड़ा होता है और greatest integer of x plus 1 से छोटा होता है अब यह भी हमने पढ़ा properties of greatest integer में तो अगर मैं इसमें अगर मैं इसको देखूं तो x minus greatest integer of x इस ना यह डिवाल वेस लेस्ट दन इकुल टू मेरे ख्यास में उल्टा लिखा है आपने उल्टा लिखा था यह डिवाल दन इकुल टू ग्रेटेस्ट इंटीजर ऑफ एक्स यह याद है वहीं बिल्कुल सर यही थी हमें याद है सर ऐसी इन दोनों को लेकर लिखूं, तो मैं कह सकता हूँ यहाँ 0 is greater than or equal to x minus greatest integer of x, यह क्या बन गया, सर यह बन गया fractional of x, तो fractional of x हमेशा 0 से बड़ा होता है, अब इन दोनों को पकड़ लो, तो यहाँ पर x minus greatest integer of x is less than 1, तो fractional of x हमेशा 1 से छोटा होता है, fractional of x हमेशा 1 से छोटा होता है, यहाँ से हम कह सकते हैं कि fractional x की value belongs to 0 to 1, तो range जो हो गई fractional x की, range हो गई closed 0 से open 1, और domain तो पूरा r है ही, domain is the entire r, so that happens to be the domain of this function, and this is the range of this function, प्राक्षनल अप एक्स की value हमेशा 0 से 1, greatest integer of fractional of x, वह हमेशा 0 होगा, देखिए एक चीज़ याद रखियेगा, कि fractional of x, 0 होता है, this implies x belongs to integer, क्योंकि यह x minus greatest integer of x होता है, और यह 0 कब होगा, सर जब x और greatest integer x बराबर होंगे, x और greatest integer x बराबर कब होते हैं, जब x integer होता है, क्यों, integer पर ही greatest integer of x की value, direct x आ जाती है, तो इसलिए यह 0 तब होता है, जब x क्या हो, integer हो, यह चीज याद रखेंगे, तो इसलिए, fractional of greatest integer of x, या फिर greatest integer of fractional of x हमेशा 0 होगा, यह 0 क्यों होगा क्योंकि greatest integer of x हमेशा integer उसका fractional part हमेशा 0, fractional part हमेशा 0, क्योंकि integer का fractional part हमेशा 0 हो जाता है, यह 0 क्यों होगा, नीचे comment box में खुद बताना मुझको, fractional part of x is equal to x, fractional part of x, दो बार fractional part लगा हो, तो direct fractional part of x आ जाता है, क्यों आता है, सोचके बताईएगा, इसके लिए बस मैं आपके छोटा सा hint दे सकता हूँ, कि अगर x 0 से 1 है, if x belongs to 0 से 1, तो greatest integer of x की value 0 होती है, इसका मतलब fractional of x, जो के x minus greatest integer of x होता है, यह x ही हो जाएगा, तो यह है एक छोटी सी बात, जो मैंने आपको बताई, याद रखेगा, इसी के basis पर आप कह सकते हैं, कि fractional of x, हमेशा fractional of x ही हो जाएगा, क्यों हो जाएगा, अब आप मेरे खासे कारण समझ गया होंगे, तो नीचे मुझे जरूर समझाईए एक बार, कि ऐसा क्यूं होगा, ताकि मुझे समझ में आ गया है, आपको समझ में आ गया है, ये clear हुआ, हाँ सर, एक और food for thought आपके लिए सोड़ कर जा रहा हूं, अगर मैं आपसे पूछूं, क्या होगी, इसका जवाब आप मुझे बताईएगा, और साथ fractional of x, और यहाँ पर इसी तरीके से fractional of x लगे हैं, कितनी बार 2025 times, यह लगे हुए हैं, fractional of x, यह वाले, यह पूरे, यहाँ से यहाँ तक, कितनी बार लगे हैं, 2025 times लगे हैं, तो इसकी value क्या आएगी, वह मुझे जरूर बताइएगा और यहां पर अगर मैं यह लगा दूं रिटेस्ट इंटीजर इसकी वैल्यू क्या आएगी यह जरूर मुझे बताइएगा नीचे कमेंट बॉक्स में लिखकर राशिनल ऑफ एक्स कि दुगली प्रावर अगली प्रॉब्लम प्राक्शनल वन अगर x integer नहीं है और integer है तो value हो जाती है zero, इसका graph कैसा दिखाई देता है, इसका graph ऐसा दिखाई देता है, the graph of fractional of x looks like this, ऐसा दिखाई देगा भाई देखो, the graph of fractional of x is this, ये line आएगी y equal to x और फिर, यही लाइन आगे तिर यही लाइन यहाँ तिर यही लाइन आप पीछे बना सकते हैं तो वह जो ग्राफ फ्रैक्शनल ऑफ एक्स जीरो पर value 0, यह y equal to x, यह y equal to x minus 1, और यह value है 1, यह value है 2, यहां open, और y equal to x minus 2, और यहां फिर से blank dot, और यह line है y equal to 1, यह वाली line 1 है, and here you have a blank dot. यहाँ पर फिर से आपके पास एक फ्लैंक डॉट होगा, और यहाँ यह minus 1, यह minus 2, यह line है y equal to x plus 1, और यह line है y equal to x plus 2, so that is the graph of y equal to fractional x, और आप देख सकते हैं, इसका जो value है, वो हमेशा 0 और 1 के बीच में रहता है, और सबसे important बात, fx बराबर fractional of x is a periodic function, ये कैसा function है, periodic function है, is a periodic function, with period 1, इसका period कितना होता है, इसका period होता है 1, period t is equal to 1, so you should remember this, तो ये function periodic है, और इसका period कितना होता है, 1 होता है, फिर मैं आपको एक छोटी सा entity और बता दू, greatest integer of x plus 1 upon n, फिर प्लस सो अन, greatest integer of x plus 2 by n, plus greatest integer of x plus n minus 1 upon n, is equal to greatest integer of nx, where x belongs to r, and n belongs to some natural number. This is called as Hermite's identity.
तो ये चीज़ याद रखियेगा, इसको बोलते हैं, Hermite's identity, and it holds for all x belonging to R, and n belongs to, belonging to, integer, n किसको belong करेगा, integer को, so this is called as Hermite's, Hermite's identity, Hermite's identity, so this is the Hermite's identity, we should remember this, ना जाने किस रूप में राम मिल जाएं, यह चीज याद रखिएगा भर्माईड्स आइडेंटिटी तो ग्रेटेस्ट इंटीजर प्रैक्शनल पार्ट की कहानी खतम हुई यहां हम आपको साथ एलजेब्रा फंक्शन के बारे में बता दें एलजेब्रा आफ फंक्शन्स यानि के हम फंक्शन्स को कैसे जोड सकत जाते हैं लेट अच्छी एलजेब्रा फंक्शन्स मान लीजिए वी है वह फंक्शन एफ कॉमा जी आर टू फंक्शन्स आटू फंक्शन्स विद डोमेन डीएफ कॉमा डीजी रिस्पेक्टिवली तो सबसे पहले उनका सम एफ प्लस जी ऑफ एक्स प्लस माइनस इस डिफाइंड टू भी एफ एक्स प्लस माइनस जी एक्स इसी तरीके से इन दोनों का मल्टिप्लिकेशन एफ इंटू जी आफ एक्स इस एफ एक्स इंटू जी एक्स और थर्ड इन दोनों का डिविजिन एफ बाय जी आफ एक्स डिफाइंड टू भी एफ एक्स अपान जी एक्स इसका जो डोमेन होगा डोमेन होगा इसका विल बी इक्वल डोमेन ऑफ इंटरसेक्शन डोमेन ऑफ जी इसका डोमेन भी पेम होगा तो मैं कह सकता हूं दोमेन ऑफ दिस एज वेल इस दिस आर से दोनों का डोमेन यही होगा तो दोनों का डोमेन यही है यानि डोमेन ऑफ एफ इंटरसेक्शन डोमेन ऑफ जी दो मैन ऑफ एफ इंटू जी एफ प्लस जी और एफ माइनस जी और एफ एक्स बाइट जी एक्स का डोमेन जो होगा वह है डोमेन ऑफ डोमेन कितना होगा इसका डोमेन होगा डोमेन ऑफ एफ इंटरसेक्शन डोमेन ऑफ जी माइनस तो सेट आफ ऑल इनपुट्स तो जैट जी एक्स इजी इकुल टू जी रू यानी इसमें वह एक्स हटा देंगे जो के आर जहां पर GX क्या हो रहा होगा, 0 हो रहा होगा, वो सारे X हम यहां से हटा देंगे, set of all X at which GX becomes 0. Next, आते हैं equal और identical functions पर, equal और identical functions क्या होते हैं, कब हम कहते हैं दो functions equal या identical हैं, equal तब होते हैं जब domain दोनों की same हो, दोनों की range same हो, और हर input पर दोनों का output same है, सिर्फ इससे काम नहीं चलेगा कि दोनों की domain same हो, range same हो, ऐसे तो sign और cos की domain भी same है, range भी same है, लेकिन यह दोनों functions identical नहीं होते, बिल्कुल एक जैसे नहीं होते, sign अलग होता है, cos अलग होता है, तभी तो दो different trigonometric ratios हैं, तो सिर्फ domain और range का same होना ही, equal या identical के लिए काफी नहीं है, साथ में condition और लगेगी, कि हर input पर उनका output same आना चाहिए, यहाँ एक important point, कॉमा जी आर आइडेंटिकल फंक्शंस इस इंप्लाइज एंड इंप्लाइज बाय वाइट एक्वल टू एफ एक्स एंड वाइट एक्वल टू जी एक्स आफ सेम ग्राफ एवं पेम ग्राफ दोनों के ग्राफ कैसे होने चाहिए पेम होने चाहिए तो अगर दो functions के graph बिल्कुल एक जैसे हैं, तो वो दोनों equal हैं, या आइडेंटिकल कहलाएंगे और अगर इक्वल या आइडेंटिकल है तो दोनों के ग्राफ सेम होंगे अब आते हैं नेक्स्ट टाइप फंक्शंस पर यानि फंक्शंस के अलग-अलग टाइप क्लासिफिकेशन बेसिकली है ना आ प्लासिफिकेशन और फंक्शंस तो सबसे पहला वन-वन फंक्शन क्या होता है अगर अ एक आपको पता है फंक्शन की जो परिभाष है उसके हिसाब से एक आखर एलेमेंट बी के किसी ना किसी एलेमेंट के साथ एसोसिएट होना चाहिए और वह एसोसिएशन यूनिक होना चाहिए यहां से एक एलेमेंट सिर्फ एक ही से एसोसिएट होगा लेकिन यह जरूर हो सकता है दो अलग-अलग एलेमेंट एक ही से एसोसिएट हो जाएं ऐसा जरूर हो सकता है वन आनी चाहिए कुल मिलाकर नो टू डिफरेंट एलेमेंट्स ऑफ ए शुड हैव द सेम अ image in B, दुबारा सुन लीजिये क्या बोला मैंने, 11 function का मतलब है, no two different elements in A, should have the same image in B, यानि के अगर x1, x2 के बराबर नहीं है, तो fx1 भी fx2 के बराबर नहीं होना चाहिए, तो two different elements will always have two different images, their images cannot be same, जैसे fx बराबर x2 है, क्या ये function 11 होगा, नहीं है function 11, नहीं होगा, क्यों नहीं होगा 11, क्योंकि अगर minus 1 डालू तो भी output 1 आता है, 1 डालू तो भी output 1 आता है, therefore this function is not 1, signum function क्या 1, 1 है, 2 पर value, signum की 1 आएगी, 3 पर value भी 1 आएगी, तो definitely वहे भी 1, 1 नहीं है, क्या greatest integer 1, 1 है, नीचे comment box में बताईएगा, क्या fractional part of x 1, 1 है, क्या logarithmic function 1, 1 है, नीचे comment box में बताईएगा, तो यह हो गया 1, 1 function, many one यह सब पर मत जाना many one का मतलब है जो 11 नहीं होता वह many one होता सिंपल सी परिभाशा है अब फंक्शन विडियोस नॉट 11 इज मैंनी वन डाट इज एट इस तो यू नियुक्त फॉल इंटू ऑल दीज इंग्लिश फिंग्स तो क्या बोला मैंने 11 क्या है अलग-अलग एलिमेंट्स की मेज अलग-अलग किनी दो सेम एलिमेंट किनी दो अलग-अलग एलिमेंट की में सेम नहीं आनी चाहिए और अगर ऐसा हो जाए तो वन हो जाएगा यानी क्या हम कह सकते हैं क्या हम कह सकते कर सकते हैं कि दुनिया के सारे फंक्शंस को हम दो कैटीगरी में डिवाइड कर सकते हैं वन या मैनी वन ऑफ कोस्ट क्योंकि जो वन की झोली में नहीं गिरा वह मैनी वन की झोली में गिर जाएगा और जो मैनी वन की झोली में नहीं गिरा वह वन की झोली में गिरेगा ठीक है ना क्या हम दुनिया के सारे लोगों को दो में बाट सकते हैं स्त्रीयों पुरुष तो चना ठीक है हां तो मैनी वन तो फंक्शंस को बाट सकते हैं वन और मैनी वन अब सवाल तो पता कैसे लगाएंगे कोई फंक्शन वन है या नहीं है अगर कोई function ऐसा है जो अपनी domain में लगातार भड़ता रहे या लगातार घटता रहे ऐसा function हमेशा वन-वन होता है a function is one-one if and only if a horizontal line intersects its graph at most once यानि के अगर कोई भी horizontal line ग्राफ को हद से हद एक ही point पर काटे तो हम कह सकते हैं function one-one होगा इसको confuse मत करिएगा vertical line test के साथ, वो function के लिए था, उसमें line parallel to y-axis की बात की थी, यहां parallel to x-axis की बात की जा रही है, जैसे के example के तौर पर, अगर मैं e की power x यह function देख लूँ, तो if I look at this function, और मैं यहाँ पर एक horizontal line बनाता हूँ, कोई भी horizontal line बनाओ, वो इसको हद से हद, कितने point पर काटेगी, एक पॉइंट पर काटेगी, तो fx बराबर e की पावर x पक्का 11 है, ये कैसा function है, 11, और गौर से देखिए ये function कैसा है, increasing है, ये function increasing भी है, तो अगर कोई function अपनी पूरी domain में increasing है लगातार, continuous function, तो वैसा function हमेशा कैसा होता है, 11 होता है, और दूसरा, अगर horizontal line, if every horizontal line intersects the graph of f at most many one कब होगा, देखिए many one कब होगा, अब जैसे अगर मैं आपसे पूछूं क्या modulus x 11 है, आप कहोगे नहीं, क्योंकि horizontal line उसे 2 point पर काट जाएगी, तो वो 11 नहीं है, any continuous function which is at least one local maximum or local minimum is said to be many one, क्योंकि अगर local maximum है या local minimum है किसी भी continuous function में, turn लेना पड़ेगा और जैसे turn लेगा या तो u turn लेगा या sharp turn लेगा horizontal line हमेशा उसको 2 या 200 जादा points पर cut कर जाएगी और उस वक्त वो function 1 नहीं रहेगा जैसे example के तौर पर हम इसको क्लास में एक सारे ऐसा बोलते थे कि भाईया अगर फंक्शन की मा जिंदा है या तो मैक्सीमा या फिर मिनी मा दोनों मा में से एक मैक्सी वाली या मिनी वाली दोनों वे से एक भी मिल जाए फंक्शन अनाथ नहीं है तो मान लेना फंक्शन मिनी वन होगा और फंक्शन की फंक्शन इस कंटिनियस और इस नो मा तो इस वन बट इफ देर इसमा तो फंक्शन इस मिनी वन जैसे अगर मैं बात करूं एफ एक्स बराबर एक्स स्क्वेयर की तो भाईया 0 पर क्या है इसकी मिनी मा तो definitely यह क्या हुआ यह है मिनी 1 हो गया तो जिस भी function की मैक्सिमा या मिनी मा जिन्दा है वह function कैसा होगा मिनी 1 होगा तो कभी भी आपको function पता लगाना हो वन है या मिनी 1 है तो मा का पता लगाओ अगर मा मिल जाए तो समझ जाना के function कैसा है वन function मिनी 1 नहीं है अगर मिल जाए तो इसलिए वह कैसा हुआ वन हुआ अब जैसे कि मान लीजिए हम एक फंक्शन यह बना लें यह फंक्शन क्या हुआ क्या यह मैक्सिमम इसकी मैक्सिमम आफ पर इट है जाएगा मैक्सिमम बट नॉट अ मिनिमम तो यह फंक्शन भी कैसा है टोटल नंबर फंक्शन देखिए चीज और याद रखिए मैंने वन नंबर वन फंक्शन प्लस नंबर अपनी वन फंक्शन इस इकुल टोटल नंबर फंक्शन फ्रॉम असेट एट टू सेट बी तो अगर सेट एसे सेट बी पर हमें टोटल नंबर फंक्शन निकालने कितने बन सकते हैं तो हम कह सकते हैं नंबर फ़ॉन फंक्शन प्लस नंबर आफ मैनी वन फंक्शन दोनों को जोड़ लिया जाए है वह जिव टोटल नंबर आफ फंक्शन वैसे के वैसे अगर मैं यहां पर आपको बताऊं अ अब बराबर पी हो और एन ऑफ बी बराबर क्यों हो तो नंबर फंक्शंस फ्रॉम एड टू बी कितने होंगे नंबर ऑफ फंक्शंस फ्रॉम एड टू बी कितने होंगे नंबर ऑफ फंक्शंस फ्रॉम एड टू बी होंगे यू टू द पावर पी यानि के इसको ऐसे याद रखें, it is equal to number of elements, number nB to the power nA, number of elements in B, raise to the power number of elements in A, that is the number of functions from a set A to set B, याद रखेंगे, ठीक है, आप कोई function increasing है या decreasing है, ये कैसे पता लगाएंगे, ये आप उसके लिए application of derivatives, से पता लगाते हैं, अगर किसी function का derivative हमेशा greater than 0 है, हमेशा greater than 0, या फिर कभी-कभी बीच में equal to 0 हो जाता है, at some set of discrete points, then in that case the function shall be increasing. और अगर कोई function का derivative हमेशा less than 0 है, और बीच में कभी-कभी ये 0 हो जाता है, तो ऐसा function हमेशा decreasing होगा तो. मालो हमारे पास कोई continuous function है, और वह derivable function है बलके. और उसका derivative हमेशा अपनी domain में positive रहता है या बीच में कभी-कभी 0 हो जाता है तो ऐसा function increasing होगा इसलिए 1-1 होगा और इसी तरीके से अगर कोई function continuous है बलके derivable हो और उसका derivative हमेशा negative रहे या बीच में कभी-कभी 0 होता हो discrete points पर लगातार नहीं लगातार क्यों नहीं नीचे comment box में देविटिव फंक्शन बिकाम से जीरो एड सम सेट ऑफ डिस्क्रीट पॉइंट्स राज एंड एड रिमेनिंग पार्ट ऑफ डोमिन इट इस ऑलवेस नेगेटिव देने देट फंक्शन इस डिक्रीजिंग एंड हेंस इट विल बी 11 और जो वन नहीं वह मैनी वन होगा अब इस एंड एवरी एलिमेंट ऑफ बी है जब प्रीमेज इन ए यानी कि अगर मैं आपको फंक्शन की परिभाषा के नुसार चलूं तो आपको मालूम होगा कि एमें कुछ भी खाली नहीं बचना चाहिए हर एलिमेंट का किसी ना किसी के साथ कोई ना कोई रिष्टा होना चाहिए बिल्कुल सर लेकिन भी में डेफिनेटली कुछ खाली एलिमेंट हो सकते हैं कोई लेकिन onto function कहता है, B का हर element mapping में utilize होना चाहिए, यानि के each element of B should have a pre-image in A, कहने का मतलब है, range और codomain बराबर होनी चाहिए, range और codomain हमेशा बराबर होनी चाहिए, एक चीज़ याद रखियेगा, अगर question में, किसी भी problem में, हमें function की co-domain नहीं दी जाए, तो हम उसकी co-domain को R मानते हैं, so if co-domain of a function is not given in the problem, then it is considered to be R, और R का मतलब पूरा real numbers माना जाता है, और अगर मुझे किसी function का co-domain, हमें देखना है कोई function onto है, तो कैसे चेक करेंगे, onto देखने के लिए हमें क्या करना पड़ेगा, आउट देखने के लिए हम उसकी रेंज निकालेंगे और अगर रेंज को डोमेन के बराबर आ जाती है तो उस केस में हम कहेंगे फंक्शन ऑन टू होगा हर और डिग्री पॉलिनॉमियल इन आर इज ऑन टू याद रखिएगा एक छोटी बात और एवरी और डिग्री पॉलिनॉमियल एवरी ऑड डिग्री पॉलिनॉमियल डिफाइंड ओवर आर defined over r, defined over the set of real numbers, defined over r has its range, has its range as r, तो याद रखियेगा उसकी range भी पूरा r होती है, हर odd degree polynomial की, defined on r has its range as r, एवं डिग्री पॉलिनॉमियल की रेंज हमेशा सबसेट आफ आर होती है यह भी पॉइंट याद रखने लाइक है एवरी ईवन डिग्री पॉलिनॉमियल है इस पॉलिनॉमियल है रेंज विच इज प्रॉपर सबसेट आफ आर उसकी रेंज कभी भी आर के पराबर नहीं होती है जो रेंज प्रॉपर सबसेट ऑफ आर तो इसकी रेंज कभी भी पूरा आर नहीं हो सकती जबकि और डिग्री पॉलिनोमियल डिफाइंड ऑफ आर है जब स्रेंज आर तो ऑन टू समझ में आया ऑन टू क्या होता है ऑन टू पता लगाने का तरीका क्या होगा आप रेंज निकालिए फंक्शन के अगर रेंज को डोम तो बहुत सरल तरीके हैं जिससे आप किसी function को one many one जाच सकते हैं या फिर on to पता लगा सकते हैं on to है या नहीं है, on to के बाद आता है into, into क्या होता है, जो on to नहीं होता हो, वो into होता है, खतम बात, अगर range को domain के बराबर नहीं है, तो function will be into, खतम, इतनी सी बात, जादा नह 11 plus on to, 11 भी हो और on to भी हो, is said to be a bijective function, is said to be a bijective function, उसको क्या बोलते हैं, bijective function, या फिर bijection, या फिर non-singular, non-singular भी बोलते हैं उसको, non-singular.
नॉन सिंगुलर या फिर इनवर्टिबल या फिर बाय यूनिफॉर्म भी बोला जाता लिखने की जगह नहीं है इतना बहुत है इतने नाम बहुत है ठीक है तो जो फंक्शन 11 भी हो और ऑन टू भी हो वह इनवर्टिबल या फिर बाइजेक्टिव या फिर नॉन सिंगुलर या फिर बाइजेक्टिव कहलाता है अब आते हैं नेक्स्ट ऑडर इन फंक्शन पर और दिन क्या होते हैं यह दिल हाँ, ये odd even क्या है? मान लीजिए हमारे पास एक set है, उसकी property क्या है? कि अगर x ए में है, तो minus x भी ए में होना चाहिए, जैसे 1 अगर ए में है, तो minus 1 भी ए में होना चाहिए, अगर 2 ए में है, तो minus 2 भी ए में होना चाहिए, तो ऐसा set है a, तो अगर मान लीजिए हमारा कोई function वापिस fx आ जाए, यानि same to same वापिस आ जाए, x की जगा minus x रखने पर, तो ऐसा function क्या कहलाता है, even function कहलाता है, कहने का मतलब है, वो x पर और minus x पर same output दे, ऐसा function even function कहलाएगा, तो a function f defined on the set a, which I have told के a कैसा set होना चाहिए, तो ऐसा function even कब कहलाएगा, अगर f of minus x, और fx दोनों बराबर हो जाएं, यानि के fx minus f of, f of minus x minus of fx, ये 0 के बराबर हो जाएं, तो ऐसा function even function कहलाता है, odd function क्या होता है, अगर f of minus x बराबर minus fx हो जाएं, तो ऐसा function odd function कहलाता है, जैसे example के तोर पर, अगर मैं एक function ले लूँ, fx is equal to ln of 1 minus x upon 1 plus x, तो आप समझ सकते हैं जो इसकी domain आएगी मेरे खासे minus 1 से 1 आएगी इसकी domain क्या आएगी minus 1 से 1 minus 1 से 1 will be the domain of this function यह इस तरह के set पर defined है और अगर मैं f of minus x आप से पूछूं तो f of minus x आप बोलोगे ln of 1 plus x upon 1 minus x now this can be written as ln of 1 minus x upon 1 plus x to the power minus 1 and this minus will be ln of 1 minus x upon 1 plus x and this is nothing but minus fx तो ये function कैसा हो गया odd function हो गया तो this implies f is odd function तो इसी तरह के से even function क्या होता है जिसमें x के ज़िए minus x रखने पर same to same function वापिस आ जाए ऐसा function even function कहलाता है इन दोनों की खासियत क्या होती है even function के graphs y axis के बावट symmetric होते हैं ग्राफ्स अपने फंक्शन अप यह फंक्शन कैसा है और फंक्शन तो यह सब फर्स्ट क्वार्डेंट में है वैसा ही थर्ड क्वार्डेंट में सिमेट्रिक अब आउट ओरिजिन या फिर यूँ कहूं कि सिमेट्रिक एन अपोसिट पॉइंट जैसा ऊपर फर्स्ट में वैसा थर्ड में नीचे जैसा सेकेंड में ऊपर वैसा फर्स्ट में नीचे ऐसे फंक्शन कहलाते हैं और फंक्शन इनके ग्राफ सिमेट्रिक होते हैं इसके बाद आप ओरिजिन के अब आउट इवन फंक्शन जैसे वाइट एक्स स्क्वेर इसके ग्राफ सिमेट्रिक है किसके बाद वाय एक्सेस के बाद ग्राफ सिमेट्रिक अब आउट वाय अ yx yz x खुद देख लें yz x और सब्सक्राइब इन फंक्शन कॉस थीटा इस इकुल टू कॉस थीटा और सब्सक्राइब इसके बाद यह ग्राफ वाइस के बाद सिमेट्रिक होते हैं यह ग्राफ अपोसिट कॉडरेंट्स में या फिर ओरिजन के बाद सिमेट्रिक होते हैं दुनिया का हर फंक्शन और यह इवन नहीं होता दुनिया कार्ड फंक्शन 11 या मिनट होता है ऑन टू या इन टू तो होता है लेकिन वह आडिया इवन नहीं होता तो फंक्शन में नीदर भी और नॉर ईवन और ऊपर तुमने डिफाइन कर रखा है वह पहले बता दिया अब फंक्शन विश्व डिफाइन ऑन द इंटायर नंबर लाइन और साथ-साथ जो ऑड भी हो ईवन भी हो ऐसा दुनिया में है और आड़ी है और ईवन भी है एवरी कॉंस्टेंट फंक्शन इस ईवन फंक्शन पर कॉंस्टेंट फंक्शन ईवन फंक्शन होता है फंक्शन ऑन आर डिफाइंड ऑन आर इस इवन फंक्शन यह फंक्शन कैसा होगा इवन फंक्शन होगा तो यह चीज याद रखिएगा और एक बहुत ही स्पेशल नोट याद रखिएगा अगर एफ आफ एक्स और एफ आफ एक्स बराबर है तो ये function हमेशा a के about symmetric होगा x equal to a line के about symmetric होगा क्यों?
इसे ऐसे समझें a से x कदम आगे, a से x कदम पीछे, a से x steps आगे a से x steps पीछे function की value same है तो graph a से आगे जैसा बनेगा a के पीछे भी वैसा बनेगा इसका मतलब graph x equal to a line के about symmetric होगा है ना? तो graph will be symmetric about the line x equal to a f of 2 plus x is equal to f of 2 minus x तो जैसे ये लिखा हो, दिमाग में तुरंत बिजली कौंथ जानी चाहिए, कि भाईया इसका ग्राफ तो x equal to 2 जो line बनेगी, इसके about symmetry होगा, जैसा दाई ओर दिखाई देगा, x equal to 2 line के about, वैसा ही बाई ओर दिखाई देगा, और sixth point कहता है, कि every function which has minus x in its domain, whenever x is in its domain, ऐसे function को हम fx plus f of minus x by 2, fx minus f of minus x by 2, लिख सकते हैं, जहां यह function even है, और यह function odd है, तो every function f, defined on a set A, which we have defined earlier, can be expressed as sum of an even function, as an odd function, दोनों के sum के form में लिखा जा सकता है, और even में कैसे लिखा जाएगा, f of x plus f of minus x by 2, और odd में f of x minus f of minus x by 2, यह लिखा जाएगा, तो यह चीज याद रखेंगे आप, इसके उपर j e means एक बार सवाल पूछ भी चुका है अभी, और अगर fx ओड है और 0 पर defined है, तो f0 0 होगा, यह चीज याद रखे, कि अगर f ओड है और 0 पर defined है, तो f of 0 हमेशा 0 होगा, जैसे example के तोर पर sin x ओड function है, sin 0, 0 होता है, tan odd function है, tan 0, 0 होता है, cot भी एक ओड function है, लेकिन वो 0 पर defined नहीं होता, इसलिए cot 0, 0 नहीं होता, तो यहां शर्ते लागू, कि अगर वो 0 पर defined है और ओड है, तो 0 पर value 0 ही आएगी, next बात, अब हम करने जा रहे हैं inverse function की, inverse function क्या है, अभी हमने one many one on two into function पढ़ा, inverse function उसी से associated है, मान लीजिए f एक set a से, दूसरे set b पर एक function है, जो के bijective है, यानि one है और on two है, तब ऐसी स्थिति में there exist another function, there exist another function which does just the reverse of what the function f does, यानि अगर ये f, एमेज एक्स उठाकर उसका वाइब बनाता है तो एफ इनवर्स उस केस में क्या करेगा उस वाइब उठाकर वापिस एक्स बना देगा यानि डस जस्ट अपोजिट वॉट एफ डस यह उसका बिल्कुल उल्टा करता है और ऐसा फंक्शन कब एक्सिस्ट बनाता है जब एफ 11 हो और ऑन टू तो अगर एफ एक 11 और ऑन टू फंक्शन फ्रॉम सेट एट उसेट बी तो नेंट सच सिनारियो देर एक्सिस्ट अनुदर फंक्शन फ्रॉम बीटू ए विच डस ए just the opposite of what f does यानि के अगर fx y है तो यह function g जो b2a होगा वो y का वापिस x बना देगा तो ऐसे function हों क्या बोलते हैं inverse function बोलते हैं inverse सिर्फ और सिर्फ किसे functions के exist करते हैं inverse functions inverse functions are defined only for are defined है ओनली फॉर कैसे फंक्शन फॉर बाइजेक्टिव फंक्शन ध्यान रखिए और बाइजेक्टिव फंक्शन तो पहली जीत तो यह कि इनवर्स फंक्शन आर डिफाइंड ओनली फॉर बाइजेक्टिव फंक्शन दूसरी बात किसी भी बाइजेक्टिव फंक्शन का इनवर्स हमेशा यूनिक होता है हां एवरी बाइजेक्टिव फंक्शन आज एवं इनवर्स फंक्शन एवरी फंक्शन एक यूनिक इनवर्स फंक्शन यानि एक फंक्शन के एक बाइजेक्टिव फंक्शन के एक से ज्यादा इनवर्स इस संभव ही नहीं है अब आज एक टेक्टिव फंक्शन है जा यूनिक इनवर्स यूनिक इनवर्स होता है जैसे एक्जांपल के तौर पर अगर मैं कहूं एफेक्स बराबर एफ एक function है from r to 0 to infinity r plus कहलू, और fx है e की power x, ये function कैसा है, सर ये 1,1 है, और on 2 भी है, उसका मतलब इसका inverse exist करेगा, तो f inverse जो है, वो r plus से r होगा, और वो क्या है इस case में, वो है f inverse of x is ln x. इस एलन एक्स अब देखो यह इनवर्स फंक्शन है यह इसका इनवर्स फंक्शन इसका जस्ट अपोजिट करता है अपोजिट कैसे ��रता है जरा देखो एफ ऑफ टू इस एफ ऑफ ई स्क्वेर अगर मैं एफ इनवर्स ऑफ ई स्क्वेर डालूं तो देखो यह जाएगा इलन ऑफ ई स्क्वेर तू आगे आ जाएगा तो यह बन जाएगा तू एलन ई स्क्वेर तू एलन ई और वहीं कितना हो गया तो यहां पर 2 डालने पर E square बनाता है इसमें E square डाला तो 2 बने गया है just the opposite to what the given function does सवाल उठता है कि inverse कैसे find किया जाए method to find inverse how do we find inverse of a function in order to find inverse of a function y बराबर fx लिखो y बराबर fx लिखने के बाद y बराबर क्या लिखें आप fx you write down y equal to fx तो जैसे आपने y equal to fx लिखा उसके बाद solve this equation for x in terms of y if possible यानि के आपने y could do fx लिखा फिर x की value निकालो y की terms में अगर संभव हो तो तब ही इनवर्स निकाल पाओगे, अगर संभव हो तो निकाल लो, नहीं हो तो फिर कहा दो बईया इनवर्स हम नहीं निकाल पा रहे हैं इसका, तो अगर संभव हो तो x की value find करो किसकी terms में, y की terms में value find करो x की, you find out the value of y, x in terms of y, और फिर ग्या करेंगे, y क इस function का inverse function मिल जाएगा जैसे अभी बिलकुल ताजा मैंने y is equal to e की power x का inverse लिखा था ना, fx पराबर e की power x यह लिखा था तो inverse कैसे निकाले, y पराबर e की power x फिर x की value निकालो y की terms में दोनों साइट log ले to the base ही, x पराबर ln y और y की जगा x रख दो अब y क्या है, f inverse of x और यह हो गया ln x example के तौर पर कि बाकी आप जाकर क्लास इलेक्ट्रेशन को ट्राइड कर सकते हैं जो क्लास में क्वेश्चन कराएं जाकर देख सकते हैं दो चार इस पर आपको अच्छे-अच्छे लेस्ट्रेशन मिल जाएंगे यह है इंपोर्टेंट है इनवर्स ऑफ फंक्शन इन पापी इंपोर्टेंट है याद रखिएगा और साथ में चार्टर सबसे इंपोर्टेंट है 11 ऑन 21 यह भी बहुत इंपोर्टेंट है ठीक है कि कफ फंक्शन 11 मैनी वन ऑन टू इंटू होता है यह सब आप जरूर से अच्छे से जाकर एक बार विजिट करिएगा कि उसको इस डिफिनेट आपको ट्राइड करने चाहिए इस मोड पर ताकि आपको एक और अच्छी होलिस्टिक फील आ जाए ठीक है सवालों की तो यहां पर तो हम पूरा का पूरा थिवरीटिकली आपके सामने चैप्टर खोल दे रहे हैं बाकि आपको खुद देखना पड़ेगा फिर एक और इंपोर्टेंट पॉइंट जो याद रखिएगा ग्राफ ऑफ वा और वाइट इकुल टू एफ इनवर्स ऑफ एक्स आर मिरर इमेजेस ऑफ ईच अदर अबाउट लाइन वाइट वाइट एक्स के बाउट देख मिर्र इमेजेज अपनी अदर यानि के अगर आप एफेक्स के ग्राफ का इमेज लेने अबाउट द लाइन वाइट एक्स तो आपको इसके इनवर्स का ग्राफ मिल जाएगी अभी हम जो काम कर रहे थे वाइट एक्स यहां पर यह लाइन है वाइट एक्स और अगर मैं यहां क्या करूं हर पॉइंट से हर पॉइंट का यहां इमेज लेता जाओ इस लाइन में इफ आई गो ऑन टेकिंग द इमेज ऑफ एवरी पॉइंट इन दिस लाइन इफ आई गो ऑन टेकिंग द इमेज ऑफ एवरी पॉइंट इन दिस लाइन देन आई शैल गेट द ग्राफ ऑफ मुझे क्या मिलेगा मुझे यहां ग्राफ मिल जाएगा किसका एलन ऑफ एक्स का अगर आप ऐसे करके हर किसी point का image लेते जाएंगे, तो आपको यहां graph मिल जाएगा, L and X का, you will get the graph of Y equal to L and X, यहां graph हो गया, Y equal to L and X का, F inverse of X, और यह है Fx का, so the graph are mirror images of each other, about the line Y equal to X, यहां एक एहम बात और, solutions of, solutions of fx बराबर f inverse x lie on, lie on line y equal to x or on a line with slope, with slope minus 1, यानि के जो भी fx बराबर f inverse x के solutions होते हैं, वो हमेशा y equal to x line पर lie करते हैं, या फिर, एक ऐसी line पर जिसका slope minus 1 होता है, तो कभी भी आपको to solve fx बराबर f inverse x, क्या करना चाहिए, put fx बराबर x and solve, तो इससे आपको fx equal to f inverse x के solutions मिल जाएंगे, लेकिन क्या सारे solutions मिल जाएंगे, maximum times तो सारे solutions मिल जाएंगे, लेकिन, लेकिन कभी-कभी जो solutions होंगे, वो y एक ऐसी line पर लाइगरेंगे, इसका slope minus 1 होगा, सर वो solutions कैसे मिलेंगे, उन solutions, ऐसे solutions तब उत्पन होते हैं, जब f में, ए डालने पर आंसर भी आए और बी डालने पर वापस वैल्यू ए आ जाए और अदर सॉल्यूशन क्या करो और अदर सॉल्यूशन चाहे आप फुट एफ बराबर भी एफ बी बराबर है जहां ए और भी बराबर नहीं है एंड सॉल्व फॉर एन बी एंड सॉल्व फॉर ए कामा पी ना ए और भी की वैल्यू निकालो तो जो ए और भी की वैल्यू आपको यहां से मिलेगी वह भी solutions को contribute करेगी, तो ध्यान रखें कभी भी fx बराबर f inverse x को solve करना है, तो 99.999999% times तो आपको solution fx बराबर x रखकर ही मिल जाएंगे, लेकिन कभी-कभी हो सकता है कि solutions y equal to x line पर ही लाइन आ करें, एक ऐसी line पर लाएगर इसका slope-1 है, तो वो solutions का पता कैसे चलेगा, इन दोनों को solve करें, a और b की value निकालने कोशिश करें, तो वह भी solutions हो जाएंगे, वह भी उस equation के solution हो जाएंगे, ग्राफिकली मैं बस इतना बता दू, कि अगर graph कभी भी y equal to x को cross नहीं करता, फिर इस तरह के solutions, जो के minus 1 line, slope वाली line के उपर lie करते हैं, वो कभी भी उत्पन नहीं हो सकते, if the graph does not cross the line y equal to x, then you can never have the solutions, which lie on the line with slope minus 1. इस lecture को थोड़ा सा, अगर आपको थोड़ा सा भी confusion हो, तो इस lecture को आप जाकर वहाँ पर, जो class में lecture किया है, उसको अच्छे से देख सकते हैं, समझ सकते हैं, बहुत detail में बताया गया, यहाँ इतनी detail में बताना हमारे लिए संभव नहीं है, लेकिन फिर भी हमने आपको definitely एक theoretical point यहाँ cover कर दिया, बता दिया, कि fx equal to f inverse x के solution, fx बराबर x रख कर solve कर लो, और अगर y equal to x line को graph cross कर रहा है, हो सकता है, जो solutions है, वो एक ऐसी line पर लाइकरने, इसका slope, minus 1 हो, और वो solution का पता कैसे जलेगा, F A बराबर B रख दो, F B बराबर A रख दो, और A और B की value को निकालने की कोशिश करो, अगर A और B मिल जाते हैं, तो यह भी solutions हो जाएंगे, F X equal to F inverse X line के, ठीक है भाई, तो inverse of a bijection is unique, हमने बता दिया आपको, inverse of bijection is also a bijection, है ना, inverse of bijection is also a bijection, और साथ में if f and g are two bijections f a से b, g b से c ये दो bijective functions हैं तो इनका composite function जो भी हम पढ़ने वाले हैं composite function, gof भी एक bijection होगा और gof कहां से कहां defined होगा gof होगा a to c गॉफ होगा a to c तो gof भी एक bijection होगा अभी मेरे खासे ये point अभी हम composite function पढ़ने वाले हैं, तो शायद वहाँ से और clear हो जाएगा, और ऐसे case में golf कैसा होगा, bijection होगा, यह कौन से point से हुआ, point number 2 से, क्योंकि हमने उपर पढ़ा है, दो bijections का composite function भी, अनलब यहां inverse of a bijection is also a bijection, तो यह bijection होगा, और इसका inverse जो होगा, point number 2 से नहीं हु यह क्या एक तरीके से reversal law, यह क्या है reversal law है, this is reversal law, third point को अभी के लिए अगर आप चाहो तो omit कर सकते हो, क्योंकि अभी हम पढ़ने वाले हैं यहाँ पर, एक थीस यह देखें, g is the inverse function of f, then the inverse function of g is f, अगर g f का inverse है, तो g का inverse f होगा, यानि कुल मिला कर अगर कहा जाए, F inverse का inverse वापिस F ही होता है, the inverse of F inverse is F, तो अगर G F का inverse है, तो G का inverse वापिस F होगा, inverse of Nthic graphs of mirror images यह हम बता चुके, बाकी हम यहाँ पर आपको सब already बता चुके हैं, अब आते हैं composite function पर, now let us see what do we mean by composite function, कि कंपोजिट फंक्शन व कम्स फ्रॉम द वर्ड कंपाउंड कंपोजिट फंक्शन कहां से आता है कंपाउंड वर्ड से आता है कंपाउंड होता है समझ जिस मेड अप ऑफ मोर थे नवान एलिमेंट्स कंपोजिट फंक्शन इज फंक्शन जिस मेड अप और अक्सर हम इसका एग्जांपल जो क्लास में देते हैं वह देते हैं कि मान लो बाजार में दो मशीन मिलती हैं एक तो है आटा चक्की जिसमें एक तरफ से गेहुं डालो बाहर आपको क्या मिलेगा आटा अ और दूसरा है चपाती मेकर इसमें क्या डाला आटा और बाहर मिला चपाती अगर आपने इन दोनों मशीन को कम्माइन कर दिया और एक अलग बॉक्स में रख दिया इफिकम माइन देश टू मशीन एंड पूट देम इन बॉक्स त ए इनपुट डालेंगे जो के होगा गेहू और यहां सीधा यह आउटपुट देगा बी में यह आउटपुट कहां देगा सेट बी इसे में यानि आपने इनपुट डाला ग्रेन आटा इसने आटा उठाया और बाहर दिए तो सामने वाले लगेगा कि इनपुट जो और बाहर output क्या मिलिया, सीधा चपाती, so this will be a new machine which transforms wheat into chapatis directly, तो यह है जो machine होगी, इन दोनों की composite machine होगी, इस machine के अंदर असली में, देखा जाई, एक machine नहीं, इसके अंदर दो machine मिलकर काम कर रही है, and that is called as goff, इस machine का नाम ही goff है, तो goff क्या हुआ, अगर f एक function है, a to b, if f is a function, प्राम एटू बी एंड जी इज फंक्शन फ्रॉम बी टू सी यह है और यह जी है फ्रॉम बी टू सी और एफ ने मान लो एक आप बी बनाया और यह बी को सी बनाता है तो गॉफ इस फंक्शन डिरेक्टली फ्रॉम एटू सी डिफाइंड बाय एडू यानि गॉफ आप ए विल बी डारेक्टली सी यानि यह फंक्शन डारेक्टली एक इनपुट को सीखे और सी में ट्रांसफॉर्म कर देता है सीखे एलिमेंट में ट्रांसफॉर्म कर देता है तो दाट इज आफ कंपोजिट फंक्शन गॉफ एक्स जो काम करता है वह कुछ ऐसे काम करता है गॉफ ऑफ एक्स जैसे मान लीजिए आपने यहां से एक्स उठाया तो यह बाहर देगा एक्स अभी एप्स कहां मिला बी में मिला अभी यह बी उठाएगा अ और इसको finally बाहर देगा G of fx, और यह कहां मिलेगा, C में, जैसे यहां पर अगर देखा जाए, तो F of, हमने F में डाला A, बाहर मिला B, और फिर G ने इसी F A को उठाया, यानि F, यानि के B को उठाया, और इसे finally दे दिया बाहर C पर, तो G of F A becomes C, यानि G of A becomes C. गॉफ अफ ए बिकम सी जी कंपोजिट ए तो गॉफ ऑफ एक्स क्या होता है याद रखिए का इट इस नथिंग बट जी ऑफ एफ एक्स गॉफ बनने के लिए क्या जरूरत होगी तर जरूरत यह होगी गॉफ तभी बनाया जा सकता है जब एफ से जो भी बाहर निकला हो वो ज शुड़ बी एन इनपुट ऑफ जी इस बात को मैथमेटिकली कैसे कहेंगे एफ का ऑफ़ूट क्या होता है उसकी रेंज और जी का इनपुट क्या होता है उसकी डोमेन तो गॉफ के डिफाइंड होने के लिए क्या कंडीशन हो गई पर गॉफ टू बी डिफाइंड और गॉ� रेंज ऑफ एफ शुड़ बी ए सबसेट ऑफ डोमेन ऑफ जी नेंग ऑफ विल बी डिफाइंड तब गॉफ डिफाइंड हो जाएगा ना सो ऐसे लिख देता हूं बल्कि इसको थोड़ा अच्छे से लिखता हूं अगले पेज पर और ऐसे लिखता हूं जरा देखना यहां लेता हूं अब इफ रेंज ऑफ एफ इज अ सबसेट ऑफ डोमेन ऑफ ज डोमेन ऑफ जी देन गॉफ एस डिफाइंड अब गॉफ डिफाइंड होता है क्योंकि जो ऐप से बाहर निकला वह जी में जाने लायक है रिमेंबर इस और एक और इंपोर्टेंट बात दूसरी इंपोर्टेंट बात यह है रेंज ऑफ गॉफ यह हमेशा सबसेट होता है रेंज ऑफ ची का रेंज ऑफ गॉफ इज ऑलवेज अब सबसेट ऑफ रेंज ऑफ चीज क्योंकि गॉफ से जो भी बाहर आएगा वह इन्टीमेटली कहां से आएगा जी से बाहर आएगा देखो फाइनल आउटपुट किसका होगा जी का हो तो जी ए फाइनल जो मशीन से बाहर आउटपुट भी आउटपुट होता है वह हमेशा आउटपुट ऑफ जी का सबसेट होता है यू शुट रेमेंबर दिस पॉइंट लिखे तो यह बात आप याद र� तो फिर इंपोर्टेंट बातें कुछ गॉफ के बारे में कंपोजिट फंक्शन इस नॉट कम्यूटिव यानि गॉफ और पॉग आम पर बराबर नहीं होते हैं गॉफ एसोसियेटिव होता है गॉफ एफ कंपोजिट जी कंपोजिट एच इगल टू एप कंपोजिट जी कंपोजिट प्रोवाइडिट हर जो कंपोजिट ने वह डिफाइंड हो पर कंपोजिट आफ टू बाई जेक्शन इज अब आईएक्शन देखिए उसी का यहां आपको बता रहा था यहां जो मैंने इनवर्स में मैं आपको बोला था पॉइंट नंबर टू वह यह थर्ड है तो देखो F भी bijection है, G भी bijection है तो Gough भी अपने आप में bijection हो जाएगा क्योंकि अभी हम देख रहे हैं कि दो composite functions का bijection दो bijective functions का composition भी bijective होता है, the composite of two bijections is also a bijection, तो अगर F और G दो bijective functions हैं, तो Gough भी अपने आप में क्या होगा, bijective होगा और जब Gough bijective होगा, तो वो invertible होगा, और जब वो invertible होगा, तो Gough का inverse एक्सिस्ट करेगा और गॉफ का इनवर्स क्या होगा रिवर्सल लॉ लग जाएगा F इनवर्स, composite, G इनवर्स क्लास में इसके उपर भी प्रॉब्लम कराया है जाकर देखियेगा, अच्छा लगेगा, है ना तो यहाँ पर एक थिरिडिकल पॉइंट आपका रिवाइज होता जा रहा है साथ चलिए, अब आगे बढ़ते हैं तो यह बात अच्छे समझ में आगी, composite of two bijections is also a bijection यह है, याद रखियेगा अब बढ़ते हैं, periodic functions तो periodic functions क्या होते हैं ऐसे functions जो अपनी values को periodically repeat करें, ऐसे functions को periodic functions कहते हैं, और इसकी mathematical definition क्या है, a function f is said to be periodic, अब कहते हैं किसी function को periodic, is said to be periodic, if there exist a t greater than 0, एक्स प्लस टी बराबर एफेक्स आ जाए और आल एक्स बिलॉग टू डोमेन ऑफ तो कोई फंक्शन प्रियोडिक तब कहलाता है जब उसमें एक्स की जगह एक्स प्लस टी रखने पर वैल्यू वापिस की कैसी आ जाए सेम आ जाए यानी तब फंक्शन अपनी वैल्यू को लगातार रिपीट करते हैं कितने अंतराल के बाद टी अंतराल के बाद इनकी पहचान क्या होती है इनकी पहचान यह होती है ज्यादा सुनिएगा अ इनकी पहचान क्या होती है ग्राफिकल पहचान ग्राफ्स ऑफ प्रियोडिक फंक्शन प्रियोडिक फंक्शन एवं रिपीटिंग पैटरन है व पैटरन एवं रिपीटिंग पैटरन इन देर ग्राफ्स अवर रिपीटिंग पैटरन इन देर ग्राफ्स उनके ग्राफ में क्या होता है रिपीटिंग पैटरन होता है अ उनके ग्राफ में repeating pattern होता है in their graphs कुछ examples जो हम देना चाहेंगे किसके periodic function के periodic function है कुछ examples बिल्कुल साइज हो चाहें आप सबसे पहला example तो है sin x fx बराबर sin x इसका period कितना है अच्छा यहाँ पर f of x plus t should be equal to fx यानि f में x plus t रखने पर वापिस fx आए तो यानि जो value 1 पर आई है, वो ही 1 plus T पर आनी चाहिए, जो value 2 पर आई है, वो ही 2 plus T पर आनी चाहिए, यानि के value लगातार T distance के बाद क्या करनी चाहिए, repeat करनी चाहिए, तो ऐसी स्थिती में, जो ये point, जो ये number है T, T को बोलते है, T is called as a period, T is called as a period of F, इसको क्या बोला जाता ह वाइल द स्मॉलेस्ट पॉसिबल वैल्यू मॉलेस्ट पॉसिबल वैल्यू पॉजिटिव वैल्यू पॉसिबल वैल्यू इस कॉल्ड फंडामेंटल पीरियड ऑफ फंक्शन उसको फंडामेंटल पीरियड बोला जाता है फंक्शन का तो यह चीज याद रखें जैसे के साइन की वैल्यू अगर देखा जाए साइन फोर पाइड प्लस एक्स पाइड एक्स ही होता है पाइड फोर पाइड प्लस एक्स पाइड आफ सिक्स पाइड प्लस एक्स वह भी एक्स होता है साइन एक्स होता है आइन आज फोर पाइड प्लस एक्स साइन एक्स पाइड फिक्स पाइड प्लस एक्स पाइड प्लस एक्स इस अगर साइन एक्स तो ये f of x plus t जैसी equation को तो satisfy कर रहा है इसका मिलब sign क्या है periodic function है लेकिन इसमें सबसे चोटी value अगर देखी जाए तो sign of x plus 2 pi is equal to sign x 2 pi से चोटी कोई भी value इसमें काम नहीं करेगी इसलिए sign का जो fundamental period है वह हो गया 2 pi जबकि 4 pi, 6 pi और 8 pi भी इसके periods होंगे लेकिन fundamental period सिर्फ क्या होगा टू पाइड फंडामेंटल पीरियड में हम बार-बार फंडामेंटल शब्द नहीं जोड़ते हैं जब हम बोला जाए पीरियड तो पीरियड का मतलब एसेंचली फंडामेंटल पीरियड से ही होता है तो साइन एक्स इसका पीरियड या यूं कहूं कि फंडामेंटल पीरियड क्या होगा तो इसका पीरियड होगा टू पाइड अगला फंक्शन कॉस एक्स इसका पीरियड भी टू पाइड एन एक्स कॉट इसका पीरियड इनका पीरियड है पाइड एक्स अ cos x का period sec x या फिर cos x का period इनका period भी 2 pi ही होता है तो all these are periodic functions fractional of x इसका period होता है 1 fractional of x इसका period होता है 1 तो fx बराबर fractional x इसका period 1 होता है जो functions periodic नहीं होते उन्हें हम unpriotic नहीं कहते apriotic कहते हैं functions which are not periodic functions which are not प्रियोडिक आर कॉल्ड इच नॉट प्रियोडिक आर कॉल्ड अप्रियोडिक क्या बोलते हैं अप्रियोडिक अन्न प्रियोडिक या नॉन प्रियोडिक भी बोल सकते हैं लेकिन जो टर्म है मैथमेटिक्स में वह है अप्रियोडिक वह अप्रियोडिक है तो प्रियोडिक में कुछ इंपोर्टेंट बातें सबसे पहली और डिपावर्स ऑफ साइन एंड कॉस्ट सेक्ट को सेक्ट इन सबका पीड़ेड टू पाइ होता है निकल को भी पूछे साइन क्यूब का पीड़ेड टान क्यूब का पीड़ेड साइन क्यूब का पीड़ेड कॉस क्यूब का पीड़ेड सेक्ट क्यूब का पीड़ेड को सेक्ट क्यूब का पीड़ेड इन सबका क्या हो जाता है इन सब का पीड़िट हो जाता है पाई और टैन की कोई भी नॉन जीरो इंटीग्रल पावर हो टैन क्यूब हो टैन स्क्वेयर हो टैन की पावर फोर हो कॉट की पावर टू हो कॉट की पावर तरी ओ तो हर नॉन जीरो इंटीग्रल पावर का पीड़िट होगा वह पाई ही होगा फिर अगर मान लीजिए जीरो डोमेन में है फंक्शन की इव जीरो बिलॉंग्स टू डोमेन आफ फंक्शन प्रियोडिक फंक्शन तो अगर जीरो डोमेन में है तो मैं बता है प्रियोडिक फंक् तो जो value 0 पर है वही value 0 plus t पर आईगी और अगर मैं इसके पीछे जाओं तो 0 minus t पर जो value आई होगी वही 0 पर value आई होगी क्योंकि इससे t कदम पीछे और t कदम आगे value कैसी रही होगी same रही होगी periodic function की तो periodic function की खासित क्या है f of 0 अगर 0 domain में है तो f of 0 plus t और f of 0 बराबर होंग क्या होगा, जब 0 कहा हो, domain में हो, जैसे cot है, cot की domain में 0 नहीं है, cot की domain में 0 नहीं है, तो आप उसके लिए यह नहीं कह सकते, जबकि cot periodic उसका period पाई है, tan की domain में 0 है, तो आप गौर से सुनिए, tan of 0 बराबर tan of 5, and tan of 0 is also equal to tan of minus 5, तीनों बराबर होते हैं, इसी तरह sign, sign क्या है, periodic है, उसका period कितना है, so 2 pi, sin of 0 is equal to sin of 2 pi, is equal to sin of minus 2 pi, cos भी periodic है, cos का period 2 pi, cos 0 is equal to cos 2 pi, is equal to cos minus 2 pi, in fact मैं आपको यहाँ पर यह बता दू, के अगर f of x plus n t is equal to fx for all n belonging to, इंटीजर एंड एक्स बिलॉम इन डोमेन ऑफ एफ पॉर अप्रियोडिक फंक्शन किसी भी प्रियोडिक फंक्शन के लिए किसी भी प्रियोडिक फंक्शन के लिए पॉर अप्रियोडिक फंक्शन यू कैन ऑलवेस से एफ ऑफ एक्स प्लस एंटी इज इकुल टू एफ एक्स वेर एन बिलॉंग्स टू एन इंटीजर यानि कल को भी पूछे एफ ऑफ एक्स प्लस टू टी क्या होगा एफ ऑफ एक्स प्लस टू टी भी एफ एक्स ही होगा एफ ऑफ एक्स प्लस थ्री टी क्या होगा वह भी एफ एक्स ही होगा f of x minus 5t क्या होगा, वो भी fx ही होगा, तो इसलिए f of x plus nt is equal to, fx ही याद रखें, फिर एक बहुत important बात, अगर fx का period t है, तो f of ax plus b का period होता, t by modulus of a, यानि कल को sin x का period 2pi है, कोई पूछे sin 3x का period बताईए, तो वो हो जाएगा 2pi by 3, sin 3x का period, जो x का coefficient है, उससे divide कर देंगे, यानि अगर f periodic है, period t के साथ, तो f of linear of x का period होगा coefficient of x से divide कर देंगे mod लगाके यानि के अगर कोई पूछे sign of या fractional of प्राक्शनल आफ थ्री एक्स माइनस पाइड का पीड क्या होगा उसका पीड होगा वन बाइ थ्री इसका पीड वन होता है प्रक्षेल एक्स का तो यह हो जाएगा वन बाइ थ्री ठीक है फिर अगर एफेक्स एंड जी एक्स आर प्रियोडिक तो एफेक्स प्लस माइनस जी एक्स एफेक्स इंटू जी एक्स और एफ बाइजी इन सब का जो पीड होता है वह तो एलसीएम आफ टी वन एंड टी टू एलसीएम आफ टी वन एंड टी टू इन दोनों का एलसीएम लीजिए वही इन सबका पीड हो जाएगा ना और प्रोवाइड एक शर्त है प्रोवाइड एक कोई ऐसा नंबर एक्सिस ना करे जहां पर इनकी वैल्यू उससे कम एलसीम से कम जहां पर यह वैल्यू रिपीट हो जाए कहने का मतलब क्या हुआ अभी बताते हैं एलसीम टी वन एंड टी टू इस डिफाइंड वेंटी वन एंड टी वन टी टू आर रैशनल एलसीम आफ टी वन टी टू कब डिफाइंड होता है जब टी वन टी टू रैशनल टी वन अपन टी टू रैशनल हो जब टी वन अपन टी और LCM कैसे निकालते हैं, A upon B, P upon Q, LCM of A, P, और HCF of B, Q, उपर वालों को LCM, नीचे वालों को HCF, और यह जो point लिखा है, ज़रा ध्यान से सुनियेगा, अगर मैं आपको कहूँ, sin 3x plus cos 2x, यह function periodic है, इसका period कितना है, sir, इसका period है 2 pi by 3, coefficient से divide, इसका period कितना है, sir, इसका period है 2 pi upon 2, अब देखो क्या इन दोनों का LCM possible है, हाँ सर, दोनों को divide करके देखो, जो answer आएगा, वो आजाएगा सर, 2 by 3 आजाएगा, rational number आ रहा है, बिल्कुल, तो LCM क्या होगा इनका, सर, LCM होगा, 2 pi upon 3, और pi upon 1, तो numerators का LCM, तो 2 pi और pi का LCM, सर, 2 pi, और 3 और 1 का, HCF 1, तो ये हो गया इ एफेक्स तो यहां पर अगर दो फंक्शन है एक का पीड़ेट टीवन है और एक का पीड़ेट टीटू है तो दोनों को जोड़ दो घटा दो डिवाइड कर दो या मल्टिप्लाई कर दो तो जो नया फंक्शन मनेगा उसका पीड़ेट होगा इसका एलसीएम इसका आप दिस न्यू फंक्शन फॉर्म यहां पर ध्यान रखना चाहिए कि एलसीएम लिया जा सकता है कि नहीं लिया जा सकता उसके लिए चेक क्या है उसके लिए check ही है कि पहले का period और दूसरे का period को divide कर दीजिए अगर rational number आता है तो उनका LCM possible है और अगर divide करने पर rational number नहीं आता तो LCM possible नहीं है जैसे उधारन के दौर पर अगर मैं आपको कह दू fractional of x plus sine x यह function है यह function में इसका period कितना है? 1 इसका period कितना है?
2πाई तो आप देखो इसका period है 2 पाई, अगर आप इन दोनों का LCM इन दोनों का divide कर दो, तो rational number नहीं आता, तो इनका LCM impossible है, यह function कैसा है, a periodic, यानि कोई भी ऐसी value नहीं है, जहाँ पर कोई भी ऐसी value of t exist नहीं करती, जहाँ पर यह है, दोनों एक साथ repeat करें, तो मेरे खासे यह clear हो गया, provided there does not exist any number, टी which is smaller than this LCM for which the value repeats मैंने बोला था मैं आपको बताऊंगा इस बारे में तो ये भी सुन लो जैसे मान लो अगर मेरे पास FX है sine x plus cos x sine x plus cos x mod of sine x minus क्या रख दें आ ये लिखते हैं मान लो mod of sine x plus mod of cos x ये लिख लेते हैं ठीक है इसका period sir modulus है इसका period है पाई इसका पीरियड भी पाई, तो जब मैं इन दोनों का एलसियम लूँगा, तो इसका जो एलसियम आएगा, वो आ जाएगा, पाई और पाई का एलसियम विल बी पाई, लेकिन इसका पीरियड पाई तो होगा, लेकिन फंडामेंटल नहीं होगा, क्योंकि आप गौर से देखें, दूसरे वाला बन जाएगा mod of minus sine x, that would be nothing but back again mod cos x plus mod sine x, यानि के fx ही वापस आ गया, इसका मतलब function कैसा हुआ, जो period हो गया, वो हो गया pi by 2, ना के pi, तो कभी-कभी ऐसा भी होता है, के जो LCM लेकर आता है, ऐसा बहुत कम होता है, rarely ऐसा होता है, ऐसा बहुत होता है ज़्यादातर जब वो functions अपनी positions interchange कर लें, जैसा इस एग्जांपल में आपको देखने को मिला नहीं तो मैक्सिमम टाइम आप पाएंगे एलसीम लेकर ही पीरिय ठीक है विलकुल तो यह हो गई छोटी-छोटी बातें जो हमने आपको इसके बारे में बता दी अब कुछ डेफिनेशन हैं जो आपको पता होनी चाहिए सबसे पहले है इंप्लिसिट फंक्शन की डेफिनेशन ना वह इस इंप्लिसिट फंक्शन आपने मतलब है जहां वाइट की वैल्यू एक्स की टाउट में एक्सप्लिसिटली एक्सप्रेस्ट एक्सप्लिसिट का मतलब बिल्कुल अलग तरीके से जैसे कहते हैं एक्सप्लिसिट जैसे आई वॉइट टू थोड़ा पार्टी एक्सप्लिसिटली यानि मुझे एक्स अलग से पार्टी में इनवाइट किया गया तो अलग से का मतलब होता है एक्सप्लिसिट तो एक्सप्लिसिट फंक्शन का मतलब है जहां वाय की वैल्यू अलग से एक्स के टर्म में एक्सप्रेस्ट होता है कि फंक्शन क्या होते हैं एक्सप्लिसिट फंक्शन होते हैं देर द वैल्यू ऑफ एक्स अलोन y has been expressed in terms of x alone, then it is called an explicit function, यानि ये function किस form के होते हैं, y equal to fx form के होते हैं, these functions ये होती हैं उनकी form, ये होती है उनकी form, किसकी form, explicit functions की form, explicit function की form, explicit function, लेकिन जहांपर y has not been explicitly expressed in terms of x, that are called as implicit function, a function defined by an equation not solved for the dependent variable is called as an implicit function, यहाँ पर y डिपेंडेंड variable है, और x independent है मान लीजिए, तो यहाँ पर y की value x की terms में अलग से expressed नहीं है, ऐसे function implicit function कहलाते हैं, और यह कैसे दिखाई देते हैं, यह जातर ऐसे दिखाई देते हैं, f x, y बराबर 0, यानि इधर x और y का मिलाकर एक equation होगा बराबर 0, यह है implicit function, implicit function की form, so that is the form of an implicit function, so that is an implicit function in x and y, यह चाहो तो इसे बस fxy, तो यह एक implicit function का example हुआ, जैसे अगर आप चाहें तो example यह देख सकते हैं, जैसे उपर लिख रखा, यह example ले ले, y cube equal to 1, यह कौन सा इंप्लीसिट अब अगर मैं इसको लिख दूं 1-x क्यों की पावर वन बाई थ्री अब यह बन गया एक्सप्लीसिट अब पाइव ओलोन इन टर्म्स ऑफ एक्स तो दाटा इंप्लीसिट एंड इस्प्लीसिट फंक्शन सिर्फ डेफिनेशन मालूम होना बहुत है होमोजीनियस फंक्शन डिफरेंशल एक्वेशन अगर आपने पढ़ लिये या पढ़ोगे उसमें डेफिनेटली आप इन नाम सुनोगे होमोजीनियस फंक्शन क्या होती है क्या होता है अब फंक्शन इस सेट टू भी होमोजीनियस विद रिस्पेक्ट टू एनी सेट आफ व y square x plus 2x cube plus 3y cube यहां देखा जाए तो हर term की degree effectively 3 है इसकी degree भी 3, इसकी degree भी 3 इसकी degree भी 3 और इसकी degree भी 3 तो यह क्या हुआ? homogeneous function हो गया degree 3 का it is homogeneous function of degree 3, homogeneous function of degree 3 होमोजीनियस फंक्षन की degree निकालने का दूसरा दरीका भी है, कि आप x की जगह tx, y की जगह ty रख दें, तो जरा गोवर से देखो ये क्या आ जाएगा, ती square x square ty, फिर plus t square y square tx, plus 2 t cube x cube, और plus 3 t cube y cube, और पूरे से बाहर अब common आ गया, t cube, अंदर बच गया x square y, plus y square x, plus 2 t cube y cube, 2 x cube plus 3 y cube and this becomes t cube into fxy, so same to same function, वापस आ गया है, so this implies f of t comma tx comma ty, becomes t cube, f of x comma y तो ये क्या बन गया, homogeneous बन गया degree 3 का, जो जितनी t की power बाहर common आती है homogeneous function, degree 3 तो जितनी t की power बाहर आ जाती है common, that becomes the degree of the homogeneous function, तो पहचान कैसे करेंगे, कोई function homogeneous है के नहीं है, एक जगह टी एक्स वाइड जगह टी वाइड अगर तीन वेरिबल का फंक्शन है एक्स यह टी एक्स वाइड जगह टी जड़ और पूरा टीज बाहर आ जाए अंदर सेम फंक्शन बच जाए तो जितना टी की पावर बाहर आता है मानों टी की पावर फंक्शन बाउंडेड फंक्शन क्या होते हैं बांड फंक्शन से क्या मतलब है let us see that also what do we mean by bounded function कोई function bounded तब कहलाता है अगर उसकी value एक दो given set of real numbers के बीच में रहे then that function is said to be bounded that is its value is bounded between two real numbers ये छोड़ो इसकी बजाए हम यह कह सकते हैं हम यह कह सकते हैं इससे better समझने के लिए इससे better समझने के लिए हम यह कह सकते हैं एफ एक्स वैल्यू अमेशा किसी भी और किसी एसे के बीच में हो पर आल एक्स बिलॉन इंडू डोमेन ऑफ एक तो अपने सेट टू बिवाउंडेड इफ एक तो यह मैंने दूसरी डेफिनेशन एक तरह से लिख दी अभी ऊपर वाली डेफिनेशन नीचे वाली डेफिनेशन एक ही है तो यहां मैं दुबाई लिखता हूं अब फंक्शन एफ इस बाउंडेड अ इस बाउंडेड इफ देर एक्सिस्ट पाइनाइट रियल्स एक ऑमा भी तच दाट एफेक्स की वैल्यू हमेशा ए और बी के बीच में रहे तो वह फंक्शन क्या कहलाता है बाउंडेड कहलाता है जैस�� एग्जांपल के कि इसकी वाल्यू माइनस वन और वन के बीच में है, माइनस वन और वन के बीच में है, ठीक है, उपर वाली परिभाशा और नीचे वाली परिभाशा दोनों equivalent है, क्योंकि mod fx less than m, इसका मतलब fx कहां से कहां तक होगा, small m से capital M के बीच में, small m से capital M के बीच में, and equivalent एक boundary के अंदर रहना चाहिए, के the value of the function should always stay within some boundary. यानि नीचे भी एक bound होना चाहिए, जिससे हमेशा उपर हो value, और उपर भी एक bound होना चाहिए, जिससे value हमेशा नीचे हो, तो ऐसे numbers अगर हमें मिल जाएं, a और b, finite tree, अस्तोम कहते हैं, वो function bounded है, a को बोलते हैं lower bound of the function, और b को बोल सकते हैं an upper bound of the function, a lower bound and an upper bound, a and b, so a function is bounded, if there are two positive, if you get two real numbers, not essentially positive, If you get two real numbers A and B, such that A is always less than equal to fx and B is always greater than equal to fx, then fx is said to be a bounded function.
क्या fractional x bounded है? नीचे बताईएगा comment box में लेकर. क्या fractional x bounded है? क्या greatest integer of x bounded है?
क्या signum of x bounded है? नीचे comment box में जरूर बताईएगा इनकी boundedness के बारे में. कि इनकी बाउंडेड नेस के बारे में यह बाउंडेड है या नहीं है जैसे कि यह तो मुझे बाउंडेड दिखता है ना उसकी वाली जीवर वन के बीच में रहती है तो डिफिनेटली फंक्शन यह दोनों बाउंडेड है यह बाउंडेड फंक्शन है इस दिस अब आउंडेड फंक्शन और नॉट लास्ट बट नॉट द लीस्ट यह कुछ important functions की यहाँ पर एक list हमने आपको provide की है जहाँ पर आप कह सकते हैं कि अगर कोई function in condition को satisfy करता है तो वो function is form का होगा अगर f of x y is equal to f x plus f y हो then it is f x equal to k ln x, k ln x क्यों खुद देखो अगर आप इसमें f of x y रख दो f of x y अगर आप इसमें रख देते हो तो यह हो जाता है f of यह नहीं हो जाएगा k times ln x y and this will become के टाइम्स एलन एक्स प्लस के टाइम्स एलन वाइट विच इज नथिंग बट एफ एक्स प्लस एफ वाइट तो अगर कोई फंक्शन इस कंडीशन को साइडिस्पाइड कर रहा है तो डेफिनेटली वह फंक्शन क्या होगा एफ एक्स इग्वल टू के एलन एक्स एफ एक्स वाइट इकुल टू एफ एक्स इंटू एक्स वाइट दाट इज एफ एक्स इकुल टू एक्स की पावर एन या फिर एफ एक्वल टू जीरो इसमें भी एफ एक्स इकुल टू जीरो एक और ऑप्शन हो सकता है एफ एक्स इकुल टू जीरो भी इसको क्या कर सकता है सैटिसफाई कर सकता है ठीक है, इसी तरह f of x y is equal to f x into f y, f x हो जाएगा a की power x form का, या फिर f x equal to 0, और f x plus y equal to f x plus f y, तो f x होगा k x, where k is a constant, और यह है दो बातें, जिसके उपर जी advanced में भी सवाल आ चुका, a की power x upon a की power x plus root है, तो एक चीज ध्यान रखिएगा, इस तरह के functions के लिए, ज� और अगर a की power x, अगर a की power x, upon a की power x plus a लिखा हो, तो इस case में, इस case में, fx plus f of 2 minus x, 1 होता है, so these are some important points, which you should remember, some important functions, which you should remember, इनको direct देखकर आप exam में, function लिख सकते हैं, you can straight away, write down the function, so that was the smallest possible session, that I could have given, और यह पूरा एक तरीके से आपके सामने बहुत अच्छे से रिवाइज हो गया है एक टॉपिक को अच्छे से रिवाइज कर दिया है बस अब इसको थोड़ा और अच्छा करने की जरूरत है आपको क्वेश्चन के द्वारा तो जितने भी क्लास में आपको क्वेश्चन कराएं आप उन सारे क्वेश्चन को एक बाद पढ़ लीजिए करके देख लीजिए थोड़ा जो अच्छे सवाल है जो आपको रखता है कि हां यह सवाल डेफिनेटली काफी अलग थिंकिंग का लेवल रखते हैं कुछ नया सोच है अनुद्ध problems में तो definitely ऐसे सवाल को आप एक बार जरूर करके देखिए तो ऐसा करने से आपका एक चाप्टर पूरी तरीके से प्रिपेर हो जाएगा जैशरी कृष्ण राधे