Wykorzystanie wielomianów

Zastosowania

• Fizycy używają wielomianów do modelowania zjawisk chaotycznych, pomagając w zrozumieniu procesów, takich jak:
  • Prognozowanie pogody
  • Opis cząsteczek materii

Przykład z basenem

• Basen ma kształt prostopadłościanu:
  • Szerokość: x
  • Długość: 2x (dwa razy większa od szerokości)
  • Głębokość: x - 10 (o 10 m mniejsza od szerokości)
• Obliczenie objętości:
  • V = szerokość × długość × głębokość
  • V = x × 2x × (x - 10)
  • V = 2x³ - 20x² (wielomian)

Czym jest wielomian?

Definicja

• Wielomian to suma jednomianów.
• Jednomian - iloczyn liczby i zmiennych (np. -4x⁶, 3x, -1).

Własności wielomianów

• Dopuszczalne działania w wielomianach:
  • Dodawanie
  • Odejmowanie
  • Mnożenie
  • Dzielenie przez liczby
  • Potęgowanie do wykładnika naturalnego
• NIEDOPUSZCZONE działania:
  • Potęgowanie zmiennych do potęgi niecałkowitej
  • Podnoszenie do potęgi ułamkowej
  • Dzielnie przez zmienne
  • Logarytmy

Stopień wielomianu

• Stopień to największa potęga zmiennej w wielomianie.
• Przykład: V = 2x³ - 20x²
  • Stopień tego wielomianu: 3

Porządkowanie wielomianów

• Porządkowanie ze względu na stopień (od największego do najmniejszego):
  • Zapewnia jednoznaczny zapis wielomianu.
  • Ułatwia sprawdzanie równości wielomianów.

Przykłady stopni i porządkowania

• Przykład 1: 3x⁴ - 2x³ + x² - 6
  • Stopień: 4
• Przykład 2: -2y⁵ + 8y³ - 7y + 1
  • Stopień: 5
• Przykład 3: k⁸ - 7k² + 2k - 1 + 5
  • Stopień: 8

Wzór ogólny wielomianu

• Postać ogólna:
  • V = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0
• Współczynniki:
  • Współczynnik przy najwyższej potędze: a_n
  • Przykład z basenem:
    • Współczynniki:
      • a₃ = 2
      • a₂ = -20
      • a₁ = 0
      • a₀ = 0

Podsumowanie

• Wiele nauczyć się o wielomianach:
  • Rozpoznawanie wielomianów
  • Właściwości, stopnie i porządkowanie
• Zachęta do dalszej nauki z pozostałymi materiałami.