Czy wiesz, do czego wykorzystuje się wielomiany? Fizycy używają ich przy modelowaniu zjawisk chaotycznych, które pomagają nam zrozumieć procesy rządzące np. pogodą. Istnieją również specjalne wielomiany którymi naukowcy posługują się opisując cząsteczki materii.
Na początku zajmijmy się takim problemem. Basen ma kształt prostopadłościanu o szerokości x. Jego długość jest dwa razy dłuższa od szerokości, a głębokość jest o 10 mniejsza od szerokości. Oblicz objętość basenu.
Zacznijmy od rysunku pomocniczego. Oznaczymy szerokość prostopadłościanu literą x. Zatrzymaj film i spróbuj podpisać pozostałe boki.
Długość jest dwa razy większa od szerokości dlatego przy tym boku piszemy 2x. Głębokość natomiast jest o 10 mniejsze od szerokości, dlatego przy tym boku zapisujemy x odjąć 10. Objętość obliczamy mnożąc przez siebie wszystkie trzy wymiary. Otrzymujemy v równa się 2x do potęgi trzeciej odjąć 20x kwadrat.
Zobacz, to co otrzymaliśmy jest pewnym wyrażeniem, które nazywamy wielomianem. W tej lekcji pokażę Ci jak rozpoznawać wielomiany i opowiem Ci o ich podstawowych własnościach. Na ekranie widzisz różne wyrażenia. Wszystkie wielomiany oznaczyłem kolorem zielonym. Jak myślisz, co odróżnia je od pozostałych wyrażeń?
Zobacz, w każdym z wielomianów wykonujemy tylko podstawowe działania. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie niewiadomych o wykładniku naturalnym. Tymczasem w takim wyrażeniu mamy liczbę podniesioną do potęgi x w tym pierwiastek z x w tym liczbę dzieloną przez x a w tym logarytm z niewiadomej. Takie wyrażenia nie są wielomianami ponieważ występują w nich działania z definicji niedozwolone dla wielomianów. Każdy wielomian jest sumą jednomianów.
Czym jednak jest jednomian? Jest to iloczyn liczby oraz zmiennych. Na przykład minus 4x do szóstej 3x, a nawet minus 1. ponieważ w jednomianie nie muszą występować zmienne.
Więcej na temat jednomianów możesz dowiedzieć się z odpowiedniej wideolekcji. Nasze rozważanie zaczęliśmy od przykładu z basenem. Jego objętość zapisaliśmy w formie wyrażenia, które nazwaliśmy wielomianem. Zapiszmy je na ekranie.
Czy potrafiłbyś wskazać jednomiany, z których składa się ten wielomian? Ten wielomian składa się z 2x do trzeciej oraz minus 20x kwadrat. A spójrz na takie wyrażenie.
xy dodać 3x. Jak myślisz, czy możemy nazwać je wielomianem? Tak, ponieważ jest to suma dwóch jednomianów x razy y oraz 3x.
Jest to przykład wielomenu dwóch zmiennych x i y. Od tej pory jeśli będziemy mówić o wielomianie to będziemy mieli na myśli wielomen jednej zmiennej czyli taki, w którym występuje co najwyżej jedna litera. Dla każdego wielomianu możemy określić jego stopień.
Jest to największa potęga zmiennej. Wróćmy do naszego basenu. Jego objętość wyraża się wzorem. V równa się 2x do trzeciej odjąć 20x kwadrat. Zatrzymaj film i samodzielnie określ stopień tego wielomianu.
Zmienna występuje tu w dwóch różnych potęgach. Trzeciej i drugiej. Większą jest liczba 3, zatem nasz wielomian jest stopnia trzeciego.
Spróbuj teraz samodzielnie określić stopnie poniższych wielomianów. Popatrzmy na pierwsze. Najwyższa potęga x występuje tutaj i wynosi 4. Dlatego jest to wielomian stopnia czwartego. A co z drugim? Tutaj największą potęgą przy a jest 6 czyli stopień tego wielomianu to 6. W przedostatnim wyrażeniu największą potęgą, do której podnosimy zmienną k jest 8. Dlatego stopień tego wielomianu wynosi 8. W ostatnim przykładzie największą potęgą jest 7 zatem jest to wielomian stopnia siódmego.
Przyjrzyjmy się takiemu wyrażeniu. Czy jest to wielomian? Tak, tyle że szczególny przykład wielomianu składający się tylko z jednego składnika.
Jak myślisz, jakiego jest stopnia? Zauważ, że w tym przykładzie nie występuje żadna zmienna. Do jakiej potęgi musielibyśmy podnieść dowolną zmienną aby można było ją pominąć w zapisie? do potęgi zerowej.
Po podniesieniu dowolnej liczby do potęgi 0 otrzymamy 1. Jak możemy to wykorzystać do określenia stopnia naszego wielomianu? 5 to to samo co 5 razy 1 czyli 5 razy x do potęgi 0. Stopień tego wielomianu wynosi więc 0. Schrup orzeszka, za chwilę opowiem Ci jak porządkować wielomiany i po co się to robi. Przyjrzyjmy się takim wielomianom.
Jak myślisz, czy mają one ze sobą coś wspólnego? Jeśli im się przyjrzysz, to zauważysz że składają się one z tych samych składników ale zapisanych w innej kolejności. Czy kolejność ma znaczenie? W zasadzie nie, ponieważ przy dodawaniu kolejność wyrazów nie ma znaczenia.
Tę własność nazywamy przemiennością dodawania. Gdybyśmy w miejsce x podstawili dowolną liczbę to każde z tych wyrażeń da nam taką samą wartość. W naszym wielomianie mamy 3 składniki i możemy go zapisać na 6 sposobów.
Gdyby wyrazów było 4 to sposobów byłoby 24 a przy 5 aż 120. Dlatego matematycy porządkują wielomiany. Umówili się, że zapisujemy od składnika o najwyższym wykładniku przy zmiennej do składnika o najniższym wykładniku. W naszym przykładzie jest to ten zapis. Porządkowanie wielomianów jest ważne ponieważ pozwala nam na jednoznaczny zapis każdego wielomianu.
Dzięki temu możemy szybko sprawdzić czy dwa wielomiany są równe. Wykorzystaj zdobytą wiedzę i spróbuj uporządkować pokazane wielomiany. Zacznijmy od pierwszego przykładu.
Na początku szukamy największej potęgi, do której podnosimy zmienną. Jest nią 4, dlatego pierwszym wyrazem będzie 3x do potęgi czwartej. Następnie mamy minus 2x do potęgi trzeciej.
Potem kolejno x do kwadratu, x oraz minus 6. Kolejny przykład. Największą potęgą jest tutaj 5. Dlatego zaczynamy od wyrazu minus 2y do potęgi piątej. Zauważ, że nasza zmienna nie występuje w potędze czwartej a kolejną potęgą jest 3 dlatego piszemy 8y do potęgi trzeciej.
Następnie minus 7y i wyraz wolny, czyli 1. W ostatnim przykładzie największą potęgą do której podnosimy zmienną jest 10. Następnie 8, 4, 3, 1. Podaj teraz stopnie tych wielomianów. Stopień pierwszego to 4 ponieważ największą potęgą do której podnosimy zmienną x jest 4. Idąc tym tropem stopień następnego wielomianu wynosi 5 a ostatniego 10. Zauważ, że dzięki uporządkowaniu wyrazów zadanie to było dużo łatwiejsze ponieważ największy wykładnik zawsze stał na początku wielomianu. Wiesz już intuicyjnie czym jest wielomian i umiesz go porządkować.
Za chwilę pokażę Ci wzór ogólny wielomianu. Wielomiany najczęściej przedstawiane są w taki sposób zwany postacią ogólną wielomianu. n jest stopień wielomianu a an, an odjąć 7 aż do a1, a0 to jego współczynniki.
Jest to ogólny zapis wielomianu zmiennej x. Oczywiście zamiast x moglibyśmy użyć innej dowolnej litery alfabetu. Spróbuj podać wartości współczynników wielomianu dla naszego przykładu z basenem. Stopień tego wielomianu to jak pamiętasz 3, więc n wynosi 3. Wzór ogólny wielomianu to a3 razy x do trzeciej dodać a2 razy x kwadrat dodać a1 razy x dodać a0. Ile wynosi współczynnik a3?
Pomijamy, ale nie zapominamy, że one tam są. Zróbmy sobie trochę miejsca. Spróbuj teraz samodzielnie wypisać współczynniki takiego wielomianu.
Być może łatwiej ci będzie to zrobić jeśli najpierw go uporządkujesz. Największą potęgą, a zarazem stopniem tego wielmianu jest 6. Poza tym mamy k w potędze piątej trzeciej drugiej pierwszej i zerowej. Pierwszym współczynnikiem jest a6 i jest on równy minus 3. Przy piątej potędze zmiennej k stoi liczba minus 10 i to jest jej współczynnik. k w potędze czwartej nie występuje dlatego a4 równe jest 0. Przy trzeciej potędze współczynnik wynosi minus 7 przy drugiej 2 przy pierwszej minus 1. Zauważ, że mamy tu też wyraz wolny którym jest liczba 5. Współczynnik a0 to zatem 5. Udało się upadać wszystkie współczynniki tego wielomianu. Jeśli Twój wynik był taki sam jak mój to Cię gratuluję.
Wielomiany jednej zmiennej możemy zapisać w postaci ogólnej którą przedstawiono na ekranie. Wielomiany porządkujemy czyli zapisujemy wyrazy od składnika z największą potęgą do składnika o najmniejszej potędze. Film ten jest wprowadzeniem do wielomianów. Jeśli chcesz dowiedzieć się o nich więcej, to zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych filmów z tej playlisty. Nie zapomnij zostawić też łapki w górę, jeśli ten film Ci się spodobał.