Section Formula Lecture Notes

परिचय

• लेक्चर का शीर्षक: Section Formula
• विषय: कक्षा 10 गणित
• यह गणित की शाखा Coordinate Geometry से संबंधित है।

Section Formula क्या है?

• Section Formula का उपयोग किसी रेखा पर एक बिंदु के समन्वय (coordinates) ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जो कि दो बिंदुओं (A और B) को दो भागों में विभाजित करता है।

उदाहरण

• मान लीजिए, बिंदु A के समन्वय हैं (x1, y1) और बिंदु B के समन्वय हैं (x2, y2)।
• यदि बिंदु P रेखा AB को M1 : M2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो:

  • X-coordinate के लिए:

    [ X = \frac{m2 \cdot x1 + m1 \cdot x2}{m1 + m2} ]

  • Y-coordinate के लिए:

    [ Y = \frac{m2 \cdot y1 + m1 \cdot y2}{m1 + m2} ]

आसान तरीका

• पहले वाले भाग के समन्वय को बाद वाले अनुपात से गुणा करें और फिर बाद वाले भाग के समन्वय को पहले वाले अनुपात से जोड़ें।

प्रश्न 1

• रेखा A(4, -5) और B(4, 5) को विभाजित करने वाला बिंदु P दिया गया है, जहाँ AP : PB = 2 : 5 है।
• हमें P के समन्वय खोजने हैं।

समाधान

1. M1 = 2, M2 = 5
2. X-coordinate:
   [ X = \frac{5 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{2 + 5} = \frac{20 + 8}{7} = 4 ]
3. Y-coordinate:
   [ Y = \frac{5 \cdot (-5) + 2 \cdot 5}{2 + 5} = \frac{-25 + 10}{7} = -\frac{15}{7} ]
4. P के समन्वय: (4, -1)

प्रश्न 2

• रेखा AB, X-axis पर A और Y-axis पर B से मिलती है। बिंदु P का समन्वय (-3, 4) है और इसे 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
• हमें A और B के समन्वय खोजने हैं।

समाधान

1. A के समन्वय: (a, 0) और B के समन्वय: (0, b) मान लेते हैं।
2. X-coordinate के लिए: [ -3 = \frac{3a + 2 \cdot 0}{5} \Rightarrow a = -5 ]
3. Y-coordinate के लिए: [ 4 = \frac{3 \cdot 0 + 2b}{5} \Rightarrow b = 10 ]
4. A और B के समन्वय: A = (-5, 0), B = (0, 10)

निष्कर्ष

• Section Formula का उपयोग करते हुए, हम किसी भी रेखा पर किसी बिंदु के समन्वय ज्ञात कर सकते हैं।
• प्रश्नों के माध्यम से अभ्यास करें और यदि कोई संदेह हो, तो वह पूछें।
• चैनल को सब्सक्राइब करना न भूलें!