Привет! Сегодня мы с тобой пройдем полностью всю тему подобия треугольников. Поехали!
Давай, с чего вообще нужно начать? Что такое подобные треугольники? Возможно, ты слышал уже в школе, где-то там на курсах и прочее, но никак не понимаешь.
Давай начнем с того, а что такое подобные треугольники? Давай рассмотрим, например, какой-нибудь треугольничек. Вот такой вот треугольничек у меня.
Что я могу сделать? Ну, во-первых, я могу взять и просто его скопировать, да, скопировать и получить что? Получить, смотри, точно такой же треугольник, как у меня был, да, вот сейчас у меня треугольник точно такой же.
Но что если я возьму вот так за уголок его потяну и уменьшу? Смотри, пропорционально уменьшу. То есть что у меня получается?
Например, я ум еньшил каждую сторону моего треугольничка в два раза. То есть у меня была сторона, например... Там 6, да, получилась сторона 3. Была сторона 4, получилась сторона 2 и так далее.
Вот в два раза я уменьшил, я так захотел. Вот сейчас я уже могу составить определение того, что такое подобные треугольники. Во-первых, подобные треугольники это треугольники, в которых все три угла равны. То есть вот такой угол равен, например, такому углу.
Такой угол равен вот такому углу. И вот такой угол равен, получается, вот такому углу. Не сложно догадаться. А что со сторонами?
Все его сходственные стороны, сходственные это стороны, которые лежат напротив равных углов. То есть, например, вот такая сторона лежит напротив угла, который в три дужки у нас обозначен. Здесь, в другом треугольнике, у нас такая же сторона, это вот это.
Это сходственные стороны. Все его сходственные стороны пропорциональны в одно и то же количество раз. То есть, как я сказал, я на данном рисунке, на данном примере уменьшил все стороны в два раза. То есть, если здесь была сторона Х, то здесь сторона будет... x, деленное на 2. Здесь была сторона y, здесь получи ли y, деленное на 2. Здесь была сторона z, здесь получили z, деленное на 2. То есть понятно, да?
Вот что такое? Это определение подобных треугольников. Но смотри, допустим, нам задача нужно доказать, что треугольники подобны. Не будем мы же с тобой вот доказывать, что все его сходственные стороны в одноколичество раз там меньше.
Что все углы у него равны. Это слишком огромный объем работы. Для этого у нас есть Признаки подобия треугольников, то есть что такое признаки? Это те условия, которых нам уже достаточно для того, чтобы точно быть уверены, что все, эти треугольники у нас подобны.
Например, как можно еще признаки описать? Идет по дороге собака. У собаки есть какие определения?
Есть уши, есть хвост, гавкает шерсть, там, не знаю, когти, там, что-то она еще за кошками гоняется. Но вместо того, чтобы каждый раз вот все эти характеристики, ну, типа, пытаться увидеть, да? Нам что хватит?
Ну, например, если животное гавкает, да, вот всего одно условие, то значит это собака. Вот это для нас и будет являться признаком. Если вот это есть что-то, какая-то часть, вот характеристика, значит наши треугольники подобны.
И давай разбираться с признаками подобия. Первый признак подобия. По двум углам. И давай рассмотрим опять треугольнички.
Вот один треугольничек. И опять я взял, точно такой же скопировал, вставил и увеличил. Вот смотри, если, давай назовем ABC, а здесь будет A1, B1 и C1.
Если угол А равен углу А1, например, по условию, или как-то ты там доказал, угол B равен углу B1, то что я говорю? Что треугольник ABC... Подобен треугольнику А1, Б1, С1. Я думаю, что это понятно.
То есть, если два угла одного треугольника, соответственно, равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Все верно. Второй признак подобия треугольников. По двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними. То есть, например, вот я уже сделал рисунок.
Допустим, сторона АБ у нас равна... Это как пример. Сторона АБ равна...
Например, 9. Сторона А1, Б1 у нас, например, равна 3. Это дано в задачу. Сторона АС пускай будет, ну, что-нибудь типа там 15. А сторона А1, С1 пускай будет 5. И мы знаем, что углы А и А1 равны. Что мы можем сказать? Все, эти треугольники подобны. Давай посмотрим, почему.
Смотри, сторона А, Б относится к стороне... А1, Б1. С каким коэффициентом?
Это получается 9 деленное на 3. То есть 3. Это коэффициент подобия, кстати. Мы еще поговорим о нем. Сторона АС относится К А1С1 с каким коэффициентом?
15 к 5. То есть опять 15 на 5, то есть 3. Значит, стороны А, Б, А1, Б1 и стороны А, С, А1, С1 пропорциональны. И угол между ними, это угол А и угол А1, равны. Все, признак подобия у нас сработал. Это второй признак подобия треугольника. Мы им тоже часто пользуемся.
Поехали дальше. Итак, третий признак подобия треугольников. Самый, наверное, легкий, но на самом деле мы его очень редко используем. По трем пропорциональным сторонам.
Я сделал рисунок. Например. АБ у нас равно, опять пускай, 15. А1, Б1, 5. АС пускай, да не знаю, 24. А1, С1, 8. Да? 24 на 3, 8. И пускай, что еще? Пускай 12, БС.
АБ1, С1, получается... четверочка до 12 на 3 4 что мы получаем смотри а.б. к стороне 1 b1 с каким коэффициент 15 на 5 тройка 24 на 8 тройка 12 на 4 тоже тройка стороны все три стороны одного треугольника пропорциональны всем трем сторонам другого треугольника. То такие треугольники подобны.
Все. Все три признака подобия треугольников мы разобрали. Давай еще немножко поговорим о подобиях. С мотри, когда мы с тобой рассматривали определение подобных треугольников, что можно было еще сказать?
Что все подобные треугольники имеют один и тот же коэффициент подобия. Например, в два раза увеличились стороны или уменьшились стороны. Давай пускай назовем А, Б, С. А1, B1, C1.
Вот распишем пропорцию. В подобных треугольниках у нас с тобой... Все стороны пропорциональны, да?
То есть AB относится к 1B1 точно так же, как BC к B1C1. И точно так же, как AC к A1C1. И все это, у них же все коэффициенты одинаковы. То есть если AB поделю на 1B1, или BC поделю на B1C1, или AC поделю на A1C1, я получу одно и то же число.
Это число называется K. Коэффициент подобия. Коэффициент подобия мы с тобой будем использовать где?
Это свойство подобных треугольников, и лучше его записать. Площади подобных треугольников относятся... как коэффициент подобия в квадрате.
Это даже встречается на ОГЭ. То есть, вот смотри, у нас есть третий признак, да, мы тут стороны с тобой рассмотрели. Давай уберем стороны, наверное, стороны уберем с тобой, и скажем, например, площадь треугольника АВС у нас... равна 81, а площадь А1В1 нужно найти. Тогда, если я знаю, что треугольники подобны, допустим, я это доказал в предыдущих действиях, что я говорю, АВ, я нахожу сначала коэффициент подобия, относится к А1В1 как коэффициент подобия, как 15 к 5, то есть получается 3. Значит, площадь треугольника АВС относится к площади треугольника a1 b1 c1 как коэффициент подобия в квадрате как 3 в квадрате то есть как 9 подставляем чё подставляем площадь abc 81 деленное на площадь а в 1 давай призовем x равно 9 значит x равен 81 поделить на 9 равно девяточки мы нашли с тобой только что площадь треугольника 1 по этим сайтом это не стоит забывать очень часто мы сталкиваемся с этим свойством Ну, если тебе понравился такой формат уроков, ставь обязательно лайк, пиши комментарий.
Это был я, молодой репетитор. Пока-пока!