इंटीग्रल्स पाठ 7.8 और 7.9 का परिचय

लेक्चर की शुरुआत

• सभी छात्रों का हालचाल पूछा गया।
• आज का पाठ 7.8 का परिचय होगा, जो एनसीआरटी की नई पुस्तक पर आधारित है।
• पुराने एनसीआरटी में 7.8 में एक टॉपिक है, "definite integration as limit of sum", जो हमारे पाठ्यक्रम में नहीं है।

इंटीग्रेशन की पहचान

• इंटीग्रेशन के बाद हम एक + C जोड़ते थे, जो कि एक अनिश्चितता (arbitrary constant) होती थी।
• इसे अनिश्चित इंटीग्रेशन कहा जाता है।
• 7.8, 7.9, और 7.10 की सभी एक्सरसाइज निश्चित इंटीग्रेशन पर आधारित है।

निश्चित इंटीग्रेशन (Definite Integral)

• निश्चित इंटीग्रेशन में परिणाम निश्चित होता है, जैसे कि संख्याएँ।
• निश्चित इंटीग्रेशन में आपके पास एक निश्चित उत्तर होता है।
• 7.8 और 7.9 का परिचय एक साथ कराया जा रहा है क्योंकि ये दोनों जुड़े हुए हैं।

निश्चित इंटीग्रेशन की समस्याएँ समझना

1. क्या है निश्चित इंटीग्रल?

   • किसी भी फ़ंक्शन का इंटीग्रेशन यदि आप एक अंतराल (interval) में निकालते हैं, तो उसे निश्चित इंटीग्रेशन कहते हैं।
   • इसे निकालने के लिए: [ F(b) - F(a) ]

2. भौगोलिक अर्थ (Geometric Meaning)

   • निश्चित इंटीग्रेशन किसी फ़ंक्शन के नीचे आने वाले क्षेत्रफल को बताता है।

3. क्षेत्रफल फ़ंक्शन (Area Function)

   • यदि आपके पास एक फ़ंक्शन y = f(x) है, और आप x = a से लेकर x = x तक इंटीग्रेट करते हैं, तो क्षेत्रफल फ़ंक्शन x पर निर्भर करता है।

समस्या सुलझाने के तरीकों

• निश्चित इंटीग्रेशन की समस्याओं को हल करने के चार मुख्य तरीके:
  1. इंडेफिनिट के रूप में हल करना और फिर सीमाएँ लागू करना।
  2. सबस्टीट्यूशन द्वारा इंटीग्रेशन।
  3. पार्शियल फ्रैक्शन द्वारा इंटीग्रेशन।
  4. इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स।

उदाहरण प्रश्न

• उदाहरण के लिए: [ ext{Integration of } x^2 ext{ from } 1 ext{ to } 3 ]
  • ( x^2 dx = \frac{x^3}{3} ) जिसे सीमाओं के साथ हल किया जाता है।

क्षेत्रफल के सिद्धांत

• निश्चित इंटीग्रेशन हमें क्षेत्र के नीचे आने वाले क्षेत्रफल को देता है।
• इसका उपयोग आगे के अध्याय में किया जाएगा, जिसमें हम "area under curve" से संबंधित समस्याएँ हल करेंगे।

क्षेत्रफल फ़ंक्शन का सिद्धांत

• क्षेत्रफल फ़ंक्शन पर पहला मूलभूत थ्योरम:
  • यदि A(x) = [ \int_a^x f(t) dt ] तो A'(x) = f(x) होगा।

निष्कर्ष

• 7.8 और 7.9 का परिचय समाप्त हो गया।
• अगले लेक्चर में निश्चित इंटीग्रेशन की विशेषताओं पर चर्चा की जाएगी।
• सभी छात्रों से कहा गया कि वे नोट्स लें और अगले लेक्चर का इंतजार करें।