Hello students, क्या हाल चाल हैं आप लोगों के उम्मीद करता हूँ सब बढ़िया होंगे और एकदम मज़े कर रहे होंगे तो आज हम लोग इस particular lecture में 7.8 का introduction करने वाले हों of chapter number 7 integrals कि दिस एडिट पर तरफ न्यू एंसी आटी ना तो 7.8 8 एस पर न्यू एंसी आटी ठीक है ठीक है न्यू एंसी आटी के बेसिस पर यह मैं 7.8 आपको करा रहा हूं ठीक है और Old NCIT में 7.8 में एक topic है, definite integration as limit of sum, वो नहीं करना है हम लोग ना, that is not in our course, आप लोगों को requirement होगी, तो आप please बता दीजेगा, तो मैं extra, एक extra lecture बना दूँगा उस particular topic के विदाने के लिए, पर ठीक है तो बच्चों आज इस पॉइंट से जिस पॉइंट से अब इंटेग्रेशन आपको पढ़ा रहा हूं इस पॉइंट से डेफिनेट इंडेफिनेट इंटेग्रेशन के पहचान थी कि हम लोग फाइनल जो इंटेग्रेशन करने के बाद एक प्लस सी आड करते थे ना तो यह प्लस सी क्या था प्लस एन आर्बिटरी कांस्टेंट जो अनॉन होता था इंडेफिनेट होता था इस वजह से इसको इंडेफिनेट इंटीग्रेशन भी बोल देते हैं हम लोग सो 7.8 ऑनवर्ड्स 7.8 ऑनवर्ड्स अब जितनी भी एक्सरसाइज है 7.8 7.9 7.10 यह तीनों एक्सरसाइज कैसी है डेफिनेट इंटीग्रेशन के ठीक है ना सो डेफिनेट इंटीग्रेशन डेफिनेट जैसे कि वर्ड है डेफिनेट तो आप समझ में आ गया होगा आपके कि भाईया इसके आंसर में यानि कि इसके इंटीग्रेशन में कुछ भी इंडेफिनेट नहीं होगा जो भी होगा वो definite होगा और definite क्या होता है definite होते है numbers ठीक है ना so definite होते है numbers constant क्या होता है numbers होते है ना definite बतला constant है ना क्योंकि definite answer है ठीक है so definite integral में आपके पास एक definite answer होता है एक definite answer होता है यानि कि definite integral होता है अच्छा इस particular exercise introduction में 7.8 introduction में मैं साथ में आपको 7.9 का introduction भी करा दे रहा हूँ ठीक है तो ऐसा पहली बार हो रहा है कि मैं एक lecture में दो exercise के introduction करा दे रहा हूँ क्योंकि बड़े चोटे चोटे हैं ये दोनों introduction plus interconnected हैं दोनों interconnected हैं दोनों interconnected हैं 7.8 and 7.9 दोनों का introduction करेंगे और दोनों के ऊपर questions करेंगे चलिए तो definite integration की शुरुवात करते हैं तो आइए स्टुडेंट्स बात करते हैं डेफिनिट इंटीग्रल्स डेफिनिट इंटीग्रल्स डेफिनिट इंटीग्रल्स देखे बच्चो डेफिनिट इंटीग्रेशन अगर जैसे कि आप वर्ड सुन रहे हैं डेफिनिट कैसे निकालते हैं क्या होता है कैसे लिखते हैं तो मैं अक्शली इस पूरे टॉपिक को पॉइंट और सेवन पॉइंट नाइन का जो आपका पूरा एंटायर जो कंसेप्स प्लेस क्वेश्चन्स है उनको मैं तीन स्टेप्स में बढ़ाऊंगा पहले स्टेप में बढ़ाऊंगा मैं कि व्हाट एस डेफिनेट इंटीग्रल ठीक है ना व्हाट एस डेफिनेट इंटीग्रल एंड हाउ टू फाइंड इट हाउ टू इवेल्यूएट हाउ टू इवेल्य� कैसे इसकी problems को हम लोग solve करेंगे then at second point बच्चो at a second point ठीक है at second point we will study कि what is the geometric meaning of geometric meaning of definite integrals geometric meaning of definite integrals geometric meaning of definite integrals and at third point and at third point हम लोग पढ़ेंगे area function area function तो ये तीन steps में हम लोग definite integration को खतम करेंगे तो आईए सबसे पहले बात करते है कि भे what is definite integral and how to evaluate ठीक है चलिए प्रेस्ट्री प्रेस्ट्री है तो देखिए सिंपल है बहुत ही ध्यान से देखिएगा आपको एक छोटी सी चीज बता दूं और न एंड इस एस ऑल्सॉल टॉल्ड जो मैं बता रहा हूं इस ऑल्सॉल टॉल्ड सेकंड फंडामेंटल थिवरम ऑफ कैलकुलस टिक न बट ऐसे कुछ ऐसे परिटिकल नाम याद करके को फायदा नहीं है सिंपली बात करते हैं कि अ इंटेग्रेशन था नहीं है अब यह इंडिफिनिट इंटेग्रेल है तो अपने इंटेग्रेशन का निकालते हैं प्लस निकालते हैं और प्लस होने की वजह से यह अंसर अभी इंडिफिनिट लेकिन डेफिनिट कैसा बनता है तो बेसिकली वह कहते हैं कि अगर किसी भी function का integration अगर आप एक interval में निकालते हैं बहाई या simply बात है किसी भी function let let मैं आपको कहता हूँ कि बहाई let fx be let fx be a continuous function ए टिनिएस फंक्शन इन इंटरवल कहां पर एटू बी पर तो मैं कह रहा हूं कि ऐसे बी में किसी इंटरवल में अपने इंटिग्रेशन निकाल रहा हूं तो कैसे निकल पाएगा एंड इस फॉल्ड एस डिफिनेट इंटिग्रेशन जब आप किसी फंक्शन का integration किसी interval में निकालें तब वो definite integration कहलाता है फिर से सुनेंगे मेरी बात जब आप किसी function का integration ठीक है किसी interval में निकालें तो आप क्या कह सकते हैं कि वो definite integration है, ठीक है, तो निकालते कैसे हैं, fx आपका, है न, small fx का integration capital fx था, तो निकालेंगे कैसे, है न, so we will find it from the limit a to b, तो ये a क्या है, आपकी lower limit है, और b क्या है, upper limit है, इसको solve कैसे करेंगे, this will be capital f of b minus, upper limit minus lower limit value of integral, ठीक है, fb minus fa, ठीक है, ऐसे करके हम लोग निकालते हैं, ऐसे करके हम लोग निकालते हैं चीक है आईए एक question कर लेते हैं इसके ऊपर मान लीजिए एक question है example के तौर पे एक question है एक question क्या है integration of let's say x square dx और मेरे को 1 से लेके 3 तक निकालना है तो पहले मैं गाएगा x square dx का integration कितना होगा x cube upon 3 x square dx एक्स कंटिग्रेशन एक्स क्यू अपन थ्री एंड लोग लिमिट एस वन एंड अपर लिमिट इस थ्री सो कॉस्टेंट अपन बाहर निकाल सकते हैं कॉस्टेंट अपन बाहर निकाल सकते हैं नॉ एक्स क्यू फ्रॉम लोग लिमिट 12 अपर लिमिट थ्री सो वन अपन थ्री वी कैन से ना अपर लिमिट वैल्यू तीन का एक्स की जगह क्या रखेंगे देखेगा एक्स की जगह क्या रखेंगे बी रखेंगे शो एक्स की जगह क्या रखेंगे तीर रखेंगे तो त्री का क्यू माइनस माइनस फिर एक्स की जगह क्या रखेंगे रखेंगे, यानि कि x की जगह क्या रखेंगे, lower limit रखेंगे, तो upper limit value minus lower limit value, ठीक है भी हाँ, clear है, तो 3, 3, 9, 3, 27, minus 1, बटा 3, यानि कि it is 26 upon 3, ठीक है, so ऐसे करके हमें definite integration का problem को solve करेंगे, करना है यानि कि डेफिनेट इंटेग्रेशन का प्रॉब्लम में सॉल करना है तो इसमें अक्शनल हमने किया किया है अगर आप बहुत ही दियान से देखे तो हमने इसमें किया किया हमने अगर आप बहुत ही दियान से देखें तो हमने किया किया है हम हमने यहां तक तो indefinite integration solve किया, फिर अगले step में हमने limits apply कर दी, तो basically हमने क्या किया, definite integral की problems को हमने कैसे solve किया, definite integration की problem को हमने कैसे solve किया, solved as indefinite, indefinite integral की तरह हमने solve किया, and applied limits, फिर उसके बाद limits apply कर दी, कि ठीक है कि बहार अपर लिमिट माइनस लोग लिमिट वाला गेम कर दी हमने ठीक है तो ऐसे करके हमने डेफिनिट इंटेग्रेशन की प्रॉब्लम को सॉल की लेकिन यह बहुत ही बेसिक मैथड है डेफिनिट इंटेग्रेशन की प्रॉब्लम की प्रॉब्लम करने का एक वन आफ द बेसिक मैथड हमारे पास अधर मैथड भी है अधर टेक्निक्स भी है तो क्या-क्या टेक्निक्स उनके बारे में आपको बताऊंगा बट बिफोर द प्लीज पॉज द वीडियो टो नोट डाउन प्लीज पॉज द वीडियो नोट डाउन है ओके प्लीज पॉजिट वीडियो नोट इट डाउन ओके ग्रेट अब बच्चों देखिए हमारे पास डेफिनिट इंटेग्रेशन की समस्या जो प्रॉब्लम्स है उनको सॉल करने के क्या-क्या मैथड है तो देखिए सबसे पहले तो एक डेफिनिट इंटेग्रेशन प्रॉब्लम्स को हम लोग क्या करेंगे विवेल सॉल्व एज इंडेफिनिट एंड विवेल अप्लाई लिमिट ठीक है और यह कई बार बहुत ज्यादा कि कई बार ऐसा होगा कि इसमें हमें पर्टिकुलरली मजा नहीं आएगा राइट है हम लोग इंडेफिनेट की तरह सॉल्ल करेंगे और एप्लीमेट्स अप्लाई कर देंगे तो कई बार हमें खुद मजा नहीं आएगा तो इसलिए हमारे पास और स्मार्टर टेकनिक है यानि कि क्या क्या टेकनिक से जब डेफिनेट इंटेग्रेशन प्लस इंटेग्रेशन ब देखेगा बच्चो, मैं यहाँ पे short form में लिख रहा हूँ, but आप समझेगा, कुछ बच्चे क्या करते हैं, बाद में कहते हैं, sir यह DI क्या है, DI मतलब definite integration, तो definite integration plus integration by substitution का एक case पढ़ेंगे हम लोग, कि भाईया, integration by substitution definite integration में कैसे apply करते हैं, right, integration by substitution, substitution definite integration में कैसे apply करते हैं, right, उसके बाद integration by partial fraction integration by partial fraction integration by partial fraction का एक case करेंगे हम लोग integration by partial fraction integration by partial fraction के अंदर हम लोग कैसे definite integration apply करेंगे वो देखेंगे and then हम लोग definite integration plus definite integration plus इंटिग्रेशन बाई पार्ट्स प्लस इंटिग्रेशन बाई पार्ट्स का केस कैसे सॉल करेंगे वो भी देखेंगे तो पर्टिकुलरली हम लोगों को चार तरह की प्राबलम्स को मेंली हमें सॉल करना है अच्छा तो ये तो हम लोग 7.8 और 7.9 में solve कर लेंगे ये चार तरह की समस्या तो हम लोग 7.8 और 7.9 में solve कर लेंगे फिर हमारे पास 7.8 10 है जिसमें हम लोग definite integration को जिसमें हम लोग definite integration को प्रॉपर्टीज यानि कि डेफिनेट इंटेग्रेशन की अपनी अपनी एक प्रॉपर्टीज होंगी ठीक है ना प्रॉपर्टीज लगाकर सच नहीं है राइड है सॉफ्ट हम लोग सेवन पॉइंट एटर नाइन में यह चार केसेस डिस्कस करेंगे ना डेफिनेट integration integration by substitution integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration integration 7.10 अब इसको अभी इसको फटाफट से नोट करिएगा तो अभी अगर आप बहुत ध्यान से देखो तो हम लोग यही पार्ट को कवर कर रहे हैं हम लोग यह पार्ट को कवर कर रहे हैं बही बही what is definite integral and how to evaluate it है ना how to solve it ठीक है ना solve कैसे करना है इसकी problems को ठीक है अभी हम लोग पहला जो पार्ट है उसको discuss कर रहे हैं ठीक है ना तो हमने बताया कि बही यह यह तरीके हैं ठीक है definite integration की problems को solve करने के लेकिन वो 7.10 में पढ़ेंगे तो आईए अब हम लोग कुछ questions करते हैं questions के माध्यम से आप सारी techniques सीखेंगे ठीक है ना तो पहला question तो क्या है? पहला question तो क्या है, ये simple definite integration की एक problem है, और मैं आपको बताता हूँ चलूँगा, ये definite integration की simple problem है, और हम इसको कैसे solve करने वाले हैं, we will solve as indefinite, हम indefinite की तरह solve करेंगे, ठीक है, and we will apply limits, ठीक न, फिर हम लोग limits apply करेंगे, लेकिन हर बार अगर आप ऐसे ही करोगे solve, तो भाईया आप नई techniques नहीं सीख पाओगे, हो गए ना 223 x square dx तो क्या होगा भी x square का integration x cube upon 3 and we have 223 so constant आप बाहर ले सकते हो 1 upon 3 constant आप बाहर ले सकते हो now this is x cube from 223 so 1 upon 3 अब limits लख रहे हैं तो upper limit minus lower limit upper limit minus lower limit so upper limit मतलब 3 so x की जगह 3 लखेंगे तो 3 का cube minus 2 का cube so it is 1 upon 3 ये टेस 3 तिया 9 तिया 7 27-2 248 it will be 19 over 3 right 19 by 3 हमारा आंसर आ जाएगा गाइस क्लियर डेफिनेट इंटेग्रेशन शो 19 by 3 विल बीडा आंसर ठीक है ठीक है 19 by प्रीवल विदा आंसर क्लियर है और प्रॉब्लम सॉल करते हैं डेफिनेट इंटेग्रेशन की और प्रॉब्लम सॉल करते हैं ठीक है डेफिनेट इंटेग्रेशन की और प्रॉब्लम सॉल करते हैं चलिए तो डेफिनेट इंटेग्रेशन की और प्रॉब्लम सॉल करेंगे हैं ओके सो डेफिनेट इंटेग्रेशन की और प्रॉब्लम हम लोग सॉल करेंगे बच्चों आइए जरा ध्यान से देखिए का अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेगा, अगर ये question मैं अभी ऐसा कर दू, मतलब ये question मैं अगर indefinite के तौर पर दे दू, अब ये limits हटा दू, और आपको कुछ ऐसा question दे दू, तो बच्चा बच्चा इस बात की गवाई दे देगा, कि सर इसको अपन टी माल लें, इसको हम लोग t मान लेंगे ना, तो देखो 30 का डिफरेंशियेटिंग 0 और 3 by 2 x power 3 by 2 minus 1 यानि कि root x कट जाएगा, so अगर मैंने 30 minus x power 3 by 2 को t माना, so differentiating बोच साइड यानि कि 30 का डिफिनेशन 0 माइनस x पावर 3 by 2 का यानि कि 3 by 2 x की पावर 3 by 2 माइनस 1 यानि की half this much of dx बराबर dt ठीक है so यहाँ से अगर आप बहुत ज्यान से देखेंगे तो x power 1 by 2 कितना होगा root x dx बराबर minus 2 by 3 dt ठीक है ऐसा ठीक है बिया अब देखें ये problem कैसी हो जाएगी बच्चो आपकी root x dx को तो अपन क्या लिख देंगे और 3 by 2 को मैं क्या लिख दूँगा, T, तो T का square, so it is minus 2 by 3, T का power minus 2 plus 1 upon minus 2 plus 1, ठीक है, और मैं अब क्या करूँगा, इसमें limits apply करूँगा, ठीक है, अब मैं इसमें limits apply करूँगा, तो इस मतलब minus or minus plus 2 by 3, and this is 1 upon, T की power minus 2 plus 1, minus T की power minus 1, यह नहीं कि 1 upon T, and T finally कितना है बईया, it is 2 by 3, इन टू वन अपने क्या कर दिया इसको इंडेफिनेट की तरह सॉल कर दिया है ना प्लस ने लगाने की लिमिट लगाने वाले हैं अब लिमिट लगाने वाले हैं अब देखिए बच्चों बहुत दिया अब यह क्वेश्चन आपने सॉल कर दिया इंडेफिनेट करके इंडिफिनेट की तरह सॉल कर दिया ठीक है फाइनली आप क्या करोगे इसको ऐसे लिखोगे कि भी आप इस पार्ट का इंटेग्रेशन तो क्या गया तो इस टू बाइ थ्री एड एड एस वन अपॉन 30 माइनस एक्स पावर थ्री बाइ टू एंड इस पावर अपन लिमिट लगाएंगे ठीक है ना 429 फोर्ट नाइन लगाएंगे अ तो कॉस्टेंट को बाहर निकाल सकते हैं, right, and अब आपको बहुत ही आराम से 30 minus x power 3 by 2 from 4 to 9, अब upper limit minus lower limit, ठीक है न, अब देखेगा बच्चों, बहुत ध्यान से, 1 upon 30 minus 9 की power 3 by 2, right, 9 की power 3 by 2, right, and minus कि लोग लिमिट एन थर्टी माइनस ए फोर की पावर थ्री बाइट थोड़ ठीक है फोर की पावर थ्री बाइट थोड़ ठीक है बचों है अब आप इसको सॉल कर सकते हो फर्थ ठीक है तो हालांकि यह वाली जो लाइन है यह इसके नीचे आनी है बट मैंने ठीक है इसको इस्तेमाल करते हैं वहीं के वहीं सॉल कर दिया अब बचों बहुत दियां से देखिएगा अ मैं यहाँ पर सॉल करना शुरू कर रहा हूं फिर से तो 2 by 3 it is 1 upon 30 minus 9 को मैं लिख सकता हूं 3 square और उसकी power 3 by 2 ना 9 को लिख सकता हूँ 3 square, तो देखे 2 से 2 कट गया, तो 3 तीया 9 तीया 27 हो जाएगा, तहने कि 27 लिख दू, 27 लिख दिया, ठीक है, great, आगे चलते है, minus, 1 upon 30, minus, 4 की power 3 by 2 यह नहीं कि 4 को लिख सकता हूँ 2 power 2 into 3 by 2 तो 2 से 2 गट गया 2 की power 3 नहीं कि 2 दो नहीं 4 दो नहीं 8 तो यहाँ पे अपने पास क्या आ जाएगा 8 आ जाएगा ठीक है clear है नाओ बच्चों बहुत देखेंगे 2 by 3 this is 1 upon 3 minus 1 upon 22 है एंड फाइनली टू बाइट थ्री एड एड एड एलसेम लेकर 2236 ठीक है तो एड एस 22 माइनस थ्री एंड यह कितना जाएगा बच्चों 22 में से तीन गया 19 सब्सक्राइब अपन थ्री इंटू सिक्स्टी सिक्स तो तू से यह कट गया थ्री थ्री तरह सो विगॉट 19 अपन नाइंटी नाइन एज अवर आंसर ठीक है तो ऐसे ऐसे करके आपको इसको सॉल करना है ठीक है ऐसे करके आपको इसको सॉल करना है 19 अपन 99 तो अगर आप बहुत ही धियान से देखें तो हमने क्या किया बच्चों इस question में हमने क्या किया पहले हमने इसको solved as indefinite किया फिर हमने क्या किया बच्चो, एक बार indefinite के तौर पर solve हो गया, then हमने apply करी limits, ठीक है न, upper limit minus lower limit apply किया, ठीक है न, यह question ऐसे ही solve किया हमने, पहले हमने यहां से पहले इसका indefinite integration solve कर दिया फिर हमने वापस ले जाके limits apply करी, एक तो तरीका यह है इस question को करने का एक दूसरा तरीका भी हो सकता है एक दूसरा तरीका भी है दूसरा तरीका क्या है? कि बहाया definite integration plus integration by substitution का case है तो हम इतना लंबा क्यों करें हम इतना लंबा क्यों करें आपको मेरी बात समझ में आ रही है बच्चो देखेंगे बहुत ध्यान से पहले हम यहां से यहां आए फिर हम यहां से वापस वहां गए ठीक है क्लियर है क्या किसी भी भाई को कोई problem है तो बताईए ठीक है पहले हम यहां से यहां गए और फिर हम यहां से यहां सॉल्ड किया तो यानि कि यह किसका case है definite integration यह किसका case है definite integration plus integration by substitution का case है तो मैं इसको कैसे भी कर सकता हूँ कैसे भी कर सकता हूँ आईए जरा देखेंगे but before that friends please pause the video to note it down please pause the video to note it down ठीक है ठीक है ना please pause the video to note it down है ठीक है चलिए पॉज द वीडियो नोट डाउन ओके अब स्टूडेंट बहुत ध्यान से देखेगा मैं इसको अटा दे रहा हूं मैंने क्या किया मैंने देखा कि अरे इंटेग्रेशन वाइस सब्सक्रिप्शन सोल हो जाएगा न तो यह डेफिनेट है तो मैंने क्या किया 30 माइनस एक्स पावर थ्री बाई टू को टी मान लिया ठीक है तो उससे क्या हुआ डिफरेंशिएटिंग बोच साइड थर्टी का डिफरेंशिएशन जीरो ठीक है देखिए बहुत यान से थर्टी का डिफरेंशिएशन जीरो माइनस एक्स पावर थ्री बाई टू एक्स पावर थ्री बाई टू माइनस वन यानिकी हाफ दिसमच आफ डीएक्स बराबर डीटी यानि कि मेरे पास क्या आ गया, it is x power half, यानि कि root x dx बराबर, minus 2 by 3 dt, ठीक है न, यह हो गया भी है, यह हो गया, ठीक है, clear है क्या, चलिए, इसको हटा दें क्या, इसको हटा दिया, आप बच्चों बहुत ही जान समझेगा, बहुत ही जान समझेगा, मैंने इतना काम कर दिया है ना, इतना काम कर दिया है, अब मैं क्या कर रहा हूँ, ये limits किसकी हैं, अगर आप बहुत ही ध्यान से देखो, ये limits 4 to 9 किसकी limits हैं, x की limits हैं, x की limits हैं, but अब मैंने question को किस में change कर दिया, t और dt में change कर दिया, तो यानि कि limits भी किसकी चाहिए, मेरे को अपर लिमिट एक्स की कितनी है 9 ���ीक है जब एक्स इक्वल टू फोर होगा तो टी की लोग लिमिट कितनी हो जाएगी तो देखो टी बराबर 30 माइनस एक्स की जगे फोर रख दूँगा मैं पावर थ्री बाई टू इट इस टी कितना हो जाएगा देखिए थ्री 30-4 को लिख दूँगा मैं 2 square into 3 by 2, so 2 से 2 कट गया, so 30-2 दुनी 4 दुनी 8, यानि कि 30-8, 22, so यानि कि when x is equal to 4, टी का वैल्यू कितना है बच्चो, 22 है, ती का वैल्यू कितना है बच्चो, 22 है, सो यानि कि when x is equal to 4, टी का वैल्यू 22, now when x की value 9, टी का वैल्यू कितना हो जाएगा, it is 30 minus, x की जगे 9, power 3 by 2, यानि कि 30 minus, 9 को लिख देंगे 3 की power 2, 9 को लिख देंगे 3 की power 2, into 3 by 2, so 2 से 2 कट गया, so 3, 3, 9, 3, 27, minus का 30, 30-2 7-3 तो यह नहीं कि जब एक्स की बराबर एक्स के नाइन के बराबर है तो टी की वैल्यू कितनी हो जाएगी थी के बराबर हो जाएगी तो यह नहीं कि पहले हमारे पास सिर्फ एक्स की लिमिट्स थी ना 4 से 9 अब हमारे पास टी की लिमिट्स है 22 से 3 क्या लोग लिमिट बड़ी हो सकती है अपने लिमिट छोटी हो सकती है हो सकती क्या दिक्कत ठीक है ना तो 22 से 3 तक ठीक है अच्छा इसको फटा-फट से नोट करेंगे बच्चों प्लीज पॉज वीडियो नोट इट डाउन पॉज वीडियो नोट इट डाउन चलिए अब हमें जगह चाहिए थी ती तीक है ना क्लीनिनेस भी चाहिए और जगह भी चाहिए हमने क्या करें अब यह जब एक्स की वैल्यू फोर थी तो मैं टी की वैल्यू ट्वेंट ट्रिपल निकाल दी जब एक्स की वैल्यू नाइन थी ने टी की वैल्यू थी निकाल दी अब आपका जो इंटीग्रेशन का सवाल है जरा उसको देखिए का बच्चों मैं क्या करूंगा रूट एक्स डी एक्स की जगह कितना लिख दूंगा माइनस का टू बाइ थ्री डी टी कांस्टेंट को बाहर ले गया और तर्टी माइनस एक्स पावर ती बाइ टू को क्या लिख दूंगा टी टी स्क्वायर है ठीक है ओके लिमिट किसकी चलेंगी एक्स की चलेंगी का नहीं अब पूरा फंक्शन टीम चेंज हो गया तो लिमिट किसकी चलेंगी 22 से थी ना सो 2223 पर जब एक्स वेल्यू फोर थी तो टी की वैल्यू 22 हो गई ना जब एक्स की ना इन तो टी की वैल्यू थी हो गई तो एंटायर क्वेश्चन में मैंने यहीं के यहीं लिमिट चेंज कर दी मैंने तो t square का integration कितना हो जाएगा it is t की power minus 2 plus 1 upon minus 2 plus 1 and we have limits from 22 to 3 ठीक है, it means कितना हो जाएगा बच्चो, बहुत दिखेंगे बहुताए ध्यान से देखेंगे बच्चो, बहुताए ध्यान से देखेंगे बच्चो, बहुताए ध्यान से देखेंगे बच्चो, it is i equals to, i equals to, minus 2 by 3 है बच्चो, check कर लो, now minus 2 by 3 है बच्चो, minus का 2 plus 1 minus का 1, बाहर आ जाएगा, and t की power minus 1, ये अंदर रहेगा, 1 upon t, and limits कितनी है बईया, 22 से 3 तक, so it means, 2 by 3, it is 1 upon upper limit, t की value 3, minus 1 upon lower limit, so ऐसे करके, definite integration plus integration by substitution में क्या करना है हमें, हमें सिर्फ एक काम करना है, कि हमें पहले indefinite solve करके, बाद में limits apply करें, हमें, simple सा काम करना है बाबा कि हम पहले जब definite integration में substitution करेंगे तो x की limits को t की limits देखें तीन substitution हो गए तीन substitution हो गए पहला substitution 30-x power 3 by 2 को t मानना है दूसरा substitution dx को भी replace करके dt लिखना है ठीक है ना और तीसरा substitution limits का substitution कि बाबा limits भी substitute करनी है तीसरा substitution x की limits जो है वो t की limits में change हो जाएगी तो यहने कि तीन substitution करने है definite integration में तो यहाँ पर बहुत दियान से देखेंगे, 2 by 3, it will be 66, 22 minus 3, and hence, बच्चो मन के सचो, it will be 22 मिनट से 3 गया, 19 and it is 66, so 2, 3, 0, 6, 2, 3, 0, 6, so 19 upon 33 into 3, 99, right है बच्चो, right है, right है, right है, जल्दी से बोल दो, clear है क्या? जल्दी से बोलो क्लियर है क्या भाईया ठीक है तो ऐसे करके हमें डेफिनेट इंटेग्रेशन प्लस इंटेग्रेशन बाई सब्स्टिट्यूशन की प्रॉब्लम को सॉल्ल करना है ठीक है भाईया क्लियर है क्या है तो हमने देखिए हमने डेफिनेट इंटेग्रेशन प्लस हमने डेफिनेट इंटेग्रेशन में कौन टाइप कर लिया है, we have solved as indefinite and we will apply limits, ऐसे करके तो हम सारे के सारे questions कर ही सकते हैं, फिर हमने definite integration में एक integration by substitution भी कर दिया, इसके अंदर तीन substitution होते हैं, पहला T टी वाला, दूसरा डी टी वाला, और तीसरा limits का substitution, ठीक है न, तो इसका मतलब, तीन substitution होते हैं, अब हमारे पास, अगला जो category है, definite integration plus integration by partial fraction, तो आईए एक प्रश्न इसके उपर भी, करते हैं, ओहो, आगया हमारे पास, definite integration plus integration by partial fraction, तो देखिए, definite integration plus integration by partial fraction, का जो सवाल है, उसको आप चाहके भी, shortcut apply नहीं कर सकते आपको पहले इसको indefinite के तौर पर solve करना ही पड़ेगा यानि कि सबसे पहले आपको अपना integrand solve करना पड़ेगा यानि कि x upon x plus 1 into x plus 2 इसको मैं क्या लिखूँगा a upon x plus 1 plus b upon x plus 2 यह इसका partial fraction तो यही होगा न बाबा चेक कर लो clear है क्या भाई अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे मैंने a और b का value निकालना है x x plus 1 x plus 2 right यहाँ पे अपने lcm लेंगे बच्चों it is x plus 1 into x plus 2 right इस एंटू एक्स प्लस टू प्लस बी इंटू एक्स प्लस वन राइड है अच्छा यह इससे खतम हो गया ठीक है ना तो इन नीचे वाली पार्टी खतम हो गई तो हटाई दो उसको ठीक है ना बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे बच्चों बच्चों बहुत ही ध्या 2 रखोगे left side में, so minus 2 plus 2, 0 into a, 0, right, b, x की value minus 2 plus 1, so it is minus b or minus 2, तो b का value 2 हो गया, b का value 2 हो गया, check कर लो, and बच्चो, अब बहुत धियान से देखेंगे, अब बहुत धियान से देखेंगे, कि अब मैं b को 0 कर रहा हूँ, यानि कि x की value को मैं minus 1 लिख दे रहा हूँ, बोथ side, x की value left side में कितने जगे, minus 1, 2 minus 1, 1 यानि कि a, and minus 1 plus 1 या 0, तो a का value minus 1 हो गया, so यानि कि मेरे पास सही माइने में, तो मेरा जो integral, integrand था, ठीक है, बच्चों बहुत दियान से देखेंगे, तो यह नहीं कि x अपन x प्लस 1 into x प्लस 2 कितना हो गया बच्चो यह a अपन x प्लस 1 यह नहीं कि minus 1 अपन x प्लस 1 हो गया and b अपन x प्लस 2 ठीक है ना b अपन x प्लस 2 यह नहीं कि plus 2 अपन x प्लस 2 ठीक है अच्छा मुझे इसी का integration करना है राइट है, तो मुझे इसी का integration करना है, राइट है, और कहां से कहां तक करना है, 1 से लेके 2 तक करना है, 1 से लेके 2 तक करना है, तो चले ये जी, solve करते हैं, तो क्या हो जाएगा बच्चों ये, it is minus का 1 तो बाहर आ जाएगा, तो minus तो बाहर आ जाएगा, it is log modulus x plus 1, लॉग, इसका integration लॉग मॉडल एस एक्स प्लस वन, limit कहां से कहां तक लगेगी, 1 से लेके 2 तक, अब दिखे, अब ऐसा हो सकता है कि पहले आप पूरा integration solve कर लिजे, पहले आप integration solve कर लिजे, या फिर आप अलग-अलग parties का integration भी solve कर सकते हैं, अलग-अलग में करना जादा अच्छा रहेगा, अलग-अलग में करना जादा अच्छा रहेगा, right है, it is from 1 to 2 dx, so integration is, this is minus log modulus x plus 1, right है, and from limit 1 to 2 plus 2, it is log modulus x plus 2, फ्रॉम 122 टिगे स्टेट इस माइनस अधिके लॉग अपर लिमिट एक्सी तो तो प्लस वन लॉग थ्री माइनस वन प्लस वन लॉग लॉग लॉग 2 plus 2, 4 minus 1 plus 2, 3. ठीक है ना?
Clear है? देखो, गलत कर दिया हमने यहाँ पर ना, थोड़ा सा गलत कर दिया. बहुत दियान से देखेगा, यहाँ पर 2 है ना, बाहर, तो यहाँ पर देखेगा. Upper limit, log 2 plus 2, minus, पूरे function में x की ज़गा 1, तो log 1 plus 2, 3. ठीक है ना, ऐसे करके आपको लिखना है, अब यह पूरे function में लिखते हैं ना, upper limit minus lower limit, ठीक है ना, तो पूरे function में upper limit रखा तो 2 plus 1, 3, minus, पूरे function में x की जगह 1 रखा तो 1 plus 1, 2, ऐसे, तो देखे, log m minus log n के आपको एक property भी जिखाई है, क्या होता है बच्चो, it is log m upon n, ठीक है, so it is log 3 upon 2, plus 2, यह कितना हो गया, log 4 upon, log, log 4 minus log 3, यह नहीं कि log 4 upon 3, आप अपने answer को चाहो, तो ऐसे रख सकते हो, आप अपने answer को चाहो, तो रख सकते हो, otherwise, आप और थोड़ी सी properties, of, properties लगा सकते हो, आप चाहो, तो थोड़ी सी और properties लगा सकते हो, देखिए, log m power, बराबर n log m बताई थी ना हमने तो इसका मतब ये n कहा चला जाता है m की power में चला जाता है ठीक है तो यानि कि ये minus कहा चला जाएगा 3 by 2 की power में तो log 2 by 3 हो जाएगा या 3 by 2 की power minus 1 यानि कि इसका reciprocal हो जाएगा log 2 by 3 ऐसी ये power यहाँ चली जाएगी तो ये plus log 4 by 3 का whole square यानि कि 16 upon 9 हो जाएगा फिर हमने आपको एक property और सिखाई थी log m plus log n कितना होता है बच्चो, it is log m into n, ठीक है न, तो यहाँ निके final step में आपके पास क्या हो जाएगा, log, it is 2 by 3 into 16 over 9, right, so यहाँ पे आप solve कर लेंगे, कितना हो जाएगा यह, 16 दुनि 32 बटे 27, so log 32 बटे 27, right, 32 upon 27, ठीक है, clear है क्या, is it, clear है क्या is it clear है क्या भी आज जल्दी से बताइएगा is it clear ठीक है, so log 32 बटे 27, ऐसे करके आपको solve करना है, so हमने आपको definite integration plus integration by partial fraction का भी एक case आपको सिखा दिया है, अब students बहुत दियान समझेगा, मैं आपको एक चौथा case यानि की definite integration plus integration by part का case भी कराऊंगा, ठीक है, and then उसके बाद हम लोग क्या करेंगे बच्चो, जो भी NCERT में given examples हैं, उनको हम लोग करेंगे, लोग सॉल करेंगे ठीक है चले आगे चले आगे भी आप वेरी गुड पास दो नोट डाउन है तो अब एक सवाल है हमारे पास यह यह इंटीग्रेशन बाइस सब्सक्रिट्यूशन का है लेकिन पहले मैं इससे इससे पहले मैं आपको डेफिनिट इंटीग्रेशन प्लस इंटीग्रेशन बाइट पार्ट्स का एक केस करना चाहता हूं डेफिनिट इंटीग्रेशन प्लस इंटीग्रेशन बाइट पार्ट्स पहले तो मैं आपको formula लिखवाओंगा definite integration plus integration by parts integration by parts राइड है बच्चो, राइड है, राइड है very good बच्चो वेरी वेरी गुड़ बच्चो वेरी वेरी गुड़ चेक कर लो ओके ग्रेट तो डेफिनेट इंटेग्रेशन प्लस इंटेग्रेशन बाई पार्ट्स ठीक है ना बच्चो बहुत ही ध्यान से देखेंगे बहुत ही ध्यान से देखेंगे ओके अगर हमारे पास कभी formula है, a to b, u into v dx, let's say ये first function है और ये second function है, तो first function as it is, integration of the second function, minus, इंटीग्रेशन डिफरेंटिशन ऑफ द फर्स्ट फंक्शन इंटू इंटीग्रेशन ऑफ द सेकंड फंक्शन का होल इंटीग्रेशन राइट प्लस ही तो आएगा नहीं ठीक है अब आपको यह ध्यान रखना है बच्चों कि इस केस में तीन इंटीग्रेशन के साइन है एक यहां है एक यहां है एक यहां है आपको यह टू वाली लिमिट्स लगानी कहां तो आपको बता देता हूं अ कि आपको बेसिकली इस पूरे पार्ट पर लगानी है और आपको इस इंटीग्रेशन पर लगानी और कहीं नहीं लगाना यानि कि आपको इस पूरे पार्ट पर लगानी है और आपको यहां से यहां तक लगाना जैसे फॉर एग्जांपल अगर मैं एक क्वेश्चन लेता हूं लेट से मैंने क्वेश्चन लिया एक sin x dx और 0 से pi by 2 में मैं इसको निकालना चाहता हूँ यह integration ठीक है अब बच्चों बहुत ही ध्यान समझेंगे भाई आई late के हिसाब से definitely यह second function होगा यह first function होगा तो integration करा मैंने कैसे किया भाई आ first function as it is sin x integration of the second function minus का cos x कि ठीक है माइनस इंटीग्रेशन डिफरेंटीशन आफ द फंक्शन एक्स का डिफरेंटीशन वन साइन इंटीग्रेशन माइनस कॉस एक्स इस बच्चों डीएक्स राइट अब बहुत ज्यादा समझना एक तो लिमिट यहां लगेगी जी रोज से पाइबाइट टू और जी रोज से पाइबाइट यहां तक लगेगी ठीक है अब बहुत ज्यादा समझना कि अ x minus cos x, तो minus x cos x, right, 0 से pi by 2, minus, अब अच्छों बहुत ही देखना, minus minus हो गया, plus, और cos x का integration होता है sin x, एंड साइन एक्स फ्रॉम जीरो से पाइ बाइ टू अब देखना अब बच्चों अंदर बहुत ध्यान से देखना बच्चों कि अंदर पहले तो पाइबाइट रखा जाएगा तो कॉस्ट पाइबाइट जीरो इंटू एनिथिंग जीरो माइनस फिर जीरो एक्स की जगह ठीक है, limits लगाई न हमने, so देखो ये तो 0 खतम हो गया, sin pi by 2, 1, minus sin 0, 0, तो यह नहीं कि 1 answer आ गया, clear है बच्चो, clear है क्या, so ऐसे करके हमें क्या करना है, integration by parts plus definite integration का आपके शायद तो ऐसा नहीं दे रखा था इंटेग्रेशन प्लस इंटेग्रेशन पर पार्ट्स का एक्सरसाइज में क्वेश्चन भी ना हो एंड एक्सेंप्लर में क्वेश्चन से हलाकि बट स्टिल मैंने आपको बता दिया कि भी कहां पर आपको लिमिट सेप्लाई करनी है ठीक है आपको हर इंटेग्रेशन के साइन पर लिमिट सेप्लाई नहीं करनी है आपको सिंपली कहां करनी है एक तो इस बच्चों क्लियर है चले आगे ग्रेट है शो अगर आप बहुत यान से देखेंगे तो अब अगर आप स्टार्टिंग पर जाएं तो हमने आपको बताया था कि भाई देखो डेफिनेट इंटेग्रेशन के केसिस में में हम लोग indefinite के तरह solve करेंगे फिर limits apply करेंगे, फिर definite integration plus integration by substitution, जहाँ पर तीन substitution हो रहे थे, एक t का एक gt का और एक limits का substitution हो रहा था, और तीसरा definite integration plus integration by partial fraction का एक question हमने solve करा है, और हमने देखा कि partial fraction form में लाओ, और उसके बाद differently separate करके integrate करो limits apply कर दो, and then आई थिंक इस पर्टिकुलर एक्सरसाइज इंट्रोडक्शन के अगर मैं बात करूँ, तो यहाँ का तो एक question और है, ठीक है, अके, ग्रेट है, तो इसको साफ-साफ, यह किस से करेंगे हम लोग, डेफिनेट इंटिग्रेशन, आप थोड़ा short में लिख दूँ क्या?
definite integration plus integration by substitution का case है कितने substitution होंगे? तीन substitution होंगे यहाँ पर साफ साफ sin2t को t मानने में फायदा है और यहाँ पर t already है तो मान लो u मान लेते हैं sin2t को u मान लेते हैं क्योंकि t तो already है न so sin2t को हमने u माना differentiating both sides sin2t का कितना होगा? cos2t और 2t का differentiation 2 this much of dt is equal to du राइट और यह यहां से हटकर यहां चला जाएगा ठीक है एक सब्सक्राइब यह हो गया ठीक है एक सब्सक्राइब यह हो गया ठीक है अच्छा तो प्रेशन मान लोग यह इंटीग्रेशन आई है ठीक है तो क्या हो जाएगा यह आई इट एज अच्छा यह लिमिट्स किसकी है एक्स की लिमिट से एक्स की लिमिट हमें किसकी लिमिट सीखें क्योंकि हमारा क्वेश्चन अब यू में कनवर्ट होते जा रहा है तो देखिए साइन टूटी को तो मैं कह लिखूंगा यू क्यूब है और कॉस्ट टूटी डिफिकेशन तो डीटी को मैं क्या लिखूंगा कॉस्ट टू टी टू टी को क्या लिखूंगा डीटी बाई टू तो बाई टू तो बाहर चला जाएगा अच्छा अब मेरा फंक्शन है यू का राइट मेरा जो इंटेग्रेशन का सवाल है अब यू में पहुँच गया और ये लिमिट से अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे, ये एक्स की limits भी नहीं है, sorry, ये एक्स की limits भी नहीं है, ये टी की limits है, अगर आप ध्यान से देखो, तो original function टी है, तो ये टी, variable of integration टी है न, तो ये टी की limits है, तो देखें, जब टी की lower limit value जीरो है, ठीक है, तो यू कितना हो ज जीरो तो यू की वैल्यू कितनी हो जाएगी जीरो हो जाएगी एंड वेन यू का वैल्यू इज वेन वेन वेन टी का आपर लिमिट कितना है पाइबाइफॉर वेंटी इस पाइबाइफॉर राइट देन यू का वैल्यू कितना हो जाएगा साइन टू टी टी कितना पाई बाई फोर ठीक है इटेस साइन पाई बाई टू ठीक है एंड साइन पाई बाई टू इस वन ठीक है सो यू का वैल्यू भी कितना हो गया इटेस वन यू का वैल्यू वन हो गया है ओके सॉ बेसिकली इस पार्ट को सब लोग याद लिख लें हलांकि लिखना भी जरूरी है ठीक है ना लिखना भी जरूरी है बट क्योंकि मुझे जगह चाहिए होगे ना सॉल करने के लिए उठा रहा हूं तो टी के विल्ड द यू एकॉल जी रोवेंट इकॉल ट चलिए, अब जरा बहुत दियान से देखेंगे, तो मेरी पास U के limits क्या आ गई, 0 से 1 आ गई, तो it is 1 by 2, U cube का integration U power 4 upon और फॉर एंड फ्रॉम जीरो टू वन राइट सो वन अपॉन टू और यह फॉर वन बाई फॉर यानी कि आपका जो यह फॉर है नॉमिलेटर में इस कॉस्टेंट बाहर आ गया और तो यू की पावर फॉर जीरो टू वन राइट इट एस वन अपॉन एट इट एस वन पावर फॉर बाई यू की जगह वन रखेगा न वन पावर फॉर माइनस जीरो पावर फॉर सो वन पावर फॉर इस वन एंड जीरो पा चिक है, इतना आसानी से ही question आपका solve हो गया, clear है बच्चो, जल्दी से बताइएगा, right है, very good, अब students, क्योंकि जैसे मैंने आपको कहा था कि हम लोग इसी particular exercise introduction के अंदर, हम लोग 7.8 और 7.9 दोनों के ही introduction आपको करा देंगे क्योंकि मैं actually मैं जो concept है वो मैं दोनों exercise का करा चुका हूँ ठीक है तो दो questions करेंगे और 7.9 का introduction भी हमारा खत्म है खतम हो जाएगा हमारा 7.9 का introduction भी खतम हो जाएगा 7.9 introduction भी हमारा खतम हो जाएगा तो इसलिए उसको भी import कर लेते हैं उसको भी import कर लेते हैं उसको भी import कर लेते हैं 7.9 intro right okay great great great great दिल का दरिया बही गया हूँ राइट तो 7.9 का इंट्रोडक्शन इसमें अक्शुली बेसिकली मैं जो कॉनसेप्ट है 7.9 इंट्रोडक्शन में जो कॉनसेप्ट है वो है डेफिनिट इंटिग्रेशन प्लस इंटिग्रेशन बाई सब्स्टिटूशन तो उन्होंने कहा कि भाई इस पर थोड़ा और अलग आईये चलते हैं ठीक है?
आजव आजव आजव आजव So it is I, it is my minus 1 to 1, 5x power 4, square root of x power 5 plus 1 dx, ठीक है? आप बच्चों बहुत ही ध्यान से समझेंगे x power 5 plus 1 को सभी को पता है, इस quantity को t मानने में फायदा है लेकिन इस quantity को t मानने में फाइदा है, एक substitution यह हुआ, क्योंकि यह definite integration plus integration by substitution का case है तो x पावर 5 प्लस 1 को t मान लेंगे, x पावर 5 प्लस 1 को t मान लेंगे, so differentiating both side it is 5x पावर 4 dx बराबर dt हो जाएगा, ठीक है न, तो यह दूसरा substitution हो गया भी है, यह दूसरा substitution हो गया, अच्छा, अभी originally, originally यह जो limits है, यह वाली जो limits है, यह, यह कौन सी है, यह x की limits है, यह x की limits मुझे किस की limits चाहिए, मेरा function तो अब t में change होने जा रहा है न, तो मुझे t की limits चाहिए, मुझे t की limits चाहिए, so बच्चों बहुत इधियान से देखेंगे, when x equal to minus 1, जब x की value minus 1 है, तो t कितना हो जाएगा भी, it is minus 1 की power 5 plus 1, तो minus 1 की power 5 minus 1 हो जाएगा, and plus 1 it is 0, so t का value हो जा� ठीक है एन एक्स इग्वाल टू वन तो टी का वैल्यू कितना हो जाएगा भी आप वन पावर फाइव प्लस वन यानी कि वन पावर फाइव एस वन प्लस वन डेट इस टू सो टी का वैल्यू जाएगा टू ठीक है तो तो एक्स एक्वाल टू माइनस वन पर टी का वैल्यू जीरो एंड टी का वैल्यू एक्स एक्वाल टू वन पर टी का वैल्यू टू है ना तो यहां पर हमने यह वाली दोनों लिमिट लिखती ठीक है इसको अटा दूं क्या अभी थोड़ा सा लिखना तो सिखाई दिया आपको निकालना तो सिखाई दिया ठीक है अब स्विडेंट्स देखिए हमने सारे सब्सक्रीब कर दी है ना अब देखिए बहुत ध्यान से फा दीटी ठीक है और स्क्वार रूट आफ एक्सपाइड फाइव प्लस वन को लिखेंगे स्क्वार रूट आफ टी है और एक्स की लिमिट्स की जाएगा हम लोग टी की लिमिट रखेंगे जीरो से टू तो बहुत देखेंगे इट विल कम आउट टी की पावर वन बाई टू प्लस वन अपन वन बाई टू प्लस वन ओके, and 0 से 2, so it is, दो एकम दो रेक तीन बटे दो, तीन बटे दो यानि कि दो बटे तीन, it is 3 की power, T की power 3 by 2, and from 0 to 2, right, अब integration का सवाल देखेंगे, right, it is 2 by 3, and T is what, 2 की power 3 by 2, minus, अजय को जी रोगी पावर थी बाइट ठीक है एक लिए अभिया यह टी की जगह में टू रखा और फिर वापस फिर हम लोग करवाल टू की पावर थी बाइट माइनस लोग लिमिट एंड टी की जगह में जी रोग रखा तो शीघ्र की पावर थी बाइट तो इसका मतलब टू इंटू टू की पावर थी बाइट तू राइट क्योंकि यह तो जीरों जाएगा इसका मतलब टू इंटू टू की पावर थी बाइट तू यानि कि वन प्लस थी बाइट तू अपॉन थी तो इटेस वाट वी कैन से अच्छा इसको मैं चाहूं तो ऐसे लेता हूं ना चाहूं तो मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं कि वे टू इंटू टू को मैं कह सकता हूं थ्री लाइट टू की पावर थ्री बाइट टू को मैं क्या लिख सकता हूं बच्� 2 root 2, तो यह कहां जाओ मैं इसको 2 root 2 upon 3 लिख सकता हूँ, and it is 4 by 3 root 2, ठीक है, ऐसे भी करके मैं answer लिख सकता हूँ, so 4 by 3 root 2 will be the answer, 4 by 3 root 2 will be the answer, clear है बच्चो, clear है क्या, so this is how we are going to solve integration by substitution problems, integration by substitution problems, right, integration by substitution problems, okay, great है, कि क्लियर अब यह जल्दी से बताइएगा इस पर फेक्ट इस पर फेक्ट इस पर फेक्ट ओके ग्रेट अ है ओके सो गाइस आगे चलते हैं आगे चलते हैं एंड वन मोर क्वेश्चन भी है और उसके बाद इस ओके, तो यहाँ पर हमारे पास एक question और आ गया, integration by substitution का, आईए जरस को करते हैं, तो देखें का बच्चों, यहाँ पर साफ साफ सबको पता है कि 10 inverse x को t लेने में फाइदा है, पहला substitution तो यही हो गया, तो देखें का बच्चों, यहाँ पर साफ साफ सबको पता है कि 10 inverse x को t लेने में फाइदा है कि 10 inverse x को t लेने में फाइदा है कि 10 inverse x को t लेने में फाइदा है कि 10 inverse x को t लेने में फाइबा है कि 10 inverse x को t लेने में फाइबा है कि 10 inverse x को t लेने में फाइबा है कि 10 inverse x को t लेने में 0 तो we will write t equal to 10 inverse 0 अब 10 inverse 0 आपको 0 ही आएगा ठीक है और फिर x की value 1 ले ली हमने, ठीक है, और t का value 10 inverse 1, और 10 inverse 1 होता है pi by 4, ठीक है, तो एक ये value ले ली हमने, ठीक है, अब ये सब कर दिया हमने, चलो ठीक है, जगे का manage करना है, तो इधर आ जाते हैं, अब आपका जो integration का problem है, i, ये कैसा हो जाएगा, देखेगा, 10 inverse x की जगे तो मैं क्या लिख दूँगा, t रख दूँगा, and dx upon, अपने प्लस एक्स स्क्वर की जगह में डीटी रख दूंगा ठीक है डीएक्स अपने प्लस एक्स स्क्वर की जगह में डीटी रख दूंगा एंड बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेगा अजय को जीरो टू वन राइट सो टी का वैल्यू फ्रॉम जीरो टू पाइ पाइ फॉर ले लूंगा मैं जीरो टू पाइ पाइ फॉर ले लूंगा मैं ठीक है इट एज व्हाट विडियो बट इट विल बी यानि कि टी स्क्वार अपन टू ठीक है, from 0 to pi by 4, and 1 by 2 बाहर आ जाएगा, so t square from 0 to pi by 4, so exactly what will happen, so 1 upon 2, pi square upon, t की अगर pi by 4 रखेंगे तो pi square upon 16, minus 0 का square 0, ठीक है, so it is pi square upon 16, 32, 32, so this is how you will integrate, अब स्टूडेंट्स बहुत ही ध्यान से देखिएगा, जैसे कि मैंने आपको पहले बताया था कि at the end of the lecture मैं आपको इन दोनों बातों का जिकर करूँगा आपसे, तो geometric meaning of definite integrals और area function, दोनों चीजों का जिकर करेंगे, तो आईए, यह definite integration को कैसे evaluate करना है, इसके उपर तो हम लो definite integrals geometric meaning of definite integrals ठीक है बच्चो अब ज़रा बहुत ही ध्यान से देखेगा क्या meaning है देखे बच्चो हमने definite integration की जो problem है हमने कहा कि बिया किसी भी function का integration किसी interval में definite integral कहलाता है किसी function का integration किसी interval में definite integral कहलाता है, ठीक है, आप बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेगा, इसका actually meaning क्या है, इस particular curve से आप meaning समझोगे, इस पर्टिकुलर कव साफ मीनिंग समझोगे राइट लेट्स यह कोई कर्व है वाइट कॉल टू एफेक्स ठीक है है अच्छा एक्स डिस्टेंस दूरी पर आ बान कर चलिए एक्स डिस्टेंस दूरी पर एक एक स्टेंस दूरी पर एक कितनी चौड़ी रेक्टेंग्र स्ट्रिप ले रहा हूं मैं डी एक्स डी एक्स मतलब डेल्टा एक्स डी एक्स मतलब बेसिकली क्या होता है डेल्टा एक्स होता है ठीक है तो अगर डेल्टा एक्स बहुत स्माल है तो उसको dx बोल देते हैं, so dx width की एक, हमने क्या लिए, एक strip ली, rectangular strip ली, तो ये almost rectangular strip है, अगर आप देखो तो, जिसमें की width तो dx हो गई, और height कितनी हो जगी बच्चो, एक median height लेते हैं, तो height कितनी हो जगी, इस x पे जो function की value मिलेगी वो ही इसकी height हो गई so fx लंबाई है dx चोड़ाई है तो fx into dx basically क्या देता है area of rectangular strip area of rectangular strip ठीक है area of rectangular strip दे रहा है now जब हम इसको x equal to a से जब हम इसको x equal to a से एक्स इकॉल टू बी तक इंटेग्रेट करते हैं एक्स इकॉल टू ए से लेकर एक्स इकॉल टू बी तक हम इंटेग्रेट करते हैं तो इंटेग्रेट का एक्शन जो मीनिंग है वर्बल मीनिंग है वह है जोड़ना चुकना जोड़ना जैसे इंटेग्रीटी मतलब एकता राइट इंटेग्रेशन मतलब जोड एक तरीके से, ठीक है ना, so integrate मतलब जोडना, so हम लोग क्या जोड रहे हैं, basically x equal to a से लेके x equal to b तक हम ऐसी बहुत सारी rectangular strips के area को जोड रहे हैं, so basically fx into dx area of rectangular strip है, और integration हम क्या कर रहे हैं, a से लेके b तक, यानि कि a से लेके b तक बहुत सारी rectangular strips का area हम जोड रहे हैं, so कहने का मतलब अगर हम लोग इसको, एक शब्द में या एक line में, शब्द में कहना तो नहीं उचित रहेगा, बट अगर हम लोग इसको एक sentence में बोलें, एक sentence में बोलें, तो हम ये conclude कर सकते हैं, कि हमें basically definite integration a to b fx dx actually में क्या दे देता है अगर कोई function है y equals to fx तो वो हमें x equal to a से लेके x equal to b तक अगर हम लोग किसी function है फंक्शन को इंटिग्रेट कर रहे हैं किसी इंटरवल में एस लेकर बी तक में इंटिग्रेट कर रहे हैं तो बेसिकली डेफिनेट इंटिग्रेशन हमें इस फंक्शन के अंडर जो एरिया आ रहा है उस एरिया को हमें देता है from x equal to a to x equal to b, and basically, all rectangular strips area, what will happen after mixing, the area below the curve, so basically, we will get the area under the curve, we will get the area under the curve, so we will get the area under the curve, so that means, a to b fx dx gives us, area under fx, area under the function, ठीक है ना, from x equal to a to x equal to b, ठीक है बच्चो, अच्छा एक बात समझेगा, क्योंकि definite integration हमें curve के under area देता है, इसी लिए, इसी खासियत की वज़े से, हमारे पास, हम लोग definite integration का इस्तमाल करते हैं, area under the curve निकालने के लिए, and इसी लिए बच्चो, इसी लिए बच्चो, इसी लिए बच्चो, area under the curve हम लोग using definite integration निकाल पाते हैं, इसी लिए हमारा जो next chapter है, chapter नमबर 8, उसके अंदर basically topic क्या है, है अगर आप बहुत दियां से देखोगे तो application application मतलब usage है ना इस्तेमाल application of integrals यानि कि integrals का इस्तेमाल आपको हम दिखाएंगे जिसमें कि हम लोग में ली मेली एरिया अंडर कर दो और बिट्विन द कर्व की प्रॉब्लम को हम लोग सॉल करेंगे तो यह जो डेफिनेट इंटेग्रेशन का यूज ऐज है इसके ऊपर पकायदा एक चैप्टर है जो कि हमारा नेक्स्ट चैप्टर है ठीक है तो डेफिनेट इंटेग्रेशन का इट गिव्स अस डेफिनिट इंटिग्रेशन हमें क्या देता है? इट गिव्स अस एरिया अंडर दा फंक्शन फ्रॉम एक्स इक्वल टू ए फ्रॉम एक्स इक्वल टू ए टू एक्स इक्वल टू पी ठीक है राइट एक सेकें एक्स इक्वल टू ए टू यह टू है ना बच्चो यह टू है ठीक है इसको मैं थोड़ा सा साफ से लिख देता हूं सो डेफिनेट इंटेग्रेशन फ्रॉम एक टू भी क्या देता है मैं एरिया अंडर द फंक्शन फ्रॉम एक टू बी ठीक है फ्रॉम एक टू भी क्लियर है बच्चो, चलिए, तो अब है हमने आपको as per what I have said earlier, उसके हिसाब से हमने आपको geometric meaning of definite integrals बताया, कि बेरा definite integrals basically क्या करता है हमें, जिस द एरिया अंडर द कर्व एरिया अंडर द कर्व टिगर अपने अंडर द कर्व फॉर्म एक्स इकुअल टू एक्स इकुअल टू बी ठीक है तो इस वाइट को एफेक्स को भी मैं कर्व लिखता हूं सबसे पहले ना सबसे पहले मैं इसको कर्व लिखता हूं इसको मैं सबसे पहले कर लिखता हूं ठीक है वाइट एफेक्स क्या है एक कर्व है एक कर्व है वाइट एफेक्स क्या है कर दें यह y equal to fx तो curve है ना, ठीक है, चलिए, तो यहाँ पर हमने आपको बता दे, geometric meaning of definite integration, तो geometric meaning of definite integration क्या है, basically definite integration हमें क्या देता है geometrically, it gives us the area under the curve from the lower limit, the upper limit, ठीक है, तो इसको फटा फट से note करेंगे, pass the video to note it down, चलिए, तो अब हमने ये वाला point तो cover कर दिया, next है हमारे पास area function, ठीक है न, तो अब area function को देखेंगे, area function क्या है, है न, पास द वीडियो नोड इट डाउन, चलिए, अब बात करते हैं बच्चो, एरिया फंक्शन पे, एरिया फंक्शन पे, एरिया फंक्शन पे, तो एरिया फंक्शन क्या होता है, देखिएगा, अब एरिया फंक्शन क्या है, कि मान के चलिए, मान के चलिए, मान के चलिए, मैं आपके सामने के स्थिती लेता हूँ और ये स्थिती कैसी है बईया let's say ये कोई curve है y equal to fx और यहां से आपने शुरुवात करी है let's say x equal to a से और upper limit fix नहीं है, upper limit अभी fix नहीं है, upper limit fix नहीं है, let's say अभी upper limit, let's say हमने कह दिया x है, और ये x क्या होगा भीया, ये x variable होगा, बचोगों, बहुत इन्यान समझेगा ये x अभी variable है मतलब lower limit fix है lower limit fix है lower limit fix है ठीक है lower limit fix है so integration of a to x fx d अब देखिए जैसे जैसे आप x को change करेंगे बहाया आप x को बढ़ाएंगे तो area भी बढ़ेगा बहाया बहुत दियान से देखेगा अब मेरी बात समझेगा बच्चो ये particular area की मैं बात कर रहा हूँ बच्चो बहुत दियान से देखेगा जैसे जैसे आपका x change होगा मानलो आ फिर आपका अगर x यहां की जगे, यहां आ गया, तो फिर यह वाला area भी आ जाएगा, right? और अगर आपका x थोड़ा सा और आगे चला गया, तो फिर यह वाला area भी आ जाएगा, so basically यह area किस पर depend कर रहा है? x पर depend कर रहा है, right?
so this is the function of x, so यह कहलाता है area function, ठीक है? it depends on x value की, या upper limit आप x को और बढ़ाओगे, मान लो आप x को थोड़ा और बढ़ा लोगे, आप यहां तक चले जाओगे, तो आपके पास यह area भी आजाएगा, आप x को थोड़ा और बढ़ाओगे, तो और area आजाएगा, आप x को घटाओगे, तो area घटने लगेगा, आप x को थोड� आप एक्स को घटाओगे तो area घटने लगेगा, so basically अगर आप बहुत ही ध्यान से देखें, तो ये जो area है, it depends on the x value, आप एक्स को बढ़ाओगे घटाओगे, तो उससे क्या होगा, आपका area बढ़ेगा और घटेगा, ठीक है, so this is called as area function, ठीक है, area function हम इसलिए पढ़ाते हैं, क fundamental theorem of calculus भी बोल देते हैं, first fundamental theorem of calculus भी बोल देते हैं, first fundamental theorem of calculus भी बोल देते हैं, it is related to area function, ठीक है, और ये क्या बोलता है बच्चो, ये कहता है, ये कहता है, यह कहता है कि भईया if AX is an area function for a continuous function defined in the interval A to X, ठीक है ना, तो simple if AX is equal to A to X, Fx, Dx, then A dash X will be equals to Fx होगा, ठीक है, A dash X will be equal to Fx होगा, ठीक है, यह एक ऐसा particular theorem है, जो आपको काफ़ाई है, काफी सारे क्वेश्चन में हेल्प करेगा काफी सारे में तो नहीं बटा कुछ क्वेश्चन में आपकी हेल्प करेगा इन एंसीआटी एक्जेंपलर एजवेल एंसीआटी ठीक है अब स्टूडेंट्स बहुत ही जैसे समझेंगे मुझे ऐसा लगता है कि यहां पर एक्शन यहां पर यहां पर पेश x कर दिया राइट साइड का डिफरेंटेशन कैसे हो रहा है या तो हम इसको रट ले या तो हम इसको यथा स्थिति में रट लें बट अगर हम इसको यथा स्थिति में रटेंगे तो हम लोग कुछ लिमिटेड फॉरमेट में तो फिर हम लोग कुछ लिमिटेड फॉरमेट में तो हम लोग कुछ लिमिटेड फॉरमेट में ही क्या कर पाएंगे इस पर्टिकुलर थिवरों जो किस पर डिपेंड कर रहा है जो किस पर डिपेंड कर रहा है बेसिक वह वाइड पर डिपेंड कर रहा है ना लेट से यह सिचुएशन है तो उस टाइम पर मैं एड एश वाइड को क्या बोल दूंगा कि मैं भाई फंक्शन में क्या रख रहा हूं अपर लिमिट रख ले रहा हूं स्वेद एस एफ वाइड अच्छा ठीक है तो ऐसा कर दूंगा मैं तो एक लिमिटेड फॉरमेट में रटाफिकेशन कर सकता हूं मतलब डायरेक्ट को जब आप क्या करा करते थे बच्चों जब आप एक indefinite integration की problem को differentiate करते थे, तो हमने आपको बताया भी था 7.1 में, कि यहां से तो direct effects आ जाएगा, तो यह तो आपको आ गया, but एक definite integration की समस्य, को कैसे solve करते हैं, हलाकि आपके course में नहीं है, but फिर भी मैं आपको लिखवा दे रहा हूँ, कुछ बच्चे तोड़ा इसको note कर लेंगे, तो आपके काम आएगा, ठीक है, so definite integration की समस्या, ये definite integration की जो problems हैं, उनको हम लोग कैसे differentiate करते हैं, अब देखे, ये तो हमने आपको अभ अगर नीचे भी constant है और उपर भी constant है तो FB-FA ठीक है ना कि क्या होगा एक नंबर आएगा नंबर का डिफरेंशन जीरो हो जाएगा लेकिन प्रॉब्लम तब आएगी प्रॉब्लम तब आएगी जब आपके पास मान लीजिए जब आपके पास जब आपके पास डिफरेंशन करना है और आपके पास एक इंटीग्रेशन है of integration of fx dx और इसमें x से y तक का आपका variable यानि कि variable जो है आपके lower limit और upper limit में है ठीक है तो ऐसे case में आप कैसे करोगे इसको, कैसे differentiate करोगे, तो उसका तरीका सिखा रहा हूँ मैं आपको, ज़राब बहुत ही ध्यान से देखेगा, उसमें कुछ नहीं करना है बच्चो, आप क्या करोगे, function में सबसे पहले तो upper limit रखोगे, and then upper limit का differentiation, minus, फिर function में lower limit रखोगे, right, and then lower ठीक है ऐसे और वेरिबल आफ इन डेट वेरिबल आफ डिफरेंशेशन भी क्या रहेगा विद रेस्पेक्ट टू एक्सी रहेगा ठीक है तो हमने वो ऐसे कर दिया तो यानि कि फंक्शन में अपर लिमिट रखेंगे इंटू अपर लिमिट का डिफरेंशेशन माइनस ऐसे, so अगर आप बहुत ही ध्यान से देखो तो यहाँ पे भी क्या हुआ है यहाँ पे भी क्या हुआ है अगर आप बहुत ही ध्यान से देखेंगे तो AX कैसे आया A-X कैसे आया function में हमने upper limit रखी and then upper limit का differentiation 1, ठीक है, minus फिर हमने function में lower limit रखी, and then lower limit a, a का definition 0, क्योंकि a constant है, तो यहाँ नहीं कि सही माइने में यह तमाम चीज़े खतम हो गई और a-x equal to fx हाँ गया तो logic आपको बताया है, कि वह कैसे आ रही है पाकि रटने के लिए तो हमेशा हम लोग freedom है ही हम है, ठीक है बस समझ लेना कि यहाँ पर definite integration में lower and upper limit में constant थे इसलिए derivative 0 हुआ बट यहाँ पर lower limit और upper limit में variables हैं, इसलिए हम लोग ऐसे कर रहे हैं, ठीक है, clear है बच्चो, so फटा फट से बच्चो इसको note करेंगे, तो यहाँ पे हमारा 7.8 and 7.9 का introduction हो जाता है, खतम students, and उम्मीद करता हूँ आपको बहुत अच्छे से यह lecture समझ में आया होगा, बाकि आप, कि जो भी feeling हो, कि कैसा रहा है lecture, इसके notes आपको हमारे CBC class app में, study middle section के अंदर जाके मिल जाएंगे and इसके अलावा students हम लोग मिलेंगे next lecture में और next lecture में जैसे कि मैंने आपको बताया कि हम लोग fifth method of definite integration पे बात करेंगे यानि कि we will discuss on definite integration using properties पे हम लोग बिस्कुस करेंगे और यहाँ पर हमारा integration entirely जो chapter है वो खतम हो जाएगा ठीक है so this is the last exercise बड़ा मज़ा आएगा see you in the last lecture see you in the next lecture and that will be the last lecture of integration so till then students इसको तो note कर लो ना pause the video note it down see you in the next lecture till then goodbye I love you all bye bye