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लिमिट्स की विस्तृत समझ

और भी चैंपियंस व्स अप शुरू किया जाए आज का टॉपिक लिमिट्स आई अंडरस्टैंड बहुत समय लगा इस चैप्टर को आने में बेचारा लड़ खड़ा था लड़ खड़ा था कभी ऊपर कभी नीचे कुछ कुछ करते हुए ये सेशन काफी पोस्टपोन हुआ फॉर दैट आई एम रियली सॉरी बट यस हालात कुछ ऐसे बन गए कि यह सेशन जब भी शेड्यूल हुआ कोई ना कोई काम अटक गया और यह पुश करना पड़ गया बट आज फाइनली महूरत निकला है इस चैप्टर को पढ़ने का आज हम एक ही वन शॉट में पूरा लिमिट्स पढ़ेंगे कंप्लीट लिमिट्स इन वन सेशन मेरा अनुमान है करीबन तीन से साढ़े घंटे या करीबन मैक्सिमम टू मैक्सिमम चार घंटे कोशिश रहेगी कि साढ़े घंटे में हो जाए बाकी आपकी स्पीड है अरे क्या बात है गॉड ब्लेस यू एवरी बडी क्या नाम है यार छोटा वीरा आरव र एवरी बडी गुड मॉर्निंग तो नहीं गुड आफ्टरनून हो गया गुड इवनिंग होगी रार तो सो जो बच्चे नए हैं बता दूं माय सेल्फ अरविंद कालिया सर बच्चे प्यार से भाई बुलाते हैं बिकॉज टस आई फील फॉर यू ऑल तो आप भी मुझे भाई कह के बुलाएंगे मुझे अच्छा लगेगा और इसका जो पीडीएफ है मैं बाद में डिस्क्रिप्शन में ही ऐड कर दूंगा कुछ बच्चों ने बताया था कि जो लिंक ड़ टे ग्रा में दिया हुआ है वहां प कई बार कुछ बच्चों को डाउनलोड करने में दिक्कत आ रही थी तो इसका पीडीएफ मैं आपको डिस्क्रिप्शन में ही ऐड कर दूंगा ठीक है सर कॉलर अप कर लो ऐसे थोड़ा जवानी में आ जाए हम थोड़ा जवान हो जाए नो डाउट ऐसे जवानी तो याद आती है बट यार थोड़ो यार ज्यादा जवान ना हो जाए हम आ जाओ तो शुरू करते हैं लिमिट्स देखो यार अगर वेटेज की बात करें तो इसकी इंडिपेंडेंट वेटेज आपको बहुत ज्यादा नहीं दिखेगी जेई मेन में अगर एवरेज देखो तो 2 पर और जेई एडवांस में करीबन 3.3 पर बट इसका वेटेज बढ़ जाता है क्योंकि कंटिन्यूटी डिफरेंशिएबल दो ऐसे टॉपिक है 12थ क्लास के जो लिमिट्स के बिना किए ही नहीं जा सकते हैं हर एक सवाल में आपको लिमिट चाहिए होता है तो अगर लिमिट की एक्चुअल वेटेज देखनी है तो लिमिट कंटिन्यूटी डिफरेंशिएबल कंबाइंड देखनी चाहिए और वहां पे इसकी वेटेज अच्छी खासी रहती है अगर बात करें टॉपिक क्या-क्या पढ़ेंगे भैया बेसिक से बिल्कुल शुरू करेंगे और सब कुछ कवर कर डालेंगे ये वाले दो फॉर्मेट के लिए थोड़ा सा हल्का सा 12थ का यूज होता है बट मैंने सोचा एक बार पढ़ा रहे हो तो पूरा ही पढ़ा देते हैं तो मैं आपको पूरे का पूरा लिमिट्स यहां पे कवर करवा दूंगा इसके अलावा लिमिट्स में कुछ नहीं बचेगा ठीक है जी गॉड ब्लेस यू और हां इस पूरे चैप्टर के अगर क्रिटिकल टॉपिक की बात करें जो जेई मेन में काफी यूज होंगे या कांसेप्चुअल लेवल पे स्ट्रांग रहने के लिए चाहिए होंगे स्टैंडर्ड फॉर्मेट ब चैप्टर की जान है ये पूरा चैप्टर ना फॉर्मेट बेस्ड है कि अगर ऐसे फॉर्मेट की लिमिट निकालनी है तो इस तरह से प्रोसीड करिए ऐसे फॉर्मेट की लिमिट निकालनी तो इस तरह से प्रोसीड करिए तो आपको फॉर्मेट जो है ना याद रखने पड़ेंगे कि ऐसे फॉर्मेट में ये किया जाता है तो सबसे इंपॉर्टेंट पार्ट देन एक्सपेंशन सीरीज काफी सवालों में यहां पे एक्सपेंशन को यूज करके लिमिट निकाली जाती है और एक्सपेंशन काफी अच्छा मेथड होता है लिमिट्स को सॉल्व करने का जो कि हम सीखेंगे आज क्योंकि ये काफी सेफ सिक्योर एंड इट वल्व वेरी लेस कैलकुलेशंस लास्ट इज एल हॉपिटल रूल ये एक शॉर्टकट होता है जो कि एस सच थोड़ा डिफरेंशिएबल करते हैं फिर सर वॉइस प्रॉब्लम आ रही है एक बार कंफर्म करिए वॉइस इज फाइन और नॉट फाइन टेल मी इन द चैट फटाफट बता दीजिए जस्ट राइट फाइन और नॉट फाइन इट इज फाइन ओके तो आ जाइए और हां भैया जो 11 से 12th मूव कर रहे हैं सारे के सारे वो सारे यूएसटी का एग्जाम जरूर दीजिए वेदर यू आर प्लानिंग टू गेट इन टू अनअकैडमी और इवन इफ यू आर नॉट प्लानिंग स्टिल टेक दिस टेस्ट इट इज अ अनअकैडमी स्कॉलरशिप टेस्ट आपको स्कॉलरशिप मिलता है अगर आप एडमिशन लेते हैं बट मेरा मानना है कि इवन अगर आपने एडमिशन कहीं ले भी लिया हो तो भी जितने भी ये स्कॉलरशिप टेस्ट होते हैं एडमिशन टेस्ट होते हैं इनको जरूर देना चाहिए इससे आपकी लर्निंग बढ़ती है आपका एक्सपोजर बढ़ता है आपको पता लगता है कि आप कहां पर स्टैंड करते हैं राइट तो 2024 यानी कि अब अगले साल के लिए स्कॉलरशिप टेस्ट यहां पे लाइव हो चुका है यह आप दिन में 1100 बजे से लेकर शाम के 7:00 बजे तक कभी भी दे सकते हैं वन आर का टेस्ट होता है इसका लिंक डिस्क्रिप्शन में ही है ऑफकोर्स इसमें आपको अप टू 90 पर स्कॉलरशिप मिल जाता है इफ यू टेक एडमिशंस और हां यहां पे जो ओवरऑल टॉप 50 रैंकर्स होंगे जिसका कि रिजल्ट अप्रैल में अनाउंस किया जाएगा क्योंकि आप रोज बच्चे टेस्ट देते हैं तो एक रिजल्ट कोलेट होगा जो कि अप्रैल में अनाउंस किया जाएगा मैं इस चैनल पर आपके आके आपको अनाउंस भी करूंगा टॉप 50 रैंकर्स को ओवरऑल बहुत सारे प्राइस भी मिलने वाले हैं जैसे कि मैकबुक हो गया आपके अय मैं भूल गया आई हो क्या कहते वो हो गए जो एयरपोड्स होते हैं बहुत र आ है शायद ऐसे करीबन बढ़िया बढ़िया 10 11 एक्साइटिंग रिवार्ड्स है टॉप 50 रैंकर्स के लिए तो आप इसके लिए तो टेस्ट दे ही सकते हो राइट हां ये थी आई वॉच मेरे को याद नहीं आ रहा था मैं कहा कुछ तो आई से था क्या था अब मैं यूज़ नहीं करता ओए सीखने के लिए आया करो सीखने के लिए लाइव या रिकॉर्डेड चेक करने ना आया करो सो सबसे पहले कांसेप्ट ऑफ आपका एलएचएल आरएचएल एंड लिमिट्स यह सबसे पहला टॉपिक है आपका तो अगर शुरू किया जाए पहले मैं एक बहुत ही बेसिक सा मीनिंग बताऊंगा कि एलएचएल आरएचएल होता क्या है यह मैं ग्राफ के थ्रू आपको मीनिंग बताऊंगा पहले होता क्या है ओके सर जैसे कि यहां पे दो ग्राफ बनाए गए हैं यहां से हम सिर्फ मीनिंग सीख रहे हैं सवाल करना नहीं सीख रहे मीनिंग कांसेप्चुअली अपने आप को स्ट्रांग बना रहे हैं मुझे बोला गया अगर आपके आगे यह ग्राफ है y = fx8 ऊपर जा रहा है यहां पे टूट के नीचे आया और फिर आगे निकल गया इसके बारे में अगर मुझे कहा जाए l ए ए @ x = a इसका मीनिंग क्या होता है इसका मीनिंग होता है अगर आप a के पास जाते हैं लेफ्ट हैंड साइड से a के पास जा रहे हो लेफ्ट हैंड साइड से तो आपकी जो फंक्शन की वैल्यूज हैं वो किस नंबर के पास जा रही है दैट्ची तो सिर्फ ग्राफ से देख के बताइए अगर आप लेफ्ट से जाते हैं a के पास तो फंक्शन की वैल्यू किसके पास जा रही है सर m के पास जा रही है पहले कह दूं मैं किसके पास जा रही बोल रहा हूं किसके इक्वल नहीं क्योंकि मैं a के पास जा रहा हूं a पर नहीं जा रहा ओके सर आरएचएल क्या होता है अगर आप राइट से ए के पास आते हैं तो करेस्पॉन्डिंग्ली तो जरा ग्राफ से देख के मुझे अब आप बता दीजिए अगर मैं a के पास राइट से जाता हूं तो मेरे फंक्शन की जो वैल्यूज है वो किस नंबर के पास जा रही है सर ये जा रही है इस नंबर के पास जो कि n है n के ऊपर जा रही है ओके सर यहां पे अगर मुझे बोला जाता फंक्शन की वैल्यू बताइए फंक्शन की वैल्यू तो बेटा वो यहां बैठी हुई है अगर f ऑफ ए पूछा जाता f ऑफ ए तो वो मेरा m के बराबर है यहां पे ओपन लगाया गया ओपन मतलब वैल्यू इस पे ये नहीं इसके बराबर है वेरी गुड अब एक एग्जांपल से और समझ लेते हैं यहां पे अगर देखा जाए तो आपका एलएचएल जो है ए पर वो है इधर n अगर आरएचएल देखा जाए एट x = a इधर से पास गए तो फंक्शन की वैल्यू जा रही है m के पास और लास्ट फंक्शन एवरीथिंग नाउ एवरीथिंग शुड बी फाइन छोटा सा बीच में लैग आ गया था बट अब सब सही हो गया होगा आई एम 100% श्यर यस यस हम सो यस यस यस नाउ फाइन ओके सो बेसिकली हम यहां पे थे जहां पे आपका यह अटक गया था बीच में तो हम f ऑफ ए कितना आ गया यहां पे p के बराबर तो यहां पे दो एग्जांपल के थ्रू आपने सीखा क्या है आरएचएल का मतलब क्या होता है एलएचएल का मतलब क्या होता है आप जब a के पास गए तो फंक्शन की वैल्यू किसके पास गई अब a के पास जाने के दो तरीके आपको पता थे या तो आप a के पास राइट से जाते करेस्पॉन्डिंग्ली एलएचएल ये पहली लर्निंग दूसरा आपका आरएचएल एलएचएल और एक्चुअल फंक्शन का वैल्यू एट a इनका कुछ भी आपस में रिलेशन नहीं होता ये कुछ भी हो सकते हैं यहां पे आरएचएल एलएचएल अलग-अलग थे और फंक्शन की वैल्यू एलएचएल के बराबर थी यहां पे तीनों अलग-अलग अलग हो गए तो इनका आपस में कोई भी रिलेशन नहीं होता तो आज के बाद आरएचएल से आप एलएचएल प कंक्लूजन करेंगे कुछ भी आरएचएल एलएचएल से फंक्शन की वैल्यू पे कोई कंक्लूजन करेंगे आप इनका आपस में कोई रिश्ता नाता नहीं होता तो अगर मैं यहां पे पूछूं तो क्या फटाफट आप मुझे बता सकते हैं कि यहां पे आरएचएल और एलएचएल दोनों ही बराबर हैं किसके m के बट फंक्शन की वैल्यू जो है वो कुछ और ही आ गई n और यह जो था ये सबसे प्यारा आ गया डू यू एग्री ये सबसे प्यारा ग्राफ आपने जब आरएचएल निकाला a पर तो देखा कि a के पास जाने पर फंक्शन की वैल्यू m के पास जा रही थी और यही मेरा एलएचएल भी आ रहा था और देखो फंक्शन की वैल्यू भी यही थी तो यह हुआ सबसे प्यारा ग्राफ सबसे प्यारा बोला सबसे इंपॉर्टेंट नहीं बोला सबसे प्यारा ग्राफ आप चाहे लेफ्ट से देखो चाहे राइट से देखो चाहे फंक्शन की वैल्यू देखो तीनों बराबर आ रहे हैं तो ऐसे फंक्शन को आप 12थ क्लास में ऐसी चीज को 12थ क्लास में बोलने वाले हैं कंटीन्यूअस फंक्शन एट x = a ठीक है इसके बारे में जिक्र अभी और नहीं होता ये 12थ में आता है सो पॉइंट क्या आ गया हमें आरएचएल एलएचएल का विजुअल मतलब पता लगा विजुअली कि देखने में कैसा होता है राइट अब इसको थोड़ा मैथमेटिकली लिखने की कोशिश करेंगे मैथमेटिकली कैसे देखा जाता है उससे पहले आप मुझे बताइए अगर मैं आपके आगे फंक्शन रखता हूं जो ऐसे गया यहां पर टूट के ऊपर चला गया और इधर निकल गया और मैं ए पे आपसे वैल्यू पूछ रहा हूं तो एफ ए सब जानते हैं कि अब यह वैल्यू m के बराबर है एफ ए की बात कर रहा हूं एफ ए की वैल्यू m के बराबर है हां जी सर अगर मैं बोलूं मुझे ए के राइट पर लिमिट बताइए तो ए पे आरएच एल कितना है आर ए एल एट x इ a तो आप कैसे देखेंगे सर हम देखेंगे कि अगर मैं a के पास राइट से आता हूं तो मेरे फंक्शन की जो वैल्यू है वो किसके पास जाती है अगर ये जो हाइट थी ये n थी तो हम कहेंगे कि आपका आरएचएल n के बराबर था वेरी गुड और सिमिलरली अगर मैं आपसे पूछूं एलएचएल तो आप कैसे देखेंगे फटाफट बता दो सर अगर ए ए ए ट x = a पूछा है इसका मतलब अगर मैं a के पास लेफ्ट से जाता हूं तो मेरे फंक्शन की वैल्यू किसके पास जाती है सर m के पास जाती है वेरी गुड अब इसको मैथमेटिकली कैसे लिखा गया देखिए डू यू एग्री यह जो नंबर है मैं इसको जब आरएचएल निकालता हूं तो इस नंबर को a के पास लेके आता हूं राइट तो मैं इस नंबर को अगर a प् h कह दूं तो यह जो वैल्यू होगी वो f ए + ए होगी हां जी सर अगर मेरा h छोटा होना शुरू हो गया h को लिया 1 तो ये कितना था a + 1 a के थोड़ा राइट पे h को लिया 01 तो ये कितना था a + 01 a के थोड़ा सा राइट पे मैंने h को लिया 001 तो ये क्या बना a के बहुत ही थोड़ा सा राइट पे तो करेस्पॉन्डिंग्ली से तो फंक्शन की वैल्यू क्या बनती है इसी को कहते हैं आरएचएल तो इसे कैसे लिखा जाता है लिमिट h टेंड्स टू 0 यानी कि h बहुत छोटा हो रहा है एफ ए + ए बोलो आए नजारे तो आपको f ऑफ ए प् h की वैल्यू बतानी है जब h बहुत छोटा हो गया है वेरी गुड सिमिलरली आप लेफ्ट से देखेंगे तो यह जो है a - ए है जिसमें की करेस्पॉन्डिंग्ली - h है तो जब मेरा h बहुत ही छोटा हो जाएगा तो f ऑफ ए - h कहां जाएगा वही मेरी लेफ्ट हैंड लिमिट होती है बहुत बढ़िया अब यहां पे जो एक पॉइंट जहां बच्चे अक्सर गड़बड़ कर देते हैं उनको पता नहीं रहता और बाद में गड़बड़ होती है वो है भैया तुमने कैसे मान लिया कि a + h a के राइट पे होगा भैया अगर मैं h को -1 ले लेता तो a + h तो a के लेफ्ट पे आ जाता हां सर तो आरएचएल और एलएचएल निकालते वक्त हमने a + h को a के राइट पे विजुलाइज किया a - h को a के लेफ्ट पे विजुलाइज किया यानी के h जो है एक पॉजिटिव नंबर है जो कि रो के बहुत पास है 001 टाइप बहुत ही पास है ओके तो ये सबसे इंपॉर्टेंट पॉइंट होता है तो अब आईडिया क्लियर हो गया ये फॉर्मूलेशन हो गई मीनिंग आप यहां पे समझ चुके थे आओ अब इसको थोड़ा सा सवालों में लगाकर देखते हैं कि कैसे ऑब्जर्व किया जाता है सबसे पहला पार्ट देखिए आपको पूछा गया लिमिट एक्स टेंड्स टू न पॉजिटिव जिफ ऑफ x माइनस 3 इसको मैं दो तरीकों से सॉल्व करूंगा एक जो मैं चाहता हूं कि धीरे-धीरे आप लगाना शुरू करें और एक फॉर्मल जो आप बेसिक मेथड लगाते हैं स्कूल के लिए कह लीजिए यहां पर सबसे पहली बात आपका थ्री तो बाहर निकल गया इंटी जर जो होता है अंडर एडिशन सबक्स जिफ से बाहर निकाला जा सकता है हां जी अब आपने कहा सर जी हम लगाएंगे यह मेथड यह जब मेथड होता है तो आरएचएल में यह वाला मेथड लगाया जाता है इसकी जगह पे h टेंडिंग टू जीरो आ जाता है और अंदर x की जगह प a + h आ जाता है पहले इसे याद करने का तरीका देखो आप जब फार्मूला लगाना चाहते हैं तो ये तो लिमिट एच टेंड टू 0 है इसमें कभी दिक्कत नहीं आएगी वो तो पता ही है बात है कि अंदर क्या आता है तो अंदर जहां जहां x दिख रहा है ना वहां पे 1 प् h कर दो 1 प्लस इस 1 प्स को अंदर x की जगह पे ले जाइए दैट्ची क्ट वन तो आंसर आया -2 अब ये हो गया आपका बेसिक सा मेथड जो आप फॉर्मूलेशन कह लो या स्कूल के लिए कह लो भाई कंपटीशन के लिए आप अकल लगाएंगे लिमिट x टेंड्स टू 1 पॉजिटिव जिफ x - 3 और भाई तुम्हें वैसे नहीं पता अगर मेरा x वन के जस्ट राइट पे है तो जिफ x क्या होगा सर वन होगा सर वन से लेकर टू तक x को जो मर्जी ले लो जिफ x वन ही रहेगा एटली तो सीधे ही आप वैल्यू डाल देते और कह देते आंसर है -2 नाउ कमिंग टू बी पार्ट बी पार्ट इज द लास्ट क्वेश्चन जहां पर मैं आपको दोनों मेथड लगा के बता रहा हूं उसके बाद सिर्फ अकल से करेंगे हम तो हमें पूछा गया लिमिट x टेंड्स टू 5 पॉजिट x - 5 अप x-5 हमने लगाया स्कूल वाला बेसिक सा मेथड हमने कहा सर अगर हमने बेसिक मेथड लगाना है तो यहां पर h टेंडिंग टू जीरो कर दो और जहा जहां एक् बैठा है वहां पर 5 प्लस डाल दो 5 प्लस 5 प्लस साथ में क्या h 5 प्लस साथ में क्या h जैसे तुमने ये किया ये क्या बन गया लिमिट h टेंड्स टू जीरो ऊपर नीचे कट के आ गया वन यानी कि वन वेरी गुड अब आता है अकल वाला मेथड ओए मेरे भोले पंछी एक मेरा फ के राइट पे है फ के बराबर नहीं है डू यू ल एग्री टेल मी इन द चैट एक् मेरा फ के जस्ट राइट पर है फ के बराबर नहीं है अगर x 5 के बराबर नहीं है तो डू यू एग्री ऊपर भी एक नॉन जीरो नंबर है और नीचे भी एक नॉन जीरो नंबर है और वह दोनों नंबर आपस में बराबर है बराबर है तो मैं कट करके सीधे ही वन लिख देता और सवाल खत्म हो जाता एगजैक्टली आपको यही करना है राइट अब आता है अकल से करने वाले सवाल आ जाओ सी पार्ट टेंड टू 3 पॉजिट जि एक्स माइन 3 अपन एक्स माइ 3 अकल से बताना अगर एक्स 3 के राइट पर है जस्ट राइट पर तो आपके जिफ एकस की वैल्यू क्या होगी अगर एकस3 के राइट पर है तो जिफ एकस की वैल्यू क्या होगी सर 3.00 टाइप का नंबर है तो स थ के बराबर आएगा एट थ के बराबर ब एग्जैक्ट थ थ के पास नहीं एग्जैक्ट थ्र आएगा यस सर जबकि डिनॉमिनेटर अगर देखा जाए अगर x मेरा 3 के राइट पे है तो x - 3 कहां पे होगा सर जी 0 पॉइंट समथिंग होगा 0 पॉइंट समथिंग क्लोज टू जीरो होगा भैया ऊपर बैठा है तुम्हारा 3 - 3 यानी कि एग्जैक्ट जीरो अब नीचे बैठा है 001 टाइप छोटा सा नंबर और जब ऊपर एजेक्ट जीरो आ गया तो आंसर क्या बनेगा जीरो बहुत ही बढ़िया अब आता है डी पार्ट यहां पर होती सबसे बड़ी पहली कंफ्यूजन एक चीज य पल्ले बांध लो अभी के अभी जब भी तुम्हें फ्रेक्शनल को देखने में दिक्कत हो जब भी तुम्हें फ्रेक्शनल को देखने में दिक्कत हो हमेशा उसको जिफ में तोड़ दो फ्रेक्शनल एक्स को हम क्या लिख सकते हैं एकस माइनस जिस भाई पूरे मैथमेटिक्स की बात कर रहा हूं जहां भी फ्रैक्शन को देखने में दिक्कत हो उसको जिफ में तोड़ दो सवाल खत्म हो जाएगा अब देखो जरा सवाल खत्म हुआ फटाफट बताओ आंसर सवाल खत्म हुआ भैया यह क्या है फोर के पास और यह कितना है एग्जैक्ट फोर तो वैल्यू किसको टेंड करेगी जीरो के पास तो दिस इज जीरो गट इट यह फोर के पास एजेक्ट फोर डिफरेंस क्या आएगा जीरो के पास तो लिमिट क्या आई एजेक्ट फटाक खत्म और ई पार्ट देखिए लिमिट एक्स टेंड्स टू 4 नेगेटिव अब तुम्हे आएंगे नजारे फ्रैक्शन एक हमने तोड़ा इसको लिमिट एक्स टेंड्स टू 4 नेगेटिव एक्स माइनस जिफ एकस सारे चिल्ला के आंसर बताओ विदाउट एनी डाउट इन माइंड आंसर क्या होगा सर जी ये है फोर के पास और यह है एग्जैक्ट थ्र एग्जैक्ट थ्री है भैया 4 नेगेटिव यानी कि मेरा x ना 3.99 टाइप का नंबर होगा जिफ क्या बना देगा उसको ्र तो यह फर के पास और यह ्र डिफरेंस क्या आएगा वन पर भाई फ्रैक्शन की वैल्यू कभी वन तो आती नहीं हां बेटा मैंने कभी कहा भी नहीं कि फ्रैक्शन की वैल्यू वन है अब यहां पे होगा कांसेप्चुअल क्लेरिटी जब लिखा जाता है लिमिट x टेंड्स टू a x टेंड टू a इज इक्वल टू l इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब ये नहीं होता कि f की वैल्यू l बन गई है नो इसका मतलब होता है वैल्यू ऑफ f एक गोज क्लोज टू एल एज x गोज क्लोज टू a बोलो चमका जब हम कहता हूं ना कि लिमिट ऑफ f एक इज l यहां पे कहीं पे भी यह मतलब नहीं होता कि f की वैल्यू l बन जाएगी नो यहां पे मतलब होता है कि f की वैल्यू l के पास जाएगी यानी कि ये जो इक्वल है ना ये लिमिट की वैल्यू वाला इक्वल है लिमिट की वैल्यू एल है जब आप कहते हो यार इसकी ना लिमिटिंग वैल्यू फाइव है तो व्हाट डू यू मीन कि वैल्यू फाइव के पास जा रही है ड यू गेट माय पॉइंट डू यू मीन कि वैल्यू फाइव है नो सर लिमिटिंग वैल्यू फाइव है एगजैक्टली तो ये जो इक्वल है ना ये लिमिट की वैल्यू इक्वल हुई है बहुत बढ़िया सो यहां पे मैं कद नहीं कह रहा कि फक्शन व बन गया इसका मतलब है कि फ्रैक्शन x की वैल्यू वन के पास चली गई है तो ये रहा आपका बेसिक आरएचएल एलएचएल कांसेप्ट थ्रू बेसिक एग्जांपल मीनिंग क्लियर हो गया अब ये आ गई लिमिट की डेफिनेशन हम कहेंगे कि लिमिट की वैल्यू एजिस्ट करती है अगर a पर चाहे एलएच एल निकालो चाहे आरएचएल निकालो वैल्यू सेम आ जाए हम कहते हैं कि लिमिट आ गई बट ये वैल्यू का फाइना इट होना जरूरी है इनफाइकिल आ गई तो फटाफट बताइए जरा मुझे जवाब दीजिए क्या इसमें लिमिट एजिस्ट करती है क्या इसमें लिमिट एजिस्ट करती है नो सर जी नो यहां पे आरएचएल एलएचएल कुछ अलग-अलग थे नहीं आई वैल्यू यहां पे लिमिट एजिस्ट करती है यहां पे लिमिट एकिस करती है बहुत बढ़िया एक दूसरे की हेल्प भी कर रहे हो शाबाश सर बिल्कुल नहीं करती आरएच एल एलएचएल बराबर है है ही नहीं अलग-अलग है यहां पे देखो लिमिट एजिस्ट करती है सर थोड़ा सा डाउट हो रहा है कि फंक्शन टूट रहा है यहां पे भाड़ में गया आरएचएल एलएचएल पे फोकस करो फंक्शन की वैल्यू भाड़ में गई जब मैं लिमिट की बात कर रहा हूं तो मुझे मतलब ही नहीं है कि a पे वैल्यू क्या है लिख लो अपने पास व्हेन वी आर टॉकिंग अबाउट लिमिट वी डू नॉट वरी अबाउट f ऑफ a हमें मतलब ही नहीं कि f a क्या है हम a पे जा ही नहीं रहे तो सर आरएचएल एलएल तो बराबर है दोनों m के बराबर लिमिट एजिस्ट करती है और इस केस में भी लिमिट एजिस्ट करती है बहुत बढ़िया अब आ जाओ यहां पे तो कहता इवेलुएट एलएचएल आरएचएल ऑफ दिस फंक्शन अब यहां पे तुम्हें थोड़ा सा कंफर्टेबल किया जा रहा है इस नोटेशन के साथ और कोई पर्पस नहीं है ऐसे फंक्शंस को कहते हैं पीस वाइज डिफाइंड फंक्शन जैसे आपने मड x भी पढ़ा है पीस वाइज डिफाइंड फंक्शन का मतलब क्या होता है कि इसका बिहेवियर ना अ x पे डिपेंड करता है जैसे कि अगर x ऐसा है तो फंक्शन की वैल्यू यह है और अगर x ऐसा है तो फंक्शन की वैल्यू यह है तो इसकी वैल्यू x पर डिपेंड करती है ऐसे फंक्शन को कहते हैं पीस वाइज डिफाइंड फंक्शन डिफरेंट डिफरेंट पीस में डिफरेंट डिफरेंट वैल्यूज है बहुत बढ़िया अब कहता है यहां पे वन पर आरएचएल एलएचएल बताइए मैं कहा बड़ा आसान है एलएचएल की बात करें जिसे कि हम ऐसे डिनोट करते हैं तो कैसे देखेंगे भैया आपको पता कि आपका x1 के लेफ्ट पे है जरा बताइए अगर आपका x1 के लेफ्ट पे है तो आपके फंक्शन की वैल्यू कौन सी है ग्रीन वाली या ब्लू वाली अगर x आपका वन के लेफ्ट पे है तो फंक्शन की वैल्यू ग्रीन वाली है या ब्लू वाली सर जी ग्रीन वाली है वन के लेफ्ट पे है x तो वैल्यू ये रही अब अगर x आपका वन के पास जा रहा था तो 1 + x स् कहां जाएगा सर जी टू के पास अब यहां पे मैं 1 - h करके टाइम वेस्ट करूंगा बिल्कुल नहीं करूंगा ये वन के लेफ्ट पे जा रहा है तो ये वन के लेफ्ट पे जा रहा है 1 + 1 2 पे वैल्यू जा रही है बस एक मुझे मीनिंग बता दो मैं खुश हो जाऊंगा क्या मेरे बोलने का मतलब कहीं से भी दूर दरार से भी यह तुम्हें लगता है कि मैंने यह बोला कि इसकी वैल्यू इसकी वैल्यू टू के बराबर आ गई है कहीं से भी तुम्हें ऐसा लग रहा है अगर लग रहा है तो फिर मैं अपने शब्द चेंज कर दूंगा 1+ x स् की वैल्यू टू के बराबर नहीं आई है वेरी गुड 1 + x स् की वैल्यू टू के पास आई है जब पास आती है तो हम लिमिट लिखते हैं ू बहुत बढ़िया शाबाश तो लिमिट की वैल्यू ू आई है सिमिलरली हम जब कहते हैं अब आरएचएल प आ जाते हैं तो अगर मैं वन के राइट पे हूं तो मेरा फंक्शन का बिहेवियर कैसा है सर जी वन के राइट प ये रहा बिहेवियर सर जब मेरा x1 के पास जा रहा है यह वन के पास है सर ये डिफरेंस ना वन के पास आएगा डिफरेंस वन के पास आएगा मतलब लिमिट की वैल्यू वन आएगी बहुत बढ़िया तो यहां से आपको ये नोटेशन से कंफर्टेबल कर दिया गया क्योंकि ये नोटेशन काफी यूज होती है लिमिट्स में और आगे चैप्टर्स में जाकर छोटू सा सवाल अब इसको ओरली करेंगे फॉर व्हाट वैल्यू ऑफ m दिस लिमिट एजिस्ट कहता है ये लिमिट एजिस्ट करनी चाहिए जब भी आपको लिखा गया कि लिमिट एजिस्ट करनी चाहिए मतलब वो कहना चाहता है कि आपका जो एलएचएल और जो आरएचएल है वो बराबर होना चाहिए दैट इज इट और कोई मतलब ही नहीं है आरएच एल एलएचएल बराबर होना चाहिए दैट्ची तो टू के लेफ्ट पर वैल्यू यह रही एक्स टेंडिंग टूटू था तो ये क्या बना 2m - 3 2 पॉजिटिव प वैल्यू यह रही अगर x2 था तो यह क्या बना 2 बा m क्या मैं यहां से m निकाल सकता हूं हां जी सर m की दो वैल्यूज निकाली जा सकती है क्वाड्रेटिक बनाकर सवाल हो गया खत्म तो यहां से लिमिट का बेसिक कांसेप्ट अब सारा क्लियर हो चुका है अब हम आएंगे असली मुद्दे प भाई देखो बात तो यह है कि हमें लिमिट निकालने की जरूरत ही क्यों पड़ी है ना भई क्या क्या पंगे क्या थे भैया पंगे क्या थे क्यों निकालनी थी देखो भैया लेट्स सी इन व्हिच केसेस वी एक्चुअली नीड सम मेथड्स टू इवेलुएट लिमिट हमें किस केस में जरूरत पड़ेगी आओ जब मैं आपको x / x लिखता हूं आपके दिमाग में क्या आता है सर जी वैल्यू वन यस और नो काट के वैल्यू वन ओके पर जब मैं लिखता हूं ट x = 0 दिमाग में क्या आना चाहिए अगर दिमाग में आ रहा वैल्यू वन मैं पिटाई कर दूंगा सर जी अनडिफाइंड अनडिफाइंड अगर इसकी वैल्यू जीरो पे निकाली जाए तो अनडिफाइंड है क्योंकि जब मैं जीरो पे वैल्यू निकालना चाहता हूं तो मैं x को रो रखूंगा और एग्जैक्ट रो डिवाइड बाय एग्जैक्ट रो का मतलब कुछ नहीं होता इसे इंडिटरमिनेट भी नहीं कहना दिस इज अनडिफाइंड एट x = 0 x बा x का कोई मीनिंग ही नहीं है इट इज अनडिफाइंड बट जब मैं तुमसे कहूं इसकी ट निकालो न एक्स इ जीरो इट मेक्स कंप्लीट सेंस इट मेक्स कंप्लीट सेंस अब एक्स जीरो के पास है जीरो नहीं है तो यह दोनों ही नॉन जीरो नंबर्स है और क्योंकि दोनों बराबर है तो मैं कट करके इसको वन कह सकता हूं और यह वैल्यू आ गई न तो जो एक्स बाय एक्स एक्सप्रेशन था ये एक एग्जांपल लिया से बहुत सारे एक्सप्रेशन होंगे ऐसे के केस में एग्जैक्ट वैल्यू जीरो पे नहीं निकाली जा सकती थी बट लिमिटिंग वैल्यू निकाली जा सकती थी और बहुत बार ऐसा होता है कि हमें देखना होता है कि इसकी लिमिटिंग वैल्यू क्या है तो ऐसी चीजों को लिमिट प पढ़ा जाता है और ऐसी चीजों के लिए मेथड्स ढूंढे जाते हैं सबको नीड क्लियर हो गई सबको क्लियर है कि लिमिट्स हम किन केसेस में मेथड्स की जरूरत पड़ती है और लिमिट हम क्यों देखते हैं क्योंकि कुछ जगह पर हमें वैल्यू अनडिफाइंड हो जाती है तो हम कहते हैं कि यार चलो जीरो पे ना बताओ उसके आसपास बता दो एगजैक्टली नाउ यह अब छोटू सा कांसेप्ट है उसके बाद हम चलेंगे इन फॉर्मेट प आओ तो कहानी क्या थी अगर एफ और जी आपको दिए हो आपको सवाल में दिया है कि एफ और जी जीरो को टेंड करते हैं एज x टेंड्स टू a आपको इतना बताया गया आपको ए नहीं बताया गया आपको जी नहीं बताया गया पर इतना बता दिया कि जब आप x को ए के पास लेकर जाते हैं तो ए और जी दोनों ही जीरो के पास जाते हैं तो डू यू एग्री ए प्स जीी भी जीरो के पास जाएगा यह जीरो के पास जा रहा है यह जीरो के पास जा रहा है इनका सम कहां जाएगा जीरो के पास अच्छा डू यू एग्री इनका प्रोडक्ट भी जीरो के पास जाएगा फॉर शर सर एक चीज जीरो के पास जा रही है दूसरी चीज भी जीरो के पास जा रही है नका प्रोडक्ट भी जीरो के पास जाएगा अब जवाब दो व्हाट अबाउट देयर रेशो एक चीज जीरो के पास जा रही है यह चीज जीरो के पास जा रही है अब इनका रेशो कहां जाएगा सर यह डिपेंड करेगा कि ये दोनों कैसे हैं अगर तो दोनों इस तरह के हुए तो सर फिर तो आपकी वैल्यू वन के पास चली जाएगी पर अगर दोनों इस तरह के हुए तो सर वैल्यू जीरो के पास चली जाएगी सर अगर दोनों इस तरह के हुए सर जी फिर वैल्यू इनफाइनों इस तरह के हुए सर फिर वैल्यू टू के पास चली जाएगी यानी के इस केस में मेरे को एफ और जी को देखना पड़ेगा उन्हें देखे बिना मैं नहीं बता सकता कि क्या होने वाला है कांसेप्ट क्लियर कांसेप्ट क्लियर बहुत बढ़िया जेई 2025 पहले कांसेप्ट सीख लो बहुत बढ़िया तो यानी कि यहां पे हम कहेंगे कि ये है इंडिटरमिनेट भैया पहले मेरे को f और जी की वैल्यू बताओ उनको देखे बिना मैं कुछ भी कमेंट नहीं कर सकता और जब मैं कमेंट नहीं कर पाता ना उसे कहते हैं इंडिटरमिनेट फॉर्म ओके जी तो ऐसी टोटल छह इंडिटरमिनेट फॉर्म्स होती हैं हमारे पास उनमें से यह पहली है जब ऊपर की चीज जीरो के पास जा रही है नीचे की चीज भी जीरो के पास जा रही है और मुझे उसके रेशो पर कमेंट करना है तो मुझे पहले f और g चाहिए होंगे उसके बिना मैं कमेंट नहीं कर सकता तो इन्हें कहते हैं इंडिटरमिनेट फॉर्म्स सॉरी टोटल सात फॉर्म्स है 0 बा 0 यहां पे 0 बा 0 का मतलब क्या है जीरो के पास जा रहा है ये जीरो के पास जा रहा है यह वही लिखा गया है ठीक है तो ये एग्जैक्ट जीरो भा एग्जैक्ट जीरो नहीं है सिंबॉलिकली ऐसे डिनोट करते हैं बहुत बड़ी चीज डिवाइड बाय बहुत बड़ी चीज रेशो पता नहीं क्या आएगी पहले बताओ ऊपर क्या है नीचे क्या है बहुत बड़ी चीज माइनस बहुत बड़ी चीज भैया ये डिफरेंस जीरो हमेशा नहीं आएगा अगर ये दोनों बराबर है तो जीरो आएगा अगर यह बड़ा है तो कुछ पॉजिटिव आंसर आएगा अगर यह बड़ा है तो कुछ नेगेटिव आंसर आएगा तो भैया बहुत बड़ी चीज है क्या पहले यह बताओ सबको आईडिया चमक गया ऐसे ही ये वाले फॉर्मेट तो टोटल ये सात फॉर्मेट होते हैं जिनमें हम f और जी को देखे बिना कमेंट नहीं कर सकते देखने के बाद ही कुछ काटा पीटी करके ही कमेंट कर पाएंगे और उन्हीं को कहते हैं इंडिटरमिनेट फॉर्म परफेक्ट बहुत बढ़िया अब आती है बात ये लो अब आते हैं मेथड्स तो मेथड की अगर बात की जाए तो मेथड में सबसे पहला मेथड कौन सा आता है फैक्टराइजेशन मेथड यह सबसे इंपॉर्टेंट मेथड होता है मैं इसका पहली जिस्ट बता देता हूं जिस्ट जो चीज तंग कर रही है उसको काट दो दैट्ची तंग कर रही है उसको काट दो आओ तो सवाल क्या कहता है आओ फैक्टराइजेशन मेथड क्या कहता है मेथड कहता है के बचपन में हमने पढ़ा था कि अगर x इ ए रूट हो किसी पॉलिनो मियल का तो x माइ ए उसका फैक्टर होता है याद आ गया यह लव यू टू शेरा सबको याद आ गया हां सर अगर ट रूट है तो x माइट फैक्टर ही रहा हो होगा अगर 3 रूट है तो x - 3 फैक्टर ही रहा होगा एगजैक्टली यही बेस है फैक्टराइजेशन मेथड का जैसे कि ये सवाल देखो ए पार्ट मुझे कहा गया लिमिट निकालिए टू पे तो मैंने कहा एक काम करते हैं टू को रख के देख लेते हैं वैल्यू किसके पास जा रही है जब मैंने टू ऊपर रखा 8 - 4 - 4 ऊपर की चीज जीरो के पास जा रही थी ओके नीचे देखा 2 का स्क्वा 4 - 3 * 2 6 अरे नीचे भी जीरो जा रहा था तो हमने देखा हम जब x को 2 रखते हैं तो ऊपर की चीज़ ज़ीरो के पास जा रही है पास बोलेंगे इक्वल नहीं लिमिटिंग है और नीचे की चीज़ भी ज़ीरो के पास जा रही है तो ऐसे केस में सीधे आंसर नहीं बताया जा सकता कुछ काटा पीटी करनी पड़ेगी अगर 2 ऊपर ज़ीरो बना रहा है मतलब 2 इसका रूट है यानी कि x - 2 पक्के से फैक्टर रहा होगा अगर नीचे 2 ़ बना रहा है यानी कि 2 इसका रूट है तो पक्की बात है x - 2 फैक्टर रहा होगा दूसरा फैक्टर मैं आराम से निकाल सकता हूं हां जी सर दूसरा फैक्टर निकाल लोगे हां सर -2x स् + 2x स् तो + 2x आ गया और यहां पे + 2 आ गया इफ आई एम नॉट रंग दिस इज अ कैलकुलेशन ओके अब देखो जरा जो चीज दुखी कर रही थी दुखी मतलब जो जीरो बन के तंग कर रहा था वो कट गया बोलो आय नजारे वो कट गया यहां पे तो जैसे ही कट गया बेटा जी बचा हुआ तो सुंदर था तंग ही नहीं कर रहा था x कोटू रखा तो ये आ गया 4 8 10 अप 1 10 इज द आंसर अब आते हैं बी पार्ट पे सुनिए ध्यान से फिर से वही चीज हुई हमारे सामने भाई वन को रखा तो ऊपर जीरो बन रहा था और नीचे भी जीरो बन रहा था यानी कि मैं सीधे आंसर नहीं बता सकता जो चीज दुखी कर रही है उसको पहले काटना पड़ेगा तो हमने न्यूमरेशन के फैक्टर तो पटाक से बना दिए भैया t - 1 t स् + t + 1 डिनॉमिनेटर के फैक्टर किसको पता है फटाफट जरा चैट में लिखो आई नो फटाफट लिखो आई नो दैट सर डिनॉमिनेटर के फैक्टर किसको पता है सर जी x पावर n - 1 पावर n होता है x - 1 फिर इसकी एक पावर कम से शुरू हो जाइए और आगे की ओर पावर कम करते करते वन तक पहुंच जाइए यह होते हैं इसके फैक्टर x पा ए माइवा बिल्कुल -1 पा n तो बेटा जी फिर से जो दुखी कर रहा था वो तो कैंसिल हो गया बचे हुए में वन को डालो और आंसर निकाल दो ऊपर बन गया थ्री नीचे बन गया सिक्स आंसर आ गया हाफ बहुत ही बढ़िया शाबाश चिराग तो ये आपके हो गए फैक्टराइजेशन का बेसिक एग्जांपल अब यहां पे एक नई चीज सीखो छोटी सी मेंटोस जिंदगी बहुत बड़ी नहीं पर छोटी सी है x को जब वन देखा हमने रखा तो ऊपर बन रहा है जीरो नीचे बन रहा है जीरो है जी और ऊपर फैक्टर बनाने का दिल तो मेरा तो नहीं कर रहा मतलब बना सकते हैं मैं ये नहीं कह रहा बनाना चाते बना सकते हैं अच्छे बना लेंगे बट मेरा दिल नहीं कर रहा तो यहां पर सुनिए लिमिट्स में आप सब्सीट्यूशन अगर करना चाहे बेधड़क करिए खुश होके करिए मैंने कहा यार बहुत जगह पे ये पावर 1/3 आ रही है अच्छी नहीं लग रही मेरे को मैंने x पावर 1/3 को पुट कर दिया t दैट्ची ये क्या बन गया x पावर 1/3 का स्क्वायर ये बन गया x पावर 1/3 और ये बन गया 1 x क्या बन गया यहां से x क्या आ गया t क्य तो ये बन गया t क -1 का स्क्वायर बोलो सवाल खत्म हुआ नहीं हुआ सर जी ऊपर तो t -1 का स्क्वायर है और सर नीचे भी अगर इसको तोड़ दें तो एक टर्म t -1 है और एक t स् + t + 1 है पूरे पे स् लगा हुआ है पटाक आंसर आ गया 1 बाथ करो नजारे बहुत बढ़िया इस तरह से ऐसे सवालों में सोचा जाता है कि सब्सीट्यूशन करनी पड़ जाए डरना नहीं ब सूरत दिख रही है खूबसूरत बना दो उसको लो भैया न बा बाना ओ स्क्वेयर नहीं किया मैंने सॉरी 1 बाथ का स्क्वायर अब आता है य कांसेप्ट एक बात मुझे बताओ बहुत फ्रैंकली बताना भाई ऊपर कोई टर्म थी और नीचे कोई ट थी और और इन्होंने कह दी कि लिमिट ना एजिस्ट कर रही है इसकी कोई वैल्यू आ रही है हमने कहा ओके पर जब मैंने ए को यहां पर पुट किया य जीरो बन गया अब आप मुझे बताओ भैया मुझे बताया गया लिमिट आ रही है तो मैं क्या करूंगा ए को रखूंगा यहां भी रखूंगा यहां भी रखूंगा काट के वैल्यू निकालू पर जब मैंने नीचे रखा तो ये वैल्यू जीरो बन गई अब आप मुझे बताइए अगर मैं ए को ऊपर रखता और यह वैल्यू कुछ टू बन जाती तो क्या लिमिट आ पाती क्या लिमिट आ पाती बताओ नहीं सर फिर तो आ ही नहीं सकती ऊपर टू बन रहा है नीचे जीरो बन रहा सर इफाइन अच्छा अगर ऊपर वन आ जाता तो क्या लिमिट आती सर बात तो वही है ऊपर एक नॉन जीरो नंबर है नीचे जीरो बैठा है तो लिमिट आ ही नहीं सकती सो द ओनली पॉसिबिलिटी इ कि ये भी जीरो ब रहा होगा सो दैट इंडिटरमिनेट फॉर्म बने और आप आगे काटा पीटी करके आंसर निकाले पॉइंट टेकन तो यहां पर यही लिखा गया अगर लिमिट f बाज एजिस्ट करती है और आपको पता है कि जी तो जीरो बन रहा है तो भैया f को जीरो बनना पड़ेगा तभी उसके आगे आप मेथड लगाएंगे काटा पीटी करेंगे और आंसर आएगा दैट इज अ कांसेप्ट जो यहां पे यूज किया गया लिमिट x टेंड टू -1 दिस अपॉन दिस एजिस्ट देन a बताइए तो हमने देखा जब मैं इसको यहां पर रखता हूं ये तो जीरो बन रहा है तो अगर यह जीरो बन रहा है तो ऊपर भी जीरो बनना चाहिए तो 2 * -1 का स्क्वा प् a * -1 + 2a + 5 ये जीरो बनना चाहिए ये मजबूरी है तभी ऊपर नीचे वो जो टंग कर रही होगी टर्म वो बाहर आएगी काट के आंसर मिलेगा तो 2-a + 2a + 5 = 0 तो a की वैल्यू आ गई -7 बहुत बढ़िया -7 आंसर भी दे दिया अच्छा गए तो ये एक बेसिक सा कांसेप्ट है जो कि आपको इन जनरल पता होना चाहिए इसके इंडिपेंडेंट सवाल जेई में हालाकि एक दो बार आ चुके हैं ब कांसेप्ट बहुत छोटा है अब आता है अगला मेथड रशन इजेशन मेथड देखो रशन बचपन से कब करते आ रहे हो तब करते हो जब स्क्वायर रूट बैठे होते हैं राइट तो जैसे मेरे सवाल में यह आ गया मुझे कहता लिमिट x टेंड्स टू 3 रट 3x प् 7 - 4 अप x-3 बताओ भैया मेथड वही रहना फिर से बता दूं थ में कोई चेंज नहीं आना नीचे जीरो बन रहा है ऊपर जीरो बन रहा है तो एक चीज है जो तंग कर रही है उसे बाहर निकाल के काटना पड़ेगा तो ऊपर क्योंकि स्क्वायर रूट बैठा था तो मैंने इसको किया रशन इज क्योंकि रशन करने से स्क्वायर रूट हट जाएगा और चीजें साफ सुथरी दिखनी शुरू हो जाएंगी जैसे ही रशन किया a- बी ए प् बी तो ये बना a स् माइन बी स् तो x + 7 - 4 / x - 3 अब बोलो किसी पड़ोसी की मदद लगेगी इसके बाद बताओ इसके बाद क्या किसी पड़ोसी की मदद लगेगी नहीं सर 3x माइ 3x ओ 16 16 16 4 का स्क्वा सच में पड़ोसी की जरूरत पड़ने वाली थी ये कितना बन गया 3x - 9 3 कॉमन निकालिए x - 3 तो जो कल्प रिट था ्र की वजह से यह कल्प ट था यह कल्प रिट था दोनों बाहर आ चुके हैं काट दीजिए आंसर आ गया तो 3 अपन 4 प् 4 8 3/8 इसका आंसर आ गया अब बी पार्ट में आप मुझे बताइए क्या आप आम जिंदगी की तरह क्या आप आम जिंदगी की तरह यहां पर रलाइज करने वाले हैं या मेंटोस जिंदगी लगा के x पावर 1/3 को t पुट करने वाले हैं बताइए वेल अगर तो कहते रलाइज ब जी रशन मेथ लिखा हुआ है कहां गया ये रहा तो मैं पहले बता दूं जिसको नहीं पता x पावर 1/3 - 1 को रलाइज करने का तरीका होता है सिर्फ रूट ही नहीं पावर 1/3 वाला भी मेथड होता है अगर पावर 1/3 हो तो दैट इज हाउ वी रशन ओके यह आपने याद रखना है जिसको नहीं आता है वैसे 11 का एंड आ गया तो आपको पता होना चाहिए पर स्टिल इसको रशन ऐसे किया जाता है ओके बट हम तो लगाएंगे मेंटोस जिंदगी मेंटोस बोले तो भैया हम एक्स पावर 1/3 को t पुट कर देंगे तो सवाल बड़ा ही सिंपल सा हो गया t टेंडिंग टूव ये बना t -1 यह बना t x स् t पावर 6 -1 इसको तो अभी हमने काटा था ये से कटेगा और बचेगा t पावर 5 t पावर 4 करते करते वन तो आंसर आ गया 1/6 चको ओए 1/2 नहीं ओए 1/6 1/6 पुतर 1/6 ओके नाइस दैट इज हाउ वी डू इट बहुत बढ़िया पड़ोसी की हेल्प नहीं चाहिए मेंट ऑफ जिंदगी जिंदाबाद एटली अब आती है इंफाइटिंग टर्म को कॉमन निकाल दीजिए ऊपर की बिगेस्ट टर्म नीचे की बिगेस्ट टर्म इसे होता क्या है ए पार्ट में मैं समझाऊ इसके बाद लगाएंगे शॉर्टकट a पार्ट में बोला गया लिमिट x टेंड टू इनफिनिटी ये बताइए क्या बनेगा मेथड कहता है ऊपर जो सबसे बड़ी पावर है बेसिकली होता क्या है कि सबसे बड़ी टर्म अब अगर x इनफिनिटी है तो x क सबसे बड़ा है x स् से बड़ा है वन से बड़ा है हां सबसे बड़े टर्म को बाहर फेंक दीजिए तो हमने x क को बाहर फेंक दिया 2 - 3 बा x + 1 / x क वेरी गुड नीचे सबसे बड़ा टर्म कौन सा है सर जी फिर से x क बाहर फेंक दीजिए तो यह बन गया ऐसे और अब आप देखिए जब आपका x इंफिनिटी को टेंड करेगा जरा सोच के बताइए ये वैल्यू क्या बन जाएगी अगर x इनफिनिटी चला गया है सर जी 3 अप इनफिनिटी तो रो बन जाएगा 1 अप इनफिनिटी 0 बन जाएगा 5 अप इनफिनिटी 0 बन जाएगा 3 अप इनफिनिटी भी रो बन जाएगा और जो बाहर बैठे हैं उनमें कुछ काटा पीटी हो गई और आंसर क्या बचा 2/4 दैट इज हाफ अब हम आएंगे शॉर्टकट पे भैया शॉर्टकट ये है कि जब भी इन फाइना इट का सवाल होता है तो आपका सिर्फ ऊपर का सबसे बड़ा टर्म और नीचे का सबसे बड़ा टर्म ही आंसर देते हैं जरा देखिए इस सवाल में अगर ये ना होते तो क्या आंसर में कोई फर्क पड़ता क्या आंसर में कोई फर्क पड़ता देख लो नहीं सर फर्क पड़ ही नहीं सकता क्योंकि वो वाले टर्म तो खत्म ही होने थे जीरो ही बनने थे एटली तो यही हमारा शॉर्टकट है तो अगले आंसर ी यही पर लिखेंगे हम आ जाओ इस वाले में यह कोई रोल प्ले नहीं करेगा यह कोई रोल प्ले नहीं करेगा क्या मिलेगा आपको लिमिट एक्स टेंड टू इनफिनिटी 3x स् बा 5 एक् क यानी कि 3 बा 5 एक भैया एक अगर इनफिनिटी है तो 3 बा 5x क्या बना सर जीरो ओके अब यहां प आ जाइए यह कोई रोल प्ले नहीं करेगा य कोई रोल प्ले नहीं करेगा आंसर क्या बन गया लिमिट x टेंड्स टू इनफिनिटी x क कट गया 3x स् बा 2 आंसर क्या बनेगा आंसर बोलो फटाफट सर जी इंफिनिटी बनेगा सर जी ऊपर बैठा इंफिनिटी और नीचे बैठा है टू टू तो क्या ही कर लेगा सर इंफाइटिंग 5 सर जी ऊपर बैठा है -2 इनटू इनफिनिटी और नीचे कांस्टेंट फ तो आंसर आ गया माइनस इनफिनिटी दैट इज हाउ यू डू इट बहुत बढ़िया छा गए मैं कहा तुम सारे हो तो चैंपियन मजाक नहीं कर रहा गॉड ब्लेस यू तो ये इसका डायरेक्ट शॉर्टकट रहता है अब यही चीज हम यहां पे लिखी गई है चाहो तो ऐसे अच्छी लगती तो रख लो नहीं अच्छी लगती छोड़ दो इससे कोई काम नहीं है है ना सीधी सी ऑब्जर्वेशन दिमाग में रखनी है जब भी ऊपर नीचे हाईएस्ट टर्म जो है सेम होगी तो आंसर कांस्टेंट आ जाए जैसे 2/4 आया था जब भी नीचे हाईएस्ट टर्म बड़ी होगी आंसर जीरो आएगा क्योंकि नीचे x बचेगा जब भी ऊपर हाईएस्ट टर्म ज्यादा होगी तो आंसर प्लस इनफिनिटी आ जाएगा या माइनस इनफिनिटी आ जाएगा डिपेंडिंग अपॉन कि ये पॉजिटिव है या माइनस है तो ये बेसिक सा कांसेप्ट है यहां पे हाईफाई लैंग्वेज में लिखा गया है कोई जरूरत नहीं है बस दिमाग में कांसेप्ट रखो अगर कांसेप्ट दिमाग में रखते हो ना तो यह सवाल तुम्हें बिल्कुल तंग नहीं करना चाहिए कहता है ये इनफिनिटी लिमिट फोर के बराबर आ रही है मुझे a और b पे कमेंट करना था तो सबसे पहली बात मुझे ना इनफिनिटी लिमिट में समथिंग डिवाइड बाय समथिंग ज्यादा अच्छा लगता है तो पहले तो पूरा एलसीएम लेके मैं इसको लिखूंगा तो लिमिट x टेंड टू इनफिनिटी एलसीएम ले लिया x + 1 तो भैया क्या बन गया x स् के साथ क्या आएगा 1 - a और कोई x की टर्म नहीं फिर x के साथ क्या आएगा यहां पे वन है - b बनेगा और - a बनेगा बिल्कुल और यह आ गया प्व इक्व 4 ऐसा आ गया अब आप मुझे बताइए अगर इनफिनिटी पर लिमिट फोर आ रही है तो क्या ऊपर यह वाला टर्म हो सकता है बताओ क्या ऊपर यह टर्म हो सकता है सर जी हो ही नहीं सकता अगर ऊपर एक स् आ गया ऊपर x स् नीचे एक सरसर इनफिनिटी बनना चाहिए था पर आंसर तो फाइना इट है कि ऊपर की ये टर्म नहीं होनी चाहिए ना व्हेन एवर वी से ये टर्म नहीं होनी चाहिए मतलब कि उसमें जो कॉफिश एंट है वो जीरो होना चाहिए तो आपने 1 - a को 0 किया और a की वैल्यू वन आ गई अब जब आपने a को वन ले लिया सवाल क्या बचा लिमिट x टेंड टू इनफिनिटी ये तो खत्म कर दिया आपने बचा क्या x के साथ 1 - b - a + 1 / x + 1 = 4 भाई क्या इन दो टर्म्स का कोई भी रोल होगा लिमिट निकालने में नहीं सर यह तो वैसे ही रोल प्ले करने वाली नहीं है आंसर सर यहां से आने वाला है आंसर क्या आएगा सर 1 माइ बी माइ ए और नीचे वन एग्रीड 1 माइ बी माइ ए ऊपर नीचे न एक को कट गया इक्वल ट 4 यहां से आपके पास बी माइ ए की वैल्यू आ गई बी प् ए की वैल्यू ये फोर ये उधर गया -3 नहीं सॉरी इधर आ गया माइनस बिल्कुल -3 अब इसे और इसे यूज करते हुए क्या पड़ोसी लगेंगे a प् बी निकालने के लिए क्या पड़ोसी लगेंगे सर आंसर इ सी तो इसे यूज किया अच्छा बी प् ए ही पूछा था सॉरी a प् बी ही पूछा था तोव तो यही से आ गया -3 खत्म हो गया नटू की जरूरत ही नहीं पड़ी हट अबे हट दैट इज हाउ यू थिंक अबाउट सच क्वेश्चन इसके ऊपर इसका कोई काम नहीं होता घटिया सवाल होते हैं अब मैं आपको इंफिनिटी लिमिट में थोड़ी सी अलग तरह की वैरायटी दिखाता हूं थोड़ी अलग तरह की वैरायटी जैसे कि यह सवाल देखो यहां पे x नहीं दिख रहा लो भैया 4 पा n - 5 पा n 4 पा n + 5 पा n लिमिट n टेंडिंग टू इनफिनिटी याद रखना लिमिट जब इनफिनिटी होती है कांसेप्ट ये नहीं होता कि हाईएस्ट पावर को बाहर निकालिए कांसेप्ट होता है सबसे बड़ी चीज को बाहर निकालिए न्यूमरेशन में सबसे बड़ी टर्म कौन सी है सर 5 पा n तो क्या इसका कोई भी काम आएगा आंसर देने में नहीं आएगा सर डिनॉमिनेटर में सबसे बड़ी टर्म कौन सर जी 5 पा n तो क्या इसका कोई भी काम आएगा सर जी नहीं आएगा दैट इज हाउ यू डू इट इसी को फॉर्मली लिख लेते हैं ऊपर से निकाला 5 पा n कॉमन ये आ गया 4/5 पा n - 1 नीचे से निकाला 5 पावर n 4/5 पा n + 1 जैसे ही n इनफिनिटी को गया यह क्या बन गया रो यह नंबर वन से छोटा है अगर कोई नंबर रो से वन के बीच में है और तुमने पावर इंफिनिटी लगा दी वो जीरो बन जाएगा 5 का स्क्वा 25 होता है 5 का क्यूब 1225 होता है 5 की पावर 4 0625 होता है जितनी पावर बढ़ाते जाओगे ये नंबर जीरो के पास जाता जाएगा सिमिलरली ये भी जीरो के पास बाहर ये कट गया और आंसर आ गया -1 दैट इज हाउ यू डू इट बहुत बढ़िया ऐसे ही बी पार्ट बात तो वही है बेटा सबसे बड़ी वैल्यू को बाहर निकालने की कोशिश की जाती है तो इनफिनिटी लिमिट थी इन दोनों में बड़ा 6 पा n था 6 पा n को बाहर निकाला गया जब बाहर निकाला गया ये पावर इसके ऊपर लगी और अंदर बचा 4/6 पावर n प्व तो लिमिट n टेंडिंग टू इनफिनिटी करते ही बात क्या बनी सर जी बात यह बनी यह तो बचा छ और सर जी यह हो गया जीरो सो 6 * 0 प् 1 6 बात फिर से वही है के छोटे टर्म का कोई रोल नहीं आएगा छोटे टर्म का कोई रोल नहीं आएगा ट्स इट बहुत बढ़िया तो शॉर्टकट क्लियर हो गई डिफरेंट वरायटी क्लियर हो गई ये आ गई लास्ट वरायटी इंफाइटिंग सेप्ट होता है चलो व भी सिखाता हूं पहले इसे देखिए लिमिट ए टेंडिंग टू इनफिनिटी एंड स्कर बाय दिस अब इसमें क्या किया जाए हमेशा याद रखना अगर किसी जगह पर आप टर्म्स को पहले सम कर सकते हैं तो पहले सम करिए 1 प् 2 प् 3 n आप कहेंगे सर नीचे सबसे बड़ा n है ऊपर सबसे बड़ा n स्क्वा है मैं तो ऊपर से n स्क्वा निकाल दूंगा सर और नीचे से n निकाल दूंगा सर मेरा आंसर आ गया सर पहली बात यह गलत है कोई बताएगा य गलत क्यों है कोई बताएगा ये गलत क्यों है यह मेथड यहां से आंसर नहीं देगा लिमिट n टेंडिंग टू इनफिनिटी सर जी यह कट गया सर जी ये सारे तो जीरो जी जीरो है सर जी इनफिनिटी है और नीचे जीरो सर जी ऊपर इनफिनिटी था पहले ऊपर से जीरो से डिवाइड मार दिया और बड़ा इनफिनिटी आ गया यह गलत है एक होता है करेक्ट मेथड वो मैं समझ गया आपको भी दिख रहा है और कुछ हिंट भी मिल गया सर नीचे ना ऐड कर दो n * n+ 1/2 ऐड करते ही आपके पास ऊपर n स्क्वा दिख रहा है और नीचे n स्क्वा बायट दिख रहा है तो आपका आंसर आ गया 1 बाय हाफ यानी कि ू परफेक्ट हो बट वाई इज दिस रंग रंग व्हाई इज दिस रंग कैन एनी ब टेल मी ट इज कांसेप्ट य कांसेप्ट स्ट्रंग करने पड़ते तभी गलतिया बचती है आपकी गलती क्या है इसमें अच्छा अब आप मुझे जवाब दीजिए यह किसको टेंड कर रहा है जीरो को ओके यह किसको टेंड कर रहा है जीरो को ओके यह किसको टेंड कर रहा है जीरो को ऐसे करते करते करते कितने जीरो आएंगे सर जी n बा n तोव है n -1 बा n भीव को टेंड कर जाएगा n - 2 बा n व को टेंड कर जाएगा जरा पीछे से देखिए आप तो फस जाएंगे n बा n ये लास्ट टर्म थी वन को टेंड कर रही है n-1 बा n ये भी वन को टेंड कर रही है n-2 बा n ये भी वन को टेंड कर रही है तो भाई इधर से ववव दिख रहा है यहां से जीरो जी जी दिख रहा है पहले तो ये गड़बड़ हो गई दूसरी बात चलो मैंने मान लिया सारे जीरो बन रहे हैं तुम्हारी दिल की रखली मान लिया सारे जीरो बन रहे हैं तो फिर भाई सारे जीरो तो बनते हैं अब आप बताइए 0 प् 0 प् 0 को 3 * 0 कहा जाएगा हां जी सर जो कि जीरो होता है 0 प् 0 प् 0 प् 0 को 4 * 0 कहा जाएगा जोक जीरो होता है यस बट अगर मैं 0 प् 0 प् 0 इनफाइनों नेट ये तो पता ही नहीं क्या होता है आईडिया चमका और यहां पर एटली यही हो रहा था बेटा जी n इनफिनिटी था तो ये जो जीरो आ रहे थे ना टूथ कहां तक जा रहे हो इंफिनिटी तक तो ये जी जी जो आ रहे हैं ना ये ये इनफिनिटी टाइम्स आ रहे हैं इंफिनिटी टाइम्स आ रहे हैं और जब वो इंफिनिटी टाइम आ गए नाउ 0 प् 0 प् 0 इनफिनिटी टाइम इज नॉट जीरो गॉड ब्लेस यू जवानो इसलिए यह गलत हो गया ठीक है जी दैट इज वई इट इज रंग बहुत बढ़िया और यह रहा आपका एक्चुअल मेथड करेक्ट वाला तो जब भी आप कोई ऐसी चीज आते जहां प ऐड कर सकते पहले ऐड किया जाएगा इसके साथ इंफिनिटी वाले सारे कांसेप्ट कवर हो गए बात आती है माइनस इनफिनिटी जब भी लिमिट आ जाए x टेंड टू माइनस इनफिनिटी तो क्या करना है सारे रूल सेम रहते हैं पर क्योंकि हमें इनफिनिटी देखना आसान लगता है तो हम x को - t पुट कर देते हैं जैसे कि इस सवाल में देखो लिमिट x ट टू माइ इनफिनिटी था मैंने x को पुट किया - t सवाल क्या बना 2 - t क + - t + 1 / 1 - - t - - t का क अब तुम बताओ अगर मेरा x इन माइनस इनफिनिटी को टेंड करता था अगर x मेरा माइनस इनफिनिटी को टेंड कर रहा था तो t किसको टेंड करेगा सर जी x और t आपस में नेगेटिव है एक दूसरे के तो अगर x माइ इनफिनिटी था तो t प्स इनफिनिटी होगा उसके बाद मेरे को किसी मेथड की जरूरत है नहीं सर शॉर्टकट आता है इसका कोई रोल नहीं है सर इसका कोई रोल नहीं है ऊपर की सबसे बड़ी टर्म जो है - 2t क है नीचे की सबसे बड़ी टर्म सर प्लस t क्यूब है सर जी ये कट गया आंसर आ गया -2 दैट्ची बेटा खुश रहो आ जाओ अब आती है इनफिनिटी माइनस इनफिनिटी फॉर्म फम यह कोई बहुत फेमस ही फॉर्म नहीं है बट इसमें एक दो मेंट ऑफ जिंदगी लगते हैं जो कि क बारी जेई मेन में सवालों के बीच में लगवाए जाते हैं मैं यहां पर आपको दोनों सिखाता हूं एक तो क्या है भया रूट दिख रहे तो रशन कर दो राइट तो इसका बेसिक मेथड जो आप हर जगह पढ़ेंगे एक्स इनफिनिटी है तो यह बहुत बड़ा इनफिनिटी है ये भी बहुत बड़ा इनफिनिटी है बीच में माइनस लगा हुआ है इनफिनिटी माइनस इनफिनिटी इसका बेसिक मेथड तो क्या है रलाइज कर दो ये a- बी था a प् बी a प् बी से मल्टीप्लाई डिवाइड किया करते ही आपके पास शक्ल बन गई वो वाली जिसको कि आप डील करना जानते हैं इंफाइटिंग इंडेक्स जो कि आपके रिमाइंडर के लिए यहां पे डाल दिया गया है जब भी आपका x छोटा यहां पे लिखा नहीं लिखना चाहिए था जब भी x छोटा होता है वन से छोटा तो ये लगाया जा सकता है अब इससे देखो ये एक लाइन में खत्म होगा आपने क्या किया पहले रूट में से x स् कॉमन निकाला अंदर बचा 1 + 1 / x पावर कितनी है हाफ इसमें से x स् कॉमन निकाला 1 + 1 / x स् पावर 1/2 अब आपने इसे किया बानो मियल से एक्सपेंड बानो मियल से एक्सपेंड कर दो 1 प् हाफ इन 1 बा एक भैया मैं एक्सपेंड कर सकता हूं क्योंकि / एक्स 0 के पास है और छोटे एक् के लिए य एक्सपेंशन लगाई जा सकती है सिमिलरली इसे एक्सपेंड कर दो 1 प्व बा 2 एक स् और देखो सवाल खत्म हो गया बोलो नजार आए खत्म हो गया सवाल यह क्या बन गया x * 1 यह बन गया प्लस हाफ इधर क्या बना माइन x नव और यह बन गया आपका कितना बन गया माइनस ओ सॉरी x स् नीचे था यहां पे 1 बा एक्स स् माइनस हाफ एक ये इससे कट गया और आपका यह क्या बन गया रो भैया x इनफिनिटी है तो हाफ नीचे x 0 आंसर क्या आ गया 1/2 बोलो y नजारे इसे कहते हैं बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स इसे लगाने के लिए जो एक बेसिक सी अकल चाहिए गॉड ब्लेस यू शेरा अभी यहां फोकस करते हैं एक बेसिक अकल चाहिए कि बस इसे तब लगाना है जब मड x व से छोटा हो और शक्ल 1 + x टाइप की हो 1 प्लस समथिंग और वो समथिंग छोटा है तो इसे लगाया जा सकता है और यह बहुत ज्यादा टाइम सेविंग होता है आपका कैलकुलेशन वर्क बहुत ब जाता है जैसे कि यहां फिर से लगा के दिखाता हूं इसका एक मेथड तो हो गया रशन जशन आपके आगे वो यहां पर किया हुआ है आप देख सकते हो देखने में अच्छा खासा बड़ा दिखता है ये आप करोगे हम लगाएंगे मेंटोस जिंदगी मेंटोस जिंदगी यहां प क्या कहती है सर जी बानो मियल लगा दो बानो मियल बानो मियल के चलते रहते सबसे पहले क्या किया भैया न प्लस छोटी चीज होनी चाहिए यहां पे न प्लस बहुत बड़ी चीज है तो पहले x स् को कॉमन निकालिए x स् कॉमन निकाला तो बाहर x आ गया ये बना व ये बना 1 / x और ये बना 1 बा x स् अब देखो 1 प् छोटी चीज ये पहला स्टेप य पे सिखा दिया ये वन आगे छोटी चीज - ax2 थी बानो मियल एक्सपेंशन क्या कहती है 1 प्स 1/2 इनटू जो भी ये टर्म है है -1 / x + 1 / x स् लगा दो और आपका सवाल खत्म हो गया बेटा तो सवाल क्या बन गया लिमिट x टेंड टू इनफिनिटी x * 1 मुझे यहां पे ग्रीन कलर यूज़ करना चाहिए था चलो एनीहाउ x * 1 फिर x * - 1/2 x यानी कि - 1/2 फिर x * 1/2 x स् + 1/2 नीचे x यह क्या था - लिमिट x टेंडिंग टू इनफिनिटी x के साथ है 1 - a फिर है - 1/2 और 1/2 x = b भाई जैसे ही लिमिट डालोगे यह तो हो गया ज़ीरो इसका काम ही नहीं है डू यू एग्री दिस हैज टू बी ज़ीरो अगर यह नॉन ज़ीरो है तो नॉन जीरो * इनफिनिटी इंफाइटिंग तो एजिस्ट करती है यस और नो आपको तो ग दिया गया है लिमिट एजिस्ट करती है तो भैया यह तो जीरो होना चाहिए था तभी लिमिट एक्जिस्ट करेगी सवाल खत्म हो गया यह जीरो है तो a आपका वन आ गया और माइनस हाफ आ गया बी के बराबर a1 और बी माइनस हाफ ऑप्शन बी इज करेक्ट दैट इज हाउ यू डू इट विद बानो मियल इस सवाल को बानो मियल से जरूर करना रेशन जशन से सब कर लेते हैं बेटा ब टाइम बहुत लगाते हैं बानो मियल इसको बहुत जल्दी कर देता है अब आता है अगला हमने बिगिनिंग में लिमिट की डेफिनेशन देखी थी कि लिमिट एजिस्ट कब करती है जब आरएच एलएच एल बराबर हो और फाइना इट हो उसके बाद हमने लिमिट निकालनी शुरू कर दी पर कहीं पर भी हमने गौर नहीं फरमाया ओ भाई लिमिट एस्ट करती भी है या नहीं करती है हम तो सीधे लिमिट निकालने के मेथड लगाई जा रहे हैं कहीं पर भी चेक ही नहीं किया कि आरएल एलएल अलग-अलग तो नहीं हो रहे हमने जो किया वो गलती नहीं थी क्यों हमें पहले से पता होता है कि कहां पर आरएचएल और एलएचएल चेक करने की जरूरत है जहां जरूरत नहीं होती वहां पर क्यों करेंगे तो भाई यह वो शक्ल हैं जहां पर आपको आरएचएल एलएचएल पहले चेक कर करने पड़ते हैं स्क्वायर रूट जिफ और फ्रैक्शन और मोड स्क्वायर रूट जो है वो प्राइमर मोड के लिए रखा जाता है क्योंकि स्क्वा रूट ऑफ x स् आ जाए तो वो मड x होता है ठीक है तो स्क्वायर रूट का अपना कोई पंगा नहीं है मोड के करके इसको रखा जाता है ओके इट इज पीस वाइज डिफाइंड पीस वाइज मतलब कि फंक्शन ऐसे डिफाइंड है अगर ऐसे डिफाइंड हो तो आपको आरएचएल एलएचएल पहले चेक करने होते हैं देन a पावर 1 / x अगर आपके एक्सप्रेशन में a पावर 1 बा x बैठा है और x 0 को टेंड कर रहा है तो आपको आरएचएल एलएचएल चेक करने हैं 1 2 3 ये तीन चीजें ऐसी हैं जो अगर आपके एक्सप्रेशन में बैठी हैं तो आप पहले आरएचएल एलएचएल चेक करेंगे अगर ये नहीं है ना तो आपको टेंशन की जरूरत नहीं है सीधे लिमिट निकालो कोई टेंशन नहीं बहुत बढ़िया बहुत बार बच्चों को कंफ्यूजन यही होता है सर बुक में ना कभी तो आरएचएल एलएचएल निकाल के कह देते लिमिट डंट एजिस्ट और कभी सीधे लिमिट निकाल देते पता नहीं लगता कब चेक करना है कब नहीं चेक करना है अब पता लग गया बस यही वो चीजें है जो अगर आएंगी तो आपको चेक करना है लव यू टू शेरा गॉड ब्लेस यू जैसे कि ये सवाल ये पहला सवाल चिल्ला चिल्ला के कह रहा है भैया आरएचएल एलएचएल चेक कर लो पंगे पड़ सकते हैं जब मैंने एलएचएल निकाला अब अकल से निकालेंगे भैया x3 के लेफ्ट पे बैठा है तो जिफ x क्या बनेगा एग्जैक्ट टू 2 -3 क्या बनता है -1 और नीचे की चीज क्या है टेंडिंग टू रो ऊपर -1 और नीचे की चीज टेंडिंग टू जीरो आंसर क्या बन गया माइनस इंफाइटिंग [संगीत] एलएचएल ही नहीं आ रही तो बात ही खत्म हो गई अब आता है ये सवाल क्योंकि x टेंडिंग टू जीरो और पावर में वन बा x है तो भाई यहां पे हमें आरएचएल एलएचएल चेक कर लेना चाहिए और उससे पहले एक छोटू सा कांसेप्ट समझ भी लेना चाहिए आओ देखो जब आप एक्स टेंडिंग टू 0 पॉजिटिव 1 बा x देखते हैं और जब एक्स टेंडिंग टू 0 नेगेटिव / x देखते हैं तो इनकी वैल्यू में जमीन आसमान का फर्क आ जाता है रो पॉजिटिव था तो 1/0 तो है बट पॉजिटिव नंबर है तो प्लस इनफिनिटी यहां भी 1/0 तो है बट 0 नेगेटिव यानी कि x कैसा होगा -001 टाइप का तो ये रो को टेंड तो कर रहा है तो ये इनफिट तो हो रहा है बट रो नेगेटिव मतलब x नेगेटिव था माइनस पॉइंट समथिंग तो आंसर बन गया माइनस इनफिनिटी तो बहुत जमीन आसमान का फर्क आ गया राइट ऐसे ही अगर यहां पे देखें तो लिमिट x टेंड्स टू 0 पॉजिटिव की अगर बात करेंगे 2 पा 1 / x - 1 / 2 पा 1 बा x + 1 भाई जीरो पॉजिटिव जीरो पॉजिटिव मतलब ये क्या लगा बैठा हुआ है टू पावर इनफिनिटी बैठा हुआ है ये क्या बैठा है टू पावर इनफिनिटी जब भी ऊपर नीचे इंफाइटिंग तो छोटे टर्म का कोई रोल नहीं है कट कट कोई रोल ही नहीं है तो आंसर क्या आ गया सर जी दोनों बराबर है कट के आ जाएगा वन कट कट आंसर आ गया वन राइट सिमिलरली अगर मैं अब एलएच एल निकालूं 2 पावर 1 बा x -1 2 पाव बा x + 1 अब मुझे आप बताएंगे यह वैल्यू किसको टेंड कर रही है फटाफट बताओ ये वैल्यू किसको टेंड कर रही है सर x 0 नेगेटिव है ना तो 1 बा x तो माइनस इनफिनिटी होगा सर 2 पावर माइनस इनफिनिटी और ये सर ये भी टू पा माइनस इनफिनिटी भाई ू पावर माइनस इनफिनिटी मतलब न बाटू पावर इनफिनिटी यानी की जीरो तो यह भी जीरो तो आंसर क्या आ गया सर जी 0 माइव अप 0 प्व आंसर आ गया मानव पटाक तो आपका आरएच एलव था एलएच एल माइव था तो यहां से पता क्या लगा लिमिट डज नॉट एक्सिस्ट डज नॉट एक्सिस्ट शाबाश छा गए अब आता है एक बेसिक सा कांसेप्ट जो कि बहुत सारे डिफरेंट डिफरेंट शब्दों से बताया जाता है मैं उसको धीरे धीरे आपको ओपन अप करता हूं पहले इसका बेसिक बताता हूं बिफोर प्रोसीडिंग अहेड प टुवर्ड्स लर्निंग मोर मेथड्स एक छोटा सा अलजेब्रा समझिए क्या इस चीज को हमेशा ऐसे लिखा जा सकता है कभी सोचा है कि क्या मैं लिमिट f नजी को तोड़कर लिमिट ए और लिमिट जी अलग अलग लिख स सता यस और नो जहां तक बात है यस और नो वेल इन सम केसेस यस इन सम केसेस नो और वो कौन से केसे है जिसमें यस है अभी बताऊंगा नंबर वन नंबर टू पर हो सके तो तब तक मत करना जब तक लगे कि इसके बिना आंसर ही नहीं आ रहा इस बात को दोबारा सुनके नोट कर लेना ठीक है जी अब आती है बात कब कर सकते हैं अगर आपके ए और जी के जो लिमिट है वो फाइना इट और नॉन जीरो है फाइना इट और नॉन जीरो है आप उस केस में इसे तोड़कर ऐसे लिख सकते हो प्रोडक्ट पर लिमिट को ब्रेक कर सकते हो रेशो पर लिमिट को ब्रेक कर सकते हो पावर में लेकर जा सकते हो सब कुछ कर सकते हो जब ए और जी की लिमिट फाइना इट है नॉन जीरो अदर वाइज आप ब्रेक नहीं कर सकते बट माइंड माय वर्ड्स जब तक लगे कि इसके बिना चल रहा है चला लो अगर लगे कि इसके बिना चल ही नहीं पा रहा तो इसे यूज करना स इसके बिना चल रहा है तो चला लो मतलब क्या है वो मैं आपको भी सवाल में समझाऊ क्या मतलब है ओके इससे पहले यह देख लो जैसे कि अगर इस सवाल की बात करें अगर x इनफिनिटी पूछा जाए आप इनफिनिटी को अंदर रखिए जरा और देखिए वैल्यू क्या आ रही है इसकी वैल्यू क्या आ रही है इनफिनिटी पे सर जी इसकी वैल्यू आ रही है 1/2 डू यू ऑल एग्री वैल्यू 1/2 आ रही है इनफिनिटी पे अगर पावर की बात करें पावर की वैल्यू क्या आ रही है सर पावर की वैल्यू आ रही है 2/2 1 क्योंकि दोनों ही फाइना इट है और नॉन ज़ीरो है तो आप इसको तोड़ के इस लिमिट को अंदर लगा दिया इस लिमिट को पावर में लगा दिया आंसर आ गया 1/2 पावर 1 तो आंसर इज़ हाफ नो इश्यूज एट ऑल नो इश्यूज एट ऑल तो ऐसे कर सकते हैं क्योंकि दोनों फाइना इट थे नॉन ज़ीरो थे ओके पर क्यों हम अवॉइड करते हैं धीरे-धीरे वह मैं आगे बताता हूं अब आती है बात एक छोटा सा कंसेप्ट होता है कि अगर f g से छोटा है और आप दोनों साइड पे लिमिट ले रहे हो तो यहां पे लेस दन इक्वल आ जाता है इसका मैं बहुत बेसिक एग्जांपल दे देता हूं जैसे अगर आपका एक्स जीरो से न के बीच में है अगर एक्स सॉरी अगर आपका जो एक्स है व जीरो से न के बीच में है डू यू ल एग्री 1 बा एक्स स्क्व बा एक्स रुको उल्टा लिखता हूं रुको एक स् एक् से छोटा होगा डू यू ल एग्री अगर एक जी सेव के बीच में है तो x स् x के छोटा होगा हां सर 5 का स्क्वायर 5 से छोटा होता है ओके बट अगर तुम दोनों साइड लिमिट ले लो तो क्या तुम देख पा रहे हो अब यहां पर बीच में इक्वलिटी आ गई इसकी लिमिट भी जीरो है इसकी लिमिट भी जीरो है तो यह बराबर आ गए तो आप जब इनिक्वालिटी पे स्ट्रिक्ट इनिक्वालिटी पे लिमिट लगाते हैं तो कुछ बार ऐसा होता है कि वो इनिक्वालिटी इक्वलिटी बन जाती है ओके इसीलिए कुछ बार हर बार नहीं ओके कुछ बार इसीलिए अगर यहां पे स्ट्रिक्ट इनिक्वालिटी है और आपने कुछ करने के लिए दोनों साइड लिमिट ली है तो यहां पे इक्वल साथ में इंक्लूड हो जाएगा पॉइंट टेकन सर जी ओ हो दिल खुश कर दिया वेरी गुड अब चलो आगे बढ़ते हैं सम स्टैंडर्ड लिमिट्स की ओर अब हम पढ़ने वाले हैं फॉर्मैट्स और मैंने बताया सबसे इंपॉर्टेंट क्या होते हैं फॉर्मैट्स ही इंपॉर्टेंट होते हैं ओके ये आपने याद करने है इनको लगाने का तरीका फिक्स होता है और दिमाग में साना होता है अपने अपने इसको मिस नहीं कर सकते इसके बिना लिमिट आप कर ही नहीं सकते ठीक है सबसे पहला फॉर्मेट होता है x पा n - a पा n / x - a इक्व टू दिस इसे याद कैसे किया जाता है अगर x a को टेंड कर रहा है तो देखो a पावर n - a पावर n नीचे भी इन्हीं का डिफरेंस है a - a तो x पावर n - a पावर n अप यही दो टर्म्स नीचे भी आने चाहिए इसकी वैल्यू होती है n * a पावर n - 1 ओके सर सवाल में अगर लगाया जाए तो पहला देखो ये क्या है x पावर 3/2 - a पावर 3/2 अप x - a क्या तुम पिछली शक्ल को यहां पे देख पा रहे हो हां सर x पावर n - a पावर n / x - a बिल्कुल देख पा रहे हैं तो आंसर क्या बनेगा सर n * a पावर n -1 दिस इज योर आंसर डायरेक्ट फॉर्मेट बेस्ट इसका कुछ और नहीं इसमें फॉर्मूला लगाना है आपने तो 3/2 √ ए आपका आंसर आ गया थोड़ी शक्ल बदल गई ऐसे अब यहां पे ध्यान क्या रखना होता है फॉर्मेट में जो टर्म्स ऊपर है ना उन्हीं का डिफरेंस नीचे होना चाहिए उन्हीं का डिफरेंस अगर नहीं है तो भैया बना दो तो यहां पे तुम x - a को ऐसे लिख सकते थे देखो फटाफट x - a को ऐसे लिख सकते थे हां सर तो अगर लिख सकते थे तो भैया फॉर्मेट बन गया x पा n - a पा n / x - a तो आंसर फिर से क्या आ गया n * a a की जगह पे क्या है a + 2 पावर n - 1 3/2 रट ए प् 2 बहुत बढ़िया लास्ट आ गया ऐसा अब यहां पर वो पॉइंट समझाने लगा हूं जो मैंने थोड़ी देर पहले बताया था कि जितना हो सके अवॉइड करना लिमिट्स को ब्रेक करना अब उसका मैं एक रीजन दूंगा और आपको एक पॉइंट बताऊंगा उस पॉइंट को खा जाना अगर लिमिट में खुश रहना चाहते हो पहले हम करेंगे रंग मेथड रंग मेथड क्योंकि मैक्सिमम बच्चे वो करते हैं लिमिट एक्स टेंड्स टूव उन्हें दिखा एक g प उन्होंने ऐड किया बिल्कुल सही था a आ पावर नंबर ऑफ टर्म्स -1 अप r - 1 - n / x - 1 उन्होंने देखा कि यार लिमिट x टूव है और ये तो फॉर्मेट बना हुआ है इस वन को मैं व पावर n लिख लेता हूं तो उन्हें दिखा x पा n - a पा n अप x - a उन्होंने ना आव देखा ना ताव देखा लगा दिया फॉर्मेट n * 1 पावर ए माइव इसके आगे उन्होंने किया लिमिट एक्स टेंड्स टूव x इन n - n अप x-1 आंसर आ गया n अब यह है गलत अब यह ठहरा गलत अब सुनो पहले गलती क्या है और फिर मैं बताऊंगा कि क्या चीज नहीं करते गलती ये है आपने यहां पर जब लिमिट अप्लाई की मतलब आपने लिमिट को ब्रेक की है आपने x की लिमिट अलग कर दी इसकी लिमिट अलग कर दी इसकी लिमिट अलग कर दी इसकी लिमिट अलग तभी तो यहां पे लगा पाए यस और नो बीच में लिमिट को अप्लाई करने का मतलब क्या कि आपने लिमिट को ब्रेक कर दिया आपने ऊपर की लिमिट अलग नीचे की लिमिट अलग x की अलग इसकी अलग लिमिट को ब्रेक कर दिया पर क्या नीचे लिमिट नॉन जीरो फाइना इट है नहीं सर नीचे जीरो बन रहा था अगर नीचे जीरो बन रहा था तो लिमिट को ब्रेक कैसे कर दिया ऊपर की लिमिट नीचे की लिमिट ब्रेक नहीं कर सकते थे दैट इज वेर यू वेंट रंग अगर मैथमेटिकली बोलू यस सर तो यहां पर लिमिट को ब्रेक करना लाउड नहीं था पर आपने किया ये गलती नाउ अब आती है बात सर यह गलती बार-बार हो जाती है तो सुनिए मेरी बात लिख लीजिए अपने पास लिमिट आप जब अप्लाई करेंगे दैट शुड बी योर लास्ट स्टेप अगर यह दिमाग में होता तो आप यहां पर लिमिट अप्लाई ना करते क्योंकि ये लास्ट स्टेप नहीं है इसके बाद आपने एक और स्टेप किया ट्स इट लिख लीजिए जब मैं लिमिट अप्लाई करता हूं तो वो मेरा लास्ट स्टेप होना चाहिए यानी कि लिमिट एक ही बार रखी जाएगी और पूरे में रखी जाएगी और वहां से मेरा आंसर आएगा उसके बाद कोई स्टेप नहीं होना चाहिए ये लिख के रख लीजिए अपने पास यहां पे लिखा भी गया व्हेन एवर अप्लाई लिमिट अप्लाई इट इन कंप्लीट एक्सप्रेशन इन वन स्टेप दैट्ची मेथड सही मेथड इसका क्या था भैया अपने n को ब्रेक कर लो एक वन इसको दे दो एक वन इसको दे दो करते करते एक वन इसको दे दो ऐसा करने पर सबसे नीचे देखो सबके नीचे x माइव बैठा हुआ है सबका नीचे एलसीएम तो x माइव ही है तो यह वन बन गया यहां पर स्क्वायर मान दीजिए तो n इन ए पावर ए माइव करते करते यह n इन ए पावर ए माइव तो बेसिकली आपके पास पहले n नेचुरल नंबर्स का सम आ गया तो ये आपका आंसर आ गया दिस इज द करेक्ट मेथड वेरी गुड क्या बात है सबने आंसर भी निकाल दिया तो वो करेक्ट यह रंग रंग क्यों यहां पर बता दिया गया ओके नाउ अगला सवाल देखें करर आ जाइए यह सवाल थोड़ा अच्छा है यानी कि आपको थोड़ा चैलेंज करेगा बस कॉन्फिडेंस को मेंटेन करना है नीचे दो जीरो बैठे हुए हैं दो जीरो मतलब ये x ट टूव था ये x1 का स्क्वायर है तो पक्की बात है ये दोनों ऊपर फिट होने चाहिए फिट मतलब या तो कटेंगे या फॉर फर्मेट बनाएंगे याद रखिए धीरे-धीरे आपको सिखाने वाला हूं लिमिट में ना नीचे का जीरो तंग करता है यस और नो ऊपर का जीरो तो तंग नहीं करता ना ऊपर जीरो होता नीचे नॉन जीरो होता आंसर जीरो आ जाता प्रॉब्लम आती जब नीचे जीरो आता है यह प्रॉब्लम क्रिएट करता है ओके तो जब भी हम लिमिट को सॉल्व करने लगते हैं ना सबसे पहले हम नीचे का जीरो देखते हैं और देखते कि इसको ऊपर कहां पे काटा जा सकता है या कहां पर फिट किया जा सकता है दैट इज अ पॉइंट तो आओ हमने क्या किया सबसे पहले तो मुझे यहां पे फैक्टर बनते हुए दिख रहे हैं क्या आपको दिख रहे हैं या मुझे ही दिख रहे हैं मैं इसे यहां क्यों लिख रहा हूं आगे लिख लेते हैं तो यह बन गया x पावर n + 1 - nx-d ये करने के पीछे एक ही इंटेंड है व्हाट इज द इंटेंड ऊपर से कुछ करके x -1 कॉमन निकालो काटना पड़ेगा अंडरस्टैंडिंग समझ रहे हो अंडरस्टैंडिंग समझ रहे हो नीचे टू मिस कर देखा मैंने ठीक तो है कोई गड़बड़ नहीं यार ओके ये कांसेप्ट समझ गए मैंने क्यों ओपन किया क्योंकि मुझे ऊपर कुछ करके x - 1 को बाहर निकालना है कल्प्रिट्स बैठे हुए हैं तो मैंने देखा क्या इसके फैक्टर बन रहे हैं बन रहे हैं तो आई एम वेरी हैप्पी सर जी इसको जोड़ दो इसके साथ नहीं n n कॉमन आ जाएगा एक काम करते हैं सर हम ना हम जोड़ते हैं इसको इसके साथ x को कॉमन x पावर n - 1 और हम इसको जोड़ते हैं इसके साथ सर जी यहां पे हम - n कॉमन x - 1 कितने बचे ऐसे जिसको न्यूमरेशन में x-1 कॉमन आता हुआ दिख रहा है फटाफट बोलो कितने बच्चे ऐसे हैं जिसको न्यूमरेशन में x-1 कॉमन आता हुआ दिख रहा है यहां से कितनों को दिखा था x माइव फिर n माइव पावर से शुरू हो जाओ और वन तक जाओ वन तक जाओ बहुत बढ़िया छा गए छा गए छा गए तो बेटा जी एक तो कल्प रिट कट गया अब बचा क्या मेरे पास सर जी मेरे पास ऊपर बच गया x बाहर बैठा भूल मत जाना x इनटू दिस और अच्छा लास्ट में वन नहीं आएगा x * 1 लास्ट टर्म बनेगी ओके ओ ये तो पिछला सवाल नहीं बन गया इट इज एगजैक्टली सेम एज पिछला क्वेश्चन सेम एज पिछला क्वेश्चन तो आंसर क्या आ गया n * n+ 1/2 तो दैट इज हाउ यू डू इट इट्स ऑल अबाउट नोइंग द फैक्ट कि मुझे कुछ करके यह दोनों जीरो हटाने हैं दोनों कपट बैठे हैं इस करके दिमाग में आया ऊपर फैक्टर बनाओ कॉमन निकालो काटो दैट्ची फॉर्मेट को मैक्सिमम एक्सप्लोर किया जाता है डायरेक्ट सवाल पूछने के लिए इसका रिजल्ट बस ये दो दो ही आपके रिजल्ट दो ही फॉर्मेट है सा x बा x एक्सटेंडिंग टू 0 1 होता है सेम फॉर t पर इसको कभी भी सा x बा x से याद नहीं करना सा ऑफ 0 बाय सेम जीरो भैया x 0 है ना ये रो जीरो है सान ऑफ 0 बाय सेम 0 1 सेम क्यों अगर ये x है ये भी x है ये 2x है 3x नहीं है सा ऑफ 0 बाय सेम 0 1 t ऑफ 0 बाय सेम 01 ऐसे याद करना है अब इसको लगाने की कोशिश करते हैं यहां पे आ जा पहले सवाल में आओ सान ऑफ 0 था नीचे भी रो है देख लो पर क्या दोनों सेम जीरो है नहीं सर तो दोनों को पहले सेम जीरो बनाओ sin5x x था ना सेम जीरो बनाने के लिए 5 मल्टीप्लाई डिवाइड किया जैसे ही सेम जीरो बनाया ये पूरा क्या बन गया वन तो आंसर आ गया फ सो आईडिया इज सेम जीरो बनाना है सेम जीरो दैट इज मोर इंपॉर्टेंट अगर b की बात करें लिमिट x टेंड टू 0 सा ऑफ x डिग्री / x किसी ने आज तक अपने किसी टीचर से पूछा कि सर जब भी sinx-cosx दिखता है उसको वो रेडियन में तोड़ देते हैं कभी सा ऑफ x डिग्री को सीधे क x डिग्री नहीं बोला जाता डेरिवेटिव हैं कुछ कुछ बच्चों ने थोड़ा सोचा है बट पूछा किसी ने नहीं तो सुनो मेरी बात हम जितना भी लिमिट पढ़ते हैं कितना भी डेरिवेटिव पढ़ते जितने भी कैलकुलस पढ़ते हैं वो रियल नंबर पे पढ़ते हैं जब मैं कहता हूं लिमिट h टेंड्स टू जीरो तो h एक रियल नंबर है जो जीरो के पास जा रहा है हां सर डिग्री जो होते हैं वो रियल नंबर नहीं होते वन डिग्री इज न नॉट व 1 डिग्री इज 90th पार्ट ऑफ वन राइट एंगल राइट एंगल क्या होता है एंगल इन द क्वार्टर ऑफ अ सर्कल तो 1 डिग्री इज नॉट अ नंबर इट इज सिग्नीफाइंग 90th पार्ट ऑफ सेमी सर्कल हम जो पढ़ते हैं वो पढ़ते हैं रियल नंबर्स पे तो याद रखना पूरा डिफरेंशिएबल कुलस रियल नंबर पे पढ़ा जाता है तो अगर वहां पे एक ऐसी क्वांटिटी आ गई जो कि रियल नंबर ही नहीं है हम उसको कुछ कर ही नहीं सकते तो वहां पे रेडियन काम आते हैं क्योंकि रेडियन रियल नंबर होते हैं याद है ना थ इ एल बाय आ एल भी रियल नंबर आर भी रियल नंबर दोनों डायमेंशन सेम है तो फाइनल आंसर डायमेंशन लेस आ गया रियल नंबर सो अब मैं इसको कर दूंगा दोनों अब इसको सेम बनाना था तो भैया ये एडजस्टमेंट कर दी और आपका आंसर आ गया पाई अपन 180 दैट इज हाउ यू डील विद डिग्री आ गए नजारे बहुत बढ़िया अब आता है यहां पे भैया ये तो ना खा जाना बहुत बढ़िया बमर एक पॉइंट तो मैं हमेशा कहता हूं तुम्हारे लिए 1 माइ क 2 थीटा और 1 प् क2 थीटा भैया ये तुम्हें जहां भी दिखेंगे सोचे समझे बिना भी अगर ऐसे लिख दोगे ना तो पक्की बात है फायदा ही होगा क्योंकि इसको यूज करने का और कोई तरीका होता ही नहीं है तो जैसे ही मेरा सवाल आया सबसे पहले तो मैंने इसको लिख दिया 2 साइन स्क्वा थीटा और फिर सोचने लगा करना क्या है ओ थीटा नहीं x फिर सोचने लगा कि करना क्या है अब यहां पे इंपोर्टेंस आ गई भैया जब भी स्क्वायर रूट आता है तो थोड़ा केयरफुल होना पड़ता है आरएचएल एलएचएल लेने को क्यों क्योंकि इट कैन क्रिएट मॉड्यूस भैया सा स्क्वायर का रूट मोड साइन होता है और जैसे ही ये आया तुम्हारे पास रिक्वायरमेंट जागी आरएचएल एलएचएल की जैसे ही तुमने आरएचएल की बात की लिमिट एक्स टेंडिंग टू 0 पॉजिटिव भाई अगर x पॉजिटिव है रो के राइट पे है तो sinx-cosx और अगर sinx-cosx एस्ट नॉट इक्वल ट इ हाउ यू डू इट अगला आता है यह सवाल इसका आंसर सारे बच्चे चैट में देंगे मुझे अभी के अभी साइन ऑफ 3 पावर एकस य 3 पावर माइन एक्स नीचे ले गए तो आंसर क्या आ गया फटाफट बता दो चैट में फटाफट बताना बहुत बढ़िया सर न आ लगा दी आग लगा दी आग लगा दी फिट मु तुम सबके आंसर इ जीरो बहुत बढ़िया बमर सिर्फ बमर ने राइट क्वेश्चन दिया आपने गलती क्या की आपको यह नहीं सिखाया गया साइन ऑफ सेम बाय सेम इ इक्वल टूव यह नहीं सिखाया गया आपने बस साइन ऑफ सेम बाय सेम देखा आगे तो देखा ही नहीं ओ भाई वोह सेम जो है जीरो भी तो होना चाहिए था क्या वो जीरो है 3 पा एक्स जीरो है क्या नहीं है तो भैया यह आपने गलत सीख लिया ना साइन ऑफ 0 बाय सेम जीरो व होता है यहां पर 3 पावर एकस जो है इनफिनिटी है 3 पावर एकस इनफिनिटी है तो ये साइन ऑफ इनफिनिटी बाय इनफिनिटी है अब भैया साइन ऑफ इनफिनिटी जो भी है माइव ब के बाहर तो नहीं हो सकता तो ऊपर जो भी है एक छोटू सा नंबर है और नीचे बैठा है इनफिनिटी तो आंसर क्या आना था जीरो कोई बात नहीं मैंने ने भी जान के बोला था जल्दी जवाब दो क्योंकि जल्द में सब गलत देते हैं अगर मैं कहता हूं केयरफुल होके जवाब दो तो शायद तुम सही दे देते थोड़ा बहुत मजे मैं भी ले रहा था यार थोड़े बहुत मजे लेने पड़ते हैं समझा करो चलो स्टिल वेरी गुड अटेम्प्ट ओके डोंट वरी नाउ आओ यहां पे जब भी आपको ऐसे दो वेरिएबल दिखे तो पता कैसे लगेगा भैया हम तो एक्सटेंडिंग टू a के लाइक यूज टू है ना ये एक्सटेंडिंग टू वा क्यों लिखा है दोनों वेरिएबल है क्या नहीं जब भी आपको ऐसे दो वेरिएबल देखे याद रखिएगा जो चीज टेंड कर रही है यानी कि वो मूव कर रही है तो वो वेरिएबल है जो यहां बैठी है वो कांस्टेंट है तो आपका एकवा के पास जा रहा है y अपनी जगह बैठा हुआ है समझ गए y अपनी जगह बैठा हुआ है एक नंबर होगा तो x y के पास जा रहा है तो आप x को एज अ वेरिएबल ट्रीट करोगे y को एज अ कांस्टेंट ट्रीट करोगे तो यहां पे y की चिंता नहीं करनी सिर्फ x की चिंता करनी है तो ये बन रहा है आ हा हा हा हा हा देखो भैया सबसे पहली बात ऊपर जीरो बन रहा है नीचे जीरो बन रहा है नीचे जीरो बन रहा है x - y से x प्वा से नहीं बन रहा डू यू एग्री नीचे का कल्प्रिट्स समझ आ गया सबसे पहले जीरो देखा जाता है नीचे डिनॉमिनेटर देखा जाता है कि कौन सी टर्म मेरे को दुखी कर रही है नीचे ये टर्म बैठी है जो मुझे दुखी कर रही है नीचे ये टर्म बैठी दुखी कर रही है ये जीरो बन रहा है अब तुम मुझे बताओ क्या न्यूमरेशन में x - y को क्रिएट करने का कोई तरीका है क्या न्यूमरेशन में x - y को शांत करने का कोई तरीका है अगर है तो जिंदगी बच गई भैया यस सर फार्मूला आता है सान स्क्वा ए माइनस सान स्क्वा बी का हमने एक ट्रिग्नोमेट्री में फार्मूला पढ़ा था सा a + बी सा a - बी कुछ याद आई पुरानी भूली बिसरी यादें भूली बिसरी यादें ताजा हुई कुछ तो यहां बन गया सा ऑफ x साइन ऑफ एकस प्वा इसके चलते रहते जरा पहले इस टर्म को देखिए साइन ऑफ 0 बाय सेम जीरो बहुत बढ़िया आंसर निकाल दिया बच्चों ने कुछ ने साइन ऑफ 0 बाय सेम जीरो अगर भैया सेम बन गया फिर तो वन आ गया तो आंसर क्या आ गया आपका सर जी एक्स कोवा पुट कर दीजिए अब सावा अगर किसी ने इसको भी वन बोल दिया इस एग्जांपल को देखने के बाद मैं मैंने ब पिटाई कर देनी है ब पिटाई कर देनी है ओके वो दूसरा रेशो वन नहीं बनेगा यह दोनों सेम है बट जीरो नहीं है ओके तो एक्स कोवा पुट किया तो यहवा बनता है यहवा बनता है तो आंसर आया सा 2y बा 2y और आंसर y की टर्म्स में ही आना था क्योंकि वा को एस कांस्टेंट देखा जा रहा है यहां पे बहुत बढ़िया फिर आता है यह सवाल यहां पर आपको क्या समझना है हमने पढ़ा साइन ऑफ 0 बाय सेम जी व न ऑफ जीरो बा सेम जीरो वन अब यहां पर क्या हो रहा है न के अंदर जीरो नहीं बैठा हुआ सवाल पढ़ो 2021 का सवाल है जेई का इसका कांसेप्ट देखो अब लिमिट x टेंड्स टू अगर पा लिखा जाता पा तो t x / x - पा जरा इसको देखिए ऊपर क्या बन रहा है सर जी ऊपर बन रहा है tan0 नीचे का बन रहा है सर पा - पा वो क्या होता है रो तो फॉर्मेट तो 0 बा 0 है डू यू एग्री फॉर्मेट तो 0 0 है पर क्या मैं इसको वन कह सकता हूं नहीं सर वन नहीं कह सकता सर क्योंकि नीचे x नहीं बैठा गलत नीचे x नहीं बैठा रीजन नहीं है रीजन है कि यहां पर जीरो नहीं बैठा रीजन क्या यहां पर जीरो नहीं बैठा फॉर्मेट क्या होता है न ऑफ जीरो बाय सेम जीरो बाय सेम जीरो तो मुझे अगर न वाला टर्म आ गया उसको खुश करना है तो न के अंदर भी जीरो होना चाहिए उसके नीचे भी जीरो होना चाहिए तो पॉ यहां पर न की वैल्यू जीरो तो बन रही थी बट वो वैल्यू जीरो बन रही थी पाई के चलते रहते ना कि जीरो के चलते रहते तो अगर मैं इस टर्म को ऐसे लिख देता डू यू एग्री मेरा पर्पस फुलफिल हो जाता ऑफकोर्स माइनस लगा के अब न के अंदर जीरो भी आ गया वैल्यू भी मैंने एडजस्ट कर दी आई एम हैप्पी नाउ बोलो कितन को नजारे आ गए यहां पर कांसेप्ट समझ के कांसेप्ट क्लियर हो गया कांसेप्ट चमक गया तो यहां भी कुछ ऐसा ही हुआ जब थीटा टेंडिंग टू जीरो था ना अंदर पाई नव बन रहा था तो न पाई 0 बन रहा था भैया न पाई के जीरो बनने से मुझे कोई फायदा नहीं है मुझे न ऑफ 0 के जीरो बनने से फायदा है तो इसलिए मैंने क्या किया मैंने यहां पर लिख दिया पाई माइनस पाई कॉस स्क्वा थीटा नाउ न ऑफ माइ थीटा होता है न थीटा का नेगेटिव अब बन गई बात अब देखो लिमिट थीटा टेंड्स टू 0 माइ t पाई को कॉमन निकाला बचा 1 माइ क स्क्वा तो आ गया सा स्क्वा नीचे आ गया सा 2 पा साइ स्क्वा थीटा और अब मेरी बात सुनना अब इंपॉर्टेंट है अब मैं इस न को खुश कर सकता हूं क्योंकि इसके अंदर जीरो बैठा है इस न को मैं खुश नहीं कितने बच्चों को समझ आ रहा है न आई से इस न को मैं खुश नहीं कर सकता था क्योंकि इस न के अंदर जीरो बैठा ही नहीं था इस न के अंदर पाई बैठा था इस न को मैं खुश कर सकता हूं क्योंकि इस न के अंदर जीरो बैठा है तो मैं सेम जीरो यहां प्रोवाइड कर दूंगा तो भैया यह वाला न खुश हो जाएगा टपू सिया मारेगा कि अब मैं वन बन चुका हूं अब मैं वन बन चुका हूं बहुत बढ़िया नाउ यह तो पहले से खुश होने को तैयार बैठा है साइन के अंदर जीरो बैठा है थ जीरो तो ये जीरो है तो ये तो पहले से खुश होने को तैयार बैठा था तो लो भैया इसे भी खुश कर दिया तो जैसे ही खुश किया भैया यह भी बन गया वन जो बचा हुआ था पाई कट गया साइन स्क्वायर कट गया आंसर आ गया 1 बाटू हाफ इज द आंसर और हाफ तो बैठा नहीं अच्छा माइनस हाफ माइनस हाफ तो यहां पर बी केयरफुल कैसे किस चीज को खुश करना यह बड़ा इंपॉर्टेंट होता है देन यह आ गया अय लास्ट कांसेप्ट आ गया ट्रिग्नोमेट्री में जो आपको समझना है उसके बाद का सवाल करेंगे पर कांसेप्चुअली य लास्ट कांसेप्ट है कई बार य पर जीरो नहीं होगा एक्सटेंडिंग टू पा बाट लिखा देखो जरा नो डाउट फॉर्मेट इंडिटरमिनेट है आप पा बाटू को पुट करेंगे न्यूमरेशन में बन रहा है न प्लस कॉस पाई प् पा जीरो हो गया और नीचे भी जीरो बनता है यस सर तो जीरो जीरो तो बन रहे इंडिटरमिनेट आ रहा है बट मुझे सॉल्व करना नहीं आ रहा मुझे पा बाटू को देखना नहीं आता सुनो हमें ट्रिग्नोमेट्री में सिर्फ क्या पता है साइन ऑफ 0 बाय सेम जीरो न ऑफ 0 बाय सेम जीरो बस इतना ही पता है ट्रिग्नोमेट्री का कोई भी सवाल आएगा सबसे पहली बात मुझे कॉस तो जमा नहीं पसंद मुझे या तो सा पसंद है या कस पसंद है क्योंकि इन्हीं के फॉर्मेट मुझे आते हैं तो सबसे पहले मेरी कोशिश करेगी मैं इसको सा या tan1 प् क दिखता है उसको 2c स् थीटा बा 2 लिख देते हैं तो कम बखत सान आ ही नहीं रहा साइन आ ही नहीं रहा तो क्या किया जाए सुनिए मेरी बात जब भी यहां पे जीरो ना हो कोई एंगल आ जाए पा / 3 पा / 6 पा / 2 पा कोई एंगल आ जाए और आप सवाल को कर नहीं पा रहे हैं तो एक सिंपल सा लॉजिक लगाइए अगर यहां जीरो होता चीजें देखनी बहुत आसान होती अगर यहां जीरो होता चीजें देखनी बहुत आसान होती तो क्यों ना यहां पर जीरो ले आए सर जीरो कैसे ले आओगे या तो x माइ पा बाट को t पुट कर दो क्या कहते हो भैया सब्सीट्यूशन को जैसे मर्जी कर सकते हो तुम लोग बोलो यस और नो इसके चलते रहते लिमिट अगर x पा बाटू को टेंड कर र स t किसको टेंड करेगा सर जी जीरो को अच्छा 2c स् x की जगह पे क्या आ गया सर जी 5/2 + t क्या तुम्हें साइन बनता हुआ दिख रहा है बोलो पा - 2 * पा / 2 + t बोलो नजार आ ग सवाल खत्म हो गया बेटा लिमिट t टेंड्स टू 0 ये बन गया 2s स् t और नीचे बन गया ये कट गया 4t स् इसके बाद किसी पड़ोसी की मदद चाहिए क्या किसी पड़ोसी की मदद चाहिए सबने लाइक तो कर दिया ना फटाफट बताओ लाइक कर दिया फटाफट जैक अगर उससे बात बनती है कर लो बेटा कोई प्रॉब्लम ही नहीं है सर क्या मैं पा - 2x को t पुट कर सकता था ऑफकोर्स इस केस में उससे भी फायदा हो रहा है आईडिया इस की लिमिट को जीरो बना लो जीरो लिमिट देखनी आसान होती है हां जी और सबसे आसान क्या होता है इसके डिफरेंस को t पुट कर दो तो वो अपने आप ही जीरो हो गया इज अ पॉइंट तो ये आपका लास्ट कांसेप्ट हो गया इसके बाद कुछ सवाल हम प्रैक्टिस के लिए करेंगे जहां पर मुझे यह सिखाना है कि हम ज्यादा इज्जत डिनॉमिनेटर को देते हैं याद रखना क्योंकि वहीं से पता लगता है कि कितने नीचे जीरो बैठे हुए हैं जिनको ऊपर फिट करना है तो जब ये सवाल शुरू हुआ 1 - क तो मैं देखता नहीं ये 2 सा स् x है तो स्क्वायर किया तो 4 सा पावर 4x x t 2x माइ 2xx सबसे पहले मैं बताने लगा हूं गलती गलती बच्चे क्या करते हैं सर हम ना इसको खुश कर देते t 2x को सर इसको 2x दे दिया 2 एक मल्टीप्लाई सर इसको x दे दिया एक्स मल्टीप्लाई सर इसको 4 एक् दे दिए एक्स पावर 4 मल्टीप्लाई इसके बाद देखो आंसर आ ही नहीं रहा फटाफट देखो आंसर ही नहीं आ रहा क्या आंसर आ रहा है देखो सर जी यह वाली टर्म बन गई वन यह वा टर्म बन गई वन यह वाली टर्म बन गई वन सर जी 2 एक् स् माइनस 2 एक्स स् सर ऊपर तो जीरो आ गया आंसर जीरो आ जाएगा सर ओ ना पुतर थले भी जीरो बैठा है नीचे भी जीरो बैठा है आंसर नहीं आया य एग्री नॉर्मली बच्चे जब लिमिट सीखना शुरू करते हैं सबसे पहले कॉमन मिस्टेक करते क्योंकि उनको सिखाया जाता है कि बेटा मैंने लिमिट ब्रेक नहीं की लिमिट अप्लाई कर रहा हूं लिमिट ब्रेक नहीं की मैं लिमिट अप्लाई कर रहा हूं लिमिट अप्लाई कर दो लिमिट अप्लाई करते ही ऊपर भी जीरो बन रहा है नीचे भी जीरो बन रहा है आंसर नहीं आ रहा ना ये क्यों हुआ क्योंकि उन्होने आधा कंसेप्ट तो सीख लिया कि फॉर्मेट याद करके चीजों को खुश कर देते हैं फॉर्मेट कंप्लीट कर देते हैं पर उन्होंने एक बात नहीं सीखी जिसकी वजह से यह गलतियां होती है बहुत बढ़िया जैक ने सही बोला तो सुनो मेन कांसेप्ट क्या होता है सबसे पहले आप डिनॉमिनेटर को खुश करते हैं और वहां से पता लगता है नीचे कितने जीरो बैठे हुए हैं नीचे चार जीरो बैठे हैं चलो एक जीरो कट रहा है यहां से तो नीचे तीन जीरो बैठे हुए हैं अब आपको सोचना है कि नीचे जो तीन जीरो बैठे हैं उनके लिए ऊपर जगह बनाओ उनको खुश करना है भैया ये तीन जीरो जब तक नीचे बैठे हुए हैं आंसर नहीं आएगा डू यू एग्री डिनॉमिनेटर की इज्जत होती है सबसे पहले डिनॉमिनेटर को खुश किया जाता है वहां से पता लगता है कितने जीरो बचे जैसे कि पिछले जो आपने पहले मेथड लगाया था नीचे 4x ना बैठे होते मेरा आंसर आ जाता पंगा था कि नीचे x बैठे हुए हैं नीचे का जीरो हमें तंग करता है ऊपर का जरो तंग नहीं करता तो पहले देखा जाता है नीचे कितने जीरो हैं नीचे तीन जीरो बैठे हुए हैं और ऊपर मेरे पास बैठा है ये जिसमें कि मैं मैक्स टू मैक्स एक जीरो को ही एडजस्ट कर सकता हूं भैया ये भी एक जीरो से खुश हो जाएगा ये भी एक रो एक जीरो मतलब एक x से खुश हो जाएगा पर उससे मैं नहीं खुश हो रहा क्योंकि मेरे को तीन जीरो ऊपर फिट करने हैं तो मैंने न्य न्यूमेट में पावर को बढ़ाने की कोशिश की न्यूमरेशन में पावर को बढ़ाओ ताकि तीन जीरो फिट हो तो वहां से सपना आया कि क्यों ना इसको ऐसे लिख लिया जाए 2tanx अप 1 - t स् x ऐसा करने से मेरी पावर बढ़ेगी ऊपर और हो सकता है तीन जीरो की जगह बन जाए तो बेटा जी 4x क नीचे था साइन पावर 4 x पावर 4 एलसीएम लिया 1 - t स् x सो 2tanx एलसीएम लिया तो -2 लो बहुत बढ़िया बेटा एलसीएम लेके ऊपर ये बन रहा है एलसीएम लेते ही सवाल खत्म हो गया बोलो नजारे आए अब यह खुश हो गया ओ फोर को क्यों बीच में ले लिया यहां पे अब यह खुश हो गया एलसीएम लेते ही हो गया खुश बेटा जी वन यह पहले से ही खुश था वन और यह तो दुखी नहीं कर रहा 1 माइ 0 तो वन बनता है वो दुखी नहीं कर रहा तो आपका आंसर क्या आया 2/4 दैट इज 1/2 अगर आपने यह सवाल अच्छे से खा लिया तो कांसेप्चुअली आपको लिमिट में कोई भी आगे एरर आप कर ही नहीं सकते आपको दिक्कत आ ही नहीं सकती ओके देन आती है बात एक छोटे से कांसेप्चुअल की कि ज हम जो सा ऑफ 0 बा 0 की लिमिट वन कहते हैं t ऑफ 0 बा 0 की लिमिट वन कहते हैं उसमें अगर थोड़ा प्रोसाइज देखें तो क्या हो रहा होता है सुनिए जब मैं कहता हूं sinx-cosx जीरो वन होता है इसका मतलब क्या होता है सेशन की बिगिनिंग में आज मैंने समझाया लिमिट इसके बराबर है इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब होता है एज x गोज क्लोज टू 0 सा x बा x गोज क्लोज टू व यस और नो ये इसका मतलब होता है यही सिखाया था फटाफट बोलो क्या बात है वेरी गुड तो इस लिमिट की इक्वल वन का मतलब मतलब ये कभी नहीं होता कि सा x बा x इक्ट 1 बन गया है ओके इसका मतलब होता है कि सा x बा एक्व के पास जा रहा है अब जब मैं कह रहा हूं यह वैल्यू वन के पास जा रही है तो दो तीन तरीके हैं या तो वो वन के पास जाएगी 999999999 इस तरह से वन के पास जाएगी या फिर वो ऊपर से जाएगी 1.001 1.001 हां जी सर तो जब मैं कहता हूं पास गई तो दो तरीके थे वन के पास जाने के तो sinx-cosx का जिफ जीरो होगा यस सर जब x0 के पास है सा x बा x99 टाइप का होगा तो जिफ जीरो बन जाएगा सिमिलरली सर सर यह वन बन जाएगा यह और यह दोनों वन रहेंगे क्यों क्योंकि लिमिट की जो वैल्यू आई है उस वैल्यू का जिफ पूछा है लिमिट की वैल्यू तो वन ही आई है तो लिमिट की वैल्यू का जिफ तो वन रहेगा ओके तो यहां पर ये आपको बेसिक कांसेप्ट पता होना चाहिए क बार यूज करवा लेते हैं आपसे अब आता है अगला फॉर्मेट जो कि लॉग की लिमिट का होता है लन ऑफ 1 प् 0 बाय सेम 0 इ इक्वल टू 1 और अगर यहां पे बेस e ना होकर कुछ a है तो यह वैल्यू 1 बालन a आ जाती है ओके तो लॉग 1+ x बा x a इज 1 बालन a तो ये दोनों लिमिट आपको पता होनी चाहिए लॉग x इसे कहते हैं लॉग वाली लिमिट्स स्टैंडर्ड फॉर्मेट चल रहे हैं लॉग में आपको एक्सपेंशन भी पता होनी चाहिए अब धीरे-धीरे हम एक्सपेंशन की ओर बढ़ने वाले हैं तो लॉग की एक्सपेंशन ऐसी होती है x - x स् बा 2 प् x क बा 3 एंड सो ऑन ये आगे जाके मैं रिवाइज भी करवाऊंगी यहां पर मेरे को इसका एक सवाल मैं करवाना है मेरे को जस्ट टू टेल यू हाउ एक्सपेंशन हेल्प्स फिर आगे जाके हम थोड़ी देर बाद पूरा एक्सपेंशन का टॉपिक भी पढ़ेंगे लॉग की एक्सपेंशन इस x के लिए होल्ड करती है इस एक्स के लिए इसके अलावा होल्ड ये नहीं करती ओके सवालों में बात करें अगर पहले आसान सा देखें पहला सवाल बड़ा ही आसान था भैया सिर्फ सेम जीरो की बात चल रही थी लिमिट x टेंड टू 0 लन ऑफ 1 प् 0 तो बैठा हुआ है x0 तो 5 एक 0 पर नीचे सेम जीरो नहीं बैठा हुआ तो हमने सेम जीरो को बिठा दिया सेम जीरो बिठाते ही यह वन बन गया तो आंसर आ गया फ ओके अब यहां पे आओ यहां पे था कि लन ऑफ 1 प् 0 था ही नहीं 5 प् 0 है भैया फॉर्मेट 1 प् 0 ही होना चाहिए दैट्ची जैसे कि आप 5 इन 1 प् x बा 5 कर दो या पहले डिवाइड कर दो और फिर वन को निकाल दो मर्जी आपकी तो मैंने य से 5 को कॉमन निकाला अंदर बचा 1 प् x बा 5 इसका जब लोन लिया तो लन 5 प्स लन ऑफ 1 प् x बा 5 सिमिलरली इसको भी ब्रेक कर दिया लन 5 माइलन 1 - x बा 5 अप x लन को ब्रेक कर दिया और कुछ नहीं किया यह तो गया आपस में अब बारी आई खुश करने की बेटा जी लिमिट x टेंड टू 0 लन ऑफ 1+ x बा 5 के नीचे क्या बैठा है x और इधर लोन 1 - x बा 5 के नीचे भी बैठा हुआ है x खुश करने के लिए सेम जीरो देना पड़ेगा यह x बा 5 था तो इसको भी x बा 5 बनाना पड़ेगा नाउ बी केयरफुल यहां पे - x बा 5 है लोन ऑफ 1 प् 0 और 0 आपका माइ एक् बा 5 है तो यहां पर - एक बा 5 ये इसको एडजस्ट किया तो आपका जो आंसर आ गया न यहां पर 5 माइनस 1 अपन -5 तो आंसर आ गया 2/5 इस हिसाब से आपको करना चाहिए था क्या बात है अब आती है अगली बात यहां पर मैं आपको एक एक्सपेंशन का हल्का सा नजारा जिसके बाद थोड़ी देर बाद एक्सपेंशन पूरा पढ़ेंगे हम अगर बात करें एक्सपेंशन की तो देखो भया एक्सपेंशन का सबसे अच्छा फायदा क्या होता है आपको ऐसी मैनिपुलेशन ऐसी मैनिपुलेशन करनी नहीं पड़ती एक्सपेंशन लगाओ सीधे टर्म्स कटेंगे सीधे आंसर आएगा पटाक से जैसे कि यहां पर यहां पर अगर लन की एक्सपेंशन की बात करें मैं यहां पर लिख देता हूं ताकि आप रेफर कर पाए x - एक स् बा 2 प् एक् क बा 3 सो न इस एक्सपेंशन होती है तो पहले प एक्सपेंशन लगाइए इस पे यह क्या बन गया सर जी एक माइन एक् स् बाटू आगे की एक्सपेंशन में नहीं लगा रहा छोटा सा राज अभी बता देता हूं डिटेलिंग अभी करेंगे नीचे जो पावर होती है ना एक्सपेंशन उसी पावर तक लगाई जाती है उसके आगे की नहीं लगाई जाती ओके सर ऐसे ही दूसरे की एक्सपेंशन भी देख लो अब माइन 2 इन h - h स् / 2 और आप देखो जैसे ही आपने एक्सपेंशन लगाई सवाल खत्म हो गया लिमिट h टेंड्स टू 0 सारे टर्म अपने आप ही कट पिट जाएंगे 2h - 2h स् - 2h + h स् आंसर आ गया आपका - h स् / h स् दैट इज़ -1 एक्सपेंशन का सबसे ज्यादा फायदा क्या होता है आपको कोई भी मैनिपुलेशन करनी नहीं पड़ती अपने आप टर्म्स कट जाएंगे अपने आप ही आंसर आ जाएगा सेम इससे पहले कि मैं आगे चलू प पले फॉर्मेट देख लेते हैं पा बा फ है तो लन ऑफ t पाई बा 4 कितना होता है सर लोन ऑफ न पाई बा 4 हो गया सर नव जीरो और नीचे भी जीरो पाई बा फ था अच्छा नहीं लग रहा और शक्ल पहले से बदसूरत है तो मैंने क्या किया पाई बा 4 - x को t पुट कर दिया तो सवाल क्या बन गया लिमिट t आ गया आ गया आ गया आज थोड़ा सा ये सिस्टम थोड़ा तंग कर रहा है बार-बार थोड़ा सा हैंग हो रहा है इसको हम चेक करवा लेंगे बाद में ओके फिलहाल के लिए इसको कंटिन्यू किया जाए आ गया आ गया अब ये ठीक है आवाज ओके सो हमने x - 5/4 को t पुट कर दिया और यहां वैल्यू डाल दी और कुछ नहीं किया अब इसको ओपन कर लेते हैं देखते हैं क्या बनता है लिमिट t टेंड्स टू 0 अंदर इसको ओपन किया तो यह बन गया 1 प् t t अपन 1 माइ t t डिनो मिनेट में क्या आ गया 1 माइन 1 प् नटी अपन 1 माइन नटी अभी तक मुझे यह नहीं पता कि एटली शक्ल क्या बनने वाली है मुझे यह पता था तो सीधे तो हो नहीं रहा तो एटलीस्ट लिमिट को जीरो बनाए शक्ल देखते फिर क्या बनेगी फिर फॉर्मेट बना लेंगे तो अभी मेरे पास आ चुका है सर जी ऊपर तो चलो ये सिंपल ऐसे ही रहेगा 1 + t t / 1 - tan0 नीचे ये जब एलसीएम लिया तो - 2tan t नीचे आ गया उसको यहां लिख लेते हैं 1 - tan0 ये शक्ल बनी है जो मुझे अी सॉल्व करनी है अब ध्यान से सुनना सबसे पहली बात आपको अपने आप को बता देनी है कि यार यह तो मुझे दुखी कर नहीं रहा डू यू एग्री भैया अगर t 0 है तो यह वन बन रहा है यह दुखी नहीं कर रहा मेरे को इसको देखना ही नहीं है यह नीचे रो बैठा हुआ है हां सर t0 तो यह ़ तो ऊपर लोन के अंदर जो बैठा है वह लोन ऑफ 1 + 0 बनाना पड़ेगा एग्रीड अगर ऊपर मैंने लोन ऑफ 1 + 0 बना दिया तो नीचे सेम जीरो आ गया भैया आई एम हैप्पी तो बात थी ऊपर लन ऑफ 1 प् 0 बनाने की इसे 1 प् 0 कैसे बनाएंगे न प्लस कर दो न माइनस कर दो वन ऐड कर दिया और यहां पे वन सबै कर दिया बात है कि लन ऑफ 1 प् 0 बनाना था तो हमारा सवाल बन गया लिमिट t टेंड्स टू 0 लन ऑफ यह बन गया 1 प्स 2tan t अप 1 - t t ओ मैं तो लगता है तू भी नीचे ही आ जा पुतर बेटा जी अंदर जो जीरो बैठा है वो तो इसकी टर्म में है इसको भी यहीं रख लेते हैं इसके साथ ही और कितनों को दिख रहा है सवाल खत्म हो गया लोन ऑफ 1 प् t0 तो ये 0 है 0 अपव लन ऑफ 1 प् जीरो और नीचे सेम जीरो रेडीमेड बैठा हुआ था बेटा चिल्ला चिल्ला के कह रहा था मुझे यूज कर लो मुझे यूज कर लो नीचे रेडीमेड बैठा था तो बेटा जी ये पूरे का पूरा बन गया वन आंसर आ गया -1 इट इज ऑल अबाउट कॉन्फिडेंस एंड बेसिक अंडरस्टैंडिंग कि चलना कैसे था पहले कॉन्फिडेंस से ये किया क्योंकि सीधे कुछ हो नहीं रहा तो एटलीस्ट लिमिट ज़ीरो बनाए जैसे ही लिमिट ज़ीरो बनाई भैया नीचे कुछ ऐसा जरो आ गया था तो हमने कहा लन के अंदर फिर 1 + 0 बनाते हैं जैसे ही बनाया सवाल खत्म हो गया दैट इज एक्चुअली हाउ यू हैव टू थिंक अबाउट द क्वेश्चंस आप जब लिमिट्स करेंगे फिर आ गया एक्सपो हैशियम लिमिट बहुत ही प्यारी-प्यारी कुची पूछ e पावर 0 - 1 / सेम 0 1 और अगर e की जगह पे a आ जाए तो लिमिट होती है लन a a पा 0 -1 बा सेम 0 लन a ये है एक्सपो शियल लिमिट शक्ल बनानी है बस यह रही आपकी एक्सपो शियल की एक्सपेंशन e पावर x की एक्सपेंशन और ये फॉर ऑल x है x छोटा है बड़ा है नेगेटिव पॉजिटिव जैसा मर्जी दिस ऑलवेज होल्ड बहुत बढ़िया पारले जी आप जो आंसर कह रहे हैं बेटा वो तो सवाल ही और x स् = 2 पा y + 20 23 पहले तो ये बताओ ये सवाल चल रहा है ये लिमिट तुम पूछ रहे हो अलजेब्रा वो भी कुछ ऐसा मुश्किल सवाल लग नहीं रहा बेटा y को वन ले लो परफेक्ट स्क्वेयर बन रहा है 2025 जो होता है परफेक्ट स्क्वायर होता है 45 का शायद तो x 45 आ जाएगा y 1 आ जाएगा कैसे घटिया सवाल पूछते तुम लोग यार इधर आओ सो इवेलुएट द फॉलोइंग लिमिट x टेंड टू 0 अब देखो यहां पे क्या है आपको दिखा a पावर x जैसे ही दिखा a पा x देखो इट्स अबाउट कंपलीटिंग द फॉर्मेट बता रहा हूं जब भी e पा जीरो दिखेगा फटाफट शक्ल बना दो जहां भी a पा 0 दिखे फटाफट शक्ल बना दो क्योंकि एक्सपोटल का और कोई फॉर्मेट ही नहीं है सेम लग का भी और कोई फॉर्मेट ही नहीं है इनका एक एक फॉर्मेट ही है और यही सबसे बड़ी होती है क्या कहते सेंस क्या हेल्प की फॉर्मेट ही एक है तो जब यह आ गया मैं फॉर्मेट बनाऊंगा तो ए पा एक् था ना माइव प्रोवाइड कर दूंगा यह बी पा एक् था य माइव प्रोवाइड कर दूंगा प्लव प्व करने की जरूरत नहीं क्योंकि आपस में कट रहे हैं तो एडजस्टमेंट सेटल हो गई नीचे एक्स बैठा है खत्म हो गया तो लिमिट एक्स ट टू 0 ए पावर एक्स माइव बा एक्स माइनस लिमिट एक्स ट टू 0 बी पावर एक्स माइव पावर एक्स एक ही स्टेप में लिमिट लगा दो य लोन ए बन गया माइनस लोन बी बन गया खत्म हो गया लन ए बा बी आंसर आ गया कुछ था ही नहीं ऐसे ही यहां पर अब यहां मुझे चीज छोटी बतानी भी है जब मैं इस सवाल को देखता हूं तो मेरे दिमाग में सीधे इसके फैक्टर आते हैं ऐसे ये बात है कि क्या तुम्हारे दिमाग में य फैक्टर्स आते हैं नहीं आते तो सुनो जब भी तुमको चार नंबर दिखे एक है मैं वेरिएबल कुछ और यूज कर लेता हूं प क यूज कर लेता हूं हा ऐसे करलो एक है प एक है क एक है प क और एक है वन यह चार नंबर जब भी आएंगे चार नंबर जब भी आएंगे हम फैक्टराइज हो जाएगा बहुत बढ़िया यह क्या था ए पावर x इन बी पावर x यह क्या था ए पावर x यह क्या था बी पा एक और यह क्या था व 1 प क प क जब भी ये चार नंबर आएंगे तुम्हारे पास यह हमेशा फैक्टराइज होंगे अब बीच में प्लस माइनस जैसे भी होंगे उसके हिसाब से फैक्टर बनते जाएंगे जैसे भी प्लस माइनस है उसके हिसाब से फैक्टर बनेंगे बट आइडिया इज यू शुड बी कॉन्फिडेंट कि के फैक्टर बनने वाले हैं इसके फैक्टर बनने वाले हैं ये आपको कॉन्फिडेंस होना चाहिए अगर ये है तो ये सवाल आप पहले स्टेप में फैक्टराइज कर देंगे खा जाइए इसको तो ये क्या बन गया एक x इसको दे दो एक x इसको दे दो लन a और लन b आंसर आ गया दिस इज एक्सपो शियल का आपका लिमिट का कांसेप्ट यहां बस आपको डराने के लिए शक्ल बना दी है आईडिया वही रहेगा जो पहले सीख चुके हो जैसे ही आपके आगे सवाल आएगा अगर आप इसको घटिया मानकर कर पा रहे हो मतलब आप लिमिट्स का मतलब समझ गए हो लिमिट्स का सबसे पहला मतलब क्या होता है डिनॉमिनेटर को खुश करिए डिनॉमिनेटर में बैठे हुए हैं चार जीरो इसे खुश करने के लिए चार जीरो लगेंगे अब मैं देखूंगा कि ये चार जीरो क्या ऊपर सेट किए जा सकते हैं हां जी सर e पावर x स् - 1 को दो जीरो चाहिए होंगे e पा 0 -1 सर लॉन ऑफ लॉन ऑफ 1 प् साइ स्क्वा को भी दो जीरो चाहिए होंगे तो ये चारों जीरो पर एडजस्ट हो जाएंगे इसे दो जीरो दिए यहां पर एडजस्टमेंट कर दी इसे दो जीरो दिए सेम जीरो देने यहां पर एडजस्टमेंट कर दी यह दो इससे कट गए और यह दो साइन स्क्वा से जुड़ गए x स् सान स्क से जुड़ गया तो आंसर क्या आ गया 1 * 1 अप 4 1/4 इ आंसर अगर वाल आपके लिए घटिया मतलब आपने लिमिट सीख लिया बेसिक कांसेप्ट सीख लिया है सिर्फ फॉर्मेट याद होने चाहिए और चीजों को खुश करना आना चाहिए और पता होना चाहिए कि शुरुआत डिनॉमिनेटर से करनी है पहले डिनॉमिनेटर को खुश कर दो फिर आगे गाड़ी चलती रहेगी नेक्स्ट आता है फॉर्मेट वन पावर इनफिनिटी वन पावर इनफिनिटी फॉर्मेट तो वन पर इनफिनिटी क्या होता है 1 प् 0 पावर इनफिनिटी दिस इज द फॉर्मेट आपको ये याद रखना है वन पा इनफिनिटी याद नहीं करना 1 प् 0 पावर इनफिनिटी जहां पर सवाल में रो की जगह पर आपको f एक दिखेगा और इनफिनिटी की जगह पर g एक दिखेगा ठीक है जी और इसका हम डायरेक्ट रिजल्ट लगाएंगे आपको इस रिजल्ट को प्रूफ करने नहीं बैठ जाना डायरेक्ट फार्मूला है इसकी लिमिट होती है e रे टू पावर लिमिट f नज f नज ट्स इट तो आपने हमेशा ऐसे पढ़ना है 1 प् 0 इफिनिटी य वन होना चाहिए यहां पर जीरो होना चाहिए य इनफिनिटी वो रहा आपका आंसर ठीक है तो एक बार य पर फॉर्मली लिख भी दिया गया है मैं सवाल में लगा के दिखाता हूं क्या आपको यहां पर न प्लस 0 देखलो भैया जीरो पावर में इनफिनिटी दिख रहा है क्या आपको य प् 0 पावर इनफिनिटी दिख रहा है अगर दिख रहा है तो यह आपका क्या है ए और ये आपका क्या है जी तो आपने सीधे लगाना है रिजल्ट e रे टू पावर लिमिट f नजी कट कट आंसर आ गया e प ए ट इ बेसिक कांसेप्ट बहुत बढ़िया अगर शक्ल थड़ी बदसूरत आ गई अब क्या किया जाए सबसे पहले तो हम एक्स को जीरो रख के देखेंगे शक्ल बन क्या रही है है ना भैया अगर सीधे ही आंसर आ जाए कितनी अच्छी बात है हमने जब एक्स को जीरो पुट किया अंदर क्या बना 2 बाटू यानी कि न पावर में क्या बना न बा जी या इनफिनिटी तो हमने आइडेंटिफिकेशन एक वन यहां माइनस कर दिया बस सवाल खत्म हो गया बेटा जी चलो आपके लिए एक और स्टेप कर देता हूं जरूर तो नहीं है पर चलो बीच वाला स्टेप भी कर ही देते हैं एलसीएम ले लीजिए -4 एक् स् अप 7x स् प् 2 ठीक कर रहा हा ठीक कर रहा हूं पावर न बाय इनफिनिटी अब आप खुद ही देख लीजिए क्या यह जीरो है सर जी एक जी तो यह जीरो ् 0 पावर इनफिनिटी तो आंसर क्या बन गया सर जी e रे टू पावर लिमिट f * g - 4x स् / 7x स् + 2 * x स् ये कट गया इसके साथ - 4/2 बचा - 4/2 तो आंसर आ गया e पावर -2 व्हिच इज ऑप्शन सी वेरी गुड क्या बात है चित्रांश बमर बहुत बढ़िया नाइस ट इ हा य थिंक इन दिस फॉर्मेट इस कुछ है ही नहीं फर्मेट में शक्ल बनाने के लिए व आपको डराने के लिए ऐसी चीज दे सकते हैं बस डरना नहीं पहले कॉन्फिडेंस रखना है यह सबको याद है रे टू पार लन ऑफ ए ए के बराबर होता है सबको पता है तो सबसे पहले तो मैं इस एक्स को उठा के इधर लेकर जाऊंगा तो आपका पहला टर्म क्या बना e रे टू पावर लन 2 पावर x - 1 पावर x e और लन कैंसिल हो गए तो बचा क्या 2 पावर x -1 पावर x हां जी एग्रीड इसको पावर में ले जाओ e और लॉग कैंसिल हो गया आपस में दूसरा टर्म क्या है दूसरा टर्म भी सेम ही है अच्छा ओ साथ में मल्टीप्ला भी है मैं कट के री खुशी वाला माहौल बन गया मैं कट ही गया यहां पे अगेन इस x को पावर में ले जाइए तो x पावर x सवाल ये है आपका तो पहले तो शक्ल को थोड़ा सा साफ सुथरा बना लीजिए बेसिक लॉ की प्रॉपर्टी लगा के अब अगर देखे कि करना क्या है देखो एक बात तो माननी पड़ेगी कि क्योंकि यहां पर यह पावर x एक्स एक्स बैठा है और होल पावर 1 बा एक है तो क्यों ना पहले इस पावर को खत्म ही कर दिया जाए तो मैंने ऊपर से 2 पा x - 1 को कॉमन निकाला यह पावर x और यह x कट गया नीचे से x पा x को कॉमन निकाला पावर x कट गई अंदर बचा 1 - sinx-cosx गए तो हमने पहले तोय पावर एक्स एक् थी य बा एक था उसको हटा दिया मुझे नहीं पता आगे क्या होना इतना पता लॉजिकल स्टेप यही दिख रहा है पले साफ सुथरा तो बनाओ अब क्या यह खुश है हां जी सर यह तो लग टू बनके खुश है अच्छा क्या यह खुश है सर जी यह तो 1 प्स 0 ओ हो 1 प् 0 पावर इनफिनिटी बन रहा है सर जी खुश है तो नहीं पर मैं खुश करना जानता हूं e ^ पावर fxxx.pro पा 1 बा एक कितने बच्चे समझ पाए मैंने लिमिट को ब्रेक किया और मैं लिमिट ब्रेक कर सकता हूं क्योंकि यह दोनों ही टर्म्स जो है इनकी लिमिट फाइना इट है और नॉन जीरो है बोलो आगे नजारे बल्ले बल्ले तो यहां पर आपने छोटा सा एप्लीकेशन देखा कि लिमिट को ब्रेक करना कभी कभार पड़ जाता है पर आपको पता होना चाहिए कि कब आप कर सकते थे वेरी गुड नॉन जीरो फाइना इट है नाउ आता है लिमिट यूजिंग एक्सपेंशन इसे जरूर सीख लो चाहे तुमने पहले पढ़ा नहीं पढ़ा जो मर्जी बहुत बच्चे एक्सपेंशन को एक्चुअली लगाना ही नहीं जानते होते राइट और हम यहां पे एक्सपेंशन का एडवांस लेवल तक का सवाल करेंगे पूरा ध्यान से सीख लेना इसके बाहर एडवांस का मतलब लिमिट्स के एक्सपेंशन का कोई सवाल ही नहीं है आराम से सीखना एक्सपेंशन होती क्या है कि हमारे पास एक दोती चर पाच और ये रहा बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स टोटल छह एक्सपेंशस होती है इनमें से सिर्फ एक लॉग वाला एक्सपेंशन और एक बानो मियल वाला एक्सपेंशन ये छोटे x के लिए होल्ड करते हैं इसके अलावा सारे एक्सपेंशन कभी भी लगाए जा सकते हैं इन्हे याद करना पड़ेगा इसका कोई भी सब्सीट्यूट नहीं है याद तो करना ही करना है न वाला चाहे तो बच्चे मिस कर देते क्योंकि बदसूरत सी होती पैटर्न कोई होता नहीं बाकी सब में पैटर्न होता है सुंदर दिखती है रा धी आपको याद हो जाएगी अभी तो यूज करना सीखेंगे कर पाओ अच्छी बात है नहीं हो तो बहुत नुकसान मैंने नहीं देखा तक मतलब मुझे भी याद नहीं है बेसिकली न की अब आता है इसका सवाल सबसे पहले सवाल में देखो एक्सपेंशन लगाई कैसे जाती है एक्सपेंशन का सबसे पहला रूल होता है डिनॉमिनेटर की जो सबसे छोटी पावर है उसको पकड़िए सबसे छोटी मतलब अगर यहां पर दो टर्म्स होती तो मैं एक्स पावर 3 को पकड़ता ओके अगर दो टर्म्स होती तो एक् परवर 3 को पकड़ता तो डिनॉमिनेटर की सबसे छोटी पावर को पकड़ लीजिए न्यूमरेशन में आप जब एक्सपेंशन लगाएंगे तो बस इतनी पावर तक की ही टर्म्स क्रिएट करेंगे उसके आगे की नहीं करनी करनी है कर लो उनका कोई रोल नहीं आएगा बस आपका टाइम वेस्ट होगा तो सबसे पहले मैंने लगाई सा एक् की एक्सपेंशन सा एक् की एक्सपेंशन क्या बन गई सर जी x माइ एक्स क बा 3 फैक्टोरियल इसके आगे मैं नहीं जाऊंगा फिर मैंने लगाई क एक की एक्सपेंशन 1 माइ एकस स् बा 2 फ्ट प् एक्स पावर 4 बा 4 फैक्टोरियल इसके आगे फो की भी जरूरत नहीं थी मुझे 4 की भी जरूरत नहीं थी ऐसे और इसके बाद लग की एक्सपेंशन अभी केलिए एक्सपेंशन याद नहीं होंगी मैं सीधे लगा रहा हूं धीरे-धीरे आपको एक्सपेंशन याद होंगी अभी लगाना सीखिए तो ये आ गया x - x स् बा 2 + x क बा 3 ओके ये बनेगी इसकी एक्सपेंशन ठीक है इसके बाद एक ही स्टेप होगा और वो आपका आंसर वाला स्टेप होगा दैट्ची बताऊं तो आप सीधे आंसर लिख सकते हैं x क वाले टर्म्स बचा ली लीजिए बाकी सब कट जाएंगे क्योंकि नीचे x क है ना ऊपर जितने भी छोटे टर्म होंगे वो कटेंगे ही कटेंगे वो बच ही नहीं सकते क्योंकि अगर ऊपर छोटी पावर बच गई और नीचे x क है बेटा जी 1 बा x तो इंफाइटिंग टू रो है ना तो 1 बा x तो इनफा हो जाएगा तो ऊपर छोटी टर्म बच ही नहीं सकती यानी कि आप विद प्रैक्टिस एक कॉन्फिडेंस गेन करिएगा मूमेंट मैंने एक्सपेंशन लगाई नीचे x क का कफिट है ना तो ऊपर भी बस x क्यूब वाला टर्म देख लो - 1/6 और - 1/3 और नीचे x क्यूब का कफिट वन यही आपका आंसर होगा बाकी टर्म कटेंगे कटेंगे हमेशा यू कैन सेव योर टाइमलाइन एक ये टर्म एक ये टर्म और एक ये टर्म सवाल खत्म दैट इज हाउ यू अप्लाई एक्सपेंशन कहता है इसकी वैल्यू 17 के बराबर है जही का सवाल है ए और बी के बारे में पूछा गया है तो आपने फिर से क्या मेथड लगाना है सबसे पहले आपने डिनॉमिनेटर को देखना है कि कितने जीरो बैठे हुए हैं सर जी ये है 2s स् x इसे खुश किया तो नीचे सर x स् है सबसे छोटी पावर डिनॉमिनेटर को सेटल करने के बाद देखो कितने ज़ीरो बचे दो तो न्यूमरेशन में आपने दो तक की एक्सपेंशन लगानी है सबसे पहले एक्सपेंशन लगाइए a प x की 1 + ax8 स् x स् / 2 फिर आपने लगाई cosx-sinx 1 माइ बी स् एक्स स् बा 2 फ्टो और फिर आपने लगाई य जो बचा हुआ पार्ट है माइन स एक बा 2 इन e पावर माइन सव माइ सी एक प् स स् एक्स स् बा 2 बस एक्सपेंशन को कायदे से रखना बस यह रखना वैल्यू दी हुई है 17 अब आपसे ए बी पूछा गया है चलो टर्म्स को जोड़ा जाए पता है ना जोड़ने के बिना भी हो सकता है ऊपर सिर्फ x स् की टर्म बचनी चाहिए ऊपर और कोई टर्म नहीं बचनी चाहिए तो सीधे ही लिख दूं अगर अलाव कर दो ऊपर कांस्टेंट टर्म क्या थी सर ऊपर कांस्टेंट टर्म थी वन माइव सर और कुछ नहीं थी सर ये जीरो बन रही है सर ओके ऊपर एकस वाली टर्म क्या थी सर ए सर यहां पर माइन सी बाटू ये क्या होनी चाहिए सर जीरो होनी चाहिए जीरो सर लिमिट ही तब आएगी सर अच्छा ऊपर x स्क्वा की टर्म क्या थी सर एक स्क की a स्क बा 2 प्लस बी स्क बाट और वहां से आ गई वैसे ये भी एक्स्ट्रा लिख इसकी जरूरत थी नहीं क्योंकि यहां से x स् बन गया था इसकी जरूरत ही नहीं थी चलो प्लस स स् बाटू ये कितनी होनी चाहिए सर जी ये इतनी होनी चाहिए कि ऊपर x स् ये है नीचे x स् 1 है इनकी वैल्यू 17 के बराबर आनी चाहिए थी सर एग्रीड फटाफट बोलो एग्रीड सॉरी अ नीचे ओ वेट वेट वेट वेट वेट नीचे टू था 2 ये 17 के बराबर होनी चाहिए थी सवाल निपट गया यहां से हमें a स् b स् की वैल्यू पूछी थी a को c को खत्म कर दो a स् / 2 + b स् / 2 c की वैल्यू डाल दो 2a तो ये बन गया 4a स् बा 2 = 34 2 को क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो 68 आंसर आ गया इस सवाल को एक बार रिपीट जरूर कर लेना चाहे पूरा समझ भी आ गया हो एक बार रिपीट कर लेना मैं बता रहा हूं कॉन्फिडेंस अनदर लेवल आ जाएगा तुम्हारा अच्छा यह आ गया अच्छा सवाल यह सीधे होने वाला सवाल नहीं है इसे ध्यान से समझना अभी के लिए हो सकता है मैं सजेस्ट करू कि अभी के लिए याद ही कर लो कुछ चीज ऐसी होती है जो बिगिनिंग में याद करनी पड़ती है पर धीरे-धीरे फिर आपको चमक शुरू होती है ये उनमें से एक है तो देखिए सबसे पहली बात यह जो प्रॉपर्टी होती है e पा लन n इज n इसको मैं यहां पे उल्टा लगाने वाला हूं मेंटोस जिंदगी 1+ x पावर 1 बा x थी इसे मैं लिख रहा हूं e लन 1+ x पावर 1 बा x किसी को दिक्कत रीजन दूंगा बाद में टेंशन ना लो रीजन बाद में दूंगा कि ऐसा क्यों कर रहा हूं किसी को दिक्कत इसमें बोलो फटाफट किसी को लग रहा है कि पड़ोसी बुलाने पड़ेंगे इसमें मैंने ए मैं य पर कलर कोडिंग कर देता हूं तुम्हारे लिए यह जो ए था इसे ऐसे लिख दिया ऐसे लिखा मैंने कोई दिक्कत तो नहीं नो दिक्कत सर - e प् 1/2 होल डिवाइड बाय एक्स स् वेरी गुड अब मैंने क्या किया अब मैंने लगाई एक्सपेंशन लोन ऑफव प् एक्स पाव था इसको काट कर मैं यहां पर ले आया और लोन की लगा दी मैंने एक्सपेंशन लोन 1 प् एक्स की लगा दी मैंने एक्सपेंशन क्या होती है x माइ एकस स् बा 2 + x क / 3 इसके आगे मैं नहीं लगाऊंगा इसके आगे नहीं लगाऊंगा क्यों नीचे x स् था ऊपर x स् तक पहुंच चुका हूं ये 1 / x इससे मिलके x स् बनाएगा इसके आगे x क बड़े टर्म्स आएंगे मुझे जरूरत नहीं है बस लिखना है लिख लो तुम्हारा टाइम वेस्ट होगा अगर लगता है लिख के पहले और क्लेरिटी लेनी है लिख लो जरूरत नहीं मैं तो ये कह रहा हूं बस नीचे आ गया x स् तो फाइनली सवाल ये बन गया लिमिट x टू 0 e की पावर में है 1 माइ एक बा 2 प् x स् बा 3 माइन e माइ e बाट होल डिवाइड बा एक्स स् नाउ आता है लास्ट स्टेप अगर एडवांस का टारगेट है इस सवाल को ध्यान से देखना तुम्हें नहीं लगता कि अब मैं इसकी एक्सपेंशन लगा सकता हूं भैया ये तो e है और ये इ x बाट e पावर नहीं है e इन x बाट नीचे x स् बैठा है तो क्यों ना इसकी एक्सपेंशन लगा दी जाए स्क्वायर तक बहुत बढ़िया मनन तो मैंने इसकी एक्सपेंशन लगाई कहां तक जहां तक मेरे पास x स्क के टर्म आ रहे हैं राद मैं कहता हूं इसमें ना e को अलग कर लो दिस इ e इन e पावर माइ एक बा 2 प् x स् बा 3 थोड़ा छोटा हो जाएगा टर्म एक्सपेंशन लगाने के लिए तो यह बन गया लिमिट एक्स टेंडिंग टू 0 e पूरा e बाहर निकाल दिया अब e पावर इसकी मैं एक्सपेंशन लगा रहा हूं इसकी एक्सपेंशन पहला टर्म e पावर x क्या होता है सर वन से शुरू होता है 1 प् x - एक बाट प् x स् बा 3 1 प् x क्या मुझे x स् वाली टर्म लिखनी चाहिए सर + / 2 आएगा प्लस था प्लस था प्लस था ओ थैंक यू बेटा थैंक यू ओके 1 + x भाई ध्यान रखना है नीचे मेरे पास x स् है ऊपर मुझे x स् से बड़ी टर्म कोई नहीं लिखनी तो यहां पे एक बार थॉट आता है 1 प् x पे रुक जाते हैं गलत क्यों जब आप x स् बाट लिखोगे ट्राई टू सी इसके स्क्वायर ओपन करने पे एक टम एक्स स्क वाली बनेगी वो टर्म मुझे चाहिए होगी और यही वो स्टेप है दिस स्टेप एंड दिस स्टेप आर द टू की स्टेप्स ऑफ दिस क्वेश्चन कि आपको यहां पर यह टर्म लिखनी है क्योंकि यहां पर एक स्क बनेगा इसके आगे क्यूब आएगा वहां पर x स् बनना बंद हो जाएगा तो यह स्टेप जो है सबसे इंपोर्टेंट है एक इसके बाद बस इसके आगे एक्सपेंशन और नहीं लिखेंगे तो यह आपने लगा दी पहली एक्सपेंशन इतनी इसके बाद है - e और + e / 2 अब आपका आंसर आ गया है इसके आगे आपको कुछ नहीं करना मूमेंट आप एक्सपेंशन लगा देते हो तो सबसे बड़ा फायदा एक्सपेंशन का होता ही यह है कि आंसर आ गया e * 1 और - e आपस में कट गए - / 2 - / 2 और ् x / 2 कट गए ऊपर x स् के साथ क्या बचा सर जी e / 3 और यहां पे क्या आएगा सर a स् यानी कि 1/4 और नीचे 2 1/8 e / 8 सॉरी e / 8 मैं e को बाहर रख देता हूं 1/3 और 1/8 ऊपर x स् का कॉएफिशिएंट यहां से आएगा a स् में आगे b स् में x पावर 4 बनेगा 2ab में x क बनेगा वो मुझे चाहिए नहीं बस 1/4 आया और नीचे टू था 1/8 और नीचे आ गया x स् कट कट दिस इज योर आंसर ये बन गया 11/24 e 11 / 24e बहुत ही प्यारा सवाल है हो सके तो इसको रिपीट जरूर करना ये काफी सारे कांसेप्ट आपके क्लियर करेगा इस सवाल में राइट अब भाई कि यह क्यों किया था बात यह थी कि यहां पे ये शक्ल जो बनी हुई थी एक बार तो लगता सर 1 ् 0 पावर इनफिनिटी लिमिट लगा देते हैं पर लिमिट लगाने स क्योंकि लिमिट तो पूरे पर लगेगा और अगर पूरे पर लगाते तो यह बन रहा था e माइनस e कट रहा था और यह जीरो तो ऊपर जीरो बन रहा था और नीचे भी जीरो बन रहा था तो इसम लिमिट लगा के फायदा नहीं हो रहा इंडिटरमिनेट फॉर्म बन रही थी इसलिए हमें इसे कुछ और तरीके से टैकल करना था हेंस दिमाग में आई एक्सपेंशन इसको ऐसे लिखा ताकि एक्सपेंशन लगा पाए बहुत ही प्यारा सवाल है ये लो जी अब आ गया यह सवाल इसके दो तरीके पहले बता दूं जीरो है ऊपर जीरो बैठा है नीचे भी जीरो बैठा है तुम या तो क्या करोगे रशन इज भया रूट बैठे पहला स्टेप रशन तो दिमाग में आ ही जाता है जो कि यहां पे किया हुआ है बाय द वे लिख लेना पर तुम्हें पता हम क्या लगाएंगे मेंटोस जिंदगी फटाफट बता दो जो बच्चे शुरू से बैठे हैं बता सकते हैं हम यहां पे मेंटोल जिंदगी कैसे लगाएंगे क्या करेंगे यहां पे फटाफट बताओ मैं अभी मुड़ के देखूंगा मुझे आंसर चाहिए चैट में में हम क्या करने वाले हैं यहां पे बानो मियल बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स 1 प् 0 1 प् x पावर n को ऐसे लिख दिया जाता है जब भी रूट आते ना तो एक होता है रशन इज करो मैं मना नहीं करता बट अगर तुम अपने बानो मियल पर ग्रिप क्रिएट कर लेते हो यू आर गोइंग टू सेव अ लॉट ऑफ टाइम भैया वन यह रहा ये वन प्लस ये छोटा वैल्यू भैया x0 तो ये बहुत छोटा है इधर ये वन रहा और ये रहा छोटा वैल्यू तो भाई आपने चे क्या किया 1 प्लस इसकी पा चलो मैं लिख देता हूं तुम्हारे लिए 1 प् x स् प् 2 साइन पावर कितनी थी हाफ 1 प् साइन स्क्वा - x पावर कितनी थी हाफ ये तुम्हारे लिए लिखा वरना मैं कभी ना लिखता मैं सीधे बानो मियल एक्सपेंशन लगा देता x + 2 टाइम बचाने के लिए हमने साइन को ऐसे लिख दिया है एक्स टेंडिंग टू जीरो 2 साइन अब इसे क्या लिखेंगे सर 1 प्स हाफ एक्स स् प् 2 साइन सर ऊपर जब आप एक्सपेंशन लगा रहे थे तो भाई आपने सिखा दिया जो नीचे की स्मले डिग्री है ना न्यूमरेशन में उतनी एक्सपेंशन लगाते हैं डिनॉमिनेटर का कैसे डिसाइड करें कि कहां तक एक्सपेंशन लगाए प् हाफ n एक तक लिखे या n इन n-1 एक स् बा 2 तक लिखे कहां तक लिखे तो सीधा कांसेप्ट होता है नीचे की डिग्री स्मालेस्ट रखनी होती है ट्स इट तो नीचे मिनिमम एक्सपेंशन लगाएंगे गॉट इट यह पहले पर लगाया और यह दूसरे पर लगाया मिनिमम सर मिनिमम तो फिर वन ही हो जाता 1 प् एक्स पावर ए में 1 प् एक्स पावर ए में तो मिनिमम तो वन है यह तो उसकी अगली टर्म है आपने यह भी क्यों लिखी अगर आप मिनिमम कह रहे हो बेटा मैंने मिनिमम ही लगाया क्योंकि वन जो था वो दोनों कट रहा था वन कट रहा था नीचे तो नीचे मैंने मिनिमम ही लगाई है अगर केला न लिखता नीचे जीरो आ रहा था निधारे दिख गए शाबाश बस अब खुश कर दो यार अब तो क्या ही करना है अब ऊपर नीचे एकस एक्स से डिवाइड मार दो क्योंकि इसको खुश करने के लिए x चाहिए इनको खुश करने के लिए x चाहिए बस और कुछ नहीं करना मूवमेंट आपने एक्सपेंशन सही से लगा दी है ना आपको कुछ करने की जरूरत ही नहीं है 1 + 2s x बा x नीचे भी x से डिवाइड करिए ये बना x / 2 ये बना sinx-cosx 1 बाटू ऊपर नीचे एक से डिवाइड किया क्यों क्योंकि मुझे इसको खुश करना था बस और कुछ नहीं एक्सपेंशन का सबसे बड़ा फायदा है कि आपको उसका कुछ करना ही नहीं पड़ता ट्राई टू सी यह कितना बन गया वन यह कितना बन गया वन और अगर किसी ने थोड़ा भी नाक चढ़ाया जब मैंने इसको जीरो कहा मैं बता रहा हूं मैंने सॉरी मैंने ना कैमरे के अंदर आके वो बन जाना वो जो थे ना वो बॉक्सर थे बहु अच्छे वाले क्या नाम था उनका यार मोहम्मद अली बता रहा हूं मैं जीरो साइन स्क एक्स बा एक्स है एक x से मल्टीप्लाई डिवाइड किया तो यह 1 इन 0 जीरो ठीक है और यह भी कितना आ गया जीरो तो आपका आंसर आ गया आराम से 1 प् 2 3 3 अप 1 प् 3/2 3 / 3/2 दैट इज ू इज आंसर तो इस सवाल को दोनों तरीकों से करना है रशन इज तरीका आम तरीका है एक्सपेंशन बढ़िया तरीका हो सकता है यहां पर आपको लगे दोनों बराबर से लग रहे हैं बट जो बानो मियल लगाना सीख जाता है ना उसको बहुत फायदा होता है देन कम्स एल हॉपिटल रूल तो हम सेशन के आखिर की ओर बढ़ रहे हैं एल हॉस्पिटल रूल क्या कहता है एल हॉस्पिटल रूल ना हमें लिमिट निकाल के नहीं देता हमें लिमिट का एक इजियर वर्जन दे देता है मतलब अगर आप जो लिमिट निकाल रहे हैं वो 0 बा 0 या इंफाइटिंग है एल हॉस्पिटल पे पहला एल हॉस्पिटल आपको लिमिट की वैल्यू नहीं देता वो कहता है कि यह लिमिट इस लिमिट के बराबर है वैल्यू आगे आपको खुद ही निकालनी है और नॉर्मली देखा गया कि ये इससे आसान लिमिट होती है ओके सेकंड एल हॉपिटल रूल में हम f बाज को डिफरेंशिएबल करते हैं जी का डेरिवेटिव अलग करते हैं बहुत बच्चे बिगिनिंग में के क्श रूल लगा देते हैं नहीं करना क्ट रूल भैया ऊपर का डेरिवेटिव अलग नीचे का अलग जैसे कि अगर यहां बोला जाए कहता है लिमिट एकस टूव सबसे पहले देखो वन को पुट करके दिक्कत आ भी रही है नहीं आ र तो सीध आंसर आ जाएगा वन पुट किया 1 - 2 प् 1 0 1 1 -2 0 जीरो जीरो फॉर्मेट हमने लगाया एल हॉपिटल रूल एल हॉस्पिटल रूल तो यह कहता है कि भैया यह जो लिमिट है यह इस लिमिट के बराबर होगी ऊपर का डेरिवेटिव कर दो और नीचे का डेरिवेटिव कर दो इस लिमिट के बराबर होगी ड यू गेट माय पॉइंट एल हॉपिटल रूल ने आंसर नहीं दिया उसने बस यह बताया कि यह लिमिट इस लिमिट के बराबर होगी और माता रानी की कृपा से यह जो लिमिट है यह बहुत ही प्यारी है इसमें वन को सीधे पुट किया और आंसर आ गया माइन 5 ब 10 तो माइनस हाफ आंसर आ गया ट इज द पॉइंट बहुत बढ़िया ऐसे ही इसको देखो हमने देखा जी फॉर्मेट था नो डाउट सा x के एक्सपेंशन लगा के भी कर सकते हैं एक ही लाइन में हो जाएगा बट अभी एल हॉस्पिटल रूल सीख रहे तो उससे करेंगे अभी हमने लगाया एल हॉस्पिटल रूल तो हमने लिमिट एक्स टेंड टू 0 ऊपर का डेरिवेटिव किया 1 माइ क x और नीचे किया 3x स् ट्राई टू सी आंसर नहीं आया अभी जीरो को पुट करके भी आंसर नहीं आ रहा जीरो को पुट करके जीरो बा जीरो फॉर्म बन रही है तो सर ठीक है हम 1 माइन को को 2 साइ स् एक बाट लिख देते अब ये दोनों खुश हो जाएंगे ये दोनों एक्स इस को दे देंगे बाय 4 इन 4 तो सर यह पूरा वन बन गया और आंसर आ गया 1/6 परफेक्ट है हाइब्रिड कर दिया इस टफ लिमिट को इजी लिमिट से प्लेस किया इस लिमिट को सॉल्व कर दिया या फिर फिर से एल हॉपिटल रूल लगा दिया हमने कहा हम ठहरे सुस्त हमने कष्ट करना ही नहीं है फिर से लगा दिया सा एक अप 6x तो 6 तो एल होपिटल रूल एक से ज्यादा बार भी लगाया जा सकता है और लगाने के बाद कोई और मेथड भी लगाया जा सकता है राइट तो मैंने जो कहा ये लिमिट को एक इजियर लिमिट से रिप्लेस करता है लिमिट की वैल्यू नहीं निकालता और इसी चीज को यूज किया जाता है यहां पे यहां पे ध्यान से देखना जिसको अपना क्या कहते हैं चेन रूल याद है वेरी गुड वरना यहां पर मैं डिफरेंशिएबल याद नहीं है बट उसके अर जो कांसेप्ट बताऊंगा उस परे फोकस करिएगा तो मैंने भैया ऊपर नीचे किया डिफरेंशिएबल का डेरिवेटिव हुआ वो यह बना फिर क का डेरिवेटिव हुआ वो यह बना और फिर इसका डेरिवेटिव हुआ वो यह बना जिसको चेन रूल याद नहीं है टेंशन मत लेना अब इस डिफरेंशिएबल उस पर फोकस करना 4x -1 ये शक्ल बन गई अब हमने कहा चलो एक को जीरो पुट करते हैं कॉस 0 व भैया यह टर्म सुंदर थी ये कोई प्रॉब्लम क्रिएट नहीं करी वन बन रही थी पर जब हमने जीरो को यहां पुट किया थोड़ी सी प्रॉब्लम का एहसास हुआ यह जीरो बन गया चलो नोमर में आते हैं हमने यहां पर जीरो को पुट किया 1 बा कॉस 0 कोई दिक्कत नहीं इसको हमने यहां पर जीरो को पुट किया दिक्कत महसूस हुई साइन ऑफ 0 जीरो भैया नीचे जीरो आ गया यह तो बहुत दिक्कत वाली बात हो गई फिर हमने यहां जीरो को पुट किया फिर से कोई दिक्कत नहीं हुई माइव कहने की बात यह कि ऊपर नीचे जो ब्लू टर्म्स है ना वो कपरेट है वो प्रॉब्लम क्रिएट कर रही है यह प्रॉब्लम क्रिएट नहीं कर रहा यह प्रॉब्लम क्रिएट नहीं कर रहा तो बेटा जी मुद्दा यह है कि अगर आपको लगे कि एक पार्ट है जो प्रॉब्लम क्रिएट कर रहा है बाकी नहीं कर रहा तो पूरे पर एल हॉपिटल मत लगाइए सिर्फ उतने पार्ट पर लगा दीजिए कोई प्रॉब्लम नहीं है कांसेप्ट समझ गए इतने पर लगा दिया एल हॉपिटल रूल ऊपर का डेरिवेटिव 6 हो गया नीचे का आ गया माइनस कॉस 2x स् माइ x इन 4x -1 अब x को जीरो पुट कर दीजिए कहीं दिक्कत नहीं है सबको आईडिया चमक गया सो एल हॉपिटल रूल कैन बी अप्लाइड इन अ पार्ट प्रोवाइडेड कि वो वो वाला पार्ट है जो प्रॉब्लम क्रिएट कर रहा है और बाकी सारा पार्ट साफ सुथरा खुश बैठा है राइट फटाफट बता दो तो f नज है एफ में कोई दिक्कत नहीं आ रही जी में दिक्कत आ रही है तो सिर्फ जी में आप एल हॉपिटल लगा दीजिए बेसिकली हमने किया वही है हमने लिमिट ए और लिमिट जी को तोड़ दिया है ये अजूम करते हुए कि लिमिट जी में दिक्कत नहीं आ रही होगी जब हम निकालेंगे तो निकाला दिक्कत नहीं आ रही अब वैल्यू आ रही है यह बन रहा है -6 सॉरी छ बन रहा है खत्म हो गया तो आंसर क्या आ गया ये बना वन वो रेड पार्ट कितना बन गया 6स एक माइनस ये रहा एक माइनस ये रहा नीचे ये वन और ये -1 तो आंसर आ गया -6 तो एल ऑपरेटर रूल कैन बी अप्लाइड इन अ पार्ट व्हिच इज क्रिएटिंग प्रॉब्लम ऑफकोर्स वरना आप चाहो तो यहां पर इसको अलग से खुश कर लो 2x स् माइन x से मल्टीप्लाई डिवाइड करके भी चल सकते थे कोई दिक्कत नहीं थी ओके अब आ गया यह सवाल इस सवाल को ध्यान से देखना यहां पर एल हॉपिटल रूल का एक अलग तरह का वो देखा गया है एप्लीकेशन पर इससे पहले जो बिगिनिंग में कांसेप्ट कराया था याद दिला दूं अगर आप लिमिट निकाल रहे थे और आपको दिया गया था कि लिमिट एजिस्ट करती है आपने जब एकस को ए पुट किया तो यहां पर बन रहा था तो भैया एक्स को ऊपर ए पुट करके क्या बनना चाहिए बताइए सर अगर लिमिट एक्स्ट करती है और एक्स को ए रखने पर नीचे जीरो बना है तो ऊपर सर नॉन जीरो तो बन नहीं सकता अगर ऊपर नॉन जीरो होता तो 2 बा जी तो अनडिफाइंड हो जाता तो पक्की बात है ऊपर भी जीरो ही है बिल्कुल सही अब जरा दूसरी बात का जवाब दीजिए आपको बोला गया यह लिमिट एजिस्ट करती है और यह नॉन जीरो वैल्यू आ रही है यह नॉन जीरो वैल्यू आ रही है तो आपने जब x को a पुट किया तो आपने देखा कि ऊपर जीरो बन गया अब जब a को नीचे पुट करेंगे क्या बनना चाहिए क्या नीचे नॉन जीरो बन सकता है नहीं सर 0/3 तो रो आ जाता बट हमें बोला गया आंसर नॉन जीरो है यानी कि नीचे थ्री या नॉन जीरो नंबर नहीं आ सकता नीचे जीरो ही आना पड़ेगा ताकि इंडिटरमिनेट फम बने और हम सिंपलीफाई करके आंसर निकाले ओके बेटा अभी जो नॉर्मल जनरल क्वेरीज है वो आप कमेंट्स में पूछेगा आई विल ट्राई माय बेस्ट ओके अभी इधर उधर की बातें थोड़ी करेंगे अभी इधर फोकस करेंगे राइट तो मेरा सवाल आया एकस ट टूव ये बड़ा सा एक्सप्रेशन इक्वल टू -2 देन वैल्यू ऑफ ए और बी बताओ हमें दिखा कि लिमिट नॉन जीरो एजिस्ट करती है हमने एक को वन पुट किया न्यूमरेशन में 3 - 4 + 1 0 साइन ऑफ 0 क्या होता है जीरो ये भी जीरो तो अगर न्यूमरेशन में जीरो बन गया तो डिनॉमिनेटर में क्या बनना चाहिए था सर जी डिनॉमिनेटर भी जीरो बनना पड़ेगा क्योंकि ऊपर जीरो आ गया है नीचे अगर नॉन जीरो आया तो रेश जीरो बनती बट हमें लिमिट नॉन जीरो बताई गई है तो हमने कहा 2 * 0 का क्यूब - 7 * 0 का स्क्वा + a * 0 + b शुड बी 0 तो यहां मेरे पास बी की वैल्यू तो डायरेक्ट आ गई हा जी नाउ अब क्या किया जाए एक वैल्यू मिली अब आगे क्या करें अब हम क्या करेंगे सेम चीज लगाएंगे पर किस पे इसके भाई पे सर इसके भाई पे मतलब मैंने क्या बताया था एल हॉपिटल रूल आपको लिमिट की वैल्यू नहीं देता इस लिमिट को रिप्लेस कर देता है एक इजियर लिमिट से तो क्यों ना मैं इस लिमिट को एक इजियर लिमिट सेप्लेस कर कर नाउ अपलाइट रूल अपला एल हॉस्पिटल रूल यह क्या बना लिमिट भैया जिनको चेन रूल नहीं आता टेंशन मत लेना इस डेरिवेटिव में ए उसका चेन रूल का यूज किया जा रहा है तो अगर आपको नहीं आता टेंशन मत लो अभी के लिए बस कांसेप्ट सीख लो चन एल हॉपिटल का इन 6 एक माइ 4 माइ 2x वाइड बाय 6 एक्स स् माइ 14x प् ए जब एल होपिटल लगाया गया तो क्या लिमिट की वैल्यू कुछ और आ जाएगी नहीं सर लिमिट तो सेम ही रहेगी आपने तो उस लिमिट को एक सिंपल लिमिट से रिप्लेस कर दिया बस और कुछ नहीं किया अब फिर से मैंने एकस को जीरो पुट किया जब एक जीरो पुट किया यह क्या बना कॉस कॉस ऑफव छी छी छी छी बहुत ही गंदा बना है 6x - 4 एक मिनट एक्सटेंडिंग टू वन था मैं को इतनी और यहां पर भी गलती कर दी मैंने सॉरी सॉरी सॉरी सॉरी माय बैड माय बैड मैंने एक्स को जीरो ले लिया सॉरी एक्सटेंडिंग टू वन था सॉरी सॉरी सॉरी तो यह बना था 2 माइन 7 माइन 5 ए प् बी इ 5 थैंक यू थैंक यू थैंक यू वेरी मच थैंक यू वेरी मच ठीक है जी माइन 5 बिल्कुल अब आ गए य पर एक्स को वन पुट किया 3 माइ 4 प्व 0 तो कॉस जीव होता है यह ू और माइनस ू जीरो भैया ऊपर जब एक्स को न पुट किया जा रहा है वैल्यू जीरो बन रही है तो नीचे भी जीरो बननी चाहिए क्योंकि अगर नीचे नॉन जीरो बन गई जीरो बा नॉन जीरो क्या होता है जीरो पर हमें तो माइनस दिया है तो नीचे भी जीरो ही बनना चाहिए दिस शुड बी जी0 तो यहां से आपके पास a की वैल्यू आ गई कितनी आ गई 6/1 3/7 और a आ गया तो यहां से बी मिल गया अब जो पूछा है बता देंगे बी कितना आ गया यहां से भैया नम नम नम ममम जितना भी आ गया देख लो यार 5 - 3/7 है ना भैया 5 - 3/7 32 बा 7 तो a - बी पूछा था 29 7 11 आंसर आ रहा है मैंने कोई गलती की है दिली टूट गया मेरा एक मिनट वन पुट किया जब 2 - 5 प् ए + b तो a + बी की वैल्यू आ गई 5 के बराबर ये तो सही किया हमने फिर हम यहां पे आए x को वन पुट किया यह जीरो बन रहा है ना कस ऑफ 0 1 ये 2 बना -2 खत्म हो गया तो ये रो बनना चाहिए था 6 - 14 + ए व प् ए था प् a फेटे मल्टीप्लाई नहीं था मैंने मल्टीप्लाई किया हुआ था उसको हां जी तो ये एट बन रहा था a की वैल्यू 8 a 8 है तो b आ गया -3 तो a 8 है और b -3 है तो a - b आ गया 11 बिल्कुल बिल्कुल एट आएगा था बिल्कुल बिलकुल वो मैंने यहां पे इसको मल्टीप्लाई समझ लिया था यहां पे तो इस तरह से ये बढ़िया सवाल हो गया आपका एल हॉपिटल में कैसे आगे एप्लीकेशन आती है इसके अलावा कोई एप्लीकेशन नहीं बचता लास्ट आता है ये तीन फॉर्मेट यह फॉर्मेट थोड़े से 12थ से जुड़ जाते हैं क्योंकि इसमें हल्का सा क बारी डिफरेंशिएबल आ जाता है बट मैंने इसको इतना सॉर्ट करने की कोशिश की कि आप 11थ रह के भी इसको सीख पाए 0 * इनफिनिटी इनफिनिटी पावर 0 0 पावर 0 इसमें से एक यह है और यह दोनों एक हैं यानी कि इन दोनों का मेथड सेम है और इसका अलग तो दो मेथड सीखने जाते हैं हमें एक यह सीखना है एक यह सीखना है पहले बात करेंगे 0 * इनफिनिटी की नाउ 0 * इनफिनिटी जो होता है है ना इसको सॉल्व करने का मेथड बहुत ही आसान है इसको या तो 0 बा 0 में कन्वर्ट कर दिया जाता है या फिर इनफिनिटी बाय इनफिनिटी में कन्वर्ट कर दिया जाता है और मूवमेंट ये वाले फॉर्मेट बन गए तो काम खत्म ये तो मुझे आते हैं पहले सीख लिए मैंने राइट आपने जो एटली रयान आपने जो डाउट पूछा वो सेशन की बिगिनिंग में हम समझा चुके हैं जहां पे इंटर्म फॉर्म कवर किए ना थोड़ा उसको रिवाइंड करके वहां तक दे वहां पे पार्ट पढ़ लेना वहां समझा दिया गया था अब ये कैसे कन्वर्ट करते हैं यह मैं सवाल से सिखाता हूं जैसे मेरे आगे सवाल आ गया यह वाला ई उल्टा क्यों लिख दिया भैया पहले यह पार्ट लिखना था क्या करते हैं जिंदगी में चलो पहले यह पार्ट सॉल्यूशन जरा फॉर्मेट को एनालाइज करिए फॉर्मेट को एनालाइज ये क्या था रो और ये क्या था लन 0 लन 0 बाय द वे माइनस इनफिट होता है लन ऑफ रो आई मीन एक्सटेंडिंग टू रो पे ओके तो यह फॉर्मेट 0 * इनफिनिटी है पहले तो फॉर्मेट को समझ लीजिए जिसको थोड़ा सा भूल गया है याद करला दूं न x का ग्राफ ऐसा होता है तो जब x मेरा 0 के पास जाएगा तो लॉग की वैल्यू माइनस इंफाइटिंग इनफिनिटी का फॉर्मेट है अब क्या करें इसे कन्वर्ट करना है रो बाय 0 या इनफिनिटी बाय इनफिनिटी कैसे करेंगे किसी एक चीज को नीचे ले जाएंगे ट्स इट सर एक चीज को नीचे ले जाएंगे मतलब अरे यार ये जो ऊपर x लिखा था इसको ऐसे लिख लो बताओ लिख सकता नहीं लिख सकता हां सर लिख सकते हैं अब जरा देखो यह वैल्यू कहां जा रही है सर माइनस इनफिनिटी यह कहां जा रही है सर प्लस इनफिनिटी हो गया ना इनफिनिटी बाय इनफिनिटी फॉर्मेट बोलो बस यही चाहिए था सो वन आई से कि इसको कन्वर्ट कर दीजिए होता क्या है या तो इस टर्म को नीचे ऐसे लिख देते हैं तो ये रो बाय 0 फॉर्म बन जाती है या फिर इस टर्म को नीचे ऐसे लिख देते हैं तो यह इनफिनिटी बाय इनफिनिटी फॉर्म बन जाती है दैट इज ऑल समझ गए आईडिया टेकन एपिक हो गया ओ शाबाश अब तो बेटा इंफिनिटी बा इनफिनिटी या एल हॉपिटल लगाओ काम खत्म करो इससे ज्यादा इसको इज्जत नहीं दी जाती -1 बा एक स् तो ये बेटा एक एक् ऊपर आ गया - x x जीरो था तो आंसर आ गया जीरो खत्म क्रेजी हो गया ओ तेरी शाबाश अब आता है ए पार्ट जरा ए पार्ट में देखिए फॉर्मेट क्या है भैया ये जीरो है और पावर में जीरो है यानी कि ये वाला फॉर्मेट आ गया अब इसमें क्या करते हैं इनफिनिटी पावर 0 एंड 0 पावर 0 इनमें क्या किया जाता है इसको कन्वर्ट किया जाता है इस फॉर्मेट में सर यह कैसे कन्वर्ट करते हैं आओ सिखाओ तो क्या करिए सबसे पहले तो इसको e की पावर में लिख लीजिए एक्स पावर एक्स को मैं e पावर लोन एक्स पा एक कह सकता हूं कोई दिक्कत तो नहीं नहीं सर इस पावर को आगे लाके ऐसे कर सकता हूं हां सर तो तुम्हे लगता सवाल खत्म हो गया e पावर एक्सल एक्स तुम्हें नहीं लगता कि इसकी लिमिट तो अभी निकालनी सीखी है यह क्या था यह जीरो इन इनफिनिटी फॉर्मेट ही तो था य जीरो इन इनफिनिटी फॉर्मेट ही तो था राइट तो इसकी लिमिट निकालनी तो आती है तो इसकी लिमिट मेथड से निकाल दी और आंसर आ गया e पाव खत्म हो गया तो इससे यहां पे कैसे आते हैं यूजिंग लॉग यूजिंग n = e ^ पावर लन n इसे यूज़ करके यह पावर में जाता है तो रो आगे आ जाता है पावर में गया तो यह ज़ीरो आगे आ गया तो 0 * इनफिनिटी नेल्ड इट फिनिश्ड ओए हो हो अरमान तो दैट इज़ हाउ यू डू 0 * इनफिनिटी एंड 0 पावर 0 या इनफिनिटी पावर इनफिनिटी इनफिनिटी पावर जीरो इसका भी सेम ही तरीका और इसमें आपको ए रिजल्ट याद भी रखना चाहिए मैं यहां पर लिख भी देता हूं लिमिट एक्स टेंड्स टू ए f एक प f एक यानी कि दोनों सेम सेम है वेयर f एक जो है व जीरो को टेंड कर रहा है जीरो पॉजिटिव इसलिए लिखते क्योंकि जीरो नेगेटिव की पावर को स्टडी नहीं किया जाता नेगेटिव नंबर की पावर स्टडी की जाती तो अगर यह जीरो पर जीरो है और यह दोनों जीरो सेम है मैं ऐसे को लिख रहा हूं आम भाषा में लिखता हूं छी छ छ यहां पर पीछे लिखता हूं यहां पर रिजल्ट लिख द लिख द लिख लिख द यहां पर लिख देता हूं आप इसे एस रिजल्ट याद भी कर सकते हैं जीरो पावर सेम जीरो जीरो पावर सेम जीरो वन के बराबर होता है ए रिजल्ट इसको याद भी कर सकते हैं ठीक है आ च = 1 हां बेटा बिल्कुल बिल्कुल बिल्कुल यहां पर लिमिट की बात ही नहीं हो रही अगर कोई x पा x की 0 पे लिमिट पूछेगा डज नॉट एजिस्ट क्योंकि x पावर x की लिमिट हम रो नेगेटिव पे निकाल ही नहीं सकते उसका मीनिंग ही नहीं है अनडिफाइंड है रो नेगेटिव पावर रो नेगेटिव का कोई मीनिंग ही नहीं है अनडिफाइंड ओके इट्स ओनली फॉर जीरो पॉजिटिव फॉर व्हिच वी कैन फाइंड इट तभी यहां पे आरएचएल ही पूछा गया है सो इस तरह से आपका लिमिट खत्म होता है पूरे का पूरा एवरी फॉर्मेट ईच एंड एवरीथिंग इन डिटेल कवर्ड यूएसटी जरूर देना है प्रॉमिस करके जाओ इट इज लाइक फॉर योर ओन एक्सपोजर एंड लर्निंग द कंपटीशन ओके वेदर यू हैव टेकन एडमिशन समवेल और यू यट हैव टू टेक एडमिशन दैट इज अ सेपरेट इशू ओके आई वुड लव इफ यू कम टू अनअकैडमी एंड जॉइन माय बैच एज वेल बिकॉज माय बैच इज गोइंग टू हैज ऑलरेडी स्टार्टेड हमारा बैच इवॉल्व बैच जिसमें कि मैथ मैं और विनीत सर पढ़ा रहे हैं केमिस्ट्री मोहित सर और पारस सर पढ़ा रहे हैं और फिजिक्स में एनकेसी सर और कैला सर पढ़ा रहे हैं आप चाहो तो उस बैच में भी आ सकते हैं बट इफ यूव ऑलरेडी जॉइन सम वेयर स्टिल यू टेक दिस टेस्ट अनअकैडमी स्कॉलरशिप टेस्ट जब आप टेस्ट देते हैं इस तरह के स्कॉलरशिप टेस्ट तो आपको पता लगता है कि आप कहां स्टैंड कर रहे हैं ओके अपार्ट फ्रॉम दैट जो टॉप 50 रैंकर होंगे अभी यह यूएसटी शुरू हुआ है ओके और यह यूएसटी चलेगा अप्रैल तक अप्रैल मिड में ओवर ल टॉप 50 रैंकर जो निकाले गए हैं वो अनाउंस किए जाएंगे मैं आपको इस चैनल पर भी बता दूंगा और उन टॉप 50 रैंकर्स को बहुत अच्छे-अच्छे रिवार्ड्स दिए जाएंगे मैकबुक आई वच एंड सो ऑन तो वो भी आप चाहो तो मोटिवेशन रख सकते हो अपने लिए बट मेरा मानना है कि अपने एक्सपोजर के लिए अपनी लर्निंग के लिए आप कहां प लाइक करते हो थोड़ा कंपटीशन के लिए इस टेस्ट को जरूर देना है आपने ऑफकोर्स इस टेस्ट के बाद अगर आप एडमिशन लेते हो तो आपको अप टू 90 पर का स्कॉलरशिप भी मिलेगा ओके पर टेस्ट जरूर दीजिए इसका लिंक मैंने डिस्क्रिप्शन में दिया हुआ है 11 एम टू 7 पीएम आप किसी भी दिन दे सकते हैं ये वन आर का टेस्ट होता है लिंक डिस्क्रिप्शन में होता है एंड डोंट यू थिंक सर अगर दे सकते तो दो बार दे देंगे पेपर सेम सेम में नंबर आ जाएंगे नो एवरी टाइम यू अटेम्प्ट पेपर चेंज हो जाता है ठीक है सो आप दीजिए दो-तीन बार दीजिए पर बात है कि वो पेपर चेंज हो जाएगा ये सोच के मत देना पेपर दे लेता हूं याद कर लेता हूं अगली बार कल देख के स्कॉलरशिप ले लूंगा ये नहीं होगा ठीक है सो बट यस डू टेक दिस टेस्ट इसका लिंक आपको डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगा सबसे ऊपर लिंक पड़ा होगा डिस्क्रिप्शन में सुबह 11 से लेकर शाम के 7:00 बजे के बीच में एक घंटे का स्लॉट निकालिए आप तो आज तो निकल कल या परसों कल ही निकाल लीजिए और इसको अटेंप्ट करिए प्रॉपर्ली बैठ के ठीक सोट्स ल सर पावर जीरो वाला थोड़ा बता दीजिए बेटा पावर जीरो बताना क्या है बेटा जी देखो अगर पावर जीरो है चाहे जीरो पावर जीरो चा इनफिनिटी पावर जीरो लग को यूज करके आप ऐसा समझिए अगर आप x पा x की लिमिट निकालना चाह रहे थे रो पे इसे y मान के दोनों तरफ लॉग ले लीजिए तो यह x आ गया आ जाएगा लो भैया यह जीरो और ये इनफिनिटी एग्रीड अब हैप्पी तो रो पावर जीरो आ जाए या इनफिनिटी पावर 0 आ जाए उसे लॉग को यूज करके 0 * इनफिनिटी में तोड़ लिया जाता है और वो हमें आता है ठीक एगजैक्टली सो अब आप कोई भी सवाल करिए कोई दिक्कत नहीं आने वाली यह पीडीएफ मैं कर दिया डाउट ले लिए राइट तो वो ऑलवेज आपको पॉजिटिव रखेगा खुश रखेगा और जो फायदा होता है दोनों बच्चों का आपका और उसका वो अलग सो जस्ट कीप लर्निंग कीप एंजॉय एंड नेवर एवर मिस अ चांस हेल्प एनीबडी विदन योर कैपेसिटी ट इ परपस द मोस्ट ब्यूटीफुल थिंग यू कैन डू ओके चलो बा बाय यस ऑफ कोर्स जैक वो मैं मेरी बात हो गई थी वो जेई मेन के रिजल्ट वाले डे अनाउंस होगा जो आप पूछ रहे हो ठीक है चलो ओके बाय टेक केयर खुश