समाकलन (Integration) \n \n## परिचय \n- निकल गुप्ता द्वारा समाकलन चैप्टर की शुरुआत। \n- समाकलन महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे आगे के चैप्टर (8 और 9) समझने में मदद मिलती है। \n- \n## पाठ्यक्रम जानकारी \n- दो किताबें: \n - पहली किताब: 6वीं से 7वीं प्रश्नावलियां। \n - दूसरी किताब: 7.1 से 7.11 तक। \n - महत्वपूर्ण प्रश्नावली: 7.1 से 7.7 (एनिश्चित समाकलन) और 7.8 से 7.11 (निश्चित समाकलन)। \n- विविद प्रश्नावली में मिश्रित प्रश्न। \n \n## समाकलन की परिभाषा \n- समाकलन दो प्रकार के होते हैं: \n - निश्चित समाकलन \n - एनिश्चित समाकलन \n- निश्चित समाकलन का उपयोग उस समय किया जाता है जब परिणाम ज्ञात होता है। \n- एनिश्चित समाकलन का उपयोग तब किया जाता है जब परिणाम ज्ञात नहीं होता। \n \n## समाकलन का उपयोग \n- निश्चित समाकलन का उपयोग क्षेत्रफल निकालने में किया जाता है। \n- उदाहरण: \n - आयत, वृत्त, त्रिभुज आदि का क्षेत्रफल निकालना। \n- एनिश्चित समाकलन का उपयोग किसी फलन के अवकलन (derivative) से मूल फलन (original function) प्राप्त करने में किया जाता है। \n \n## समाकलन के प्रमुख बिंदु \n- अवकलन (Differentiation) \n - x^2 का अवकलन 2x है। \n- प्रति अवकलन (Anti-Differentiation) \n - समाकलन अवकलन का उल्टा है। \n - 2x का समाकलन x^2 + C है। \n- C एक निश्चितता है, जिसे अनुसंधान में शामिल किया जाता है। \n \n## समाकलन के सूत्र \n- सामान्य सूत्र: \n - sin x का अवकलन cos x है, तो cos x का समाकलन sin x + C है। \n - cos x का अवकलन -sin x है, तो -sin x का समाकलन cos x + C है। \n - tan x का अवकलन sec^2 x है, तो sec^2 x का समाकलन tan x + C है। \n - e^x का अवकलन e^x ही है और इसका समाकलन e^x + C है। \n - log x का अवकलन 1/x है और इसका समाकलन log |x| + C है। \n \n## ग्राफिकल व्याख्या \n- परिवार (Family of Curves): \n - सभी ग्राफ y = x^2 + C के होते हैं। \n - ये ग्राफ एक ही परिवार के होते हैं। \n- स्पर्श रेखाएँ (Tangents) \n - समानांतर स्पर्श रेखाएँ। \n - x = 1 पर सभी स्पर्श रेखाएँ समानांतर हैं। \n \n## समाकलन का महत्व \n- समाकलन से क्षेत्रफल निकाला जा सकता है। \n- यह अवकलन के विपरीत प्रक्रिया है। \n- समाकलन का उपयोग गणित में विभिन्न समस्याओं को हल करने में किया जाता है। \n \n## अगले कदम \n- अगले कक्षा में सूत्रों की पुनरावृत्ति और प्रश्नों का समाधान किया जाएगा। \n- सभी छात्र ध्यान से पढ़ें और तैयार रहें। \n \n--- \n \n> ध्यान दें: पढ़ाई में नियमितता बनाए रखें और अपने संदेह स्पष्ट करने के लिए शिक्षक से संपर्क करें।