समाकलन की संक्षिप्त जानकारी

हेलो फ्रेंड्स मैं निकल गुप्ता स्वागत करता हूं आप सभी का इस वीडियो में जिसमें हम लोग एक धमागेदार चैप्टर की शुरुआत करने वाले हैं जो की है समाकलन समाकलन मतलब प्रश्नावली साथ ये एक्चॉल में सेकंड बुक है हमारी हमारे पास दो बुक से लेकर छटे नंबर प्रश्नावली तक एक बुक है और साथवी से लेकर तेरवी प्रश्नावली तक दूसरी बुक है तो दूसरी बुक की फाइनली शुरुहात हो गई है और दूसरी बुक का सबसे बड़ा सबसे धमाके दार जो चैप्टर है वो समाकलनी है और सबसे important भी मान लो आप, important इसलिए कह रहा हूँ मैं, क्योंकि साथवा chapter आएगा तो ही आप आठवा और नवा कर पाओगे, और जिसको साथवा ढंग से आयाता है, आठवा नवा उनके लिए बहुत बच्चों वाली चीज है मतलब, तो एक तरीके से साथवा chapter नहीं है, सा� लर्न एंड शेयर का टेलिग्राम चैनल जरूर से जॉइंट कर लेना, यहाँ सारी क्लासेस के नोटिफिकेशन आपको टाइम को टाइम मिल जाएंगे, उसके अलावा लर्न एंड शेयर ब्लॉक्स के नाम से एक और यूट्यूब चैनल है, इसको भी आप सब्सक्राइब कर सक इसका भी मिल जाएगा, इसका भी मिल जाएगा, इस अगर दूना ही नहीं पड़ेगा. और केवल इन link की बात नहीं है, application पे आप लोगों के लिए 12th class के बच्चों के लिए especially अग्नी batch मिलेगा, अग्नी batch for class 12th, जिसमें 6 subjects हैं, मतलब सारी subjects हैं, physics, chemistry, mathematics, biology, english, hindi, सब कुछ हम लोग यहाँ पर cover करवाते हैं आप लोगों का, वो भी ऐसे नहीं, 100 में से 100 marks की हम लोग तैयारी करवाते हैं. आते हैं आप लोगों को इस सौ में से सौ मार्क्स की तैयारी में क्या क्या शामिल है या क्या क्या हम लोग प्रोवाइड करवाते हैं आपको फैसिलिटीज वो फैसिलिटीज इस तरह की हैं कि आपको लाइफ ग्लासेस मिलती हैं जो कि यूट्यूब और एप्लिकेशन पर मिक उसके लाभा doubt solving groups हैं, कि आपके हर subject wise अलग-अलग doubt group बना रखे हैं, जिसमें teachers add रहते हैं, आपको पुरे साल भर 24 घंटे जब भी पढ़ो, कोई भी doubt आये वहाँ डाल सकते हो, teacher उसका जवाब देते हैं, तक कि आपको offline की कमी मैसूस नहीं हो, आपके पास support रहे, all time, class के बाहर दिन में ताकि दो बार अलग अलग चैप्टर आपका रिवाइज हो जाएं और रिवाइज होने के बाद में उसके अलावा सब्जेक्टिव टेस्ट का रिजल्ट भी दिखाते हैं कॉपी चेक करके प्रॉपर ताकि आपको पता जाले कैसे लिखना है एक्जाम में कहां गलति विशेष ने आपको प्रोवाइड करवाई जाते हैं उसके अलावा वन शॉट रिविजन तो है ही स्लेवस खत्म हो जाएगा तो रिविजन होगा और मॉडल पेपर भी करवाएंगे आपके बोर्ड के हिसाब से तो ये सारी फैसिलिटीज हैं मतलब अपने आप में पैकेज ह application से direct नहीं कर पा रहे हो, समझ नहीं आ रहा कैसे करना है, तो भी phone करके पूछ सकते हो यहाँ पर, ठीक है, तो यह तो basic जानकरी हुई, batch के बारे में, अब हम लोग मुद्दे की बात पर आते हैं, मुद्दे की बात है हमारी क्या, आज का chapter, chapter number 7, जो की है समाकलन, अब समाकलन म एक है अपना निष्चित समाकलन, एक है एनिष्चित समाकलन, पहले एली निष्चित लिखते हैं, एक है एनिष्चित समाकलन और एक है अपने पास निश्चित समाकलन अपने पास समाकलन मैंने पहले बोल दिया कि सबसे बड़ा चैप्टर है इस बुक का इस बुक का नहीं दोनों बुकों में मिला कर क्या सबसे बड़ा चैप्टर है यह इसमें कुल मिला कर के 11 प्रश्नावलियां हैं 7.1 से ले कर के 7.11 तक उसके बाद विविद प्रश्नावली अलग है जिसमें धेरों प्रश्न दे रखे हैं तो 7.1 से लेकर के 7.7 तक जो है वो एनिश्चित समाकलन है है ना सोरी प्रश्नावली 7.1 प्रश्नावली 7.8 से लेकर 7.7 तक अगर आप देखोगे तो वो ए निश्चित समागलन है और प्रश्नावली 7.8 से लेकर 7.8 से 7.11 तक ये निश्चित समागलन है और विविद प्रश्नावली में दोनों के mix questions हैं ये तो पता ही रहता है आपको विविद में तो आते हैं mix उस बच्चों के syllabus से हट गई है, कौन सी? केवल 7.8, जिसमें 5 ही question है, तो ज़्यादा खुश होने की ज़रूरत नहीं है, और विविद में भी इसके 2 ही या 3 ही question दे रखे हैं, तो बहुत ज़्यादा एक्स्ट्रा questions भी करने है इसमें तो मैं करवाऊंगा आपको बोर्ड के हिसाफ से अलग से, तो बहुत कुछ है इस chapter में पढ़ने के लिए, हम लोग शुरू करेंगे, और शुरू करने से पहले हम ये जाने कि ये समाकलन है क्या चीज़ा, चीज कहां से आ गया क्यों आ गया और क्या करेंगे इसका तो समाकलन में दो तरह की समस्याओं को हल किया जाता है अक्शल में क्या होता है वो तो अब आगे और देखते हैं दो तरह की समस्याओं को हल किया जाएगा एक समस्या तो ये कि किसी भी छेत्र का छेत्रफल निकालना है आपको मान लो आपके पास कोई आयताकार खेत है इसका छेत्रफल निकालना बेहद आसान है लंबाई गुणा चोड़ाई आपके पास कोई वरगाकार है खेत उसका छेत्रफल छेत्रफल निकालना है, भुजा स्क्वायर, मान लो कोई वृत्त है आपके पास में, उसका छेत्रफल निकालना है, पायार स्क्वायर, कोई टेंचन ही नहीं है, चत्रबुज का भी एक बार के लिए निकाल दोगे, अरे लेकिन इतना अजीब सा कोई डाइग्राम आया, ये बताना है अब ये तो अजीब सा है यार ये तो सीधी लाइन है चलो ये सीधी लाइन है लेकिन ये तो पता नहीं कैसी टेड़ी मेड़ी लाइन है कैसे निकालेंगे इसका छेतरफल ना ये आयत है ना वर्ग है ना चतरुब जे ना कुछ है पता नहीं क्या है ये तो टेड़ यहां से जहां तक निकालना है आपको, यहां से लेके यहां तक आपको छेतरफल निकालना है इस पूरे छेतर का, तो निश्चित समाकलन का उप्योग करेंगे, तो पहले उसके लिए निश्चित समाकलन सीखेंगे, उसके बाद उसकी मदद ले करके छेतरफल निकालेंगे, छेतरफल निकालने वाला पूरी प्रश्नावली आपके अलग से दिरखी है, कैसे आप छेतरफल निकाल सकते हो, यही सिखाया हुआ है और कुछ नहीं है, ठीक है, निष्चित यहाँ काम आएगा, निष्चित एक्चुली कई जगह काम आता है, उनमें से मेन आपको बता देता हूँ मैं, वो मेन जहाँ यह काम आएगा, उसी से अलग-अलग उप्योग इसके बनते जाते हैं, जो नवे चेप्टर में हम लोग सीखेंगे, इसका खास उप्य हाँ, मान लो आपके पास कोई फलन है, फलन नहीं है, फलन का आउकलन है, आपके पास F-X है, फलन है ही नहीं आपके पास, आपको तो सिदा उसका आउकलन दे रखा है, किसी फलन का, आपको बोले कि आउकलन ये रहा साब, बताओ फलन कौन सा था? किसी फलन के अवकलन से उस फलन को जानना है कि वो फलन क्या था तो उसके लिए आपको एनिश्चित समाकलन का उप्योग करना पड़ेगा उसके लिए एनिश्चित समाकलन काम आता है मतलब किसी फलन के अवकलन की मदद लेकर के या किसी फलन के अवकलन से उस फलन को प्राप्त करने की प्रक्रिया ही समाकलन है या किसी फलन के आउकलन से वो फलन प्राप्त हो जाए, तो किस प्रक्रिया से मतलब वो फलन प्राप्त होगा? वो प्रक्रिया समाकलन है. समाकलन की मदद ले करके हम किसी भी फलन के आउकलन से उस फलन को प्राप्त कर सकते हैं. आपको बोला कि इससे फलन बताओ कौन सा था, इसका समाकलन करेंगे, तो ये आ जाएगा. समाकलन एक प्रोसेस है, जिसके थूँ हम लोग किसी फलन के आउकलन से उस फलन को प्राप्त कर लेते हैं। वापिस से बोल रहा हूँ, समाकलन एक प्रोसेस है, प्रक्रिया है, जिसकी मदद ले करके किसी फलन के आउकलन से उसकी मदद से वो फलन आप प्राप्त कर सकते हो। 7.1 से 7.7 तक हम डिटेल में यही सीखेंगे, अगर आपको यह आ गई, तो यहाँ पर 7.9, 10 यह सब तो खतम जाएगी, एक 7.11 में कुछ नया सीखना रहेगा आपको, कुछ खास नहीं है मतलब, मेन आपकी यही है यही मान के चलना, 7.1 से 7.7 तक ही है, ठीक है, तो शुरू करत तो start करते हैं हम लोग, शांते से देखेंगे, एक एक चीज लिख के बताओंगा, शांते से देखेंगे, कुछ उपा निचे नहीं करना है, केवल सामने ध्यान देना है, इदर उदर नहीं जाना है, वच्चों ये बहुत ज़्यादा important chapter है, जितने भी आपने अभी तक पढ़ मैं फलन सबसे आसान वाला लेता हूँ, मेरे को बड़ा आसान लगता है, x square. और इस x square का differentiation कर दिया, मान लो मैंने. इस x square का अगर आपने differentiation किया, तो वो 2x आ गया. इसमें तो कोई डाउट ही नहीं है. x square का differentiation 2x होता है. ठीक है. तो x square का हमने क्या किया? हमने आउकलन किया. आउकलन एक प्रोसेस है, जिससे x2 का हमें आउकलज मिल गया, हमें ये क्या मिला है, x2 का आउकलज, derivative मिल गया, किसकी help से, differentiation की help ले करके, differentiation एक प्रोसेस है, जिसकी help से derivative मिल गया हमारे बारे बारे, अब मान लो आपको इस derivative की help से, वापिस, original function तक जाना है तो कैसे जाओगे? इस derivative की help लेकर के आप अगर original function तक जाना जाते हो तो कैसे जाओगे? इस derivative की help लेकर के अगर आप इस function तक जाना जाते हो ये d by dx हटा दो आप इस function तक जाना जाते हो तो उसका process है alkaline का उल्टा alkaline का मतलब क्या? differentiation तो हम anti differentiation करेंगे हम लोग क्या करेंगे, प्रति आउकलज निकालेंगे, प्रति आउकलज का मतलब क्या है, आउकलज, प्रति आउकलज को बोलते हैं, anti derivative, anti differentiation बोल दो, anti differentiation, ठीक है, anti differentiation कर रहे हैं, differentiation का उल्टा कर रहे हैं, differentiation का उल्टा करेंगे, तो original function मिल जाएगा, ये जो प्रति आउकलज हम, प्रति अवकलन कर रहे हैं, अवकलस तो निकलेगा कर, प्रति अवकलस तो निकलता है ये जो प्रति अवकलन हम कर रहे हैं, इस प्रति अवकलन का ही दूसरा नाम है समाकलन और कुछ नहीं है समाकलन इस प्रति अवकलन का दूसरा नाम है समाकलन और ये प्रति अवकलन का उप्योग करके, प्रति अवकलन एक प्रोसेस है प्रति अवकलन प्रोसेस का उप्योग करके हम क्या प्राप्त करेंगे? हम जो चीज प्राप्त करेंगे वो है प्रति आउकलज और प्रति आउकलज को ही समाकलन बोलते हैं ठीक है तो हम अभी तक क्या समझे अभी तक ये समझे कि कोई आपको फलन दे रखा है उसका आपने आउकलन किया तो आउकलज मिल गया अवकलज का एंटी डिफरेंचिजन किया अवकलन का उल्टा प्रोसेस चलाया तो हमें वापिस वो फलन मिल गया उस फलन को हम लोग प्रति आउकलज कह देंगे, आउकलज का उल्टा प्रोसेस में आने वाला फलन, और वही हमारा एक तरीके से समाकलन है इसका, जो कि हमारा बेसिकली देखा जाये तो ओरिजिनल फंक्जन आया है, समझ आई यहां तक बात? तो यह कहना बिल्कुल भी गलत नहीं है कि आउकलज का रिवर्स प्रोसेस है समाकलन अव कलन का reverse process है समा कलन, ठीक है? तो इसका मतलब यह हुआ कि इस वाले के question में तो यह समझ में आ गया अपने को, कि यार x square का differentiation अगर 2x है, तो इसका मतलब 2x का integration x square है, तो 2x का integration हमें direct ही मिल गया है. तो ये तो differentiation अगर पता है किसी का, तो इदर वाले का integration भी पता है एक तरीके से, तो बड़ा अच्छी चीज मिली है मतलब, बड़ी कमाल की चीज है, तो हमने मोटा मोटा अभी तक यही सीखा है, किसी फलन का आउकलन करो, आउकलज मिलेगा, उसका प्रति आउकलन करो, प्र लेगा वही समागलन होता है और कुछ नहीं है सिंपल सी इतनी बात है अब यहां कुछ गहरी बातें हैं जो समझने की हैं बहुत कमाल की बातें हैं जो अपने को समझनी चाहिए वो क्या है इसको करो साइड में तक समझ में आएगी बात देखें कुछ बच्चे बोलेंगे कि स यह symbol चलो बाद में लिखेंगे, है न, symbol हम बाद में लिखेंगे, ऐसा करते हैं, चलो फिलाल ऐसे देखते हैं कि एक चीज़ समझ में आई है हमारे को, एक बच्चा बोल रहा है कि sir, x square का differentiation क्या है, 2x है, उत्तम विचार है, बहुत बढ़िया, सुन्दर बात लगी मेरे को तुम, कोई टेंचन नहीं है, इसको अगले पेज़ पर करूँ के मैं? इसको अगले पेज़ पर करना ज्यादा समस्दारी लग रही है मेरे को, अगले एक बच्चा कह रहा है, उसी को जो अपने छोड़ा है न, उसी को continue कर रहा हूँ, इसी को continue कर रहा हूँ, ध्यान से देखना भी, यह बहुत basic introduction वाली class ले रहा हूँ अभी, आपको यह गहराई में समझ में आ जाएगी कि समागलन है क्या चीज, और उसके questions करेंगे कैसे, और उ तो इसका मतलब 2x का integration x square है, कोई दिक्कत नहीं है, एक बच्चा बोलेगा कि, मैं यहाँ लिख दू क्या एक बार इसको, मैं लिख देता हूँ एक बार, पहली चीज का मतलब क्या निकला, इससे conclusion यह निकला, इससे conclusion निकला कि 2x का समाकलन, x square है, ठीक है, एक बच्चा बोलेगा कि sir, x square plus 2 का करना जरा differentiation, x square plus 2 का differentiation भी 2x है, यह तो पंग हो गया यार, यहां से क्या result मिला, 2x का, यह तो clear है ना आप लोगों को, यह तो चीज clear है ना, कि यहां से यहां हम लोग differentiation से point तो यहां से यहां integration से पहुंचेंगे, यह तो clear है ना, इसमें तो कोई doubt ही नहीं है, तो यह समझ में आया कि 2x का integration क्या, x square plus 2, तो यहां से आप लिखोगे कि 2x का जो समा कलन है, वो x square plus 2 है, इससे यह समझ में आया है, एक बच्चा फिर से खड़ा हो गया, बोले सर केवल ये 2x का समाकलन x square plus 2 है ही नहीं, आप तो x square minus 1 का डिफरेंशन करके देखो, करके देखा, 2x आया फिर से, क्योंकि minus 1 का 0 है, 2 का भी 0 ही होता है, तो इससे क्या conclusion आया, इससे नया conclusion आ गया, कि 2x का समाकलन तो x square minus 1 है, लड़ x square minus 1 है यह तो जगड़े वाली बात हो गई अब देखो अभी तो चोथा बच्चा खड़ा होना बक्के रह गया चोथा बच्चा खड़ा होने वाला था इतने मैं master engine रोक दे रोको भाईया ऐसे नहीं हो रहा काम यहाँ पर तो x square minus 1 की जग़ा minus 2 आ जाए minus 50, minus 100, minus 1000, under root 2, under root 5, अगर आप प्लस और माइनस में एक बार प्रति पड़ें, तो वह रिजल्ट 2x ही मिलने वाला है। एक्स स्क्वायर के साथ में, एक्स स्क्वायर के साथ में, आप कुछ भी लिख दो यहाँ पर, अगर कॉन्स्टेंट है वो, कोई भी आप वास्तविक संख्या यहाँ पर लिख दो, कोई भी वास्तविक संख्या है अगर, तो 2x ही आएगा वो तो फिर। ऐसी तो अनंत संख्याएं हो सकती है, इसका मतलब 2x का समाकलन तो अनंत आ सकते हैं, x square भी है, x square plus 2 भी है, x square minus 1 भी है, x square plus 5 भी आएगा, x square plus 500 भी आएगा, बहुत आ सकते हैं, क्या यह सही बात है, बिल्कुल सही बात है, कोई टाइंचन नहीं है इसमें, जैनुइन है यार, गलत कहें इसमें, ऐसा हो रहा है, दिख रहा है साफ साफ, तो इससे यह समझ में आया, कि देखो भाई, x square के साथ में कुछ भी लगा दो, x square का differentiation 2x है ना, तो x square प्लस कोई constant हो, उस constant को मैं c नाम दे दू, उसका भी differentiation 2x है, तो इसका मतलब यह हुआ, कि 2x का, तो 2x का जो समाकलन है, वो basically x square plus c है, 2x का समाकलन x square plus c है, जहाँ पर c belong कर रहा है r में, मतलब c कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है. तो उस हिसाब से देखा जाये, तो 2x का समाकलन तो अनंत मिल गए हमारे को, x square plus c का मतलब क्या है, c तो कुछ भी हो सकता है, c को बोलते हैं हम लोग, वास्तविक संख्याओं में अनन्त वास्तविक संख्याओं होती हैं, उनमें से कोई भी वास्तविक संख्या यहाँ पर लाई जा सकती हैं, वो 2x का समाकलन कहलाएगी, वो हो सकती है 2x का समाकलन, तो 2x का समाकलन x square plus c है, अब यहाँ क्या बात है, ध्यान से समझना इस बात को यहाँ x square है, यहाँ x square है, यहाँ x square है, यहाँ x square है, मेन तो खेर यही है, 2x के समाकलन, लास्ट में आई गया, conclusion C आई गया, तो मतलब आई गया, 2x के समाकलन में x square तो fix आ रहा है, लेकिन एक जगह गणबड आ रही है, x square के साथ क्या है, साथ क्या है, साथ क्या है, वो जो x square के साथ है, उसमें कुछ एनिश्चितता आ रही है, वो निश्चित तोर पे हम नहीं बता पा रहे, कि इसके साथ में क्या आएगा? क्या आप बता पारे हो निश्चित तौर पे? नहीं बता पारे हो, अलग-अलग आ सकते हैं. 2x का integration ये भी है, ये भी है, ये भी है, ये भी है, गलत नहीं है बात तो. इसका मतलब x square के साथ में कोई एक constant value है, उसके कारण कुछ एनिश्चित आ रही है, वो निश्चित नहीं है वो constant value, है constant ये पता है, लेकिन कुछ निश्चित मान नहीं है, 5, 10, 15, fix नहीं है, कुछ भी हो सकता है. तो इस C के कारण ही एनिश्चितता आ जाती है। एनिश्चितता का कारण है ये कौन? C। अतहें इससे ये जो प्राप्त होता है। अतहें इस समाकलन का नाम होता है। वापिस से, क्योंकि इससे एनिश्चितता आ जाती है, इसलिए इस समाकलन को एनिश्चित समाकलन बोलते हैं, एनिश्चित समाकलन बोलते हैं, यहाँ पर मैंने दो तरह के समाकलन आपको बताऊंगा, कि समाकलन दो तरह के होंगे एक एनिश्चित समाकलन एक निश्चित समाकलन तो एनिश्चित समाकलन में हमें नहीं पता एक्स स्क्वायर के साथ में क्या आएगा तो एनिश्चित समाकलन है लेकिन जब पता जा जाएगा कि एक्स स्क्वायर के साथ में भाई प्लस फ जितर गुदा दुनिया, लेकिन प्लस 5 आएगा, ये पता जा गया, तो उसको क्या बोलेंगे, निश्चित समाकलन बोल देंगे, इतना ही डिफरेंस है, और कोई डिफरेंस है ही नहीं, इतनी सी बात है बस, निश्चित और ऐसे निश्चित में, तो यहाँ पर, क्योंकि ये स इतना आपको पड़ ले पड़ गया है? जो मैंने बोला, मैं रिवाइज करूँगा अभी, थोड़ी देर में, एक छोटी सी चीज़ और बता दूँ, उसके बाद आपको थोड़ा सा रिपीट करके बताऊंगा मैं, टेंचन मत लो, आराम से करेंगे यार, जल्द बाजी नही अच्छा, मैंने ये बोला कि differentiation कर लो x square plus c का और वो हमारा 2x आ जाएगा, इसी चीज को integration के format में लिखें तो क्या, differentiation तो यहां से, यहां गए हम लोग, integration में यहां से यहां आएंगे, मतलब 2x का integration, integration का यह चिन होता है, ऐसे साप बना दिया लहरता हुआ, इस integration का चिन है, यह यों, यों, यों, बार बार बनाओगे, practice हो जाएगे, integration of 2x with respect to x, यह dx क्यों लगा, x के सापेश समाकलन, वो कितना आ रहा है हमारे पास, x square plus c, तो ये जो लिखा रहता है, इसका मतलब होता है, x square plus c का x के सापेश, अउ कलन, 2x है, इसका यह मतलब है न, x के सापेश क्यों बोला, क्योंकि d by dx, इसके करण पता जलता है किसके सापेश बात चल रही है, तो वैसे ही यहां भी ऐसे ही रहता है मामला, यहां पर यहां दिखता है किसके सापेश बात चल रही है, यहां पर यहां दिखता है किसके सापेश बा जो समा कलन है, वो x square plus c है, clear है यहां तक बद, यह ऐसे लिखा जाता है, भी और कुछ बात नहीं है यार, इतना कर सकते हैं मतलब आप लोग, यह अभी तक मैंने केवल symbol बताया है, यहां तक देख लो आप थोड़ा सा पचालो डाइजेस्ट कर लो वीडियो को पिछले कर लो कहीं ऊपर नीचे लग रहा है तो देख लो और फिर हम आगे बढ़ते हैं मैं तब तक आपके एक बार चैट देख लेता हूँ अभी तक चैट नहीं देखे मैंने स्टार्टिंग स चलो तो बात ऐसी है कि मैं थोड़ा basic से ही बता रहा हूँ मैं थोड़ा सा गहराई में शांत तरीके से आपको बताने वाला हूँ करने में तो आपको पता है 7.1 कुछ है नहीं दम वाली बात मैं चाहूँ तो फटा फट एक या दो lecture में दो भी lecture जाएगा बोल दिया मैंने एक lecture में निप्ता सकता हूँ पूरी में लेकिन मज़ा नहीं आएगा यार आप यहाँ पर आ रहे हो लड़ने चेहर के तो इसलिए आ रहे हो कि आ कि आ गहराई में उतर सको यही परपस है शांती से करेंगे आज की class थोड़ा सा समझेंगे चल क्या रहा है दुनिया में कल की class में कुछ नहीं equation में दम्बा है इन equations में कोई tension नहीं equations का ठीक है चलो चलो जी आगे बढ़ते हैं फिर अपन अब यहां से आगे बढ़ेंगे, तो कुछ-कुछ formulas की बात करते हैं, मैं इसका graph वगरा आपसे भी समझाऊंगा कि integration का meaning क्या है, ग्राफिकल meaning क्या है, यह भी बताने वाला हूँ मैं शांति से, लेकिन उससे पहले कुछ formulas वगरा discuss कर लेते हैं हम लोग, फॉर्मलेज आप लोगों को differentiation के पता है तो यहां देख करके यही तो समझ में आया अपने को कि अगर आपको किसी का differentiation पता है तो उसका integration भी पता है तो differentiation के अगर फॉर्मलेज पता है तो वो integration के भी फॉर्मलेज बन जाएंगे एक छोटी चीज बस ज्यान देने की है जैसे मान लो आपको differentiation पता है किसका sin x का क्या होता है cos x मान लो आपको differentiation पता है किसका cos x का क्या है minus sin x अभी फिलाल दो की बात करते हैं तो इस चीज को देखते हुए क्या आप ये नहीं कह सकते हैं पहले वाले को ध्यान में रखते हुए कि भाई integration करोगे न जब आप cos x का x के सापेश तो क्या आएगा sin x और इसको देख करके क्या आप ऐसा कह सकते हो कि भाई जब integration करोगे ना minus sin x का तो क्या आएगा तो आएगा cos x, ठीक है, यह कह सकते हैं, लेकिन यहाँ एक छोटे सी बात, जो आपको आगे ध्यान रखनी होगी, formulas लिखते समय, क्या, कि वोई जगड़ा फिर से हो सकता है, जो जगड़ा पहले हुआ था, कि भाई एक बच्चा खड़ा हो जाएगा, फिर से class में, वो बोलेगा, sir, sin x, आपने तो फिर वही बात कर दी, sin x की बात ही नहीं है, अगर यहाँ plus c आगे, तो फिर क्या करेंगे हम? तो in general sin x के साथ कुछ भी constant आ जाए, result तो cos x ही आना है, तो in general हम ये कहेंगे कि cos x का जो समाकलन है, वो basically sin x plus c है, c की यहाँ पर ए निश्चितता है, c कोई constant है, इसको integration constant बोलते हैं, समाकलन गुणांग बोलते हैं, इस c को, इस c क्या है basically, समाकलन गुणांग है, कर दो और इस गुणांक के कारण ही एनिश्चित्ता आ रही है, क्योंकि हमें पता ही नहीं सी का मान क्या है, तो यही एनिश्चित्ता मान है, सही, और यह हर जगह करना पड़ेगा, आपको कॉस एक्स आ गया, कॉस एक्स में भी सेमी जगड़ा है, तो इन जनरल माइनस साइन एक्स का आप कॉस एक्स प्लस सी ही लिख, को ना tension ही घटम करो ना क्या tension है सीधा cos x plus c लिखो आप तो बाती घटम हो गई हमारे पास तो मोटा मोटा अगर अपन देखे तो अपने ये सीखा कि अगर sin x का differentiation cos x है तो cos x का sin x plus C लगा दो लास्ट में ज्यादा टेंचन नहीं लेनी लास्ट में प्लस C लगा दो क्योंकि यहाँ प्लस C तो इन जनरल रहता ही है डिफरेंशेशन C का करेंगे तो जीरो ही आएगा तो लास्ट में प्लस C की जो एनिस्चित्ता है वो हर इंटिग्रेशन अपने यहाँ भी प्लस C है यहाँ भी प्लस C यहाँ भी प्लस C क्यों वो प्लस C है पीछे के दो तीन तो इसलिए प्लस C आता है और हमें एनिशित समझाएगी समाकलन में ये plus C की एनिश्चतता हमेशा बरकरार रखनी है, ठीक है? अब मैं आगे बढ़ता हूँ, और अब सारे formulas आपको बताना शुरू कर रहा हूँ. मैं पहले लिखूँगा differentiation के formulas, और उसकी मदद से integration के formulas बनाएंगे हम लोग. तो differentiation के formulas में अब मैं plus C नहीं लगाऊँगा, उससे फिर integration के formulas बन जाएंगे, तो differentiation के क्या formulas सीखे थे अपने? सबसे पहला formula हमने सीखा है, differentiation of any constant. constant का छोड़ो यार, पहले तो सिदा आप x की कहात n का कर लो, x की कहात n वाला tough पड़ेगा, मैं पहले trigonometry करवा देता हूँ आपको, trigonometry और inverse trigonometry के थोड़े easy लगेंगे दिखने में, तो इसलिए मैं पहले तो trigonometry और inverse trigonometry वाले बता देता हूँ, उसमें flat है मामला, ज्यादा load नहीं है, सबसे पहले मैं formula बता रहा हूँ आपको, differentiation माल लो आपको दिया हुआ है किसका, sin x का, है न, है, sin x का differentiation आपको पता है, cos x होता है, थोड़ा ध्यान दे न बच्चों अब, कैसे formulas बन रहे हैं उसकी help ले करके, इसकी help ले करके आप क्या कहोगे कि integration जो cos x का है, वो क्या होगा, sin x, लेकिन केवल sin x नहीं, अपना तो आप तनफ्यूज हो रहे हो तो यहाँ पर ही प्लस सी लगा लो या फिर केवल इधर लगा लो अपने को तो वैसे भी इससे मतलब है डिफरेंशन तो सीखा हुआ है इसमें कोई सोचने की बात नहीं है है ना कि साइन एक्स का करो differentiation या sin x plus c का करो सब cos x ही आता है तो plus c in general लेके चलेंगे हम लो next अब ध्यान से देखना कैसे formulas बनते हैं है ना formulas सब यहीं से बन रहे हैं कुछ याद रखने की जरात नहीं है विशेश आपको differentiation जो cos x का है वो होता है minus का sin x तो इसका मतलब क्या हुआ पहला formula तो यह बनी गया है ठीक है उसका मतलब यह होगा कि integration of minus का sin x, d x, इसका integration क्या? cos x आएगा, अब थोड़ा ध्यान देना है यहाँ पर, अब minus sin x का integration ध्यान रखें, इससे अच्छा sin x का रखें, पर sin का, कभी minus sin x का difference नहीं जाएगा, पर तो sin का रखें, simple यार, minus तो लग जाएगा इदर उदर, कैसे भी से तो ये sin x dx रह गया या पूरी line को minus से multiply कर दिया या minus को उधर बेज दिया जो आपको ठीक लगे हो समझ लो कोई चिंता वाली बात नहीं है ये बन जाएगा minus का cos x और minus का c अब एक important बात हमने क्या कहा हमने कहा कि यार C का कोई tension नहीं है C का कोई खास load है नहीं C positive भी हो सकता है C negative भी हो सकता है C तो in general लिखा हुआ है C का मान minus 2, minus 5, plus 5 plus 10, plus 50 कुछ भी हो सकता है C वास्तविक संख्याओं में से है अब आप C लिखो उसको या minus C लिखो कोई फरक पड़ेगा क्या वास्तविक संख्याएं हैं, तो C लिखो या minus C लिखो, C का मान 5 हुआ तो 5, minus C में minus 5 रखोगे तो भी result 5 आएगा, कहने का मतलब, आप last में plus C लिखो या minus C लिखो, उससे कोई फरक नहीं पड़ता, क्योंकि वो वास्तविक सारी संख्यां कवर हो रही हैं उसमें, positive होंगी, negative होंगी, आप minus C भी लिख दोगे तो भी ठीक है, plus C भी लिख दोगे तो भी ठीक है, लेकिन in general हम लोग practice में plus C रखते हैं, constant के साथ कोई tension है नहीं, सारा constant मिला कर के C बोल देते हैं हम लोग जो कि वास्तविक संख्यां हैं, लेकिन हम लोग practice में generally यह रखते हैं, क्यों अपन minus minus के पंगे में पड़ें जब पता ही है कि ये सारी की सारी वास्तविक संख्याओं को इकठा लिखा हुआ है तो हम इसको minus का तो cos x ही लिखेंगे लेकिन c को plus c लिख सकते हैं क्यों? क्योंकि c एक्चॉल में वास्तविक संख्याएं हैं जो negative positive दोनों होती हैं तो ये भी साही बात है ये भी साही बात है लेकिन हम लोग याद ये वाला रखते हैं आप एक्जाम में ये लिख दोगे, तो किसी में दम नहीं है कि वो काट दे उसको, संभव नहीं है ऐसा, बिलकुल नहीं काट सकता, ये भी सही है, ये भी सही है, लेकिन अभी फिलाल के लिए ये याद रख लो आप, आप गलती से वो भी लिख दोगे, कोई गलत कर ही नहीं स तो sin x का भी integration आ गया, cost का भी आ गया आपके पास में, third number कौन है, 10x का, differentiation of 10x आपको पता है, कि sec square x होता है, तो इसका मतलब integration of sec square x कितना होगा, sec square x का integration क्या आएगा, 10x आ जाएगा, simple, plus ही तो हम लगाते हैं, इसमें कोई इदर उदर की बात है नहीं, लिख दिया हमने, पार्ट differentiation हम जानते हैं किसका cortex का क्या होता है minus cosec square x होता है तो इससे क्या समझ में आ रहा है इससे समझ में आ रहा है कि integration minus cosec square x का कितना होगा, वो होगा cot x, cot x plus c, हम minus को इतना पसंद करते नहीं है, minus उदर भेज़ पाल, तो क्यों लेना, cosec square दिखेगा, उसको cot लिखेंगे, तो ये हमारे पास बन जाएगा, cosec square x dx का integration, minus का cot x, minus का c, that means आप यात रखने के लिए तो, minus c भी छोड़ो, plus, ही कर लेंगे हम लोग तो उसको. तो कॉसेक square x dx को लिखा जा सकता है. माइनस कॉट x plus c. Plus c ही लिखो उसको. Minus c लिखो ही बताओ. मतलब second वाली line गाया भी रखो आप. लिखो ही सिदा plus C, tension वाली कोई बात नहीं है C के साथ plus minus का load है ही नहीं इसलिए मैंने direct plus C ही लिख दिया और bracket में लिख दो C belongs to R है चिंता वाली कोई बात नहीं है Next, पाँचवे number पे बात करें, differentiation अगर हम लिखें sec x का, तो वो होता है sec x into 10x, मैं अभी फटाफट फटाफट सारे formulas बता रहा हूँ, उसके बाद graph बना करके integration का meaning बताओंगे. कि ये plus C का meaning क्या है ग्राफ में, है न, वो अपने discuss करेंगे, पहले ये फटाफट formulas देख लेते हैं, जो हमें आते हैं, बस इस तरह से बनाना बाकी है, तो integration sec x into 10 x का कितना हो जाएगा, sec x into 10 x एक साथ दिख जाए, और उसका integration बोला जाए, तो आप उसका integration लिखोगे क्या, sec x plus C तो आएगा ही, आएगा, वो तो जोड़ीदार है, आना ही है वो तो last में, है न, So, चलिए, आगे बढ़े, 5 हमने किये अभी तक, 6 नंबर पर आते हैं, 6 नंबर है हमारा differentiation, आप जानते हो, cos x का क्या होता है, cos x का differentiation होता है, minus का cos x into, cot x तो इससे हम कह सकते हैं कि भाई integration जब करना हो minus का cosec x into cot x का तो वो अपना cosec x plus में c आ जाएगा, minus को उदर पहको, minus अगर उदर जाएगा, तो result क्या मिलेगा, ये बनेगा, cos x into cot x dx is equal to, minus उदर जाएगा, तो minus का cos x, और c को आप plus c ही रहने दो, कोई फरक नहीं पड़ता है, plus c रहने दो, या फिर आप अगर minus c लिखते ही हो, तो अगली line में minus c को फिर d नाम दो, d, d, माइनस C को प्लस C तो मती करो, D नाम दे दो तो ज़्यादा ठीक रहता है वैसे, जैसे मैंने यहाँ प्लस C कर दिया, प्लस D कर दो ज़्यादा अच्छा है वो उस केस में, माइनस C को हमने प्लस D लिख दिया है साब, वो ज़्यादा ठीक रहता है, या फिर डारेक्ट प्ल के लिए तो फिलाल मैं plus C ही लिख रहा हूँ, याद क्योंकि formula ये रखना है, याद रखने वाला formula ये बन रहा है, अभी उपर वाले से वैसे मतलब नहीं है, तो इसलिए मैं केवल ये बता रहा हूँ आप, D बोलो C बोलो कोई फरग नहीं बढ़ता, लास्ट में लिख दिय वास्तविक संख्याओं में से है, ये लिखते ही मामला खतम हो जाता है वहाँ पर चिंता खतम हो जाती है अपने तो ये तो हमने अभी तक फिलाल Trigonometry वाले देखे, अब इससे भी दिल्चस्प है Inverse Trigonometry वाले, बड़े इंटरेस्टिंग है वो देखो दियान से, Inverse Trigonometry साथवा नंबर है, Differentiation हमें पता है, Sine Inverse X का क्या होता है वो होता है 1 upon 1 minus X square का Underwood और differentiation अगर आप करो cos inverse x का तो क्या होगा? minus का 1 upon 1 minus x square का under root, इनकी देखना ज़रा help ले करके क्या हम बना पाएंगे क्या? इससे क्या समझ में आया है कि अगर integration करना है 1 upon 1 minus x square का under root का, तो उसका result क्या हैगा? sine inverse x. प्लस से तो खैर लगा ना है, यह वो तो जोड़ी दार है एक तरही से, अगर आठवे की बात करें तो थोड़ा ध्यान देंगे हैं अपन, इंटिग्रेशन अगर आपको करना है, 1 अपन 1-x2 के माइनस का, तो क्या आएगा, cos inverse x, माइनस की तो हम इज़े�� ही नहीं कर रहे हैं, माइनस उधर भेज रहे हैं वैसे ही, या कहलो कि माइनस तो रखे नहीं रहे हैं अपन, माइनस उधर भेज रहे हैं, भेज के देखते हैं कि क्या result बनता है, चेक करते हैं इस बार, चलिए, करते हैं start, माइनस छोड़ो, अपन तो माइनस उधर भेज रहे हैं, तो ये माइनस का, cos inverse x plus c, या माइनस c बोलो, minus C बोल दो चलो कोई नहीं minus C बन गया minus उदर बेज दिया तो minus C बन गया अपना फिलाल तो अब ऐसे case में आप बोलोगे कि sir यह तो दो दो answer आ गए कुछ बच्चे जब school में पढ़ रहे होंगे कहीं पर उनके school में या कहीं offline coaching पढ़े हूँ, या कहीं से भी पढ़े हूँ, खुद से पढ़े हूँ, तो उन्होंने ये सुना होगा integration के बारे में, कि अलग-अलग answer आते हैं बहुत बार, एक ही question के अलग-अलग answer आते हैं, actual में वो अलग-अलग होते नहीं है, होते same ही है, दिखने में अलग होत क्या ये और ये same नहीं होने चाहिए? होने चाहिए, इस चीज़ का integration अलग-अलग थोड़ी आएगा? चेक कर लेते हैं, क्या ये same है क्या? चेक कर लेते हैं, आपने एक formula सीखा हुआ है आपको याद हो दो, कहां सीखा हुआ है? Inverse Trigonometry प्रश्नावली 2 में, कौन सा formula था? कॉस इनवर्स x जो है पाई बाई 2 के बराबर होता है कुछ यादा रहा है आप लोगों को यह फॉर्मला हुआ करता था आप उस फॉर्मला को यहां एप्लाई करना जरा माइनस का कॉस इनवर्स x की वैल्यू क्या रखेंगे पाई बाई 2 माइनस साइन इनवर्स x पाई बाई 2 माइनस, साइन इनवर्स एक्स रख देते हैं इसकी वैल्यू, और माइनस सी चल रहा है, यह आगया माइनस का पाई बाई 2, प्लस का साइन इनवर्स एक्स, माइनस सी, यह आगया साइन इनवर्स एक्स, माइनस पाई बाई 2, माइनस सी, कोई वास्तविक संख्या ही, इसको आप जितने constant है, इकठा करके ही लिख दो सीधा का सीधा, और उन सब को इकठा करके हम लोग D बोल देते हैं, कि हमने ये D लिख दिया, और D हमारा वास्तविक संख्याओं में से है कोई ना कोई. तो अब आप देखो क्या ये और ये same है, constant की tension नहीं लेनी, constant वैसे ही कुछ भी है, random है यहाँ पर, यहाँ पर भी अगर आप C लिख रहे हो तो C belongs to R लिख रहे हो, यहाँ पर D लिख रहे हो तो D belongs to R लिख रहे हो, कोई भी वास्तविक संख्या है यही, क्योंकि C कोई भी वास formula नहीं लगाया तो दिख रहा था अल� लेकिन actual में same ही है, अलग नहीं है, ठीक है यहां तक, मोटा मोटा यह बताया मैंने आपको, अब मैं थोड़ा था fast ले लेता हूँ, यह मैंने मोटे मोटे तोर पर आपको बता दिया कि, आप इसके दो answer ले सकते हो एक तरह के से अब, अब देखा जाये तो conclusion के दौर पे क्या निकला? conclusion ये निकला कि integration of 1 minus x square का under root है, तो उसके दो answer ले सकते हो आप, sin inverse x plus c भी सही है, minus का cos inverse x plus c भी सही है, दोनो answer सही है, sin inverse x plus c भी सही है, minus cos inverse x plus c भी सही है, plus c, minus c जो भी बोलो, दो answer संभव है इस case में, ऐसे ही inverse trigonometry में जो सबके साथ same ही होता है, देखना कैसे, नवा देखो आप, differentiation अगर आप कर रहे हो, 1 upon 1 plus x square का, sorry, 10 inverse x का, तो वो आएगा आपका 1 upon 1 plus x square, same as एक differentiation अगर आप कर रहे हो, cos inverse, sorry, cot inverse x का, तो वो आपका minus का 1 upon 1 plus x square आएगा, और इससे आप 9th के case में बना सकते हो, integration of 1 upon 1 plus x square क्या, ये बना दो आप, 10 inverse x. और same ऐसे 10th वाले में integration minus का 1 upon 1 plus x square dx क्या cot inverse x plus c minus को उधर बेजो तो 1 upon 1 plus x square dx आप क्या रखोगे basically minus का cot inverse x प्लस C लिख रहा हूँ, यार मैं फिलहाल माइनस C यादमरत रखो, क्योंकि याद C जरूर यह रखना है, इससे कोई मतलब नहीं है वैसे भी अपने को, मैं तो याद रखने के लिए बता रहा हूँ आपने को, तो यह भी एक फॉर्मुला है, यह भी एक फॉर्मुला है, प्लस C भी लिख सकते हो जैसे पहले किया था यहाँ भी cot inverse x की value रख दोगे अगर inverse trigonometry वाले formula से तो घूम फिर कर गए वहीं पहुंचाओगे कोई खास बात नहीं है इसमें आगे बढ़ रहो मैं थोड़ा सा फटा फट कर लेता है काफी कुछ करना है आज अपने आज तो differentiation हम लोग अगर करें sec inverse x का तो sec inverse x का सबको पता है 1 upon x into x square minus 1 का under root होता है और differentiation अगर आप करते हो cos inverse x का तो cos inverse x का minus में आता है वस और कुछ नहीं है ये बारो नंबर तो इसकी health से ग्यारवे नंबर पे क्या आएगा integration of x into x square minus one का under root ये आपका direct sec inverse x बन जाएगा और इसका integration ये बन जाएगा तो इसके integration में मैं direct ऐसे लिख दू क्या minus भी हटाई दू minus भी हटा के सिदा उदर ही बेज देता हूँ तो minus का ही cos x inverse x कर लो, क्या है, क्या फर्क पढ़ना है, हो गया है भी, तो ये integration के formulas हो गए, अब trigonometry, inverse trigonometry, जितने formulas थे, उससे integration के formulas बन गए, कोई खास बात है नहीं इसमें, कोई विशेष परिवर्तन है नहीं, सिर्फ जिसके साथ minus आता है, वो minus उदर जा रहा है, इतना ही समझ में आया भी वो क्या होता है nx की घात n plus 1 एक हमने differentiation सीखा है e की घात x का वो तो e की घात x ही होता है चलो एक हमने differentiation सीखा है a की घात x का वो a की घात x गुना log a होता है और एक differentiation हमने सीखा है, log x का, जो की 1 by x होता है, अब इन चारों के reverse direction में लेना शुरू करते हैं, पहले वाले का देखो आप, यह 13 नमबर नाम देता हूँ मैं इसको, इसके हिसाब से तो अरे एक करबड़ करती है n into x की गात n-1 होता है इसके हिसाब से तो integration करें अगर n into x की पावर n-1 का तो वो x की पावर n plus c आएगा लेकिन ये इतना उप्योगी सूत्र नहीं है क्योंकि question आएंगे आपके बास x की गात 10 का integration करो साब तो उस case में ये सूत्र लगाना n को settle करना बड़ा मुश्किल काम हो जाएगा उस case में बेतर क्या है एक कमाल का इलाज है इसका मैं वो इलाज बताता हूँ आपको, इलाज यह है कि एक यहाँ पर ही कुछ ऐसा फॉर्माइट तैयार कर दिया जाए, जो उधर फिट हो जाए, मतलब हमें पता है एन घात होती है तो उधर एन माइनस बन चली जाती है, तो मैं एक काम करता हूँ एक्स की घात एन प्लस वन ल x की हाथ n plus 1 ले लेंगे, कोई दिक्कत नहीं हो उसमें, x की हाथ n plus 1 ले लो, और नीचे n भी लगा लो, ऐसा करो, तो इसका डिफरेंशन करेंगे, तो n plus 1, sorry, नीचे n plus 1 ही लगो, n उपर वाले का डिफरेंशन करेंगे, n plus 1 x की हाथ, n plus 1 minus 1, मतलब n रह जाएगा, और नीचे ये कटेगा, result आपका x की खात n बचेगा, तो हम इसको याद रखने की जगए इसको use ले लें, मतलब इसको use लेने की जगए इसको use ले लें, तो ज़्यादा productive answer आएगा, productive कुछ निकलेगा उससे, क्या? कि आप यहां से second वाले से यह समझे, कि x की घात n अगर है, तो उसका integration क्या होगा, x की घात n plus 1, और नीचे भी n plus 1, और plus में c, तो यह ज़्यादा easy है, इजी रहेगा न, calculation करने के लिए. अब आपके पास x की घात 10 का integration करने को आ जाए, तो सीधा ये वाला सूत्र लगा दो, कि भाईया एक घात उपर बढ़ाओ, नीचे सेंचीज बढ़ा के लिख दो, तो x की घात 10 प्लस 1 और नीचे 10 प्लस 1 सीधा अंसर आ गया, वरना ये formula होता, तो जान निकल जाती इसको set करने में formula के अंदर, बड़ी मुश्किल होती कहने का मतलब, थोड़ा मुश्किल तो होता, तो इसलिए हमने इस formula की complexity को ध्यान में रखते हुए, एक नया formula इजाद कर दिया, इसको use, ले लिया क्योंकि हमें पता है इसका differentiation तो यह आएगा तो इसका integration यह हो जाएगा क्या दिक्कत है उसना हमने कुछ ऐसा यहाँ पर design कर लिया कि जिसका differentiation x की घाथ n आता हो क्योंकि हमें x की घाथ n का pure integration चाहिए था इसलिए हमने ऐसा किया वरना कोई दिक्कत नहीं थी ऐसी तो अपन ध्यान यह वालो रखेंगे second वाला क्योंकि हमारे काम का यही है question इसी से solve होंगे तो उपर वाले को गोली मारो उपर वाले की कोई जरूरत नहीं है उसको आपको मैं को उठा करके कोई टेंचन नहीं अब यह चौदवा नंबर एक पावर एक्स का जब डिफरेंशन एक पावर एक्स है है तो उसका इंटेग्रेशन भी एक पावर एक्स ही रहेगा एक पावर एक्स ऐसी चीज है जिसका डिफरेंशन भी सेम इंटेग्रेशन सेम टेंचन नहीं कता एक पावर एक्स सबसे बढ़िया चीज है एकदम नेक्स्ट पंद्रवाह नंबर एक पावर एक्स का यह आ रहा है अगर डिफरेंशन तो इसका मतलब एक पावर एक्स इंटू लॉग एक आप इंटेग्रेशन एक पावर एक पावर पावर x आ जाएगा, लेकिन ये constant यहाँ रखने का क्या मतलब है जबरतस्ती, constant integration से भी बाहर आ जाता है, जैसे differentiation से बाहर आ जाता है, integration से बाहर लिया जाता है, इस log x, log a का divide लगा दो वो अगर, तो log a अगर उदर divide में जाएगा, तो ये बन जाएगा, a की power x, upon में log a, plus में c upon में log a, देखो, log a constant है, इसके पास x तो है नहीं, तो c upon log a अपने आप में पूरा का पूरा constant ही है, तो आप इसको इकठा करके constant constant को एक साथ इकठा करके नया constant नाम दे दिया करो D और लिख दिया करो कि D belongs to R है यह तो आपके बनाने के लिए बताया है मैंने बाकि actual में एकी power x upon log a plus c लिखते हैं अपन तो अज़ागे plus में जो लिखोगी बस वो constant है एकी power x का integration एकी power x upon लॉग ए है, खतम बात, सही है, जैसे एकी पावर एक्स का डिफरेंशन, एकी पावर एक्स गुणा लॉग ए है, वैसे एकी पावर एक्स का इंटिग्रेशन, एकी पावर एक्स अपॉन लॉग ए है, बस ऐसे याद रख लो, तो यहाँ पर वन बाई एक्स का क्या हो जाएगा, लॉग एक्स हो जाएगा, अब यहाँ मॉड वर्ड लगता है, जाएगा, आप बस ये ध्यान रखो, log के अंदर जो भी value है, negative आने नहीं चाहिए, तो यहाँ पर हम लोग mod लगा देते हैं इसके, log के अंदर negative value इस defined नहीं होती, तो mod लगा देते हैं बस इसमें, अब इतना ही ध्यान रखो, इसका कुछ खास logic भी है, ये log mod x का integration, differentiation actually 1 by x होता है, तो मैं, एक बार इसको आगे बढ़ाता हूँ 6.3, 6.4 प्रश्नावली, मैं सुबह शुरू करने वाला हूँ, एक्स्टर क्लासेज और ले करके, उसमें आपकी 6.3, 6.4 मैं कवर करवाँगा, चिंता मत करना, चलो, ये 16 के 16 सारे के सारे फॉर्मलेज अपने कर लिये, और उनको practice करना है, एक चोटी सी चीज़ और, यहाँ पर एक सूतर के रूप में ही याद रख लो, उसको तो ज़्यादा अच्छा है, क्या, कि अगर आपके पास differentiation है, x का, क्या होता है x का differentiation, वन, तो इसका मतलब अगर आपके पास वन है, तो उसका integration क्या हो जाएगा, एक्स हो जाएगा, इसको direct यादा रख लो तो जादा ठीक है, वरना खेर एक्स की घात जीरो बना करके एक्स की पावर एन वाले सूतर से भी बनाया जा सकता है, वो मैं सिखा दूँगा, उसकी आप फिर आगे बढ़ते हैं और तब तक जिस बच्चे ने like नहीं किया है वीडियो को वो like करतों और फिर आगे बढ़ते हैं अब आपको ग्राफ से कुछ चोटे मटे चीजें सिखाता हूँ मैं ग्राफ बना के बताता हूँ कि क्या चल रहा है दुनिया में ठीक है आज का lecture बहु तो एक बार गड़ जाके देखना तो है ही है बाकि अभी मेरे ख्याल से 20 मिनट का और लूँगा तो उससे सब कुछ कम्प्लीट हो जाएगा 20 मिनट भी शायद नहीं लेना पड़ेगा 10 मिनट में हो जाएगा सारा जाधा नहीं बचा है अब कुछ चलिए प्रोफ़ नंबर पर फोन कर लो अगर आपको नहीं देखना आ रहा है कॉपी कैसे देखते हैं तो एक बार सपोर्ट नंबर पर फोन कर लो आप ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं हम लोग और जिसको सब समझ में आ रहा है वो लास्ट में कमेंट करके बताना मेरे को अभी तो खैर मैं इतने देख नहीं पाऊंगा आपके मैसेज वगर है ना आगे बढ़ते हैं फिलाल हम लोग मैं वापिस से पुराने उस पर आ जाता हूं जहां से पहले इतना revise करवा देता हूँ वरना भरी हो गया है वरना आप लोगों का सड़ड़ दर्द करने लग जाएगा समाकलन में दो तरह के समाकलन है निश्चित समाकलन एनिश्चित समाकलन है निश्चित है हमारे पास प्रश्नावली 7.1 से 7.7 तक और निश्चित है 7.8 निकालना हम लोग सीखते हैं उल्टे सिद्दे गंदे गंदे वक्रों का ऐसा नहीं है कि आयत वगरा का नहीं निकाल सकते हैं आयत का भी निकाल सकते हैं इसकी मदद ले करके तो लेकिन आयत का तो वैसे ही पता है हम तो एक गंदे गंदे वक्रों का निकालना सीखेंगे इसमें इसके बाद बात आती है एनिस्टित समाकलन की एनिस्टित समाकलन कहां यूज़ आता है मेनली यूज़ आता है कि अगर किस लान कर दो original function तक पहुंच जाओगे वो यहाँ ऐसे काम आता है ठीक है अब हमने यह चीज देखी कि मान लो आपके पास एक फलन है, x square, जिसका differentiation 2x होता है, तो x square का अउकलन किया, 2x मिल गया, मतलब हमने f-x, sorry, fx आपके पास था, उससे आप f-x निकाले, fx से जो f-x निकालने का process है, वो अउकलन है, और f'x से fx तक पहुँचने का जो process है वो समाकलन है, बस इतनी सी ही बात है, उसी को मैंने यहां लिखा है, कि x square का आउकलन 2x है, तो x square का आउकलन किये, तो उसका आउकलज मिला जो 2x है इस आउकलज का उल्टा आउकलन कर दो आउकलन का उल्टा क्या? प्रति आउकलन anti derivative anti मतलब उल्टा दुनिया में यही होता ना मतलब anti derivative कर दिया derivative का उल्टा कर दिया, तो उससे प्रतिया उकला जा गया, जो कि समागलान है, बस इतनी सी बात है, और कुछ है ही नहीं इसमें, एक दूसरे का उल्टा बुल्टा है ये मामला, अब यहाँ पर हमने सीखा कि, x square का डिफरेंशन करो, या x square plus 2 का करो, बले x square minus 1 का कर लो, मतलब x square कुछ भी हो सकता है, तो हमने कहा कि यार एक काम करो, simple लिख दो इसको, x square plus c है, बाती कटम करो, मतलब x square तो fix है, वो तो आएगा ही आएगा, plus में कोई constant है, वो constant अब यह नहीं स्चित है, हमें नहीं पता क्या है, arbitrary constant बोलते हैं उसको, arbitrary constant मतलब कोई भी constant है, इस तरह का जो समाकलन होता है, जिसमें plus c आजाता है, माकलन कहा जाता है इस तरह का समागलन, एनिश्चित समागलन होता है, क्योंकि इसमें C की एनिश्चित्ता बरकरार है, अब बात करते हैं आगे, फिर हम देखा कि या ठीक है, X square plus C का डिफरेंशन कर रहे हैं, उसको 2X लिख रहे हैं, तो, इसको ये लिखते हैं ना x square plus c का, x के सापेश आउकलन 2x है, reverse direction में समागलन करते हैं, तो ये चिन होता है समागलन का, तो 2x का x के सापेश समागलन में dx यहाँ पर लगते हैं, ये operator है, dx यहाँ पर लगते हैं, तो 2x का x के सापेश समागलन x square plus c है, अब फिर हमने कुछ-कुछ formulas निकालने देखे हैं, कैसे हम इनके formulas को define कर सकते हैं, बना सकते हैं, यह अपने कुल मिला करके, सत्रा formulas देख लिये, जो कि आप घर जा करके शांती से लिख लोगे, अब मैं वापिस से वहीं पर आ रहा हूँ, जहां से शुरुवात करी थी मैंने, क्या, कि मैंने ये देखा, कि यार, differentiation कर रहे हैं, x square plus c का, नहीं, इसको भी छोड़ो, differentiation x square plus c का 2x आ रहा है, तो integration of 2x क्या है? x square plus c integration से result क्या मिल रहा है बच्चों? integration से ये जो वक्र आ रहा है ये basically family of curves है Family of curves यह आपके नवे चेप्टर में और आएंगे वैसे डीटेल में, मतलब बहुत चीज़े आएंगे इसके बारे में बकि यह family of curves है family of curves क्यों बोल रहे हैं? एक ही family है यह अलग अलग नहीं है, ज़्यादा लोड नहीं लेना इसका देखो मैं बताता हूँ क्यों मैं कह रहा हूँ कि एक ही family है family मतलब साथ साथ वाले लोग यार और तो क्या है और तो क्या होता है family का मतलब है ना तो basically ये फलन है f x बराबर x square plus c, c कुछ भी हो सकता है, मतलब ये x square plus 1 हो सकता है, x square plus 2 हो सकता है, x square plus 3 हो सकता है, या केवल x square plus 0 हो सकता है, x square minus 1 हो सकता है, x square minus 2 हो सकता है, ये सब fx हो सकता है, c के अलग-अलग मान रखोगे तो अलग-अलग fx मिलता चला जाएगा, ये सब जो मिल रहा है ये family है एक तरीके से, इसमें x square तो same है, केवल constant का फर्क है, diagram से भी आपको अभी स्पस्ट हो जाएगा कि क्यों मैं कह रहा हूँ कि ये family है, मैं इन सब को y लिख दूँ fx की जगह, y और x में रहता है तो क्या है, graph गनाना easy रहता है, अब इसका graph actual में आपकी 11 class में था, ये परवले है actual में, y बराबर x square, आपको ऐसे याद ह नहीं लोग आठवे चैप्टर में सारा वापिस बताऊंगा ग्राफ भर भर गया है आठवे चैप्टर में तो मेरे को पूरा वापिस बताना ही पड़ेगा वैसे भी क्योंकि तुम नलायक हो तुम्हें नहीं पता ग्यारवी का कुछ भी पड़ते नहीं हो एकदम बेशरम ल डेसमोस ग्राफिक कैलकिलेटर बीच-बीच में मैं उसको खोलता हूँ गूगल पे और आपको बताता भी हूँ कुछ प्रैक्टिकल ग्राफ बनाने होते हैं तो मुझे इसका मुझे पता है इसलिए मैं उसके बना रहे हूँ मैं डायरेक्ट बना रहा हूँ ठीक है तो देखे ग्राफ किस तरह का बनेगा इसका यह x है, यह y है, मान लो यह 0 है, यह 1 ले लेते हैं, यह 2 ले लेते हैं, यह minus 1 ले लेते हैं, यह minus 2 ले लेते हैं, इधर minus 3 भी होगा, उधर plus का 3 भी होगा, चलता रहेगा यह तो, चलता रहेगा, x में भी कुछ-कुछ है, मान लो, y is equal to x square का ग्राफ बना देता हूँ सबसे प ये y is equal to x square का graph बनाया है मैंने, जो y is equal to x square का graph मैंने बनाया है, वैसा ही कुछ graph बनता है, y is equal to x square plus 1 का, ये कुछ ऐसा बनता है, ये ग्राफ है अपना y is equal to x square का, ये ग्राफ है y is equal to x square plus 1 का, ये ग्राफ बनता है y is equal to x square plus 2 का, ये 2 का point आप नीचे लिलो थोड़ा. ये ग्राफ बनता है y is equal to x square plus 2 का, ऐसे नीचे अगर आप देखें, तो ये minus 1 से जाने वाला ग्राफ होगा आपका, y is equal to x square minus 1 का, minus 2 से जाने वाला ग्राफ होगा आपका, y is equal to x square minus 2, अब थोड़ा ध्यान देना यहाँ पर, ये family type के नहीं लग रहे हैं? ये तो बहुत गंदा ग्राफ बनाया है मैंने दिखने में, बच्सूरत है एकदम है, बहुत ही घटिया, कोई सुन्दरता ही नहीं बची इसके अंदर, लेकिन इतना गंदा थोड़ी बने गए हैं, ये सुन्दर बनते हैं यार बहुत, आप बना सेम पर वाले लाइन से चल रहे हैं एकदम सिस्टमेटिकली, फैमिली लग रही है ना यार, दिखने में, एकदम फैमिली टाइप लग रहा है मामला, तो इसे को बोलते हैं फैमिली ओफ कर्व, और कुछ नहीं है, अब यहाँ एक दिल्चस्प बात बताता हूँ आपको, बहुत जबरदस्त बात है मतलब ये, बस यही पूरा सा राँच है, जान यही पर सारी लगेगी आपकी, मेरी दोनों की, मान लो मैं यहाँ एक line डालता हूँ, जो कि x is equal to 1 line है, बड़ी टेड़ी line की जी है, मज़े ही नहीं आया देखके, यह एक सीधी line है, जो जो भी है या ठीक है यह मैंने x is equal to 1 line डाल दी यहाँ पर यह x is equal to 1 line है यह x is equal to 1 line, इस वाले वक्र को यहां प्रतिशेत कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, आप इस पे इस पर श्रेका कीचो, इस पे इस पर श्रेका कीचो, वक्र पर स्पर्श रेखा खीचो वो सब समानांत रहेंगे मतलब एक्स बराबर एक पर खीची गई सभी स्पर्श रेखाएं समानांत रहेंगे चेक करो है की नहीं है मैं ऐसे थोड़ी रहा हूँ आई रही है कमाल की बात नहीं है ये कि ये जितने भी family of curve हैं, उन सारी families में x बराबर एक पर जो इस परश्रेका होगी, वो एक दूसरे के एकदम समानाल पर रहेगी. क्यों वरी भी बताता है आपको टाइंचन नालो समानांतर होने का मतलब क्या है उनकी जो प्रवणता है वो बराबर होगी इस पर श्रेका का जो धाल है वो बराबर होगा धाल बोल दो प्रवणता बोल दो टेन थीटा बराबर होगा इसका मतलब x बराबर एक पर अर्था अर्थ x बराबर एक पर खीची गई इसपर्श रेखाओं की प्रवणताएं के ढाल बराबर हैं? ढाल बराबर हैं? ढाल का मतलब क्या होता है? धाल का मतलब होता है, जिसने डिफरेंचियन ढंग से पढ़ा है, पांचवा चैप्टर ढंग से पढ़ा है, उसको यहाँ दोगा, धाल का मतलब होता है, dy by dx, या आप कहलो f dash x, मतलब इन सब ग्राफ पे, इन सब फलनों के, जब आप डिफरेंचियन करोगे, और x बराबर एक same आएगा रख के देख लो x square plus 2 का भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x ही आना है क्योंकि constant का 0 हो जाएगा सबका differentiation जब 2x ही आएगा तो उसमें जब x का मान रखोगे तो 2 into 1 2 आएगा तो इन सबका differentiation x बराबर 1 पर 2 आ रहा है तो ये इस तरह की family of curves मिलते हैं integration की help ले करके, जिन सब का differentiation same ही आता है, ये ऐसी family of curves हैं अपने पास में. इन सब का differentiation 2x ही बनने वाला है तो जायर सी बात है x square plus c सबका difference है 2x ही बनेगा तो ये diagram से इस तरह का सारी parallel lines बनती है आप कोई भी एक point ले लो x बराबर 1 ले लो 2 ले लो 3 ले लो 4 ले लो सब पे जो भी इस पर श्रेगा बनाओगे आप सब समानांतर बनेगे बड़ी दिल्चस्ट सी बात है ठीक है तो खैर आज हम लोगा ने basic integration समझा है सारे formulas देख लिये है कल मैं क्या करवाने वाला हूँ कल सारे के सारे formulas को एक बार तो मैं वापिस याद करवाँगा 10 मिनित के अंदर अंदर और उसके उसके बाद अगले एक घंटे तक धड़ा धड़ questions करवाँगा, धड़ा धड़ questions, question पे question, question पे question, question पे question चलेंगे, है न, धेर सारे questions करेंगे, और 7.1 का maximum part हम लोग निप्टा लेंगे, कोशिश यह करेंगे, कि ज़्यादा से ज़्यादा हम लोग पढ़ लें 7.1 में, दो दिन मुझे लगता है कि दो दिन में 100% complete हो जाएगी, उधारन भी सारे हो जाएगे, प्रश्न भी सारे हो जाएगे, बड़ी बड़ी प्रश्नाव लिया है, थोड़ा समय लगेगा, टेंशन मत लेना, आपको समझ में पूरा हैगा, आज का lecture कैसा लगा नीचे comment करके बताना है आप सब बच्चों को नमबर दो like नहीं किया है तो like कर दो और जो बच्चे आपके classmates हैं जो पढ़ना चाह रहे हैं पढ़ नहीं पा रहे हैं परचान हो रहे हैं उनको ये link भेज दो इस वीडियो का ताकि वो भी अच्छे से पढ़ सकें जीवन में आए हैं तो थोड़ा सा share करो अपने ज्ञान को share करना चाहिए उससे मन positive रहता है आपका काफी ज़्याता मन positive है तो दुनिया जीत लोगे फिर कोई tension नहीं है ठीक है नीचे comment करके बताना कैसा लगा like कर देना thank you so much कल मिलते हैं आज की class को वापिस देखना है सारे बच्चों को कोई बात नहीं समझ में आ गई तो मेरे को नहीं पता ठीक है? फॉर्मलेज याद कर लेना? चलो. बाई.

केवल 7.8, जिसमें 5 ही question है, तो ज़्यादा खुश होने की ज़रूरत नहीं है, और विविद में भी इसके 2 ही या 3 ही question दे रखे हैं, तो बहुत ज़्यादा एक्स्ट्रा questions भी करने है इसमें तो मैं करवाऊंगा आपको बोर्ड के हिसाफ से अलग से, तो बहुत कुछ है इस chapter में पढ़ने के लिए, हम लोग शुरू करेंगे, और शुरू करने से पहले हम ये जाने कि ये समाकलन है क्या चीज़ा, चीज कहां से आ गया क्यों आ गया और क्या करेंगे इसका तो समाकलन में दो तरह की समस्याओं को हल किया जाता है अक्शल में क्या होता है वो तो अब आगे और देखते हैं दो तरह की समस्याओं को हल किया जाएगा एक समस्या तो ये कि किसी भी छेत्र का छेत्रफल निकालना है आपको मान लो आपके पास कोई आयताकार खेत है इसका छेत्रफल निकालना बेहद आसान है लंबाई गुणा चोड़ाई आपके पास कोई वरगाकार है खेत उसका छेत्रफल छेत्रफल निकालना है, भुजा स्क्वायर, मान लो कोई वृत्त है आपके पास में, उसका छेत्रफल निकालना है, पायार स्क्वायर, कोई टेंचन ही नहीं है, चत्रबुज का भी एक बार के लिए निकाल दोगे, अरे लेकिन इतना अजीब सा कोई डाइग्राम आया, ये बताना है अब ये तो अजीब सा है यार ये तो सीधी लाइन है चलो ये सीधी लाइन है लेकिन ये तो पता नहीं कैसी टेड़ी मेड़ी लाइन है कैसे निकालेंगे इसका छेतरफल ना ये आयत है ना वर्ग है ना चतरुब जे ना कुछ है पता नहीं क्या है ये तो टेड़ यहां से जहां तक निकालना है आपको, यहां से लेके यहां तक आपको छेतरफल निकालना है इस पूरे छेतर का, तो निश्चित समाकलन का उप्योग करेंगे, तो पहले उसके लिए निश्चित समाकलन सीखेंगे, उसके बाद उसकी मदद ले करके छेतरफल निकालेंगे, छेतरफल निकालने वाला पूरी प्रश्नावली आपके अलग से दिरखी है, कैसे आप छेतरफल निकाल सकते हो, यही सिखाया हुआ है और कुछ नहीं है, ठीक है, निष्चित यहाँ काम आएगा, निष्चित एक्चुली कई जगह काम आता है, उनमें से मेन आपको बता देता हूँ मैं, वो मेन जहाँ यह काम आएगा, उसी से अलग-अलग उप्योग इसके बनते जाते हैं, जो नवे चेप्टर में हम लोग सीखेंगे, इसका खास उप्य हाँ, मान लो आपके पास कोई फलन है, फलन नहीं है, फलन का आउकलन है, आपके पास F-X है, फलन है ही नहीं आपके पास, आपको तो सिदा उसका आउकलन दे रखा है, किसी फलन का, आपको बोले कि आउकलन ये रहा साब, बताओ फलन कौन सा था? किसी फलन के अवकलन से उस फलन को जानना है कि वो फलन क्या था तो उसके लिए आपको एनिश्चित समाकलन का उप्योग करना पड़ेगा उसके लिए एनिश्चित समाकलन काम आता है मतलब किसी फलन के अवकलन की मदद लेकर के या किसी फलन के अवकलन से उस फलन को प्राप्त करने की प्रक्रिया ही समाकलन है या किसी फलन के आउकलन से वो फलन प्राप्त हो जाए, तो किस प्रक्रिया से मतलब वो फलन प्राप्त होगा? वो प्रक्रिया समाकलन है.

समाकलन की मदद ले करके हम किसी भी फलन के आउकलन से उस फलन को प्राप्त कर सकते हैं. आपको बोला कि इससे फलन बताओ कौन सा था, इसका समाकलन करेंगे, तो ये आ जाएगा. समाकलन एक प्रोसेस है, जिसके थूँ हम लोग किसी फलन के आउकलन से उस फलन को प्राप्त कर लेते हैं। वापिस से बोल रहा हूँ, समाकलन एक प्रोसेस है, प्रक्रिया है, जिसकी मदद ले करके किसी फलन के आउकलन से उसकी मदद से वो फलन आप प्राप्त कर सकते हो। 7.1 से 7.7 तक हम डिटेल में यही सीखेंगे, अगर आपको यह आ गई, तो यहाँ पर 7.9, 10 यह सब तो खतम जाएगी, एक 7.11 में कुछ नया सीखना रहेगा आपको, कुछ खास नहीं है मतलब, मेन आपकी यही है यही मान के चलना, 7.1 से 7.7 तक ही है, ठीक है, तो शुरू करत तो start करते हैं हम लोग, शांते से देखेंगे, एक एक चीज लिख के बताओंगा, शांते से देखेंगे, कुछ उपा निचे नहीं करना है, केवल सामने ध्यान देना है, इदर उदर नहीं जाना है, वच्चों ये बहुत ज़्यादा important chapter है, जितने भी आपने अभी तक पढ़ मैं फलन सबसे आसान वाला लेता हूँ, मेरे को बड़ा आसान लगता है, x square.

और इस x square का differentiation कर दिया, मान लो मैंने. इस x square का अगर आपने differentiation किया, तो वो 2x आ गया. इसमें तो कोई डाउट ही नहीं है. x square का differentiation 2x होता है.

ठीक है. तो x square का हमने क्या किया? हमने आउकलन किया.

आउकलन एक प्रोसेस है, जिससे x2 का हमें आउकलज मिल गया, हमें ये क्या मिला है, x2 का आउकलज, derivative मिल गया, किसकी help से, differentiation की help ले करके, differentiation एक प्रोसेस है, जिसकी help से derivative मिल गया हमारे बारे बारे, अब मान लो आपको इस derivative की help से, वापिस, original function तक जाना है तो कैसे जाओगे? इस derivative की help लेकर के आप अगर original function तक जाना जाते हो तो कैसे जाओगे? इस derivative की help लेकर के अगर आप इस function तक जाना जाते हो ये d by dx हटा दो आप इस function तक जाना जाते हो तो उसका process है alkaline का उल्टा alkaline का मतलब क्या? differentiation तो हम anti differentiation करेंगे हम लोग क्या करेंगे, प्रति आउकलज निकालेंगे, प्रति आउकलज का मतलब क्या है, आउकलज, प्रति आउकलज को बोलते हैं, anti derivative, anti differentiation बोल दो, anti differentiation, ठीक है, anti differentiation कर रहे हैं, differentiation का उल्टा कर रहे हैं, differentiation का उल्टा करेंगे, तो original function मिल जाएगा, ये जो प्रति आउकलज हम, प्रति अवकलन कर रहे हैं, अवकलस तो निकलेगा कर, प्रति अवकलस तो निकलता है ये जो प्रति अवकलन हम कर रहे हैं, इस प्रति अवकलन का ही दूसरा नाम है समाकलन और कुछ नहीं है समाकलन इस प्रति अवकलन का दूसरा नाम है समाकलन और ये प्रति अवकलन का उप्योग करके, प्रति अवकलन एक प्रोसेस है प्रति अवकलन प्रोसेस का उप्योग करके हम क्या प्राप्त करेंगे?

हम जो चीज प्राप्त करेंगे वो है प्रति आउकलज और प्रति आउकलज को ही समाकलन बोलते हैं ठीक है तो हम अभी तक क्या समझे अभी तक ये समझे कि कोई आपको फलन दे रखा है उसका आपने आउकलन किया तो आउकलज मिल गया अवकलज का एंटी डिफरेंचिजन किया अवकलन का उल्टा प्रोसेस चलाया तो हमें वापिस वो फलन मिल गया उस फलन को हम लोग प्रति आउकलज कह देंगे, आउकलज का उल्टा प्रोसेस में आने वाला फलन, और वही हमारा एक तरीके से समाकलन है इसका, जो कि हमारा बेसिकली देखा जाये तो ओरिजिनल फंक्जन आया है, समझ आई यहां तक बात? तो यह कहना बिल्कुल भी गलत नहीं है कि आउकलज का रिवर्स प्रोसेस है समाकलन अव कलन का reverse process है समा कलन, ठीक है? तो इसका मतलब यह हुआ कि इस वाले के question में तो यह समझ में आ गया अपने को, कि यार x square का differentiation अगर 2x है, तो इसका मतलब 2x का integration x square है, तो 2x का integration हमें direct ही मिल गया है. तो ये तो differentiation अगर पता है किसी का, तो इदर वाले का integration भी पता है एक तरीके से, तो बड़ा अच्छी चीज मिली है मतलब, बड़ी कमाल की चीज है, तो हमने मोटा मोटा अभी तक यही सीखा है, किसी फलन का आउकलन करो, आउकलज मिलेगा, उसका प्रति आउकलन करो, प्र लेगा वही समागलन होता है और कुछ नहीं है सिंपल सी इतनी बात है अब यहां कुछ गहरी बातें हैं जो समझने की हैं बहुत कमाल की बातें हैं जो अपने को समझनी चाहिए वो क्या है इसको करो साइड में तक समझ में आएगी बात देखें कुछ बच्चे बोलेंगे कि स यह symbol चलो बाद में लिखेंगे, है न, symbol हम बाद में लिखेंगे, ऐसा करते हैं, चलो फिलाल ऐसे देखते हैं कि एक चीज़ समझ में आई है हमारे को, एक बच्चा बोल रहा है कि sir, x square का differentiation क्या है, 2x है, उत्तम विचार है, बहुत बढ़िया, सुन्दर बात लगी मेरे को तुम, कोई टेंचन नहीं है, इसको अगले पेज़ पर करूँ के मैं? इसको अगले पेज़ पर करना ज्यादा समस्दारी लग रही है मेरे को, अगले एक बच्चा कह रहा है, उसी को जो अपने छोड़ा है न, उसी को continue कर रहा हूँ, इसी को continue कर रहा हूँ, ध्यान से देखना भी, यह बहुत basic introduction वाली class ले रहा हूँ अभी, आपको यह गहराई में समझ में आ जाएगी कि समागलन है क्या चीज, और उसके questions करेंगे कैसे, और उ तो इसका मतलब 2x का integration x square है, कोई दिक्कत नहीं है, एक बच्चा बोलेगा कि, मैं यहाँ लिख दू क्या एक बार इसको, मैं लिख देता हूँ एक बार, पहली चीज का मतलब क्या निकला, इससे conclusion यह निकला, इससे conclusion निकला कि 2x का समाकलन, x square है, ठीक है, एक बच्चा बोलेगा कि sir, x square plus 2 का करना जरा differentiation, x square plus 2 का differentiation भी 2x है, यह तो पंग हो गया यार, यहां से क्या result मिला, 2x का, यह तो clear है ना आप लोगों को, यह तो चीज clear है ना, कि यहां से यहां हम लोग differentiation से point तो यहां से यहां integration से पहुंचेंगे, यह तो clear है ना, इसमें तो कोई doubt ही नहीं है, तो यह समझ में आया कि 2x का integration क्या, x square plus 2, तो यहां से आप लिखोगे कि 2x का जो समा कलन है, वो x square plus 2 है, इससे यह समझ में आया है, एक बच्चा फिर से खड़ा हो गया, बोले सर केवल ये 2x का समाकलन x square plus 2 है ही नहीं, आप तो x square minus 1 का डिफरेंशन करके देखो, करके देखा, 2x आया फिर से, क्योंकि minus 1 का 0 है, 2 का भी 0 ही होता है, तो इससे क्या conclusion आया, इससे नया conclusion आ गया, कि 2x का समाकलन तो x square minus 1 है, लड़ x square minus 1 है यह तो जगड़े वाली बात हो गई अब देखो अभी तो चोथा बच्चा खड़ा होना बक्के रह गया चोथा बच्चा खड़ा होने वाला था इतने मैं master engine रोक दे रोको भाईया ऐसे नहीं हो रहा काम यहाँ पर तो x square minus 1 की जग़ा minus 2 आ जाए minus 50, minus 100, minus 1000, under root 2, under root 5, अगर आप प्लस और माइनस में एक बार प्रति पड़ें, तो वह रिजल्ट 2x ही मिलने वाला है। एक्स स्क्वायर के साथ में, एक्स स्क्वायर के साथ में, आप कुछ भी लिख दो यहाँ पर, अगर कॉन्स्टेंट है वो, कोई भी आप वास्तविक संख्या यहाँ पर लिख दो, कोई भी वास्तविक संख्या है अगर, तो 2x ही आएगा वो तो फिर। ऐसी तो अनंत संख्याएं हो सकती है, इसका मतलब 2x का समाकलन तो अनंत आ सकते हैं, x square भी है, x square plus 2 भी है, x square minus 1 भी है, x square plus 5 भी आएगा, x square plus 500 भी आएगा, बहुत आ सकते हैं, क्या यह सही बात है, बिल्कुल सही बात है, कोई टाइंचन नहीं है इसमें, जैनुइन है यार, गलत कहें इसमें, ऐसा हो रहा है, दिख रहा है साफ साफ, तो इससे यह समझ में आया, कि देखो भाई, x square के साथ में कुछ भी लगा दो, x square का differentiation 2x है ना, तो x square प्लस कोई constant हो, उस constant को मैं c नाम दे दू, उसका भी differentiation 2x है, तो इसका मतलब यह हुआ, कि 2x का, तो 2x का जो समाकलन है, वो basically x square plus c है, 2x का समाकलन x square plus c है, जहाँ पर c belong कर रहा है r में, मतलब c कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है.

तो उस हिसाब से देखा जाये, तो 2x का समाकलन तो अनंत मिल गए हमारे को, x square plus c का मतलब क्या है, c तो कुछ भी हो सकता है, c को बोलते हैं हम लोग, वास्तविक संख्याओं में अनन्त वास्तविक संख्याओं होती हैं, उनमें से कोई भी वास्तविक संख्या यहाँ पर लाई जा सकती हैं, वो 2x का समाकलन कहलाएगी, वो हो सकती है 2x का समाकलन, तो 2x का समाकलन x square plus c है, अब यहाँ क्या बात है, ध्यान से समझना इस बात को यहाँ x square है, यहाँ x square है, यहाँ x square है, यहाँ x square है, मेन तो खेर यही है, 2x के समाकलन, लास्ट में आई गया, conclusion C आई गया, तो मतलब आई गया, 2x के समाकलन में x square तो fix आ रहा है, लेकिन एक जगह गणबड आ रही है, x square के साथ क्या है, साथ क्या है, साथ क्या है, वो जो x square के साथ है, उसमें कुछ एनिश्चितता आ रही है, वो निश्चित तोर पे हम नहीं बता पा रहे, कि इसके साथ में क्या आएगा? क्या आप बता पारे हो निश्चित तौर पे? नहीं बता पारे हो, अलग-अलग आ सकते हैं.

2x का integration ये भी है, ये भी है, ये भी है, ये भी है, गलत नहीं है बात तो. इसका मतलब x square के साथ में कोई एक constant value है, उसके कारण कुछ एनिश्चित आ रही है, वो निश्चित नहीं है वो constant value, है constant ये पता है, लेकिन कुछ निश्चित मान नहीं है, 5, 10, 15, fix नहीं है, कुछ भी हो सकता है. तो इस C के कारण ही एनिश्चितता आ जाती है। एनिश्चितता का कारण है ये कौन? C। अतहें इससे ये जो प्राप्त होता है। अतहें इस समाकलन का नाम होता है। वापिस से, क्योंकि इससे एनिश्चितता आ जाती है, इसलिए इस समाकलन को एनिश्चित समाकलन बोलते हैं, एनिश्चित समाकलन बोलते हैं, यहाँ पर मैंने दो तरह के समाकलन आपको बताऊंगा, कि समाकलन दो तरह के होंगे एक एनिश्चित समाकलन एक निश्चित समाकलन तो एनिश्चित समाकलन में हमें नहीं पता एक्स स्क्वायर के साथ में क्या आएगा तो एनिश्चित समाकलन है लेकिन जब पता जा जाएगा कि एक्स स्क्वायर के साथ में भाई प्लस फ जितर गुदा दुनिया, लेकिन प्लस 5 आएगा, ये पता जा गया, तो उसको क्या बोलेंगे, निश्चित समाकलन बोल देंगे, इतना ही डिफरेंस है, और कोई डिफरेंस है ही नहीं, इतनी सी बात है बस, निश्चित और ऐसे निश्चित में, तो यहाँ पर, क्योंकि ये स इतना आपको पड़ ले पड़ गया है?

जो मैंने बोला, मैं रिवाइज करूँगा अभी, थोड़ी देर में, एक छोटी सी चीज़ और बता दूँ, उसके बाद आपको थोड़ा सा रिपीट करके बताऊंगा मैं, टेंचन मत लो, आराम से करेंगे यार, जल्द बाजी नही अच्छा, मैंने ये बोला कि differentiation कर लो x square plus c का और वो हमारा 2x आ जाएगा, इसी चीज को integration के format में लिखें तो क्या, differentiation तो यहां से, यहां गए हम लोग, integration में यहां से यहां आएंगे, मतलब 2x का integration, integration का यह चिन होता है, ऐसे साप बना दिया लहरता हुआ, इस integration का चिन है, यह यों, यों, यों, बार बार बनाओगे, practice हो जाएगे, integration of 2x with respect to x, यह dx क्यों लगा, x के सापेश समाकलन, वो कितना आ रहा है हमारे पास, x square plus c, तो ये जो लिखा रहता है, इसका मतलब होता है, x square plus c का x के सापेश, अउ कलन, 2x है, इसका यह मतलब है न, x के सापेश क्यों बोला, क्योंकि d by dx, इसके करण पता जलता है किसके सापेश बात चल रही है, तो वैसे ही यहां भी ऐसे ही रहता है मामला, यहां पर यहां दिखता है किसके सापेश बात चल रही है, यहां पर यहां दिखता है किसके सापेश बा जो समा कलन है, वो x square plus c है, clear है यहां तक बद, यह ऐसे लिखा जाता है, भी और कुछ बात नहीं है यार, इतना कर सकते हैं मतलब आप लोग, यह अभी तक मैंने केवल symbol बताया है, यहां तक देख लो आप थोड़ा सा पचालो डाइजेस्ट कर लो वीडियो को पिछले कर लो कहीं ऊपर नीचे लग रहा है तो देख लो और फिर हम आगे बढ़ते हैं मैं तब तक आपके एक बार चैट देख लेता हूँ अभी तक चैट नहीं देखे मैंने स्टार्टिंग स चलो तो बात ऐसी है कि मैं थोड़ा basic से ही बता रहा हूँ मैं थोड़ा सा गहराई में शांत तरीके से आपको बताने वाला हूँ करने में तो आपको पता है 7.1 कुछ है नहीं दम वाली बात मैं चाहूँ तो फटा फट एक या दो lecture में दो भी lecture जाएगा बोल दिया मैंने एक lecture में निप्ता सकता हूँ पूरी में लेकिन मज़ा नहीं आएगा यार आप यहाँ पर आ रहे हो लड़ने चेहर के तो इसलिए आ रहे हो कि आ कि आ गहराई में उतर सको यही परपस है शांती से करेंगे आज की class थोड़ा सा समझेंगे चल क्या रहा है दुनिया में कल की class में कुछ नहीं equation में दम्बा है इन equations में कोई tension नहीं equations का ठीक है चलो चलो जी आगे बढ़ते हैं फिर अपन अब यहां से आगे बढ़ेंगे, तो कुछ-कुछ formulas की बात करते हैं, मैं इसका graph वगरा आपसे भी समझाऊंगा कि integration का meaning क्या है, ग्राफिकल meaning क्या है, यह भी बताने वाला हूँ मैं शांति से, लेकिन उससे पहले कुछ formulas वगरा discuss कर लेते हैं हम लोग, फॉर्मलेज आप लोगों को differentiation के पता है तो यहां देख करके यही तो समझ में आया अपने को कि अगर आपको किसी का differentiation पता है तो उसका integration भी पता है तो differentiation के अगर फॉर्मलेज पता है तो वो integration के भी फॉर्मलेज बन जाएंगे एक छोटी चीज बस ज्यान देने की है जैसे मान लो आपको differentiation पता है किसका sin x का क्या होता है cos x मान लो आपको differentiation पता है किसका cos x का क्या है minus sin x अभी फिलाल दो की बात करते हैं तो इस चीज को देखते हुए क्या आप ये नहीं कह सकते हैं पहले वाले को ध्यान में रखते हुए कि भाई integration करोगे न जब आप cos x का x के सापेश तो क्या आएगा sin x और इसको देख करके क्या आप ऐसा कह सकते हो कि भाई जब integration करोगे ना minus sin x का तो क्या आएगा तो आएगा cos x, ठीक है, यह कह सकते हैं, लेकिन यहाँ एक छोटे सी बात, जो आपको आगे ध्यान रखनी होगी, formulas लिखते समय, क्या, कि वोई जगड़ा फिर से हो सकता है, जो जगड़ा पहले हुआ था, कि भाई एक बच्चा खड़ा हो जाएगा, फिर से class में, वो बोलेगा, sir, sin x, आपने तो फिर वही बात कर दी, sin x की बात ही नहीं है, अगर यहाँ plus c आगे, तो फिर क्या करेंगे हम? तो in general sin x के साथ कुछ भी constant आ जाए, result तो cos x ही आना है, तो in general हम ये कहेंगे कि cos x का जो समाकलन है, वो basically sin x plus c है, c की यहाँ पर ए निश्चितता है, c कोई constant है, इसको integration constant बोलते हैं, समाकलन गुणांग बोलते हैं, इस c को, इस c क्या है basically, समाकलन गुणांग है, कर दो और इस गुणांक के कारण ही एनिश्चित्ता आ रही है, क्योंकि हमें पता ही नहीं सी का मान क्या है, तो यही एनिश्चित्ता मान है, सही, और यह हर जगह करना पड़ेगा, आपको कॉस एक्स आ गया, कॉस एक्स में भी सेमी जगड़ा है, तो इन जनरल माइनस साइन एक्स का आप कॉस एक्स प्लस सी ही लिख, को ना tension ही घटम करो ना क्या tension है सीधा cos x plus c लिखो आप तो बाती घटम हो गई हमारे पास तो मोटा मोटा अगर अपन देखे तो अपने ये सीखा कि अगर sin x का differentiation cos x है तो cos x का sin x plus C लगा दो लास्ट में ज्यादा टेंचन नहीं लेनी लास्ट में प्लस C लगा दो क्योंकि यहाँ प्लस C तो इन जनरल रहता ही है डिफरेंशेशन C का करेंगे तो जीरो ही आएगा तो लास्ट में प्लस C की जो एनिस्चित्ता है वो हर इंटिग्रेशन अपने यहाँ भी प्लस C है यहाँ भी प्लस C यहाँ भी प्लस C क्यों वो प्लस C है पीछे के दो तीन तो इसलिए प्लस C आता है और हमें एनिशित समझाएगी समाकलन में ये plus C की एनिश्चतता हमेशा बरकरार रखनी है, ठीक है? अब मैं आगे बढ़ता हूँ, और अब सारे formulas आपको बताना शुरू कर रहा हूँ. मैं पहले लिखूँगा differentiation के formulas, और उसकी मदद से integration के formulas बनाएंगे हम लोग.

तो differentiation के formulas में अब मैं plus C नहीं लगाऊँगा, उससे फिर integration के formulas बन जाएंगे, तो differentiation के क्या formulas सीखे थे अपने? सबसे पहला formula हमने सीखा है, differentiation of any constant. constant का छोड़ो यार, पहले तो सिदा आप x की कहात n का कर लो, x की कहात n वाला tough पड़ेगा, मैं पहले trigonometry करवा देता हूँ आपको, trigonometry और inverse trigonometry के थोड़े easy लगेंगे दिखने में, तो इसलिए मैं पहले तो trigonometry और inverse trigonometry वाले बता देता हूँ, उसमें flat है मामला, ज्यादा load नहीं है, सबसे पहले मैं formula बता रहा हूँ आपको, differentiation माल लो आपको दिया हुआ है किसका, sin x का, है न, है, sin x का differentiation आपको पता है, cos x होता है, थोड़ा ध्यान दे न बच्चों अब, कैसे formulas बन रहे हैं उसकी help ले करके, इसकी help ले करके आप क्या कहोगे कि integration जो cos x का है, वो क्या होगा, sin x, लेकिन केवल sin x नहीं, अपना तो आप तनफ्यूज हो रहे हो तो यहाँ पर ही प्लस सी लगा लो या फिर केवल इधर लगा लो अपने को तो वैसे भी इससे मतलब है डिफरेंशन तो सीखा हुआ है इसमें कोई सोचने की बात नहीं है है ना कि साइन एक्स का करो differentiation या sin x plus c का करो सब cos x ही आता है तो plus c in general लेके चलेंगे हम लो next अब ध्यान से देखना कैसे formulas बनते हैं है ना formulas सब यहीं से बन रहे हैं कुछ याद रखने की जरात नहीं है विशेश आपको differentiation जो cos x का है वो होता है minus का sin x तो इसका मतलब क्या हुआ पहला formula तो यह बनी गया है ठीक है उसका मतलब यह होगा कि integration of minus का sin x, d x, इसका integration क्या? cos x आएगा, अब थोड़ा ध्यान देना है यहाँ पर, अब minus sin x का integration ध्यान रखें, इससे अच्छा sin x का रखें, पर sin का, कभी minus sin x का difference नहीं जाएगा, पर तो sin का रखें, simple यार, minus तो लग जाएगा इदर उदर, कैसे भी से तो ये sin x dx रह गया या पूरी line को minus से multiply कर दिया या minus को उधर बेज दिया जो आपको ठीक लगे हो समझ लो कोई चिंता वाली बात नहीं है ये बन जाएगा minus का cos x और minus का c अब एक important बात हमने क्या कहा हमने कहा कि यार C का कोई tension नहीं है C का कोई खास load है नहीं C positive भी हो सकता है C negative भी हो सकता है C तो in general लिखा हुआ है C का मान minus 2, minus 5, plus 5 plus 10, plus 50 कुछ भी हो सकता है C वास्तविक संख्याओं में से है अब आप C लिखो उसको या minus C लिखो कोई फरक पड़ेगा क्या वास्तविक संख्याएं हैं, तो C लिखो या minus C लिखो, C का मान 5 हुआ तो 5, minus C में minus 5 रखोगे तो भी result 5 आएगा, कहने का मतलब, आप last में plus C लिखो या minus C लिखो, उससे कोई फरक नहीं पड़ता, क्योंकि वो वास्तविक सारी संख्यां कवर हो रही हैं उसमें, positive होंगी, negative होंगी, आप minus C भी लिख दोगे तो भी ठीक है, plus C भी लिख दोगे तो भी ठीक है, लेकिन in general हम लोग practice में plus C रखते हैं, constant के साथ कोई tension है नहीं, सारा constant मिला कर के C बोल देते हैं हम लोग जो कि वास्तविक संख्यां हैं, लेकिन हम लोग practice में generally यह रखते हैं, क्यों अपन minus minus के पंगे में पड़ें जब पता ही है कि ये सारी की सारी वास्तविक संख्याओं को इकठा लिखा हुआ है तो हम इसको minus का तो cos x ही लिखेंगे लेकिन c को plus c लिख सकते हैं क्यों? क्योंकि c एक्चॉल में वास्तविक संख्याएं हैं जो negative positive दोनों होती हैं तो ये भी साही बात है ये भी साही बात है लेकिन हम लोग याद ये वाला रखते हैं आप एक्जाम में ये लिख दोगे, तो किसी में दम नहीं है कि वो काट दे उसको, संभव नहीं है ऐसा, बिलकुल नहीं काट सकता, ये भी सही है, ये भी सही है, लेकिन अभी फिलाल के लिए ये याद रख लो आप, आप गलती से वो भी लिख दोगे, कोई गलत कर ही नहीं स तो sin x का भी integration आ गया, cost का भी आ गया आपके पास में, third number कौन है, 10x का, differentiation of 10x आपको पता है, कि sec square x होता है, तो इसका मतलब integration of sec square x कितना होगा, sec square x का integration क्या आएगा, 10x आ जाएगा, simple, plus ही तो हम लगाते हैं, इसमें कोई इदर उदर की बात है नहीं, लिख दिया हमने, पार्ट differentiation हम जानते हैं किसका cortex का क्या होता है minus cosec square x होता है तो इससे क्या समझ में आ रहा है इससे समझ में आ रहा है कि integration minus cosec square x का कितना होगा, वो होगा cot x, cot x plus c, हम minus को इतना पसंद करते नहीं है, minus उदर भेज़ पाल, तो क्यों लेना, cosec square दिखेगा, उसको cot लिखेंगे, तो ये हमारे पास बन जाएगा, cosec square x dx का integration, minus का cot x, minus का c, that means आप यात रखने के लिए तो, minus c भी छोड़ो, plus, ही कर लेंगे हम लोग तो उसको.

तो कॉसेक square x dx को लिखा जा सकता है. माइनस कॉट x plus c. Plus c ही लिखो उसको.

Minus c लिखो ही बताओ. मतलब second वाली line गाया भी रखो आप. लिखो ही सिदा plus C, tension वाली कोई बात नहीं है C के साथ plus minus का load है ही नहीं इसलिए मैंने direct plus C ही लिख दिया और bracket में लिख दो C belongs to R है चिंता वाली कोई बात नहीं है Next, पाँचवे number पे बात करें, differentiation अगर हम लिखें sec x का, तो वो होता है sec x into 10x, मैं अभी फटाफट फटाफट सारे formulas बता रहा हूँ, उसके बाद graph बना करके integration का meaning बताओंगे. कि ये plus C का meaning क्या है ग्राफ में, है न, वो अपने discuss करेंगे, पहले ये फटाफट formulas देख लेते हैं, जो हमें आते हैं, बस इस तरह से बनाना बाकी है, तो integration sec x into 10 x का कितना हो जाएगा, sec x into 10 x एक साथ दिख जाए, और उसका integration बोला जाए, तो आप उसका integration लिखोगे क्या, sec x plus C तो आएगा ही, आएगा, वो तो जोड़ीदार है, आना ही है वो तो last में, है न, So, चलिए, आगे बढ़े, 5 हमने किये अभी तक, 6 नंबर पर आते हैं, 6 नंबर है हमारा differentiation, आप जानते हो, cos x का क्या होता है, cos x का differentiation होता है, minus का cos x into, cot x तो इससे हम कह सकते हैं कि भाई integration जब करना हो minus का cosec x into cot x का तो वो अपना cosec x plus में c आ जाएगा, minus को उदर पहको, minus अगर उदर जाएगा, तो result क्या मिलेगा, ये बनेगा, cos x into cot x dx is equal to, minus उदर जाएगा, तो minus का cos x, और c को आप plus c ही रहने दो, कोई फरक नहीं पड़ता है, plus c रहने दो, या फिर आप अगर minus c लिखते ही हो, तो अगली line में minus c को फिर d नाम दो, d, d, माइनस C को प्लस C तो मती करो, D नाम दे दो तो ज़्यादा ठीक रहता है वैसे, जैसे मैंने यहाँ प्लस C कर दिया, प्लस D कर दो ज़्यादा अच्छा है वो उस केस में, माइनस C को हमने प्लस D लिख दिया है साब, वो ज़्यादा ठीक रहता है, या फिर डारेक्ट प्ल के लिए तो फिलाल मैं plus C ही लिख रहा हूँ, याद क्योंकि formula ये रखना है, याद रखने वाला formula ये बन रहा है, अभी उपर वाले से वैसे मतलब नहीं है, तो इसलिए मैं केवल ये बता रहा हूँ आप, D बोलो C बोलो कोई फरग नहीं बढ़ता, लास्ट में लिख दिय वास्तविक संख्याओं में से है, ये लिखते ही मामला खतम हो जाता है वहाँ पर चिंता खतम हो जाती है अपने तो ये तो हमने अभी तक फिलाल Trigonometry वाले देखे, अब इससे भी दिल्चस्प है Inverse Trigonometry वाले, बड़े इंटरेस्टिंग है वो देखो दियान से, Inverse Trigonometry साथवा नंबर है, Differentiation हमें पता है, Sine Inverse X का क्या होता है वो होता है 1 upon 1 minus X square का Underwood और differentiation अगर आप करो cos inverse x का तो क्या होगा? minus का 1 upon 1 minus x square का under root, इनकी देखना ज़रा help ले करके क्या हम बना पाएंगे क्या?

इससे क्या समझ में आया है कि अगर integration करना है 1 upon 1 minus x square का under root का, तो उसका result क्या हैगा? sine inverse x. प्लस से तो खैर लगा ना है, यह वो तो जोड़ी दार है एक तरही से, अगर आठवे की बात करें तो थोड़ा ध्यान देंगे हैं अपन, इंटिग्रेशन अगर आपको करना है, 1 अपन 1-x2 के माइनस का, तो क्या आएगा, cos inverse x, माइनस की तो हम इज़े�� ही नहीं कर रहे हैं, माइनस उधर भेज रहे हैं वैसे ही, या कहलो कि माइनस तो रखे नहीं रहे हैं अपन, माइनस उधर भेज रहे हैं, भेज के देखते हैं कि क्या result बनता है, चेक करते हैं इस बार, चलिए, करते हैं start, माइनस छोड़ो, अपन तो माइनस उधर भेज रहे हैं, तो ये माइनस का, cos inverse x plus c, या माइनस c बोलो, minus C बोल दो चलो कोई नहीं minus C बन गया minus उदर बेज दिया तो minus C बन गया अपना फिलाल तो अब ऐसे case में आप बोलोगे कि sir यह तो दो दो answer आ गए कुछ बच्चे जब school में पढ़ रहे होंगे कहीं पर उनके school में या कहीं offline coaching पढ़े हूँ, या कहीं से भी पढ़े हूँ, खुद से पढ़े हूँ, तो उन्होंने ये सुना होगा integration के बारे में, कि अलग-अलग answer आते हैं बहुत बार, एक ही question के अलग-अलग answer आते हैं, actual में वो अलग-अलग होते नहीं है, होते same ही है, दिखने में अलग होत क्या ये और ये same नहीं होने चाहिए?

होने चाहिए, इस चीज़ का integration अलग-अलग थोड़ी आएगा? चेक कर लेते हैं, क्या ये same है क्या? चेक कर लेते हैं, आपने एक formula सीखा हुआ है आपको याद हो दो, कहां सीखा हुआ है? Inverse Trigonometry प्रश्नावली 2 में, कौन सा formula था?

कॉस इनवर्स x जो है पाई बाई 2 के बराबर होता है कुछ यादा रहा है आप लोगों को यह फॉर्मला हुआ करता था आप उस फॉर्मला को यहां एप्लाई करना जरा माइनस का कॉस इनवर्स x की वैल्यू क्या रखेंगे पाई बाई 2 माइनस साइन इनवर्स x पाई बाई 2 माइनस, साइन इनवर्स एक्स रख देते हैं इसकी वैल्यू, और माइनस सी चल रहा है, यह आगया माइनस का पाई बाई 2, प्लस का साइन इनवर्स एक्स, माइनस सी, यह आगया साइन इनवर्स एक्स, माइनस पाई बाई 2, माइनस सी, कोई वास्तविक संख्या ही, इसको आप जितने constant है, इकठा करके ही लिख दो सीधा का सीधा, और उन सब को इकठा करके हम लोग D बोल देते हैं, कि हमने ये D लिख दिया, और D हमारा वास्तविक संख्याओं में से है कोई ना कोई. तो अब आप देखो क्या ये और ये same है, constant की tension नहीं लेनी, constant वैसे ही कुछ भी है, random है यहाँ पर, यहाँ पर भी अगर आप C लिख रहे हो तो C belongs to R लिख रहे हो, यहाँ पर D लिख रहे हो तो D belongs to R लिख रहे हो, कोई भी वास्तविक संख्या है यही, क्योंकि C कोई भी वास formula नहीं लगाया तो दिख रहा था अल� लेकिन actual में same ही है, अलग नहीं है, ठीक है यहां तक, मोटा मोटा यह बताया मैंने आपको, अब मैं थोड़ा था fast ले लेता हूँ, यह मैंने मोटे मोटे तोर पर आपको बता दिया कि, आप इसके दो answer ले सकते हो एक तरह के से अब, अब देखा जाये तो conclusion के दौर पे क्या निकला? conclusion ये निकला कि integration of 1 minus x square का under root है, तो उसके दो answer ले सकते हो आप, sin inverse x plus c भी सही है, minus का cos inverse x plus c भी सही है, दोनो answer सही है, sin inverse x plus c भी सही है, minus cos inverse x plus c भी सही है, plus c, minus c जो भी बोलो, दो answer संभव है इस case में, ऐसे ही inverse trigonometry में जो सबके साथ same ही होता है, देखना कैसे, नवा देखो आप, differentiation अगर आप कर रहे हो, 1 upon 1 plus x square का, sorry, 10 inverse x का, तो वो आएगा आपका 1 upon 1 plus x square, same as एक differentiation अगर आप कर रहे हो, cos inverse, sorry, cot inverse x का, तो वो आपका minus का 1 upon 1 plus x square आएगा, और इससे आप 9th के case में बना सकते हो, integration of 1 upon 1 plus x square क्या, ये बना दो आप, 10 inverse x. और same ऐसे 10th वाले में integration minus का 1 upon 1 plus x square dx क्या cot inverse x plus c minus को उधर बेजो तो 1 upon 1 plus x square dx आप क्या रखोगे basically minus का cot inverse x प्लस C लिख रहा हूँ, यार मैं फिलहाल माइनस C यादमरत रखो, क्योंकि याद C जरूर यह रखना है, इससे कोई मतलब नहीं है वैसे भी अपने को, मैं तो याद रखने के लिए बता रहा हूँ आपने को, तो यह भी एक फॉर्मुला है, यह भी एक फॉर्मुला है, प्लस C भी लिख सकते हो जैसे पहले किया था यहाँ भी cot inverse x की value रख दोगे अगर inverse trigonometry वाले formula से तो घूम फिर कर गए वहीं पहुंचाओगे कोई खास बात नहीं है इसमें आगे बढ़ रहो मैं थोड़ा सा फटा फट कर लेता है काफी कुछ करना है आज अपने आज तो differentiation हम लोग अगर करें sec inverse x का तो sec inverse x का सबको पता है 1 upon x into x square minus 1 का under root होता है और differentiation अगर आप करते हो cos inverse x का तो cos inverse x का minus में आता है वस और कुछ नहीं है ये बारो नंबर तो इसकी health से ग्यारवे नंबर पे क्या आएगा integration of x into x square minus one का under root ये आपका direct sec inverse x बन जाएगा और इसका integration ये बन जाएगा तो इसके integration में मैं direct ऐसे लिख दू क्या minus भी हटाई दू minus भी हटा के सिदा उदर ही बेज देता हूँ तो minus का ही cos x inverse x कर लो, क्या है, क्या फर्क पढ़ना है, हो गया है भी, तो ये integration के formulas हो गए, अब trigonometry, inverse trigonometry, जितने formulas थे, उससे integration के formulas बन गए, कोई खास बात है नहीं इसमें, कोई विशेष परिवर्तन है नहीं, सिर्फ जिसके साथ minus आता है, वो minus उदर जा रहा है, इतना ही समझ में आया भी वो क्या होता है nx की घात n plus 1 एक हमने differentiation सीखा है e की घात x का वो तो e की घात x ही होता है चलो एक हमने differentiation सीखा है a की घात x का वो a की घात x गुना log a होता है और एक differentiation हमने सीखा है, log x का, जो की 1 by x होता है, अब इन चारों के reverse direction में लेना शुरू करते हैं, पहले वाले का देखो आप, यह 13 नमबर नाम देता हूँ मैं इसको, इसके हिसाब से तो अरे एक करबड़ करती है n into x की गात n-1 होता है इसके हिसाब से तो integration करें अगर n into x की पावर n-1 का तो वो x की पावर n plus c आएगा लेकिन ये इतना उप्योगी सूत्र नहीं है क्योंकि question आएंगे आपके बास x की गात 10 का integration करो साब तो उस case में ये सूत्र लगाना n को settle करना बड़ा मुश्किल काम हो जाएगा उस case में बेतर क्या है एक कमाल का इलाज है इसका मैं वो इलाज बताता हूँ आपको, इलाज यह है कि एक यहाँ पर ही कुछ ऐसा फॉर्माइट तैयार कर दिया जाए, जो उधर फिट हो जाए, मतलब हमें पता है एन घात होती है तो उधर एन माइनस बन चली जाती है, तो मैं एक काम करता हूँ एक्स की घात एन प्लस वन ल x की हाथ n plus 1 ले लेंगे, कोई दिक्कत नहीं हो उसमें, x की हाथ n plus 1 ले लो, और नीचे n भी लगा लो, ऐसा करो, तो इसका डिफरेंशन करेंगे, तो n plus 1, sorry, नीचे n plus 1 ही लगो, n उपर वाले का डिफरेंशन करेंगे, n plus 1 x की हाथ, n plus 1 minus 1, मतलब n रह जाएगा, और नीचे ये कटेगा, result आपका x की खात n बचेगा, तो हम इसको याद रखने की जगए इसको use ले लें, मतलब इसको use लेने की जगए इसको use ले लें, तो ज़्यादा productive answer आएगा, productive कुछ निकलेगा उससे, क्या?

कि आप यहां से second वाले से यह समझे, कि x की घात n अगर है, तो उसका integration क्या होगा, x की घात n plus 1, और नीचे भी n plus 1, और plus में c, तो यह ज़्यादा easy है, इजी रहेगा न, calculation करने के लिए. अब आपके पास x की घात 10 का integration करने को आ जाए, तो सीधा ये वाला सूत्र लगा दो, कि भाईया एक घात उपर बढ़ाओ, नीचे सेंचीज बढ़ा के लिख दो, तो x की घात 10 प्लस 1 और नीचे 10 प्लस 1 सीधा अंसर आ गया, वरना ये formula होता, तो जान निकल जाती इसको set करने में formula के अंदर, बड़ी मुश्किल होती कहने का मतलब, थोड़ा मुश्किल तो होता, तो इसलिए हमने इस formula की complexity को ध्यान में रखते हुए, एक नया formula इजाद कर दिया, इसको use, ले लिया क्योंकि हमें पता है इसका differentiation तो यह आएगा तो इसका integration यह हो जाएगा क्या दिक्कत है उसना हमने कुछ ऐसा यहाँ पर design कर लिया कि जिसका differentiation x की घाथ n आता हो क्योंकि हमें x की घाथ n का pure integration चाहिए था इसलिए हमने ऐसा किया वरना कोई दिक्कत नहीं थी ऐसी तो अपन ध्यान यह वालो रखेंगे second वाला क्योंकि हमारे काम का यही है question इसी से solve होंगे तो उपर वाले को गोली मारो उपर वाले की कोई जरूरत नहीं है उसको आपको मैं को उठा करके कोई टेंचन नहीं अब यह चौदवा नंबर एक पावर एक्स का जब डिफरेंशन एक पावर एक्स है है तो उसका इंटेग्रेशन भी एक पावर एक्स ही रहेगा एक पावर एक्स ऐसी चीज है जिसका डिफरेंशन भी सेम इंटेग्रेशन सेम टेंचन नहीं कता एक पावर एक्स सबसे बढ़िया चीज है एकदम नेक्स्ट पंद्रवाह नंबर एक पावर एक्स का यह आ रहा है अगर डिफरेंशन तो इसका मतलब एक पावर एक्स इंटू लॉग एक आप इंटेग्रेशन एक पावर एक पावर पावर x आ जाएगा, लेकिन ये constant यहाँ रखने का क्या मतलब है जबरतस्ती, constant integration से भी बाहर आ जाता है, जैसे differentiation से बाहर आ जाता है, integration से बाहर लिया जाता है, इस log x, log a का divide लगा दो वो अगर, तो log a अगर उदर divide में जाएगा, तो ये बन जाएगा, a की power x, upon में log a, plus में c upon में log a, देखो, log a constant है, इसके पास x तो है नहीं, तो c upon log a अपने आप में पूरा का पूरा constant ही है, तो आप इसको इकठा करके constant constant को एक साथ इकठा करके नया constant नाम दे दिया करो D और लिख दिया करो कि D belongs to R है यह तो आपके बनाने के लिए बताया है मैंने बाकि actual में एकी power x upon log a plus c लिखते हैं अपन तो अज़ागे plus में जो लिखोगी बस वो constant है एकी power x का integration एकी power x upon लॉग ए है, खतम बात, सही है, जैसे एकी पावर एक्स का डिफरेंशन, एकी पावर एक्स गुणा लॉग ए है, वैसे एकी पावर एक्स का इंटिग्रेशन, एकी पावर एक्स अपॉन लॉग ए है, बस ऐसे याद रख लो, तो यहाँ पर वन बाई एक्स का क्या हो जाएगा, लॉग एक्स हो जाएगा, अब यहाँ मॉड वर्ड लगता है, जाएगा, आप बस ये ध्यान रखो, log के अंदर जो भी value है, negative आने नहीं चाहिए, तो यहाँ पर हम लोग mod लगा देते हैं इसके, log के अंदर negative value इस defined नहीं होती, तो mod लगा देते हैं बस इसमें, अब इतना ही ध्यान रखो, इसका कुछ खास logic भी है, ये log mod x का integration, differentiation actually 1 by x होता है, तो मैं, एक बार इसको आगे बढ़ाता हूँ 6.3, 6.4 प्रश्नावली, मैं सुबह शुरू करने वाला हूँ, एक्स्टर क्लासेज और ले करके, उसमें आपकी 6.3, 6.4 मैं कवर करवाँगा, चिंता मत करना, चलो, ये 16 के 16 सारे के सारे फॉर्मलेज अपने कर लिये, और उनको practice करना है, एक चोटी सी चीज़ और, यहाँ पर एक सूतर के रूप में ही याद रख लो, उसको तो ज़्यादा अच्छा है, क्या, कि अगर आपके पास differentiation है, x का, क्या होता है x का differentiation, वन, तो इसका मतलब अगर आपके पास वन है, तो उसका integration क्या हो जाएगा, एक्स हो जाएगा, इसको direct यादा रख लो तो जादा ठीक है, वरना खेर एक्स की घात जीरो बना करके एक्स की पावर एन वाले सूतर से भी बनाया जा सकता है, वो मैं सिखा दूँगा, उसकी आप फिर आगे बढ़ते हैं और तब तक जिस बच्चे ने like नहीं किया है वीडियो को वो like करतों और फिर आगे बढ़ते हैं अब आपको ग्राफ से कुछ चोटे मटे चीजें सिखाता हूँ मैं ग्राफ बना के बताता हूँ कि क्या चल रहा है दुनिया में ठीक है आज का lecture बहु तो एक बार गड़ जाके देखना तो है ही है बाकि अभी मेरे ख्याल से 20 मिनट का और लूँगा तो उससे सब कुछ कम्प्लीट हो जाएगा 20 मिनट भी शायद नहीं लेना पड़ेगा 10 मिनट में हो जाएगा सारा जाधा नहीं बचा है अब कुछ चलिए प्रोफ़ नंबर पर फोन कर लो अगर आपको नहीं देखना आ रहा है कॉपी कैसे देखते हैं तो एक बार सपोर्ट नंबर पर फोन कर लो आप ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं हम लोग और जिसको सब समझ में आ रहा है वो लास्ट में कमेंट करके बताना मेरे को अभी तो खैर मैं इतने देख नहीं पाऊंगा आपके मैसेज वगर है ना आगे बढ़ते हैं फिलाल हम लोग मैं वापिस से पुराने उस पर आ जाता हूं जहां से पहले इतना revise करवा देता हूँ वरना भरी हो गया है वरना आप लोगों का सड़ड़ दर्द करने लग जाएगा समाकलन में दो तरह के समाकलन है निश्चित समाकलन एनिश्चित समाकलन है निश्चित है हमारे पास प्रश्नावली 7.1 से 7.7 तक और निश्चित है 7.8 निकालना हम लोग सीखते हैं उल्टे सिद्दे गंदे गंदे वक्रों का ऐसा नहीं है कि आयत वगरा का नहीं निकाल सकते हैं आयत का भी निकाल सकते हैं इसकी मदद ले करके तो लेकिन आयत का तो वैसे ही पता है हम तो एक गंदे गंदे वक्रों का निकालना सीखेंगे इसमें इसके बाद बात आती है एनिस्टित समाकलन की एनिस्टित समाकलन कहां यूज़ आता है मेनली यूज़ आता है कि अगर किस लान कर दो original function तक पहुंच जाओगे वो यहाँ ऐसे काम आता है ठीक है अब हमने यह चीज देखी कि मान लो आपके पास एक फलन है, x square, जिसका differentiation 2x होता है, तो x square का अउकलन किया, 2x मिल गया, मतलब हमने f-x, sorry, fx आपके पास था, उससे आप f-x निकाले, fx से जो f-x निकालने का process है, वो अउकलन है, और f'x से fx तक पहुँचने का जो process है वो समाकलन है, बस इतनी सी ही बात है, उसी को मैंने यहां लिखा है, कि x square का आउकलन 2x है, तो x square का आउकलन किये, तो उसका आउकलज मिला जो 2x है इस आउकलज का उल्टा आउकलन कर दो आउकलन का उल्टा क्या? प्रति आउकलन anti derivative anti मतलब उल्टा दुनिया में यही होता ना मतलब anti derivative कर दिया derivative का उल्टा कर दिया, तो उससे प्रतिया उकला जा गया, जो कि समागलान है, बस इतनी सी बात है, और कुछ है ही नहीं इसमें, एक दूसरे का उल्टा बुल्टा है ये मामला, अब यहाँ पर हमने सीखा कि, x square का डिफरेंशन करो, या x square plus 2 का करो, बले x square minus 1 का कर लो, मतलब x square कुछ भी हो सकता है, तो हमने कहा कि यार एक काम करो, simple लिख दो इसको, x square plus c है, बाती कटम करो, मतलब x square तो fix है, वो तो आएगा ही आएगा, plus में कोई constant है, वो constant अब यह नहीं स्चित है, हमें नहीं पता क्या है, arbitrary constant बोलते हैं उसको, arbitrary constant मतलब कोई भी constant है, इस तरह का जो समाकलन होता है, जिसमें plus c आजाता है, माकलन कहा जाता है इस तरह का समागलन, एनिश्चित समागलन होता है, क्योंकि इसमें C की एनिश्चित्ता बरकरार है, अब बात करते हैं आगे, फिर हम देखा कि या ठीक है, X square plus C का डिफरेंशन कर रहे हैं, उसको 2X लिख रहे हैं, तो, इसको ये लिखते हैं ना x square plus c का, x के सापेश आउकलन 2x है, reverse direction में समागलन करते हैं, तो ये चिन होता है समागलन का, तो 2x का x के सापेश समागलन में dx यहाँ पर लगते हैं, ये operator है, dx यहाँ पर लगते हैं, तो 2x का x के सापेश समागलन x square plus c है, अब फिर हमने कुछ-कुछ formulas निकालने देखे हैं, कैसे हम इनके formulas को define कर सकते हैं, बना सकते हैं, यह अपने कुल मिला करके, सत्रा formulas देख लिये, जो कि आप घर जा करके शांती से लिख लोगे, अब मैं वापिस से वहीं पर आ रहा हूँ, जहां से शुरुवात करी थी मैंने, क्या, कि मैंने ये देखा, कि यार, differentiation कर रहे हैं, x square plus c का, नहीं, इसको भी छोड़ो, differentiation x square plus c का 2x आ रहा है, तो integration of 2x क्या है?

x square plus c integration से result क्या मिल रहा है बच्चों? integration से ये जो वक्र आ रहा है ये basically family of curves है Family of curves यह आपके नवे चेप्टर में और आएंगे वैसे डीटेल में, मतलब बहुत चीज़े आएंगे इसके बारे में बकि यह family of curves है family of curves क्यों बोल रहे हैं? एक ही family है यह अलग अलग नहीं है, ज़्यादा लोड नहीं लेना इसका देखो मैं बताता हूँ क्यों मैं कह रहा हूँ कि एक ही family है family मतलब साथ साथ वाले लोग यार और तो क्या है और तो क्या होता है family का मतलब है ना तो basically ये फलन है f x बराबर x square plus c, c कुछ भी हो सकता है, मतलब ये x square plus 1 हो सकता है, x square plus 2 हो सकता है, x square plus 3 हो सकता है, या केवल x square plus 0 हो सकता है, x square minus 1 हो सकता है, x square minus 2 हो सकता है, ये सब fx हो सकता है, c के अलग-अलग मान रखोगे तो अलग-अलग fx मिलता चला जाएगा, ये सब जो मिल रहा है ये family है एक तरीके से, इसमें x square तो same है, केवल constant का फर्क है, diagram से भी आपको अभी स्पस्ट हो जाएगा कि क्यों मैं कह रहा हूँ कि ये family है, मैं इन सब को y लिख दूँ fx की जगह, y और x में रहता है तो क्या है, graph गनाना easy रहता है, अब इसका graph actual में आपकी 11 class में था, ये परवले है actual में, y बराबर x square, आपको ऐसे याद ह नहीं लोग आठवे चैप्टर में सारा वापिस बताऊंगा ग्राफ भर भर गया है आठवे चैप्टर में तो मेरे को पूरा वापिस बताना ही पड़ेगा वैसे भी क्योंकि तुम नलायक हो तुम्हें नहीं पता ग्यारवी का कुछ भी पड़ते नहीं हो एकदम बेशरम ल डेसमोस ग्राफिक कैलकिलेटर बीच-बीच में मैं उसको खोलता हूँ गूगल पे और आपको बताता भी हूँ कुछ प्रैक्टिकल ग्राफ बनाने होते हैं तो मुझे इसका मुझे पता है इसलिए मैं उसके बना रहे हूँ मैं डायरेक्ट बना रहा हूँ ठीक है तो देखे ग्राफ किस तरह का बनेगा इसका यह x है, यह y है, मान लो यह 0 है, यह 1 ले लेते हैं, यह 2 ले लेते हैं, यह minus 1 ले लेते हैं, यह minus 2 ले लेते हैं, इधर minus 3 भी होगा, उधर plus का 3 भी होगा, चलता रहेगा यह तो, चलता रहेगा, x में भी कुछ-कुछ है, मान लो, y is equal to x square का ग्राफ बना देता हूँ सबसे प ये y is equal to x square का graph बनाया है मैंने, जो y is equal to x square का graph मैंने बनाया है, वैसा ही कुछ graph बनता है, y is equal to x square plus 1 का, ये कुछ ऐसा बनता है, ये ग्राफ है अपना y is equal to x square का, ये ग्राफ है y is equal to x square plus 1 का, ये ग्राफ बनता है y is equal to x square plus 2 का, ये 2 का point आप नीचे लिलो थोड़ा. ये ग्राफ बनता है y is equal to x square plus 2 का, ऐसे नीचे अगर आप देखें, तो ये minus 1 से जाने वाला ग्राफ होगा आपका, y is equal to x square minus 1 का, minus 2 से जाने वाला ग्राफ होगा आपका, y is equal to x square minus 2, अब थोड़ा ध्यान देना यहाँ पर, ये family type के नहीं लग रहे हैं? ये तो बहुत गंदा ग्राफ बनाया है मैंने दिखने में, बच्सूरत है एकदम है, बहुत ही घटिया, कोई सुन्दरता ही नहीं बची इसके अंदर, लेकिन इतना गंदा थोड़ी बने गए हैं, ये सुन्दर बनते हैं यार बहुत, आप बना सेम पर वाले लाइन से चल रहे हैं एकदम सिस्टमेटिकली, फैमिली लग रही है ना यार, दिखने में, एकदम फैमिली टाइप लग रहा है मामला, तो इसे को बोलते हैं फैमिली ओफ कर्व, और कुछ नहीं है, अब यहाँ एक दिल्चस्प बात बताता हूँ आपको, बहुत जबरदस्त बात है मतलब ये, बस यही पूरा सा राँच है, जान यही पर सारी लगेगी आपकी, मेरी दोनों की, मान लो मैं यहाँ एक line डालता हूँ, जो कि x is equal to 1 line है, बड़ी टेड़ी line की जी है, मज़े ही नहीं आया देखके, यह एक सीधी line है, जो जो भी है या ठीक है यह मैंने x is equal to 1 line डाल दी यहाँ पर यह x is equal to 1 line है यह x is equal to 1 line, इस वाले वक्र को यहां प्रतिशेत कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, इस वाले को यहां कर रही है, आप इस पे इस पर श्रेका कीचो, इस पे इस पर श्रेका कीचो, वक्र पर स्पर्श रेखा खीचो वो सब समानांत रहेंगे मतलब एक्स बराबर एक पर खीची गई सभी स्पर्श रेखाएं समानांत रहेंगे चेक करो है की नहीं है मैं ऐसे थोड़ी रहा हूँ आई रही है कमाल की बात नहीं है ये कि ये जितने भी family of curve हैं, उन सारी families में x बराबर एक पर जो इस परश्रेका होगी, वो एक दूसरे के एकदम समानाल पर रहेगी.

क्यों वरी भी बताता है आपको टाइंचन नालो समानांतर होने का मतलब क्या है उनकी जो प्रवणता है वो बराबर होगी इस पर श्रेका का जो धाल है वो बराबर होगा धाल बोल दो प्रवणता बोल दो टेन थीटा बराबर होगा इसका मतलब x बराबर एक पर अर्था अर्थ x बराबर एक पर खीची गई इसपर्श रेखाओं की प्रवणताएं के ढाल बराबर हैं? ढाल बराबर हैं? ढाल का मतलब क्या होता है? धाल का मतलब होता है, जिसने डिफरेंचियन ढंग से पढ़ा है, पांचवा चैप्टर ढंग से पढ़ा है, उसको यहाँ दोगा, धाल का मतलब होता है, dy by dx, या आप कहलो f dash x, मतलब इन सब ग्राफ पे, इन सब फलनों के, जब आप डिफरेंचियन करोगे, और x बराबर एक same आएगा रख के देख लो x square plus 2 का भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x है इसका भी differentiation 2x ही आना है क्योंकि constant का 0 हो जाएगा सबका differentiation जब 2x ही आएगा तो उसमें जब x का मान रखोगे तो 2 into 1 2 आएगा तो इन सबका differentiation x बराबर 1 पर 2 आ रहा है तो ये इस तरह की family of curves मिलते हैं integration की help ले करके, जिन सब का differentiation same ही आता है, ये ऐसी family of curves हैं अपने पास में. इन सब का differentiation 2x ही बनने वाला है तो जायर सी बात है x square plus c सबका difference है 2x ही बनेगा तो ये diagram से इस तरह का सारी parallel lines बनती है आप कोई भी एक point ले लो x बराबर 1 ले लो 2 ले लो 3 ले लो 4 ले लो सब पे जो भी इस पर श्रेगा बनाओगे आप सब समानांतर बनेगे बड़ी दिल्चस्ट सी बात है ठीक है तो खैर आज हम लोगा ने basic integration समझा है सारे formulas देख लिये है कल मैं क्या करवाने वाला हूँ कल सारे के सारे formulas को एक बार तो मैं वापिस याद करवाँगा 10 मिनित के अंदर अंदर और उसके उसके बाद अगले एक घंटे तक धड़ा धड़ questions करवाँगा, धड़ा धड़ questions, question पे question, question पे question, question पे question चलेंगे, है न, धेर सारे questions करेंगे, और 7.1 का maximum part हम लोग निप्टा लेंगे, कोशिश यह करेंगे, कि ज़्यादा से ज़्यादा हम लोग पढ़ लें 7.1 में, दो दिन मुझे लगता है कि दो दिन में 100% complete हो जाएगी, उधारन भी सारे हो जाएगे, प्रश्न भी सारे हो जाएगे, बड़ी बड़ी प्रश्नाव लिया है, थोड़ा समय लगेगा, टेंशन मत लेना, आपको समझ में पूरा हैगा, आज का lecture कैसा लगा नीचे comment करके बताना है आप सब बच्चों को नमबर दो like नहीं किया है तो like कर दो और जो बच्चे आपके classmates हैं जो पढ़ना चाह रहे हैं पढ़ नहीं पा रहे हैं परचान हो रहे हैं उनको ये link भेज दो इस वीडियो का ताकि वो भी अच्छे से पढ़ सकें जीवन में आए हैं तो थोड़ा सा share करो अपने ज्ञान को share करना चाहिए उससे मन positive रहता है आपका काफी ज़्याता मन positive है तो दुनिया जीत लोगे फिर कोई tension नहीं है ठीक है नीचे comment करके बताना कैसा लगा like कर देना thank you so much कल मिलते हैं आज की class को वापिस देखना है सारे बच्चों को कोई बात नहीं समझ में आ गई तो मेरे को नहीं पता ठीक है?

फॉर्मलेज याद कर लेना? चलो. बाई.

Transcript for:समाकलन की संक्षिप्त जानकारी

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