Catatan Kuliah Matematika 2 - Bab 6: Barisan dan Deret

1. Barisan Tak Hingga

• Denotasi barisan tak hingga: a_n
• Indeks n mulai dari 1 hingga tak hingga.
• Contoh barisan tak hingga:
  • Misalkan rumusnya: ( a_n = \frac{n}{3n - 1} )
  • Lima suku pertama:
    • Untuk n=1: a_1 = 1/2
    • Untuk n=2: a_2 = 2/5
    • Lanjutkan hingga n=5.

1.1 Konvergensi Barisan

• Untuk memeriksa konvergensi, hitung limit dari rumusan barisan saat n menuju tak hingga.
• Jika limit hasilnya bilangan tertentu (bukan ( -\infty ) atau ( +\infty )), maka barisan konvergen.
• Jika hasilnya adalah ( -\infty ) atau ( +\infty ), maka barisan divergen.

1.2 Sifat Limit

• Limit dari bilangan konstan adalah bilangan itu sendiri.
• Limit dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian mengikuti aturan tertentu (ingat: penyebut tidak boleh nol).

2. Barisan Monoton

• Jenis Barisan Monoton:
  • Menaik: a_n < a_{n+1}
  • Menurun: a_n > a_{n+1}
  • Tidak naik: a_n ( \leq ) a_{n+1}
  • Tidak turun: a_n ( \geq ) a_{n+1}

2.1 Uji Kemonotonan

• Uji Selisih:

  • Hitung a_{n+1} - a_n.
  • Jika > 0, barisan monoton naik; jika < 0, barisan monoton turun.

• Uji Perbandingan:

  • Hitung ( \frac{a_{n+1}}{a_n} ).
  • Jika > 1, barisan naik; < 1, barisan turun.

3. Deret Tak Hingga

• Deret Geometri:
  • Bentuk: ( a + ar + ar^2 + ... )
  • Konvergensi: |r| < 1, divergen jika |r| ( \geq ) 1.
  • Jumlah deret: ( S = \frac{a}{1 - r} )

3.1 Deret Harmonika

• Bentuk: ( \sum \frac{1}{k} )
• Selalu divergen.

3.2 Uji Konvergensi

• Uji Integral:

  • Jika integral dari fungsi konvergen, deret juga konvergen.
  • Jika hasil integral divergen, maka deret juga divergen.

• Deret P:

  • Bentuk: ( \sum \frac{1}{k^p} )
  • Konvergen jika p > 1; divergen jika 0 < p ( \leq ) 1.

4. Deret Berganti Tanda

• Notasi: ( (-1)^k a_k )
• Konvergen jika:
  1. Suku semakin kecil.
  2. Limit dari suku menuju 0.

5. Deret Taylor dan Maclaurin

• Deret Maclaurin:

  • Evaluasi di x = 0: ( f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ... )

• Deret Taylor:

  • Evaluasi di x = a: ( f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ... )

6. Catatan Tambahan

• Perubahan batas pada notasi sigma: ubah k menjadi n (k = n-1) untuk mengubah batas.
• Penting untuk menguasai limit, konvergensi, dan cara mengekspresikan dalam notasi sigma.
• Siapkan untuk ujian akhir semester (EAS).

Silakan ajukan pertanyaan jika ada yang kurang jelas.