Transcript for:
Catatan Matematika Barisan dan Deret

Selamat pagi semuanya jadi ketemu lagi ya di kelas materi ee dan hari ini kelas materi terakhir Di semester ini ya jadi nanti kita akan membahas materi terakhir di matematika 2 yaitu di bab 6 mengenai barisan dan deret nah sebenarnya materi barisan ee sudah include di pertemuan Sabtu yang lalu ya tapi mungkin nanti akan saya ulangi J nanti supaya nyambung ke materi barisan yang berikutnya ya nah jadi kita bisa langsung mulai saja Nah jadi pertama mengenai barisan tak hingga nah biasanya nanti dia dinotasikan dengan an ya Nah kemudian biasanya diberikan kurung kurawal kemudian n di sini sebagai indeks dari suku-suku barisannya Nah di sini indeksnya n-nya selalu mulai dari 1 sampai tak hingga ya Sesuai dengan namanya tadi Barisan Tak Hingga Nah kemudian ada juga yang menulis ya itu tanpa diberikan penjelasan kalau n-nya dari sat sampai tak hingga Nah jadi ini maknanya sama saja ya Nah cuma nanti mungkin bisa disesuaikan dengan dosennya di kelas biasanya notasinya pakai yang sebelah kiri atau yang kanan Nah sebagai contoh misalkan kita diberikan barisan tak hingganya seperti seperti ini ya rumusannya adalah n / 3N -1 nah kemudian misalkan kalian disuruh untuk menentukan lima suku pertama dari barisan ini itu apa saja Nah jadi tinggal diambil misalkan untuk n yang sama dengan 1 Nah maka masing-masing n di rumusannya itu silakan diganti dengan sat ya berarti 1 dibagi 3 * 1 3 - 1 2 berarti dapat 1/2 sehingga suku pertamanya adalah 1/2 Nah misalkan untuk n = 2 juga sama n-nya diganti 2 berarti 2/ 3 * 2 itu 6 - 1 5 Nah maka suku kedua atau kita Tuliskan sebagai A2 kita dapat 2/5 dan seterusnya sampai nanti n yang kelima Nah jadi tinggal disubstitusikan n-nya ke rumus barisannya Nah jadi gambaran umum untuk Barisan Tak Hingga seperti itu ya Nah kemudian dari barisan tak hingga yang diberikan Biasanya kita akan memeriksa konvergen atau tidak barisan tersebut ya Nah jadi misalkan tadi kan diberikan barisan tak hingganya rumusannya seperti ini kemudian ini kalau kita jabarkan suku-sukunya berarti kan kita mulai n-nya dari 1 kita dapat A1 terus A2 A3 an sampai seterusnya nya karena ini tidak terbatas ya n-nya sampai tak hingga nah kemudian di sini kita mau tahu apakah barisannya konvergen Nah maka untuk menentukan barisan tersebut itu konvergen atau tidak Kita perlu memeriksa nilai limit untuk n menuju tak hingga dari rumusan barisan yang diberikan ya nah kudian di sini berarti kan kalian harus mengingat materi limit di tak hingga ya yang sudah pernah dipelajari di materi yang lalu Kalau enggak salah di Mat 1 ya limit tak hingga jadi nanti bisa di-review ulang nah kemudian nanti kalau misalkan perhitungan limit yang telah kalian lakukan itu dia hasilnya adalah suatu nilai tertentu artinya hasilnya bilangan selain Min tak hingga atau plus tak hingga Maka nanti dikatakan bahwa barisannya itu konvergen sebaliknya kalau ternyata hasil perhitungan limitnya itu Min tak hingga atau plus tak hingga Maka nanti barisannya itu tidak konvergen atau kita bisa menyebutnya sebagai divergen seperti itu ya Jadi kita menghitung limit untuk n menuju tak hingga dari rumusan barisannya nah sehingga karena kita melakukan perhitungan limit tentunya kita harus ingat sifat-sifat limit ya Nah di sini dituliskan misalkan kita punya dua barisan an dan BN kemudian masing-masing barisan ini dia konvergen kalau konvergen kan pasti menuju suatu nilai tertentu ya jadi misalkan an-nya itu konvergen ke L1 sementara yang BN konvergen ke L2 nah kemudian jika c adalah nilai konstan atau konstanta ya Maka nanti ada beberapa sifat limit yang bisa kita ingat-ingat yang pertama limit untuk n menuju tak hingga dari suatu nilai konstan nilainya adalah dirinya sendiri ya karena nilai konstan kan enggak ada variabel n-nya jadi enggak terpengaruh nilainya tetap dia sendiri kemudian limit untuk n menuju plus Tak Hingga dari barisan an Tadi dikali dengan konstanta maka konstantanya bisa keluar kemudian kalian hitung nilai limit dari an-nya nah kemudian nanti hasilnya tinggal dikalikan dengan C nah kemudian untuk yang poin 345 yang sebelah kiri itu kan kalian pertama melakukan operasinya dulu ya yaitu penjumlahan pengurangan atau perkalian atau pembagian baru dihitung limitnya nah itu nanti sama saja kalau an Cari limitnya masing-masing dulu baru dilakukan operasinya jadi misalkan yang nomor 3 ya ini kan dia dijumlahkan atau dikurangkan dulu hasilnya berapa terus baru dihitung limit Nah nanti hasilnya akan sama saja ketika limitnya dicari dulu untuk yang An begitu pula kita cari limit untuk BN kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan ya Nah itu juga berlaku untuk perkalian maupun pembagian nah namun perlu diingat untuk yang poin 5 di pembagian ini harus dipastikan bahwa hasil limit yang di penyebut itu enggak boleh nol Ya karena nanti dia hasilnya tidak terdefinisi Nah jadi mungkin supaya lebih jelas eh saya berikan satu contoh ya untuk memeriksa apakah suatu barisan itu konvergen atau tidak Nah jadi misalkan diberikan barisannya ini rumusannya N / N + 1 Nah tadi kan untuk memeriksa konvergensi kita hitung limitnya ya nah jadi diabaikan dulu ee yang grafik ya kalian fokus yang perhitungan limit dulu jadi limit n menuju tak hingga dari rumusan fungsinya silakan dituliskan nah kemudian kita ingat di limit tak hingga Maka kalau dia itu rumusan fungsinya adalah pecahan maka pertama kita cari variabel pangkat tertinggi Nah di sini kan pangkat tertingginya 1 ya karena n^ 1 yang yang atas yang bawah juga gitu n^ 1 maka selanjutnya masing-masing pembilang dan penyebut itu kita bagi dengan n pangkat tertinggi tadi yaitu n^ 1 ya Makanya sekarang yang atas n / n yang bawah N + 1 / N sehingga kita akan menghitung limit dari 1/ 1 + 1/n nah ini ini kalau kita substitusi ya n-nya tak hingga 1 dibagi tak hingga itu 0 sehingga kita dapatkan hasil limitnya adalah sat karena hasil limitnya adalah suatu bilangan maka barisan tersebut konvergen yaitu ke mana ke satu nah kalau misalkan kita ilustrasikan dalam grafik Ya jadi di sini kita bisa jabarkan satu persatu jadi misalkan kalau n-nya diambil dari yang paling awal ya n-nya 1 kan kita akan dapat suku pertama atau A1 berarti kan 1/2 kemudian misalkan saya ambil n-nya 2 kita dapat suku kedua itu hasilnya adalah 2/3 dan seterusnya Nah jadi ini nilainya semakin n-nya bertambah itu akan semakin naik tapi dia enggak mungkin lebih dari satu ya karena di sini dia penyebutnya lebih besar dibandingkan nilai yang ada di atasnya nah sehingga artinya konvergen itu barisannya ketika n-nya bertambah besar akan mendekati nilai limitnya tadi yaitu di satu itu kalau ilustrasi secara grafiknya ya makna konvergen ke satu untuk barisan yang diberikan nah jadi itu materi untuk Barisan Tak Hingga beserta cara memeriksa konvergensinya mungkin kalau ada pertanyaan silakan sebelum belum dilanjutkan Mbak tadi saya agak kurang paham yang ini yang limit eh [Musik] nju yang n/n + 1 itu kok jadi ini ya Jadi yang n/n n+ Oke Cara perhitungannya berarti ya Iya Mbak benar Oke jadi kalau kita mengingat materi limit di tak hingga Nah jadi kan ada beberapa kasus ya biasanya Nah kalau kalian menjumpai kalau fungsinya itu bentuknya pecahan maka pertama ini mungkin saya bisa Tuliskan ke sini ya cari n pangkat tertingginya jadi diperhatikan masing-masing di pembilang di penyebut kan sama-sama n^ 1 artinya n pangkat tertingginya adalah n^ 1 ya kalau misalkan di sini katakan n^ 2 berarti pangkat tertingginya n^ 2 seperti itu ya kalau ini kan kasusnya sama jadi n p 1 nah kemudian setelah dapat ternyata pangkat tertinggi itu n p 1 maka masing-masing pembilang dan penyebut itu dibagi dengan n pangkat tertinggi yang kita dapatkan tadi jadi makanya ini kan nilai yang ada di pembilang Nah sekarang dibagi dengan n karena n pangkat tertingginya tadi n^ 1 nah yang bawah juga gitu N + 1 dibagi dengan n juga nah sehingga n/n 1 n + 1/n berarti kan caranya n/n 1 + 1/n Nah tinggal disubstitusi n-nya tak hingga berarti 1 dibagi nilai yang sangat besar nilainya mendekati 0 nah sehingga nanti pada akhirnya dapat hasil 1 seperti itu mungkin gimana sudah jelas atau masih ada yang bingung ee Berarti tadi yang yang kedua setelah ini ya setelah dapatkan n/n/n + 1/n itu kan jadinya 1 ya ini 1/1/ E + 1/n itu dimasukkan tak hingga gitu ya Mbak tak hingga jadinya nol ya Oh oke iya n-nya diganti tak hingga Oh oke oke mbak sudah paham Makasih Mbak Iya sama-sama ya oke mungkin yang lainnya kalau ada pertanyaan baik kalau misalkan belum ada kita bisa lanjutkan ya Nah sekarang kita masuk ke barisan monoton Nah mungkin kalau orang awam mendengar istilah monoton itu itu-itu saja ya tidak berubah nah coba kita lihat kalau pengertiannya dalam barisan Nah jadi notasinya masih sama ya kurung kurawal an n-nya dari satu sampai tak hingga J nanti barisan monoton itu jenisnya ada empat ya yang pertama naik Nah tadi kan kalau kalian substitusi indeks n-nya dari 1 2 3 sampai nanti tak hingga kita kan akan dapat suku-suku Barisan ya yaitu A1 A2 dan seterusnya nah dia itu dikatakan naik kalau misalkan makin indeksnya bertambah besar maka nilai sukunya juga besar jadi artinya A1 pasti lebih kecil dari A2 lebih kecil dari A3 dan seterusnya jadi semakin ke kanan suku-sukunya semakin besar nilainya Nah sebagai contoh saya berikan yang di bawah ini setengah 2/3 3/4 dan seterusnya atau ini kalau dinyatakan dalam bentuk rumusan barisan itu adalah n/n + 1 nah ini dikatakan monoton naik nah kemudian dari satu kalau pertidaksamaannya itu ada tanda sama dengan itu namanya tidak turun ya Jadi maksudnya tidak turun itu bisa jadi dua suku yang berurutan itu sama karena ada tanda sama dengannya ya Nah ini kan artinya naik tapi tidak selalu naik jadi makanya dikatakannya itu tidak turun seperti itu ya Jadi ada tanda sama dengannya nah kemudian kalau dia itu semakin ke kanan suku-sukunya semakin kecil jadi A1 lebih besar dari A2 kemudian lebih besar dari A3 dan seterusnya jadi suku-suku awalnya yang paling besar terus Semakin ke kanan dia nilainya semakin kecil nah itu dikatakan turun ya Nah sebagai contohnya Ini katakan kita punya 2 3/2 4/3 dan seterusnya nah ini contohnya ya yaitu n + 1/n nah ini salah satu contoh barisan yang monoton turun nah kemudian nanti dari kondisi 3 kalau ada tanda sama dengannya Nah itu namanya tidak naik jadi barisannya turun tapi tidak selalu turun setiap indeksnya ya bisa jadi ada yang sama jadi makanya dikatakan tidak naik jadi nanti cara menghafalkannya kalau naik dipasangkan sama tidak turun kalau tidak turun ada tanda sama dengannya sementara Kalau turun dipasangkan dengan tidak naik kalau tidak naik ada tanda sama dengannya Nah mungkin bisa dilihat lagi sekilas sembari nanti saya lanjutkan untuk uji monotonnya atau mungkin kalau ada pertanyaan silakan sembari dilihat ulang B oke Sudah ya nah kemudian kita sekarang masuk ke uji kemonotonan jadi Sama halnya di Barisan Tak Hingga tadi untuk barisan monoton kita bisa memeriksa Apakah barisan yang diberikan itu jenis monotonnya apa naik turun tidak turun atau tidak naik Nah itu kita ada dua metode ya yang pertama itu kita bisa gunakan uji selisih Jadi kalian mengurangkan satu indeks yang lebih tinggi dikurangi dengan indeks yang 1 derajat lebih rendah Iya jadi misalkan A2 - A1 nah terus Ternyata kalau hasilnya positif atau lebih dari 0 maka nanti dia monoton naik sebaliknya kalau ternyata hasilnya negatif itu dia turun Kalau lebih besar sama dengan 0 berarti kan G ee gandengannya tadi naik adalah tidak turun sementara kalau kurang dari sama dengan 0 dia tidak naik jadi diingat ya indeks yang satu derajat lebih tinggi dikurangi indeks yang lebih rendah jangan sampai terbalik pengurangannya Kemudian yang kedua kalian bisa gunakan uji perbandingan Nah kalau perbandingan kalian membandingkan suku yang lebih tinggi satu di atasnya ya dibagi dengan suku yang lebih rendah Nah kalau hasilnya lebih dari satu dia naik kalau kurang dari satu turun lebih besar sama dengan 1 tidak turun dan yang terakhir kalau kurang dari sama dengan 1 berarti dia tidak naik nah ini jangan sampai terbalik juga yang dibandingkan yang atas adalah suku yang lebih besar ya kemudian yang bawah suku yang lebih kecil dan selisihnya harus cuma satu ya gitu Jadi ada dua Nanti kalian bisa pilih ya disesuaikan kira-kira lebih mudah menggunakan uji yang selisih atau perbandingan Nah di sini saya coba berikan ya contohnya misalkan diberikan barisannya n / 2n + 1 kemudian kita akan melakukan uji barisan tersebut merupakan jenis monoton yang apa Nah jadi pertama saya gunakan uji perbandingan ya yang di sini itu uji perbandingan Nah kalau uji perbandingan nah diingat-ingat kalian enggak boleh langsung mengganti n-nya 1 n-nya 2 terus a2/ A1 seperti itu ya jadi mengujinya itu masih dalam bentuk variabel n jadi di sini tadi Kalau uji perbandingan kan suku ke N + 1 dibagi suku ke n nah artinya dari rumusan barisannya kalau n-nya diganti N + 1 artinya Di sini setiap n berubah jadi N + 1 jadi yang atas N + 1 2 * N + 1 + 1 jadi ini suku ke N + 1 atau nilai dari a Ind n + 1ar sementara kalau an-nya ya rumusan barisan yang diberikan Tinggal ditulis ulang kemudian kalian tinggal selesaikan ya karena ini kan bisa disederhanakan yang atas itu saya operasikan yang bawah jadi 2N + 2 terus ditambah 1 maka dapat 2N + 3 pembagian dengan pecahan berarti dia dibalik terus dikalikan ya makanya ini dikali 2N + 1/n nah kemudian ini saya kalikan masing-masing ya maka dapat ini kemudian hasil terakhir ini Nah sekarang diperhatikan n-nya tadi itu kan selalu positif kan karena mulainya dari 1 2 3 dan seterusnya nah kemudian di sini yang pembilang itu 2N + 3N + 1 sementara yang bawah hanya 2n^ + 3N berarti kan nilai yang ada di atas itu kan pasti lebih besar kan dibandingkan yang ada di bawah karena dua suku ini sama kemudian yang atas Masih ditambah 1 berarti kan lebih besar yang atas artinya pasti kalau dibagi itu kan lebih dari satu hasilnya nah Sehingga tadi Kalau uji perbandingan hasilnya lebih dari satu dia monoton naik gitu ya Nah kemudian Sekarang kita coba lihat yang uji selisih kalau uji selisih berarti suku ke N + 1 - suku ke n sama kayak tadi ya saya langsung ambil tadi ketika an N + 1 kan dapatnya ini ya Maka langsung saya tulis di sini dikurangi sama an nah ini kita samakan penyebutnya kemudian setelah kita Sederhanakan kita dapat hasil ini Nah karena n-nya tadi positif ya karena mulai dari 1 2 dan seterusnya maka hasil perkalian yang di penyebut kan positif juga jadi satu dibagi nilai yang positif hasilnya juga positif jadi dia monoton naik jadi dengan menggunakan uji perbandingan maupun uji selisih akan mendapatkan jenis monoton yang sama sehingga seperti yang saya katakan tadi Nanti kalian bisa pilih ya untuk menggunakan uji yang perbandingan atau uji selisih Nah itu ya untuk uji monoton mungkin ada pertanyaan dulu sebelum dilanjutkan Mbak mis Mbak maanya ee itu tadi Mbak misalnya kan Mbak dapatnya yang diuji perbandingan itu sama dengan S berarti kan nanti ada dua kemungkinan ya Ada kemungkinan tidak turun atau tidak naik berarti langkah selanjutnya gimana mak pas sama dengan sat gitu ya Mas Iya Misalnya gitu Heeh berarti kan ada dua kemungkinan Oh gitu ya biasanya tidak mungkin sama dengan Heeh pasti dia lebih dari atau kurang dari kalau di perbandingan karena biasanya kalau yang barisan tidak turun atau barisan tidak naik itu sulit untuk dijadikan rumusan seperti ini jadi makanya dia biasanya Cuma langsung dituliskan yang penjabaran kayak gini gitu ya jadi makanya kalau diuji monoton Biasanya kalau enggak jawabannya naik ya turun karena pasti barisan yang diberikan itu sudah dalam bentuk rumus n karena kalau barisan tidak turun atau tidak naik itu sulit dijadikan rumusan ini jadi makanya sekayak contoh saya tadi kan langsung saya tulis dijabarin kan Ya karena ada beberapa suku yang sama biasanya yang berdekatan itu gimana menjawab pertanyaannya atau masih belum ee menjawab Mbak ee sama ini mbak yang tadi yang uji selisih saya agak terting tinggal yang ini yang EE N + 1 itu n + 1/2n + 3 itu gimana ya Mbak saya masih bingung oh ini ini tadi saya langsung ambil tadi kan kalau indeksnya N + 1 Setiap rumusan n di barisannya kan diganti N + 1 ya nah jadi ini langsung saya selesaikan hasilnya ini Oh oke mbak baik sudah paham Mbak oke oke Heeh jadi langsung saya ambil ya supaya enggak menulis Oke Makasih Mbak Iya sama-sama mungkin yang lainnya ada pertanyaan juga belum ya Oke kalau belum ada nah sekarang ada barisan monoton tapi dia mulainya Enggak dari suku awal nah kalau yang contoh-contoh atas tadi itu dia monotonnya dari awal sampai akhir dia jenisnya sama jadi maksud saya misalkan kayak yang contoh kita tadi ini dari indeks 1 sampai seterusnya dia itu akan naik terus ya Nah di kasus-kasus tertentu akan ada barisan monoton yang dia itu di indeks ke berapa mulai naiknya atau mulai turunnya Nah jadi sebagai contoh ini saya ambilkan di buku ya jadi ee diberikan enggak tahu ini letaknya masih sama atau enggak karena ini buku saya yang dulu ya contoh 619 Nanti kalian bisa lihat nah jadi diberikan rumusan barisannya itu 10^ n n faktorial nah jadi mungkin mungkin kalau ee kita bisa mengingat materi faktorial Ya ini yang dimaksud sebagai n faktorial itu adalah kita mengalikan n dengan selisihnya sat selisihnya lagi nah itu dikalikan sampai nanti dia yang terakhir itu satu nah kemudian harus diingat 1 faktorial itu 1 0 faktorial itu juga 1 Nah jadi di sini kita akan coba gunakan uji rasio atau rasio itu nama lainnya uji perbandingan ya Atau mungkin saya ubah saja supaya istilahnya seragam ya Uji perbandingan Nah tadi kan kalau uji perbandingan indeks N + 1 berarti saya dapat 10 setiap n diganti N + 1 maka yang bawah jadi N + 1 faktorial nah terus dia itu langsung saya kalikan oke supaya enggak bingung mungkin saya hapus saja asal muasalnya ya itu terus ini dia dibagi sama yang an berarti tetap ya 10^ n per n faktorial nah Berarti kan di sini karena dia dibagi dengan pecahan berarti dia dibalik terus dikalikan ya berarti ini dia dikali n faktorial per 10 pangkat n dan di sini kalau kita selesaikan 10 P N + 1 itu saya bisa tulis jadi 10^ N di* 10^ 1 ya karena kalau perkalian itu kan pangkatnya dijumlahkan sementara untuk N + 1 faktorial saya bisa tulis jadi N + 1 Dik n faktorial Nah maka nanti di sini ada suku-suku yang bisa kita Sederhanakan Nah ini kan ada yang n faktorial bisa terhapus begitu pula yang ini ya Nah sehingga di sini kita akan dapatkan hasilnya adalah 10 dibagi N + 1 nah ini kalau kalian mulai indeksnya itu dari satu berarti kan akan dapat 10/2 nah nilainya kan lebih dari 1 ya berarti dia naik kemudian kalau n-nya 2 10/3 masih lebih dari 1 dia masih naik sampai nanti ketika n-nya itu lebih dari lebih dari 9 berarti ya atau mulai dari 10 hasil perbandingannya akan kurang dari satu sehingga dia turun jadi di sini dikatakan bahwa barisan ini awalnya naik nah kemudian nanti setelah n-nya lebih dari sama dengan 10 itu dia akan turun jadi itu yang dikatakan ee Barisan monoton di akhir ya Jadi kita memperhatikannya itu yang di akhir jadi awal-awal dia Masih naik terus nanti yang selanjutnya Apakah tetap naik Oh tidak Ternyata dia turun nah dia turunnya mulai indeks ke berapa yaitu mulai indeks 10 seperti itu ya cara memeriksanya nah ini juga sudah tertulis di buku jadi nanti kalau di sini masih kurang jelas bisa dibaca lengkapnya di buku ya oke seperti itu mungkin kalau ada pertanyaan silakan jadi materi barisan dan deret cukup banyak ya apalagi kalau di perkuliah kan dia masuknya bab terakhir nah biasanya waktunya sudah mepet kalau menjelang eas ya Jadi mungkin nanti enggak tahu penjelasan dosennya mungkin bisa selesai atau tidak jadi alangkah lebih baiknya nyicil belajar dari sekarang ya karena kan kalau eas mulainya minggu ke-15 ya jadi waktunya 2 minggu beda kayak kalau ETS Nah kalau misalkan belum ada pertanyaan kita bisa masuk ke deret tak hingga Nah jadi di sini nanti deret itu ada beberapa ya yang pertama ada deret geometri Nah jadi mungkin pertama akan saya menunjukkan bedanya barisan sama deret ya nah jadi kalau barisan itu dia itu penulisannya itu antar sukunya adalah dipisahkan oleh tanda koma jadi ini suku pertama suku kedua suku ketiga dan seterusnya sementara kalau deret itu dijumlahkan antar suku-sukunya jadi Sudah tahu ya letak perbedaannya kemudian kalau deret geometri ini Sama persis dengan materi yang sudah kalian pelajari di SMA suku pertama dia dinotasikan dengan a kemudian kalau geometrik dia punya yang namanya rasio nah dia disimbolkan dengan R ya jadi rumusnya adalah an ama a * r^ n -1 nah kemudian kalau dinyatakan dalam bentuk deret berarti dijumlah ya A + Ar + ar^ +ambah seterusnya ini Kemudian dari deret geometri kita bisa periksa konvergensinya ya yaitu caranya kalian tinggal melihat ee nilai dari rasionya Nah rasionya itu kan bisa positif atau negatif ya sehingga nanti kalian lihat nilai mutlaknya kalau misalkan hasilnya kurang dari 1 maka dia konvergen sehingga jumlah deretnya itu kalian bisa hitung yaitu dengan menggunakan rumus a Dib 1- R sebaliknya kalau misalkan nilai mutlak dari r-nya itu ternyata lebih besar sama dengan 1 maka dia divergen atau nama lainnya tidak konvergen Nah kalau tidak konvergen otomatis jumlah deretnya enggak bisa dihitung ya jadi makanya kita nanti enggak perlu hitung Nah jadi Biasanya kalau diberikan soal tentukan jumlah deret jangan langsung dihitung ya dilihat dulu deletnya konvergen atau enggak kalau konvergen baru kalian bisa hitung ee jumlah deretnya Nah jadi nanti untuk rumus-rumusnya bisa sambil dihafalkan kembali ya kemudian ada sebuah teorema jika sebuah deret ya notasinya deret kan karena jumlahan berarti nulisnya kayak gini ya Sigma N = 1 sampai tak hingga dari an itu ternyata deretnya konvergen maka limit dari an-nya untuk n menuju plus tak hingga itu sama dengan 0 Kenapa kok nol karena tadi Kalau konvergen rasionya kan kurang dari 1 berarti kan artinya pecahan kan pecahan di mana yang penyebut itu pasti lebih besar dari yang pembilang sehingga kalau dia pangkatnya besar nilainya pasti akan mendekati nol sehingga kalau dikalikan suku pertama dia juga mendekati nol jadi makanya kalau dedetnya konvergen pasti ee suku ke n n-nya menuju Pak hingga itu Dia mendekati 0 jadi itu untuk deret geometrik ya kalau misalkan ada pertanyaan boleh langsung bertanya ya sembari langsung saya lanjutkan ini kemudian sekarang kita masuk ke deret harmonik Nah di sini kalau deret harmonik dia selalu divergen ya kalau geometrik tadi kan bisa konvergen bisa divergen tinggal kalian periksa dulu Tapi kalau deret harmonik dia selalu divergen nah deret harmonik itu yang seperti apa yang bentuknya ini mungkin saya bisa berikan kotak ya supaya kelihatan jadi ini deret harmonik Nah jadi deret harmonik itu adalah Sigma k = 1 sampai tak hingga 1/k nah dia kalau kita jabarkan dengan mensubstitusikan indeks-indeksnya itu kita dapat 1 + 1/2 plus 1/3 dan seterusnya jadi diingat-ingat ya untuk derat harmonik dia selalu divergen nah kemudian di sini saya berikan contoh soalnya Ya kita akan memeriksa apakah EE deret ini itu dia konvergen atau tidak Nah jadi kita kalau diberikan deret kita harus bisa memeriksa ya dia itu jenis deret apa Nah kalau kita lihat di sini kan nilai yang berubah adalah nilai yang ada di bawah ya karena kalau yang atas kan tetap dua sementara kalau yang bawah dia tergantung sama k-nya atau itu kan saya bisa tulis jadi apa di* 1/5^ k -1 nah sehingga dari sini saya bisa Tulis misalkan biasanya dia dinotasikan dengan S ya kalau deret misalkan S1 berarti k-nya diganti 1 berarti 2 di* 1/ 5^ 0 5^ 0 itu 1 ya berarti artinya adalah 2 terus s 2 S2 itu berarti apa kita nulisnya U1 atau A1 ya Atau mungkin Kita sesuaikan aja pakai A Ya A atau gini deh S2 itu kan berarti jumlahan dua suku pertama berarti artinya A1 ditambah A2 nah artinya apa A1 itu tadi adalah ya S1 tadi ditambah A2 berarti s1-nya apa s1-nya tadi 2 ditambah suku kedua suku kedua itu itu artinya apa kalau k-nya diganti 2 berarti 2/ 5 dan seterusnya ya untuk S yang lain nah kemudian kita akan cek Apakah konvergen Nah sekarang diperhatikan ini tadi kan kalau dijabarkan Kan hasilnya 2/5^ 0 + 2/5 p 1 plus ini ini ini kalau ini saya coba tuliskan misalkan kalian disuruh nyari suku pertama kemudian jumlahan dua suku pertama atau mungkin ini saya kasih keterangan saja ya maksudnya S2 itu adalah jumlah jumlahan dua suku pertama nah tapi kalau dideret tak hingga itu dijumlahkan sampai k-nya menuju tak hingga Nah di sini kalau kalian lihat setiap sukunya itu kan selisihnya adalah 1/5 ya karena pangkatnya bertambah sat terus nah Oleh karena itu kita dapatkan bahwa r-nya ternyata kurang dari S Nah tadi berdasarkan sifat berarti kan dia konvergen oleh karena konvergen kita bisa tentukan jumlah deretnya dengan rumus yang ada di sini nah sehingga nanti kita hitung kita dapat jumlah deretnya adalah 5/2 nah kemudian soal kedua Apakah deret ini konvergen jadi pertanyaannya Ini ya ohak Oh salah ini bukan konvergen ya ini pertanyaannya bukan tanya konvergen atau tidak Tapi tentukan jumlah deretnya Nah jadi nanti kalau menjumpai menentukan jumlah deret yang bentuk fungsinya itu adalah bentuk polinomial itu biasanya kalian harus ubah ke dekomposisi parsialnya dulu jadi itu materi bab awal-awal ya tentang teknik integrasi tapi kalian Cuma ambil ee dekomposisi parsialnya aja ya jadi caranya ini kan sebenarnya merupakan penjumlahan dua pecahan ya karena yang pertama ada yang penyebutnya k + 1 Terus ada yang penyebutnya K + 2 Terus kalau yang di bawah itu variabelnya cuma pangkat 1 yang atas pasti dia cuma nilai konstan berarti makanya Di Sini saya tulis a sama B nah kemudian yang kanan kalau sayaama an penyebutnya maka saya akan dapatkan bentuk ini Nah di sini kan tujuannya menentukan nilai a sama b-nya Nah di sini cara cepatnya silakan dibuat salah satunya nol jadi misalkan Saya mau membuat yang dikalikan A itu jadi 0 jadi makanya k-nya saya ambil Min dua ya jadi di sini yang kalian perhatikan sekarang hanya yang di pembilang ya karena kan yang penyebutnya udah sama ini yang diperhatikan yang ini saja Nah jadi kalau k-nya diambil -2 saya akan dapat yang kiri tetap 1 yang kanan sama dengan b * -2 + 1 berarti b * -1 - b sehingga b-nya dapat -1 kemudian sebaliknya yang dibuat 0 adalah yang dikalikan sama B berarti supaya ini dikali 0 b-nya k-nya kan harus -1 ya sehingga akan dapat yang kiri tetap 1 yang kanan berarti a * -1 + 2 berarti A * 1 ya Sehingga a-nya 1 nah sehingga nanti pada akhirnya kalian akan dapatkan bentuknya yang di sini A sama b-nya diganti Nah kemudian dituliskan kembali di sini silakan disubstitusi nilai k-nya dari 1 ya berarti kalau k-nya 1 1/2 -1/ kalau k-nya 2 1/3 - 1/4 nah ini nanti suku-sukunya akan saling menghilangkan sampai nanti yang tersisa itu hanya yang paling awal sama nanti yang di sini itu yang saya tulis sekalian saja ya plus 1/k + 1 - 1/k + 2 nah yang ini nanti juga dihilangkan sehingga nanti hanya sisa yang paling depan sama yang paling belakang saja Nah kalau k-nya menuju tak hingga pastikan Ini hasilnya nol ya Nah sehingga nanti jumlahan deretnya adalah Seteng Nah jadi sekali lagi diingat nanti kalau dapat yang bentuk untuk fungsi rasional silakan dijadikan dekomposisi parsial dulu jadi materinya nanti bisa diingat-ingat kembali Nah itu materinya untuk deret ya tadi masih deret geometri dan harmonik kalau misalkan ada pertanyaan silakan jadi di sini beberapa materi yang sudah pernah dipelajari di yang sebelum ETS ataupun bahkan di matematika 1 kan ada beberapa yang ternyata masih digunakan ya di materi Mat 2 khususnya deret jadi nanti Iya mbak silakan diingat-ingat lagi ya Jadi enggak boleh dilupakan yang sudah dipelajari ya Iya Mbak oke Mas ini masih banyak kita masih setengahnya ini materinya ya e sekarang uji konvergensi pada deret Nah nanti ada lima uji yang bisa dipilih yang pertama itu nanti ada yang namanya uji integral Nah kalau uji integral itu artinya tadi itu kan kita punya deretnya itu deret tak hingga ya artinya dia indeksnya itu nanti sampai tak hingga Nah maka di sini pertama rumusan dari UK kan pasti bentuknya sebuah fungsi ya tapi dia nanti biasanya pakai ee variabel k Nah itu silakan semuanya diganti jadi X jadi seolah-olah dia jadi FX Jadi huruf k-nya semuanya diubah jadi X nah kemudian notasi sigmanya kalian ubah jadi untuk integral nah batasnya sama kayak batas sigmanya yaitu dari 1 sampai plus tak hingga kemudian nanti dihitung hasil integralnya nah kemudian ketika Nanti kalian hitung ya ternyata hasil integralnya itu adalah konvergen jadi hasil integral konvergen itu kalau hasilnya nya suatu bilangan jadi hasilnya bukan Min tak hingga atau plus tak hingga ya kalau dua konvergen hasilnya bilangan Maka nanti deret kalian itu juga akan konvergen Nah sebaliknya kalau ternyata hasil perhitungan integralnya itu divergen artinya hasil hitung integralnya ternyata Min tak hingga atau plus tak hingga Maka nanti deret yang kita Uji tadi dia juga diverg seperti itu ya jadi sebagai contoh kita mau Uji Apakah deret ini konvergen atau tidak nah ini langsung diubah sek^ jadi 1/x^ integralnya batasnya dari 1 sampai plus tak hingga Nah kalau kalian ingat materi bab 3 ini merupakan bentuk integral tak wajar karena memuat batas plus tak hingga nah sehingga harus diselesaikan dengan metode integral tak wajar ya jadi batas yang testak hingga diganti sebuah huruf tertentu kemudian yang depan dipasang limit untuk huruf tadi di sini saya gunakan A menuju nilai yang diganti tadi plus tak hingga n Biasanya kalau punya bentuk 1/x P silakan ee posisinya diubah ke atas ya Sehingga pangkatnya jadi negatif Nah itu Nanti kalian akan lebih mudah menghitung integralnya nah sehingga integralnya adalah berarti kan 1 dibagi pangkatnya ditambah 1 berarti 1/ -1 -1 terus terus pangkatnya bertambah 1 ini awalnya dari sini ya supaya enggak bingung ya 1/ pangkatnya ditamb 1 x-nya pangkatnya bertambah 1 berarti kan 1 / -1 -1 x-nya pangat -1 Nah itu terus langsung saya tulis jadi -1/x^ 1 Nah tinggal Usi ya batas atasnya dulu dikurang batas bawah min ketemu Min jadi plus ya kalau a-nya menuju tak hingga Maka 1/a hasilnya 0 sehingga kita dapat perhitungan integralnya 1 Nah karena hasilnya suatu bilangan ini artinya konvergen Nah maka artinya apa deretnya konvergen Terus kalau ditanya jumlah deretnya berapa ya jumlah deretnya itu hasil integral yang kalian peroleh tadi jumlah deretnya 1 G ya jadi itu untuk menguji konvergensi kalau kita pakai uji integral Nah diingat-ingat ya ini Kita uji konvergensinya pada deret kemudian nanti yang kedua ada yang namanya deret p yang bentuknya seperti ini jadi deret P itu dia bentuknya adalah Sigma dari 1/k^ P Nah di sini nanti untuk menguji konvergensi deret P kalian tinggal melihat pangkat dari k-nya yaitu nilai dari p-nya ya kalau pangkatnya lebih dari 1 Maka deretnya konvergen kalau p-nya antara 0 sampai 1 dia divergen J nanti kalau dikasih ya misalkan Sigma dari 1/k^ 3 konvergen atau tidak Nah tinggal dilihat Oh p-nya ama 3 lebih dari 1 dia konvergen Terus kalau misalkan mau nyari jumlah deretnya berapa Nah tinggal pakai integral tadi ya terus nanti hasilnya berapa Nah itu jumlah deretnya Jadi cukup sederhana ya cara memeriksa konvergensi dari deret P nah Cuma kalian harus hafal dulu ini ya konvergen itu kalau p-nya Lebi dari vergen antara 0 sama 1 kemudian nanti ada yang namanya uji perbandingan nah ini silakan diperhatikan baik-baik jadi konsepnya pertama kita punya dua buah deret jadi misalkan deret ak sama BK ya Jadi nanti ada dua kondisi dilihat yang saya nomori ya jadi urutannya yang kasus sat Jadi pertama kalian tahu bahwa deret BK itu konvergen kemudian ada deret ak di mana deret ak itu nilainya selalu lebih kecil dari BK maksudnya itu suku-sukunya ya Nah makanan nanti deret ak-nya pasti juga konvergen kemudian yang kasus du kita tahu pertama deret BK itu divergen kemudian ada deret ak di mana dia selalu lebih besar dari BK Maka nanti sudah pasti ini bukan BK ya ak-nya divergen Oke ini saya salah tulis ini harusnya ak jadi di sini ee Garis besarnya kita mau ngecek konvergensi dari deret ak dengan mengetahui jenis konvergensi bk-nya dan juga nanti kita bandingkan dulu ya antara BK sama Ak dia lebih besar atau lebih kecil yang mana seperti itu ya ya nah jadi ini sedikit lebih rumit saya bilang jadi mungkin bisa dilihat lagi sebentar Sebelum saya berikan contohnya ya oke nah sekarang diberikan ini apakah dia konvergen berarti kalau Kita sesuaikan dengan ee kondisi-kondisi tadi ini sebagai ak-nya sesuatu yang mau diperiksa ya Nah berarti kan sekarang kalian perlu nyari bk-nya yang mirip seperti ini nah Oleh karena itu saya ambil bk-nya adalah 1/3^ n ini bk-nya biasanya diambil Yang mirip-mirip ya Nah dan ini kita tahu dia konvergen kenapa karena ini kan deret geometrik ya Di mana dia rasionya 1/3 berarti karena r-nya kurang dari 1 berarti kan dia konvergen nah kemudian kalau kita bandingkan 1/3^ n itu pasti kan lebih besar dari 1/3^ N + 1 kenapa Karena di sini nilai dari 3N Maaf nilai dari 3^ n + 1 kan pasti selalu lebih besar dari daripada yang hanya 3^ n saja sehingga 1 dibagi sesuatu yang lebih besar hasilnya kan pasti lebih kecil ya Oleh karena itu apa bk-nya pasti selalu lebih besar dari ak nah sehingga ini memenuhi kondisi satu tadi pertama bk-nya konvergen terus bk-nya selalu lebih besar dari ak maka ak ya konvergen nah atau mungkin ini bisa saya perkecil kalian bisa baca ulang sebentar Sebelum saya Lanjutkan ke uji rasionya baik ada pertanyaan Kenapa mengambil bk-nya 1/3 ya Nah ini saya ambil yang mirip dengan ak jadi supaya kita mudah untuk memeriksa antara ak sama BK lebih besar yang mana seperti itu ya diambil 1/2^ n juga enggak masalah nanti hasilnya sama kan 1/2^ n juga selalu lebih besar kan ya jadi 1/3^ N + 1 1/2^ N juga konvergen karena dia deret geometrik rasionya 12/2 kurang dari 1 ya jadi supaya Mudah Saja eh untuk melihat Lebih besar mana antara ak sama bk-nya gitu ya mungkin bisa diulang yang 1/3 pangat n itu bisa konvergin kenapa ya Mbak Oh oke Jadi mungkin ini kan saya langsung ya mungkin saya bisa kasih keterangan di sini ya Oke kita pakai hijau saja 1/3^ n itu merupakan deret geometrik Nah itu kalau misalkan kita jabarkan deretnya kan berarti kalau n-nya 1 1/3 kalau 2 1/3^ 2 + 1/3^ 3 dan seterusnya ya Nah sehingga Di sini setiap sukunya dia kan selalu dikalikan sama 1/3 karena 1/3^ 2 itu asalnya 1/3 * 1/3 ya Sehingga dari sini kita dapat rasionya itu 1/3 kurang dari 1 nah berdasarkan sifat dari deret geometrik tadi Kalau r-nya kurang dari 1 maka dia konvergen yang ini tadi yang saya mungkin bisa Scroll lagi ke atas nah ini ya kalau rasionya kurang dari sat dia konvergen seperti itu gimana sudah jelas Semoga bisa menjawab Ya pertanyaannya Oke Nah selanjutnya saya lanjutkan yang uji rasi Nah kalau uji rasio di sini kalian akan menghitung limit dari perbandingan dua suku ya Nah membandingkannya sama suku yang lebih tinggi dibagi dengan suku yang 1 derajat lebih rendah terus dihitung untuk limit menuju Maaf dihitung limitnya untuk k menuju tak hingga Nah di sini Kita juga harus menghafal lagi kalau ternyata nanti Hasil limitnya kurang dari 1 maka dia konvergen kalau limitnya hasilnya lebih dari satu atau limitnya hasilnya tak hingga maka divergen kalau limitnya sama dengan 1 nah ini belum jelas bisa jadi konvergen atau bisa jadi ee divergen jadi kita harus pakai uji yang lain nah masalah besar Biasanya kalau hasilnya satu ya kita harus kerja lagi dengan uji yang lain Nah jadi nanti ini dihafalkan ya kondisi-kondisinya Nah kemudian saya berikan contohnya kita mau Uji apakah EE deret ini konvergen atau tidak Nah pertama kita bandingkan dulu ya suku k + 1 dan suku ke k nah ini caranya sama Oke mungkin ini ini kan saya langsung ya mungkin saya jabarkan dulu supaya enggak bingung nah kalau indeks k + 1 Setiap k diganti k + 1 berarti 4^ k + 1 dibagi sama k + 1 dikuadrati terus dibagi uk-nya ya tetap ya ditulis ulang 4^ k/ k ku terus berarti dia kita kalikan tapi posisinya dibalik nah Berti ini saya bisa tulis 4 P K * 4^ 1 ya yang bawah k^ + 2K + 1 yang atas k^ Oh maaf Kok sama dengan sih dikali ya dikali sama k^/4^ k Nah ini bisa saling menghilangkan sehingga kita dapatkan dikalikan 4k^ per k^ + 2K + 1 Nah limitnya untuk k menuju Pak hingga nah ini saya langsung ya nanti dapat hasilnya 4 nah itu lebih dari 1 berarti kalau limitnya itu lebih dari satu dia divergen Nah jadi kan sekali lagi di sini memerlukan pengetahuan Bagaimana cara menghitung limit untuk k menuju tak hingga jadi nanti diingat-ingat lagi ya materi limit tersebut nah kemudian di sini ada perubahan batas pada notasi sigma mungkin ini kita lewatin dulu ya ya kita langsung ke uji perbandingan limit atau uji yang terakhir ini ya nah jadi untuk uji perbandingan limit pertama kita punya dua deret yaitu kita punya deret ak sama BK kemudian suku-sukunya positif jadi di sini ini hampir mirip sama yang nomor tadi ya Jadi kalian tahu sifat dari deret bk-nya kemudian Kalian mau cari sifat dari deret ak jadi artinya nanti yang diketahui konvergen atau tidak itu bk-nya dulu terus baru nanti Dengan sifat-sifat ini kita bisa Tentukan aknya konvergen atau tidak Jadi alurnya hampir sama ya cuma di sini kita menentukan limit untuk k menuju plus Tak Hingga dari perbandingan keduanya nah ini jangan sampai Terbalik ya yang ada di atas itu yang mau dicari konvergen atau tidak Terus yang bawah itu yang sudah diketahui jenis konvergensinya nah ini juga harus dihafalkan kalau limitnya ternyata nilainya antara satu sampai tak hingga maksudnya keduanya divergen atau keduanya konvergen itu artinya kalau ternyata bk-nya divergen kemudian kalian hitung limitnya itu dapat yang nomor satu ya Maka ak-nya nanti juga divergen atau sebaliknya ya kalau bk-nya konvergen terus ternyata dihitung limitnya ini dapat nilai antara sat sampai tak hingga maka ak-nya juga konvergen Terus kalau limitnya ternyata sama dengan 0 dengan kondisi bk-nya itu konvergen maka ak-nya konvergen Terus kalau r-nya adalah plus tak hingga kalau ternyata bk-nya divergen maka ak-nya juga diverget seperti itu ya bisa atas sedikit Bagaimana bentar Mbak ke atas sedikit oke ke [Musik] ee atas lagi yang perubahan batas pada notasi sigma Oh ini Ini belum saya jelaskan dulu ya ini nanti setelah kita ke deret tayor Oh iya ya mbak ya Oke Oke ini jadi nanti buat tambahan ya jadi Sementara saya lewatin dulu Nah jadi ini sedikit rumit ya Nomor 5 jadi nanti betul-betul dipahami maknanya apa dulu yang harus diketahui terus untuk menentukan jenis konvergensi deretnya yang mau dicari itu kita hitung dulu limit dari perbandingannya terus tentunya Kita juga harus menghafalkan 1 2 3 ini Oke jadi ini cukup susah nomor lima ya Jadi nanti biasanya kalau enggak perintah soal lebih baik jangan pakai nomor L karena terlalu susah ya Oke kita coba dulu ya contohnya ya sekarang kalian diberikan deret ini kita akan uji Apakah dia konvergen atau tidak Nah ini kan berarti sebagai ak-nya ya yang mau ditentukan konvergen atau tidak berarti sekarang kita harus nyari BK nah nyari bk-nya itu bebas ya cuma nanti yang harus bisa dicari jenis konvergensinya Jadi kalian jangan Cari BK yang kalian periksa konvergennya itu susah jadi di sini saya ambil bk-nya adalah yang sedikit mirip dengan ak-nya yaitu 3^ k/ K + 2 faktorial cek Apakah BK konvergen nah ini akan saya cek dengan uji rasio ya Uji rasio tadi nomor berapa ya nomor nomor dua Kalau enggak salah ya kita coba kita lihat uji rasio Oh nomor t ya Oh keliru uji perbandingan uji integral Oh iya ini ya kita pakai Oh maaf keliru uji nomor uji rasio ya nah jadi pertama saya ambil bk-nya ini saya cek dia konvergen atau tidak Nah dengan uji rasio kan membandingkan dua suku ya nah ini setelah saya bandingkan dapat ini terus dihitung limitnya terus hasilnya 0 Nah sekarang kita kembali lagi ke uji rasio kalau limitnya itu sama dengan 0 berarti kan kurang dari 1 ya berarti dia konvergen nah Oleh karena itu BK yang saya pilih tadi kita sudah tahu konvergen Nah sekarang kita mencari rumusan ak dibanding sama BK nah ak-nya Silakan ditulis Ini terus ini langsung saya kali ya dibalik terus makanya dapat ini nah terus ini dihitung limitnya untuk k menuju plus tak hingga nah nah sekarang diperhatikan yang di penyebut ya kita punya 3^ k sama k^ Nah di sini 3^ k itu selalu lebih besar dari k^ sehingga kalau k-nya menuju pesta hingga artinya k-nya semakin besar maka nilai yang atas itu akan semakin besar sekali Apabila dibandingkan dengan yang bawahnya sehingga 3^ k / k^ hasilnya itu adalah pestak hingga ya jadi sesuatu yang besar yang atas dibagi dengan sesuatu yang lebih kecil jadi hasilnya pestah hing enggak ya Sehingga di sini nanti hasil perhitungan limitnya nol nah sehingga sekarang kita lihat tadi bk-nya konvergen terus row-nya atau limitnya sama dengan 0 BK konvergen r-nya sama dengan 0 nah Berarti artinya Ak apa Ak juga konvergen ini Nah jadi di sini mungkin ee kesulitannya itu gimana caranya menentukan bk-nya ya Nah itu sebenarnya tidak ada trik khusus ya Jadi kalian bisa coba-coba dan yang sekiranya kalian mudah untuk memeriksa Apakah deret ini itu konvergen atau tidak Dan juga ketika kalian menghitung limit dari perbandingan dua deret tadi itu juga harus mudah ya kalau sulit kan juga akan jadi masalah jadi makanya biasanya dipilih yang agak mirip supaya nanti ada suku yang bisa dicoret kayak ini tadi kan yang faktorial dia bisa saling menghilangkan Nah jadi kan tadi untuk memeriksa konvergensi dari deret kan ada lima ya nah jadi nanti bisa dipilih yang paling mudah menurut kalian Jadi kalau misalkan di soalnya itu enggak ada perintah harus menggunakan uji jenis apa berarti kan bebas ya Nah silakan kalian pilih ee yang menurut kalian ujinya paling mudah tapi kalau misalkan di soal sudah ada perintah misalkan dengan uji rasio ya Berarti mau enggak mau kita harus pakai uji itu tapi kalau misalkan enggak ada perintah bebas ya Oke jadi itu mengenai ee untuk konvergensi deret tak hingga coba saya Scroll masih ada oke Ada beberapa lagi masih ya mungkin saya lanjutkan dulu ya mungkin kalau ada pertanyaan boleh disimpan dulu Nah sekarang deret berganti tanda kalau deret berganti Tanda itu dia selang-seling ya tandanya jadi bisa Plus min plus min atau sebaliknya Min plus- Plus Jadi kalau derat berganti Tanda itu cirinya yang depan pasti ada -1 dipangkatkan berapa Nah di sini kalau k-nya mulai dari 1 kalau yang positif itu suku pertama maka pangkatnya k +1 karena -1 kalau pangkatnya genap kan kan positif ya Jadi kalau k-nya mulai dari 1 Ini nanti kan -1^ 2 jadi makanya positif sementara kalau yang depannya sendiri itu negatif maka pangkatnya hanya k ini nanti bisa diingat-ingat ya karena nanti ini akan nyambung di ee deret Morin ataupun tayor karena biasanya nanti Dir Morin atau tilor rumusannya harus dinyatakan dalam notasi sigma beberapa soal ada yang perintahnya seperti itu nah kemudian untuk memeriksa konvergensi dari delet berganti Tanda itu nanti harus memenuhi dua kondisi ini jadi nanti kalau ternyata suku-sukunya semakin ke kanan itu semakin kecil kemudian limit untuk k menuju tak hingga dari rumusan fungsinya sama dengan 0 Jadi kalau memenuhi dua kondisi ini maka nanti deret berganti tandanya itu konvergen ya J nanti eh enggak diambil tanda minnya ya jadi cuma diambil dianggap positif semua yang masuk ke nomor sat seperti itu yang nomor dua juga gitu nanti yang di hitung limitnya itu yang rumusan ak-nya -1 pangkatnya enggak dipakai ya cuma yang belakangnya aja Nah jadi dua kondisi ini harus dipenuhi sehingga nanti dia dikatakan konvergen kemudian kita masuk ke deret mlorin barangkali sudah ada yang pernah mendengar istilah ini ya deret meklorin jadi deret meklorin itu kalau kita diberikan sebuah rumusan fungsi ya katakan FX maka dari FX ini kita akan ekspansikan bentuk deretnya yaitu dengan mengevaluasi di sekitar x0 Nah di sini kan nanti ada notasinya itu pnx kalau n-nya berhingga artinya n-nya itu ditentukan misalkan sampai n-nya 5 maka kita menyebutnya sebagai polinomial meclorin tapi kalau misalkan n-nya itu sampai tak hingga jadi nanti plus titik titik seterusnya kita menyebutnya sebagai deret sehingga nanti harus dinyatakan dalam notasi sigma Nah jadi nanti kalian harus ingat-ingat cara menjabarkannya atau ekspansinya itu pakai rumus ini meklorin ya jadi F ketika x-nya 0 nilainya berapa kemudian fx-nya dicari turunan pertama terus dicari ketika x-nya 0 nilainya berapa dikali X terus ditambah turunan kedua fx-nya apa dicari dulu terus ketika x-nya 0 nilainya berapa Terus nanti dikali x^ dibagi 2 faktorial dan seterusnya Nah di sini saya ada contohnya Ini ya kan rumusnya tadi ini ya untuk deret mklorin maka pertama Kalau fx-nya e^ -2x nyari f0 berarti x-nya diganti 0 e^ 0 1 Terus nyari turunan pertama dulu turunan eksponen diingat-ingat ya dirinya sendiri dikali turunan pangkatnya berarti -2 e^ -2x nah terus dicari ketika x-nya 0 berapa disubstitusi -2 Nah ini berlanjut nah biasanya dicari sampai beberapa suku ya supaya nanti terlihat polanya karena kita harus menyatakan dalam notasi sigma nah ini saya cari sampai turunan keempat nah kemudian sekarang tinggal disubstitusi kan f00 1 f' 0 * x berarti -2 * X terus ditambah turunan kedua 4 * x^/2 faktorial dan seterusnya nah saya dapat ini Nah ini kan harusnya plus titik-titik ya Nah terus ini dinyatakan dalam bentuk notasi sigma Nah jadi pertama dilihat ini kan berganti tanda ya plus min plus min plus min ini harusnya Min Maaf saya ganti dulu Min titik-titik Plus titik-titik ya Nah berarti pasti ada -1 pangkat Nah di sini kan k-nya kalau yang atas tadi mulai dari 1 Nah kalau saya buat dari 0 saja ya Nah sekarang kalau k-nya mulai dari 0 kalau yang depan sendiri itu positif dia pangkatnya k ya ya Kemudian dilihat suku-sukunya lagi kalau k-nya 0 ini cuma 1 berarti 2^ 0 kalau k-nya 1 2 2^ 1 kalau k-nya 2 2^ 2 4 k-nya 3 2^ 3 8 berarti kan 2^ k kemudian dikali x pangkat pangkatnya juga sesuai indeks xk-nya ya Ini cuma nilai konstan berarti kan x-nya pangkat 0 pangk 1^ 2 berarti dikali x p k begitu juga faktorialnya dia sesuai dengan indeks k-nya ya berarti k faktorial Nah jadi Biasanya kalau deretm klorin atau Tailer nanti k-nya mulai dari 0 ya tapi kalau kalian mulai dari 1 juga enggak masalah nah itu nanti pakai yang perubahan notasi pada Maaf perubahan indeks pada notasi sigma tadi Nah mungkin saya lanjutkan dulu sekalian sama yang tayor ya Nah tayor hampir mirip dengan yang Morin Tapi dia dievaluasinya itu di sekitar titik x= a nah bisa mengatakan sebenarnya mklorin itu adalah deret taayer tapi dievaluasi di x = 0 sehingga nanti kalau tayor rumusnya kayak gini fa + f' a * x - a untuk kelanjutannya seperti ini nah ini ada contohnya ya kita akan mendapatkan dari retailer dari rumus fungsinya ini di sekitar x = 3 terus nanti dinyatakan dalam notasi sigma Nah pertama kita tulis rumusannya ya kalau dari Tailer berarti sesuai sama X yang diberikan di X = 3 terus dikali x -3 x - 3² dan seterusnya ya Nah ini sama kayak tadi dicari f3-nya berapa terus dicari turunan pertamanya kemudian ketika x-nya 3 berapa Nah ini cara mencari turunan sudah tidak saya jelaskan lagi ya karena sudah pernah dibahas di materi yang sebelumnya nanti bisa dilihat kembali nah ini saya cari sampai turunan ketiga ya supaya nanti kita bisa lihat polanya nah kemudian di sini saya substitusikan ya f3-nya tadi 1/5 terus fak3 dikali itu nah kemudian ditambah fak3 dikali yang ada faktorialnya itu nah Ternyata ada yang saling menghilangkan bisa disederhanakan ya Nah sehingga pada akhirnya dapat ini nah ini juga gitu ya karena tandanya plus min plus min Kan Berganti tanda kalau k-nya mulai dari 0 kalau yang depan positif maka pangkatnya k untuk -1-nya terus kan masing-masing dikali X -3 ya pangkatnya sesuai sama indeks k-nya jadi x -3^ k Terus kalau yang bawah dia pangkatnya ditambah 1 karena saat k-nya 0 5-nya pangk 1 berarti kan k + 1 nah sementara nanti kalau misalkan dibalik ya misalkan ini Min + Plus maka di sini tinggal -1^ k + 1 tapi kalau yang depannya positif pangkatnya k kalau yang depannya negatif pangkatnya k + 1 dengan catatan kalau k-nya mulai dari 0 Oke jadi materi bab 6 terakhir itu sampai deret tayor ya biasanya yang sering muncul nanti ekspansi deret tayor deret meelorin ataupun menguji konvergensi dari sebuah deret atau barisan nah kemudian nanti untuk bisa menuliskan dalam notasi sigma ini perlu latihan ya jadi nanti kalau sudah sering latihan biasanya akan terbiasa kalau bentuk ini itu gimana cara menyatakan notasi sigmanya Oke mungkin kalau ada pertanyaan silakan atau mungkin di kelas belum sampai ini ya masih bab 5 ya Iya Mbak belum Mbak Iya karena habasanya kalau semester setelah maksud saya setelah ETS materinya agak dikebut yang akhir-akhir ya karena biasanya ee dosen banyak agenda sehingga ya ya seperti itu seperti yang saya bilang tadi karena eas kan mulainya minggu ke-15 ya Jadi kalau kita hitung kalian dapat materi setelah ETS itu Eh kasarannya cuma 6 minggu kuliahnya yang 2 minggu buat eas Mbak Mbak kan Bu paket matematika yang 6.5 itu diferensiasi dan integrasi deret pangkat kalau di catatan Mbaknya itu itu termasuk yang huruf Apa itu yang yang bagian mana itu integrasi dan diferensiasi derat pangkat ya Halaman berapa itu eh 281 6.5 281 sebentar diferensiasi dan integrasi deret pangkat Oh oke nah ini tidak saya Tuliskan di sini ya Oh ya mungkin nanti kalau perlu catatannya saya buatkan dulu ya Oh iya Mbak Mak pokoknya intinya itu diferensiasi sama integrasi deret pangkat Jadi kalau misalkan kayak tadi misalkan saya balik saya punya deretnya ini ya terus ini kan kalau dijabarkan nanti dapat atas atasnya nah terus kalau misalkan kita mau menurunkan deret ini itu kita bisa menurunkan masing-masing deret yang sudah dijabarkan tadi atau sebaliknya kalau misalkan kita mau mengintegralkan deret ini itu kita bisa mengintegralkan deret yang kita jabarkan tadi atau mungkin saya berikan contohnya ya jadi saya stop share dulu saya cari file-nya Iya Mbak Iya kayaknya Saya punya contohnya sebentar saya cari dulu ya Oke sebentar ya saya cari oke oke sebentar karena saking banyak file-nya ya sebentar belum nemu Iya mbak I coba [Musik] Oke sebentar oke file-nya tidak ketemu ternyata tapi mungkin saya coba berikan ee contoh penerapannya ya dari materi itu jadi misalkan soalnya itu ee Tentukan Coba [Musik] tentukan ini tadi yang mkelorin kita apa ya yang e^ X tamb apa he Coba tentukan deret tayor di sekitar x = 3 [Musik] dari fx sama dengan Len dari X + 2 dengan oh oh enggak Gini Maaf salahsah Tentukan Der tayer di sekitar x = 3 dari fx sama dengan ini misalkan pertama ini ya Nah kemudian kan Kalian cari deret Tailer dari ee ini ya kemudian soal yang kedua dari hasil di atas tentukan deret tayor di sekitar x = 3 untuk FX = 1/x + 2 jadi contohnya seperti ini Nanti jadi kan ketika tadi kita nyari deret Tailer untuk Len ini kan nanti misalkan kalian dapatkan ya Eh fx-nya jadi apa gitu ya bla bla bla bla itu untuk ketika fx-nya Len dari X + 2 Nah itu kan cara mengevaluasinya tadi Kalian cari dulu masing-masing F saat x-nya 3 berapa kan dapat kemudian turunan pertamanya apa terus dicari Sampai Nanti kalian dapatkan yang ada di sini Nah itu kan sudah dapat ekspansi dari deret tayor untuk Len dari X + 2 nah kemudian kita sekarang mau nyari juga deret taayer di titik yang sama x = 3 tapi fx-nya 1/x + x + 2 Nah di sini kita enggak perlu pakai cara manual yang harus nyari turunan masing-masing tadi ya misalkan nyari turunan pertama terus disubstitusi x-nya 3 nyari turunan kedua disubstitusi x-nya 3 enggak perlu jadi nanti langsung dari di hasil ini itu diapakan kira-kira 1/x itu apanya Len x + 2 apa 1/x + 2 itu dapat dari turunannya kan ya Iya Mbak Nah artinya apa C nanti deretnya ya tinggal kalian menurunkan nilai yang ada di sini tadi misalkan saya ini tulis A jadi tinggal menurunkan hasil a saja maka nanti sudah dapat deret tayornya jadi aplikasinya seperti itu Oke mbak terima kasih Jadi nanti juga bisa dibalik ya misal kan kalian nyarinya 1/x + 2 deretailernya terus nanti dari hasil Ini disuruh nyari deretailer buat Len berarti kan dibalik integral dari 1/x + 2 itu hasilnya Len berarti artinya Nanti kalian mengintegralkan hasil yang deret tayor 1/x + 2 tadi Oke jadi kurang lebih seperti itu ya Nah ini materi terakhir di Mat du sekaligus materi terakhir yang dibahas di ruang sains J untuk sesi berikutnya itu kita tinggal latihan soal sama persiapan eas nanti ya mungkin ada pertanyaan sebelum ditutup enggak mungkin tadi yang perubah batas pada notasi sikma belumjelasin Oke perubahan pada notasi stigma ya sebentar mana tadi Oh ini ya nah jadi kan tadi k-nya itu bisa mulainya 0 atau ini kalau diubah jadi sat juga enggak masalah ya Nah caranya seperti ini J misalkan dari yang k-nya mulai dari 0 Saya sekarang mau ubah jadi S Nah jadi pertama kita misalkan kan n = k + 1 Jadi pakai huruf lain ya n = k + 1 Nah nanti disesuaikan selalu n = k + k-nya kalian kehendaki mulai berapa kalau k-nya mau dimulai dari 5 maka di sini n-nya = k + 5 seperti itu ya jadi plus+ 1-nya menyesuaikan karena kita mau ubah k-nya mulai dari 1 nah sehingga dari sini k-nya sendiri apa N - 1 sehingga nanti di sini semuanya yang dalam k akan kita ganti dalam n dulu ya Sehingga batas sigmanya harus diubah kalau k-nya 0 maka n-nya berapa maka 0 + 1 maka n-nya 1 kalau k-nya tak hingga maka n-nya tak hingga plus+ 1 ya tetap tak hingga ya maka ini akan berubah batasnya sekarang dalam n dari 1 sampai tak hingga k-nya diubah dalam n Berarti k-nya tadi n -1 yang bawah n-1 faktorial nah ini bisa langsung kalian ubah lagi dalam k ini langsung diganti lagi sehingga di sini deretnya kalau k-nya mulai dari 0 rumusan fungsinya adalah 2^ k/k faktorial tapi kalau k-nya mulai dari 1 rumusan fungsinya adalah 2^ k -1 dibag k -1 faktorial ini nanti kalau kalian substitusi k-nya akan tetap sama hasilnya akan tetap 1 + 2 + seterusnya jadi kuncinya pemisalannya ini ya tinggal disesuaikan k-nya Mau diubah berapa Kalau k-nya 2 berarti di sini K + 2 dan seterusnya seperti itu ya Gimana ada pertanyaan kira-kira kalau misalkan sudah tidak ada pertanyaan saya bisa stop recordingnya ya