Introduzione al concetto di integrale di Riemann

Definizione e Obiettivo

• Funzione continua definita sull'intervallo chiuso [a, b] con valori in R.
• Obiettivo: calcolare l'area compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico della funzione.

Partizione dell'intervallo

• Partizione sigma dell'intervallo [a, b]: scelta di n+1 punti tra a e b.
  • Punti indicati come x0, x1,..., xi,..., xn.
  • x0 coincide con l'estremo a e xn con l'estremo b.
• La partizione può essere arbitraria.

Approssimazione dell'Area

• Dividere l'intervallo [a, b] in sotto-intervalli [xi-1, xi].
• Costruire rettangoli per ogni sotto-intervallo.
  • Altezza del rettangolo: valore minimo della funzione sull'intervallo.
  • Base del rettangolo: (xi - xi-1).
• Somma di queste aree dà un'approssimazione per difetto dell'area (Somma Inferiore di Riemann).
• Funzione continua: minimo su ogni intervallo garantito dal teorema di Weierstrass.

Approssimazione per Eccesso

• Altezza del rettangolo: valore massimo della funzione sull'intervallo.
• Definizione di Somma Superiore di Riemann.
• L'area corretta è tra la più grande approssimazione per difetto e la più piccola per eccesso.

Condizione di Integrabilità

• Funzione integrabile se:
  • Estremo superiore delle somme inferiori (su tutte le partizioni [a, b]) è uguale all'estremo inferiore delle somme superiori.
• Se coincidono, il valore è l'integrale di f da a a b: ( \int_a^b f(x) dx ).

Generalizzazione a Funzioni Limitate

• Anche funzioni limitate definite su [a, b] possono essere integrate con la stessa tecnica.
• Partizioni arbitrarie sigma dell'intervallo [a, b].
  • Somme inferiori utilizzano l'estremo inferiore.
  • Somme superiori utilizzano l'estremo superiore.
• Stessa condizione di integrabilità.

Calcolo dell'Integrale

• Teorema fondamentale del calcolo integrale:
  • f continua su [a, b], F derivata di f.
  • ( \int_a^b f(x) dx ) = F(b) - F(a).
  • Calcolo diretto degli integrali necessita della conoscenza della primitiva.
• Notazione integrale: F(x) valutato tra a e b.

Funzioni Integrabili e Non Integrabili

• Funzioni continue su [a, b] sono integrabili su [a, b].
• Funzioni limitate con un numero finito di discontinuità sono integrabili secondo Riemann.
• Esempio di funzione non integrabile: Funzione di Dirichlet.
  • Definizione: 1 su numeri razionali, 0 su irrazionali.
  • Limitata ma discontinua in tutti i punti.
  • Non integrabile: somme inferiori = 0, somme superiori = b-a.

Conclusione

• Importanza dello studio delle funzioni integrabili e esercizi correlati.
• Invito a seguire i video del canale e iscriversi.