buongiorno ragazzi in questo video introduciamo il concetto di integrale di riemann andiamo quindi a considerare una funzione continua definita sull'intervallo chiuso a b con valori in r come quella che vediamo rappresentata in grafico vogliamo capire quanto vale l'area della superficie compresa tra l'asse delle hicks il grafico della funzione l'idea è quella di andare a prendere una qualsiasi partizione che indicheremo con il simbolo sigma dell'intervallo a b cioè dobbiamo andare a scegliere np1 punti qualsiasi dell'intervallo questi punti potremo indicarli vedete con hicks con 0x con uno il generico punto hicks con i fino a hicks con n in modo che hicks con zero coincida con l'estremo a e hicks con n con l'estremo b è importante osservare che questa partizione può essere qualsiasi l'idea ora è quella di andare ad approssimare l'area consideriamo quindi i generici intervalli delimitati dai punti hicks con i meno 1x coni su questi intervalli possiamo andare a costruire dei rettangoli andando a scegliere come altezza del rettangolo il valore minimo della funzione sull'intervallo che stiamo considerando se facciamo questo su tutti questi piccoli intervalli in cui abbiamo suddiviso l'intervallo ab otteniamo vedete tutti questi rettangoli la cui somma mida un'approssimazione per difetto dell'area che stiamo cercando più precisamente osserviamo che ogni rettangolo a come area il minimo della funzione andato a calcolare sull'intervallo hicks con i meno 1x coni sarà l'altezza del rettangolo x ics con i meno hicks con i meno uno che sarebbe la base del rettangolo cioè l'ampiezza di questo generico intervallo andando a sommare tutte queste aree ritroviamo quelle che sono dette le somme inferiori di rim a questa approssimazione per difetto di cui vi parlavo osservate che il minimo della funzione esiste su ciascun intervallo perché la funzione continua e quindi è garantito dal teorema di buyers trash in maniera del tutto analoga possiamo andare a fare un approssimazione per eccesso dell'area che vogliamo ritrovare andando a scegliere come altezza dei rettangoli il massimo della funzione che ritroviamo su ciascun intervallo hicks con i meno 1x coni in questo modo andiamo a definire le cosiddette somme superiori di riemann in cui vedete stiamo appunto utilizzando il massimo della funzione per riuscire a definire queste somme l'idea è quella che vogliamo ora determinare il corretto valore dell'area osservate che sia le somme superiori che le somme inferiori mi danno un e video in terrore nel calcolo dell'area l'idea sarà che l'aria che stiamo cercando corrisponde alla più grande approssimazione per difetto e deve coincidere con la più piccola approssimazione per eccesso detto in maniera più precisa possiamo dire che la funzione è integrabile se l'estremo superiore delle somme inferiori estremo superiore è calcolato su tutte le possibili partizioni dell'intervallo ab deve essere uguale all'estremo inferiore delle somme superiori quando questi due numeri coincidono la funzione integrabile e se dice che quel valore di è proprio l'integrale di f da a a b e si utilizzerà sempre questo simbolo vedete integrale tahaa bdf dx index quanto appena detto per le funzioni continue si può generalizzare a una qualsiasi funzione limitata sempre definita sull'intervallo chiuso a b come questa ad esempio che vedete rappresentata osservate in particolare che la funzione può avere punti di discontinuità come prima andiamo a scegliere una qualsiasi partizione sigma dell'intervallo abi e andiamo a costruire di nuovo le somme inferiori di riemann in cui però dobbiamo fare attenzione a utilizzare l'estremo inferiore piuttosto che il minimo della funzione perché non essendo la funzione continua non abbiamo la certezza dell'esistenza del massimo del minimo grazie al teorema di vaglia strass in maniera identica andiamo a definire le somme superiori di riemann utilizzando questa volta l'estremo superiore diremo che la funzione è integrabile se l'estremo superiore delle somme inferiori è uguale all'estremo inferiore delle somme superiori e indicheremo nuovamente questo valore ritrovato come un integrale di f dal punto a fino a b utilizzando sempre il simbolo che abbiamo già introdotto ma come si fa a calcolare l'integrale all'interno degli esercizi chiaramente non possiamo permetterci di andare a calcolare le somme superiori inferiori ogni volta l'idea sarà quella di utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale di cui rinuncio la più importante conseguenza sia f dall'intervallo chiuso a b in r una funzione continua e si af grande una sua primitiva cioè una funzione tale che la derivata ds grande è uguale a f dx allora l'integrale da a a b df dx index è uguale a f grande valutato in b meno f grande valutato in a e come dicevo questo è il teorema si utilizza principalmente negli esercizi e nel calcolo diretto degli integrali come vedete diventa fondamentale saper calcolare una funzione primitiva utilizzeremo anche questo singolo f grande dx calcolato tra e b che ha esattamente lo stesso significato di f grande db meno f grande di a vediamo ora alcuni esempi di funzioni integrabili o non integrabili in generale se una funzione f definita sull'intervallo abi in r è continua allora e anche integrabile sull'intervallo ab ma in generale se una funzione limitata a un numero finito di discontinuità allora è integrabile secondo riman ci sono quindi tantissimi esempi possibili di funzioni integrabili ma vediamo un esempio di funzione non integrabile secondo rimane l'esempio più classico è quello della funzione di dirige definita in questo modo uno quando hicks appartiene ai numeri razionali e zero quando hicks invece appartiene ai numeri reali meno l'insieme dei razionali quindi su tutti i numeri irrazionali questa funzione è limitata però è discontinua in tutti i punti andiamo a considerarla sull'intervallo abi e vediamo che questa funzione non è integrabile secondo rimane infatti per qualsiasi partizione sigma andiamo a scegliere ritroveremo sempre come somme inferiori s piccolo uguale a zero e come somme superiori s grande uguale a b meno a e questo grazie alla densità dei numeri nazionali nei reali con questo concludiamo questo video tantissime cose da studiare a proposito delle funzioni integrabili e tantissimi esercizi da imparare a svolgere continuate quindi a seguire i video che trovate su questo canale e iscrivetevi se non lo avete ancora fatto a presto