Geometrická posloupnost

Základní vlastnosti

• Geometrická posloupnost se liší od aritmetické tím, že následující člen získáme vynásobením předchozího člen kvocientem.
• Příklad:
  • A1 = 1, kvocient Q = 2.
  • Členy: A2 = 2 (1 * 2), A3 = 4 (2 * 2), A4 = 8, A5 = 16 atd.

Vztahy mezi členy

• Vztah pro následující člen:
  A(n+1) = A(n) * Q
• Pro třetí člen:
  A3 = A1 * Q^2
• Vztah mezi libovolnými členy:
  A_r = A_s * Q^(r-s)

Výpočet členů

• Můžeme vypočítat libovolný člen, pokud známe jiný a kvocient:
  A3 = A10 * Q^(3-10) = A10 / Q^7

Rozpoznání geometrické posloupnosti

• Geometrickou posloupnost poznáme podle toho, že kvocient mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní.
• Pokud je například A2 = 2 * Q a A3 = A2 * R (R ≠ Q), pak to není geometrická posloupnost.

Součet členů geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů:
  S_n = A1 * (1 - Q^n) / (1 - Q)
• Příklad:
  • A1 = 2, Q = 3, S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)
  • Výpočet:
    3^5 = 243, S_5 = 2 * (1 - 243) / -2 = 2 * -242 / -2 = 242

Součet nekonečného počtu členů

• Mohu spočítat nekonečný součet, pokud je |Q| < 1:
  S = A1 / (1 - Q)
• Příklad: první člen = 1/2, Q = 1/2:
  S = 1/2 / (1 - 1/2) = 1

Pokud |Q| ≥ 1

• Pokud je kvocient větší nebo roven 1, součet diverguje k nekonečnu.
• Například A1 = 2, Q = 2 (A2 = 4, A3 = 8, ...), součet bude nekonečno.
• Pokud je Q < -1, součet také diverguje (střídání znamének).

Shrnutí

• Geometrická posloupnost: následující člen získám násobením předchozího člen kvocientem.
• Vzorec pro součet prvních n členů:
  S_n = A1 * (1 - Q^n) / (1 - Q)
• Nekonečný součet existuje pro |Q| < 1 a je dán vzorcem S = A1 / (1 - Q).

Příští lekce

• V další lekci se budeme věnovat řešení příkladů týkajících se geometrických posloupností.