Dobrý den přátelé Dneska si budeme povídat o geometrické posloupnosti minule jsme dělali aritmetickou Takže dneska to je Ty posloupnosti dorazíme geometrická posloupnost se od aritmetické liší tak že následující člen dostávám tak že se ten předchozí vynásobím kvocientem Jo aritmetická postou byla že jsme měli A1 a A2 bylo A1 plus diference že jo přičítali jsme nějaké číslo geometrická posloupnost bude vznikat tak že ten následující člen dostanu z toho předchozího tak že ho vynásobím nějakým Koci momentem takže příklad když mám první člen jedničku kvocient bude dvojka tak další člen bude 2 1 x 2 je 2 x 2 je 4 x 2 je 8 x 2 je 16 a tak dále Jo a ta posupně nám může buďto růst nebo klesat nebo různě střídat znamenka Každopádně píšu an + 1 následující člen do dostávám z toho předchozího tak že ho vynásobím kvocientem Jo dobře jak bychom získali třetí člen No to je druhej člen krát kvocient že jo a druhej člen je první člen krát kvocient a krát kvocient nám to udělá z toho třetího A1 X Q je A2 X Q je A3 čili mám že A3 je A1 x q x q je kvocient Dr všimněte si 2 je 3 - 1 jo takže můžu klidně napsat A10 je A3 x kci na 10 - 3 jo na 7 že jo eh platí to tak A3 XR kvocient je A4 x kvocient na Dr je A5 A6 A7 A8 A9 A10 Q7 Jo a jsme u e u A10 čili můžu klidně napsat že AR je as x kci na r - s jo to je asi jako poměrně důležitej vztah mezi dvěma libovolnými členy Jo klidně můžu vypočítat i A3 Pokud znám A10 jo A3 je A10 x kvocient na 3 - 10 to znamená na -7 Jo úplně klidně můžu tak funguje to stejně tam jako nahoru jako dolů stejně jako to fungovalo u těch u těch aritmetických postupnost čili Jak poznám geometrickou posloupnost takže následující člen vzniká z předchozího tím že ten předchozí vynásobím tím kvocientem a ten kvocient musí být stejný po celou dobu mezi libovolnými dvěma členy té geometrické posloupnosti jo Nemůže to bejt tak že třeba druhej dostanu z prvního tak že ho vynásobím dvě a třetí dostanu tak že bych ten druhej vynásobil třema jo to ne že bych měl třeba jna k 2 je 2 x 3 je 6 tak tole není geometrická posloupnost ten krok to násobení tím Q musí být mezi libovolnými dvěma členy po sobě jedoucími stejný jo čili když mám třeba rozhodnout jestli něco je nebo není geometrická posloupnost No tak jednoduše že jo vdu z toho vztahu že teda an + 1 je nebo následující člen je an To je ten předchozí krát kvocient že jo Jinými slovy já ten kvocient můžu získat tak že libovolný následující člen vydělím předchozím jo Z rovnice vypočítám že jo Takže když budu mít třeba e Já nevím posloupnost zadanou předpisem pro NT že n člen se vypočítá jako co já vím 53 na N jo tak Je todlecto je to geometrický je to geometrická posloupnost No pokud by to měla být geometrická posloupnost tak to Q musí být nezávislé na N to znamená Já si spočítám an + 1 to bude 53 na n + 1 doufám že to nějak mi přestáli psat tužky tak no a teď to vydělím ne An + 1/1 je an + 1/1 Tak to je 5/3 na n + 1/3 na n že jo Co to je 5/3 na n + 1 No to je 5/3 na KR 5/3 že jo a to radši napíšu l 53 na N No a toleo škrtnu že jo zkrátím A výsledek je že ten kvocient je 5/3 jo To znamená že kvocient je mezi dvěma libovolnými členy stejný a tudíž je to geometrická posloupnost tak víme vztah mezi dvěma libovolnými členy posloupnosti víme jak tu geometrickou posloupnost poznat prostě vydělím předchozí a následující člen a musím to udělat samozřejmě obecně že jo Aby aby mi to platilo pro všechny členy a teďkon bychom si měli říct jak je to se součtem té geometrické posloupnosti a si to takhle smáznu a u tý aritmetický posloupnosti tam to bylo celkem jedno jednoduchý že jo tam byl součet buďto plus nekonečno mínus nebo mínus nekonečno jo protože ta řada prostě buď to furt rostla nebo furt klesala Jo u tý geometrický posuvnosti je to trošinku složitější a začnu od toho nejjednoduššího případu když budu chtít sečíst prvních n členů posloupnosti tak to udělám tak že vezmu první člen a a vynásobím to zlomkem ve kterém bude 1 - q na n l 1 - q tole je součet pro prvních n členů posloupnosti Jo musím znát první člen Musím znát kvocient A dosadím jo takže pokud budu mít například A1 bude 2 A2 bude co A2 kvocient chci že jo kvocient budou co já vím mi to vyjde nějak hezky tři jo a chtěl bych součet prvních pěti členů tak to udělám A1 je 2 KR 1 m co to je 32 jo teda 3 na N To znamená 3 na 5/1 - 3 jo Kent Tak co to je To je 2x 1 m 35 35 je kolik No to je hodně že jo tak 3 na4 je 81 x 3 je 2 43 jo doufám tak 81 x 3 243 1 - 243 je - 242 / 1 - 3 je -2 dvojky zkrátím výsledek je - mínus mi dá + 242 jo součet prvních pěti členů této posloupnosti je e 242 první člen byl dvojka kvocient troj jo Jakej by byl další člen že jo 2 x 3 je 6 x 3 je 18 x 3 je nevím kolik 3 x 18 jo 54 že jo x 3 je 150 162 jo Tak zkouška schválně jestli nám to vyjde součet jestli dá 242 to jsem schválně zvědavej tak e dobře 2 + 18 je 20 6 plus E 54 je 60 60 + 20 je 80 162 + 80 je 242 přátelé jsem tak rád že mi to vyšlo Dobrý tak jo není nic lepšího než udělat v živém natáčení nepřipravený výpočet a pak vám to nevyjde Jo a musíte všechno natáčet znova výborně a tady někdo volá takže teď se nepřijímají hovory Tady se natáčí tak a výborně čili víme jak spočítat součet prvních n členů jo to je pomocí tohodle A teďkonc Co když bychom chtěli sčítat těch členů nekonečně mnoho u té geometrické posloupnosti to lze Jo a té geometrické posloupnosti je to možné a je to v jednom případě Jo a a ten případ zní když kvocient když kvocient Ne mě to nepíší Tak když kvocient je v absolutní hodnotě menší než jedna tak můžu udělat nekonečný součet s jo e co to znamená že kvocient je v absolutní hodnotě menší než jedna Znamená to že kvocient je elementem -1 až 1 jo Z intervalu -1 až 1 tak pak můžu spočítat i nekonečný součet to znamená to tady napíšu takhle symbolicky suma neboli součet těch členů an kdy n jde od jedničky až do nekonečna jo co to znamená Tenle ten symbol znamená A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 až do nekonečna jo tak tak tenhlecten součet když Q je v absolutní hodnotě menší než jed tak existuje a je dokonce je to dokonce konečné číslo a můžeme napsat že ten Součet je e se vypočítá podle pomocí tohodle vzorečku A1 X 1/1 - Q jo proč to tak je no pokud věříme tomudle vzorci No tak když ten e když to Q je menší než j že jo nebo mezi -1 a j a já bych ho umocnil na hodně vysoký číslo tak se mi todlecto bude blížit k nule takže mi tady zbyde jenom 1/1 m q si vemte 1 polovinu A zkuste si ji umocnit na 100 jo a zjistíte že je to skoro nula jo takže proto je tady jenom jednička Protože my to tady umocňujeme na jakoby na nekonečnou No takže takhle se vypočítá nekonečný součet A jak je možný že geometrická řada může mít Jakože když sečtu nekonečně mnoho členů Jak to že ten součet může bejt Konečný jo to je nějaký divný ne a No divný to je pro selskej rozum ale já se pokusím to tu myšlenku obhájit takovým takovým ilustračním příkladem vezměme si že máme posloupnost která má první člen 1 polovinu další 1 č další 1os další J 16 a tak dále jo neboli první člen je 1/2 a kvocient je také 1/2 jo a uděláme tady teďkom takovej myšlenkovej pokus vezmu si tady čtverec který má hranu délky jedna jo ten čtverec rozdělím na půlku to znamená tato hrana má délku jed 1 Pol jo No a kolik je obsah tohodle toho e tohodle toho obdélníku 1 x 1/2 že jo což je přesně ten první člen to je hodnota toho prvního členu Takže já můžu napsat že tole je A1 když to rozdělím na půlku že jo proto protože ten předchozí člen že jo thle obdélník je stejně velkej jako thle obdélník a následující člen je polovina toho předchozího To znamená že todle je A2 jo todle je A3 todle je A4 todle je A5 a tak dále a já tady můžu půlit a půlit a půlit a nikdy Jako pořád mi to tam pořád mi to tam eh bude zbývat kousek místa že jo a když já potom posčítat bych to až do nekonečna jo no tak se mi to nasčítá na tenhlecten čtverec že jo A jaký obsah má Tenle čtverec 1 x 1 že jo délka téhle strany je 1 takže Součet je jna Jo Pojďme si to schválně ověřit když udělám nekonečný součet řady která má první člen 1 polinu to znamená s bude 1 / x 1/1 - 1/2 No tole je Co dole dole je 1/2 že jo takže mám 1/2 x 1/15 a teď si to vynásobím že jo 1/2 x 2 je 1 jo takže opravdu ten ten vztah funguje e todle je takový jakoby pokus myšlenkovej Ne Eh kterej nám dokáže objasnit proč i součet nekonečně no členů eh může mít Konečný součet No protože ty členy se tak furt tak rychle zmenšujou že e se mi to dohromady nasčítá na nějaký Konečný číslo tak eh víme vztah mezi dvěma členy víme součet konečnejch E co se co se děje pokud to Q není v absolutní hodnotě menší než jedna No tak ten součet nekonečnej Jo může vypadat různými způsoby Asi bychom si to ještě měli rozebrat jo Abyste věděli jak to je jo tak čili budu brát teďko že ten kvocient v absolutní hodnotě je větší než j jo neboli Buď to to může být že jo -1 až 1 To je ten to je ten interval e kdy kdy ten součet existuje jo takže my buď to můžeme bejt mít ten kvocient tady větší než jedna a nebo menší než -1 jo Tak co se bude dít když kvocient je větší než jedna větší nebo rovnej vlastně tak pokud ten první člen A1 je třeba řeknu dvě a dobře ok kvocient má bejt větší nebo rovné jeden větší nebo rovný jedné tak já si vezmu třeba že bude dva jo kvocient bude dvojka tak A1 je 2 A2 bude č pak budeme mít 8 16 32 a tak dále a tak dále že jo čili já budu sčítat pokud bych chtěl součet nekonečně mnoha členů já budu sčítat eh nějaké čím nějakou rostoucí řadu čísel budu přičítat čím dál tím větší číslo a tudíž součet bude nekonečno jo pokud by náhodou Tady bylo -2 na začátku záporný člen tak pak bude -4 -8 -16 a ten součet zase bude mínus nekonečno že jo pokud udělám nekonečný ten součet Jo tak No to je ta jednodušší varianta že jo co se bude dít prosím vás ještě chci říct jednu věc tedle ten součet na těch na ten Konečný počet prvních n členů jo třeba první až 10 člen chceme sečíst Tak ten funguje i tehdy když ten kvocient je v absolutní hodnotě větší než jedna Jo to funguje i na tyhlecty případy bez problémů jo kvocient může bjt libovolný číslo tady nekonečný součet tam potřebujeme aby kvocient byl v absolutní hodnotě menší než jo tak e takže se vrátím ještě zpátky k tomu jak to vypadá když ten kvocient je záporný jo A tam je to celkem jedno jednoduchý nebo jednoduchý Jo v podstatě je to jednoduchý když ten kvocient je menší nebo roven -1 jo to je -2 -3 a tak dále já si dám že že kvocient bude třeba -2 příklad jo tak když první člen je 1 tak další je -2 další člen bude -2 x -2 je 4 4 x - 2 je -8 -8 x -2 je 16 Jo a tak dále a tak dále budou se mi střídat znaménka že jo a teď bude záležet na tom Kolik členů jsem posčítat je 3 že jo jo já to budu takat součet jo tři když sečtu první čtyři tak to 3 - 8 je -5 když sečtu první pět členů tak to bude + 11 a tak dále a tak dále čili ten součet bude jednou kladnej jednou záporný jo zase pak bude kladnej záporný kladnej záporný a bude se mi furt zvětšovat jakoby bude to plus 11 pak to bude mínus třeba nevím kolik jo -21 Pak to bude plus E 40 tři jo a tak dále jo zá ten součet bude jakoby takhle oscilovat podle toho kolik jsem počítal členů že jo A takže já nemůžu říct jakej ten Součet je když udělám nekonečnej součet tak ono to furt bude ostřelovat podle toho kolik jsem sečetl členů tudíž ten součet neexistuje jo pokud mám záporný kvocient a ten kvocient je jakoby menší než menší nebo rovnej -1 Tak ten součet neexistuje neexistuje nekonečný součet jo zase Konečný součet Určitě existuje takže abych to shrnul jo poslední nějaký poznatky jenom si to jenom si to jako tak tady Sepíšeme tak geometrická postupnost se pozná tak že následující člen získám z toho předchozího tak že ho vynásobím k kentem ten kvocient musí být Pořád stejnej dva libovolné členy Aras to znamená R člen dostanu z s tak že to vynásobím kvocientem na r-s součet prvních n členů je první člen x 1 - q na n l 1 - q nekonečnej součet funguje tehdy pokud kvocient je v absolutní hodnotě menší než je tak součet nekonečný bude A1 x 1/1 mq Jo tole jsou základní poznatky o geometrické posln a v příštím videjku si ukážeme řešení nějakých příkladů Tak jo to je všechno Mějte se hezky