Wykład o Funkcjach i Wykresach

Kluczowe Koncepcje

• Definicja Funkcji: Funkcja jest relacją przypisującą dokładnie jeden element z jednego zbioru do każdego elementu w innym zbiorze. Można to zobrazować jako strzałki wskazujące od elementów zbioru X do elementów zbioru Y.
• Dziedzina i Przeciwdziedzina:
  • Dziedzina: Zbiór wszystkich możliwych wartości wejściowych (wartości x), zwanych argumentami.
  • Przeciwdziedzina: Zbiór wszystkich możliwych wartości wyjściowych (wartości y), które funkcja może przyjąć.

Rozumienie Funkcji

• Notacja Funkcji: f(x) oznacza funkcję z x jako argumentem. Na przykład, jeśli f(x) = -2x + 3, wartości tej funkcji oblicza się przez podstawienie x do wzoru.
• Zasada Jednej Wartości: Tylko jedna strzałka może wychodzić z punktu w dziedzinie i wskazywać na wartość w przeciwdziedzinie.
• Wiele Wejść do Jednego Wyjścia: Różne punkty w dziedzinie mogą mieć strzałki wskazujące na ten sam punkt w przeciwdziedzinie.

Przykłady i Obliczenia

• Przykładowa Funkcja: f(x) = -2x + 3
• Reprezentacja Tabelaryczna:
  • Oblicz wartości dla różnych wartości x:
    • f(-3) = -2(-3) + 3 = 9
    • f(-2) = -2(-2) + 3 = 7
    • f(-1) = -2(-1) + 3 = 5
    • f(0) = -2(0) + 3 = 3
    • f(1) = -2(1) + 3 = 1
    • f(2) = -2(2) + 3 = -1

Rysowanie Wykresów Funkcji

• Osi:
  • Oś x reprezentuje wartości wejściowe.
  • Oś y reprezentuje wartości wyjściowe (f(x)).
• Punkty na Wykresie: Użyj obliczonych wartości, aby nanieść punkty na wykres.
  • Przykładowe punkty: (-3, 9), (-1, 5), (0, 3), (1, 1), (2, -1).
• Interpretacja Wykresu:
  • Funkcja liniowa tworzy prostą linię na wykresie.
  • Punkty nie muszą być ograniczone do liczb całkowitych; mogą zawierać ułamki dziesiętne i ułamki zwykłe.
  • Ciągły charakter funkcji oznacza, że każda wartość w dziedzinie jest przyporządkowana do wartości w przeciwdziedzinie.

Rodzaje Funkcji

• Funkcje Liniowe: Funkcje tworzące proste linie (np. y = mx + c).
• Inne Kształty: Możliwe kształty funkcji obejmują parabolę (funkcje kwadratowe), fale sinusoidalne (funkcje trygonometryczne) itp.

Znaczenie Funkcji

• Zastosowania w Rzeczywistości: Zrozumienie funkcji jest kluczowe dla modelowania sytuacji, rozwiązywania problemów i rozumienia zależności między zmiennymi.
• Przygotowania do Egzaminów: Istotne dla egzaminów końcowych lub standardowych ocen (np. Matura).