Лекция: Введение в математический анализ
Преподаватель: Голубев Максим Олегович
Тема: Множества, операции, аксиомы, последовательности
Начальные обозначения
- Квантор всеобщности: ∀ - читается как «для любого».
- Квантор существования: ∃ - читается как «существует» или «найдётся такой, что».
- Импликация: → - читается как «влечёт», не путать с логическим «следует».
Множества и операции
Множество и операция
- Рассматриваем множество X.
- Операция обозначается любым символом, обычно используем + или *.
- Множество замкнуто относительно операции, если операция на элементах множества остаётся в пределах множества.
Поле действительных чисел (R, +, *)
- Выполняется несколько аксиом для сложения и умножения.
Аксиомы поля для сложения
- Коммутативность: a + b = b + a
- Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)
- Нейтральный элемент: a + 0 = a
- Существование обратного элемента: a + (-a) = 0
Аксиомы поля для умножения
- Коммутативность: a * b = b * a
- Ассоциативность: (a * b) * c = a * (b * c)
- Нейтральный элемент (1): a * 1 = a
- Существование обратного элемента: a * a^(-1) = 1 (a ≠ 0)
- Дистрибутивность: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Отношение порядка
- Множество X с отношением порядка, например, ≤.
- Свойства: антисимметричность, транзитивность, совместимость с операциями.
Расширенная числовая прямая
- Вводим символы +∞ и -∞.
- Определяем отношения порядка для этих символов.
- Не определяем операции сложения и умножения для ±∞.
Натуральные числа
- Определение: 1 ∈ ℕ, если n ∈ ℕ, то n + 1 ∈ ℕ.
- Используются при счете предметов.
Последовательности
Определение
- Набор чисел {a_n} называется последовательностью.
- Каждому натуральному числу n ставится в соответствие действительное число a_n.
Предел последовательности
- Последовательность {a_n} имеет конечный предел a, если
- ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, такое что ∀n ≥ N, выполняется |a_n - a| < ε.
- Графическое представление: a_n входит в ε-окрестность a.
Сходящаяся последовательность
- Последовательность называется сходящейся, если существует конечный предел a.
Сводные определения
- Oкрестности точки a: интервал (a-ε, a+ε).
- Oкрестности ±∞: например, (M, +∞) для +∞.
Полная теорема
- Для любого множества A ⊆ ℝ существуют единственные супремум и инфимум множества.
- Предел последовательности: если последовательность сходится к a, то она находится в ε-окрестности a на некотором N-м элементе и далее.
Конец лекции: Переход к следующей лекции - закладываем основы изучения пределов и их свойств.