Лекция: Введение в математический анализ

Преподаватель: Голубев Максим Олегович Тема: Множества, операции, аксиомы, последовательности

Начальные обозначения

• Квантор всеобщности: ∀ - читается как «для любого».
• Квантор существования: ∃ - читается как «существует» или «найдётся такой, что».
• Импликация: → - читается как «влечёт», не путать с логическим «следует».

Множества и операции

Множество и операция

• Рассматриваем множество X.
• Операция обозначается любым символом, обычно используем + или *.
• Множество замкнуто относительно операции, если операция на элементах множества остаётся в пределах множества.

Поле действительных чисел (R, +, *)

• Выполняется несколько аксиом для сложения и умножения.

Аксиомы поля для сложения

1. Коммутативность: a + b = b + a
2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Нейтральный элемент: a + 0 = a
4. Существование обратного элемента: a + (-a) = 0

Аксиомы поля для умножения

1. Коммутативность: a * b = b * a
2. Ассоциативность: (a * b) * c = a * (b * c)
3. Нейтральный элемент (1): a * 1 = a
4. Существование обратного элемента: a * a^(-1) = 1 (a ≠ 0)
5. Дистрибутивность: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Отношение порядка

• Множество X с отношением порядка, например, ≤.
• Свойства: антисимметричность, транзитивность, совместимость с операциями.

Расширенная числовая прямая

• Вводим символы +∞ и -∞.
• Определяем отношения порядка для этих символов.
• Не определяем операции сложения и умножения для ±∞.

Натуральные числа

• Определение: 1 ∈ ℕ, если n ∈ ℕ, то n + 1 ∈ ℕ.
• Используются при счете предметов.

Последовательности

Определение

• Набор чисел {a_n} называется последовательностью.
• Каждому натуральному числу n ставится в соответствие действительное число a_n.

Предел последовательности

• Последовательность {a_n} имеет конечный предел a, если
  • ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, такое что ∀n ≥ N, выполняется |a_n - a| < ε.
• Графическое представление: a_n входит в ε-окрестность a.

Сходящаяся последовательность

• Последовательность называется сходящейся, если существует конечный предел a.

Сводные определения

• Oкрестности точки a: интервал (a-ε, a+ε).
• Oкрестности ±∞: например, (M, +∞) для +∞.

Полная теорема

• Для любого множества A ⊆ ℝ существуют единственные супремум и инфимум множества.
• Предел последовательности: если последовательность сходится к a, то она находится в ε-окрестности a на некотором N-м элементе и далее.

Конец лекции: Переход к следующей лекции - закладываем основы изучения пределов и их свойств.