здравствуй друзьям моим курс введения мать алис меня зовут если понадобится голубев максим олегович если вдруг надо будет что-то спрашивать не в течение лекции то можно вы куда отсюда писать по крайней мере давайте такое какой канал связи у нас будет в принципе у вас физтех of ski аккаунт и есть вот ребят который в аудитории брать можете если там где найти адрес техасски тоже в легко находится familie вводить это уже понятно кому писать итак начнем и спрос с небольшого количества обозначения потом с нужной тематике которую почти наверное вы в том или ином виде использовали осознанно или неосознанно то что мы будем использовать это называется вам про всеобщности читается как для любого для всякого купается что он используется для краткости чтобы длинные слова не писать мы будем коротко его использовать будет присутствие также квадр существования читается соответственно существует или найдется такой : ну если она чисто не в русском языке вот математическом будет присутствовать то будет считаться как такое что такие что и в определённый момент начал такую стрелочку будем использовать она будет читаться как выполнить ну я не стоит путать со стрелочками типа из-за следует до который еще публикации называется утверждения следует утверждения бы эта ножка разные вещи теперь давайте рассмотрим некое множество x и будем говорить что на множестве x заодно операция вообще говоря определение ждет абстрактная поэтому операцию как угодно мы можем обзывать мы по-хорошему я бы я назвал даже крестик в конце концов это будет самый обычный плюс который мы используем либо щекам которое будет в конце концов умножить которые мы уже не первый год используем и так на можете заодно операция если мутный тип lantra начинаем использовать для любой пары элементов стал множество из для любого x y язык большого определено плюс y ну и чаще всего эликс умножить на y если мы про умножение говорим и чаще всего заранее просят что если говорят что на множестве вот на операции желательно чтоб она ча было множество относительно операции было замкнуто это означает что помимо того что вот такое вот определенную она ещё и живёт в этом же со мной дальнейшем мы будем работать чаще всего со множествами которые замкнуто относительно операции то есть x замкнуто относительно ну допустим колеса то же самое с умножением с любым другим символом который мы хотим за использовать как операцию если для любой пары x y вcex выполнена [музыка] x плюс y прям лежит и там множество то есть не просто определенно она принадлежит это множество ну скажем если вы рассмотрите что-то типа натуральных чисел мы их чуть позже даже аккуратно определенно скорее всего понимать числа которые используют если совсем не формально для счета предметов то есть 1 2 3 и так далее и вдруг вы захотите определить что-то типа минус а как вы считаете вот это вот множество относительными массу замкнуто или нет нет то что готовому из меньшего считаем больше получаем элементы из этого множества хотя определить моего определили то есть нужно понимать что вот здесь и здесь немножко разные вещи указано мы чаще всего будем работать не только с тем что операция предельно она еще и за итак рассмотрим множество и две операции и это все мы обзываем множеством действительных чисел точнее это называется скорее поле действительных чисел множеством будет называться вот это вот множество с определенным на ней сложением и умножением в каком случае мы будем это все образовать множеством действительных чисел если выполнено несколько аксиом первое почти там полтора десятка аксиом будут вам известны в том или ином виде и скорее всего даже будут модными а вот последняя будет важна и поэтому хотя бы до последней даже видеть для любой пары элементов из множества r выполнена a плюс b равно b + a это называется свойством коммутативности но и принципе понятно что переменные слагаемых сумма не меняется скорее всего так это проблема второе свойство для любой тройки a b c из множества действительных чисел выполнена а плюс есть a + b + c это называется свойство ассоциативности в чем мы и пафос вообще то что записано нужно понимать что когда мы определяем окрасом определяемые для двух элементов то есть когда мы допустим пишем что-то типа 1 + 2 + 3 на самом деле вот здесь вот мы подразумеваем что где-то были скобки просто так как мы уже привыкли как это все работает мы скобки взяли опустили есть по-хорошему то запись она немножко некорректно но мы говорим что понятно что где-то там есть скобки все в порядке вот левая часть означает что мы сперва b и c складываем а потом к результату прибавляем еще а правая часть означает что мои боя складываем получаем некий элемент вот этого самого множество а потом к нему прибавляется и вот эта перестановка скобок означает что как бы мы там не пытались продать все плане результат остается прежним именно поэтому мы здесь скобки убираем предполагаю что читающий или решающий сам будет складывать так как ему удобно хочет вот эти два сложат а потом с результатом тройку этом как-то по-другому третье свойство существует некий элемент который мы обзываем нулем такое что для любого из are a плюс 0 равно 3 аксиом называется всем и существования нейтрального элемента не тратить здесь является 0 это вот тот самый ноль который привычный для нас четвертое для любого элемента изар существует элемент ну вообще говорят его стоило бы назвать вообще другой бок и но для того чтобы было бы удобно нам существует некий элемент который мы обзываем минус а тоже ether такой что а весь минуса равно нейтральным элементом плане того где это могло быть вами встречи на если вы рассмотреть вторую третью четвертую аксиому это аксиома того что называется группа то есть если нам задана некое множество операций и вот эти вот три аксиомы выполнена такое такая структура называется группой возможно где то это у вас было возможно где-то будет если в группе еще присутствует вот такое такой аксиома коммутативности то это называется коммутативной группа или обильного группу это был блог аксиом связанные с крестиком ну или со сложением следующий блок будет связан с умножением по сути я все тоже самое сделаю только буду вместо плюсика ставить точку получается что для любой пары элементов и сэр выполнена а умножить на b равно b умножить на 6 а для любой тройки об отце выполнена а потом у множества цель это то же самое что умножить на p на c 7 кто будет летальным по умножением единица существует некий элемент который мы обзываем единица такой что для всех остальных элементов но и в том числе для той же единицы выполнена умножить на 1 равно и 8 для любого ay zaur существует мы его будем звать а в минус первой то есть некий элемент который вот мы будем вызывать сил так он связан как-то сашкой а в минус 1 будем давать kyser такое что умножить на -1 если правильно элементы здесь кажется произошла небольшая опечатка чем нужно сделать до в плане умножения появляется некий персонаж который мы дёргать не будем именно нейтральный элемент по сложению и мы берем не любая на самом деле из множества действительных чисел а любой отличной от 0 это был блог максимум связанных с умножением теперь мы введем еще туда отношении порядка то есть давайте сперва привлёк а пом 9 пчелам появится будем говорить что на множестве x заданное отношении порядка ну давайте копите из рисуем как и зарисую в общем любой символ какой вы захотите я не хочу стандартно использовать чтобы нет не привыкать к ним вообще это можно считать что меньше меньше либо равно привычную боли нам символы если для его любого и b из x мы можем написать так выполнена или вот так ну то есть когда вы любой парк элементов в каком-то смысле упорядочили вот если мы натуральные числа берем но привычный нам они правда ли что упорядочена ну да потому что вы можете ввести некое отношение порядка которая вот собственно больше меньше до больше допустим и для любой пары у вас либо одно больше другого либо наоборот итак мы посчитаем что еще есть отношении порядка на множестве до и [музыка] блок аксиом будет слушать какой негодяй я все время такси уму пытаюсь забыть в 9 все-таки будет здесь нам нужно сложение и умножение соединить для любой тройки а бойцы и за вовремя опомнился выполнена называется свойство дистрибутивности если мы элемент умножаем на сумму это то же самое что вот эти два элемента перемножить потом вот эти 2 элемента перемножить и сложить их называется свойства дистрибутивность а вот теперь будут уже отношении порядка есть так что все что с операцией было тома с отношением порядка здесь для любого aether выполнена а меньше дубровно мы от тривиально но тем менее называется еще не дошло сенат эффективности для любого для любой пары а и bsr выполнена они шли в равно b и b меньше либо равно что мы как в определении следующее если х меньше либо равно b&b мишле брал на из-за того что следует а равно б до 13 если а меньше или равно b и b меньше либо равно c но причем имеется ввиду здесь если мы берём произвольную пару а и b тыс для любого и бы таких что это это а равно б здесь по сути для любой тройки a pc такой что а меньше либо равно bay damage леврона c выполнена а меньше либо равно c называется еще свойством транзитивности ну то есть как это там немножко по-другому был там вассал моего вассала не мой вассал а здесь получается вот это вассал этого этого салатового вроде как у вас амосова 14 для любой пары ибо такое что а меньшие брал на b для любого цен выполнена a + c нaшими в равно bbc то есть по сути если вы берете какое от неравенство то что мы в конце концов это был неравенствами обзывать и прибавляете к левой правой части и одно и то же число то результат не меняются 15 для любой парой в вместе с на ether перестал писать и сэр такой что а меньше либо равно b и для любого csr такого что 0 меньше либо равно c здесь был для любого а здесь вот только для неотрицательных выполнена отце меньше либо равно vc даже сама история только с умножением но правда вот замечаем что умножать мы можем не на любую чисел k и вот теперь 16 аксиома доме даже посвящу целую доску если все что было до этого относительно привычно и вы наверняка использовали это как и я возможно даже не осознавая что в этом кроется какой-то смысл просто достаточно естественно 2 плюс 3 5 3 числа складываем неважно как мы складываем в каком порядке называется она аксиома непрерывности доска позволяет вам видеть или совсем все грустно значит тогда подожду пока она чуть подсохнет другую потру а вот даже терять не буду давайте могли они вот сюда вот интересный такой момент как вы считаете если я quantum ночной менять местами это будет хорошо или не очень то есть напишу скоро существует а в минус первой потом любого утверждения поменяется или нет морить почему ну во первых здесь даже так все написано что создает ощущение что да если вас кванта существование появляется после каких-то кванторов других ну или принципы после каких-то чисел и все что с контуром существование идет зависит от того что все да то что до этого присутствовал от всего по сути и вот это минус 1 на вид зависит от ашки то есть сперва мы подбираем а потом по да а мы говорим что найдется некое число которое это зависит естественно потому что мы какое-то свойство требуем чтобы выполнялось если вы напишете наоборот получается вы говорите что существует некое число такое что наоборот запишу существует а в минус первой такое что для любого aether выполнена а умножить на минус 1 равно единице я пожалуй не могу придумать такого числа то есть получается вы придумаете такое число что теперь на чтобы его вы не умножали результат будет равен единице обратите внимание что если клан представляет то результат будет меняться то есть нужно аккуратно достаточно писать плюс вот еще такой момент когда у нас quattro существование появляется в том числе после кванторы всеобщности вот этот объект который здесь появляется все что слева зависит сейчас мы в явном виде это записали потому что здесь написали минуса я говорю здесь по-хорошему стоит писать в поддержку но чтобы было понятно что она как-то прям купишь и миноса то же самое здесь в определенные моменты мы будем писать допустил в каком таком формате существует б подразумеваю что нато зависит нужно иметь ввиду иногда это оказывается важно в плане решения задачи к почти готово давайте вспомним натуральные числа для натуральных чисел 1 4 аксиомы как работает нет какая не работает 4 не работает а чтобы поправить нам нужно вместо натуральных чисел взять какие целые она целыми все в порядке а если мы пойдем сейчас по 8 аксиомам целыми числами все нормально там кажется с 8 будет проблему но по сути также как вы 204 и для того чтобы это поправить мы перейдем перешли бы какие числа рациональные и с рациональными девятое все в порядке там отношения порядка тоже не нарушается да ничего то есть первые 15 axiom не только для этого множества выполняются но еще для множество рациональных чисел оставь за рациональные числа такие это дробь м н такая что им число программ будем рисовать фигурные скобочки мы будем определять некое множество и бывает вариант допустим если я хочу целые числа задать я буду писать просто перечисляю но потом ставим могут ночью что бесконечно много когда я понимаю как это множество можно определить при помощи никого правило можно записывать следующим образом опять же : считаются такие что получается что любое число вида m90 нам подходит если м целое натурально и вот число такого вида мы будем считать рационального под всем и непрерывности пусть задано множество а и b то есть они множество когда мы пишем так это элементы у нас а если мы вот так пишем только множество такие что для любого x айза для любого игрека изба выполнена x меньше либо равна y ну то есть получается в некотором смысле множество левее множество в находится rq мы обычно будет назвать число и прямую и даже вот так как нарисовать на ней точки отмечать получается если геометрический изображать то что записано это еще не конец и все вот он умер ствола чтобы пока мы говорим что вот есть у нас такие объекты для которых это выполнено тогда из этого следует что существует элемент с такой что для любого икса и за для любого игрока sb выполнено и космическим равно все меньше либо равно как-то буковки начал другие использовать ладно как есть так есть лучше бы это было это было бы вот и конец а все то есть грубо говоря если у вас есть множество пара множество такое что одно вы можете расположить условно левее другого то всегда найдется элемент такое что он эти множества разделяют вот достаточно коварный вопрос а если мы поняли что первые 15 аксиом для рациональных чисел выполняется 16 как она будет выполняться нет не будет например можете привести еще раз ну 255 тогда будет корень из двух скорее более приятный на ворот неприятное число морите давайте множество зададим следующим образом это любые иксы из множества рацион их рациональных чисел такие что x меньше либо равно корню из 2 вы понять что корень из 2 в это множество попадает не попадает не попадает он является рациональным во множество б мы определим как такие с иском что x больше либо равно корню из 2 знаете по хорошему пока отношении порядка определили только вот такое если я хочу повернуть это означает что записями шли brown band который мы прямо аккуратно определили в аксиоматике она эквивалентно тому что бы больше либо равно то есть когда это пишу это означает что можно как бы справа налево прочитайте это все будет вот в каком таком виде и сюда корень из 2 тур не попадает правда ли что для любого икса и за для любого и гекко из б выполнена x меньше либо равно y но очевидно что да то что x меньше либо равен корню из 2 а y больше либо равен корню из 2 то есть у нас будет цепочка но по сути транзитивность до которая была аксиома номер 13 но в плане чисел вот таких эти два множества кто разделяет корень из 2 и больше никто понять что если я чуть левее зримость корня из 2 я уже во множество прям погружусь а если чуть чуть правее товар множество бы погружусь в вот этих чисел как у меня корень из двух вроде бы не присутствует поэтому не найдется ни какого числа которое это это множество будет разделять то есть 16 аксиома при все ее может быть какой-то глупости или опять же очевидности хотя она не такая очевидно как все остальные не работает например для рациональных чисел но и вот собственно пример такой по поводу натуральных чисел давайте мы их уже много раз использовал никак не определил обратно определим то есть множество натуральных чисел по сути определяется двумя правилами первое правило единиц это натуральное число причем это та самая единица которой у нас в 7 xiaomi появилась а второе правило если x натуральное число то x + 1 тоже на правильное число если кто-то похожее видео на что это напоминаю что это напоминает на что похоже данном от индукции собственно метод математической индукции вы использовали когда вас параметр был натуральным числом ну или по-крайней мере пробегал каких какой-то под множество натуральных чисел тогда действительно можно было наткнуться использовать она постойте порождается определением натуральных чисел но если не формально натуральные числа определяют а это числа которыми используют который использует при счете предмет по поводу всем если первые 15 действительно никита очевидные привычное много раз уже использовались не особо если использовали вообще но она нам понадобится скорее все же сегодня и она достаточно важно без неё нам понимаем под множество кубло рациональных чисел достаточно хорошая но тем не менее это все мои поломалась с другими словами можно считать что мы начали с натуральных чисел круги эйлера пытаюсь рисовать потом поняли что какие-то беды с ними происходит плане сложения обратных элементов там не наберется пришлось расширять искать абелот рассмотрим множество целых чисел здесь казались проблем уже с умножением а нам на трение по той или иной причине понадобилось поэтому еще расширились коля во множество рациональных чисел будем рассматривать но тут вот появилась некая xiom о непрерывности по той или иной причине мы поняли что опять же мало и вот раздули все до множество действительных чисел то есть вот вот прослойка которая здесь появляется их ещё называют такие числа иррациональное еще нам понадобится такие ребята мы определим символ плюс бесконечность как символ такой что для любого аяза выполнена а меньше либо равно бесконечности хорошему даже можно писать строго меньше сейчас мы обсудим откуда строго меньше появляется и символ минус бесконечности такое что для любого ether выполнена минус бесконечность меньше либо равно причем эти плюс и минус бесконечности не как устроено для них не определены не сложения и умножения и только отношении порядка мы для них можем определить то есть они ни в коем случае не является элементом вот этого множества от некие дополнительные символы которые нам чуть позже понадобятся и если мы рассматриваем такое вот множество есть множество действительных чисел а туда еще загнали плюс бесконечности - бесконечный стоит называется расширенная числовая прямая и обычно обозначается чертой еще чуть позже на ставится бесконечность вообще без знака по поводу строгих знаков строгих линий строгих вот огурец здесь можно так выписать можно действительно куда строгий знак берется опять же тут мы поворачивали да и говорили что мы можем писатель меньше либо равно может быть больше либо равно считаю что она определена если мы повесим отрицание так скажем что а меньше либо равно бы неверно да это будет означать что а строго больше чем бы вот по сути строго больше строго меньше возникает как отрицание этого утверждение или отрицание этого значит мы их можем если что использовать и вот на самом деле вот так вот тоже будет правильно писать определение просмотре множество поднос то действительных чисел и будем говорить что число c конечная верхняя грань множество если для любого элемента а из-за выполнена а меньше либо равна c ну конечно потому что числом понятно что плюс бесконечность для любого множество является верхней грани да но тут вот мы добавляем можно момент конечно верни нас интересует если я уберу фразу конечно он тогда здесь вот с чертой можно будет рисовать в лоб новое определение потом не буду повторять определение второе определение множество а называется ограниченным сверху если для него существует конечно верхнюю границу [аплодисменты] как вы считаете конечно верхняя грань и на единственно или их может быть несколько несколько насколько много бесконечно много естественно смотрите если у вас для марса двойка оказался верхней грани вежливые точно не горю максимум лайка казался их не гранью тройка будет и четвертый пятеркой шестерка ну и не обязательно натуральные чистой обязательно целый даже то есть если у вас кто-то объявился верхней грани то любое число больше чем эта верхняя грань тоже верхняя грань в этом смысле определение с одной стороны хорошие потому что он нам помогает позволяет определить ограничен сверху для множества с другой стороны оно какое такое широкое что мы не можем выделить какую-то самка самую лучшую этих конечных верхней грани ну сейчас мы это сможем сделать 3 но по сути это аналог 1 конечно нижняя грань есть опять же множество изар цеху отзовем конечно нижней грани если для любого из выполнена c меньше ли брал на чем а ну опять же если мы существует хотя бы одна конечной нижняя грань то этих конечных нижней грани бесконечно много все что меньше чем эта церковь который мы нашли тоже подойдет и по аналогии с тем как мы определили ограниченная сверху множество определяется ограничено и снизу множество называется ограниченным снизу если для него найдется конечно и нижняя грань если мы пытались выбрать слово конечно и нижняя грань у любого множество нижняя граница присутствовала как минус бесконечность собственно потому как мы определили плюс бесконечность понятно что если выбрать слово конечно то плюс бесконечность всегда будет подходить если здесь убрать слово конечно минус бесконечность всегда будет подходить и 5 это по сути склеивание 2 4 в одно определение будем называть множество просто ограничены если она одновременно ограниченное сверху и снизу вы или иногда для краткости пишут вот эту вот ограниченность чтобы ни словом русского языка математически следующим образом существует . ether такая что для любого и за выполнена модуль а меньше либо равно c вот этот модуль это что-то знакомое ли стоит его еще раз вспомнить знакома хорошо вы так уверенно говорите что я на всякий случай 5 напишу модуля это у нас а в каком случае больше либо равна 0 минус а если я меньше но если что в этот вот неравенства можно расписать следующим образом на просто aqualand потому что минус c меньше леброна они шли брал на цену то есть по сути у вас . порождает и верхнюю грань и нижнюю грань но нужно иметь ввиду что понятно что не факт что минус эта самая как бы лучшая нижняя грань чтобы это слово лучше пока не сначала и это же цирк а не бежать на самой лучшей верхне игры но опять же чтобы лучше не обозначил просто какая следующее определение supra имамом множество называется элемент из множества действительных чисел объединенный с бесконечностью то есть либо какое-то действительное число либо плюс бесконечность будет обзываться супругу для множества и обозначаться если выполнено два условия первое условие это этот элемент является верхней грани не конечно я просто верхней грани то есть получается для любого айза выполнена а меньше либо равно чем суп роман второе для любого борьбу тем меньше чем supreme выполнена лучше существует элемент из такой что а больше либо равно чем это им который мы рассмотрели то есть первое означает что у нас вот это вот супругом является верхней гранью а второй на самом деле означает то что она является точной вверх не гони иногда supra вам еще обзывают нужна точная верхняя граница точная в каком смысле получается если мы попытаемся выбрать нечто меньше чем этот суп раму то это ничто не будет верхней грани потому что найдется какой-то элемент который больше чем это самое успели мы аналогично сдается определения точной нижней грани который называется минфину и мы его будем этот энзим убрать как элемент к повар 100р объединенная теперь с минус бесконечности по туда она точно нижняя грань мы снизу будем играть я объединенная с минус бесконечности обозначается она следующим образом артем и выполнена соответственно такая пара условия для любого а и за большим рабочим этот [музыка] второе условие если мы попытаемся взять м больше чем фильм то найдется элемент множества какой что меньше либо равно чем эта то есть если мы попытаемся как бы улучшить эту нижнюю грань которую нам дано то любое улучшение которое мы не рассмотрим а на нижней грани уже являться не будет а вот в плане того что вы наверняка уже встречали супремум на что похож сейчас на еще не предел это далеко оценка сверху это хорошо но на как так справка называется по моему и даже больше . точнее это будет но максимум не похоже ли а как вы считаете цифровом максимум это одно и тоже или все-таки какое-то отличие есть досуг равно пироксикам может быть люби с конечностью и и кажется максимум таким не бывает во вторых если вы сейчас аккуратно определим максимум то максимум это все-таки элемент множества а супремум но пока может быть не понятно но сейчас мы входить пример разберемся прямо не обязательно будет элементом множества приютим определение число m называется максимуму но что а если 1 м принадлежит а второе для любого эльза выполнена меньше либо равно и на ну и как связь вот эти дух определение можно рассмотреть такое утверждение пусть это множество озер если м это максимум то м это supreme еще раз я понял но то что я проговорил вы услышали сейчас она просохнет я туда не пошел к вершина чем у края если какой-то элемент является максимумом ну то есть если у множества нашелся максимум то этот максимум состоится право месяц напишу про гадости доказано него что это в принципе достаточно легко можете как упражнения рассмотреть утверждение такое было задано множество из того что м является максимумом множество следует что им является supreme вот планета во утверждения как и многих других при нем такого типа иногда возникает вопрос следующий но вот на стрелочка слева направо работать допустим это доказали кто захочет дома это сделает а работает ли стрелочка в обратную сторону то есть если кто-то оказался supra мамам окажется ли максим вы обычно если ответ нет то мы строим контрпример у кого здесь можно взять плату примером но вроде одно и другое подошло мне кажется что если взять такое множество совсем будет прикольно кто для этого множества supra моему является плюс бесконечность плюс бесконечность это супремум множество натуральных чисел ну а максимуму понятно здесь не было какое-то время в детстве все пытался раздобыть наибольшее натуральное число в но во дворе меня научили то есть не только плохого говоря в то время учили но помимо вот таких вот множество она кстати является ограниченным сверху если мы какое-то не ограниченная сверху множество рассмотрим то понятно сразу что максимум там не будет неинтересно помимо вот таких множеств можно еще рассмотреть даже что-то такое тупо интервал чикнули 1 ну какой то этот интервал неважно сухой 01 просто такой стандартный то кто является суп раму для этого множество единиц пусть бутан действительно supra ну проверяем если я беру элементы смолянин то очевидно что единица больше либо равна любого это время первый пункт определение supra мама работает для любого за выполнена а меньше либо равна единице второй пункт теперь если я беру кого-то меньше единицы получается для любого им меньше 1 учетом должно быть выполнено ну раз я беру mq меньше единицы то получается эту ямку я могу представить как 1 -2 epson так где epson какое-то положительное число похоже вот тогда я понимаю что найдется на самом деле можно было не дергать найдется число типа 1 минус epson она больше чем н но меньше чем единиц то есть в этом носится лежит у получается для любого и меньше 1 существует некий элемент а мы его даже можем сейчас наверно как собрать это что-то типа 1 плюс m пополам x они ошибались не хочу водить этих опционов то вроде один плюсом пополам подходит такой что во-первых он промежуток то есть интервал 0 1 и больше либо равно чем так что единица действительно supra по максимуму она является хотя бы по той причине что множество не принадлежит вы вот таких множество тоже максимум очевидно не будет то есть не только у неограниченных сверху но и вот такого типа в этом смысле supra им достаточно полезная получается вещь то есть там где мы максимум мы по крайней мере вот на этих примерах до посчитать не можем мы можем некий заменитель максимума за использовать но при этом возникает вопрос вот мы поняли сейчас что максимум не в любого множество существует а будет ли супремум у любого множество существовать потому что с нею любого то зачем заменять в каких случаях конечно он играет свою роль вдруг найдут в чем на дурацкие множество вот мы докажем щас теорему что для любого множество игр существует единственный ! он означает единственность supreme вам множество ну и очевидно что для infium а такое утверждение музыку на доказательства нам понадобятся по сути два варианта множество первое это множество не ограничено это достаточно простой вариант как мы уже обсуждали кто будет суп равно здесь плюс бесконечности до плюс беспечность супремум вы поэта что так как массива плюс бесконечность вот выбрали как нечто единственное то это единственный здесь сохраняется пожалуйста существует и второй случай менее приятные ограничены а как мы ограниченное множество определяли хорошо вот мяча сверху будет написать и даже можно было так сказать не ограничена сверху и сейчас ограниченная сверху ограниченную сверху как мы определяли найдется конечная верхняя грань а отлично так вот я сейчас веду множество б как множество всех конечных верхняя грань и множество правда ли что б вот отсюда ну так как мы определили конечную верхней грани правда единственное вот я сейчас его определил как-то текстом даже записал да но я не совсем понимаю как она устроена мы мне это не нужно как окажется как устроена параиба я каждой что для любого и за для любого bsb выполнена а меньше либо равно бы но действительно если я беру какую то башку отсюда то она конечно верхняя грань для множества а если это так то какой бы яшку нибудь у меня выполнена меньше либо равно чем бы на что похожа на кусочек чего 16 аксиому дано всем о непрерывности и так мы работаем в эту эта аксиома непрерывности работает из этого всего чего следует что найдется некий элемент цср такой что для любого и за для любого псб выполнена а меньше либо равна c меньше либо равно бы ну и давайте докажем что эта чашка является тем конечно же supra вам дату себя получается этой церковь подпер от по множество сверху вот это вот это множество снизу то есть среди всех верхней грани выбрал на и меньше 1 так первая часть определения суп романа скажется выполнено да получается нас это c так устроена что для любого и зао меньше прогнуться все в порядке теперь второе для львова м меньше чем цен должен существовать элемент айза такой что а больше чем больше brown чем нам проще всего будет доказать от противного чтобы доказывать от противного мы в этом утверждении должны пути для этого утверждений должны построить отрицание полезно будет рассмотреть доказать супротивного хотя бы для того чтобы строить отрицание когда мы вот в таких вот утверждениях когда мы куантро используем строим отрицание тока мантра меняется на противоположную в отрицании то есть кванторы всеобщности будут меняться на контра существования на counter в существование на всеобщность другими словами если это неправда то получается существует м меньше чем c такое что для любого из за выполнена ну а в конце понятно что то утверждение которое мы рассмотрим оно должно отрицать то есть а меньше чем ну получается если это правда то м.к. для множества является тем причем конечно верхней грани ведь у нас сашка было чисел k если я беру ему меньше чем c но при этом больше чем какой-то элементов тоже чисел то то есть м к это конечно верхняя грань а если оно конечно верхняя гранитов какое множество на попадает из тех кто мы использовали во множество вы действительно то чтобы эта может всех конечных верхней грани то есть м предлежит бедами ну а теперь вспоминаем в село всем и непрерывности мы что получили что для любого элемента сбц меньше либо равно чем б а у нас имеется пришли противоречит то есть все должно быть меньше леброн чем кто противоречит вот этому предположению тогда значит и это тоже правда отсюда мы за получение штуцер к является супругой ну важный момент мы ведь не говорим что здесь вот существует единственная церковь поэтому возможно их несколько соответственно может быть и супремумов у нас окажется нет вот этому показали то что он единственный пока еще не доказали это на самом деле делается легко чаще всего когда единственность доказывается доказывать от противного предполагает элемента 2 и несколько строчек приходит противоречу чаще всего ну и сейчас это точно так же делается то есть мы предположим что supra вам у нас два и как они противоречат заполучу пусть со штрих тоже supra ему на этом этапе поняли что . это supra ума и просится штриха тоже супруга причем со штрих не равно c так как множество ограниченная понимаешь что является что их это че силки на сцене чисел и их могу упорядочить мы давай тебе за гарринча и мощности буду читать что-то штрихами чеченцы ну а теперь я что могу сказать что если цвета supreme то по второму пункту определения супремум а если я беру что-то меньше чем c определение supra ума для c существует какой-то элементы за такое что а больше либо равно чем c штрих строго больше если аккуратность ну а если а больше чем c что их тогда ция что их просто напросто даже не верхняя грань не то чтобы точно верхняя грань и вот мы пришли противоречий есть предполагаю что ch3 является supra мы же считаем что их не просто конечно верхняя грань и потому что сейчас ограничен и множеством работы но еще и точно достаточно быстро мы поняли что она просто верхней грани не будет не то чтобы точно надо строго писатель что ты что то сделал по-дурацки опечатался не строго это неравенство нас не приводит ни к какому дурацкому противоречу поэтому строго конечно если я до этого писал не строго то я был сильно не прав надо было внимательно сделать как там было кто следил строго не строго мы скорее синие строго если вы сейчас правильность поминает что делал не строго там должно быть испугайся спасибо что зрители давайте мы и сформулирована банят что доказано аналогично будет и доказывать мы не будем для любого множество aether существует единственный фильм множество доказывается естественно аналогично просто часть мира это у нас будет обратную сторону направленным то что мы теперь работаем с неким аналогом минимума следующая теорема для любого xlr найдется натуральное число такое что x меньше либо равно чем докажу такое утверждение твой докажем от противного как отрицание его будет устроена существует xlr такое что для любого обязан выполнена больше чем ну кстати здесь можно и строгое неравенство ставить будет больше или равна и так нормально потечь не очень мы одно и другое верно поэтому не важно с каким хотим с таким доказываем предположим вот выполнена отрицание но и мы где-то должны прийти к противоречит раз получилось вот так то получается что множество вот это вот является таким ограниченным сверху причем x это конечно верхнюю грань но тогда получается если мы рассмотрим x минус 1 то что найдется существует некое натуральное число такое что м строго больше чем x минус 1 правда по определению тролль них числа я понимаю что н натуральное число ок . натуральном является нет относительно n 2 2 правил для натуральных чисел как быстро n + 1 + 1 тоже правильное число а теперь под каким-то там 10 чем-то номером аксиому нас было что если от неравенство прибавляют но это их число не нравится сохраняется на понять что для строгого неравенство она же тоже сработает то есть если сюда сюда прибавлю право единичка меня получается n + 1 больше чем то есть мы нашли натуральное число которое больше чем у а предполагали мы что натуральное число меньше либо равно чем и пришли противоречишь но и значит вот это утверждение верно верхний брендов а хорошо и да согласен согласен давайте вот тогда сделаем вот что моли может тогда понимаем что supra этого множества n будет являться числом если нас началась конечно верхняя грань естественно вместо икса нужно рассматривать это самое м а здесь с чем приходим противоречу ну с тем что им эту супругом до этого права прошу домик теперь мы перейдем к следующему блоку определение ну и можно считать что вот некой axiomatic у нас закончилась максим отеки мы рассмотрели еще парочку терем а теперь мы переходим уже вот на базе такси am a ticket к некоторым объектам которые называются последовательности и и собстна определим набор чисел ок будем называть последовательностью если каждому натуральному числу поставлена в соответствие действительно число а и этот набор этих чисел a и она будет называться последовательностью то есть по сути когда мы говорим про последовательность мы рассматриваем пару натуральное число это значение которое там антральном число приписывается но обычно мы будем обозначать просто тупо следовать какая понимаю что первое число и на но как яндекс вот здесь присутствует в каком таком явно может быть в виде поэтому зачем нам писать по-русски мы можем писать короб в плане того как это можно графически изображать если вдруг это кому-то удобно помогает ума где-то даже это будем использовать для того чтобы наглядно доказательства провести либо вариант 1 мы на число и прямой это все можем ляпать вся 1 2 3 и так далее в каких-то случаях бывает удобно осознавать что раз мы ставим каждом натуральному числу соответствия некой действительно число то по сути мы строим то что называется функция только функция от аргумента натурального значит скромно как мы график функции рисовали можем ее здесь это сделать только вместо вот каких-то приводят будет просто набор точек потому что мы для натуральных аргументами функцию определили тут соответственно это первое а третий и так далее для последовательности будем говорить что последовательность а n имеет конечный предел и писать соответственно предел а н н стремящемся к бесконечности равен а меняет пока число потому что конечно предел если выпало на следующая строка для любого описан больше нуля найдется м если аккуратно писать-то и над epson то что мы помним когда что тасс контракт существования появляется на зависит от всё что было левее натуральное число такое что для всех n больше либо равно чем этот опцион выполнена модуль аренду со меньше чем epson какое-то время если не заходит это определение нужно разглядывать может быть порисовать какие-то последовательности просматривать дождь если вы впервые сталкиваетесь с чем-то таким то может нетривиальным показаться в плане графических изображений ну давайте даже это изображение пока отложу как считаете кто чувствует уловил и псалмы какие будем играть маленькие таштып сон задает по сути радиус да если вот мы сюда посмотрим то hk это как бы центр фиксированная чисел k epson то радиус оа и но у нас получается где-то в радиусе псу от а должно располагаться так вот если графически мы рассматриваем получается вот что есть некое число а какое бы нам epson мне задавали то есть по сути какой бы окрестностями на собственного + abs он не выдавали всегда найдется номер начиная с которого то есть вот по сути то что и записан начиная с номером от epson все значения последовательности будут попадать сюда м от epson это плюс 1 и все остальные они будут лежать исключительно в этой окрестности то есть другими словами как бы эту окрестность не сужали но будет другой какой-то номер для другой окрестность находиться но в ней окрестность у нас получается конечное количество значений а внутри вот все начиная с какого-то либо если мая [аплодисменты] как-то так изображаем в мирном то вот он а плюс epson а минус epson и по сути это окрестный задает некий коридор вот начиная с какого-то и на типсу все значения будут попадать исключительно в этот коридор и как мы этот коридор не сужались она эта картинка будет ну правда вот это вот пенка может немножко двигается и пока вот в плане того определения которые мы дали вот допустим если я хочу посчитать даже какой такой простой предел читаете то во-первых смотрите получает и справа должен угадать чему он равен потом по определению доказать то есть по сути предъявить вот эту функцию а потом еще обосновать что у меня другого никакого предела не будет и вот наша задача первое время будет собирать какие-то инструменты так чтобы во-первых в каких-то случаях угадывать не приходилось мы могли чисто технически вычислять как предел устроен плюс какие-то свойства заполучает чтобы понимать о предел вообще единственно или нет то есть нам нужно перепроверять а кто-то кроме 0 может быть там пределом или если мы один нашли то все наши ближайшие наши ближайшие задачи я думаю что на пару лекции будут заключаться толку с пределами последовательности будем возиться определение было много или терпим в определенном ты хочешь больше но это где-то были же концу 7 я думаю что дальше не так плотно будет появляться все эти определения хоть определим эту сумму окрестность точки а и за я уже по сути проговаривал я рисую что вуки некая окрестность epson окрестностью father является множество но мы его будем обозначать так это описано окрестность а по сути это а минус r сил написать им этот дротик видели когда работали с геометрическим изображением того что он в пределе получилось но понимаешь сам окрестность элемента этой рамы еще зададим офисом окрестность плюс бесконечности abs на отвесных минус бесконечности и еще у нас появится как я бежал быстрее без знака это капсом окрестность плюс бесконечности это вот такой вот интервал epson окрестность минус бесконечности это такой интервал ну и появляется некий символ беспечность которые сам по себе не будет скорее восприниматься а будем мы его воспринимать как нечто epson окрестность чего мы рассматриваем есть скажем что вот некое множество которым будем звать epson окрестности бесконечности и то есть объединение двух вот этих множеств то есть интервал минус бесконечность игра возникает вопрос зачем так по-дурацки определяем почему мы ему мы не можем написать пустим epson минус бесконечность зачем 1 причина станет может быть ясно вот такое обозначение позже собственно предыстория следующее вот это писал он из просто берется она по сути тоже которая была в определении предела а там вы сказали что и псалом и будем ну выгодно нам выбирать и или интересны даже убирать маленькой соответственно если меня это соло маленько это один вид написан число большое ну и понятно что я пытаюсь таким образом подпереть плюс бесконечность в этом смысле естественно не вот так вот рассматривать удобнее если я говорю что в определенных случаях выгодно маленькое опциона рассматривать в определенных случаях большую тогда да я могу вот так вот делать что было единообразно то есть почти всегда когда мы будем писать об самом предполагает существую вероятно на какая то не очень большая иначе неинтересно будет ли рассматривать мы в силу то что всегда единообразно хотим чтобы всем было маленькое тогда нам удобней записывай так так итак теперь в плане этих и посмотреть его можем вот что задач пределу а.н. принц стремящийся бесконечности а где а это элемент либо расширенное число этой мы либо вообще он будет отзываться бесконечностью то есть либо число либо плюс бесконечно с любой минус бесконечность либо вообще бесконечность без знака и так мы будем писать если с определением вот этой вот записи для любого числа больше 0 найдется номер такой что для всех им большое выполнена am3 надлежит epson окресности а ну во-первых смотрите еще начинай уже вытворять хулиганье немножко мы считаем что это им большое какое число натуральный но я это уже не пишу потому что мы один раз написали леди а помимо от того что он натурально она зависит еще от epson мы несколько раз проговорили один раз записали дальше как бы лей но нужно иметь ввиду что она зависит от то есть это вполне корректное определение но нужно на всякий случай если будут какие-то вопросы к вам иметь ввиду что во первых мы предполагаем что и маленькая им большое натурально то что иначе моя маленькая сюда догнать не сможем а еще им большое зависит от ибс теперь если я а школу выберу как число как вы считаете вот то что здесь записано это что записано было раньше это одно и тоже или разное но мы писали о н минус а по модули меньше чем abs это одно и тоже или разные вещи если это число не смотрите я еще раз говорю что если я вот в этом контексте взял именно число не бесконечный то для числа это и это одно это одно и то же но по даже смотрите что у меня означает n минус а по модулю меньше чем x да и минусам меньше чем ибсона больше чем минусы опциона прибавляем давайте сюда 10 спасибо большое давайте даже стараешься так главное чтоб она не пропала этой ковалентно тому что минус epson меньше чем моими масса меньше чем epson у hq прибавили а н меньше чем а плюс epson больше чем аниме секс ну а это уже valente потому что им принадлежит epson окрестностях то есть другими словами вот определение добсон окрестности нам нужно действительно для того чтобы в плюс s минус бесконечность из бесконечности берната мы помогли 5 это определение так как мы вычитать и складывать бесконечно с ними умеем мы договорились что ничего кроме отношений порядка для бесконечности не определили то нам нужны как раз таки ответственности но если мы хотим обобщать предыдущие определение то можно использовать вместо вот модулей который мы там использовали это сам окрестность но если мы значки какие-то решаем естественно будет удобнее скорее всего использовать модули какого-то определения но и давать крайне определение с которой вы вероятно следующий лекцию начну последовательностями называется сходящейся по сути мы уже даже это определение почти далее если существует конечный предел то есть в предыдущем определением и поле просто вроде как бывать пределы которые бесконечно могут быть не по крайней мере мы определили бывают инге бывает мы пока не обсуждали определить определили если приделаем плюс бесконечности минус бесконечности бесконечности без знака такую последовательность мы сходящийся называть не будем а если он конечно это вот мы будем называть ее сходящийся и основной интерес будет для нас представлять именно сходящийся который конечно павел имею на сегодня все тогда до встречи следующей