Hola y bienvenidos a un nuevo vídeo de Matefacil En este vídeo vamos a resolver la siguiente integral Integral del seno de 3x entre 1 más el coseno de 3x por dx En muchas integrales para saber cómo resolverlas Para resolverlas de una manera muy sencilla Debemos empezar identificando qué fórmula es la que hay que utilizar Aquí debemos saber dominar las derivadas, por ejemplo Es algo muy importante Por ejemplo aquí Lo que podemos identificar si ya sabemos derivar En la parte superior tenemos casi la derivada de lo que aparece abajo. Si derivamos lo que aparece aquí abajo, la derivada de 1 es 0. La derivada de cos nos da menos 3 sen. Si arriba tenemos casi la derivada, solo nos haría falta agregar un"-3", multiplicando Cuando tenemos esos casos, la fórmula que vamos a utilizar es esta de aquí La integral de dv sobre b, que es igual al logaritmo natural de b Este dv significa derivada, o bueno, estrictamente significa diferencial Que tenemos arriba el diferencial de lo que aparece abajo En nuestro caso, casi tenemos arriba el diferencial de lo que aparece abajo Así que aquí todavía no podemos decir que esto es igual al logaritmo logaritmo natural de 1 más coseno de 3x todavía hay que hacer aquí unos pequeños ajustes Para utilizar esta fórmula, v es lo que aparece abajo de la fracción. En nuestro caso, v es igual a 1 más el coseno de 3x.
Vamos a derivar para ver cuánto debe valer dv. dv va a ser igual a la derivada de 1, que es 0, esa ya no la escribimos, más la derivada del coseno de 3x. La derivada del coseno es menos el seno de 3x y luego hay que derivar el argumento. La derivada de 3x es 3. Y agregamos el diferencial de x Esto también lo podemos escribir de esta manera, si escribimos este 3 al principio de la expresión lo pondríamos como menos 3 seno de 3x por dx En nuestra integral en la parte de arriba ya tenemos el seno de 3x, el dx ya está aquí enfrente Lo que nos falta agregar es el menos 3, ese menos 3 que nos hace falta vamos a agregarlo aquí Pero si lo agregamos aquí multiplicando, también tenemos que agregarlo fuera de la integral dividiendo Es decir, debemos agregar aquí un menos 3 multiplicando al seno de 3x y sacar un menos un tercio De esta manera, menos por menos nos da más, este 3 que está dividiendo con ese que está multiplicando se cancela Y obtenemos la misma integral que teníamos al inicio Es decir, no estamos alterando nada si agregamos un 3 multiplicando a la vez que un 3 dividiendo Ya que tenemos completada la derivada, ahora podemos utilizar la fórmula El menos 1 tercio que está aquí afuera, va a pasar exactamente igual Pero esta integral, utilizando la fórmula, aquí tenemos dv y aquí tenemos v Y nos dice que esto es igual al logaritmo de v Es decir, el logaritmo de 1 más el coseno de 3x Así que nos queda menos 1 tercio del logaritmo de 1 más el coseno de 3x Y agregamos nuestra constante de integración porque ya terminamos de integrar Entonces eso es todo, como ven lo importante aquí fue identificar qué fórmula es la que vamos a utilizar y a partir de ahí todo lo demás ya fue muy sencillo Ahora les propongo que ustedes realicen la siguiente integral La integral de la secante cuadrada de 3x entre 1 más la tangente de 3x por dx Esta integral es muy similar a la que vimos en este video Recordemos que la derivada de tangente es secante cuadrada Así que de la misma manera ustedes tienen que completar la derivada y utilizar la fórmula de la integral de dv sobre b Entonces los invito a que realicen esta integral y ya en el siguiente video les muestro el procedimiento completo para que verifiquen su resultado Si les gustó este video, apoyenme regalándome un like, suscríbanse a mi canal y compartan mis videos.
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