Catatan Kuliah: Bilangan Real, Estimasi, dan Logika

1. Pendahuluan

• Bahasan mendasar sebelum kalkulus
• Fokus pada sistem bilangan

2. Sistem Bilangan

2.1 Bilangan Kompleks

• Bentuk: A + BI (A dan B bilangan real, I imajiner)
• Dibagi menjadi:
  • Bilangan Real (nyata)
  • Bilangan Imajiner (hayal)
• Simbol:
  • Bilangan kompleks: C
  • Bilangan real: R
  • Bilangan imajiner: I

2.2 Bilangan Real

• Bilangan yang dikenal (SD, SMP, SMA): bilangan negatif, positif, 0, desimal
• Dibagi menjadi:
  • Bilangan Irasional: tidak bisa dinyatakan dalam bentuk A/B (contoh: π, √2)
  • Bilangan Rasional: bisa dinyatakan dalam bentuk A/B (contoh: 1/2, 3, 0.888...)

2.3 Pembagian Bilangan Rasional

• Dibagi lagi menjadi:
  • Pecahan Berulang (contoh: 0.888... = 8/9)
  • Pecahan Berhenti (contoh: 0.5 = 1/2)
• Bilangan bulat: Z
  • Bilangan bulat negatif dan positif
  • Bilangan cacah: 0, 1, 2, 3...
  • Bilangan asli: 1, 2, 3...

2.4 Diagram Venn

• Bilangan real sebagai kelompok yang lebih besar
• Fokus pada bilangan real dalam kalkulus

3. Sifat Bilangan Real

3.1 Trikotomi

• Untuk bilangan real X dan Y:
  • X < Y, atau X > Y, atau X = Y

3.2 Ketransitifan

• Jika X < Y dan Y < Z, maka X < Z

3.3 Sifat Penambahan dan Pengurangan

• Jika X < Y, maka X + Z < Y + Z

3.4 Sifat Perkalian

• Jika X < Y:
  • Jika Z positif: X * Z < Y * Z
  • Jika Z negatif: X * Z > Y * Z

4. Estimasi

• Definisi: hampiran
• Contoh:
  • √24 ≈ 5 (karena √25 = 5)
  • √101 ≈ 10
  • π ≈ 3.14 (sebenarnya adalah bilangan irasional)

5. Logika

5.1 Konsep Logika

• Jika P maka Q, tidak sama dengan jika Q maka P
• Contoh: "Jika Bandung, maka Indonesia"
  • Tidak benar jika "Jika Indonesia, maka Bandung"

5.2 Pembuktian Kontradiksi

• Contoh: buktikan jika N^2 genap maka N genap
  • Negasi Q: N ganjil
  • N = 2k + 1 (ganjil)
  • N^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 (ganjil)
  • Kesimpulan: jika N^2 genap, maka N genap

6. Penutup

• Selesai, semoga bermanfaat.