Modulus Function Lecture Notes

परिचय

• आज का विषय: Modulus Function (Absolute Value Function)

Modulus Function के बारे में जानकारी

• Modulus Function को इस प्रकार लिखा जाता है:
  f(x) = |x|
  यहाँ | | दो वर्टिकल बार्स हैं।
• इसे Absolute Value Function या Absolute Function भी कहते हैं।

वर्टिकल बार्स का अर्थ

• यदि वर्टिकल बार्स एक Real Number के दोनों तरफ हैं, तो यह Modulus को दर्शाता है।
• यदि वर्टिकल बार्स एक Complex Number के दोनों तरफ हैं, तो यह Magnitude of Complex Number को दर्शाता है।
• यदि वर्टिकल बार्स Vector के दोनों तरफ हैं, तो यह Magnitude of Vector को दर्शाता है।
• यदि वर्टिकल बार्स एक Matrix के दोनों तरफ हैं, तो यह Determinant of Matrix को दर्शाता है।
• यदि वर्टिकल बार्स एक Set के दोनों तरफ हैं, तो यह Cardinal Number of a Set को दर्शाता है।

Modulus Function का व्यवहार

• Modulus Function का व्यवहार इस प्रकार है:
  • यदि आप एक Positive Number डालते हैं, तो Output वही Number होगा।
  • यदि आप Zero डालते हैं, तो Output होगा Zero।
  • यदि आप एक Negative Number डालते हैं, तो Output उस Number का Positive रूप होगा।

Modulus Function के गुण

• Modulus Function का Output कभी भी Negative नहीं हो सकता।
• Input किसी भी Real Number हो सकता है।
• Output हमेशा Zero या Positive होगा।

Domain और Range

• Domain: सभी Real Numbers (−∞ से ∞)
• Range: 0, ∞)

Graph

• Modulus Function का Graph V-Shape का होता है।
• Graph के Critical Point होते हैं जहां Function का व्यवहार बदलता है, जैसे कि x = 0।

Example: Modulus Graph

• जब x < 0 होता है, तो Graph y = -x होता है।
• जब x >= 0 होता है, तो Graph y = x होता है।
• Critical Point: x = 0 पर Graph का व्यवहार बदलता है।

Problems and Exercises

• Problems में Modulus Function के व्यवहार और उसके Outputs का प्रयोग किया गया है।
• Modulus Functions पर Command होना जरूरी है, खासकर JEE में।

महत्वपूर्ण समस्याएँ

1. Find the values of x satisfying:
   • |x - 2| = 4
   • |x - 2| = -5 (Not Possible)
2. Graph Draw: f(x) = |x - 4|
   • Critical Points और Output की जांच करें।

Homework

• Find the values of x satisfying |x + 6| + |x - 4| + |x - 6| = 10.
• Graph of f(x) = |x + 2| + 2|x - 1|.

निष्कर्ष

• Modulus Function का Behavior, Domain, Range और Graph महत्वपूर्ण हैं।
• Modulus Function पर अच्छी पकड़ बनाना आवश्यक है।
• समय-समय पर प्रैक्टिस करते रहें।
• मेहनत करें और मुस्कुराते रहें!