मोडुलस फ़ंक्शन का सारांश

Maths के इस मायाजाल में खो चुका है और Maths के इस मायाजाल की फिर से हम एक बार भन्नाट शुरुवात करते हैं और आज का जो हमारा function है वो है Modeless Function आज के lecture में हम discuss करेंगे modulus function, जी हाँ, सबसे पहले आपको बता दूं कि जो modulus function है, उसको represent इस प्रकार से किया जाता है, fx is equal to modulus x, ये जो दो vertical bars हैं, ये modulus function को denote करते हैं, और modulus function का एक और नाम है, absolute value function, Absolute Value Function, इसको Absolute Function भी बोला जाता है Modulus Function की शुरुवात करने से पहले आपको कुछ बात ने बता दूँ ये जो दो Vertical Bars हैं, इनकी बड़ी Maths में बड़ी खुबसूरत माया है अगर ये दो Vertical Bars एक Real Number के दोनों तरफ लग जाएं तो इनको बोलते हैं Modulus और अगर ये दो Vertical Bars एक Complex Number के दोनों तरफ लग जाएं तो इनको बोलते है magnitude of complex number, फिर ये दो vertical bar magnitude देंगे, किसका magnitude देंगे, complex number का magnitude देंगे, depend करता है दो vertical bar कहां लगे हैं, अगर वो real number के दोनों तरफ लगे हो, तो modulus को denote करते हैं, complex number के दोनों तरफ लगे हो, तो magnitude of complex number को denote करते हैं, और दो vertical bars अगर vector के दोनों तरफ लगे हो, तो vector का magnitude denote करते हैं, magnitude of, magnitude of vectors, correct है? और अगर ये दो vertical bar लगे हो एक matrix के दोनों तरफ, यहाँ पे A मैंने क्या लिए है? Matrix लिए है, एक matrix के दोनों तरफ अगर दो vertical bars लगे हो, तो वो denote करते हैं determinant of matrix को, ये determinant को denote करते हैं, square matrix के दोनों तरफ दो vertical bar लगे हो, तो determinant को denote करते हैं, और मैं आपको बता चुका हूँ, अगर एक set है, ए हमारा, मालने अगर ए set है, एक set के दोनों तरफ अगर दो vertical bars लगे हो, तो वो cardinal number of a set को denote करते हैं, किस को denote करते हैं? cardinal, cardinal number of a set, cardinal number of a set, एक set के cardinal number को denote करते हैं, तो दो vertical bars का meaning क्या है, वो इस बात पे depend करता है, कि दो vertical bars लगे कहाँ पे हैं इस बात पे डिपेंड करता है कि दो vertical bars का meaning क्या है यहाँ पे दो vertical bars लगे हैं real number के उपर x हमारा एक real number है x हमारा एक real number है तो real number पे दो vertical bars लगे हैं तो हमारे दो vertical bars denote करेंगे modus को correct है एकदम तो यहाँ पे जो x है वो है एक real number ठीक है जी, अब modulus x का पहले behavior सीखेंगे, modulus x function का behavior सीखने के बाद, फिर हम उसकी domain, range और graph सीखने वाले हैं, और modulus x function का behavior समझ में आ जाता है, उसके definition समझ में आ जाती है, domain, range और graph अगर आपको समझ में आ जाता है, तो modulus function के fundamental जानकारी आपको complete हो जाएगी, ठीक है, उसके बाद बात समझ आ रही है, modulus function बड़े मस्त function होते हैं, पूरे mathematics में इनका बोलबाला है, और JEE में भी modulus function बहुत सारे सवालों में आते हैं, JEE को भी modulus function बहुत पसंदीदा function है, JEE के, तो modulus functions पे अपनी command होनी बेहद जरूरी है, दोस्तों, तो modulus x का denote हमने कैसे किया, आप जान चुके हैं, अब इसका behavior समझते हैं, देखिए, modulus के अंदर कोई भी real number put कर सकते हो, आप, positive का real number put कर लीजिए, आप zero put कर लीजिए, या फिर कोई negative real number put कर लीजिए, जैसा आप चाहें, वैसा input modulus को दे सकते हैं, कोई भी real number दे दीजिए, modulus सारे inputs को accept करता है, बात समझा रही है, modulus का behavior कुछ इस प्रकार का है, कि अगर आपने positive number modulus में डाल दिया, मेरी बात को ध्यान से सु मोडलस के अंदर डाल दिया तो यह यों का यों आउटपूट दे देता है जीरो भी अगर आपने मोडलस में डाल दिया तो यह यों का यों आउटपूट दे दे मोडुलस कहता है कि आप हमारे अंदर positive number डाल देंगे तो मैं output यों का यों दे दूँगा, जीरो डालोगे तो भी output यों का यों दे दूँगा, लेकिन मोडुलस ये बोलता है कि अगर आप हमारे अंदर negative number को डालेंगे, तो मैं इस negative number को positive बना करके answer दूँगा, बहुत छानदार बात है. मोडलस का negative number के साथ क्या हरकत करता है मोडलस बोलता है कि अगर आप negative number हमारे अंदर डालियेगा तो हम negative number का positive बना करके तब आपको output देंगे तो मोडलस की theory बिल्कुल simple है, बहुत सरल है कि अगर आप उसमें positive या zero डालते हैं तो मोडलस योंके यों output दे देता है solve होकर के उसका input बहार आ जाता है लेकिन अगर आप मोडलस के अंदर कोई negative number डालते हैं तो modulus उसको positive बना देता है अब सवाल यह उठता है कि यह जो modulus ने negative input को positive बनाया है यह कैसे बनाया है आपको बता दूं कि कोई भी negative number है कोई भी negative number है अगर आप उसको positive बनाना चाहते हैं तो उसके आगे एक minus का निशान लगा दीजिए तो minus और minus प्लस हो जाएंगे और आपकी जो requirement थी प्लस का number आने की वो fulfill हो जाएगी, जिस तरीके से लोहा लोहे को काटता है, उसी परकार से negative negative को काटता है, और यहाँ पे positive output आजाएगा, तो कोई भी negative number है, उसको positive modulus किस परकार से बनाता है, एक और negative add करके, बात समझा रही है आपको, क� माइनस 5 का मोडलस देने तो कितना आएगा? माइनस 5 का मोडलस देने तो आप बोलोगे कि माइनस 5 एक नेगेटिव नंबर है मोडलस इसके आगे एक और नेगेटिव लगा देगा और आंसर देगा आपको 5 मतलब फाइनल आंसर कितना आएगा? नो नेगेट तो जो modulus के outputs आप देखिए, modulus के output देखिए आप, या तो positive होंगे, modulus के output या तो positive होंगे, या फिर 0 होगा, यह बात समझने वाली है, modulus function के outputs या तो positive होंगे, या 0 होंगे, modulus function का output कभी negative नहीं हो सकता, ठीक है ना, input of the modulus number, a modulus function can be any real number, यह बात यहाँ पे note करने वाली है, input can be, input can be any real number, input कोई भी real number हो सकता है, और जो output है, output must be no negative, modulus function का जो output है, वो कभी negative नहीं हो सकता, यह बात अपने को सोचनी है, या तो वो zero होगा, या फिर आप देख सकते हैं यहाँ पे, या फिर वो positive रहता है, बात समझ आ रही है आपको? तो अब modulus function को थोड़ा सा और समझते हैं, इसके अंदर कुछ और input डाल के देखते हैं, समझते हैं कैसा behave करेगा, आप मुझे बताओ modulus के अंदर अगर मैंने root 2 minus 1 डाल दिया, तो क्या answer आएगा, modulus के अंदर अगर आप root 2 minus 1 डाल देते हैं, तो पहले आप यह समझिए कि root 2 minus 1 एक positive number है कि negative number है root 2 minus 1 एक positive number है क्यों positive number है क्योंकि root 2 की value होती है 1.4 के आसपास root 2 की value होती है 1.4 के आसपास minus 1 करेंगे तो 0.4 लगबग फिर भी बच जाएगा तो यह हमारा positive number है अगर यह positive number है more or less positive number को बोलता है कि भाईया तुम चले जाओ हम तुम्हें कु root 2 minus 1, समझ में आ रही है नहीं आ रही है बात, अगर इसके अंदर कोई नंबर डाल दू मैं, root 2 minus 2, आप मुझे बताएं कि root 2 minus 2 का modulus क्या होगा, root 2 minus 2 का modulus बताएं क्या होगा, 2 का modulus होगा minus of root 2 minus 2 अब ये मैंने minus क्यों लगाया है पहले आपको बता दूँ कि जो root 2 minus 2 है ये एक negative number है root 2 minus 2 एक negative number है है जी root 2 minus 2 को देखें आप तो जो root 2 है वो 1.414 के आसपास की value है 1.414 में लगबग 1.4 माल लेते हैं minus 2 करेंगे तो minus 0.6 आएगा आप देख लीजे negative का number आया है तो root 2 minus 2 एक negative का number है और negative के number को modulus क्या करता है बोलता है कि मैं तेरे आगे एक और negative लगाऊंगा ताकि तु positive बन जाए और फिर positive output मैं तुझे दूंगा बात समय में आ रही है तो इस negative के number को ध्यान से देखिए ये number negative का है इस negative के number के आगे एक और negative लगाया ताकि ये क्या बन जाए positive का number बन जाए मोरलस का इकलोता एक ही उदेश है मोरलस अपने output को negative नहीं होने देता है नहीं होने देगा चाहे कोई आ जाए चाहे कालीन भाईया आ जाए चाहे गुड्डू भाईया आ जाए चाहे मुन्ना भाईया आ जाए कोई भाईया आ जाए मोरलस बोलेगा भाई तुम कुछ भी कर लिजिए ह आउटपुट कभी भी नेगेटिव नहीं देंगे अपना जो आउटपुट आएगा वो एकदम भन्नाट नो नेगेटिव आउटपुट आना ही आना है बात समझ में आएगा आपको तो क्लियर है मोडलस फंक्षन और मज़े मज़े में आपको पूरा मोडलस फंक्षन समझ में आजाएगा तुम्हारा भाई नहीं डॉन सिखा रहा है करते हैं आगे शुरुवात मुझे एक बात बताओ मैं कुछ numbers यहाँ पे लिख रहा हूँ आप मुझे इतना बताईए कि जो मैं numbers आपके सामने लिख रहा हूँ वो numbers में कौन सा negative है कौन सा positive है ये बताईए आप मुझको आप 2 को देखें और बताएं क्या है ये positive का number है पैस सीधी बात है ये number positive का ललूसी बात है ये तो ऐसी लल्लू बाते तो आप सोच रहे होंगे मैं क्यों पूछ रहा हूँ आपसे ठीक है ना लेकिन मैं जो भी बाते करता हूँ, जो भी पूछता हूँ, जो भी बताता हूँ हर चीज का एक उदेश्य है क्योंकि डॉन बिना उदेश्य के कुछ नहीं करता जादूगर बन जाओगे ठीक है? So, minus 2 के number इस minus 2 को देखर के आप बोलेंगे कि ये तो negative number है minus 2 तो आप मतलब कोई भी बोल देखा negative number है minus 2 एक negative number है 2 एक positive number है मेरा interest x square के अंदर है x square negative है कि positive है x square जीरो भी हो सकता है और positive भी हो सकता है Interestingly, आप x square को देखोगे x square के अंदर आप कुछ भी put कर लीजी x के जिरो put करोगे तो जिरो answer आएगा, और जिरो के लावा कुछ भी put करोगे तो positive answer आएगा, तो x square जो है positive तो नहीं है, क्यों, क्योंकि जिरो भी हो सकता है, तो x square जिरो या positive दोनों में से कुछ भी हो सकता है, तो इसको बोलते है non negative है, x square की जानकारी दे दूं आपको, ये एक non negative value है, ये हमारी positive value थी, और ये हमारी negative value थी, ये हमारी एक no negative value है, बात समझ में आए आपको, जो x है, x के बारे में बताईए आप, x कैसी value है, अब x कैसी value है, ये value positive भी हो सकती है, ये negative भी हो सकती है, और ये 0 भी हो सकती है, ठीक है न, ये positive भी हो सकती है, ये negative भी हो सकती है, और ये 0 भी हो सकती है, ये इस बात पर depend करेग कि x का input क्या है अगर x की जगह 5 डालोगे तो positive में answer आएगा अगर x की जगह minus 5 डालोगे तो negative में answer आएगा और अगर x की जगह 0 डालोगे तो 0 में answer आएगा अब आपके सामने value लिखी है 0 ये positive है या negative है बता दूँ 0 एक मायावी number है 0 एक मायावी number है यह ना ही negative होता है, ना ही positive होता है, इसका कोई भी sign नहीं होता है, तो zero जो है, this is neither negative, neither negative, nor positive sign समझ में आना बहुत जरूरी है modulus अगर सीखना है चीजों का sign समझ में आना बहुत जरूरी है तो x square हमारा एक non-negative value है आप मुझे minus x को देख के बताएं minus x क्या है minus x को देख करके अक्सर लोग बोलते हैं कि ये negative है क्यों क्यों कि इसके आगे minus का निशान लगा हुआ है मैं आपको बता दूँ हर चमकती हुई चीज सोना नहीं होती हर चमकती हुई चीज सोना नहीं होती, हर negative लगी हुई quantity negative नहीं होती, हर negative sign दिखने वाली quantity जो है, वो negative नहीं होती, यहाँ पे देखिए, x को देखिए, x positive, negative, zero कुछ भी हो सकता है, उसी प्रकार से, minus x की अगर अपन बात करें, minus x की अगर बात करें अपन, तो minus x भी तीनों, काम कर सकता है, तीनों काम कौन-कौन से, positive भी हो सकता है, negative भी हो सकता है, zero भी हो सकता है, अगर आप x की जगह 0 put कर देंगे, x की जगह 0 put कर देंगे, तो जो answer है, वो zero आजाएगा, ठीक है, अगर आप x की जगह पे 1 put कर देंगे, आप देखिए, x की जगह 1 put कर देंगे, तो minus 1 negative में answer आजाएगा और अगर आप x की जगह minus 1 put कर देंगे x की ज़िया put कर दिया minus 1, x की ज़िया minus 1 put कर देंगे, तो minus 1 और उसके आगे negative लगा हो जाएगा, plus 1, x की ज़िया minus 1 put कर देंगे, तो ये क्या हो जाएगा? प्लस वन मतलब positive हो जाएगा, तो यहाँ पे समझने वाली बात क्या है, जो minus x है, जो minus x है, वो हमारा zero हो सकता है, वो हमारा negative हो सकता है, वो हमारा positive हो सकता है, फिर से मैं आपको बता देता हूँ, जो minus x है, वो हमारा zero हो सकता है, वो हमारा negative हो सकता है, वो हमारा positive हो सकता है, क� हो सकता है, minus x negative हो सकता है, minus x positive हो सकता है, minus x negative हो सकता है, और minus x zero भी हो सकता है, आपसे पस एक और सवाल मेरा इतना सा है, इतनी सारी कहानी बताने के बाद, सवाल क्या है? कि आप मुझे बस ये बता दें यहाँ पे, इस बात का मैं प्रियोग करने वाला हूँ, आप मुझे ये बता दें कि x positive कब होगा, x positive तब होगा जब x positive हो, x negative कब आंसर देगा जब x के input negative हो, और x 0 कब आंसर देगा जब x का input जो है वो 0 हो, x का input कितना हो 0 हो, अब मुझे बताएं कि minus x की बात कर लें, minus x अपने को negative में कर लें, कब answer देगा जब x की value आप positive डालोगे तो कब answer देगा जब x की value क्या डालोगे आप positive डालोगे तो minus x में x की value positive डाल दी तो final answer आपको negative मिलेगा और minus x में अगर आपने x की value positive डाल दी तो आपको answer क्या मिलने वाला है लेकिन अगर आपने x की value डाल दी negative यहाँ पे note करना है, अगर आपने x की negative value डाल दी, तो negative के आगे एक और negative लगा है, तो हो जाएगा positive, तो हो जाएगा positive, ठीक है, और अगर आपने डाल दिया x equal to 0, अगर आपने x equal to 0 डाल दिया, तो यह हो जाएगा 0, बात समझ में आ रही है, तो जो minus x है, उसका answer negative होगा, अग इन सारी बातों का use करूँगा और modulus x को थोड़ा सा elaborate करके समझाऊंगा और modulus x की definition की अपन बात करने वाले हैं तो modulus x में, modulus x में अगर, ध्यान से देखिए, modulus x में अगर x हमारा positive होगा, अगर हमारा x positive होगा या फिर 0 भी रहे, x हमारा positive हो या फिर 0 भी रहे तो modulus x बोलेगा कि भाई x तुम बाहर जा सकते हो तो modless x, x के equal हो जाएगा, ध्यान से सुनना, अगर x हमारा positive हो या फिर 0 हो, modless x की value x के बराबर हो जाएगी, जो आप input डालोगे, वही output आ जाएगा, लेकिन अगर x negative होगा, अगर x less than 0 है, x अगर negative है, x less than 0 है, तो modless x बोलेगा, कि जो x negative है, उसके आगे एक negative अपन लगा देते हैं, ताकि minus x positive बन जाए, ताकि minus x क्या बन जाए, positive बन जाए, आप ध्यान से देखिए, modulus x के outputs की दो possibility होती हैं, या तो modulus x हमारा x होता है, या फिर modulus x हमारा minus x होता है, modulus x की value x तब आती है जब x positive हो, modulus x की value minus x तब आती है जब x negative हो, modulus का काम है output non negative देना, अगर x हमारा negative होगा, एक negative लगा हुआ है, दो negative मिल करके positive output बना देंगे, आपको बता दूं कि यहाँ पे ये भी positive value लिखी हुई है, ये भी positive value लिखी हुई है, ये positive इसलिए है क्योंकि x positive है, और ये positive इसलिए है क्योंकि x हमारा negative है और x negative होगा तो ये positive बन जाएगा, तो कुल मिला करके जो fx equal to modulus x function है उसका behavior I hope आपको एकदम clear होगा, fx equal to modulus x function का ये behavior है ये इसकी definition है बात समझ आ रही है domain और range की बात कर लेते हैं graph की बात कर लेते हैं और modulus को deep आईए समझते हैं तो fx is equal to modulus x का behavior मालूम चल गया कि ये x आएगा, अगर x हमारा greater than equal to 0 है तो, ये minus x आएगा, अगर x हमारा less than 0 है तो, ठीक है? Domain होता है सारे inputs का set. इस function की domain की बात करें, domain of function की बात करें, तो बताईए क्या-क्या input modulus के अंदर डाला जा सकता है? x की जगह पे क्या-क्या value put की जा सकती है? हम अलड़ी देख चुके हैं, x की जगह पे कोई भी positive value put कर सकते हैं, कोई भी negative value put कर सकते हैं, और 0 भी x की जगह पे put किया जा सकता है. तो यहाँ पे जो inputs हैं कोई भी number put कर सकते हो minus infinity से लेकर के infinity x की जगह पे minus infinity से लेकर के infinity कोई भी real number put किया जा सकता है, तो domain में हो जाएंगे all real numbers, ठीक है, range की अगर बात करें, इस function की range की बात करें, output की बात करें, तो जो modulus है, वो कभी भी negative output नहीं देता, यह बात मैंने यहाँ पे लिख दी है, और यहाँ पे समझा भी दी है, तो कहने का मतलब जो range होगी, जो outputs होगे, negative कभी नहीं होगे, 0 हो सकते हैं, और 0 से बड़े output हो सकते हैं, तो इसकी range हो जाएगी, closed 0 से लेकर के infinity, ठीक है, input का set मालूम है, domain मालूम चल गया, output मालूम चल गया, range मालूम चल गया, अब देखिए बात करते हैं, graph की, अब modulus x का graph बन आपको मैं बता दूं कि जो linear function होते हैं, linear function मतलब x में linear function होते हैं, उनके graph straight line होते हैं, उनके graph straight line होते हैं, यहाँ पे देखिए, modless x का graph x के बराबर बनेगा अगर x greater than equal to 0 हो, अगर x greater than equal to 0 है तो modless x का graph x के graph जैसा बनेगा, मतलब x greater than equal to 0, positive x-axis की बात कर रहे हैं, वहाँ पे modless y equal to x का graph, x positive पे, x 0 और positive पे, x जब negative है तो minus x का graph बनाईए, x negative है तो देखिए minus x का graph बनता है, यह जो line बनी, यह बनी y equal to minus x, यह वाली y equal to minus x line for x negative, और यह वाली जो line है, y equal to x line for x greater than 0 equal to 0, इन दोनों lines को combinedly बोला जाता है, modulus x का graph, क्या बोला जाता है, modulus x का graph, तो देखिए दो, दोस्तों fx equal to modulus x का graph आप देख सकते हैं this is the graph of this is the graph of fx equal to modulus x ऐसे v shape का graph होता है v shape का graph होता है यहाँ पे देखिए origin पे देखिए origin पे बड़ा नुकीला graph होता है चोच बनती है origin पे ऐसा चोच जैसा ऐसा graph origin पे बनता है इसका detail में चोच क्यों बन रही है शार्प कोर्नर क्यों आ रहा है जब calculus हम सीखेंगे तब वहाँ पे बात करेंगे कि sharp corner ग्राफ में कब बनता है, smooth corner कब बनता है, तो यहाँ पे modulus x के ग्राफ को देखिए, यूँ गया, फिर यूँ गया, और ये v shape का जो ग्राफ है, ये बोला जाएगा y equal to modulus x का ग्राफ, आपको बता दूं कि किसी भी function की domain, range और ग्राफ, प्लोट करना आपको आना चाहिए, basic functions की मैं बात कर रहा हूँ, और modulus x function की domain I hope एकदम clear है, मालूम होने चाहिए, रेंज का आपको मालूम होना चाहिए, ग्राफ आपको एकदम याद होना चाहिए, मालूम होना चाहिए क्यों इस प्रकार का ग्राफ बना है, करेक्ट है, तो ये सारी बाते मोडलस फंक्षन के बारे में अपने देखी, ठीक है, अब बात करते थोड़ modulus x की अगर बात करें तो modulus x अपना behavior change कब करता है, modulus x अपना behavior x equal to 0 पे change करता है, modulus x जो है अपना behavior x equal to 0 पे change करता है, यहाँ पे देखिए, यहाँ पे ऐसा decrease करते हुए ग्राफ आ रहा था, x equal to 0 पे अपना behavior change कर लिया, increase होना शुरू हो गया, यहाँ पे देखिए, decrease करते हुए ग्राफ आ रहा था, 0 जैसे ही आया, उसके बाद increase होना शुरू हुआ, तो x equal to 0 जो है, वो modulus x के behavior तो यहाँ पर x equal to 0 जो है, वहाँ पर इस modulus x का behavior बदलता है, तो x equal to 0 point को हम बोलते हैं, critical point of the modulus, क्या बोलते हैं, critical point of the modulus, तो इस modulus का जो critical point है, इस modulus का जो critical point है, वो होता है x equal to 0, ठीक है, simple भाषा में मैं आपको बता देता हूँ, modulus का critical point वो होता है, जो modulus को 0 कर दे, modulus का critical point वो होता है, जो modulus को 0 कर दे, 0 कर दे और इस modulus को 0 करने वाला point है x equal to 0 तो इसका जो critical point हो जाएगा वो हो जाएगा x equal to 0 एक और बात देखें जरा यहाँ पे लिख देता हूँ modulus x minus 2 modulus x minus 2 का मुझे critical point बताईए modulus x-2 का जो critical point होगा, वो होगा x equal to 2, इसका जो critical point है, इसका जो critical point है, वो होगा x equal to 2, x equal to 2 यहाँ पे डालने पे, इस modulus का answer 0 आ रहा है, x equal to 2 डालने पे, इस modulus का answer 0 आ रहा है, तो इसका जो critical point होगा, वो कितना होगा, x equal to 2, मैं एक और लिख देता हूँ, modulus x square-4, modulus x square-4 का अगर मैं आपसे पूछता हूँ, critical point कितना होगा, इसका जो critical point होगा, इसके दो critical point होगे, एक x equal to minus 2 और एक x equal to 2, इसके दो critical point होगे, इसका मतलब इस modulus का, ये जो function हमारा है, इस function में दो बार behavior change हुआ है, एक behavior minus 2 पे change हुआ होगा, और दूसरी बार जो behavior change हुआ है, वो x equal to 2 पे change हुआ होगा, तो x equal to minus 2 put करेंगे, तो भी 0 आ रहा है, x equal to 2 put करेंगे, तो भी 0 आ रहा है, तो इसके जो critical points हैं, वो, x equal to minus 2 and x equal to 2 होंगे, ठीक है, वापस से बता दूं, वो x की value, modulus function का critical point होता है, जो x उसको, पूरे को complete जो है, function है हमारा, उसको क्या कर दे, zero कर दे, complete जो, modulus के साथ की जो quantity है, modulus जो है, उसमें और अपनी understanding बिल्ड हो जाएगी, ठीक है, तो मैं आपसे पूछता हूँ कि, x बताईए find the value of x find the value of x satisfying find the value of x satisfying पहला सवाल है modulus of x-2 equal to 4, दूसरा सवाल है modulus of modulus x-2 equal to 5, ये दो सवाल हैं, दो बड़े simple simple सवाल हैं, पहला सवाल है कि आप ऐसी x की value मुझे बताएं, जो इस equation को satisfy करती हो, दूसरा सवाल है, आप ऐसे x की value बताएं, जो इस equation को satisfy करती हो, ठीक है, तो आईए अभी बताते हैं, अभी निकालते हैं, समझते हैं सवाल के solution को, तो इसको देखिए, देखिए, modulus x-2 equal to 4 है, ध्यान से सुनना, modulus x-2 4 है, इसका मतलब यह हुआ, यह जो x-2 है, ध्यान से सुनना, यह जो x-2 है, ये 4 भी हो सकता है और ये x-2-4 भी हो सकता है ऐसा क्यूं? क्यूंकि दो ऐसे नंबर हैं 4 और minus 4 दो ऐसे नंबर हैं 4 और minus 4 जिनका modulus 4 ही होता है होता है 4 का मोडलस भी 4 होगा माइनस 4 का मोडलस भी 4 होगा तो यहां पे ऐसा कौन सा x-2 है जिसका मोडलस 4 होता है तो वो x-2 की दो possibility है या तो 4 हो या फिर क्या हो माइनस 4 हो यह वाले statement आपको समझ में आने चाहिए ठीक है या तो क्या हो x minus 2 4 हो या फिर minus 4 हो, तो यहाँ पे x की value अपने को मिले 6, और यहाँ से x की value अपने को मिले minus 2, तो x की value या तो minus 2 होगी, या फिर क्या होगी, 6 होगी, पहले वाले सवाल का answer आ गया, इस सवाल में जो concept use हुआ है, इस सवाल में जो concept यहाँ पे देखिए, concept जो use हुआ है, concept जो ए है ठीक है ना यहाँ पे ए मैं बोल देता हूँ greater than 0 है अगर कोई बोल दे modulus x हमारा एक positive number ए के बराबर है तो x की दो possibility है x की दो possibility है या तो plus a हो या फिर minus a हो x plus a होगा उसका modulus भी a आएगा x minus a होगा उसका modulus भी a आएगा इस concept का यहाँ पे प्रियोग किया गया है ठीक है अब दूसरा जो सवाल है वो यह है कि modulus of modulus x minus 2 equal to 5 हो तो बताईए x क्या होगा आईए इसको भी solve कर लेते हैं यहाँ पे given है modulus of modulus x minus 2 equal to 5, तो सीधी बात है, यह जो अंदर की जो quantity है इस modulus के अंदर, जहां से सुनना, यह वाली जो quantity है, जब यह quantity 5 रही होगी, या फिर यह quantity minus 5 रही होगी, तब जब यह quantity minus 5 रही होगी, जा करके left और right बराबर आए होंगे, तो यहाँ पे modulus of x minus 2 या तो ये 5 रहा हो, या फिर, modulus of x minus 2, या फिर ये minus 5 रहा हो, ठीक है, अगर modulus x minus 2 5 के बराबर है, तो modulus x हो गया 7 के बराबर ठीक है और modulus x minus 2 minus 5 के बराबर है तो modulus x हो गया minus 3 के बराबर ठीक है modulus x minus 3 के बराबर हो नहीं सकता this is not possible this is not possible यह नहीं है, क्योंकि मोडलस X का उपटाव नहीं हो सकता, यह इसलिए नहीं है, क्योंकि मोडलस X होते हैं वो हमेशा नहीं हो सकता, greater than equal to 0 होते हैं और यह negative number के बराबर लिखा हुआ है यह हो नहीं सकता यह हो नहीं सकता इसलिए मैंने कहा यह possible नहीं है तो modulus x7 एक possibility है तो modulus x7 का मतलब है x value या तो plus 7 हो या minus 7 हो तो इसका answer कितना आ गया, either x equal to plus 7 or x equal to minus 7, बड़े simple simple दो सवाल थे, move करते हैं आगे, move करते हैं आगे, next question, next question मैंने आपसे पूछा, draw the graph of, draw the graph of, fx is equal to modulus x minus 4 fx equal to modulus x minus 4 का ग्राफ बनाएं आप लोग fx equal to modulus x का ग्राफ ओल्डरेडी बना चुके हो fx equal to modulus x का ग्राफ ओरेडी बना चुके हो और अगला सवाल मैंने दिया है कि more or less x-4 का graph बनाएं आप बड़ा easy है सबसे पहले तो मैं कहूँगा कि session को pose करें, pose करके आप खुद attempt करें खुद attempt करने के बाद फिर मुझे बताएं कि क्या इसका graph बना है ठीक है और match करके देखें मेरे graph के साथ आपका graph match कर रहा है या नहीं कर रहा है तो आप लोग जानते हैं y equal to modulus x का graph मैं आप लोगों को बता चुका हूँ y equal to modulus x का जो graph है वो कुछ ऐसा होता, उसकी shape कुछ ऐसी होती है लेकिन अब की बार मैंने पूछा है कि मुझको y equal to modulus x minus 4 का graph बना के बताएं y equal to modulus x minus 4 का ग्राफ बना के बताएं तो y equal to modulus x minus 4 का ग्राफ अभी बनाएंगे आप ध्यान से देखें जरा ध्यान से देखें मैं कैसे सोच रहा हूँ कैसे सोच के ग्राफ प्लोट कर रहा हूँ मैं बोल रहा हूँ कि at x equal to 4 मैं बोल रहा हूँ at x equal to x equal to 4 इसका critical point है x equal to 4 इसका critical point है और इसका critical point कितना था, x equal to 0, इसने अपना behavior x equal to 0 पे change किया, decrease करते करते आये फिर increase हो गया, ये अपना behavior change करेगा x equal to 4 पे, ये है मानलो x equal to 4, ठीक है न, x equal to 4 पे अपना behavior change करेगा, मुझे एक बात बताओ, x equal to 4 डालेंगे तो वहाँ पे y कितना आएगा, y आएगा 0, है न, 4,0 point मोडलेस x-4 का ग्राफ आपके सामने है ये मोडलेस x का ग्राफ है ये मोडलेस x-4 का ग्राफ है क्योंकि जब x की वैल्यू देखिए 4 से बड़ी डालोगे आप x की वैल्यू 4 से बड़ी 5 डाल दी मानलो आप ठीक है ना तो 5-4 सीधा 1 आंसर आएगा और x की वैल्यू negative में आप तो modulus functions का जो graph बनाना है बड़ा easy होता है, ठीक है, और सवाल करते हैं, next question है, next question है, ये बड़ा अच्छा सवाल है, find the value or values of x, of x satisfying, satisfying modulus x, plus 4, modulus x plus 4, minus modulus x equal to 4 मुझे आप x की वो values बताएं, जो इस equation को satisfy करती होंगी बड़ा interesting सवाल है, simple simple सी बातें use होती है इस सवाल को solve करने के लिए और मेरा ऐसा मानना है जिस बच्चे को इस तरीके के question solve करना आ जाए इस तरीके के question solve करना आ जाए उसकी modulus में complete समझ develop हो चुकी है तो ये जो सवाल होते हैं जिसमें multiple modulus involve होते हैं चाहे plus में हो चाहे minus में हो ऐसे सवालों को solve करना आना चाहिए और ऐसे सवालों को सोल्व करना आ गया, अपनी समझ डेवलेप हो गई ऐसे सवालों को सोल्व करने की, तो मैं कहूंगा मोडलस की एक अच्छी समझ डेवलेप हो चुकी है, तो आईए सवाल को सोल्व करते हैं, यहाँ पे दो मोडलस हैं, यहाँ पे बात समझने वाली क्या है दोनों ही modulus को समझना होगा और फिर अपने को सवाल सॉल्व करना होगा यह वाला modulus अपना behavior change करता है x equal to 0 पे और यह वाला modulus अपना behavior change करता है इसका critical point है x equal to minus 4 x equal to minus 4 पे यह 0 हो रहा है तो यह वाला modulus अपना behavior change करता है x equal to minus 4 पे तबदील करता है यह अपना behavior x equal to 0 पे तबदील करता है, तो दोनों अपना behavior, overall behavior कब-कब तबदील होगा, यह बात समझनी है, तो कुछ इस प्रकार से समझें, एक number line बनाएं आप, एक number line बनाएं, इस number line पे mark कर लें, इसका जो behavior है, यह x equal to 0 पे तबदील होता है, इस modulus का जो behavior है, यह x equal to minus 4 पे तबदील होता है, minus 4 पे अपना behavior बदलता है, तो जो पूरा सवाल है, पूरे सवाल को solve करने के लिए तीन cases बनाने पड़ेंगे यहाँ पे जो पूरा सवाल है, यहाँ पे जो पूरा, यह जो दो modus लगे हैं इनका तीन तरीके का behavior होगा एक behavior तब देखना पड़ेगा जब x जीरो से बड़ा हो दूसरा behavior तब देखना पड़ेगा जब x-4 और 0 के बीच में हो और तीसरी बात तब देखनी पड़ेगी जब x-4 से छोटा हो तो यहाँ पे तीन पार्ट में इस सवाल को solve करना पड़ेगा पहला case लेना पड़ेगा अपने को, first case लेना पड़ेगा अपने को, case number 1, case number 1 लेना पड़ेगा अगर x 0 या 0 से बड़ा है तब क्या होगा, ध्यान से देखें, case number 1 लेना पड़ेगा अगर x 0 या 0 से बड़ा है तब क्या होगा, case number 2 लेना पड़ेगा, ध्यान से देखें, यहाँ पर 0 और minus 4 के बीच में है तब क्या होगा जब x जो है minus 4 और 0 के बीच में है तब क्या होने वाला है और case number 3 लेना पड़ेगा ध्यान से सुनना case number 3 लेना पड़ेगा जब x minus 4 से छोटा है या फिर बराबर है x minus 4 से छोटा है तब क्या होगा जब दो function हो और उनके जोड़ या माइनस का behavior देखना हो तो दोनों पे depend करता है वो दोनों के बीच की बात है तो अलग behavior होगा, दोनों के इस side की बात है तो अलग behavior होगा, और इस side की बात है तो अलग behavior होगा, यही मैंने यहाँ पर बताने की कोशिश की है, कि तीन परकार से यहाँ पर यह जो modulus है, behave कर सकते हैं, एक, दो और तीन, तीनों cases मैंने बना लिये, critical point समझना बहुत जरूरी है modulus में, modulus का critical point mathematically देखा जाए, तो वो point होता है जहाँ पर, ये 0 हो जाए, वो x जहां पे ये 0 हो जाए, और उसका meaning ये होता है कि उस x पे ये modulus अपना behavior बदलेगा, बात समझ में आ रही है, तो अगर x 0 से बड़ा है, अगर x 0 से बड़ा है, तो x plus 4 भी 0 से बड़ा होगा, ध्यान से सुनना, अगर x 0 से बड़ा है, तो x plus 4 भी 0 से बड़ा तो ये वाला जो modulus है ये वाला modulus open हो करके सीधा आ जाएगा x plus 4 और x positive है, x positive है, तो यह जो modulus है, यह भी सीधा सीधा x को बाहर भेज देगा, यह भी सीधा सीधा किसको बाहर भेज देगा, x को बाहर भेज देगा, तो यहां से भी आ गया x, ठीक है, बीच में निशान लगा है minus का, और equal to आ गया 4, equal to 4 given है अपने को, minus x से x कट गया, और आ गय तो 4 और 4 बराबर हैं, इसका मतलब यह हुआ कि 4 और 4 हमेशा बराबर हैं, यह हमेशा बराबर हैं, इसका मतलब यह वाला step हमेशा सही था, यह वाला step हमेशा सही था, इसका मतलब यह हुआ कि x greater than equal to 0, कोई भी value डाल लीजिये, चाहे 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 1, 2, 3, 4, कुछ भी डा सारे x इसको satisfy करेंगे, इसका मतलब यह हुआ कि x greater than equal to 0, यह सारे अपने क्या हुए, answer हुए, answer क्यों हुए, क्योंकि यह हमारी equation को satisfy करते हैं, यह पहला step अपने को समझ में आना चाहिए, which is always true, यहाँ पर लिख देंगे, which is always true, which is always true, which is, always true ये बात हमेशा सही है ये बात हमेशा सही है तो इसका मतलब ये हमेशा सही रही होगी और ये हमेशा सही रही होगी तो x greater than equal to 0 हमारे आंसर होगे ठीक है जी अब बात करते हैं x अगर minus 4 और 0 के बीच में होगा तो minus 4 और 0 के बीच में example के लिए minus 1 उठा लेता हूँ अगर x यहाँ पे डाली है minus 1 हो गया तो यह वाली quantity तो positive ही है x जब minus 4 से 0 के बीच में है तो यह quantity तो positive ही है और positive number का modulus जो है आप सीधा का सीधा खोल करके positive number को बाहर ला सकते हो ठीक है और x-4 से 0 के बीच में है, मतलब x नेगेटिव है, यह x नेगेटिव है, तो यह वाला जो modless है, यह वाले जो modless भाईया है, यह अपने को बोलेंगे कि भाई, x तू नेगेटिव है, तुझे मैं positive बना के भेजूंगा, तो इस x के आगे यह minus लगा करके भेज देंगे इसको minus x लगा के बाहर बेज देंगे और एक minus यहाँ पे already इसका इंतजार कर रहा है उसको भी लगा देते हैं और यह किस के बराबर दिया हुआ है यह 4 के equal दिया हुआ है correct है तो यहाँ पे देखने को मिला अपने को कि x और minus minus plus x हो गया तो 2x plus 4 equal to 4 4 से 4 cancel हुआ, x equal to 0 आ गया, और यहां मैंने लिया है कि x 0 और 4 minus 4 के बीच में होना चाहिए, x minus 4 और 0 के बीच में होना चाहिए, तब मैं देख रहा हूँ, और answer आया x equal to 0, यह तो possible नहीं है, which is not possible, क्यों possible नहीं है, यह इसलिए possible नहीं है, कि जो condition मैं ले करके चल रहा था, उस condition क ध्यान से सुनना, यह सवाल बड़ा important सवाल है और इस सवाल को समझने के बाद पुरी मोडलर समझ में आ जाएगी तो मैं कहता हूँ कि इस सवाल को कम से कम तुम चार बार, पाँच बार, छे बार देखो चाहे लेकिन इस सवाल को समझना बहुत जरूरी है तो minus 4 से 0 के बीच का कोई answer होता तो accepted होता है यहाँ पे इसके बीच का नहीं है तो इसका मतलब यह वाला case possible नहीं है यहाँ पे इस case का कोई भी answer यहाँ possible नहीं है, satisfy नहीं कर रहा अब बात करते हैं अगर x less than minus 4 है या equal to minus 4 है, उन cases में x less than minus 4 है, तो यह वाला modulus जो है, इसके अंदर की quantity negative होगी, और negative चीज को modulus एक minus अपनी तरफ से लगा करके बाहर भेजता है, ठीक है, और x अगर minus 4 से छोटा है, तो यह वाली value भी negative होगी, तो यहाँ पे भी modulus minus लगा करके बाहर भेजेगा, positive तो एक minus यहां लगाओगे, minus minus क्या हो जाएगा, positive हो जाएगा, और equal to 4 के लिखा हुआ है, तो जब इसको solve करेंगे, तो देखी क्या हुआ, minus x minus 4 plus x equal to 4, तो minus x plus x cancel हो गया, minus 4 equal to 4, मतलब क्या गजब हो गया, minus 4 equal to 4, minus 4 equal to 4 नहीं हो सकता, तबाही, तबाही हो जाएगी भाई, माइनस फोर फोर बराबर नहीं हो सकते, which is not possible, ये possible नहीं है, which is not possible, सुनामी आ जाएगी, आकाश पाताल मिल जाएगे, धर्ती कांप उठेगी, माइनस फोर और फोर बराबर हो गया, तो नहीं हो सकता हमारे जीते जी, माइनस फोर और फोर बराबर हो नहीं सकता, इसका मतलब ये हो नहीं सकता, इसका मतलब ये भी नहीं हो सकता, इसका मतलब, x less than equal to minus 4 नहीं हो सकता, x less than equal to minus 4 नहीं हो सकता, कोई भी x minus 4 से छोटा ऐसा नहीं है, कोई भी x minus 4 से छोटा ऐसा नहीं है, जो इस equation को satisfy करता हो, तो clearly आप देखो case 1, case 2, case 3, सब को देख करके देखो कि यहां से कोई answer नहीं आ, यहां से कोई answer नहीं आ, answer हमारा सिर्फ पहले वाले case तो अगर एक वाल्यूज एक्स एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज ए 0 या उससे बड़ी, 0 से infinity, ये अपना आंसर आजाएगा, ठीक है न, x greater than equal to 0 के अलावा कोई और value अपने को नहीं मिली, तो अपना जो आंसर आया हुआ या 0 से infinity, बात समझ में आएगा आपको I hope आपको यह वाला जो सवाल है यह समझ में आया होगा और इस सवाल को समझना बड़ा easy है मैंने बहुत elaborate करके इसको समझाया है पर फिर भी अगर मान लो आपको समझ में नहीं आता है तो मेरा suggestion यह है कि इस सवाल को आप चार बार पांच बार छे बार पीछे करके session को आप बार बार देखें और आप अपना दिमाक लगाएं टाइम लगाएं concentrate करें इस सवाल को solve करने की कोशिश करें मैं एक बात बता देता हूँ अगर ये पूरा सवाल का solution आपको समझ में आ गया कि क्यों मैंने cases बनाए हैं क्यों यहां से यह answer आया है यहां पे answer नहीं आये है सारी बातें अगर आपको समझ में आ जाती है मोडलस एकदम आपका अच्छा हो जाएगा इसके बाद के सवाल करने में आपको बड़ा easy feel होगा ठीक है move करते हैं और इसी तरीके का एक और सवाल solve करते हैं सवाल यह है find x satisfying modulus x plus 6 plus modulus x is equal to 8 modulus x plus 6 plus modulus x is equal to 8 इसको satisfy करने वाले x की values आप बताईए ये मेरा सवाल है तो एक सवाल इस तरीके का मैंने अभी आपको कराया है, मुझे लगता है ये सवाल तो आपसे बनना चाहिए, चलो सोल्फ करके देखते हैं, केसिस बनेंगे, इस वाले मोडलस का क्रिटिकल पॉइंट है x-6, क्या क्रिटिकल पॉइंट है, x-6, ये वाला जो मोडलस है, इसका x-6 और x0 दो critical point हैं इसके correct है तो पूरे सवाल को करने के तीन case बनेंगे एक तो जब x-6 से छोटा है दूसरा जब x-6 और 0 के बीच में है तीसरा case जब x0 से क्या है बड़ा है correct है बात समझ में आ रही है मेरी आई हो पारी होगी आपको समझ में आ रही है क्या भाई की बात है, समझ में तो आनी बनती है तो case number 1 ले लेते हैं case number 1 ले लेते हैं जब x minus 6 या उससे छोटा है जब x minus 6 से छोटा होगा तो यहाँ पे ये देखिए ये quantity भी negative होगी और ये quantity भी negative होगी और negative quantities का modulus ओपन करना है तो modulus minus sign लगा करके ओपन करेगा ठीक है क्यों अपन करेगा बता चुका हूँ मैं तो यहां से देखा जाए तो minus x minus 6 minus x equal to 8 minus x minus x minus 2x हो गया minus 2x equal to minus 6 को उदर ले करके गए तो हो गया 14 x हो गया 14 divided by minus 2, x हो गया minus 7, x कितना हो गया minus 7, यह check करना जरूरी है कि यह जो x minus 7 है, क्या यह minus 6 से छोटा है, क्या हाँ जी छोटा है, इस condition को follow करते हुए जरूर मिलना चाहिए, यहाँ पे जो answer आए, तभी वो accept करेंगे, तो यह अपना answer आ गया, x minus 7 इसको satisfy कर रहा था, ठीक ह next लेते हैं case number 2 second possibility second case जब x-6 से 0 के बीच में होगा तब क्या होगा जब x-6 से 0 के बीच में होगा उस case में ये चीज positive है ध्यान से सुनना x-6 से जैसे ही बड़ा हो गया 0 से छोटा है कोई बात नहीं ये हमेशा positive है और positive जो चीज है वो modulus के अंदर से योगियों बाहर आ जाती है और x-6 से 0 के बीच में है मतलब negative है तो ये चीज negative है negative का modulus हटाना है तो देखिए minus sign के साथ हटाना पड़ेगा, positive बना के हटाना पड़ेगा, ठीक है, and that is equal to 8, ठीक है जी, यहाँ पे यह cancel हुआ, 6 और 8 बराबर आए, और 6 और 8 जैसे ही बराबर आएंगे तो बोलेंगे, नहीं हो सकता, तबाही हो जाएगी, तबाही हो जाएगी, ये हो नहीं सकता, ये भी नहीं हो सकता, तो कोई भी x-6 से 0 के बीच में नहीं आ सकता, ठीक है, this is not possible, तो ये possible नहीं है, ठीक है, this is not possible, this is not possible, correct है जी, अब बात करते हैं case number 3 की, case number 3 क्या है, अगर x जीरो या उससे बड़ा हो तो, if x is greater than or equal to 0, x जब जीरो या उससे बड़ा है तो, ध्यान से सुनना, x जब जीरो या उससे बड़ा है तो, तो क्या होगा ये भी positive होगा और ये भी positive होगा और दोनों positive चीजे हैं मोडलस बोलेगी जाओ तुम खुशी खुशी अपने घर जाओ जा सिमरन जी ले अपनी जिन्दगी कोई दिक्कत नहीं है मोडलस को कोई दिक्कत नहीं है अगर ये चीज positive है ये भी positive है X और X हमारा हो जाएगा 2X 6 को उदर ले करके गया 8-6 हमारा हो गया 2, तो यहां से x निकालेंगे, तो 2 by 2 हो जाएगा 1, x हो जाएगा 1, इस x1 को देख करके हमें यह जरूर देखना पड़ेगा हमारी condition को satisfy कर रहा है, क्या बिल्कुल कर रहा है, x1 0 से बड़ा होता है, तो यह भी हमारा answer होगा, और हमने तो यहाँ पे देखिए एक तो x equal to minus 7 और एक x equal to 1 दो answer मिले हैं तो आपको बता दूँ x equal to minus 7 और x equal to 1 x equal to minus 7 और x equal to 1 ये दो ऐसी value हैं जिनको आप यहाँ पे डालोगे तो left side और right side क्या मिलेगी बराबन मिलेगी तो अपने जो answer आगे solution जो इसके आगे वो आगे x equal to minus 7 and x equal to 1 ये अपने हो गए answer बात समझ में आ रही है आपको तो आईए इसी तरच के उपर इसी तरीके का एक और सवाल करते हैं ध्यान से सुनना सवाल क्या है if modulus x plus modulus x minus 4 plus modulus x minus 6 equal to 10 हो, modulus x plus modulus x minus 4 plus modulus x minus 6, अगर 10 हो, then find x, then find x, तो find x, x find out करें और ये जो सवाल है ये मैं आपको homework में दे रहा हूँ homework में दे रहा हूँ कुछ बाते बता दूं सबसे पहले तो इस सवाल के जो answer हैं वो आप comment box में comment करें सब लोगों के comment मैं देखता हूँ सब के comment देखूंगा ठीक है पिछले भी जो homework के सवाल थे मैंने सारे comment पढ़े थे रिप्लाई नहीं कर पाया मैं आपको, अब मैंने क्या करना शुरू कर दूँगा, सारे कमेंट पढ़ूंगा मैं, और जिनका भी आंसर ठीक होगा, कोशिश करूँगा उनका नेक्स्ट वीडियो में बता दूँ, और इसका जो सलूशन है, इसका जो सलूशन है, वो मैं नेक् और इसका जो सही answer वो solution है, वो हमारा जो अगला session होगा, अगला video होगा, उस video के आखिर में, शुरुआत में नहीं, आखिर में हम इसका solution discuss करेंगे, answer भी discuss करेंगे, correct है? तो ये मेरे लिए आप इस सवाल को जरूर solve करें, ठीक है? तो ये मेरे लिए आप इस सवाल को जरूर solve करेंगे, correct है? fx equal to modulus x plus 2 modulus x minus 1 if fx equal to modulus x plus 2 modulus x minus 1 then draw the graph of y equal to fx जो fx function है उसका आप graph draw कीजिए y equal to fx function का graph draw कीजिए तो सबसे पहले तो मैं आपको बोलूँगा कि आप session को pause करें session को pause करें और खुद graph draw करें खुद graph draw करें आप अगर struggle करोगे इसका graph draw करने में कामियाब हो जाओगे तो मज़ आएगा और कामियाब नहीं भी हो जाओगे तो अगर आप struggle करोगे इसके graph की जो मैं trick आपको बता रहा हूँ उस trick का आप इस्तिमाल करते हुए चाहे function में कितने भी modulus हो, कितने हजार modulus हो, पचास modulus हो, आप function का graph एक जटके में solve कर सकते हो, बना सकते हो, draw कर सकते हो सवाल में चाहे 5 modulus हो, 2 modulus हो, 10 modulus हो, 20 modulus हो, 1000 modulus हो, कितने modulus हो, यह जो trick में graph draw करने की आपको बता रहा हूँ, इससे आप एक जटके से graph draw कर सकते हैं सवाल का, जिसमें modulus involved हो रखी हो, ठीक है और आपको यह बता चुका हूँ हूँ है कि आपको पहले कुछ ट्राइ करना है उसके बाद सलूशन देखना है तो ग्राफ कैसे ड्रो करते हैं पहले देखिए मोडलस कितनी है इसमें दो मोडलस हैं एक मोडलस यह दूसरी मोडलस यह है पहले वाली जो मोडलस है इसका क्रिटिकल पॉइंट कितना है एक्स इक्वल टू जीरो और दूसरे वाली मोडलस है इसका क्रिटिकल पॉइंट कितना उसको यहाँ पे आप प्लोट कर लिजिए, यह x equal to 0 है और यहाँ है x equal to 1, सबसे पहला काम, critical point को mark करें, दूसरा काम, x equal to 0 पे y की value देखें कितनी है, at x equal to 0 जो critical point आए हैं, उन पे y की value देखें, x equal to 0 डाला, यहाँ पे 0 डाल दिया तो 0 हो गया, यहाँ 0 डाल दिया तो minus 1 का modulus 1 और x equal to 1 डालेंगे तो y कितना है? at x equal to 1, x equal to 1 डाल दिया तो ये 1 हो गया, 1 डाल दिया ये 0 हो गया, 1 plus 0 हो गया, 1. at x equal to 1, y 1 है, मतलब x equal to 0 पे y 2 है, 0.2 point हमारा lie करेगा ग्राफ पे, at x equal to 1, y 1 है तो 1.1 point भी हमारा ग्राफ पे lie करेगा. कहने का मतलब ये है, जो critical point है, उनमें x की value डालिए और y की value निकालिए. दो point यहाँ पे मिले हैं, 0, 2 और 1, 1, इन दोनों point को plot कीजिए, आए इन दोनों points को plot करते हैं, यह 0, 2 है और यह 1, 1 है, तो 0, 2 को plot करें, तो यहाँ है मालो 0, 2, ठीक है, यह point है 0, 2, और 1, 1 को plot करेंगे, तो यहाँ है हमारा 1, 1, यहाँ हमारा point है 1, 1, तो यह दो point जैसे ही मिल इसके बाद straight line को इस कोने में भेज दीजिए और यहाँ पे straight line को इस कोने में भेज दीजिए यहाँ पे straight line को आप इस कोने में भेज दीजिए correct है, यह straight line को आप ऐसे ऐसे बना लो, इस कोने में भेज दीजिए, और यह बन जाएगा हमारा given function का graph, बता देता हूँ आपको मैं, आपको क्या करना है, critical point mark करें, उसके बाद critical points को यहाँ पर डाल करके, आप output निकाल लीजिए, और जो point हैं उनको mark कर लें, इसको इससे join करें, यहाँ पे x की value infinity डाल के देखी, x की value आप infinity डाल के देखोगे, तो पूरा जो y है यह भी infinity को approach कर रहा है, और interesting बात क्या है, जब x की value minus infinity डाल के देखी, x की value आप minus infinity भी डाल के देखोगे, x की value minus infinity डाल के देखोगे, यहाँ पे देखे डाल के minus infinity डाला, फिर यहाँ पे 2 minus infinity लाला, तो minus infinity लालने पे यह positive infinity आ जाएगा, क्योंकि modulus इसको positive बना देगा, और यह भी positive का बहुत बड़ा infinity आ जाएगा, infinity plus infinity और बहुत बड़ा infinity हो जाएगा, तो x minus infinity डालने पे y हमें कितना मिला, y हमें मिला infinity, तो कुल मिला करके यहाँ से जो सीख हमको मिलती है, कि x अगर infinity है, तो भी y infinity है, x अगर minus infinity है तो भी y infinity है और यह जो कोना होता है यह infinity, infinity का कोना होता है और यह जो corner होता है इस तरफ यह minus infinity, infinity का कोना होता है क्योंकि x की value infinity देखिए x जब infinity है तो y infinity इस corner में होता है x बड़ा y बड़ा x minus infinity और y infinity x तो minus infinity है और y infinity है वो इस corner में होता है बात सुन्दिया रही है तो x minus infinity y infinity है इसलिए इस corner में graph जाएगा x infinity पे y infinity है इसलिए इस corner में graph जाएगा तो ये इसका बड़ा शामदार मज़ेदार graph है बात सुन्दिया रही है आपको और मैं आपको एक चोटा सा homework code दे देता हूँ आपको जो graph बनाना है वो बनाना है इस function का draw the graph of fx equal to modulus x plus 2 plus 2 modulus x plus modulus x minus 5 और इसका जो graph है आप उसकी pick click करके attach कर सकते हैं comment box मुझे मालूम नहीं attach कर सकते हैं क्या आप देख लेना अगर attach कर सकते हैं तो भेज सकते हैं मुझे attach करके नहीं तो अपना आप notebook में इसका graph अच्छे से plot करके रख ले next lecture में इसके graph का discussion भी next lecture में करूँगा, ये हमारा homework है, ये भी homework है, इसका discussion भी next lecture में किया जाएगा, next lecture में discussion होगा, discussion जो होगा, वो होगा next lecture में, clear है एकदम, तो आज हमने जो सीखा, वो सीखा modulus function, modulus function का domain range graph, उसका complete behavior, और modulus function पे based कुछ हमने सवाल सीखे हैं पास वाले में आ रहे हैं आपको तो modulus function की कहानी को यहीं पे खतम करत वैसे तो मोडलेस फंक्शन मैं कम से कम भी 15 दिन, 30 दिन भी पढ़ा सकता हूँ, मोडलेस फंक्शन बहुत दिमाग में भरा हुआ है मेरे, पढ़ाने लगूं तो 30-30 दिन भी पढ़ा देंगे, लेकिन चुकी वक्त का भाव है और हमें मोडलेस फंक्शन को इतना ही टाइम डे modulus x plus modulus y, x plus y कब होगा, minus x minus y कब होगा, जाते जाते मुझे रहा नहीं गया, एक सवाल तो और कराई देता हूँ मैं, मुझे आप ये बताएं, कि modulus x plus modulus very important, बड़ी अच्छी बात तुमको जाते जाते बता की जा रहा हूँ, मुझे बताएं, modulus x plus modulus y की value मुझे बताएं, x plus y कब होगी, minus x minus y कब होगी, x minus y कब होगी, minus x plus y कब होगी, आप सोची जा रहा हूँ, screen से मैं दूर हो गया हूँ, आपको सोचने का मैं दे रहा हूँ कुछ समय, सोच के बताएं हो सकता है, आप लोगों ने सोच लिया हो, ठीक है, तो modulus x plus modulus y x plus y तब होगा, जब x हमारा greater than equal to 0 हो, और y भी हमारा क्या हो, greater than equal to 0, ठीक है न, x greater than equal to 0 positive और y positive होगा, तो modulus बोलेगा, जाओ तुम बाहर जाओ, जाओ सिम्रन, जी अपनी जिन्दगी, ले मस्ती, ले जीवन के, ठी और y क्या रहा है, y भी हमारा negative रहा है, इसलिए modulus y minus y के बराबर आया है, ठीक है न, modulus x plus modulus y, x minus y कब आएगा, modulus x देखिए x आया है, modulus y देखिए minus y आया है, इसका मतलब यह हुआ, कि जो x है, वो greater than equal to 0 रहा होगा, और y जो है हमारा, वो less than equal to 0 रहा होगा, ठीक है, modulus x plus modulus y, minus x plus y कब रहा होगा, x negative रहा हो, और y क्या रहा हो, positive रहा हो, तब यहाँ पे, modulus x plus modulus y, इसके बराबर रहा होगा, ठीक है, I hope आपकी modulus की और अच्छी understanding, चोड़े से कुबसूरत example के साथ, और developed हुई होगी, ठीक है, as usual, time हो चला है, मजा आने लगा है अभी ऐसा लगता है कि मैं आप लोगों से माचीत करने लगा हूँ तो आज के लिए इतना ही हसते रहें, मुस्कुराते रहें जीवन खुशियों का मेला है सब को हसाएं, खुद हसें और मेहनत करना बहुत चरूरी है क्योंकि अपन अगर मेहनत करते हैं तो ही आगे बढ़ते हैं जो भी काम करें, मन लगा करके करें जो भी काम करें, मन लगा के करें, और देखिए, एक मुस्कुराहट के साथ आज के लेक्शर को खतम करते हैं, एक मोडुलस मुस्कान के साथ, एक मोडुलस मुस्कान के साथ, आज का लेक्शर हमने कर दिया, finish, आज के लिए इतना ही, दुआओं में याद रखना, bye, bye, पढ़

cardinal, cardinal number of a set, cardinal number of a set, एक set के cardinal number को denote करते हैं, तो दो vertical bars का meaning क्या है, वो इस बात पे depend करता है, कि दो vertical bars लगे कहाँ पे हैं इस बात पे डिपेंड करता है कि दो vertical bars का meaning क्या है यहाँ पे दो vertical bars लगे हैं real number के उपर x हमारा एक real number है x हमारा एक real number है तो real number पे दो vertical bars लगे हैं तो हमारे दो vertical bars denote करेंगे modus को correct है एकदम तो यहाँ पे जो x है वो है एक real number ठीक है जी, अब modulus x का पहले behavior सीखेंगे, modulus x function का behavior सीखने के बाद, फिर हम उसकी domain, range और graph सीखने वाले हैं, और modulus x function का behavior समझ में आ जाता है, उसके definition समझ में आ जाती है, domain, range और graph अगर आपको समझ में आ जाता है, तो modulus function के fundamental जानकारी आपको complete हो जाएगी, ठीक है, उसके बाद बात समझ आ रही है, modulus function बड़े मस्त function होते हैं, पूरे mathematics में इनका बोलबाला है, और JEE में भी modulus function बहुत सारे सवालों में आते हैं, JEE को भी modulus function बहुत पसंदीदा function है, JEE के, तो modulus functions पे अपनी command होनी बेहद जरूरी है, दोस्तों, तो modulus x का denote हमने कैसे किया, आप जान चुके हैं, अब इसका behavior समझते हैं, देखिए, modulus के अंदर कोई भी real number put कर सकते हो, आप, positive का real number put कर लीजिए, आप zero put कर लीजिए, या फिर कोई negative real number put कर लीजिए, जैसा आप चाहें, वैसा input modulus को दे सकते हैं, कोई भी real number दे दीजिए, modulus सारे inputs को accept करता है, बात समझा रही है, modulus का behavior कुछ इस प्रकार का है, कि अगर आपने positive number modulus में डाल दिया, मेरी बात को ध्यान से सु मोडलस के अंदर डाल दिया तो यह यों का यों आउटपूट दे देता है जीरो भी अगर आपने मोडलस में डाल दिया तो यह यों का यों आउटपूट दे दे मोडुलस कहता है कि आप हमारे अंदर positive number डाल देंगे तो मैं output यों का यों दे दूँगा, जीरो डालोगे तो भी output यों का यों दे दूँगा, लेकिन मोडुलस ये बोलता है कि अगर आप हमारे अंदर negative number को डालेंगे, तो मैं इस negative number को positive बना करके answer दूँगा, बहुत छानदार बात है. मोडलस का negative number के साथ क्या हरकत करता है मोडलस बोलता है कि अगर आप negative number हमारे अंदर डालियेगा तो हम negative number का positive बना करके तब आपको output देंगे तो मोडलस की theory बिल्कुल simple है, बहुत सरल है कि अगर आप उसमें positive या zero डालते हैं तो मोडलस योंके यों output दे देता है solve होकर के उसका input बहार आ जाता है लेकिन अगर आप मोडलस के अंदर कोई negative number डालते हैं तो modulus उसको positive बना देता है अब सवाल यह उठता है कि यह जो modulus ने negative input को positive बनाया है यह कैसे बनाया है आपको बता दूं कि कोई भी negative number है कोई भी negative number है अगर आप उसको positive बनाना चाहते हैं तो उसके आगे एक minus का निशान लगा दीजिए तो minus और minus प्लस हो जाएंगे और आपकी जो requirement थी प्लस का number आने की वो fulfill हो जाएगी, जिस तरीके से लोहा लोहे को काटता है, उसी परकार से negative negative को काटता है, और यहाँ पे positive output आजाएगा, तो कोई भी negative number है, उसको positive modulus किस परकार से बनाता है, एक और negative add करके, बात समझा रही है आपको, क� माइनस 5 का मोडलस देने तो कितना आएगा? माइनस 5 का मोडलस देने तो आप बोलोगे कि माइनस 5 एक नेगेटिव नंबर है मोडलस इसके आगे एक और नेगेटिव लगा देगा और आंसर देगा आपको 5 मतलब फाइनल आंसर कितना आएगा? नो नेगेट तो जो modulus के outputs आप देखिए, modulus के output देखिए आप, या तो positive होंगे, modulus के output या तो positive होंगे, या फिर 0 होगा, यह बात समझने वाली है, modulus function के outputs या तो positive होंगे, या 0 होंगे, modulus function का output कभी negative नहीं हो सकता, ठीक है ना, input of the modulus number, a modulus function can be any real number, यह बात यहाँ पे note करने वाली है, input can be, input can be any real number, input कोई भी real number हो सकता है, और जो output है, output must be no negative, modulus function का जो output है, वो कभी negative नहीं हो सकता, यह बात अपने को सोचनी है, या तो वो zero होगा, या फिर आप देख सकते हैं यहाँ पे, या फिर वो positive रहता है, बात समझ आ रही है आपको? तो अब modulus function को थोड़ा सा और समझते हैं, इसके अंदर कुछ और input डाल के देखते हैं, समझते हैं कैसा behave करेगा, आप मुझे बताओ modulus के अंदर अगर मैंने root 2 minus 1 डाल दिया, तो क्या answer आएगा, modulus के अंदर अगर आप root 2 minus 1 डाल देते हैं, तो पहले आप यह समझिए कि root 2 minus 1 एक positive number है कि negative number है root 2 minus 1 एक positive number है क्यों positive number है क्योंकि root 2 की value होती है 1.4 के आसपास root 2 की value होती है 1.4 के आसपास minus 1 करेंगे तो 0.4 लगबग फिर भी बच जाएगा तो यह हमारा positive number है अगर यह positive number है more or less positive number को बोलता है कि भाईया तुम चले जाओ हम तुम्हें कु root 2 minus 1, समझ में आ रही है नहीं आ रही है बात, अगर इसके अंदर कोई नंबर डाल दू मैं, root 2 minus 2, आप मुझे बताएं कि root 2 minus 2 का modulus क्या होगा, root 2 minus 2 का modulus बताएं क्या होगा, 2 का modulus होगा minus of root 2 minus 2 अब ये मैंने minus क्यों लगाया है पहले आपको बता दूँ कि जो root 2 minus 2 है ये एक negative number है root 2 minus 2 एक negative number है है जी root 2 minus 2 को देखें आप तो जो root 2 है वो 1.414 के आसपास की value है 1.414 में लगबग 1.4 माल लेते हैं minus 2 करेंगे तो minus 0.6 आएगा आप देख लीजे negative का number आया है तो root 2 minus 2 एक negative का number है और negative के number को modulus क्या करता है बोलता है कि मैं तेरे आगे एक और negative लगाऊंगा ताकि तु positive बन जाए और फिर positive output मैं तुझे दूंगा बात समय में आ रही है तो इस negative के number को ध्यान से देखिए ये number negative का है इस negative के number के आगे एक और negative लगाया ताकि ये क्या बन जाए positive का number बन जाए मोरलस का इकलोता एक ही उदेश है मोरलस अपने output को negative नहीं होने देता है नहीं होने देगा चाहे कोई आ जाए चाहे कालीन भाईया आ जाए चाहे गुड्डू भाईया आ जाए चाहे मुन्ना भाईया आ जाए कोई भाईया आ जाए मोरलस बोलेगा भाई तुम कुछ भी कर लिजिए ह आउटपुट कभी भी नेगेटिव नहीं देंगे अपना जो आउटपुट आएगा वो एकदम भन्नाट नो नेगेटिव आउटपुट आना ही आना है बात समझ में आएगा आपको तो क्लियर है मोडलस फंक्षन और मज़े मज़े में आपको पूरा मोडलस फंक्षन समझ में आजाएगा तुम्हारा भाई नहीं डॉन सिखा रहा है करते हैं आगे शुरुवात मुझे एक बात बताओ मैं कुछ numbers यहाँ पे लिख रहा हूँ आप मुझे इतना बताईए कि जो मैं numbers आपके सामने लिख रहा हूँ वो numbers में कौन सा negative है कौन सा positive है ये बताईए आप मुझको आप 2 को देखें और बताएं क्या है ये positive का number है पैस सीधी बात है ये number positive का ललूसी बात है ये तो ऐसी लल्लू बाते तो आप सोच रहे होंगे मैं क्यों पूछ रहा हूँ आपसे ठीक है ना लेकिन मैं जो भी बाते करता हूँ, जो भी पूछता हूँ, जो भी बताता हूँ हर चीज का एक उदेश्य है क्योंकि डॉन बिना उदेश्य के कुछ नहीं करता जादूगर बन जाओगे ठीक है?

So, minus 2 के number इस minus 2 को देखर के आप बोलेंगे कि ये तो negative number है minus 2 तो आप मतलब कोई भी बोल देखा negative number है minus 2 एक negative number है 2 एक positive number है मेरा interest x square के अंदर है x square negative है कि positive है x square जीरो भी हो सकता है और positive भी हो सकता है Interestingly, आप x square को देखोगे x square के अंदर आप कुछ भी put कर लीजी x के जिरो put करोगे तो जिरो answer आएगा, और जिरो के लावा कुछ भी put करोगे तो positive answer आएगा, तो x square जो है positive तो नहीं है, क्यों, क्योंकि जिरो भी हो सकता है, तो x square जिरो या positive दोनों में से कुछ भी हो सकता है, तो इसको बोलते है non negative है, x square की जानकारी दे दूं आपको, ये एक non negative value है, ये हमारी positive value थी, और ये हमारी negative value थी, ये हमारी एक no negative value है, बात समझ में आए आपको, जो x है, x के बारे में बताईए आप, x कैसी value है, अब x कैसी value है, ये value positive भी हो सकती है, ये negative भी हो सकती है, और ये 0 भी हो सकती है, ठीक है न, ये positive भी हो सकती है, ये negative भी हो सकती है, और ये 0 भी हो सकती है, ये इस बात पर depend करेग कि x का input क्या है अगर x की जगह 5 डालोगे तो positive में answer आएगा अगर x की जगह minus 5 डालोगे तो negative में answer आएगा और अगर x की जगह 0 डालोगे तो 0 में answer आएगा अब आपके सामने value लिखी है 0 ये positive है या negative है बता दूँ 0 एक मायावी number है 0 एक मायावी number है यह ना ही negative होता है, ना ही positive होता है, इसका कोई भी sign नहीं होता है, तो zero जो है, this is neither negative, neither negative, nor positive sign समझ में आना बहुत जरूरी है modulus अगर सीखना है चीजों का sign समझ में आना बहुत जरूरी है तो x square हमारा एक non-negative value है आप मुझे minus x को देख के बताएं minus x क्या है minus x को देख करके अक्सर लोग बोलते हैं कि ये negative है क्यों क्यों कि इसके आगे minus का निशान लगा हुआ है मैं आपको बता दूँ हर चमकती हुई चीज सोना नहीं होती हर चमकती हुई चीज सोना नहीं होती, हर negative लगी हुई quantity negative नहीं होती, हर negative sign दिखने वाली quantity जो है, वो negative नहीं होती, यहाँ पे देखिए, x को देखिए, x positive, negative, zero कुछ भी हो सकता है, उसी प्रकार से, minus x की अगर अपन बात करें, minus x की अगर बात करें अपन, तो minus x भी तीनों, काम कर सकता है, तीनों काम कौन-कौन से, positive भी हो सकता है, negative भी हो सकता है, zero भी हो सकता है, अगर आप x की जगह 0 put कर देंगे, x की जगह 0 put कर देंगे, तो जो answer है, वो zero आजाएगा, ठीक है, अगर आप x की जगह पे 1 put कर देंगे, आप देखिए, x की जगह 1 put कर देंगे, तो minus 1 negative में answer आजाएगा और अगर आप x की जगह minus 1 put कर देंगे x की ज़िया put कर दिया minus 1, x की ज़िया minus 1 put कर देंगे, तो minus 1 और उसके आगे negative लगा हो जाएगा, plus 1, x की ज़िया minus 1 put कर देंगे, तो ये क्या हो जाएगा? प्लस वन मतलब positive हो जाएगा, तो यहाँ पे समझने वाली बात क्या है, जो minus x है, जो minus x है, वो हमारा zero हो सकता है, वो हमारा negative हो सकता है, वो हमारा positive हो सकता है, फिर से मैं आपको बता देता हूँ, जो minus x है, वो हमारा zero हो सकता है, वो हमारा negative हो सकता है, वो हमारा positive हो सकता है, क� हो सकता है, minus x negative हो सकता है, minus x positive हो सकता है, minus x negative हो सकता है, और minus x zero भी हो सकता है, आपसे पस एक और सवाल मेरा इतना सा है, इतनी सारी कहानी बताने के बाद, सवाल क्या है? कि आप मुझे बस ये बता दें यहाँ पे, इस बात का मैं प्रियोग करने वाला हूँ, आप मुझे ये बता दें कि x positive कब होगा, x positive तब होगा जब x positive हो, x negative कब आंसर देगा जब x के input negative हो, और x 0 कब आंसर देगा जब x का input जो है वो 0 हो, x का input कितना हो 0 हो, अब मुझे बताएं कि minus x की बात कर लें, minus x अपने को negative में कर लें, कब answer देगा जब x की value आप positive डालोगे तो कब answer देगा जब x की value क्या डालोगे आप positive डालोगे तो minus x में x की value positive डाल दी तो final answer आपको negative मिलेगा और minus x में अगर आपने x की value positive डाल दी तो आपको answer क्या मिलने वाला है लेकिन अगर आपने x की value डाल दी negative यहाँ पे note करना है, अगर आपने x की negative value डाल दी, तो negative के आगे एक और negative लगा है, तो हो जाएगा positive, तो हो जाएगा positive, ठीक है, और अगर आपने डाल दिया x equal to 0, अगर आपने x equal to 0 डाल दिया, तो यह हो जाएगा 0, बात समझ में आ रही है, तो जो minus x है, उसका answer negative होगा, अग इन सारी बातों का use करूँगा और modulus x को थोड़ा सा elaborate करके समझाऊंगा और modulus x की definition की अपन बात करने वाले हैं तो modulus x में, modulus x में अगर, ध्यान से देखिए, modulus x में अगर x हमारा positive होगा, अगर हमारा x positive होगा या फिर 0 भी रहे, x हमारा positive हो या फिर 0 भी रहे तो modulus x बोलेगा कि भाई x तुम बाहर जा सकते हो तो modless x, x के equal हो जाएगा, ध्यान से सुनना, अगर x हमारा positive हो या फिर 0 हो, modless x की value x के बराबर हो जाएगी, जो आप input डालोगे, वही output आ जाएगा, लेकिन अगर x negative होगा, अगर x less than 0 है, x अगर negative है, x less than 0 है, तो modless x बोलेगा, कि जो x negative है, उसके आगे एक negative अपन लगा देते हैं, ताकि minus x positive बन जाए, ताकि minus x क्या बन जाए, positive बन जाए, आप ध्यान से देखिए, modulus x के outputs की दो possibility होती हैं, या तो modulus x हमारा x होता है, या फिर modulus x हमारा minus x होता है, modulus x की value x तब आती है जब x positive हो, modulus x की value minus x तब आती है जब x negative हो, modulus का काम है output non negative देना, अगर x हमारा negative होगा, एक negative लगा हुआ है, दो negative मिल करके positive output बना देंगे, आपको बता दूं कि यहाँ पे ये भी positive value लिखी हुई है, ये भी positive value लिखी हुई है, ये positive इसलिए है क्योंकि x positive है, और ये positive इसलिए है क्योंकि x हमारा negative है और x negative होगा तो ये positive बन जाएगा, तो कुल मिला करके जो fx equal to modulus x function है उसका behavior I hope आपको एकदम clear होगा, fx equal to modulus x function का ये behavior है ये इसकी definition है बात समझ आ रही है domain और range की बात कर लेते हैं graph की बात कर लेते हैं और modulus को deep आईए समझते हैं तो fx is equal to modulus x का behavior मालूम चल गया कि ये x आएगा, अगर x हमारा greater than equal to 0 है तो, ये minus x आएगा, अगर x हमारा less than 0 है तो, ठीक है?

Domain होता है सारे inputs का set. इस function की domain की बात करें, domain of function की बात करें, तो बताईए क्या-क्या input modulus के अंदर डाला जा सकता है? x की जगह पे क्या-क्या value put की जा सकती है? हम अलड़ी देख चुके हैं, x की जगह पे कोई भी positive value put कर सकते हैं, कोई भी negative value put कर सकते हैं, और 0 भी x की जगह पे put किया जा सकता है.

तो यहाँ पे जो inputs हैं कोई भी number put कर सकते हो minus infinity से लेकर के infinity x की जगह पे minus infinity से लेकर के infinity कोई भी real number put किया जा सकता है, तो domain में हो जाएंगे all real numbers, ठीक है, range की अगर बात करें, इस function की range की बात करें, output की बात करें, तो जो modulus है, वो कभी भी negative output नहीं देता, यह बात मैंने यहाँ पे लिख दी है, और यहाँ पे समझा भी दी है, तो कहने का मतलब जो range होगी, जो outputs होगे, negative कभी नहीं होगे, 0 हो सकते हैं, और 0 से बड़े output हो सकते हैं, तो इसकी range हो जाएगी, closed 0 से लेकर के infinity, ठीक है, input का set मालूम है, domain मालूम चल गया, output मालूम चल गया, range मालूम चल गया, अब देखिए बात करते हैं, graph की, अब modulus x का graph बन आपको मैं बता दूं कि जो linear function होते हैं, linear function मतलब x में linear function होते हैं, उनके graph straight line होते हैं, उनके graph straight line होते हैं, यहाँ पे देखिए, modless x का graph x के बराबर बनेगा अगर x greater than equal to 0 हो, अगर x greater than equal to 0 है तो modless x का graph x के graph जैसा बनेगा, मतलब x greater than equal to 0, positive x-axis की बात कर रहे हैं, वहाँ पे modless y equal to x का graph, x positive पे, x 0 और positive पे, x जब negative है तो minus x का graph बनाईए, x negative है तो देखिए minus x का graph बनता है, यह जो line बनी, यह बनी y equal to minus x, यह वाली y equal to minus x line for x negative, और यह वाली जो line है, y equal to x line for x greater than 0 equal to 0, इन दोनों lines को combinedly बोला जाता है, modulus x का graph, क्या बोला जाता है, modulus x का graph, तो देखिए दो, दोस्तों fx equal to modulus x का graph आप देख सकते हैं this is the graph of this is the graph of fx equal to modulus x ऐसे v shape का graph होता है v shape का graph होता है यहाँ पे देखिए origin पे देखिए origin पे बड़ा नुकीला graph होता है चोच बनती है origin पे ऐसा चोच जैसा ऐसा graph origin पे बनता है इसका detail में चोच क्यों बन रही है शार्प कोर्नर क्यों आ रहा है जब calculus हम सीखेंगे तब वहाँ पे बात करेंगे कि sharp corner ग्राफ में कब बनता है, smooth corner कब बनता है, तो यहाँ पे modulus x के ग्राफ को देखिए, यूँ गया, फिर यूँ गया, और ये v shape का जो ग्राफ है, ये बोला जाएगा y equal to modulus x का ग्राफ, आपको बता दूं कि किसी भी function की domain, range और ग्राफ, प्लोट करना आपको आना चाहिए, basic functions की मैं बात कर रहा हूँ, और modulus x function की domain I hope एकदम clear है, मालूम होने चाहिए, रेंज का आपको मालूम होना चाहिए, ग्राफ आपको एकदम याद होना चाहिए, मालूम होना चाहिए क्यों इस प्रकार का ग्राफ बना है, करेक्ट है, तो ये सारी बाते मोडलस फंक्षन के बारे में अपने देखी, ठीक है, अब बात करते थोड़ modulus x की अगर बात करें तो modulus x अपना behavior change कब करता है, modulus x अपना behavior x equal to 0 पे change करता है, modulus x जो है अपना behavior x equal to 0 पे change करता है, यहाँ पे देखिए, यहाँ पे ऐसा decrease करते हुए ग्राफ आ रहा था, x equal to 0 पे अपना behavior change कर लिया, increase होना शुरू हो गया, यहाँ पे देखिए, decrease करते हुए ग्राफ आ रहा था, 0 जैसे ही आया, उसके बाद increase होना शुरू हुआ, तो x equal to 0 जो है, वो modulus x के behavior तो यहाँ पर x equal to 0 जो है, वहाँ पर इस modulus x का behavior बदलता है, तो x equal to 0 point को हम बोलते हैं, critical point of the modulus, क्या बोलते हैं, critical point of the modulus, तो इस modulus का जो critical point है, इस modulus का जो critical point है, वो होता है x equal to 0, ठीक है, simple भाषा में मैं आपको बता देता हूँ, modulus का critical point वो होता है, जो modulus को 0 कर दे, modulus का critical point वो होता है, जो modulus को 0 कर दे, 0 कर दे और इस modulus को 0 करने वाला point है x equal to 0 तो इसका जो critical point हो जाएगा वो हो जाएगा x equal to 0 एक और बात देखें जरा यहाँ पे लिख देता हूँ modulus x minus 2 modulus x minus 2 का मुझे critical point बताईए modulus x-2 का जो critical point होगा, वो होगा x equal to 2, इसका जो critical point है, इसका जो critical point है, वो होगा x equal to 2, x equal to 2 यहाँ पे डालने पे, इस modulus का answer 0 आ रहा है, x equal to 2 डालने पे, इस modulus का answer 0 आ रहा है, तो इसका जो critical point होगा, वो कितना होगा, x equal to 2, मैं एक और लिख देता हूँ, modulus x square-4, modulus x square-4 का अगर मैं आपसे पूछता हूँ, critical point कितना होगा, इसका जो critical point होगा, इसके दो critical point होगे, एक x equal to minus 2 और एक x equal to 2, इसके दो critical point होगे, इसका मतलब इस modulus का, ये जो function हमारा है, इस function में दो बार behavior change हुआ है, एक behavior minus 2 पे change हुआ होगा, और दूसरी बार जो behavior change हुआ है, वो x equal to 2 पे change हुआ होगा, तो x equal to minus 2 put करेंगे, तो भी 0 आ रहा है, x equal to 2 put करेंगे, तो भी 0 आ रहा है, तो इसके जो critical points हैं, वो, x equal to minus 2 and x equal to 2 होंगे, ठीक है, वापस से बता दूं, वो x की value, modulus function का critical point होता है, जो x उसको, पूरे को complete जो है, function है हमारा, उसको क्या कर दे, zero कर दे, complete जो, modulus के साथ की जो quantity है, modulus जो है, उसमें और अपनी understanding बिल्ड हो जाएगी, ठीक है, तो मैं आपसे पूछता हूँ कि, x बताईए find the value of x find the value of x satisfying find the value of x satisfying पहला सवाल है modulus of x-2 equal to 4, दूसरा सवाल है modulus of modulus x-2 equal to 5, ये दो सवाल हैं, दो बड़े simple simple सवाल हैं, पहला सवाल है कि आप ऐसी x की value मुझे बताएं, जो इस equation को satisfy करती हो, दूसरा सवाल है, आप ऐसे x की value बताएं, जो इस equation को satisfy करती हो, ठीक है, तो आईए अभी बताते हैं, अभी निकालते हैं, समझते हैं सवाल के solution को, तो इसको देखिए, देखिए, modulus x-2 equal to 4 है, ध्यान से सुनना, modulus x-2 4 है, इसका मतलब यह हुआ, यह जो x-2 है, ध्यान से सुनना, यह जो x-2 है, ये 4 भी हो सकता है और ये x-2-4 भी हो सकता है ऐसा क्यूं? क्यूंकि दो ऐसे नंबर हैं 4 और minus 4 दो ऐसे नंबर हैं 4 और minus 4 जिनका modulus 4 ही होता है होता है 4 का मोडलस भी 4 होगा माइनस 4 का मोडलस भी 4 होगा तो यहां पे ऐसा कौन सा x-2 है जिसका मोडलस 4 होता है तो वो x-2 की दो possibility है या तो 4 हो या फिर क्या हो माइनस 4 हो यह वाले statement आपको समझ में आने चाहिए ठीक है या तो क्या हो x minus 2 4 हो या फिर minus 4 हो, तो यहाँ पे x की value अपने को मिले 6, और यहाँ से x की value अपने को मिले minus 2, तो x की value या तो minus 2 होगी, या फिर क्या होगी, 6 होगी, पहले वाले सवाल का answer आ गया, इस सवाल में जो concept use हुआ है, इस सवाल में जो concept यहाँ पे देखिए, concept जो use हुआ है, concept जो ए है ठीक है ना यहाँ पे ए मैं बोल देता हूँ greater than 0 है अगर कोई बोल दे modulus x हमारा एक positive number ए के बराबर है तो x की दो possibility है x की दो possibility है या तो plus a हो या फिर minus a हो x plus a होगा उसका modulus भी a आएगा x minus a होगा उसका modulus भी a आएगा इस concept का यहाँ पे प्रियोग किया गया है ठीक है अब दूसरा जो सवाल है वो यह है कि modulus of modulus x minus 2 equal to 5 हो तो बताईए x क्या होगा आईए इसको भी solve कर लेते हैं यहाँ पे given है modulus of modulus x minus 2 equal to 5, तो सीधी बात है, यह जो अंदर की जो quantity है इस modulus के अंदर, जहां से सुनना, यह वाली जो quantity है, जब यह quantity 5 रही होगी, या फिर यह quantity minus 5 रही होगी, तब जब यह quantity minus 5 रही होगी, जा करके left और right बराबर आए होंगे, तो यहाँ पे modulus of x minus 2 या तो ये 5 रहा हो, या फिर, modulus of x minus 2, या फिर ये minus 5 रहा हो, ठीक है, अगर modulus x minus 2 5 के बराबर है, तो modulus x हो गया 7 के बराबर ठीक है और modulus x minus 2 minus 5 के बराबर है तो modulus x हो गया minus 3 के बराबर ठीक है modulus x minus 3 के बराबर हो नहीं सकता this is not possible this is not possible यह नहीं है, क्योंकि मोडलस X का उपटाव नहीं हो सकता, यह इसलिए नहीं है, क्योंकि मोडलस X होते हैं वो हमेशा नहीं हो सकता, greater than equal to 0 होते हैं और यह negative number के बराबर लिखा हुआ है यह हो नहीं सकता यह हो नहीं सकता इसलिए मैंने कहा यह possible नहीं है तो modulus x7 एक possibility है तो modulus x7 का मतलब है x value या तो plus 7 हो या minus 7 हो तो इसका answer कितना आ गया, either x equal to plus 7 or x equal to minus 7, बड़े simple simple दो सवाल थे, move करते हैं आगे, move करते हैं आगे, next question, next question मैंने आपसे पूछा, draw the graph of, draw the graph of, fx is equal to modulus x minus 4 fx equal to modulus x minus 4 का ग्राफ बनाएं आप लोग fx equal to modulus x का ग्राफ ओल्डरेडी बना चुके हो fx equal to modulus x का ग्राफ ओरेडी बना चुके हो और अगला सवाल मैंने दिया है कि more or less x-4 का graph बनाएं आप बड़ा easy है सबसे पहले तो मैं कहूँगा कि session को pose करें, pose करके आप खुद attempt करें खुद attempt करने के बाद फिर मुझे बताएं कि क्या इसका graph बना है ठीक है और match करके देखें मेरे graph के साथ आपका graph match कर रहा है या नहीं कर रहा है तो आप लोग जानते हैं y equal to modulus x का graph मैं आप लोगों को बता चुका हूँ y equal to modulus x का जो graph है वो कुछ ऐसा होता, उसकी shape कुछ ऐसी होती है लेकिन अब की बार मैंने पूछा है कि मुझको y equal to modulus x minus 4 का graph बना के बताएं y equal to modulus x minus 4 का ग्राफ बना के बताएं तो y equal to modulus x minus 4 का ग्राफ अभी बनाएंगे आप ध्यान से देखें जरा ध्यान से देखें मैं कैसे सोच रहा हूँ कैसे सोच के ग्राफ प्लोट कर रहा हूँ मैं बोल रहा हूँ कि at x equal to 4 मैं बोल रहा हूँ at x equal to x equal to 4 इसका critical point है x equal to 4 इसका critical point है और इसका critical point कितना था, x equal to 0, इसने अपना behavior x equal to 0 पे change किया, decrease करते करते आये फिर increase हो गया, ये अपना behavior change करेगा x equal to 4 पे, ये है मानलो x equal to 4, ठीक है न, x equal to 4 पे अपना behavior change करेगा, मुझे एक बात बताओ, x equal to 4 डालेंगे तो वहाँ पे y कितना आएगा, y आएगा 0, है न, 4,0 point मोडलेस x-4 का ग्राफ आपके सामने है ये मोडलेस x का ग्राफ है ये मोडलेस x-4 का ग्राफ है क्योंकि जब x की वैल्यू देखिए 4 से बड़ी डालोगे आप x की वैल्यू 4 से बड़ी 5 डाल दी मानलो आप ठीक है ना तो 5-4 सीधा 1 आंसर आएगा और x की वैल्यू negative में आप तो modulus functions का जो graph बनाना है बड़ा easy होता है, ठीक है, और सवाल करते हैं, next question है, next question है, ये बड़ा अच्छा सवाल है, find the value or values of x, of x satisfying, satisfying modulus x, plus 4, modulus x plus 4, minus modulus x equal to 4 मुझे आप x की वो values बताएं, जो इस equation को satisfy करती होंगी बड़ा interesting सवाल है, simple simple सी बातें use होती है इस सवाल को solve करने के लिए और मेरा ऐसा मानना है जिस बच्चे को इस तरीके के question solve करना आ जाए इस तरीके के question solve करना आ जाए उसकी modulus में complete समझ develop हो चुकी है तो ये जो सवाल होते हैं जिसमें multiple modulus involve होते हैं चाहे plus में हो चाहे minus में हो ऐसे सवालों को solve करना आना चाहिए और ऐसे सवालों को सोल्व करना आ गया, अपनी समझ डेवलेप हो गई ऐसे सवालों को सोल्व करने की, तो मैं कहूंगा मोडलस की एक अच्छी समझ डेवलेप हो चुकी है, तो आईए सवाल को सोल्व करते हैं, यहाँ पे दो मोडलस हैं, यहाँ पे बात समझने वाली क्या है दोनों ही modulus को समझना होगा और फिर अपने को सवाल सॉल्व करना होगा यह वाला modulus अपना behavior change करता है x equal to 0 पे और यह वाला modulus अपना behavior change करता है इसका critical point है x equal to minus 4 x equal to minus 4 पे यह 0 हो रहा है तो यह वाला modulus अपना behavior change करता है x equal to minus 4 पे तबदील करता है यह अपना behavior x equal to 0 पे तबदील करता है, तो दोनों अपना behavior, overall behavior कब-कब तबदील होगा, यह बात समझनी है, तो कुछ इस प्रकार से समझें, एक number line बनाएं आप, एक number line बनाएं, इस number line पे mark कर लें, इसका जो behavior है, यह x equal to 0 पे तबदील होता है, इस modulus का जो behavior है, यह x equal to minus 4 पे तबदील होता है, minus 4 पे अपना behavior बदलता है, तो जो पूरा सवाल है, पूरे सवाल को solve करने के लिए तीन cases बनाने पड़ेंगे यहाँ पे जो पूरा सवाल है, यहाँ पे जो पूरा, यह जो दो modus लगे हैं इनका तीन तरीके का behavior होगा एक behavior तब देखना पड़ेगा जब x जीरो से बड़ा हो दूसरा behavior तब देखना पड़ेगा जब x-4 और 0 के बीच में हो और तीसरी बात तब देखनी पड़ेगी जब x-4 से छोटा हो तो यहाँ पे तीन पार्ट में इस सवाल को solve करना पड़ेगा पहला case लेना पड़ेगा अपने को, first case लेना पड़ेगा अपने को, case number 1, case number 1 लेना पड़ेगा अगर x 0 या 0 से बड़ा है तब क्या होगा, ध्यान से देखें, case number 1 लेना पड़ेगा अगर x 0 या 0 से बड़ा है तब क्या होगा, case number 2 लेना पड़ेगा, ध्यान से देखें, यहाँ पर 0 और minus 4 के बीच में है तब क्या होगा जब x जो है minus 4 और 0 के बीच में है तब क्या होने वाला है और case number 3 लेना पड़ेगा ध्यान से सुनना case number 3 लेना पड़ेगा जब x minus 4 से छोटा है या फिर बराबर है x minus 4 से छोटा है तब क्या होगा जब दो function हो और उनके जोड़ या माइनस का behavior देखना हो तो दोनों पे depend करता है वो दोनों के बीच की बात है तो अलग behavior होगा, दोनों के इस side की बात है तो अलग behavior होगा, और इस side की बात है तो अलग behavior होगा, यही मैंने यहाँ पर बताने की कोशिश की है, कि तीन परकार से यहाँ पर यह जो modulus है, behave कर सकते हैं, एक, दो और तीन, तीनों cases मैंने बना लिये, critical point समझना बहुत जरूरी है modulus में, modulus का critical point mathematically देखा जाए, तो वो point होता है जहाँ पर, ये 0 हो जाए, वो x जहां पे ये 0 हो जाए, और उसका meaning ये होता है कि उस x पे ये modulus अपना behavior बदलेगा, बात समझ में आ रही है, तो अगर x 0 से बड़ा है, अगर x 0 से बड़ा है, तो x plus 4 भी 0 से बड़ा होगा, ध्यान से सुनना, अगर x 0 से बड़ा है, तो x plus 4 भी 0 से बड़ा तो ये वाला जो modulus है ये वाला modulus open हो करके सीधा आ जाएगा x plus 4 और x positive है, x positive है, तो यह जो modulus है, यह भी सीधा सीधा x को बाहर भेज देगा, यह भी सीधा सीधा किसको बाहर भेज देगा, x को बाहर भेज देगा, तो यहां से भी आ गया x, ठीक है, बीच में निशान लगा है minus का, और equal to आ गया 4, equal to 4 given है अपने को, minus x से x कट गया, और आ गय तो 4 और 4 बराबर हैं, इसका मतलब यह हुआ कि 4 और 4 हमेशा बराबर हैं, यह हमेशा बराबर हैं, इसका मतलब यह वाला step हमेशा सही था, यह वाला step हमेशा सही था, इसका मतलब यह हुआ कि x greater than equal to 0, कोई भी value डाल लीजिये, चाहे 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 1, 2, 3, 4, कुछ भी डा सारे x इसको satisfy करेंगे, इसका मतलब यह हुआ कि x greater than equal to 0, यह सारे अपने क्या हुए, answer हुए, answer क्यों हुए, क्योंकि यह हमारी equation को satisfy करते हैं, यह पहला step अपने को समझ में आना चाहिए, which is always true, यहाँ पर लिख देंगे, which is always true, which is always true, which is, always true ये बात हमेशा सही है ये बात हमेशा सही है तो इसका मतलब ये हमेशा सही रही होगी और ये हमेशा सही रही होगी तो x greater than equal to 0 हमारे आंसर होगे ठीक है जी अब बात करते हैं x अगर minus 4 और 0 के बीच में होगा तो minus 4 और 0 के बीच में example के लिए minus 1 उठा लेता हूँ अगर x यहाँ पे डाली है minus 1 हो गया तो यह वाली quantity तो positive ही है x जब minus 4 से 0 के बीच में है तो यह quantity तो positive ही है और positive number का modulus जो है आप सीधा का सीधा खोल करके positive number को बाहर ला सकते हो ठीक है और x-4 से 0 के बीच में है, मतलब x नेगेटिव है, यह x नेगेटिव है, तो यह वाला जो modless है, यह वाले जो modless भाईया है, यह अपने को बोलेंगे कि भाई, x तू नेगेटिव है, तुझे मैं positive बना के भेजूंगा, तो इस x के आगे यह minus लगा करके भेज देंगे इसको minus x लगा के बाहर बेज देंगे और एक minus यहाँ पे already इसका इंतजार कर रहा है उसको भी लगा देते हैं और यह किस के बराबर दिया हुआ है यह 4 के equal दिया हुआ है correct है तो यहाँ पे देखने को मिला अपने को कि x और minus minus plus x हो गया तो 2x plus 4 equal to 4 4 से 4 cancel हुआ, x equal to 0 आ गया, और यहां मैंने लिया है कि x 0 और 4 minus 4 के बीच में होना चाहिए, x minus 4 और 0 के बीच में होना चाहिए, तब मैं देख रहा हूँ, और answer आया x equal to 0, यह तो possible नहीं है, which is not possible, क्यों possible नहीं है, यह इसलिए possible नहीं है, कि जो condition मैं ले करके चल रहा था, उस condition क ध्यान से सुनना, यह सवाल बड़ा important सवाल है और इस सवाल को समझने के बाद पुरी मोडलर समझ में आ जाएगी तो मैं कहता हूँ कि इस सवाल को कम से कम तुम चार बार, पाँच बार, छे बार देखो चाहे लेकिन इस सवाल को समझना बहुत जरूरी है तो minus 4 से 0 के बीच का कोई answer होता तो accepted होता है यहाँ पे इसके बीच का नहीं है तो इसका मतलब यह वाला case possible नहीं है यहाँ पे इस case का कोई भी answer यहाँ possible नहीं है, satisfy नहीं कर रहा अब बात करते हैं अगर x less than minus 4 है या equal to minus 4 है, उन cases में x less than minus 4 है, तो यह वाला modulus जो है, इसके अंदर की quantity negative होगी, और negative चीज को modulus एक minus अपनी तरफ से लगा करके बाहर भेजता है, ठीक है, और x अगर minus 4 से छोटा है, तो यह वाली value भी negative होगी, तो यहाँ पे भी modulus minus लगा करके बाहर भेजेगा, positive तो एक minus यहां लगाओगे, minus minus क्या हो जाएगा, positive हो जाएगा, और equal to 4 के लिखा हुआ है, तो जब इसको solve करेंगे, तो देखी क्या हुआ, minus x minus 4 plus x equal to 4, तो minus x plus x cancel हो गया, minus 4 equal to 4, मतलब क्या गजब हो गया, minus 4 equal to 4, minus 4 equal to 4 नहीं हो सकता, तबाही, तबाही हो जाएगी भाई, माइनस फोर फोर बराबर नहीं हो सकते, which is not possible, ये possible नहीं है, which is not possible, सुनामी आ जाएगी, आकाश पाताल मिल जाएगे, धर्ती कांप उठेगी, माइनस फोर और फोर बराबर हो गया, तो नहीं हो सकता हमारे जीते जी, माइनस फोर और फोर बराबर हो नहीं सकता, इसका मतलब ये हो नहीं सकता, इसका मतलब ये भी नहीं हो सकता, इसका मतलब, x less than equal to minus 4 नहीं हो सकता, x less than equal to minus 4 नहीं हो सकता, कोई भी x minus 4 से छोटा ऐसा नहीं है, कोई भी x minus 4 से छोटा ऐसा नहीं है, जो इस equation को satisfy करता हो, तो clearly आप देखो case 1, case 2, case 3, सब को देख करके देखो कि यहां से कोई answer नहीं आ, यहां से कोई answer नहीं आ, answer हमारा सिर्फ पहले वाले case तो अगर एक वाल्यूज एक्स एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज एक वाल्यूज ए 0 या उससे बड़ी, 0 से infinity, ये अपना आंसर आजाएगा, ठीक है न, x greater than equal to 0 के अलावा कोई और value अपने को नहीं मिली, तो अपना जो आंसर आया हुआ या 0 से infinity, बात समझ में आएगा आपको I hope आपको यह वाला जो सवाल है यह समझ में आया होगा और इस सवाल को समझना बड़ा easy है मैंने बहुत elaborate करके इसको समझाया है पर फिर भी अगर मान लो आपको समझ में नहीं आता है तो मेरा suggestion यह है कि इस सवाल को आप चार बार पांच बार छे बार पीछे करके session को आप बार बार देखें और आप अपना दिमाक लगाएं टाइम लगाएं concentrate करें इस सवाल को solve करने की कोशिश करें मैं एक बात बता देता हूँ अगर ये पूरा सवाल का solution आपको समझ में आ गया कि क्यों मैंने cases बनाए हैं क्यों यहां से यह answer आया है यहां पे answer नहीं आये है सारी बातें अगर आपको समझ में आ जाती है मोडलस एकदम आपका अच्छा हो जाएगा इसके बाद के सवाल करने में आपको बड़ा easy feel होगा ठीक है move करते हैं और इसी तरीके का एक और सवाल solve करते हैं सवाल यह है find x satisfying modulus x plus 6 plus modulus x is equal to 8 modulus x plus 6 plus modulus x is equal to 8 इसको satisfy करने वाले x की values आप बताईए ये मेरा सवाल है तो एक सवाल इस तरीके का मैंने अभी आपको कराया है, मुझे लगता है ये सवाल तो आपसे बनना चाहिए, चलो सोल्फ करके देखते हैं, केसिस बनेंगे, इस वाले मोडलस का क्रिटिकल पॉइंट है x-6, क्या क्रिटिकल पॉइंट है, x-6, ये वाला जो मोडलस है, इसका x-6 और x0 दो critical point हैं इसके correct है तो पूरे सवाल को करने के तीन case बनेंगे एक तो जब x-6 से छोटा है दूसरा जब x-6 और 0 के बीच में है तीसरा case जब x0 से क्या है बड़ा है correct है बात समझ में आ रही है मेरी आई हो पारी होगी आपको समझ में आ रही है क्या भाई की बात है, समझ में तो आनी बनती है तो case number 1 ले लेते हैं case number 1 ले लेते हैं जब x minus 6 या उससे छोटा है जब x minus 6 से छोटा होगा तो यहाँ पे ये देखिए ये quantity भी negative होगी और ये quantity भी negative होगी और negative quantities का modulus ओपन करना है तो modulus minus sign लगा करके ओपन करेगा ठीक है क्यों अपन करेगा बता चुका हूँ मैं तो यहां से देखा जाए तो minus x minus 6 minus x equal to 8 minus x minus x minus 2x हो गया minus 2x equal to minus 6 को उदर ले करके गए तो हो गया 14 x हो गया 14 divided by minus 2, x हो गया minus 7, x कितना हो गया minus 7, यह check करना जरूरी है कि यह जो x minus 7 है, क्या यह minus 6 से छोटा है, क्या हाँ जी छोटा है, इस condition को follow करते हुए जरूर मिलना चाहिए, यहाँ पे जो answer आए, तभी वो accept करेंगे, तो यह अपना answer आ गया, x minus 7 इसको satisfy कर रहा था, ठीक ह next लेते हैं case number 2 second possibility second case जब x-6 से 0 के बीच में होगा तब क्या होगा जब x-6 से 0 के बीच में होगा उस case में ये चीज positive है ध्यान से सुनना x-6 से जैसे ही बड़ा हो गया 0 से छोटा है कोई बात नहीं ये हमेशा positive है और positive जो चीज है वो modulus के अंदर से योगियों बाहर आ जाती है और x-6 से 0 के बीच में है मतलब negative है तो ये चीज negative है negative का modulus हटाना है तो देखिए minus sign के साथ हटाना पड़ेगा, positive बना के हटाना पड़ेगा, ठीक है, and that is equal to 8, ठीक है जी, यहाँ पे यह cancel हुआ, 6 और 8 बराबर आए, और 6 और 8 जैसे ही बराबर आएंगे तो बोलेंगे, नहीं हो सकता, तबाही हो जाएगी, तबाही हो जाएगी, ये हो नहीं सकता, ये भी नहीं हो सकता, तो कोई भी x-6 से 0 के बीच में नहीं आ सकता, ठीक है, this is not possible, तो ये possible नहीं है, ठीक है, this is not possible, this is not possible, correct है जी, अब बात करते हैं case number 3 की, case number 3 क्या है, अगर x जीरो या उससे बड़ा हो तो, if x is greater than or equal to 0, x जब जीरो या उससे बड़ा है तो, ध्यान से सुनना, x जब जीरो या उससे बड़ा है तो, तो क्या होगा ये भी positive होगा और ये भी positive होगा और दोनों positive चीजे हैं मोडलस बोलेगी जाओ तुम खुशी खुशी अपने घर जाओ जा सिमरन जी ले अपनी जिन्दगी कोई दिक्कत नहीं है मोडलस को कोई दिक्कत नहीं है अगर ये चीज positive है ये भी positive है X और X हमारा हो जाएगा 2X 6 को उदर ले करके गया 8-6 हमारा हो गया 2, तो यहां से x निकालेंगे, तो 2 by 2 हो जाएगा 1, x हो जाएगा 1, इस x1 को देख करके हमें यह जरूर देखना पड़ेगा हमारी condition को satisfy कर रहा है, क्या बिल्कुल कर रहा है, x1 0 से बड़ा होता है, तो यह भी हमारा answer होगा, और हमने तो यहाँ पे देखिए एक तो x equal to minus 7 और एक x equal to 1 दो answer मिले हैं तो आपको बता दूँ x equal to minus 7 और x equal to 1 x equal to minus 7 और x equal to 1 ये दो ऐसी value हैं जिनको आप यहाँ पे डालोगे तो left side और right side क्या मिलेगी बराबन मिलेगी तो अपने जो answer आगे solution जो इसके आगे वो आगे x equal to minus 7 and x equal to 1 ये अपने हो गए answer बात समझ में आ रही है आपको तो आईए इसी तरच के उपर इसी तरीके का एक और सवाल करते हैं ध्यान से सुनना सवाल क्या है if modulus x plus modulus x minus 4 plus modulus x minus 6 equal to 10 हो, modulus x plus modulus x minus 4 plus modulus x minus 6, अगर 10 हो, then find x, then find x, तो find x, x find out करें और ये जो सवाल है ये मैं आपको homework में दे रहा हूँ homework में दे रहा हूँ कुछ बाते बता दूं सबसे पहले तो इस सवाल के जो answer हैं वो आप comment box में comment करें सब लोगों के comment मैं देखता हूँ सब के comment देखूंगा ठीक है पिछले भी जो homework के सवाल थे मैंने सारे comment पढ़े थे रिप्लाई नहीं कर पाया मैं आपको, अब मैंने क्या करना शुरू कर दूँगा, सारे कमेंट पढ़ूंगा मैं, और जिनका भी आंसर ठीक होगा, कोशिश करूँगा उनका नेक्स्ट वीडियो में बता दूँ, और इसका जो सलूशन है, इसका जो सलूशन है, वो मैं नेक् और इसका जो सही answer वो solution है, वो हमारा जो अगला session होगा, अगला video होगा, उस video के आखिर में, शुरुआत में नहीं, आखिर में हम इसका solution discuss करेंगे, answer भी discuss करेंगे, correct है? तो ये मेरे लिए आप इस सवाल को जरूर solve करें, ठीक है? तो ये मेरे लिए आप इस सवाल को जरूर solve करेंगे, correct है?

fx equal to modulus x plus 2 modulus x minus 1 if fx equal to modulus x plus 2 modulus x minus 1 then draw the graph of y equal to fx जो fx function है उसका आप graph draw कीजिए y equal to fx function का graph draw कीजिए तो सबसे पहले तो मैं आपको बोलूँगा कि आप session को pause करें session को pause करें और खुद graph draw करें खुद graph draw करें आप अगर struggle करोगे इसका graph draw करने में कामियाब हो जाओगे तो मज़ आएगा और कामियाब नहीं भी हो जाओगे तो अगर आप struggle करोगे इसके graph की जो मैं trick आपको बता रहा हूँ उस trick का आप इस्तिमाल करते हुए चाहे function में कितने भी modulus हो, कितने हजार modulus हो, पचास modulus हो, आप function का graph एक जटके में solve कर सकते हो, बना सकते हो, draw कर सकते हो सवाल में चाहे 5 modulus हो, 2 modulus हो, 10 modulus हो, 20 modulus हो, 1000 modulus हो, कितने modulus हो, यह जो trick में graph draw करने की आपको बता रहा हूँ, इससे आप एक जटके से graph draw कर सकते हैं सवाल का, जिसमें modulus involved हो रखी हो, ठीक है और आपको यह बता चुका हूँ हूँ है कि आपको पहले कुछ ट्राइ करना है उसके बाद सलूशन देखना है तो ग्राफ कैसे ड्रो करते हैं पहले देखिए मोडलस कितनी है इसमें दो मोडलस हैं एक मोडलस यह दूसरी मोडलस यह है पहले वाली जो मोडलस है इसका क्रिटिकल पॉइंट कितना है एक्स इक्वल टू जीरो और दूसरे वाली मोडलस है इसका क्रिटिकल पॉइंट कितना उसको यहाँ पे आप प्लोट कर लिजिए, यह x equal to 0 है और यहाँ है x equal to 1, सबसे पहला काम, critical point को mark करें, दूसरा काम, x equal to 0 पे y की value देखें कितनी है, at x equal to 0 जो critical point आए हैं, उन पे y की value देखें, x equal to 0 डाला, यहाँ पे 0 डाल दिया तो 0 हो गया, यहाँ 0 डाल दिया तो minus 1 का modulus 1 और x equal to 1 डालेंगे तो y कितना है? at x equal to 1, x equal to 1 डाल दिया तो ये 1 हो गया, 1 डाल दिया ये 0 हो गया, 1 plus 0 हो गया, 1. at x equal to 1, y 1 है, मतलब x equal to 0 पे y 2 है, 0.2 point हमारा lie करेगा ग्राफ पे, at x equal to 1, y 1 है तो 1.1 point भी हमारा ग्राफ पे lie करेगा. कहने का मतलब ये है, जो critical point है, उनमें x की value डालिए और y की value निकालिए. दो point यहाँ पे मिले हैं, 0, 2 और 1, 1, इन दोनों point को plot कीजिए, आए इन दोनों points को plot करते हैं, यह 0, 2 है और यह 1, 1 है, तो 0, 2 को plot करें, तो यहाँ है मालो 0, 2, ठीक है, यह point है 0, 2, और 1, 1 को plot करेंगे, तो यहाँ है हमारा 1, 1, यहाँ हमारा point है 1, 1, तो यह दो point जैसे ही मिल इसके बाद straight line को इस कोने में भेज दीजिए और यहाँ पे straight line को इस कोने में भेज दीजिए यहाँ पे straight line को आप इस कोने में भेज दीजिए correct है, यह straight line को आप ऐसे ऐसे बना लो, इस कोने में भेज दीजिए, और यह बन जाएगा हमारा given function का graph, बता देता हूँ आपको मैं, आपको क्या करना है, critical point mark करें, उसके बाद critical points को यहाँ पर डाल करके, आप output निकाल लीजिए, और जो point हैं उनको mark कर लें, इसको इससे join करें, यहाँ पे x की value infinity डाल के देखी, x की value आप infinity डाल के देखोगे, तो पूरा जो y है यह भी infinity को approach कर रहा है, और interesting बात क्या है, जब x की value minus infinity डाल के देखी, x की value आप minus infinity भी डाल के देखोगे, x की value minus infinity डाल के देखोगे, यहाँ पे देखे डाल के minus infinity डाला, फिर यहाँ पे 2 minus infinity लाला, तो minus infinity लालने पे यह positive infinity आ जाएगा, क्योंकि modulus इसको positive बना देगा, और यह भी positive का बहुत बड़ा infinity आ जाएगा, infinity plus infinity और बहुत बड़ा infinity हो जाएगा, तो x minus infinity डालने पे y हमें कितना मिला, y हमें मिला infinity, तो कुल मिला करके यहाँ से जो सीख हमको मिलती है, कि x अगर infinity है, तो भी y infinity है, x अगर minus infinity है तो भी y infinity है और यह जो कोना होता है यह infinity, infinity का कोना होता है और यह जो corner होता है इस तरफ यह minus infinity, infinity का कोना होता है क्योंकि x की value infinity देखिए x जब infinity है तो y infinity इस corner में होता है x बड़ा y बड़ा x minus infinity और y infinity x तो minus infinity है और y infinity है वो इस corner में होता है बात सुन्दिया रही है तो x minus infinity y infinity है इसलिए इस corner में graph जाएगा x infinity पे y infinity है इसलिए इस corner में graph जाएगा तो ये इसका बड़ा शामदार मज़ेदार graph है बात सुन्दिया रही है आपको और मैं आपको एक चोटा सा homework code दे देता हूँ आपको जो graph बनाना है वो बनाना है इस function का draw the graph of fx equal to modulus x plus 2 plus 2 modulus x plus modulus x minus 5 और इसका जो graph है आप उसकी pick click करके attach कर सकते हैं comment box मुझे मालूम नहीं attach कर सकते हैं क्या आप देख लेना अगर attach कर सकते हैं तो भेज सकते हैं मुझे attach करके नहीं तो अपना आप notebook में इसका graph अच्छे से plot करके रख ले next lecture में इसके graph का discussion भी next lecture में करूँगा, ये हमारा homework है, ये भी homework है, इसका discussion भी next lecture में किया जाएगा, next lecture में discussion होगा, discussion जो होगा, वो होगा next lecture में, clear है एकदम, तो आज हमने जो सीखा, वो सीखा modulus function, modulus function का domain range graph, उसका complete behavior, और modulus function पे based कुछ हमने सवाल सीखे हैं पास वाले में आ रहे हैं आपको तो modulus function की कहानी को यहीं पे खतम करत वैसे तो मोडलेस फंक्शन मैं कम से कम भी 15 दिन, 30 दिन भी पढ़ा सकता हूँ, मोडलेस फंक्शन बहुत दिमाग में भरा हुआ है मेरे, पढ़ाने लगूं तो 30-30 दिन भी पढ़ा देंगे, लेकिन चुकी वक्त का भाव है और हमें मोडलेस फंक्शन को इतना ही टाइम डे modulus x plus modulus y, x plus y कब होगा, minus x minus y कब होगा, जाते जाते मुझे रहा नहीं गया, एक सवाल तो और कराई देता हूँ मैं, मुझे आप ये बताएं, कि modulus x plus modulus very important, बड़ी अच्छी बात तुमको जाते जाते बता की जा रहा हूँ, मुझे बताएं, modulus x plus modulus y की value मुझे बताएं, x plus y कब होगी, minus x minus y कब होगी, x minus y कब होगी, minus x plus y कब होगी, आप सोची जा रहा हूँ, screen से मैं दूर हो गया हूँ, आपको सोचने का मैं दे रहा हूँ कुछ समय, सोच के बताएं हो सकता है, आप लोगों ने सोच लिया हो, ठीक है, तो modulus x plus modulus y x plus y तब होगा, जब x हमारा greater than equal to 0 हो, और y भी हमारा क्या हो, greater than equal to 0, ठीक है न, x greater than equal to 0 positive और y positive होगा, तो modulus बोलेगा, जाओ तुम बाहर जाओ, जाओ सिम्रन, जी अपनी जिन्दगी, ले मस्ती, ले जीवन के, ठी और y क्या रहा है, y भी हमारा negative रहा है, इसलिए modulus y minus y के बराबर आया है, ठीक है न, modulus x plus modulus y, x minus y कब आएगा, modulus x देखिए x आया है, modulus y देखिए minus y आया है, इसका मतलब यह हुआ, कि जो x है, वो greater than equal to 0 रहा होगा, और y जो है हमारा, वो less than equal to 0 रहा होगा, ठीक है, modulus x plus modulus y, minus x plus y कब रहा होगा, x negative रहा हो, और y क्या रहा हो, positive रहा हो, तब यहाँ पे, modulus x plus modulus y, इसके बराबर रहा होगा, ठीक है, I hope आपकी modulus की और अच्छी understanding, चोड़े से कुबसूरत example के साथ, और developed हुई होगी, ठीक है, as usual, time हो चला है, मजा आने लगा है अभी ऐसा लगता है कि मैं आप लोगों से माचीत करने लगा हूँ तो आज के लिए इतना ही हसते रहें, मुस्कुराते रहें जीवन खुशियों का मेला है सब को हसाएं, खुद हसें और मेहनत करना बहुत चरूरी है क्योंकि अपन अगर मेहनत करते हैं तो ही आगे बढ़ते हैं जो भी काम करें, मन लगा करके करें जो भी काम करें, मन लगा के करें, और देखिए, एक मुस्कुराहट के साथ आज के लेक्शर को खतम करते हैं, एक मोडुलस मुस्कान के साथ, एक मोडुलस मुस्कान के साथ, आज का लेक्शर हमने कर दिया, finish, आज के लिए इतना ही, दुआओं में याद रखना, bye, bye, पढ़

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