La topologie est un domaine des mathématiques qui étudie la notion de proximité entre les éléments d'un ensemble.
Objectifs du cours : définir la continuité, classifier les ensembles, généraliser des théorèmes connus.
Proximité et voisinage
Proximité : deux éléments sont proches si leur écart est petit (ex : |a - b| est petit).
Un voisinage est un ensemble qui contient des éléments proches d'un point donné.
Exemple : résoudre l'équation cos(x) = x.
Définition d'un espace métrique
Un espace métrique est un ensemble muni d'une fonction distance qui vérifie certaines propriétés :
La distance est symétrique.
La distance de x à y est 0 uniquement si x = y.
L'inégalité triangulaire est vérifiée.
Deux éléments x et y sont proches si la distance est petite.
Boules et ouverts
Une boule ouverte B(x, r) est l'ensemble des éléments d'un espace dont la distance à x est inférieure à r.
Un ensemble est dit ouvert si chaque point de cet ensemble a un voisinage entièrement inclus dans cet ensemble.
Propriétés des ouverts :
La réunion d'ouverts est un ouvert.
L'intersection d'une infinité d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert.
Topologie et espaces topologiques
Une topologie sur un ensemble E est une collection d'ouverts qui inclut l'ensemble vide et E, et qui est stable par réunion et intersection finie.
Exemple de topologies :
Topologie grossière : uniquement l'ensemble vide et E.
Topologie discrète : toutes les parties de E sont des ouverts.
Convergence et densité
Convergence : une suite converge vers L si pour tout voisinage de L, il existe un moment à partir duquel tous les éléments de la suite sont à l'intérieur de ce voisinage.
Une partie D est dense dans E si tout voisinage de E contient au moins un élément de D.
Continuité
Une fonction est continue si pour tout voisinage de l'image, il existe un voisinage dans le domaine tel que l'image de ce voisinage soit incluse dans l'image du voisinage.
Théorème : l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert.
Homéomorphisme
Deux espaces topologiques sont homéomorphes s'il existe une application bijective continue dont la réciproque est également continue.
Un homéomorphisme ne conserve pas la taille ni la forme mais conserve certaines propriétés topologiques (ex : connexité).
Théorèmes importants
Théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Théorème des bornes atteintes : l'image d'un compact par une fonction continue est un compact.
Point fixe : une fonction continue d'une boule fermée dans elle-même a au moins un point fixe.
Conclusion
La topologie est essentielle en mathématiques, fournissant des outils pour aborder divers problèmes.
Le cours abordera plusieurs définitions, exemples, et théorèmes dans les futurs modules.