Introduction à la topologie mathématique

Musique Bonjour, bonjour ! Ah yeah, c'est parti ! On me l'a demandé depuis longtemps. Alors voici le cours de topologie. Alors avant de commencer ce cours, qui va être long et difficile, eh bien je me suis dit que ce serait bien de motiver un petit peu en expliquant la topologie en maths, à quoi ça sert. Donc là on va voir des notions de mathématiques, évidemment, comme d'à chaque fois, mais aussi on va un petit peu parler de culture pour voir un peu tout ce qu'on va pouvoir démontrer, et même un petit peu au-delà, quel est le but de cette matière, de topologie en mathématiques. Voilà, donc topologie, à quoi ça sert. Commençons tout de suite, donc... La topologie va servir à mesurer la proximité entre des éléments d'un ensemble mathématique. On va essayer de définir ce que sont des éléments, qu'est-ce qui sont proches ou éloignés, comment on peut faire. Une fois qu'on aura ça, on va dire à ceux qui sont proches, c'est les voisins d'une certaine façon d'un élément, c'est ceux qui lui sont proches, on va pouvoir définir ce que c'est qu'un voisinage. Une fois qu'on aura des voisinages, on pourra définir des limites, et donc on pourra voir comment approximer certains objets par des objets plus simples, etc. Et puis on pourra aussi généraliser la notion de continuité, parce que comme vous le savez, une fonction continue, en gros, ça veut dire qu'une fonction, c'est que si les éléments sont assez proches au début, alors à l'arrivée ça reste proche. Ce ne sont pas des trucs explosifs, il n'y a pas de rupture, on ne peut pas avoir deux trucs très très proches qui donnent des résultats très différents. Du coup, pour pouvoir définir la continuité, il faut savoir ce que c'est que des choses proches, donc tout ça c'est relié. Et puis ensuite, on verra que ça nous permet aussi de classifier certains ensembles, qui sont équivalents du point de vue topologique, qu'est-ce que ça veut dire. Donc voilà, on peut les déformer d'une façon ou d'une autre, on va parler un petit peu de tout ça. Et puis finalement, ça nous permet de généraliser des grands théorèmes qu'on a vus pour les fonctions de R dans R, on va voir en fait qu'on peut généraliser ça à des ensembles beaucoup plus abstraits, beaucoup plus grands, et pour trouver plein de résultats très intéressants. Donc voilà, en gros la topologie ça sert à tout ça, et je vais détailler maintenant toutes ces petites choses-là. Alors, première chose, donc ça sert à définir la notion de proximité. Alors qu'est-ce que je veux dire par là ? Commençons par un exemple simple, imaginez que vous avez cette équation à résoudre, cos x égale x dans R, donc voilà je trace y égale x, je trace y égale cos x, boom, donc c'est l'abscisse du point d'intersection ici. Alors on peut essayer de résoudre, on est vite démuni parce que si je fais arc cosinus de chaque côté, je trouve x égale arc cosinus x, je ne suis pas bien avancé, donc on ne voit pas bien comment résoudre, et puis en fait on peut démontrer qu'il n'y a pas de solution, il n'y a pas de solution exacte à cette équation, d'accord ? Donc elle admet bien une unique solution x0, on la voit bien, mais on voit que x0 c'est un petit peu avant 1, vers… 0,7, 0,8, mais on peut démontrer que ça, il n'y a pas de solution qui s'exprime avec nos notations habituelles, racine carrée, exponentielle, log, cos, machin, bref. Donc, du coup, on ne peut pas l'écrire de façon exacte. Mais ce n'est pas pour ça qu'on ne peut pas rien savoir dessus. On peut prendre un petit ordinateur, on peut faire des petits calculs d'approximation, justement, et puis, vous voyez, essayer plus, moins, tout ça, ce n'est pas très dur. on remplace par une valeur cos c'est positif donc c'est avant, cos c'est négatif donc c'est après. Donc on peut facilement trouver que notre solution est entre 0.738 et 0.740 et donc l'écart entre x0 et 0.739 est plus petit que 1 millième parce qu'on écrit ça comme ça, d'accord ? Et du coup quand on a trouvé comme ça, c'est l'écart entre x0 et cette valeur c'est plus petit que 1 millième, on dit que 0.739 est une valeur approchée de x0 à 0.01 près. Donc ça j'imagine que vous le saviez déjà. Donc deux nombres sont proches, ça veut dire que leur écart est petit. Donc dans R, deux réels a et b sont proches si la valeur absolue de a-b est petit. Pourquoi je mets la valeur absolue ? Parce que c'est juste pour que ce soit tout le temps positif. C'est l'écart entre les deux. C'est la distance que vous préférez entre les deux points correspondant à l'abscisse a et l'abscisse b sur la droite. Quelle est la distance entre les deux ? Une distance ça va toujours être positif, donc on prend la valeur absolue entre les deux. Ok ? Donc voilà. Jusque là tout va bien, on voit que c'est facile. Alors prenons maintenant une fonction. Alors une fonction, j'ai pris par exemple cette équation différentielle là, alors elle ne sort pas de nulle part, c'est l'équation que vérifie l'angle d'un fil sur lequel il y a suspendu un pendule, au cours du temps, dans un champ de gravité constant. Ce qui est le cas par exemple sur Terre, on peut approximer que le champ de gravitationnel est constant, et à l'échelle de la taille du pendule, ça c'est sûr que c'est bon. Et puis voilà, on lâche un pendule et on a cette équation différentielle-là. Et bien, celle-là, on ne sait pas la résoudre. Alors souvent, quand on est en cours de physique, on approxime et on dit Oui, alors, si l'angle est petit, sinus y, c'est à peu près y, et boum, on trouve des formules qu'on arrive à faire. Mais en vrai, c'est ça, et ça, on peut démontrer que ça, il n'y a pas de possibilité, étant donné une condition initiale, un angle de départ et une vitesse de lâcher, on ne peut pas trouver une solution, enfin, il y a une solution évidemment, mais... Elle n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles. On ne peut pas l'exprimer avec des cos, des log, des exponentielles, des machins, enfin bref. D'accord ? Voilà. De nouveau, c'est une fonction qu'on ne peut pas exprimer. Ok ? Donc, on va dire, c'est pas grave, on va essayer de trouver une solution, une fonction approchée. Mais du coup, qu'est-ce que ça veut dire que deux fonctions sont proches ? Vous voyez, là, ça commence à se poser une vraie question. Donc, pour illustrer ça, je vous ai dessiné, voilà, la fonction solution, d'accord ? Donc, avec l'ordinateur, point par point, on arrive à tracer les valeurs de mon angle en fonction du temps. Ok ? Donc, jusque-là... pas de problème. Et je me dis tiens, j'essaie de trouver une sinusoïde parce que ça ressemble quand même à une sinusoïde. Quand on regarde ça de loin, on se dit oui c'est une sinusoïde. Alors j'ai cherché la sinusoïde la plus proche, qui passe par les sommets, par les points d'intersection ici, et je vois qu'il y a des petits écarts par-ci par-là. C'est une fonction qui est relativement proche, mais qui ne colle pas quand même parfaitement avec ma solution. Une autre façon de trouver une fonction proche de la rouge, c'est de dire tiens, je vais prendre... Des fonctions affines par morceaux. J'ai pris des petits morceaux de droite, des segments à chaque fois, j'essaye d'approcher au mieux ma fonction par des petits morceaux de droite. Alors, laquelle est la plus proche de la fonction rouge ? Est-ce que c'est la bleue ou la noire ? D'un certain point de vue, si je regarde juste les valeurs point par point, la bleue est la plus proche. Ça recouvre quasiment la rouge. Il y a des petits écarts par-ci par-là, mais presque pas. Donc on pourrait se dire que la bleue est bien plus proche de la rouge que la noire, puisque ponctuellement elle l'est. Mais inversement, si je regarde maintenant les propriétés mathématiques, la rouge était lisse, elle était assez infinie, elle était dérivable en tous points, elle mettait des tangentes en tous points, la bleue pas du tout. Donc au niveau des propriétés analytiques, la bleue est beaucoup plus éloignée de la rouge que la noire. Donc suivant le point de vue qu'on veut utiliser, ce n'est pas clair qu'il faille prendre la bleue ou la noire pour approximer notre fonction. Donc voilà, il y a vraiment un problème. Il faut définir. Donc voilà, c'est tout. Il va falloir trouver quelque chose pour définir ce que c'est que des fonctions proches, ce n'est pas si évident que ça. Un autre exemple pour illustrer ça, c'est de déterminer si une image est proche. Alors, c'est un problème sur lequel j'ai travaillé il y a quelques années, on a une image et il y a du bruit, donc il y a des perturbations qu'on suppose aléatoires qui se mettent par-dessus et on veut les enlever. Alors dans la vraie vie, ça arrive par exemple si on fait une IRM, une image médicale, c'est quoi le bruit ? C'est simplement le fait qu'il faut traverser de la peau et d'autres organes. Avant de récupérer l'image, ça va modifier le cliché du foie qu'on veut faire. On va traverser de la peau, de l'eau, des vaisseaux sanguins, etc. En plus, avec du sang qui circule dedans au moment où on prend la photo. Donc ça va modifier l'image. Curieusement, les gens n'ont pas envie qu'on leur enlève leur foie pour faire la photo pour le remettre après. C'est bizarre. On aurait des bien meilleures photos du foie. Mais bon, on sait comme ça. On a des images bruitées et on veut essayer de revenir à l'image initiale, d'enlever ce bruit. Donc il y a différentes techniques. Voilà, je vous en ai mis plusieurs. Il y en a qui consistent simplement à flouter un petit peu, à faire des moyennes, des points autour, en disant que les bruits ont tendance à se compenser. Et ça marche plutôt bien sur les zones unies. Par exemple, le bras ici, on arrive à retrouver une zone bien unie. Mais par contre, ça va flinguer les textures et toutes les plumes deviennent une espèce de galimatia. Ça ne marche pas du tout. Et donc, il y a différentes techniques. Il y en a une qui débrouille un peu moins. Bref, nous, on avait travaillé sur celle-là. On a essayé de trouver un floutage plus ou moins progressif. qui floutent plus dans les zones unies et qui floutent moins dans les zones pas unies pour essayer d'avoir une image la plus proche possible visuellement de celle du début. Mais comment traduire visuellement en mathématiques ? Tout le problème c'est ça. Il va voir que celle-là ou celle-là ou celle-là est mieux visuellement, elle est plus proche de celle du début. Donc là c'est pareil, résoudre ce problème, notre principale difficulté c'est de réussir à définir comment faire pour trouver une fonction mathématique qui va dire que plus sa valeur est faible, plus l'image est proche de là. Et puis après on essaye de la minimiser pour trouver la meilleure image, celle qui donne la plus faible valeur de notre fonction. Donc une fonction qui mesure l'écart visuel entre deux images. C'est très très difficile. Il n'y a pas de solution à ça, absolu. On a plusieurs idées. Bref, allez, maintenant on va partir un petit peu dans les définitions mathématiques du cours. Si on part d'un espace vectoriel E, Comme vous l'avez sans doute déjà vu, on définit la norme d'un vecteur, ce qui correspond à la longueur du vecteur. Alors qu'est-ce que ça veut dire de façon théorique et abstraite ? C'est une fonction qui a tout vecteur associé à un nombre positif et qui doit vérifier les axiomes suivants. Première chose, on veut que si on prend un vecteur et qu'on le multiplie par 2, la longueur soit multipliée par 2, par 3, la longueur soit multipliée par 3. Par n'importe quel nombre réel, je multiplie par lambda, je veux que valeur absolue de lambda sorte de ça. Alors pourquoi valeur absolue de lambda ? Parce que je veux que la norme de x et de moins x, si je retourne, soit la même. Donc évidemment, si je multiplie par moins 1, je veux que ça fasse la même norme. Par moins 2 aussi. Donc le signe du coefficient, je ne la veux pas, donc il faut que ce soit la valeur absolue de lui. D'autre part, je veux que si la norme de x c'est 0, c'est que ce soit le vecteur nul. Ce sera pratique, parce que je ne veux pas que deux vecteurs, enfin, qu'un vecteur, sa longueur c'est 0, forcément c'est que c'est le vecteur nul. Bref, et en plus je veux une égalité triangulaire, c'est-à-dire que cette norme représente bien la plus courte distance entre le départ et l'arrivée du vecteur, entre l'origine et l'extrémité, parce que je veux bien que la norme de x plus y Si je prends deux vecteurs x et y, la norme de x plus y, cette longueur-là, ça doit être plus petit que la somme de la longueur de x et de la longueur de y. C'est important, sinon c'est trois axiomes qui sont raisonnables. Et si je réussis à définir une fonction comme ça, vous devez savoir que dans l'espace de dimension finie il y a plein de façons de faire ça, alors je dis que e muni de cette norme est un espace vectoriel normé. Ça ne casse pas trois pattes à un canard, mais c'est une première définition importante. Et puis donc, si j'ai une norme, je peux définir que deux éléments x et y de E sont proches par rapport à cette norme. Oui, je dirais que x et y sont proches si la norme de x-y est toute petite. Les vecteurs x et y sont relativement proches pour ma norme si la norme de x-y est proche de 0. Donc voilà comment on peut s'en sortir, une façon. Ensuite, le problème c'est que tous les ensembles mathématiques qu'on considère ne sont pas forcément des espaces vecteurs normés. Prenez une figure géométrique dans le plan, un cercle ce n'est pas un espace vectoriel normé. Donc ça peut arriver qu'on considère des ensembles mathématiques qui ne sont pas des espaces vectoriels normés. Alors du coup, qu'est-ce que ça veut dire de définir une distance ? Une distance ça va être de façon plus générale une application qui va de E croix E, donc il y a deux éléments de E associés à un nombre positif, et qui doit vérifier les axiomes suivants. 1, ça doit être symétrique, c'est-à-dire que la distance de x à y doit être égale à la distance de y à x. Ce n'est pas trop demandé, il me semble, c'est normal, il ne faudrait pas que ça... On ne veut pas que la distance, vous voyez, entre les deux, ça dépend de l'ordre dans lequel on les prend. Ensuite, ce qu'on veut, c'est que si la distance de x à y, c'est égale à 0, c'est que x égale y, et puis que distance de x à x soit aussi égale à 0. Là, il faut une équivalence. Je n'avais pas une équivalence sur les normes, parce qu'avec le lambda, si lambda égale 0, j'avais un sens évident. J'avais une norme que vector null est égal à 0, c'était obligé. Là il faut bien que je mette les deux, il faut se méfier. Vous avez déjà vu des exercices, vous verrez dans le cours, il y a un exercice. Bref, où ça c'est important. Ok, donc voilà, c'est 0 si et seulement si x est égal à y. Donc ça permet vraiment de discriminer au moins quand est-ce qu'on est égal, c'est avec la distance au 0. Et puis l'inégalité triangulaire. Donc si je prends x, y et z n'importe comment, il faut que la distance de x à z soit plus petite que la distance de x à y plus la distance de y à z. Si on réussit à faire tout ça, on dit que E muni de cette application D, de cette distance, est un espace métrique. Et donc dans les espaces métriques, on peut définir que les éléments sont proches. Et donc nos espaces vectoriels normés, c'est les cas particuliers d'espaces métriques, il suffit de poser distance de x à y égale norme de x moins y. Alors vérifions tout ça, c'est juste les propriétés de la norme qui permettent de montrer tout ça. En effet, distance de x à y, donc c'est norme de x moins y, mais en multipliant par moins 1 ça ne change pas la norme, donc c'est égal à norme de y moins x, donc c'est bien égal à distance de y à x. D'autre part, si la distance de x à y est 0, c'est-à-dire que norme de x moins y est égale à 0, alors x moins y est égal vecteur nul, donc x égale y. Et dans l'autre sens, si x égale y, norme du vecteur nul c'est le vecteur nul, c'est 0 donc tout va bien. Et puis l'inégalité triangulaire, en fait vous remplacez x moins y plus y moins z, vous utilisez l'inégalité triangulaire des normes, ça donne l'inégalité triangulaire de la distance. C'est fait pour. Et donc voilà, une fois que vous avez une distance, vous pouvez dire ah ben voilà, je peux dire que mes deux éléments de E sont proches si leur distance est petite Pour savoir si des éléments sont proches ou pas, il suffit d'avoir une distance. Ah, est-ce que c'est possible que x et y soient proches pour une distance et éloignées pour une autre ? Est-ce que ça va dépendre de la distance qu'on choisit cette histoire ? Est-ce que c'est intrinsèque que deux éléments sont proches ? Par exemple, sur le plan, deux éléments, ça se voit qu'ils sont proches, ils sont à côté ou pas ? Eh bien, curieusement, Oui, la réponse est oui. Je vous donne un exemple concret. Il y a plusieurs façons de définir une distance entre deux points sur la surface de la Terre. Le premier, ça va être à vol d'oiseau, par exemple, à quelle distance je suis. Là, je vous ai pris un point dans le charmant village des Portes-en-Ré, pas très loin de chez moi. Et puis, la tranche sur mer, à vol d'oiseau, ça doit faire une dizaine de kilomètres. Pas très loin par rapport à la taille de la Terre. Et c'est une distance, la distance à vol d'oiseau, évidemment. Vous pouvez vérifier que ça vérifie tous les axiomes d'une distance. Mais la distance de parcours aussi, disons que le temps de parcours, le nombre de kilomètres à parcourir pour faire le trajet en voiture, en prenant le chemin le plus court par exemple, c'est aussi une distance. Si je définis à chaque fois mon GPS sur le plus court chemin, et je dis tu veux de là à là, le plus court chemin, en voiture ça me donne une distance aussi. Vérifiez, ce sera bien symétrique. Alors, s'il n'y a pas de sens interdit, parce que sinon, c'est pas le même chemin. Mais si je suppose qu'il n'y a pas de sens interdit, ça va bien me faire une distance aussi. Vous pouvez constater en vrai que là, à vol d'oiseau, c'est vraiment pas très loin, alors qu'en voiture c'est très loin. Parce qu'il faut faire un détour invraisemblable, d'accord ? Donc là, il y a une dizaine de kilomètres, et là, peut-être, il y a plus de 100 kilomètres pour le faire en voiture. Donc, ça peut être proche pour une distance et éloigné pour une autre. Ok ? Donc voilà. Donc ça, déjà, c'est la première leçon de la topologie. C'est que ce n'est pas intrinsèque. Le fait que deux points sont proches, ça dépend de la distance sur laquelle on met. Ça dépend de la topologie qu'on va mettre sur notre ensemble. Ce n'est pas les deux points tout seuls, il ne suffit pas à le savoir, en fait. Ok. Allez, maintenant, deuxième partie, parlons un petit peu d'ouvert et de voisinage. Alors, si on prend un espace métrique, on prend un élément dedans et un r positif, bon là en l'occurrence je vais prendre même strictement positif sinon je vais avoir un problème, qui est le rayon de la boule, si vous entendez. Alors la boule ouverte de centre x est de rayon r, notez b et l'ensemble des éléments de e dont la distance avec x est strictement inférieure à r. Donc si r c'est 0 c'est vide, donc ce n'est pas trop marrant. Donc voilà, b de x, r, il faut visualiser ça, je vais faire un petit dessin tout de suite pour bien que vous compreniez. Si je prends dans r, c'est l'ensemble des éléments tels que la distance avec x est plus petite que r. Alors regardez, si je prends dans les réels, la boule de centre x et de rayon r, c'est l'ensemble des nombres réels tels que l'écart avec x est plus petit que r. Donc c'est ceux qui sont mis en rouge ici entre la Et là, ok ? C'est la définition classique en fait, je veux dire, voilà, le boule, c'est ceux qui sont à l'intérieur du cercle si vous préférez, ou de la sphère si on est en dimension plus grande. Et on peut trouver différentes normes, comme je vous l'ai dit, il n'y en a pas qu'une en fait sur l'espace vectoriel. Et donc la première chose qu'on va voir dans le premier chapitre sur l'espace vectoriel normé, c'est que, ben voilà, il existe plusieurs normes, et qui donnent des boules, par exemple, là c'est la boule de centre l'origine et de rayon 1. qui peuvent avoir des formes très différentes, ça c'est pour la norme 1, la norme 2, alors ça c'est la norme 2, c'est la norme classique, vous savez, ça ne doit pas vous surprendre, la boule de rayon 1 c'est le cercle trigonométrique, le bord, tout ça, mais il y a des boules, d'autres, là c'est la norme 10 par exemple, norme infinie, sinon ça fait un carré, comme là, sauf que là c'est un carré à là c'est un carré horizontal vertical. Tout ça, c'est des boules, dans le plan, pour différentes normes. Donc c'est juste pour dire qu'on verra des boules de tailles diverses et variées, avec des formes invraisemblables, on va bien rigoler avec ça. Donc il faut utiliser les axiomes, le dessin, il faut se méfier. Et donc, si dans l'espace métrique, j'ai défini des boules, je vais pouvoir définir la notion d'ouvert. Alors qu'est-ce que c'est qu'un ouvert ? Rassurez-vous, dans le cours je redéfinirai tout ça, mais c'est juste pour voir un petit peu. Alors un ouvert d'un espace métrique, E, c'est un ensemble qui vérifie que pour tout x dans E, si... x est dans l'ouvert, donc pour toute x dans l'ouvert, il existe une boule, en guillemets petites sans doute, de rayon r strictement positif, telle que la boule de centre x et de rayon r est incluse dans l'ouvert O. Alors je vous ai fait un petit dessin, vous prenez un ensemble E, dire que O est ouvert, c'est-à-dire que si je prends x dedans, n'importe où, il existe une petite boule autour de x qui est complètement inclue dans O. Pareil, si j'en prends un autre, là il y a une boule verte qui est inclue, j'en prends un troisième, il y a une boule qui est inclue, quel que soit le point qui est dans O. Au début, il existe une petite boule complètement inclue dans O. On appelle ça un ouvert. Une partie qui vérifie cette propriété-là. Par exemple, les ouverts de R. Je vous laisse réfléchir un petit peu. C'est une partie de R telle que si je prends un point dedans, il existe toujours un petit intervalle ouvert. Une petite boule autour de lui qui est inclue dedans. On peut démontrer assez facilement que ce sont les réunions d'intervalles ouverts, les ouverts de R, pour la distance usuelle, parce que la distance est avec l'écart, le truc habituel. Alors, propriété des ouverts, ce n'est pas très dur à démontrer, mais quand même, si je prends une réunion quelconque d'ouvert, c'est un ouvert. Alors ça, ce n'est vraiment pas très dur, parce que vous voyez bien, si je prends une réunion d'ouvert, je prends un élément qui est dans la réunion et il est dans au moins un des ouverts. Oui. Donc il y a une petite boule qui est inclue dans ce OI là, donc elle est inclue dans la réunion. J'insiste pas, on reverra la preuve de tout ça dans le cours. Si je prends deux ouverts, l'intersection des deux est ouverte. Donc ça c'est deux propriétés là. Par contre l'intersection infinie n'est pas forcément. Je n'insiste pas pour le moment, je vais juste vous dire ça. Les ouverts, c'est stable par réunion quelconque et par intersection finie. Du coup, on peut définir des ouverts complètement abstraits, un peu comme les tribus si vous connaissez, en disant une topologie, c'est un ensemble de parties de E, qu'on va appeler les ouverts, T, c'est inclus dans P de E, des parties comme ça, qui doivent vérifier que l'ensemble vide et E complet sont dedans, donc E c'est toujours des ouverts, vide et E sont toujours des ouverts, et c'est stable par réunion quelconque. Si je prends des OI qui sont dans T, alors l'union des OI est dans T, même si on a une infinité, une union d'ouvert et un ouvert, une intersection de deux ouverts et un ouvert, donc par récurrence une intersection finie d'ouvert et d'un ouvert aussi, et bien à ce moment-là, si ça vérifie ces deux axiomes-là, je dis que j'ai défini une topologie, que mes ensembles sont les ouverts de E pour la topologie T. Donc ça généralise, évidemment dès qu'on a un espace métrique, on a une topologie comme on l'a vu avant. Mais on peut généraliser ça de façon complètement abstraite, comme ça. Donc là, on plane à 15 000, ça s'appelle la topologie générale. On va en parler un petit peu pour la culture, mais ce n'est pas le cœur du programme. Et donc, on peut prendre des exemples complètement extrêmes de topologie pour voir un peu de quoi on parle. Si par exemple, je prends la topologie grossière, ça consiste à prendre juste l'ensemble vide et E. Je ne prends que ça, du coup, la réunion de vide et E, ça fait toujours soit vide, soit E, donc c'est bien dedans. Et l'intersection de deux, vide intersecté avec E c'est vide, E intersecté avec E c'est E, vide intersecté avec vide c'est vide, donc ça ça marche. Pas terrible, il n'y a que deux ouverts, vide et tout E. Ça fait une topologie, qui s'appelle la topologie grossière. Et l'exemple extrême inverse, c'est si je prends tous les éléments, toutes les parties, tout le monde est un ouvert, du coup ça marche aussi, vide et E sont un ouvert, une réunion, toutes les parties sont des ouverts. Même une intersection infinie pour le coup d'ouvert sont des ouverts, parce que toutes les parties sont des ouverts. Donc voilà deux exemples très abstraits, on va se dire bon ok mais alors quel intérêt de faire ça ? On va voir c'est assez rigolo, des contre-exemples à plein de théorèmes grâce à ces deux exemples là. Mais là ça plane à 15 000, on ne voit vraiment pas du tout ce que c'est qu'une topologie. Si on a une distance, on arrive à voir un petit peu, c'est les parties où une petite boule est inclue dedans. Autrement dit, intuitivement un ouvert ça veut dire, si je prends une partie, les éléments qui vérifient Une propriété est un ouvert, ça veut dire que si je prends un élément qui vérifie cette propriété, il y a une petite boule autour, autrement dit, où tout le monde vérifie la propriété. Donc abstraitement, comment je visualise ça ? Moi c'est une propriété, si je modifie un petit peu mon élément, il garde encore cette propriété. Vous voyez ? D'accord ? Donc c'est ça l'idée, c'est que c'est stable par petite modification. Dire que l'ensemble qui vérifie ça est un ouvert. Enfin bon, on aura bien le temps de voir tout ça. Alors, qu'est-ce que c'est qu'un voisinage ? Bah du coup, on dira dans un espace topologique, donc... Un espace métrique c'est un cas particulier bien évidemment. Si on a des ouverts et tout ça, on dit que V est un voisinage de X s'il contient un ouvert qui contient X. V contient O et O contient X. Et l'ensemble du voisinage de X, on l'appelle V. Pour l'instant ça a l'air très abstrait. On aurait pu juste prendre les ouverts qui contiennent X, ça aurait marché aussi bien. Mais pour une raison obscure, les gens ont eu envie de prendre toutes les parties. Si on prend un voisinage, on prend un truc plus gros, ça reste un voisinage de x. Et donc l'idée, dans un espace topologique, quand on n'a même plus de distance, quand on est très abstrait, tous les éléments assez proches de x vérifient quelque chose, on va traduire ça par il existe un voisinage de xv tel que tous les éléments de v vérifient ceci En gros, dire qu'on est assez proche, c'est dire qu'on est dans un voisinage. Ça reste très abstrait, on est bien d'accord. Mais on peut démontrer des choses dans ce cadre complètement abstrait, qui se généralise aux espaces métriques, aux espaces vectoriels normés, etc. Donc en fait, c'est pour faire des preuves des fois plus simples, il n'y a pas besoin de la distance ou de la norme, on peut le faire dans le cadre général, du coup ça marche tout le temps, c'est pour ça que c'est cool et que je vais en parler un petit peu. Ok, alors qu'est-ce qu'on va voir dans ce cours de topo ? Les premiers exemples, donc c'est R, R2, C, R3, les exemples ultra classiques, on va voir des problèmes d'ouvert là-dedans. différentes propriétés topologiques de parties de R, de R2, etc. Ensuite, on va généraliser aux espaces vectoriels normés de dimensions finies. Donc là, ils ont des propriétés sympathiques, les normes sont équivalentes dans un sens que j'expliquerai. Donc il y a des propriétés chouettes. Donc ça peut être, par exemple, les polynômes de degrés plus petits que n, ou ça peut être les matrices carrées à coefficient dans k, où k c'est R ou C, bref, voilà. Et évidemment, après, on regardera des exemples dans les espaces vectoriels de dimensions pas forcément finies. Donc là, les exemples, ça va être par exemple les polynômes, les fonctions continues de a, b dans r, ça peut être les espaces de Lebesgue, L2, 2, r, etc., qui sont des espaces vectoriels normés, tout ça. Et puis ensuite, tout ça, ça s'inclut dans les espaces métriques, donc le programme de licence normalement s'arrête là. Alors qu'est-ce que c'est qu'un espace métrique qui n'est pas un espace vectoriel normé ? Ça peut être par exemple les GLN2K, les matrices inversibles, d'accord ? Ce n'est pas un espace vectoriel. Pourtant, on va regarder les propriétés topologiques de ces matrices inversibles. Ça peut être la sphère SN. Encore une sphère, un cercle, une partie du plan qui n'est pas un espace vectoriel. Et puis ça peut être aussi R ou C ou ces petites choses-là, la R2, R3, avec des distances bizarres. On verra des distances exotiques, un petit peu étranges, qui font des boules bizarres, etc. Et donc qui ne sont pas compatibles, qui ne sont pas des normes. Des distances qui ne sont pas des normes sur R ou C, ça existe aussi. Voilà, et puis tout ça finalement c'est inclus dans les espaces topologiques. Et donc qu'est-ce qu'il y a là-dedans ? Alors on verra, je parlerai un petit peu des exemples, mais c'est plus pour la culture. Je parlais de la topologie de la convergence simple, dont vous avez déjà entendu parler peut-être, topologie de Zareski, pas sûr du tout que vous avez déjà entendu parler, mais c'est... voilà, bref. Donc voilà, ça peut être tout ce qu'il y a avant avec des topologies toutes bizarres, parce que Zareski, par exemple, ça peut être sur R2, mais c'est une topologie très étrange qui ne vient pas d'une distance, etc. Enfin bon bref. Donc voilà, la topologie en gros c'est... Toutes ces petites choses-là qu'on va rencontrer dans notre cours. Alors, partie 3 maintenant, je vais vous expliquer aussi à quoi ça sert d'avoir des éléments proches. C'est pour essayer de dire qu'il y a des éléments qui sont limite d'autres éléments, etc. Donc, on va essayer de traduire la première chose. Qu'est-ce que ça veut dire que une suite converge vers L ? Donc, je prends un élément de E, un espace topologique, donc je suis dans le cadre le plus abstrait, j'ai les ouverts. D'accord ? et je voudrais savoir si je prends L dans E et une suite Un d'élément de E, qu'est-ce que ça veut dire que la limite de Un égale L ? Est-ce que je peux écrire ça ? Alors, si E égale R, il n'y a pas de problème, on sait ça, normalement vous le savez, sinon c'est bien de réviser. On dit que Un tend vers L si pour toute epsilon, il existe un entier tel que pour toute n plus grand que cet entier, l'écart entre Un et L est plus petit qu'epsilon. Ça veut dire que Un est proche de L à epsilon près. Au bout d'un moment, tous les termes de la suite sont proches de L à epsilon près. Pour un plus petit epsilon, au bout d'un moment c'est proche. Quel que soit le epsilon strictement positif, au bout d'un moment un est proche de L. Mais du coup, si j'ai compris ça, je peux le faire dans un espace vectoriel normé, je remplace la valeur absolue de un par norme de un. Vous voyez, ça veut dire, au bout d'un moment, la norme de un est proche de L. Mais du coup je peux le faire aussi avec une distance dans un espace métrique quelconque. Quel que soit epsilon, au bout d'un moment, distance de un est plus petit que epsilon. Vous voyez, ça c'est pas mal parce que si on a bien compris le concept, en fait il suffit de savoir dire que UN et L sont proches pour définir que UN tend vers L. Et maintenant, dans le cadre le plus général, je vous ai dit, dire qu'ils sont proches, c'est-à-dire qu'ils sont dans un voisinage, donc quel que soit le voisinage de L, qui appartient à l'ensemble du voisinage de L, quels que soient les ouverts autour de L, au bout d'un moment, il existe un cran tel que tous les UN sont dans ce voisinage. Donc moralement, ça veut dire qu'on prend des voisinages de plus en plus petits, au bout d'un moment, tous les termes de la suite sont dedans, alors on dira que la suite converge vers L. Donc là, c'est la version la plus abstraite, mais ça permettra quand même de démontrer des petits théorèmes sympathiques, etc. Alors, si on prend deux topologies, il est possible qu'une suite UN converge pour une topologie et pas pour l'autre. C'est comme je l'avais dit. Le fait d'être proche, ça dépend de la distance qu'on choisit. Pareil aussi, il est possible qu'il y ait des topologies pour lesquelles la suite converge vers un truc et vers autre chose. C'est invraisemblable. La suite U-N converge vers L, ça ne dépend pas que des termes de la suite U-N. Ça, c'est le premier exemple, le premier truc qui retourne un peu le cerveau. C'est que ça dépend aussi de la topologie qu'on met dessus. Alors là, je vais prendre des exemples un peu violents pour que vous compreniez bien. Mais si je prends la topologie discrète, il n'y a que deux ouverts. E est vide. Donc les voisinages de L, c'est facile, il n'y a que E. Tous, il y a tout le monde. Donc si je prends un élément dans E quelconque, le seul voisinage qu'il y a c'est tout le monde. Donc pour tous les voisinages de lui, il y a juste E. Est-ce que tous les termes de la suite sont dans ce voisinage au bout d'un moment ? Bah oui, ils sont tous dans E. Donc, ah bah là j'ai pris le contraire, j'ai pris la grossière. Moi je fais l'inverse, si je prends la grossière, donc tout de suite converge vers tous les éléments de E. Je ferai la discrète après, je me suis gouré. C'est parce que je prends un élément L n'importe où dans E, le seul voisinage qu'il a c'est tout E. Donc tous les termes de la suite sont dans ce voisinage oubliemment. Parce que vide n'est pas un voisinage, il faut que le voisinage contienne L. Et maintenant si je prends la topologie discrète, alors là c'est l'inverse, toutes les parties sont des ouvertes. Donc en particulier, x tout seul est un ouvert. Donc le singleton x contient un ouvert qui contient x, et le singleton x contient un ouvert qui contient x. Donc ça c'est un voisinage de x. Donc maintenant si je veux prendre limite L, et bien... c'est un voisinage de L, il faut que tous les termes de la suite soient dans ce voisinage, parce que pour tous les voisinages, ça doit être vrai. Donc si je prends le voisinage juste L, il faut que tous les termes de la suite soient dedans au bout d'un moment, donc il faut que la suite soit constante, égale à L, au bout d'un moment, pour converger vers L. Donc voilà, bon là je vais un petit peu vite, mais ce qu'il faut que vous compreniez bien, c'est qu'on va voir différentes topologies, et le fait qu'une suite UN converge vers L, ça dépend de la topologie qu'on regarde, ça ne dépend pas que des termes de la suite, et c'est ça qui est assez surprenant. Alors par contre, ça peut arriver que deux topologies donnent les mêmes limites de suite, à ce moment-là on dira que les deux topologies sont équivalentes, c'est tout de suite qu'ils convergent vers l'une, s'il y en a une qui converge vers l'autre, automatiquement l'autre converge vers elle, c'est tout de suite, si je change la topologie, ça ne change pas le comportement des suites, on dit que les topologies sont équivalentes. Et on verra par exemple que toutes les normes qu'on peut définir en dimensions finies sont équivalentes et donnent tout le temps les mêmes topologies. Donc des espaces étoiles de dimensions finies, il n'y a pas de problème. Ça ne dépend pas du choix de la norme à la base pour voir qu'une suite u n converge vers L. C'est la partie des choses qu'on va expliquer dans le cours. Ensuite, on va parler de densité. C'est une notion qui est assez sympathique. En gros, ça veut dire qu'il y en a partout. On dit qu'une partie D est dense dans E ou partout dense dans E. C'est seulement si tout ouvert non vide de E contient au moins un élément de D. Je prends une petite boule ouverte, quelque part, n'importe où, ou un petit intervalle ouvert dans R, il y a des éléments dedans. Visuellement, il faut imaginer E comme ça, et dès que je prends une petite boule n'importe où dans E, il y a des éléments de D dedans. Donc il faut visualiser ça comme si quelque chose s'est rempli, il y en a dans tous les coins. Ce ne sont pas forcément tous les éléments de E, mais il y en a vraiment partout qui se battent en duel. C'est comme ça qu'il faut visualiser. Par exemple, Q est dense dans R. Les rationnels, si je prends n'importe quel intervalle ouvert, il y a des rationnels dedans. Donc tout intervalle ouvert contient des rationnels. Pourtant Q n'est pas tout R, mais n'empêche c'est dense. Il y en a partout. on verra que les matrices inversibles sont denses dans l'ensemble des matrices. Quelle que soit une petite boule que je prends autour d'une matrice, il y a des matrices inversibles à proximité. Les fonctions polynomiales, on verra que c'est dense, c'est le théorème de Stone-Weierstrass dans les fonctions continues sur un intervalle fermé comme ça, dans R. On verra que toute fonction est proche d'une fonction polynomial. Ensuite les matrices diagonalisables par exemple, il y en a partout aussi. On verra tous ces exemples-là. Et le truc important qu'il faut bien comprendre, c'est que, on le reverra, si on prend un espace métrique, on prend une partie inclus dans E, dire que D est dense dans E, ça veut dire que tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de D. Autrement dit, toute matrice est limite d'une suite de matrices diagonalisables. Toute fonction continue sur AB dans R est limite d'une fonction polynomiale, même pour la norme infinie, c'est uniformément même. Bref, voilà, c'est ça qu'on va approximer, du coup on a des éléments D qui ont des certaines propriétés, et bien... Dire que D est dense, ça veut dire qu'on peut approximer n'importe quel élément de E aussi proche qu'on veut par des éléments de D. Donc ça c'est une notion qui est vachement utile pour démontrer plein de théorèmes, souvent, vous voyez, typiquement, ça sert à dire Oh là là, cette propriété-là, par exemple, qui de AB égale qui de BA ? Je sais le montrer uniquement si A est inversible, parce que je fais un petit changement de base, machin, mais du coup après je fais par densité, je dis Ah oui, mais c'est continu, donc j'approxime A par des matrices inversibles, et donc, hop là, je dis celle-là plutôt, et du coup j'y arrive, enfin bref. On verra tout ça, très utile la notion de densité. Alors maintenant la notion aussi évidemment essentielle, la continuité. Alors qu'est-ce que ça veut dire si je prends une fonction de t dans u, je voudrais écrire que f est continue. Alors comme d'habitude je vais commencer par ce qu'on connaît déjà, normalement pour les fonctions de r dans r. Dire qu'une fonction de r dans r est continue ça ne veut pas dire qu'on peut dessiner sans lever le crayon, non, ça veut dire en vrai on a des formules, ça veut dire que pour toute x0 la fonction est continue en x0, alors qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que si je prends epsilon. Un petit tube autour de f, il existe un petit écart A ici, tel que si x est proche de x0 A après, donc il est dans ce petit tube là, alors f est dans le petit tube autour de f de taille ε. Si x est proche de x0, alors f est proche de f. C'est ça que ça veut dire. Quel que soit le point f ici, si je suis assez proche de x, alors l'image est proche. de f. Ça que ça veut dire. On ne peut pas avoir des points hyper proches qui donnent des valeurs très éloignées. Une fois que j'ai compris ça, il n'y a plus de problème parce que tout ce que je veux dire là, quand je vais valoir absolute x moins x0 puissance alpha, je veux juste dire que x est proche de x0. Je remplace ça si j'ai une distance sur mon ensemble, distance de x à x0 plus petit qu'alpha. Distance de f à f plus petit qu'epsilon. Ce ne sont pas les mêmes lettres parce qu'a priori, entre l'espace d'arrivée et l'espace de départ, ce n'est pas forcément la même distance que j'ai pris. Si je prends deux espaces métriques avec deux distances, je peux définir très facilement la continuité. Ça peut être des trucs compliqués l'espace métrique, je vous dis ça peut être des sphères, ça peut être des carrés, des machins, ce ne sont pas forcément des espaces vectoriels et tout, il n'y a pas de souci, définir la continuité on sait le faire. Dès qu'on a des espaces métriques ce n'est pas dur. Maintenant si je veux le faire dans un espace topologique, je n'ai même plus mes distances, alors c'est toujours pareil, je tombe dans l'instruction totale, je vais dire voilà j'ai un x0 ici, un f2x0, qu'est-ce que ça veut dire qu'elle est continue ? Ça veut dire que quel que soit le voisinage de f, il existe un voisinage de x0 tel que l'image de tous les points de celui-là se soit dans celui-là. C'est-à-dire que pour tout x dans E, si x est dans U, le petit jaune, son image est, donc là je l'ai mis en vert foncé, il est bien inclus dans V. On traduit le fait d'être proche, c'est être dans un voisinage. Donc quel que soit epsilon, quel que soit le voisinage. Donc là on est bien dans l'abstrait mais on arrive à définir comme ça, dès qu'on a des ouverts sur un truc, la notion de continuité. Et donc il y a un théorème qui est très sympathique, qui dit que, si je vous rappelle la notation, que l'image réciproque d'une partie de f c'est l'ensemble des antécédents des éléments de v, c'est-à-dire que l'ensemble des x tels que f appartient à v, c'est important, c'est pas f est bijectif, c'est pas l'image par f-1, f n'est pas forcément bijectif, on peut toujours définir l'image réciproque d'une partie, vous savez. Et bien du coup on a ce super théorème qui dit que dans deux espaces topologiques, Si je prends une application de E dans F, elle est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert. Donc quel que soit V, un ouvert de F, F-1 de V est un ouvert de E. Alors là, c'est ceux qui ont déjà vu les fonctions mesurables et tout ça, ils disent ah, les fonctions mesurables, c'est l'image réciproque des éléments d'une tribu et dans la tribu, etc. Bon, ben là, c'est la même chose, juste pour les ouverts. On a donc une famille abstraite de parties qu'on appelle les ouverts. Si c'est stable par image réciproque, alors c'est continue. OK ? Voilà, donc on parlera de pourquoi ce n'est pas l'image directe, etc. On t'aidera à tout ça dans le cours. Mais donc, voilà, on a cette jolie caractérisation-là. Et après, on peut l'appliquer à plein de choses, parce que par exemple, si je prends l'ensemble des éléments U, là, ceux qui sont tel que Y est strictement plus grand que X2, la partie au-dessus de la courbe rouge, du coup, c'est un ouvert du plan. C'est facile à démontrer ça, parce que du coup, je prends l'application du plan dans R, qui est Y moins X2. On verra que comme il n'y a qu'une soustraction et une application, c'est une application continue. C'est l'image réciproque des nombres strictement positifs par cette application-là. y-x² strictement positif, ça c'est un intervalle ouvert de R donc c'est un ouvert, l'image réciproque d'un ouvert c'est un ouvert, donc la partie rose ici c'est un ouvert. On peut démontrer des choses comme ça très facilement. Je donne un autre exemple pour bien s'en rendre compte. GLN est un ouvert de MN. On dit que si je prends une matrice inversible, je la modifie un petit peu, ça reste une matrice inversible. Alors pourquoi ? En fait, on prend l'application des matrices dans R qui donne le déterminant. Pareil, si vous savez, la formule du déterminant c'est que des produits et des sommes de produits des termes de la matrice. Il y a des signes à la con mais ça ne change rien. C'est une fonction ponéomiale en l'écoefficient de la matrice. Et donc, c'est continu. On verra ça, les produits, les sommes, ça c'est des applications continues. Donc, l'application est continue. Les matrices inversibles, c'est l'image réciproque de R étoile. Et R étoile c'est une réunion de deux intervalles ouverts, c'est bien un ouvert de R. L'image réciproque d'un ouvert c'est un ouvert. Donc voilà comment on démontre par exemple que les matrices inversibles c'est un ouvert des matrices. Ok ? Voilà le genre d'exo qu'on va faire. Alors maintenant on va parler d'espaces homéomorphes. Alors qu'est-ce que ça veut dire cette histoire-là ? On dit que deux espaces topologiques sont homéomorphes s'il existe un homéomorphisme entre les deux. Alors c'est un peu comme un isomorphisme en algébinaire, etc. Un homéomorphisme, cette fois, ça va être une application qui est continue, qui est bijective. C'est normal, il faut qu'on puisse revenir en arrière. et l'application réciproque f-1 doit être continue aussi. On verra que ce n'est pas automatique. Si on prend une application continue objective, son application réciproque n'est pas toujours continue. Ça, ça a l'air bizarre, parce qu'on se dit, oui, on trace sans enlever le crayon, on fait une symétrie. Bref, il y a des exemples, on verra. Mais donc, on va prendre des applications qui sont continues objectives, et donc, que l'application réciproque soit continue également. Si on arrive à faire ça, on dit que E et F sont homéomorphes. Autrement dit, ça veut dire qu'ils sont pareils pour... La topologie. Lorsque j'ai un homomorphisme, on dit que E et F sont homéomorphes. Et donc, par exemple, mes deux bonhommes sont homéomorphes. Maintenant, je vais vous expliquer un petit peu ce que ça veut dire. La première chose qu'il faut se rendre compte, c'est qu'un homomorphisme, ça ne conserve pas la taille. Parce que si je prends un intervalle 0,1 et je multiplie l'application 0,1 dans AB, qui associe... a fois a moins t plus bt, donc c'est au niveau de la paramétrisation du segment a, b. Bon, ça, ça me fait un homéomorphisme, c'est facile de voir que c'est bijectif, que c'est continu, c'est une fonction affine, que la réciproque aussi est une fonction affine, donc tout ça, voilà. Donc ça ne conserve pas la taille. On peut avoir deux trucs homéomorphes, un tout petit et un très très grand, ça c'est possible. Et ça peut même devenir infini. Si je prends l'application dans 0, 1 ou vert qui a 1 plus infini u, a donne 1 sur u. Elle est objective, elle est continue, son réciproque c'est elle-même, donc elle est aussi continue. Et donc je peux même avoir une partie finie qui est homéomorphe à une partie infinie. Donc vraiment, ça ne garde pas du tout la taille. Maintenant si je prends une application f de a, b dans R continue, par exemple celle-là, si je prends un homéomorphisme, enfin si je prends phi, l'application qui a x ici sur le segment associe le point xf de x, il est facile de démontrer que ça c'est continu, que c'est bijectif, que la réciproque est continue, c'est la projection sur le truc, et du coup j'ai un homéomorphisme entre mon segment et ma courbe. Vous voyez donc ça veut dire qu'un homomorphisme ça ne conserve pas du tout la forme non plus. Des traits qui étaient droits, ça devient des traits courbés, comme ça. Donc ça ne conserve pas la taille, pas la forme. Par contre ça conserve certains trucs. Parce que par exemple si j'ai E qui est là et F qui est là, est-ce que je peux avoir un homomorphisme entre les deux ? Question que je pourrais me poser là, est-ce que je peux trouver une application continue dans F, Calcularisproc et ça ? Et bien non, pourquoi ? Parce qu'un homomorphisme ça conserve le nombre de morceaux. Alors on appelle ça en termes savants les composantes connexes. En fait, ça veut dire le nombre de morceaux. Donc là, j'ai deux composantes connexes, là j'en ai trois. Donc il ne peut pas y avoir de homomorphisme entre les deux. Vous voyez, il y a des propriétés comme ça qui sont conservées quand même. Je vais vous donner un autre exemple. Est-ce que c'est possible d'avoir un homomorphisme entre un cube dans l'espace et un carré dans le plan ? La réponse est non, parce qu'on verra qu'un homomorphisme entre deux conserve la dimension. Autrement dit, si je prends un ouvert de Rn et un ouvert de R puissance p, U et V sont homomorphes, ça implique que n égale p. Je ne suis pas sûr qu'on ira jusque-là dans le cours, mais en tout cas, c'est un résultat qui est un grand classique. Maintenant, on va illustrer ça un petit peu. C'est l'image que tout le monde donne généralement pour dire que deux ensembles topologiquement sont équivalents. C'est-à-dire que si on peut passer de ma tasse à mon donut en faisant des déformations continues, c'est-à-dire un peu comme de la pâte à modeler, où je peux même la grossir. On peut imaginer que je peux la gonfler. La taille ça compte pas. Donc là j'ai pris ma tasse, je grossis le fond jusqu'à temps que ça remplisse tout et après je la déforme, boum, j'obtiens un donut. Et donc le donut et la tasse ils sont homéomorphes. Si on peut faire comme ça une opération sans couper, sans déchirer, juste continuellement déformer un objet en un autre, alors ils sont homéomorphes. Mais attention, la réciproque est fausse. C'est à dire qu'il y a des gens qui sont homéomorphes où je peux pas passer de l'un à l'autre sans déchirer, sans couper. Ça les gens ne le savent pas forcément. Mais ces deux choses là par exemple c'est homéomorphes. Parce que c'est justement ce qu'on appelle un nœud. Ce qu'on appelle un nœud en mathématiques, c'est simplement un truc qui est homéomorphe au cercle. Vous voyez ? Donc là, si je compte, je paramétrise mon petit lacet. Là, je vais bien trouver une application continue de là dans là, telle que la réciproque est continue, etc. Je peux paramétriser ça. Bref, alors que je ne peux pas passer de là à là sans couper. Justement, le nœud trivial, c'est si je peux passer à celui-là sans couper. Là, ce n'est pas le nœud trivial, donc je ne peux pas. et donc il y a toute une classification des noeuds justement pour savoir desquels on peut passer de l'un à l'autre sans couper ok mais en tout cas l'homéomorphisme ça ne suffit pas c'est pour ça qu'on parle d'homotopie en l'occurrence mais là bon ça m'entraînerait trop loin et donc on va faire des devinettes alors ça à votre avis est-ce que c'est homéomorphe alors est-ce que je peux déformer de l'un à l'autre bah oui en fait même s'il y a des angles et tout ça je peux tirer mon ellipse pour en faire un carré c'est homéomorphe donc ça passe alors plus subtile si je prends une boule avec un un trou dedans, une autre boule creuse dedans, ou si je prends une boule avec un cylindre creux. Ça par exemple, est-ce que c'est homomorph ? Eh bien, il y a une propriété qui est conservée par homomorphisme, qui va être vérifiée dans un cas et pas dans l'autre, donc la réponse va être non. Et ce n'est pas très simple à savoir. Cette propriété s'appelle le fait d'être simplement connexe. Alors qu'est-ce que ça veut dire ça ? Eh bien on dit qu'une application est simplement connexe si quand je dessine un lacet dessus, c'est-à-dire que je dessine un petit cercle, un petit rond, un petit chemin qui se referme. Dans mon ensemble, est-ce que je peux le refermer en restant dans l'ensemble ? Si je peux faire ça pour tous les petits lacets que je trace, alors on dit que l'ensemble est simplement connexe. Et là, c'est le cas. Imaginez que vous faites un petit chemin, même qui entoure la boule ici, vous le décalez, vous pouvez le resserrer. Alors que là, si vous faites un petit chemin qui encadre le cylindre, vous resserrez jusqu'à temps qu'il touche le cylindre, et vous ne pouvez pas le resserrer complètement. Il ne pourra pas disparaître. Donc cette partie-là est simplement connexe, pas celle-là. Donc ils ne sont pas homéomorphes. Des petites choses comme ça rigolotes, par exemple maintenant si je prends la boule pleine et juste la sphère, le bord. Alors là, les deux sont connexes en un seul morceau, les deux sont simplement connexes, si je prends un lacet sur la boule je peux le rétracter, mais un lacet sur la sphère aussi ! Vous tracez un lacet n'importe comment sur la sphère, vous montez en haut, vous le rétractez. Donc là c'est pas si clair. Et en fait il y a une autre propriété qui prouve qu'ils ne sont pas homéomorphes, c'est le fait que celle-là soit contractile, c'est-à-dire que je peux, en restant dans la boule, trouver une application qui permet de passer de tous les points, continuement, à zéro. en restant dedans, alors que là, la sphère, je ne peux pas. Je ne peux pas la rétracter en restant dedans. Si j'enlève juste le pôle Nord, je peux. J'enlève un point, comme un ballon, et j'enlève un point, je peux le rétracter. Si j'enlève juste un point, la sphère, alors là, je peux la rétracter sur elle-même pour arriver au pôle Sud, mais telle qu'elle est là, je ne peux pas. Donc celle-là n'est pas contractile, celle-là est contractile, donc ils ne sont pas homéomorphes. Donc voilà, c'est assez rigolo, il y a plein de propriétés comme ça, stables par homéomorphisme. Je vais vous en donner une autre, c'est le nombre de trous. Ça s'appelle le genre en termes scientifiques, mais... Voilà, celle-là elle est de genre 2, elle a deux trous, celle-là elle est de genre 3, et bien ils ne sont pas homéomorphes. Ok ? Donc voilà. Voilà des petits exemples de trucs comme ça, donc dans le cours on verra, on s'amusera, on va voir quelles sont les lettres de l'alphabet qui sont homéomorphes ou pas, enfin bref, il y a plein de trucs rigolos à faire. Ensuite, alors là c'est pas dans le cours, mais je vais juste vous expliquer un théorème classique de topologie qui a été démontré par Perelman dans les années 2000, c'est le premier problème du millénaire qui a été résolu. Donc, On prend une variété de dimension 1. Alors qu'est-ce que c'est qu'une variété ? Je ne vais pas en parler dans le cours de topo, parce que ça c'est vraiment au-delà du niveau de licence, mais c'est pour vous montrer un petit peu des théorèmes connus en topologie, qu'on fait les gros titres. Alors une variété, il faut bien comprendre, ça veut dire qu'un espace, un ensemble, dans lequel localement, c'est comme si j'étais dans un espace vectoriel de dimension 1. Si je regarde de très très près, je ne vois pas l'écart. Donc on a une courbe comme ça, je regarde de très très près, je ne vais pas pouvoir la distinguer de sa tangente. C'est ça l'idée, c'est que localement s'il y a une fourmi minuscule qui se blatte dessus, pas forcément se rendre compte si elle est en ligne droite ou pas. Donc voilà, ça c'est des variétés de dimension 1. Localement, si je coupe, là c'est homéomorphe en fait, un petit morceau est homéomorphe à un segment. Parce que la forme ne compte pas, donc je prends un petit bout, je cloque, c'est homéomorphe à un segment. Alors ça, ça n'en est pas une. Pourquoi ? Parce que là au point d'intersection, j'ai pas d'homéomorphisme avec un segment. Pourquoi ? Parce que si j'enlève ce point-là, j'ai 4 morceaux, et un segment, j'enlève un point, j'ai que 2 morceaux. Il y a des arguments pour dire que ça, ce n'est pas une variété de dimension 1. Au niveau du croisement, je vois tout à fait que je ne suis pas sur un segment. J'ai plusieurs choix pour partir. Ça, c'est une variété de dimension 1 à bord. Ça, c'est une variété de dimension 1 sans bord. C'est comme, est-ce que je m'arrête à un moment ou pas ? On peut faire la même chose avec des variétés de dimension 2. Par exemple, la sphère, c'est... C'est une variété de dimension 2, on a l'impression que c'est un plan localement. C'est pour ça qu'il y a des gens qui pensent peut-être que la Terre est plate, parce qu'à notre échelle, la Terre a l'air à peu près plate. Alors, un torse, c'est pareil. Si on se met très très près dessus, imaginez un torse gigantesque, on ne verrait pas si c'est un plan ou pas plat. Quand on se balade dessus, on est vraiment microscopique. Et donc localement, c'est pareil, c'est homéomorphe à un plan. Un ruban de Mobius aussi, pareil. Donc voilà, il y a plein de variétés. Alors celle-là elle a des bords, si on marche dans cette direction-là, au bout d'un moment ça s'arrête. Celle-là n'a pas de bord, on marche dans n'importe quelle direction jusqu'à l'infini, on va revenir peut-être à notre point de départ, mais on ne va jamais s'arrêter. Donc voilà. Et puis voilà un exemple de dimension de variété de dimension 3, un bord. Donc ça ressemble à un espace, si je suis là, donc si je ne suis pas sur le bord, je vois localement, c'est pareil, que l'espace de dimension 3. Et donc le théorème de Perelman qu'il a démontré en... Deux, presque 100 ans après qu'il ait été énoncé par Poincaré, la question était, est-ce que si je prends dans un espace de dimension 4, donc on a du mal à voir, une variété de dimension 3 qui n'a pas de bord, compacte, je n'ai pas dit ce que ça voulait dire, mais ça veut dire qu'elle est bornée, qu'elle ne va pas à l'infini. Donc une variété de dimension 3, localement ça ressemble à un espace de dimension 3, compacte, donc bornée, disons, simplement connexe, simplement connexe veut dire que tous les lacets on peut les rétracter. Alors elle est forcément homéomorphe, à la sphère de dimension 3. On appelle hypersphère parce que c'est une dimension 4. Autrement dit, notre question c'était, on sait que la sphère de dimension 3 dans l'espace de dimension 4, elle a ces propriétés là. Elle n'a pas de bord, elle est compacte, elle est bornée, elle est simplement connexe, on peut résoudre les essais. Mais est-ce qu'il y a d'autres ? Est-ce qu'il y avait d'autres ensembles qui avaient toutes ces propriétés là qui n'étaient pas des sphères ? On a des sphères exotiques, des trucs bizarres, qui avaient fait toutes les propriétés d'une sphère mais sans en être. Eh bien non ! Voilà, c'était la conjecture de Poincaré, c'est qui en avait pas, et Perelman l'a démontré donc il y a maintenant 20 ans. Toute variété de dimension 3 sans bord compact simplement connexe est forcément homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. Donc voilà un superbe théorème de topologie dont je voulais quand même vous parler, même si évidemment je n'évoquerai pas ça pendant mon cours. Allez, dernière partie, je vais vous montrer comment la topologie permet de généraliser des grands théorèmes classiques que vous connaissez. Et on va commencer tout d'abord par le théorème des valeurs intermédiaires. Donc là j'ai une vidéo entière des dédié à ce théorème là, donc si vous voulez en savoir plus, n'hésitez pas. Alors, le théorème de valeur intermédiaire, qu'est-ce qu'il dit ? Il dit voilà, si je prends une fonction de un intervalle important, la notion d'intervalle réel dans R, f de I dans R qui est continue, et bien alors si je prends A et B n'importe où dans I, et que je prends une valeur là qui est Y comprise entre f de A et f de B, Alors, il existe un antécédent de cette valeur. Si je prends la valeur f, je suis continu, je prends la valeur f, j'ai pris toutes les valeurs entre f et f. J'ai pris toutes les valeurs intermédiaires entre f et f. Quel que soit le y là, il existe au moins un antécédent x qui me donne cette valeur. Il peut y en avoir plusieurs, regardez, si je prends cette valeur là, il y aura plusieurs x qui donnent la même valeur, mais il y en a au moins une. Alors, comment généraliser ce truc là à d'autres ensembles que R ? C'est ça la question, des ensembles topologiques même, même pas d'espaces métriques. Ohlalalala, on va voir que c'est possible, c'est invraisemblable. Je traduis mon énoncé d'une autre façon, si je prends a et b n'importe où dans i, f, il est inclus dans l'image de a, b. L'image de a, b ça déborde, donc c'est bien inclus, ça va plus haut que f. Mais tous les éléments de f de a de f de b sont bien des images des éléments de a b. Ok, alors comment je peux dire ça autrement ? Donc ce que je viens de dire là, si je fixe a et b dans i, quel que soit y z appartenant à f de a b, il existe u et v tels que f de u égal y et f de v égal z. Ça on l'a vu. Et donc le segment y z qui est égal à f de u et f de v, il est inclus dans f de u v et il est inclus dans f de a b. Donc voilà, tous les segments sont inclus dedans. Bon, donc f c'est un intervalle. Si je prends deux éléments y et z qui sont dans l'image de a, b, alors toutes les valeurs entre les deux sont dans f. Donc f est un intervalle. C'est ça qu'il faut le trouver, c'est une histoire de convexité si vous préférez. Je prends deux éléments qui sont dedans, donc finalement, dans mon vertical, dans f je prends deux éléments qui sont dedans, il y a les valeurs intermédiaires donc le segment inclus. est dedans. Une autre façon de dire le TVI, la version 2, c'est que si je prends i, un intervalle réel et une application f de i dans R, l'image de tout intervalle est un intervalle. C'est équivalent. Dire ça, c'est exactement dire ça. Je prends un intervalle au départ, je prends son image, c'est un intervalle. Autrement dit, si je prends deux points dedans, tout l'intervalle est inclus dedans. Je prends mon énoncé qui est comme ça. On admet que les parties connexes de R, donc les parties où il y a un seul morceau, un moralement de R, c'est les intervalles. Donc il y a une définition plus générale qui marche même dans l'espace topologique quelconque, d'une notion de fonction de connexe, et dans R, les connexes sont les intervalles. Et du coup, mon théorème des franques fonctions de R dans R, l'image de l'intervalle et l'intervalle, je peux le généraliser maintenant de façon complètement dingue. Donc, vous voyez, c'est même... 0, 0 c'est un connexe, c'est un intervalle de taille 0, 1, 2 c'est en un seul morceau, 3, bref. Toutes les parties ont un seul morceau, c'est forcément les intervalles. Je peux généraliser, si je prends deux espaces topologiques quelconques, si j'ai défini ce que c'est qu'un connexe, ce qui généralise la notion d'intervalle, je prends une application continue, je dirais théorème de valeurs intermédiaires version 3, pour toute partie connexe de l'espace de départ, f2c est une partie connexe de l'espace d'arrivée. Donc ça c'est hyper abstrait, on ne sait pas encore ce que ça veut dire connexe, mais en gros ça veut dire un seul morceau. Mais si l'image d'une partie qui est en un seul morceau est encore en un seul morceau si l'application est continue ? Et bien ça, c'est une généralisation monstrueuse du théorème des valeurs intermédiaires. Ça marche pour les espaces vectoriels normés, pour les espaces métriques, même pour les espaces topologiques quelconques. Vous voyez ? Et c'est pas très dur à démontrer en plus, on le verra. Donc c'est ça qui est une puissance du truc assez sympa. Et puis on comprend bien l'essence. C'est limite plus facile à démontrer ça que de démontrer juste le premier théorème des valeurs intermédiaires. C'est ça qui est surprenant, on part dans le conceptuel, dans l'abstrait, et en fait ça on verra qu'avec les bonnes définitions c'est relativement simple. Incroyable. Bon enfin, alors un autre théorème classique, théorème des bornes atteintes, que vous connaissez, qui dit que si je prends une application de A B fermée dans R qui est continue, alors F est bornée et elle atteint ses bornes. Théorème de première année de licence, qui est bien utile. Et du coup si on appelle M. L'inf des valeurs de f et M le sub des valeurs de f, ça se reformule en disant que l'image de mon segment AB c'est exactement mm. C'est inclus là-dedans et c'est atteint. Et comme elle est continue, l'image d'un intervalle c'est un intervalle, donc si elle atteint M et M avec point toutes les valeurs entre les deux, c'est exactement dire que l'image de ça c'est ce truc-là. Pareil, on a vu tout à l'heure que tous les intervalles c'était les parties connexes de R, les intervalles fermés et bornés, on dira que ça c'est les compacts de R. On définit la notion de compact de façon très générale. Dans R, les compacts, c'est les intervalles comme ça, fermés, bornés. Et du coup, mon théorème dit que l'image des compacts est un compact, et donc je peux complètement le généraliser. Tiens, si on prend deux espaces topologiques, une application continue transforme un compact en un compact. Quel que soit K, compact dans E, f est un compact de f. Voilà une autre façon de généraliser ce théorème-là, et on verra, ce n'est pas très dur à démontrer non plus, et ça généralise de façon énorme ce petit théorème. Allez, un dernier pour la route ! Vous devez savoir, normalement en tout cas, parce que je sais que le... Il n'y a pas longtemps des élèves ont un petit peu garé pour le démontrer. Si on prend une application continue de AB dans AB, c'est important que ce soit les mêmes valeurs là et là, alors il existe un point fixe pour f. Ça se démontre avec le théorème des valeurs intermédiaires en faisant f en vrai. Donc voilà, il existe un point fixe pour f. On peut complètement généraliser ça par exemple, c'est le théorème de Brewer qui date de 1912. Je ne vais pas le faire dans mon cours, mais c'est pour vous illustrer le genre de généralisation qu'on a. Si on prend un espace euclidien, donc un espace vectoriel de dimension finie, on a sur R, et B une boule fermée, c'est l'équivalent de ça, ça c'est une boule fermée, si je prends le milieu A plus B sur 2, le rayon B moins A sur 2, la demi-distance, ça c'est une boule fermée, et bien je prends une application continue de la boule fermée dans la même boule fermée, alors il existe un point de vue pour f, il existe un x dans B tel que f de x égale x. Voilà une généralisation complète de ce superbe théorème, qui est bien plus dur à démontrer mais qui est quand même vachement sympathique. Enfin voilà ! Eh bien, ah bah tiens, j'avais mis la preuve là, je vous avais dit, on prend le théorème de la valeur intermédiaire avec f de x moins x, et donc c'est facile de le démontrer. Je me suis planté dans l'animation, désolé, c'est pas grave. Voilà, et bien c'est tout pour cette petite vidéo, j'espère que vous avez vu tout ce que vous vouliez savoir, donc j'espère que ça va vous motiver à regarder la suite surtout, parce qu'on va maintenant détailler toutes ces choses-là, on va voir plein de vidéos sur la notion de distance, sur la notion de normes. sur les ouverts, sur les fermés, dont je n'ai pas parlé aujourd'hui, sur les complémentaires des ouverts, donc on va voir ce que c'est qu'une partie connexe, une partie compacte, une partie complète, enfin bref, on a plein de beaux de choses, l'intérieur, l'adhérence, on a plein de notions super sympathiques à voir, plein de jolis théorèmes à démontrer, et donc je vous dis à bientôt pour découvrir tout ça ensemble. Et j'en profite pour remercier un petit bonus pour les tipeurs et pour ceux qui sont restés jusqu'au bout, donc voilà, merci à tous ces gens-là qui m'ont soutenu financièrement sur Tipeee, C'est super sympa, même quand je le répète tout le temps, j'en ai pas besoin pour vivre, mais franchement ça fait de l'argent de poche qui est hyper agréable à utiliser pour me payer des bières ou autre chose. Donc merci encore infiniment à vous, c'est super. Je sais que cette vidéo vous me l'avez demandé il y a hyper longtemps, j'ai commencé à travailler sur les premières diapos en 2020 je pense, donc c'était pendant le Covid, et il a fallu beaucoup de temps pour maturer tout ça. J'ai obtenu le cours avec les L3 de Topo, donc ça m'a aussi remotivé pour le refaire, pour le... enfin bref. Donc voilà, il y a plus de 500 diapos qui sont déjà faites, là on a vu les 40 premières, donc ça va être long, ça va être machin, mais j'ai essayé de bien détailler, de mettre plein d'exemples pour essayer de faire comprendre intuitivement tout ça, donc là j'ai survolé, on peut dire oh là là, il va trop vite et tout, c'est pour vous donner une petite image de ce qui vous attend en gros, mais on va voir tout ça dans le détail, j'espère de façon la plus didactique, je vais mettre des exercices à faire aussi, d'accord, qu'il faudra avec des corrections d'exercices qui suivront plus tard pour vous inciter, parce que c'est comme ça qu'on apprend, c'est en cherchant les exos, donc voilà, j'ai essayé de faire en sorte que ce cours... topo ce soit un petit peu mieux que ce que je fais d'habitude soit un petit peu plus permettent un peu mieux d'apprendre les choses bon moi j'espère vous me direz ce qu'il en est ou pas j'espère que ça a marché en tout cas moi j'essaye des trucs voilà et donc armez vous de courage c'est un sujet qui est important qui sert dans les à la grecque ce genre de choses évidemment pour la licence pour le cap s c'est vrai que ça sert pas forcément énormément mais les raisonnements sont hyper important c'est à dire les raisonnements théorie des ensembles la logique les raisonnements à plus qu'une étape et ça Ça, c'est des compétences essentielles, même pour le CAPES. Et donc, je pense qu'étudier ce sujet, de toute façon, c'est utile pour tout le monde, enfin, tous ceux qui veulent faire des maths. Enfin bref, allez, sur ce, je vous remercie d'être arrivé jusque là, parce que mine de rien, ça doit faire au moins une heure. Et puis, je vous dis à bientôt pour la suite.

Donc là on va voir des notions de mathématiques, évidemment, comme d'à chaque fois, mais aussi on va un petit peu parler de culture pour voir un peu tout ce qu'on va pouvoir démontrer, et même un petit peu au-delà, quel est le but de cette matière, de topologie en mathématiques. Voilà, donc topologie, à quoi ça sert. Commençons tout de suite, donc... La topologie va servir à mesurer la proximité entre des éléments d'un ensemble mathématique.

On va essayer de définir ce que sont des éléments, qu'est-ce qui sont proches ou éloignés, comment on peut faire. Une fois qu'on aura ça, on va dire à ceux qui sont proches, c'est les voisins d'une certaine façon d'un élément, c'est ceux qui lui sont proches, on va pouvoir définir ce que c'est qu'un voisinage. Une fois qu'on aura des voisinages, on pourra définir des limites, et donc on pourra voir comment approximer certains objets par des objets plus simples, etc.

Et puis on pourra aussi généraliser la notion de continuité, parce que comme vous le savez, une fonction continue, en gros, ça veut dire qu'une fonction, c'est que si les éléments sont assez proches au début, alors à l'arrivée ça reste proche. Ce ne sont pas des trucs explosifs, il n'y a pas de rupture, on ne peut pas avoir deux trucs très très proches qui donnent des résultats très différents. Du coup, pour pouvoir définir la continuité, il faut savoir ce que c'est que des choses proches, donc tout ça c'est relié. Et puis ensuite, on verra que ça nous permet aussi de classifier certains ensembles, qui sont équivalents du point de vue topologique, qu'est-ce que ça veut dire.

Donc voilà, on peut les déformer d'une façon ou d'une autre, on va parler un petit peu de tout ça. Et puis finalement, ça nous permet de généraliser des grands théorèmes qu'on a vus pour les fonctions de R dans R, on va voir en fait qu'on peut généraliser ça à des ensembles beaucoup plus abstraits, beaucoup plus grands, et pour trouver plein de résultats très intéressants. Donc voilà, en gros la topologie ça sert à tout ça, et je vais détailler maintenant toutes ces petites choses-là. Alors, première chose, donc ça sert à définir la notion de proximité.

Alors qu'est-ce que je veux dire par là ? Commençons par un exemple simple, imaginez que vous avez cette équation à résoudre, cos x égale x dans R, donc voilà je trace y égale x, je trace y égale cos x, boom, donc c'est l'abscisse du point d'intersection ici. Alors on peut essayer de résoudre, on est vite démuni parce que si je fais arc cosinus de chaque côté, je trouve x égale arc cosinus x, je ne suis pas bien avancé, donc on ne voit pas bien comment résoudre, et puis en fait on peut démontrer qu'il n'y a pas de solution, il n'y a pas de solution exacte à cette équation, d'accord ?

Donc elle admet bien une unique solution x0, on la voit bien, mais on voit que x0 c'est un petit peu avant 1, vers… 0,7, 0,8, mais on peut démontrer que ça, il n'y a pas de solution qui s'exprime avec nos notations habituelles, racine carrée, exponentielle, log, cos, machin, bref. Donc, du coup, on ne peut pas l'écrire de façon exacte. Mais ce n'est pas pour ça qu'on ne peut pas rien savoir dessus. On peut prendre un petit ordinateur, on peut faire des petits calculs d'approximation, justement, et puis, vous voyez, essayer plus, moins, tout ça, ce n'est pas très dur.

on remplace par une valeur cos c'est positif donc c'est avant, cos c'est négatif donc c'est après. Donc on peut facilement trouver que notre solution est entre 0.738 et 0.740 et donc l'écart entre x0 et 0.739 est plus petit que 1 millième parce qu'on écrit ça comme ça, d'accord ? Et du coup quand on a trouvé comme ça, c'est l'écart entre x0 et cette valeur c'est plus petit que 1 millième, on dit que 0.739 est une valeur approchée de x0 à 0.01 près. Donc ça j'imagine que vous le saviez déjà. Donc deux nombres sont proches, ça veut dire que leur écart est petit.

Donc dans R, deux réels a et b sont proches si la valeur absolue de a-b est petit. Pourquoi je mets la valeur absolue ? Parce que c'est juste pour que ce soit tout le temps positif. C'est l'écart entre les deux. C'est la distance que vous préférez entre les deux points correspondant à l'abscisse a et l'abscisse b sur la droite.

Quelle est la distance entre les deux ? Une distance ça va toujours être positif, donc on prend la valeur absolue entre les deux. Ok ?

Donc voilà. Jusque là tout va bien, on voit que c'est facile. Alors prenons maintenant une fonction. Alors une fonction, j'ai pris par exemple cette équation différentielle là, alors elle ne sort pas de nulle part, c'est l'équation que vérifie l'angle d'un fil sur lequel il y a suspendu un pendule, au cours du temps, dans un champ de gravité constant. Ce qui est le cas par exemple sur Terre, on peut approximer que le champ de gravitationnel est constant, et à l'échelle de la taille du pendule, ça c'est sûr que c'est bon.

Et puis voilà, on lâche un pendule et on a cette équation différentielle-là. Et bien, celle-là, on ne sait pas la résoudre. Alors souvent, quand on est en cours de physique, on approxime et on dit Oui, alors, si l'angle est petit, sinus y, c'est à peu près y, et boum, on trouve des formules qu'on arrive à faire.

Mais en vrai, c'est ça, et ça, on peut démontrer que ça, il n'y a pas de possibilité, étant donné une condition initiale, un angle de départ et une vitesse de lâcher, on ne peut pas trouver une solution, enfin, il y a une solution évidemment, mais... Elle n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles. On ne peut pas l'exprimer avec des cos, des log, des exponentielles, des machins, enfin bref. D'accord ?

Voilà. De nouveau, c'est une fonction qu'on ne peut pas exprimer. Ok ?

Donc, on va dire, c'est pas grave, on va essayer de trouver une solution, une fonction approchée. Mais du coup, qu'est-ce que ça veut dire que deux fonctions sont proches ? Vous voyez, là, ça commence à se poser une vraie question. Donc, pour illustrer ça, je vous ai dessiné, voilà, la fonction solution, d'accord ?

Donc, avec l'ordinateur, point par point, on arrive à tracer les valeurs de mon angle en fonction du temps. Ok ? Donc, jusque-là...

pas de problème. Et je me dis tiens, j'essaie de trouver une sinusoïde parce que ça ressemble quand même à une sinusoïde. Quand on regarde ça de loin, on se dit oui c'est une sinusoïde.

Alors j'ai cherché la sinusoïde la plus proche, qui passe par les sommets, par les points d'intersection ici, et je vois qu'il y a des petits écarts par-ci par-là. C'est une fonction qui est relativement proche, mais qui ne colle pas quand même parfaitement avec ma solution. Une autre façon de trouver une fonction proche de la rouge, c'est de dire tiens, je vais prendre...

Des fonctions affines par morceaux. J'ai pris des petits morceaux de droite, des segments à chaque fois, j'essaye d'approcher au mieux ma fonction par des petits morceaux de droite. Alors, laquelle est la plus proche de la fonction rouge ? Est-ce que c'est la bleue ou la noire ?

D'un certain point de vue, si je regarde juste les valeurs point par point, la bleue est la plus proche. Ça recouvre quasiment la rouge. Il y a des petits écarts par-ci par-là, mais presque pas.

Donc on pourrait se dire que la bleue est bien plus proche de la rouge que la noire, puisque ponctuellement elle l'est. Mais inversement, si je regarde maintenant les propriétés mathématiques, la rouge était lisse, elle était assez infinie, elle était dérivable en tous points, elle mettait des tangentes en tous points, la bleue pas du tout. Donc au niveau des propriétés analytiques, la bleue est beaucoup plus éloignée de la rouge que la noire. Donc suivant le point de vue qu'on veut utiliser, ce n'est pas clair qu'il faille prendre la bleue ou la noire pour approximer notre fonction.

Donc voilà, il y a vraiment un problème. Il faut définir. Donc voilà, c'est tout. Il va falloir trouver quelque chose pour définir ce que c'est que des fonctions proches, ce n'est pas si évident que ça.

Un autre exemple pour illustrer ça, c'est de déterminer si une image est proche. Alors, c'est un problème sur lequel j'ai travaillé il y a quelques années, on a une image et il y a du bruit, donc il y a des perturbations qu'on suppose aléatoires qui se mettent par-dessus et on veut les enlever. Alors dans la vraie vie, ça arrive par exemple si on fait une IRM, une image médicale, c'est quoi le bruit ? C'est simplement le fait qu'il faut traverser de la peau et d'autres organes. Avant de récupérer l'image, ça va modifier le cliché du foie qu'on veut faire.

On va traverser de la peau, de l'eau, des vaisseaux sanguins, etc. En plus, avec du sang qui circule dedans au moment où on prend la photo. Donc ça va modifier l'image.

Curieusement, les gens n'ont pas envie qu'on leur enlève leur foie pour faire la photo pour le remettre après. C'est bizarre. On aurait des bien meilleures photos du foie.

Mais bon, on sait comme ça. On a des images bruitées et on veut essayer de revenir à l'image initiale, d'enlever ce bruit. Donc il y a différentes techniques. Voilà, je vous en ai mis plusieurs. Il y en a qui consistent simplement à flouter un petit peu, à faire des moyennes, des points autour, en disant que les bruits ont tendance à se compenser.

Et ça marche plutôt bien sur les zones unies. Par exemple, le bras ici, on arrive à retrouver une zone bien unie. Mais par contre, ça va flinguer les textures et toutes les plumes deviennent une espèce de galimatia. Ça ne marche pas du tout. Et donc, il y a différentes techniques.

Il y en a une qui débrouille un peu moins. Bref, nous, on avait travaillé sur celle-là. On a essayé de trouver un floutage plus ou moins progressif. qui floutent plus dans les zones unies et qui floutent moins dans les zones pas unies pour essayer d'avoir une image la plus proche possible visuellement de celle du début.

Mais comment traduire visuellement en mathématiques ? Tout le problème c'est ça. Il va voir que celle-là ou celle-là ou celle-là est mieux visuellement, elle est plus proche de celle du début.

Donc là c'est pareil, résoudre ce problème, notre principale difficulté c'est de réussir à définir comment faire pour trouver une fonction mathématique qui va dire que plus sa valeur est faible, plus l'image est proche de là. Et puis après on essaye de la minimiser pour trouver la meilleure image, celle qui donne la plus faible valeur de notre fonction. Donc une fonction qui mesure l'écart visuel entre deux images.

C'est très très difficile. Il n'y a pas de solution à ça, absolu. On a plusieurs idées. Bref, allez, maintenant on va partir un petit peu dans les définitions mathématiques du cours. Si on part d'un espace vectoriel E, Comme vous l'avez sans doute déjà vu, on définit la norme d'un vecteur, ce qui correspond à la longueur du vecteur.

Alors qu'est-ce que ça veut dire de façon théorique et abstraite ? C'est une fonction qui a tout vecteur associé à un nombre positif et qui doit vérifier les axiomes suivants. Première chose, on veut que si on prend un vecteur et qu'on le multiplie par 2, la longueur soit multipliée par 2, par 3, la longueur soit multipliée par 3. Par n'importe quel nombre réel, je multiplie par lambda, je veux que valeur absolue de lambda sorte de ça. Alors pourquoi valeur absolue de lambda ? Parce que je veux que la norme de x et de moins x, si je retourne, soit la même.

Donc évidemment, si je multiplie par moins 1, je veux que ça fasse la même norme. Par moins 2 aussi. Donc le signe du coefficient, je ne la veux pas, donc il faut que ce soit la valeur absolue de lui. D'autre part, je veux que si la norme de x c'est 0, c'est que ce soit le vecteur nul. Ce sera pratique, parce que je ne veux pas que deux vecteurs, enfin, qu'un vecteur, sa longueur c'est 0, forcément c'est que c'est le vecteur nul.

Bref, et en plus je veux une égalité triangulaire, c'est-à-dire que cette norme représente bien la plus courte distance entre le départ et l'arrivée du vecteur, entre l'origine et l'extrémité, parce que je veux bien que la norme de x plus y Si je prends deux vecteurs x et y, la norme de x plus y, cette longueur-là, ça doit être plus petit que la somme de la longueur de x et de la longueur de y. C'est important, sinon c'est trois axiomes qui sont raisonnables. Et si je réussis à définir une fonction comme ça, vous devez savoir que dans l'espace de dimension finie il y a plein de façons de faire ça, alors je dis que e muni de cette norme est un espace vectoriel normé. Ça ne casse pas trois pattes à un canard, mais c'est une première définition importante.

Et puis donc, si j'ai une norme, je peux définir que deux éléments x et y de E sont proches par rapport à cette norme. Oui, je dirais que x et y sont proches si la norme de x-y est toute petite. Les vecteurs x et y sont relativement proches pour ma norme si la norme de x-y est proche de 0. Donc voilà comment on peut s'en sortir, une façon. Ensuite, le problème c'est que tous les ensembles mathématiques qu'on considère ne sont pas forcément des espaces vecteurs normés.

Prenez une figure géométrique dans le plan, un cercle ce n'est pas un espace vectoriel normé. Donc ça peut arriver qu'on considère des ensembles mathématiques qui ne sont pas des espaces vectoriels normés. Alors du coup, qu'est-ce que ça veut dire de définir une distance ?

Une distance ça va être de façon plus générale une application qui va de E croix E, donc il y a deux éléments de E associés à un nombre positif, et qui doit vérifier les axiomes suivants. 1, ça doit être symétrique, c'est-à-dire que la distance de x à y doit être égale à la distance de y à x. Ce n'est pas trop demandé, il me semble, c'est normal, il ne faudrait pas que ça... On ne veut pas que la distance, vous voyez, entre les deux, ça dépend de l'ordre dans lequel on les prend. Ensuite, ce qu'on veut, c'est que si la distance de x à y, c'est égale à 0, c'est que x égale y, et puis que distance de x à x soit aussi égale à 0. Là, il faut une équivalence.

Je n'avais pas une équivalence sur les normes, parce qu'avec le lambda, si lambda égale 0, j'avais un sens évident. J'avais une norme que vector null est égal à 0, c'était obligé. Là il faut bien que je mette les deux, il faut se méfier.

Vous avez déjà vu des exercices, vous verrez dans le cours, il y a un exercice. Bref, où ça c'est important. Ok, donc voilà, c'est 0 si et seulement si x est égal à y.

Donc ça permet vraiment de discriminer au moins quand est-ce qu'on est égal, c'est avec la distance au 0. Et puis l'inégalité triangulaire. Donc si je prends x, y et z n'importe comment, il faut que la distance de x à z soit plus petite que la distance de x à y plus la distance de y à z. Si on réussit à faire tout ça, on dit que E muni de cette application D, de cette distance, est un espace métrique. Et donc dans les espaces métriques, on peut définir que les éléments sont proches. Et donc nos espaces vectoriels normés, c'est les cas particuliers d'espaces métriques, il suffit de poser distance de x à y égale norme de x moins y.

Alors vérifions tout ça, c'est juste les propriétés de la norme qui permettent de montrer tout ça. En effet, distance de x à y, donc c'est norme de x moins y, mais en multipliant par moins 1 ça ne change pas la norme, donc c'est égal à norme de y moins x, donc c'est bien égal à distance de y à x. D'autre part, si la distance de x à y est 0, c'est-à-dire que norme de x moins y est égale à 0, alors x moins y est égal vecteur nul, donc x égale y. Et dans l'autre sens, si x égale y, norme du vecteur nul c'est le vecteur nul, c'est 0 donc tout va bien. Et puis l'inégalité triangulaire, en fait vous remplacez x moins y plus y moins z, vous utilisez l'inégalité triangulaire des normes, ça donne l'inégalité triangulaire de la distance.

C'est fait pour. Et donc voilà, une fois que vous avez une distance, vous pouvez dire ah ben voilà, je peux dire que mes deux éléments de E sont proches si leur distance est petite Pour savoir si des éléments sont proches ou pas, il suffit d'avoir une distance. Ah, est-ce que c'est possible que x et y soient proches pour une distance et éloignées pour une autre ?

Est-ce que ça va dépendre de la distance qu'on choisit cette histoire ? Est-ce que c'est intrinsèque que deux éléments sont proches ? Par exemple, sur le plan, deux éléments, ça se voit qu'ils sont proches, ils sont à côté ou pas ? Eh bien, curieusement, Oui, la réponse est oui. Je vous donne un exemple concret.

Il y a plusieurs façons de définir une distance entre deux points sur la surface de la Terre. Le premier, ça va être à vol d'oiseau, par exemple, à quelle distance je suis. Là, je vous ai pris un point dans le charmant village des Portes-en-Ré, pas très loin de chez moi.

Et puis, la tranche sur mer, à vol d'oiseau, ça doit faire une dizaine de kilomètres. Pas très loin par rapport à la taille de la Terre. Et c'est une distance, la distance à vol d'oiseau, évidemment. Vous pouvez vérifier que ça vérifie tous les axiomes d'une distance.

Mais la distance de parcours aussi, disons que le temps de parcours, le nombre de kilomètres à parcourir pour faire le trajet en voiture, en prenant le chemin le plus court par exemple, c'est aussi une distance. Si je définis à chaque fois mon GPS sur le plus court chemin, et je dis tu veux de là à là, le plus court chemin, en voiture ça me donne une distance aussi. Vérifiez, ce sera bien symétrique. Alors, s'il n'y a pas de sens interdit, parce que sinon, c'est pas le même chemin. Mais si je suppose qu'il n'y a pas de sens interdit, ça va bien me faire une distance aussi.

Vous pouvez constater en vrai que là, à vol d'oiseau, c'est vraiment pas très loin, alors qu'en voiture c'est très loin. Parce qu'il faut faire un détour invraisemblable, d'accord ? Donc là, il y a une dizaine de kilomètres, et là, peut-être, il y a plus de 100 kilomètres pour le faire en voiture. Donc, ça peut être proche pour une distance et éloigné pour une autre. Ok ?

Donc voilà. Donc ça, déjà, c'est la première leçon de la topologie. C'est que ce n'est pas intrinsèque.

Le fait que deux points sont proches, ça dépend de la distance sur laquelle on met. Ça dépend de la topologie qu'on va mettre sur notre ensemble. Ce n'est pas les deux points tout seuls, il ne suffit pas à le savoir, en fait.

Ok. Allez, maintenant, deuxième partie, parlons un petit peu d'ouvert et de voisinage. Alors, si on prend un espace métrique, on prend un élément dedans et un r positif, bon là en l'occurrence je vais prendre même strictement positif sinon je vais avoir un problème, qui est le rayon de la boule, si vous entendez.

Alors la boule ouverte de centre x est de rayon r, notez b et l'ensemble des éléments de e dont la distance avec x est strictement inférieure à r. Donc si r c'est 0 c'est vide, donc ce n'est pas trop marrant. Donc voilà, b de x, r, il faut visualiser ça, je vais faire un petit dessin tout de suite pour bien que vous compreniez.

Si je prends dans r, c'est l'ensemble des éléments tels que la distance avec x est plus petite que r. Alors regardez, si je prends dans les réels, la boule de centre x et de rayon r, c'est l'ensemble des nombres réels tels que l'écart avec x est plus petit que r. Donc c'est ceux qui sont mis en rouge ici entre la Et là, ok ? C'est la définition classique en fait, je veux dire, voilà, le boule, c'est ceux qui sont à l'intérieur du cercle si vous préférez, ou de la sphère si on est en dimension plus grande. Et on peut trouver différentes normes, comme je vous l'ai dit, il n'y en a pas qu'une en fait sur l'espace vectoriel.

Et donc la première chose qu'on va voir dans le premier chapitre sur l'espace vectoriel normé, c'est que, ben voilà, il existe plusieurs normes, et qui donnent des boules, par exemple, là c'est la boule de centre l'origine et de rayon 1. qui peuvent avoir des formes très différentes, ça c'est pour la norme 1, la norme 2, alors ça c'est la norme 2, c'est la norme classique, vous savez, ça ne doit pas vous surprendre, la boule de rayon 1 c'est le cercle trigonométrique, le bord, tout ça, mais il y a des boules, d'autres, là c'est la norme 10 par exemple, norme infinie, sinon ça fait un carré, comme là, sauf que là c'est un carré à là c'est un carré horizontal vertical. Tout ça, c'est des boules, dans le plan, pour différentes normes. Donc c'est juste pour dire qu'on verra des boules de tailles diverses et variées, avec des formes invraisemblables, on va bien rigoler avec ça.

Donc il faut utiliser les axiomes, le dessin, il faut se méfier. Et donc, si dans l'espace métrique, j'ai défini des boules, je vais pouvoir définir la notion d'ouvert. Alors qu'est-ce que c'est qu'un ouvert ? Rassurez-vous, dans le cours je redéfinirai tout ça, mais c'est juste pour voir un petit peu. Alors un ouvert d'un espace métrique, E, c'est un ensemble qui vérifie que pour tout x dans E, si...

x est dans l'ouvert, donc pour toute x dans l'ouvert, il existe une boule, en guillemets petites sans doute, de rayon r strictement positif, telle que la boule de centre x et de rayon r est incluse dans l'ouvert O. Alors je vous ai fait un petit dessin, vous prenez un ensemble E, dire que O est ouvert, c'est-à-dire que si je prends x dedans, n'importe où, il existe une petite boule autour de x qui est complètement inclue dans O. Pareil, si j'en prends un autre, là il y a une boule verte qui est inclue, j'en prends un troisième, il y a une boule qui est inclue, quel que soit le point qui est dans O. Au début, il existe une petite boule complètement inclue dans O. On appelle ça un ouvert.

Une partie qui vérifie cette propriété-là. Par exemple, les ouverts de R. Je vous laisse réfléchir un petit peu.

C'est une partie de R telle que si je prends un point dedans, il existe toujours un petit intervalle ouvert. Une petite boule autour de lui qui est inclue dedans. On peut démontrer assez facilement que ce sont les réunions d'intervalles ouverts, les ouverts de R, pour la distance usuelle, parce que la distance est avec l'écart, le truc habituel. Alors, propriété des ouverts, ce n'est pas très dur à démontrer, mais quand même, si je prends une réunion quelconque d'ouvert, c'est un ouvert. Alors ça, ce n'est vraiment pas très dur, parce que vous voyez bien, si je prends une réunion d'ouvert, je prends un élément qui est dans la réunion et il est dans au moins un des ouverts.

Oui. Donc il y a une petite boule qui est inclue dans ce OI là, donc elle est inclue dans la réunion. J'insiste pas, on reverra la preuve de tout ça dans le cours. Si je prends deux ouverts, l'intersection des deux est ouverte.

Donc ça c'est deux propriétés là. Par contre l'intersection infinie n'est pas forcément. Je n'insiste pas pour le moment, je vais juste vous dire ça.

Les ouverts, c'est stable par réunion quelconque et par intersection finie. Du coup, on peut définir des ouverts complètement abstraits, un peu comme les tribus si vous connaissez, en disant une topologie, c'est un ensemble de parties de E, qu'on va appeler les ouverts, T, c'est inclus dans P de E, des parties comme ça, qui doivent vérifier que l'ensemble vide et E complet sont dedans, donc E c'est toujours des ouverts, vide et E sont toujours des ouverts, et c'est stable par réunion quelconque. Si je prends des OI qui sont dans T, alors l'union des OI est dans T, même si on a une infinité, une union d'ouvert et un ouvert, une intersection de deux ouverts et un ouvert, donc par récurrence une intersection finie d'ouvert et d'un ouvert aussi, et bien à ce moment-là, si ça vérifie ces deux axiomes-là, je dis que j'ai défini une topologie, que mes ensembles sont les ouverts de E pour la topologie T. Donc ça généralise, évidemment dès qu'on a un espace métrique, on a une topologie comme on l'a vu avant.

Mais on peut généraliser ça de façon complètement abstraite, comme ça. Donc là, on plane à 15 000, ça s'appelle la topologie générale. On va en parler un petit peu pour la culture, mais ce n'est pas le cœur du programme.

Et donc, on peut prendre des exemples complètement extrêmes de topologie pour voir un peu de quoi on parle. Si par exemple, je prends la topologie grossière, ça consiste à prendre juste l'ensemble vide et E. Je ne prends que ça, du coup, la réunion de vide et E, ça fait toujours soit vide, soit E, donc c'est bien dedans.

Et l'intersection de deux, vide intersecté avec E c'est vide, E intersecté avec E c'est E, vide intersecté avec vide c'est vide, donc ça ça marche. Pas terrible, il n'y a que deux ouverts, vide et tout E. Ça fait une topologie, qui s'appelle la topologie grossière. Et l'exemple extrême inverse, c'est si je prends tous les éléments, toutes les parties, tout le monde est un ouvert, du coup ça marche aussi, vide et E sont un ouvert, une réunion, toutes les parties sont des ouverts. Même une intersection infinie pour le coup d'ouvert sont des ouverts, parce que toutes les parties sont des ouverts.

Donc voilà deux exemples très abstraits, on va se dire bon ok mais alors quel intérêt de faire ça ? On va voir c'est assez rigolo, des contre-exemples à plein de théorèmes grâce à ces deux exemples là. Mais là ça plane à 15 000, on ne voit vraiment pas du tout ce que c'est qu'une topologie. Si on a une distance, on arrive à voir un petit peu, c'est les parties où une petite boule est inclue dedans. Autrement dit, intuitivement un ouvert ça veut dire, si je prends une partie, les éléments qui vérifient Une propriété est un ouvert, ça veut dire que si je prends un élément qui vérifie cette propriété, il y a une petite boule autour, autrement dit, où tout le monde vérifie la propriété.

Donc abstraitement, comment je visualise ça ? Moi c'est une propriété, si je modifie un petit peu mon élément, il garde encore cette propriété. Vous voyez ?

D'accord ? Donc c'est ça l'idée, c'est que c'est stable par petite modification. Dire que l'ensemble qui vérifie ça est un ouvert.

Enfin bon, on aura bien le temps de voir tout ça. Alors, qu'est-ce que c'est qu'un voisinage ? Bah du coup, on dira dans un espace topologique, donc...

Un espace métrique c'est un cas particulier bien évidemment. Si on a des ouverts et tout ça, on dit que V est un voisinage de X s'il contient un ouvert qui contient X. V contient O et O contient X.

Et l'ensemble du voisinage de X, on l'appelle V. Pour l'instant ça a l'air très abstrait. On aurait pu juste prendre les ouverts qui contiennent X, ça aurait marché aussi bien. Mais pour une raison obscure, les gens ont eu envie de prendre toutes les parties. Si on prend un voisinage, on prend un truc plus gros, ça reste un voisinage de x.

Et donc l'idée, dans un espace topologique, quand on n'a même plus de distance, quand on est très abstrait, tous les éléments assez proches de x vérifient quelque chose, on va traduire ça par il existe un voisinage de xv tel que tous les éléments de v vérifient ceci En gros, dire qu'on est assez proche, c'est dire qu'on est dans un voisinage. Ça reste très abstrait, on est bien d'accord. Mais on peut démontrer des choses dans ce cadre complètement abstrait, qui se généralise aux espaces métriques, aux espaces vectoriels normés, etc.

Donc en fait, c'est pour faire des preuves des fois plus simples, il n'y a pas besoin de la distance ou de la norme, on peut le faire dans le cadre général, du coup ça marche tout le temps, c'est pour ça que c'est cool et que je vais en parler un petit peu. Ok, alors qu'est-ce qu'on va voir dans ce cours de topo ? Les premiers exemples, donc c'est R, R2, C, R3, les exemples ultra classiques, on va voir des problèmes d'ouvert là-dedans.

différentes propriétés topologiques de parties de R, de R2, etc. Ensuite, on va généraliser aux espaces vectoriels normés de dimensions finies. Donc là, ils ont des propriétés sympathiques, les normes sont équivalentes dans un sens que j'expliquerai.

Donc il y a des propriétés chouettes. Donc ça peut être, par exemple, les polynômes de degrés plus petits que n, ou ça peut être les matrices carrées à coefficient dans k, où k c'est R ou C, bref, voilà. Et évidemment, après, on regardera des exemples dans les espaces vectoriels de dimensions pas forcément finies. Donc là, les exemples, ça va être par exemple les polynômes, les fonctions continues de a, b dans r, ça peut être les espaces de Lebesgue, L2, 2, r, etc., qui sont des espaces vectoriels normés, tout ça. Et puis ensuite, tout ça, ça s'inclut dans les espaces métriques, donc le programme de licence normalement s'arrête là.

Alors qu'est-ce que c'est qu'un espace métrique qui n'est pas un espace vectoriel normé ? Ça peut être par exemple les GLN2K, les matrices inversibles, d'accord ? Ce n'est pas un espace vectoriel.

Pourtant, on va regarder les propriétés topologiques de ces matrices inversibles. Ça peut être la sphère SN. Encore une sphère, un cercle, une partie du plan qui n'est pas un espace vectoriel.

Et puis ça peut être aussi R ou C ou ces petites choses-là, la R2, R3, avec des distances bizarres. On verra des distances exotiques, un petit peu étranges, qui font des boules bizarres, etc. Et donc qui ne sont pas compatibles, qui ne sont pas des normes.

Des distances qui ne sont pas des normes sur R ou C, ça existe aussi. Voilà, et puis tout ça finalement c'est inclus dans les espaces topologiques. Et donc qu'est-ce qu'il y a là-dedans ?

Alors on verra, je parlerai un petit peu des exemples, mais c'est plus pour la culture. Je parlais de la topologie de la convergence simple, dont vous avez déjà entendu parler peut-être, topologie de Zareski, pas sûr du tout que vous avez déjà entendu parler, mais c'est... voilà, bref. Donc voilà, ça peut être tout ce qu'il y a avant avec des topologies toutes bizarres, parce que Zareski, par exemple, ça peut être sur R2, mais c'est une topologie très étrange qui ne vient pas d'une distance, etc. Enfin bon bref.

Donc voilà, la topologie en gros c'est... Toutes ces petites choses-là qu'on va rencontrer dans notre cours. Alors, partie 3 maintenant, je vais vous expliquer aussi à quoi ça sert d'avoir des éléments proches.

C'est pour essayer de dire qu'il y a des éléments qui sont limite d'autres éléments, etc. Donc, on va essayer de traduire la première chose. Qu'est-ce que ça veut dire que une suite converge vers L ?

Donc, je prends un élément de E, un espace topologique, donc je suis dans le cadre le plus abstrait, j'ai les ouverts. D'accord ? et je voudrais savoir si je prends L dans E et une suite Un d'élément de E, qu'est-ce que ça veut dire que la limite de Un égale L ? Est-ce que je peux écrire ça ?

Alors, si E égale R, il n'y a pas de problème, on sait ça, normalement vous le savez, sinon c'est bien de réviser. On dit que Un tend vers L si pour toute epsilon, il existe un entier tel que pour toute n plus grand que cet entier, l'écart entre Un et L est plus petit qu'epsilon. Ça veut dire que Un est proche de L à epsilon près.

Au bout d'un moment, tous les termes de la suite sont proches de L à epsilon près. Pour un plus petit epsilon, au bout d'un moment c'est proche. Quel que soit le epsilon strictement positif, au bout d'un moment un est proche de L.

Mais du coup, si j'ai compris ça, je peux le faire dans un espace vectoriel normé, je remplace la valeur absolue de un par norme de un. Vous voyez, ça veut dire, au bout d'un moment, la norme de un est proche de L. Mais du coup je peux le faire aussi avec une distance dans un espace métrique quelconque.

Quel que soit epsilon, au bout d'un moment, distance de un est plus petit que epsilon. Vous voyez, ça c'est pas mal parce que si on a bien compris le concept, en fait il suffit de savoir dire que UN et L sont proches pour définir que UN tend vers L. Et maintenant, dans le cadre le plus général, je vous ai dit, dire qu'ils sont proches, c'est-à-dire qu'ils sont dans un voisinage, donc quel que soit le voisinage de L, qui appartient à l'ensemble du voisinage de L, quels que soient les ouverts autour de L, au bout d'un moment, il existe un cran tel que tous les UN sont dans ce voisinage.

Donc moralement, ça veut dire qu'on prend des voisinages de plus en plus petits, au bout d'un moment, tous les termes de la suite sont dedans, alors on dira que la suite converge vers L. Donc là, c'est la version la plus abstraite, mais ça permettra quand même de démontrer des petits théorèmes sympathiques, etc. Alors, si on prend deux topologies, il est possible qu'une suite UN converge pour une topologie et pas pour l'autre.

C'est comme je l'avais dit. Le fait d'être proche, ça dépend de la distance qu'on choisit. Pareil aussi, il est possible qu'il y ait des topologies pour lesquelles la suite converge vers un truc et vers autre chose.

C'est invraisemblable. La suite U-N converge vers L, ça ne dépend pas que des termes de la suite U-N. Ça, c'est le premier exemple, le premier truc qui retourne un peu le cerveau.

C'est que ça dépend aussi de la topologie qu'on met dessus. Alors là, je vais prendre des exemples un peu violents pour que vous compreniez bien. Mais si je prends la topologie discrète, il n'y a que deux ouverts. E est vide. Donc les voisinages de L, c'est facile, il n'y a que E.

Tous, il y a tout le monde. Donc si je prends un élément dans E quelconque, le seul voisinage qu'il y a c'est tout le monde. Donc pour tous les voisinages de lui, il y a juste E. Est-ce que tous les termes de la suite sont dans ce voisinage au bout d'un moment ?

Bah oui, ils sont tous dans E. Donc, ah bah là j'ai pris le contraire, j'ai pris la grossière. Moi je fais l'inverse, si je prends la grossière, donc tout de suite converge vers tous les éléments de E.

Je ferai la discrète après, je me suis gouré. C'est parce que je prends un élément L n'importe où dans E, le seul voisinage qu'il a c'est tout E. Donc tous les termes de la suite sont dans ce voisinage oubliemment.

Parce que vide n'est pas un voisinage, il faut que le voisinage contienne L. Et maintenant si je prends la topologie discrète, alors là c'est l'inverse, toutes les parties sont des ouvertes. Donc en particulier, x tout seul est un ouvert. Donc le singleton x contient un ouvert qui contient x, et le singleton x contient un ouvert qui contient x.

Donc ça c'est un voisinage de x. Donc maintenant si je veux prendre limite L, et bien... c'est un voisinage de L, il faut que tous les termes de la suite soient dans ce voisinage, parce que pour tous les voisinages, ça doit être vrai.

Donc si je prends le voisinage juste L, il faut que tous les termes de la suite soient dedans au bout d'un moment, donc il faut que la suite soit constante, égale à L, au bout d'un moment, pour converger vers L. Donc voilà, bon là je vais un petit peu vite, mais ce qu'il faut que vous compreniez bien, c'est qu'on va voir différentes topologies, et le fait qu'une suite UN converge vers L, ça dépend de la topologie qu'on regarde, ça ne dépend pas que des termes de la suite, et c'est ça qui est assez surprenant. Alors par contre, ça peut arriver que deux topologies donnent les mêmes limites de suite, à ce moment-là on dira que les deux topologies sont équivalentes, c'est tout de suite qu'ils convergent vers l'une, s'il y en a une qui converge vers l'autre, automatiquement l'autre converge vers elle, c'est tout de suite, si je change la topologie, ça ne change pas le comportement des suites, on dit que les topologies sont équivalentes. Et on verra par exemple que toutes les normes qu'on peut définir en dimensions finies sont équivalentes et donnent tout le temps les mêmes topologies. Donc des espaces étoiles de dimensions finies, il n'y a pas de problème.

Ça ne dépend pas du choix de la norme à la base pour voir qu'une suite u n converge vers L. C'est la partie des choses qu'on va expliquer dans le cours. Ensuite, on va parler de densité.

C'est une notion qui est assez sympathique. En gros, ça veut dire qu'il y en a partout. On dit qu'une partie D est dense dans E ou partout dense dans E. C'est seulement si tout ouvert non vide de E contient au moins un élément de D. Je prends une petite boule ouverte, quelque part, n'importe où, ou un petit intervalle ouvert dans R, il y a des éléments dedans.

Visuellement, il faut imaginer E comme ça, et dès que je prends une petite boule n'importe où dans E, il y a des éléments de D dedans. Donc il faut visualiser ça comme si quelque chose s'est rempli, il y en a dans tous les coins. Ce ne sont pas forcément tous les éléments de E, mais il y en a vraiment partout qui se battent en duel.

C'est comme ça qu'il faut visualiser. Par exemple, Q est dense dans R. Les rationnels, si je prends n'importe quel intervalle ouvert, il y a des rationnels dedans. Donc tout intervalle ouvert contient des rationnels. Pourtant Q n'est pas tout R, mais n'empêche c'est dense.

Il y en a partout. on verra que les matrices inversibles sont denses dans l'ensemble des matrices. Quelle que soit une petite boule que je prends autour d'une matrice, il y a des matrices inversibles à proximité. Les fonctions polynomiales, on verra que c'est dense, c'est le théorème de Stone-Weierstrass dans les fonctions continues sur un intervalle fermé comme ça, dans R. On verra que toute fonction est proche d'une fonction polynomial.

Ensuite les matrices diagonalisables par exemple, il y en a partout aussi. On verra tous ces exemples-là. Et le truc important qu'il faut bien comprendre, c'est que, on le reverra, si on prend un espace métrique, on prend une partie inclus dans E, dire que D est dense dans E, ça veut dire que tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de D.

Autrement dit, toute matrice est limite d'une suite de matrices diagonalisables. Toute fonction continue sur AB dans R est limite d'une fonction polynomiale, même pour la norme infinie, c'est uniformément même. Bref, voilà, c'est ça qu'on va approximer, du coup on a des éléments D qui ont des certaines propriétés, et bien... Dire que D est dense, ça veut dire qu'on peut approximer n'importe quel élément de E aussi proche qu'on veut par des éléments de D. Donc ça c'est une notion qui est vachement utile pour démontrer plein de théorèmes, souvent, vous voyez, typiquement, ça sert à dire Oh là là, cette propriété-là, par exemple, qui de AB égale qui de BA ?

Je sais le montrer uniquement si A est inversible, parce que je fais un petit changement de base, machin, mais du coup après je fais par densité, je dis Ah oui, mais c'est continu, donc j'approxime A par des matrices inversibles, et donc, hop là, je dis celle-là plutôt, et du coup j'y arrive, enfin bref. On verra tout ça, très utile la notion de densité. Alors maintenant la notion aussi évidemment essentielle, la continuité. Alors qu'est-ce que ça veut dire si je prends une fonction de t dans u, je voudrais écrire que f est continue. Alors comme d'habitude je vais commencer par ce qu'on connaît déjà, normalement pour les fonctions de r dans r.

Dire qu'une fonction de r dans r est continue ça ne veut pas dire qu'on peut dessiner sans lever le crayon, non, ça veut dire en vrai on a des formules, ça veut dire que pour toute x0 la fonction est continue en x0, alors qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que si je prends epsilon. Un petit tube autour de f, il existe un petit écart A ici, tel que si x est proche de x0 A après, donc il est dans ce petit tube là, alors f est dans le petit tube autour de f de taille ε.

Si x est proche de x0, alors f est proche de f. C'est ça que ça veut dire. Quel que soit le point f ici, si je suis assez proche de x, alors l'image est proche. de f.

Ça que ça veut dire. On ne peut pas avoir des points hyper proches qui donnent des valeurs très éloignées. Une fois que j'ai compris ça, il n'y a plus de problème parce que tout ce que je veux dire là, quand je vais valoir absolute x moins x0 puissance alpha, je veux juste dire que x est proche de x0.

Je remplace ça si j'ai une distance sur mon ensemble, distance de x à x0 plus petit qu'alpha. Distance de f à f plus petit qu'epsilon. Ce ne sont pas les mêmes lettres parce qu'a priori, entre l'espace d'arrivée et l'espace de départ, ce n'est pas forcément la même distance que j'ai pris. Si je prends deux espaces métriques avec deux distances, je peux définir très facilement la continuité.

Ça peut être des trucs compliqués l'espace métrique, je vous dis ça peut être des sphères, ça peut être des carrés, des machins, ce ne sont pas forcément des espaces vectoriels et tout, il n'y a pas de souci, définir la continuité on sait le faire. Dès qu'on a des espaces métriques ce n'est pas dur. Maintenant si je veux le faire dans un espace topologique, je n'ai même plus mes distances, alors c'est toujours pareil, je tombe dans l'instruction totale, je vais dire voilà j'ai un x0 ici, un f2x0, qu'est-ce que ça veut dire qu'elle est continue ?

Ça veut dire que quel que soit le voisinage de f, il existe un voisinage de x0 tel que l'image de tous les points de celui-là se soit dans celui-là. C'est-à-dire que pour tout x dans E, si x est dans U, le petit jaune, son image est, donc là je l'ai mis en vert foncé, il est bien inclus dans V. On traduit le fait d'être proche, c'est être dans un voisinage. Donc quel que soit epsilon, quel que soit le voisinage.

Donc là on est bien dans l'abstrait mais on arrive à définir comme ça, dès qu'on a des ouverts sur un truc, la notion de continuité. Et donc il y a un théorème qui est très sympathique, qui dit que, si je vous rappelle la notation, que l'image réciproque d'une partie de f c'est l'ensemble des antécédents des éléments de v, c'est-à-dire que l'ensemble des x tels que f appartient à v, c'est important, c'est pas f est bijectif, c'est pas l'image par f-1, f n'est pas forcément bijectif, on peut toujours définir l'image réciproque d'une partie, vous savez. Et bien du coup on a ce super théorème qui dit que dans deux espaces topologiques, Si je prends une application de E dans F, elle est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert. Donc quel que soit V, un ouvert de F, F-1 de V est un ouvert de E.

Alors là, c'est ceux qui ont déjà vu les fonctions mesurables et tout ça, ils disent ah, les fonctions mesurables, c'est l'image réciproque des éléments d'une tribu et dans la tribu, etc. Bon, ben là, c'est la même chose, juste pour les ouverts. On a donc une famille abstraite de parties qu'on appelle les ouverts. Si c'est stable par image réciproque, alors c'est continue. OK ?

Voilà, donc on parlera de pourquoi ce n'est pas l'image directe, etc. On t'aidera à tout ça dans le cours. Mais donc, voilà, on a cette jolie caractérisation-là. Et après, on peut l'appliquer à plein de choses, parce que par exemple, si je prends l'ensemble des éléments U, là, ceux qui sont tel que Y est strictement plus grand que X2, la partie au-dessus de la courbe rouge, du coup, c'est un ouvert du plan.

C'est facile à démontrer ça, parce que du coup, je prends l'application du plan dans R, qui est Y moins X2. On verra que comme il n'y a qu'une soustraction et une application, c'est une application continue. C'est l'image réciproque des nombres strictement positifs par cette application-là. y-x² strictement positif, ça c'est un intervalle ouvert de R donc c'est un ouvert, l'image réciproque d'un ouvert c'est un ouvert, donc la partie rose ici c'est un ouvert. On peut démontrer des choses comme ça très facilement.

Je donne un autre exemple pour bien s'en rendre compte. GLN est un ouvert de MN. On dit que si je prends une matrice inversible, je la modifie un petit peu, ça reste une matrice inversible.

Alors pourquoi ? En fait, on prend l'application des matrices dans R qui donne le déterminant. Pareil, si vous savez, la formule du déterminant c'est que des produits et des sommes de produits des termes de la matrice.

Il y a des signes à la con mais ça ne change rien. C'est une fonction ponéomiale en l'écoefficient de la matrice. Et donc, c'est continu. On verra ça, les produits, les sommes, ça c'est des applications continues.

Donc, l'application est continue. Les matrices inversibles, c'est l'image réciproque de R étoile. Et R étoile c'est une réunion de deux intervalles ouverts, c'est bien un ouvert de R.

L'image réciproque d'un ouvert c'est un ouvert. Donc voilà comment on démontre par exemple que les matrices inversibles c'est un ouvert des matrices. Ok ? Voilà le genre d'exo qu'on va faire. Alors maintenant on va parler d'espaces homéomorphes.

Alors qu'est-ce que ça veut dire cette histoire-là ? On dit que deux espaces topologiques sont homéomorphes s'il existe un homéomorphisme entre les deux. Alors c'est un peu comme un isomorphisme en algébinaire, etc. Un homéomorphisme, cette fois, ça va être une application qui est continue, qui est bijective. C'est normal, il faut qu'on puisse revenir en arrière.

et l'application réciproque f-1 doit être continue aussi. On verra que ce n'est pas automatique. Si on prend une application continue objective, son application réciproque n'est pas toujours continue. Ça, ça a l'air bizarre, parce qu'on se dit, oui, on trace sans enlever le crayon, on fait une symétrie. Bref, il y a des exemples, on verra.

Mais donc, on va prendre des applications qui sont continues objectives, et donc, que l'application réciproque soit continue également. Si on arrive à faire ça, on dit que E et F sont homéomorphes. Autrement dit, ça veut dire qu'ils sont pareils pour... La topologie.

Lorsque j'ai un homomorphisme, on dit que E et F sont homéomorphes. Et donc, par exemple, mes deux bonhommes sont homéomorphes. Maintenant, je vais vous expliquer un petit peu ce que ça veut dire.

La première chose qu'il faut se rendre compte, c'est qu'un homomorphisme, ça ne conserve pas la taille. Parce que si je prends un intervalle 0,1 et je multiplie l'application 0,1 dans AB, qui associe... a fois a moins t plus bt, donc c'est au niveau de la paramétrisation du segment a, b.

Bon, ça, ça me fait un homéomorphisme, c'est facile de voir que c'est bijectif, que c'est continu, c'est une fonction affine, que la réciproque aussi est une fonction affine, donc tout ça, voilà. Donc ça ne conserve pas la taille. On peut avoir deux trucs homéomorphes, un tout petit et un très très grand, ça c'est possible.

Et ça peut même devenir infini. Si je prends l'application dans 0, 1 ou vert qui a 1 plus infini u, a donne 1 sur u. Elle est objective, elle est continue, son réciproque c'est elle-même, donc elle est aussi continue.

Et donc je peux même avoir une partie finie qui est homéomorphe à une partie infinie. Donc vraiment, ça ne garde pas du tout la taille. Maintenant si je prends une application f de a, b dans R continue, par exemple celle-là, si je prends un homéomorphisme, enfin si je prends phi, l'application qui a x ici sur le segment associe le point xf de x, il est facile de démontrer que ça c'est continu, que c'est bijectif, que la réciproque est continue, c'est la projection sur le truc, et du coup j'ai un homéomorphisme entre mon segment et ma courbe. Vous voyez donc ça veut dire qu'un homomorphisme ça ne conserve pas du tout la forme non plus.

Des traits qui étaient droits, ça devient des traits courbés, comme ça. Donc ça ne conserve pas la taille, pas la forme. Par contre ça conserve certains trucs.

Parce que par exemple si j'ai E qui est là et F qui est là, est-ce que je peux avoir un homomorphisme entre les deux ? Question que je pourrais me poser là, est-ce que je peux trouver une application continue dans F, Calcularisproc et ça ? Et bien non, pourquoi ?

Parce qu'un homomorphisme ça conserve le nombre de morceaux. Alors on appelle ça en termes savants les composantes connexes. En fait, ça veut dire le nombre de morceaux. Donc là, j'ai deux composantes connexes, là j'en ai trois.

Donc il ne peut pas y avoir de homomorphisme entre les deux. Vous voyez, il y a des propriétés comme ça qui sont conservées quand même. Je vais vous donner un autre exemple.

Est-ce que c'est possible d'avoir un homomorphisme entre un cube dans l'espace et un carré dans le plan ? La réponse est non, parce qu'on verra qu'un homomorphisme entre deux conserve la dimension. Autrement dit, si je prends un ouvert de Rn et un ouvert de R puissance p, U et V sont homomorphes, ça implique que n égale p.

Je ne suis pas sûr qu'on ira jusque-là dans le cours, mais en tout cas, c'est un résultat qui est un grand classique. Maintenant, on va illustrer ça un petit peu. C'est l'image que tout le monde donne généralement pour dire que deux ensembles topologiquement sont équivalents. C'est-à-dire que si on peut passer de ma tasse à mon donut en faisant des déformations continues, c'est-à-dire un peu comme de la pâte à modeler, où je peux même la grossir.

On peut imaginer que je peux la gonfler. La taille ça compte pas. Donc là j'ai pris ma tasse, je grossis le fond jusqu'à temps que ça remplisse tout et après je la déforme, boum, j'obtiens un donut. Et donc le donut et la tasse ils sont homéomorphes. Si on peut faire comme ça une opération sans couper, sans déchirer, juste continuellement déformer un objet en un autre, alors ils sont homéomorphes.

Mais attention, la réciproque est fausse. C'est à dire qu'il y a des gens qui sont homéomorphes où je peux pas passer de l'un à l'autre sans déchirer, sans couper. Ça les gens ne le savent pas forcément. Mais ces deux choses là par exemple c'est homéomorphes. Parce que c'est justement ce qu'on appelle un nœud.

Ce qu'on appelle un nœud en mathématiques, c'est simplement un truc qui est homéomorphe au cercle. Vous voyez ? Donc là, si je compte, je paramétrise mon petit lacet.

Là, je vais bien trouver une application continue de là dans là, telle que la réciproque est continue, etc. Je peux paramétriser ça. Bref, alors que je ne peux pas passer de là à là sans couper. Justement, le nœud trivial, c'est si je peux passer à celui-là sans couper. Là, ce n'est pas le nœud trivial, donc je ne peux pas.

et donc il y a toute une classification des noeuds justement pour savoir desquels on peut passer de l'un à l'autre sans couper ok mais en tout cas l'homéomorphisme ça ne suffit pas c'est pour ça qu'on parle d'homotopie en l'occurrence mais là bon ça m'entraînerait trop loin et donc on va faire des devinettes alors ça à votre avis est-ce que c'est homéomorphe alors est-ce que je peux déformer de l'un à l'autre bah oui en fait même s'il y a des angles et tout ça je peux tirer mon ellipse pour en faire un carré c'est homéomorphe donc ça passe alors plus subtile si je prends une boule avec un un trou dedans, une autre boule creuse dedans, ou si je prends une boule avec un cylindre creux. Ça par exemple, est-ce que c'est homomorph ? Eh bien, il y a une propriété qui est conservée par homomorphisme, qui va être vérifiée dans un cas et pas dans l'autre, donc la réponse va être non.

Et ce n'est pas très simple à savoir. Cette propriété s'appelle le fait d'être simplement connexe. Alors qu'est-ce que ça veut dire ça ?

Eh bien on dit qu'une application est simplement connexe si quand je dessine un lacet dessus, c'est-à-dire que je dessine un petit cercle, un petit rond, un petit chemin qui se referme. Dans mon ensemble, est-ce que je peux le refermer en restant dans l'ensemble ? Si je peux faire ça pour tous les petits lacets que je trace, alors on dit que l'ensemble est simplement connexe.

Et là, c'est le cas. Imaginez que vous faites un petit chemin, même qui entoure la boule ici, vous le décalez, vous pouvez le resserrer. Alors que là, si vous faites un petit chemin qui encadre le cylindre, vous resserrez jusqu'à temps qu'il touche le cylindre, et vous ne pouvez pas le resserrer complètement. Il ne pourra pas disparaître. Donc cette partie-là est simplement connexe, pas celle-là.

Donc ils ne sont pas homéomorphes. Des petites choses comme ça rigolotes, par exemple maintenant si je prends la boule pleine et juste la sphère, le bord. Alors là, les deux sont connexes en un seul morceau, les deux sont simplement connexes, si je prends un lacet sur la boule je peux le rétracter, mais un lacet sur la sphère aussi ! Vous tracez un lacet n'importe comment sur la sphère, vous montez en haut, vous le rétractez. Donc là c'est pas si clair.

Et en fait il y a une autre propriété qui prouve qu'ils ne sont pas homéomorphes, c'est le fait que celle-là soit contractile, c'est-à-dire que je peux, en restant dans la boule, trouver une application qui permet de passer de tous les points, continuement, à zéro. en restant dedans, alors que là, la sphère, je ne peux pas. Je ne peux pas la rétracter en restant dedans. Si j'enlève juste le pôle Nord, je peux.

J'enlève un point, comme un ballon, et j'enlève un point, je peux le rétracter. Si j'enlève juste un point, la sphère, alors là, je peux la rétracter sur elle-même pour arriver au pôle Sud, mais telle qu'elle est là, je ne peux pas. Donc celle-là n'est pas contractile, celle-là est contractile, donc ils ne sont pas homéomorphes.

Donc voilà, c'est assez rigolo, il y a plein de propriétés comme ça, stables par homéomorphisme. Je vais vous en donner une autre, c'est le nombre de trous. Ça s'appelle le genre en termes scientifiques, mais...

Voilà, celle-là elle est de genre 2, elle a deux trous, celle-là elle est de genre 3, et bien ils ne sont pas homéomorphes. Ok ? Donc voilà.

Voilà des petits exemples de trucs comme ça, donc dans le cours on verra, on s'amusera, on va voir quelles sont les lettres de l'alphabet qui sont homéomorphes ou pas, enfin bref, il y a plein de trucs rigolos à faire. Ensuite, alors là c'est pas dans le cours, mais je vais juste vous expliquer un théorème classique de topologie qui a été démontré par Perelman dans les années 2000, c'est le premier problème du millénaire qui a été résolu. Donc, On prend une variété de dimension 1. Alors qu'est-ce que c'est qu'une variété ?

Je ne vais pas en parler dans le cours de topo, parce que ça c'est vraiment au-delà du niveau de licence, mais c'est pour vous montrer un petit peu des théorèmes connus en topologie, qu'on fait les gros titres. Alors une variété, il faut bien comprendre, ça veut dire qu'un espace, un ensemble, dans lequel localement, c'est comme si j'étais dans un espace vectoriel de dimension 1. Si je regarde de très très près, je ne vois pas l'écart. Donc on a une courbe comme ça, je regarde de très très près, je ne vais pas pouvoir la distinguer de sa tangente. C'est ça l'idée, c'est que localement s'il y a une fourmi minuscule qui se blatte dessus, pas forcément se rendre compte si elle est en ligne droite ou pas.

Donc voilà, ça c'est des variétés de dimension 1. Localement, si je coupe, là c'est homéomorphe en fait, un petit morceau est homéomorphe à un segment. Parce que la forme ne compte pas, donc je prends un petit bout, je cloque, c'est homéomorphe à un segment. Alors ça, ça n'en est pas une. Pourquoi ? Parce que là au point d'intersection, j'ai pas d'homéomorphisme avec un segment.

Pourquoi ? Parce que si j'enlève ce point-là, j'ai 4 morceaux, et un segment, j'enlève un point, j'ai que 2 morceaux. Il y a des arguments pour dire que ça, ce n'est pas une variété de dimension 1. Au niveau du croisement, je vois tout à fait que je ne suis pas sur un segment.

J'ai plusieurs choix pour partir. Ça, c'est une variété de dimension 1 à bord. Ça, c'est une variété de dimension 1 sans bord.

C'est comme, est-ce que je m'arrête à un moment ou pas ? On peut faire la même chose avec des variétés de dimension 2. Par exemple, la sphère, c'est... C'est une variété de dimension 2, on a l'impression que c'est un plan localement. C'est pour ça qu'il y a des gens qui pensent peut-être que la Terre est plate, parce qu'à notre échelle, la Terre a l'air à peu près plate. Alors, un torse, c'est pareil.

Si on se met très très près dessus, imaginez un torse gigantesque, on ne verrait pas si c'est un plan ou pas plat. Quand on se balade dessus, on est vraiment microscopique. Et donc localement, c'est pareil, c'est homéomorphe à un plan. Un ruban de Mobius aussi, pareil. Donc voilà, il y a plein de variétés.

Alors celle-là elle a des bords, si on marche dans cette direction-là, au bout d'un moment ça s'arrête. Celle-là n'a pas de bord, on marche dans n'importe quelle direction jusqu'à l'infini, on va revenir peut-être à notre point de départ, mais on ne va jamais s'arrêter. Donc voilà.

Et puis voilà un exemple de dimension de variété de dimension 3, un bord. Donc ça ressemble à un espace, si je suis là, donc si je ne suis pas sur le bord, je vois localement, c'est pareil, que l'espace de dimension 3. Et donc le théorème de Perelman qu'il a démontré en... Deux, presque 100 ans après qu'il ait été énoncé par Poincaré, la question était, est-ce que si je prends dans un espace de dimension 4, donc on a du mal à voir, une variété de dimension 3 qui n'a pas de bord, compacte, je n'ai pas dit ce que ça voulait dire, mais ça veut dire qu'elle est bornée, qu'elle ne va pas à l'infini. Donc une variété de dimension 3, localement ça ressemble à un espace de dimension 3, compacte, donc bornée, disons, simplement connexe, simplement connexe veut dire que tous les lacets on peut les rétracter.

Alors elle est forcément homéomorphe, à la sphère de dimension 3. On appelle hypersphère parce que c'est une dimension 4. Autrement dit, notre question c'était, on sait que la sphère de dimension 3 dans l'espace de dimension 4, elle a ces propriétés là. Elle n'a pas de bord, elle est compacte, elle est bornée, elle est simplement connexe, on peut résoudre les essais. Mais est-ce qu'il y a d'autres ? Est-ce qu'il y avait d'autres ensembles qui avaient toutes ces propriétés là qui n'étaient pas des sphères ?

On a des sphères exotiques, des trucs bizarres, qui avaient fait toutes les propriétés d'une sphère mais sans en être. Eh bien non ! Voilà, c'était la conjecture de Poincaré, c'est qui en avait pas, et Perelman l'a démontré donc il y a maintenant 20 ans. Toute variété de dimension 3 sans bord compact simplement connexe est forcément homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. Donc voilà un superbe théorème de topologie dont je voulais quand même vous parler, même si évidemment je n'évoquerai pas ça pendant mon cours.

Allez, dernière partie, je vais vous montrer comment la topologie permet de généraliser des grands théorèmes classiques que vous connaissez. Et on va commencer tout d'abord par le théorème des valeurs intermédiaires. Donc là j'ai une vidéo entière des dédié à ce théorème là, donc si vous voulez en savoir plus, n'hésitez pas. Alors, le théorème de valeur intermédiaire, qu'est-ce qu'il dit ? Il dit voilà, si je prends une fonction de un intervalle important, la notion d'intervalle réel dans R, f de I dans R qui est continue, et bien alors si je prends A et B n'importe où dans I, et que je prends une valeur là qui est Y comprise entre f de A et f de B, Alors, il existe un antécédent de cette valeur.

Si je prends la valeur f, je suis continu, je prends la valeur f, j'ai pris toutes les valeurs entre f et f. J'ai pris toutes les valeurs intermédiaires entre f et f. Quel que soit le y là, il existe au moins un antécédent x qui me donne cette valeur. Il peut y en avoir plusieurs, regardez, si je prends cette valeur là, il y aura plusieurs x qui donnent la même valeur, mais il y en a au moins une.

Alors, comment généraliser ce truc là à d'autres ensembles que R ? C'est ça la question, des ensembles topologiques même, même pas d'espaces métriques. Ohlalalala, on va voir que c'est possible, c'est invraisemblable.

Je traduis mon énoncé d'une autre façon, si je prends a et b n'importe où dans i, f, il est inclus dans l'image de a, b. L'image de a, b ça déborde, donc c'est bien inclus, ça va plus haut que f. Mais tous les éléments de f de a de f de b sont bien des images des éléments de a b.

Ok, alors comment je peux dire ça autrement ? Donc ce que je viens de dire là, si je fixe a et b dans i, quel que soit y z appartenant à f de a b, il existe u et v tels que f de u égal y et f de v égal z. Ça on l'a vu.

Et donc le segment y z qui est égal à f de u et f de v, il est inclus dans f de u v et il est inclus dans f de a b. Donc voilà, tous les segments sont inclus dedans. Bon, donc f c'est un intervalle. Si je prends deux éléments y et z qui sont dans l'image de a, b, alors toutes les valeurs entre les deux sont dans f.

Donc f est un intervalle. C'est ça qu'il faut le trouver, c'est une histoire de convexité si vous préférez. Je prends deux éléments qui sont dedans, donc finalement, dans mon vertical, dans f je prends deux éléments qui sont dedans, il y a les valeurs intermédiaires donc le segment inclus.

est dedans. Une autre façon de dire le TVI, la version 2, c'est que si je prends i, un intervalle réel et une application f de i dans R, l'image de tout intervalle est un intervalle. C'est équivalent.

Dire ça, c'est exactement dire ça. Je prends un intervalle au départ, je prends son image, c'est un intervalle. Autrement dit, si je prends deux points dedans, tout l'intervalle est inclus dedans.

Je prends mon énoncé qui est comme ça. On admet que les parties connexes de R, donc les parties où il y a un seul morceau, un moralement de R, c'est les intervalles. Donc il y a une définition plus générale qui marche même dans l'espace topologique quelconque, d'une notion de fonction de connexe, et dans R, les connexes sont les intervalles.

Et du coup, mon théorème des franques fonctions de R dans R, l'image de l'intervalle et l'intervalle, je peux le généraliser maintenant de façon complètement dingue. Donc, vous voyez, c'est même... 0, 0 c'est un connexe, c'est un intervalle de taille 0, 1, 2 c'est en un seul morceau, 3, bref.

Toutes les parties ont un seul morceau, c'est forcément les intervalles. Je peux généraliser, si je prends deux espaces topologiques quelconques, si j'ai défini ce que c'est qu'un connexe, ce qui généralise la notion d'intervalle, je prends une application continue, je dirais théorème de valeurs intermédiaires version 3, pour toute partie connexe de l'espace de départ, f2c est une partie connexe de l'espace d'arrivée. Donc ça c'est hyper abstrait, on ne sait pas encore ce que ça veut dire connexe, mais en gros ça veut dire un seul morceau. Mais si l'image d'une partie qui est en un seul morceau est encore en un seul morceau si l'application est continue ? Et bien ça, c'est une généralisation monstrueuse du théorème des valeurs intermédiaires.

Ça marche pour les espaces vectoriels normés, pour les espaces métriques, même pour les espaces topologiques quelconques. Vous voyez ? Et c'est pas très dur à démontrer en plus, on le verra.

Donc c'est ça qui est une puissance du truc assez sympa. Et puis on comprend bien l'essence. C'est limite plus facile à démontrer ça que de démontrer juste le premier théorème des valeurs intermédiaires.

C'est ça qui est surprenant, on part dans le conceptuel, dans l'abstrait, et en fait ça on verra qu'avec les bonnes définitions c'est relativement simple. Incroyable. Bon enfin, alors un autre théorème classique, théorème des bornes atteintes, que vous connaissez, qui dit que si je prends une application de A B fermée dans R qui est continue, alors F est bornée et elle atteint ses bornes. Théorème de première année de licence, qui est bien utile.

Et du coup si on appelle M. L'inf des valeurs de f et M le sub des valeurs de f, ça se reformule en disant que l'image de mon segment AB c'est exactement mm. C'est inclus là-dedans et c'est atteint. Et comme elle est continue, l'image d'un intervalle c'est un intervalle, donc si elle atteint M et M avec point toutes les valeurs entre les deux, c'est exactement dire que l'image de ça c'est ce truc-là. Pareil, on a vu tout à l'heure que tous les intervalles c'était les parties connexes de R, les intervalles fermés et bornés, on dira que ça c'est les compacts de R.

On définit la notion de compact de façon très générale. Dans R, les compacts, c'est les intervalles comme ça, fermés, bornés. Et du coup, mon théorème dit que l'image des compacts est un compact, et donc je peux complètement le généraliser. Tiens, si on prend deux espaces topologiques, une application continue transforme un compact en un compact. Quel que soit K, compact dans E, f est un compact de f.

Voilà une autre façon de généraliser ce théorème-là, et on verra, ce n'est pas très dur à démontrer non plus, et ça généralise de façon énorme ce petit théorème. Allez, un dernier pour la route ! Vous devez savoir, normalement en tout cas, parce que je sais que le... Il n'y a pas longtemps des élèves ont un petit peu garé pour le démontrer. Si on prend une application continue de AB dans AB, c'est important que ce soit les mêmes valeurs là et là, alors il existe un point fixe pour f.

Ça se démontre avec le théorème des valeurs intermédiaires en faisant f en vrai. Donc voilà, il existe un point fixe pour f. On peut complètement généraliser ça par exemple, c'est le théorème de Brewer qui date de 1912. Je ne vais pas le faire dans mon cours, mais c'est pour vous illustrer le genre de généralisation qu'on a. Si on prend un espace euclidien, donc un espace vectoriel de dimension finie, on a sur R, et B une boule fermée, c'est l'équivalent de ça, ça c'est une boule fermée, si je prends le milieu A plus B sur 2, le rayon B moins A sur 2, la demi-distance, ça c'est une boule fermée, et bien je prends une application continue de la boule fermée dans la même boule fermée, alors il existe un point de vue pour f, il existe un x dans B tel que f de x égale x.

Voilà une généralisation complète de ce superbe théorème, qui est bien plus dur à démontrer mais qui est quand même vachement sympathique. Enfin voilà ! Eh bien, ah bah tiens, j'avais mis la preuve là, je vous avais dit, on prend le théorème de la valeur intermédiaire avec f de x moins x, et donc c'est facile de le démontrer. Je me suis planté dans l'animation, désolé, c'est pas grave.

Voilà, et bien c'est tout pour cette petite vidéo, j'espère que vous avez vu tout ce que vous vouliez savoir, donc j'espère que ça va vous motiver à regarder la suite surtout, parce qu'on va maintenant détailler toutes ces choses-là, on va voir plein de vidéos sur la notion de distance, sur la notion de normes. sur les ouverts, sur les fermés, dont je n'ai pas parlé aujourd'hui, sur les complémentaires des ouverts, donc on va voir ce que c'est qu'une partie connexe, une partie compacte, une partie complète, enfin bref, on a plein de beaux de choses, l'intérieur, l'adhérence, on a plein de notions super sympathiques à voir, plein de jolis théorèmes à démontrer, et donc je vous dis à bientôt pour découvrir tout ça ensemble. Et j'en profite pour remercier un petit bonus pour les tipeurs et pour ceux qui sont restés jusqu'au bout, donc voilà, merci à tous ces gens-là qui m'ont soutenu financièrement sur Tipeee, C'est super sympa, même quand je le répète tout le temps, j'en ai pas besoin pour vivre, mais franchement ça fait de l'argent de poche qui est hyper agréable à utiliser pour me payer des bières ou autre chose. Donc merci encore infiniment à vous, c'est super.

Je sais que cette vidéo vous me l'avez demandé il y a hyper longtemps, j'ai commencé à travailler sur les premières diapos en 2020 je pense, donc c'était pendant le Covid, et il a fallu beaucoup de temps pour maturer tout ça. J'ai obtenu le cours avec les L3 de Topo, donc ça m'a aussi remotivé pour le refaire, pour le... enfin bref. Donc voilà, il y a plus de 500 diapos qui sont déjà faites, là on a vu les 40 premières, donc ça va être long, ça va être machin, mais j'ai essayé de bien détailler, de mettre plein d'exemples pour essayer de faire comprendre intuitivement tout ça, donc là j'ai survolé, on peut dire oh là là, il va trop vite et tout, c'est pour vous donner une petite image de ce qui vous attend en gros, mais on va voir tout ça dans le détail, j'espère de façon la plus didactique, je vais mettre des exercices à faire aussi, d'accord, qu'il faudra avec des corrections d'exercices qui suivront plus tard pour vous inciter, parce que c'est comme ça qu'on apprend, c'est en cherchant les exos, donc voilà, j'ai essayé de faire en sorte que ce cours... topo ce soit un petit peu mieux que ce que je fais d'habitude soit un petit peu plus permettent un peu mieux d'apprendre les choses bon moi j'espère vous me direz ce qu'il en est ou pas j'espère que ça a marché en tout cas moi j'essaye des trucs voilà et donc armez vous de courage c'est un sujet qui est important qui sert dans les à la grecque ce genre de choses évidemment pour la licence pour le cap s c'est vrai que ça sert pas forcément énormément mais les raisonnements sont hyper important c'est à dire les raisonnements théorie des ensembles la logique les raisonnements à plus qu'une étape et ça Ça, c'est des compétences essentielles, même pour le CAPES.

Et donc, je pense qu'étudier ce sujet, de toute façon, c'est utile pour tout le monde, enfin, tous ceux qui veulent faire des maths. Enfin bref, allez, sur ce, je vous remercie d'être arrivé jusque là, parce que mine de rien, ça doit faire au moins une heure. Et puis, je vous dis à bientôt pour la suite.

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