Was ist eine Reihe? Die Frage, die wollen wir mit diesem Video beantworten und die Frage sollte sich jeder Ingenieur mal in seinem Ingenieursleben stellen. Warum?
Weil die nicht nur wichtig in Hümer 1 sind, sondern für unsere ganze Arbeit als Ingenieur wichtig sind. Wir können viele Rechnungen mit sogenannten Tailor-Reihen vereinfachen, das werdet ihr später noch lernen, aber deshalb ist es in Hümer 1 eben, also für euch, ganz wichtig, sich das jetzt einmal klar zu machen und zu verstehen. Für Hümer 1 im Allgemeinen, für die Klausur ist es so, dass man eigentlich auch wieder ähnlich wie bei den Folgen Grenzwerte bestimmt mit bestimmten Kriterien. Der einzige Unterschied ist, dass es ein bisschen schwieriger sein wird. Aber das macht es ja auch irgendwie interessanter, deswegen wollen wir jetzt starten.
Womit starten wir? Na ja, mit einer Folge. Ich habe gerade schon gesagt, dass es ähnlich ist. Deswegen, um die Reihen einzuführen, schreibe ich nochmal kurz die Standardfolge auf, 1 durch n. Die solltet ihr alle kennen, wenn ihr das Video schaut.
Das heißt, wenn ihr das noch nicht kennt und euch die Folgen noch nicht vertraut sind, guckt erst die Folgenvideos. Das ist essentiell für die Reihen. Denn was wir jetzt machen ist, wir definieren eine neue Folge.
Neue Folgenglieder, die nennen wir nicht mehr A, die nennen wir S. Und fangen einfach mal an mit S1. Und das, sagen wir, ist das gleiche wie A1.
Und A1, ist klar, ist 1 durch 1 gleich 1. So, dann weiter mit S2, das zweite Folgenglied. Und jetzt kommt eben das, was Reihen ausmacht, jetzt summieren wir. Wir definieren jetzt S2 ist gleich A1 plus A2.
Die Summe der ersten beiden Folgenglieder dieser Folge ist gleich 1 durch 1 plus 1 durch 2 ist gleich 3 halbe. So, weiter mit S3. Ich denke, was jetzt passiert, könnt ihr euch schon denken, nämlich A1 plus A2 plus A3. Das ist das gleiche wie 1 durch 1 plus 1 durch 2, das kennen wir, plus 1 durch 3. Das ist das gleiche wie 3 halbe plus 1. Drittel. Und das ist das gleiche wie 11 Drittel.
Gleich 11 Drittel. Das heißt, was wir hier sehen, sind einzelne Glieder S1, S2, S3, die bestehen aus einzelnen Summen von Folgengliedern. Und diese Glieder S1, S2, S3 nennt man Partialsummen.
Warum Partialsummen? Weil irgendwie nur bestimmte Teile der Glieder aufaddieren. Wir addieren hier das erste, oder addieren gar nicht.
Aber hier addieren wir das erste und das zweite, hier addieren wir die ersten drei. Genauso geht es in S4 weiter, da addieren wir die ersten vier. Das heißt, das nennt man Partialsummen.
Partialsummen. Und jetzt können wir einfach mal weitermachen und weiterdenken und sagen, dass wir diese Partialsummen hier, S1, S2, S3, eben als Folgenglieder ansehen. Das ist eine neue Folge.
Als erste Folge gibt es das, das zweite das. und das dritte das. Das heißt, wir definieren die Folge Sn mit n Element n0 im Allgemeinen.
Die Schreibweise kennen wir von den Folgen, das ist eben einfach eine Folge. Und diese Folge können wir einfach schreiben als, es ist eine Summe, wie wir sehen, es ist eine Partialsumme, als Summe von k gleich 0 bis n über ak. Und das Ganze eben mit n.
Element n0. Und was ist dieses n? Das n ist einfach, wenn wir weitergehen, s1, s2, s3, dann können wir ja genauso gut mal gehen bis sn ist dann gleich a1 plus alles andere plus an gleich die Summe von k gleich 0 bis n. In dem Beispiel jetzt mit 1 durch n eben über 1 durch k. Das ist nur sn.
Aber gut. Das heißt, das hier, ganz wichtig, das ist eine Folge. Und was ist das? Das ist die Folge von diesen Partialsummen. Das heißt, wie könnte die wohl heißen?
Das ist eine Partialsummenfolge. Partialsummen. Partialsummenfolge.
So, und das Video heißt ja jetzt Reiheneinführung und nicht Partialsummenfolgen-Einführung. Deswegen haben sich die Mathematiker überlegt, das Wort ist zu lang, das nennen wir Reihe. Das hier ist das gleiche wie eine Reihe.
Heißt, eine Reihe, die immer so ein bisschen kryptisch aussieht mit Summenzeichen, ist nichts anderes als Folgenglieder. Das heißt, es ist eine Folge und diese Folgenglieder bestehen aus Summen von anderen Folgengliedern. Das erste Folgenglied aus dem, das zweite Folgenglied ist wieder eine Summe von Folgengliedern von dieser Folge. Das müsst ihr euch einmal klar machen.
Und das ist eine Reihe. Jetzt gibt es da noch eine andere Schreibweise, für die man manchmal sieht, eigentlich immer sehen wird in den Aufgaben. Und die ist nämlich... Folgendermaßen, da schreibt man jetzt die Summe von k gleich 0 bis unendlich über ak.
Ganz wichtig, dieses Unendlich hier oben. Das heißt jetzt nicht, dass wir unendlich viele Folgen hier aufaddieren. Das heißt, dass wir den Grenzübergang machen.
Dass wir Limes n gegen Unendlich, hier dieses n, gehen lassen und den Grenzübergang machen. Und dann den Grenzwert dieser Partialsummenfolge, dieser Reihe, bestimmen wollen. Ihr wisst es doch von den Folgen, da wenn wir das n immer größer werden lassen, dann kriegen wir einen Grenzwert irgendwann.
Genauso kriegen wir bei den Reihen auch einen Grenzwert. Und weil eben nur dieser Grenzwert das ist, was uns interessiert, schreiben wir es in den Aufgaben meistens direkt so auf, meinen damit, dass wir direkt an diesem Grenzübergang interessiert sind. Das Wichtigste ist jetzt aber, dass ihr eben das versteht, dass eine Reihe eine Summation von Folgengliedern ist. Dass eine Reihe eine Folge ist und die Folgenglieder sind eine Summation von anderen Folgengliedern. Ich sage das jetzt schon zum dritten Mal wahrscheinlich, aber das müsst ihr wirklich verstehen.
Das ist das Richtige. Kleines Bildchen dazu, um das nochmal zu verdeutlichen, dass eine Reihe auch eine Folge ist. Hier ist jetzt mal n, ja jetzt finde ich 1, 2, 3. So, hier ist 1, 2, 3. Dann machen wir direkt mal die Folge 1 durch n.
Ich nehme eine andere Farbe. 1 durch n eingezeichnet, 1 durch 1 ist 1. 1 durch 2 ist 1,5. 1 durch 3 ist dann irgendwo hier ein Drittel.
Das kennen wir, das ist eine Folge. So, jetzt die zugehörige Reihe. die irgendwo steht, aber die ja ungefähr so aussieht. Das erste Glied, S1, steht hier schon, muss ich nicht neu aufschreiben, steht hier, S1.
Ist also, dieser Wert ist das erste Reihenglied. Der zweite Wert ist 3 halbe, 1,5, liegt hier. Der dritte Wert, 11 Drittel, das ist ein bisschen kleiner als 4. Das sind eigentlich 11 Sechstel, ein bisschen kleiner als 2. Ja klar, das sind 11 Sechstel, ja, hier muss ein Sechstel. Sehr gut aufgepasst. Genau, ein bisschen kleiner als 2 liegt dann also hier.
Dann sehen wir, dass eine Reihe auch einzelne Glieder hat. Das ist eben diese Partialsummenfolge. Und wir sehen, dass die komplett anders verläuft als diese Folge.
Die Folge 1 durch n verläuft so und konvergiert gegen die 0. Die Reihe 1 durch n, also die Summe 1 durch n dann, verläuft nochmal nach oben. Und ich kann euch schon vorwegnehmen, diese Reihe divergiert. Aber wir sehen, das ist die Message, es gibt einzelne Glieder, eine Reihe ist also auch eine Folge und das ist erstmal die Einführung.