Overview
In dieser Vorlesung ging es um die Integration rationaler Funktionen mithilfe der Partialbruchzerlegung. Es wurden Methoden zur Zerlegung, Bestimmung von Koeffizienten und Integration der entstehenden Brüche behandelt.
Grundlagen rationale Funktionen
- Eine rationale Funktion hat die Form R(x) = P(x)/Q(x), wobei P, Q Polynome ohne gemeinsame Faktoren sind.
- Voraussetzung: Grad von P(x) ist echt kleiner als Grad von Q(x); sonst zuerst Polynomdivision.
Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung
- Nullstellen des Nenners Q(x) bestimmen (reelle und komplexe, ggf. mit Vielfachheiten).
- Faktorisiere Q(x) in Linearfaktoren (x - a) für reelle Nullstellen und in quadratische Polynome ohne reelle Nullstellen für komplexe Nullstellen.
- Zerlege Q(x): Q(x) = C ⋅ Produkt aus Linearfaktoren ⋅ Produkt aus quadratischen Faktoren.
- Stelle Ansatz auf: Für jede einfache reelle Nullstelle (x - a): A/(x - a); für Vielfachheit n: A₁/(x - a) + ... + Aₙ/(x - a)ⁿ; für quadratische Faktoren: (Bx + C)/(quadratischer Faktor).
Bestimmung der Koeffizienten
- Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner, so dass der Zähler isoliert wird.
- Bestimme die Koeffizienten:
- Möglichkeit 1: Setze gezielt Nullstellen ein (vereinfacht das Gleichungssystem).
- Möglichkeit 2: Koeffizientenvergleich nach Potenzen von x und Löse das dadurch entstehende lineare Gleichungssystem.
Integrationstypen nach Partialbruchzerlegung
- Typ 1: ∫ 1/(x - a)ⁿ dx → Für n=1: ln|x - a|, für n>1: Potenzregel anwenden.
- Typ 2: ∫ (Ax + B)/(x² + bx + c)ⁿ dx → Für n=1 & Ableitung im Zähler: ln; sonst: Substitution/partielle Integration/Arkustangens.
- Typ 3: ∫ 1/(x² + b)ⁿ dx, n=1: Arkustangens; n>1: Rekursionsformel, Umformung/partielle Integration.
Beispiele
- Partialbruchzerlegung und Integration für Funktionen mit reellen und komplexen Nullstellen.
- Vereinfachung und Integration durch Partialbruchzerlegung erleichtert das Lösen schwieriger Integrale.
Key Terms & Definitions
- Rationale Funktion — Quotient zweier Polynome.
- Polynomdivision — Division, um Grad der Funktion zu reduzieren.
- Partialbruchzerlegung — Aufspaltung einer rationalen Funktion in Summen einfacherer Brüche.
- Koeffizientenvergleich — Methode zum Bestimmen unbekannter Werte in einem Ansatz.
- Arkus-Tangens — Umkehrfunktion des Tangens, entsteht beim Integrieren von 1/(x² + b²).
- Substitution — Variablenersatz zur Vereinfachung eines Integrals.
Action Items / Next Steps
- Übe das Aufstellen und Lösen von Partialbruchzerlegungen für verschiedene Funktionstypen.
- Berechne Integrale für alle vorgestellten Typen (Typ 1, Typ 2, Typ 3).
- Hausaufgabe: Bearbeite zusätzliche Beispiele zur Partialbruchzerlegung und Integration aus dem Übungsblatt.