[Musik] einen wunderschönen guten Morgen alle zusammen und herzlich willkommen zurück zur Vorlesung höre Mathematik 2 für BCI BW MLW Vorlesung 16 heute ist das Thema Integration rationaler Funktion patialbruchzerlegung ja eigentlich ein eigenständiges Thema aber man braucht das eben für die Integration rationaler Funktion also viele davon jedenfalls manche kann man durch Tricks oder durch gutes hingucken lösen aber die meisten muss man eben mit Hilfe von der Partialbruchzerlegung auflösen und dann integrieren das gucken wir uns heute vollständig an also wir betrachten für Polynome p und q rationale Funktion vom Typ R von X ist P von X dur Q von X ne oben steht ein Polynom unten auch dabei setzen wir voraus dass P und Q keine gemeinsamen Faktoren haben ne also wir können nichts mehr kürzen und der Grad von P soll echt kleiner als der Grad von Q sein jetzt kann es natürlich sein dass der Grad von P größer ist oder gleich dem Grad von Q dann machen wir folgendes also wenn wenn das so ist dann führt man Polynomdivision durch ne zwischen diesen beiden Polynom und erhalten dann eben unser R von X als Darstellung durch das Ergebnis der polynomivision plus ein Rest ne kennen wir ja schon also P2 von X durch Q von x und dann ist tatsächlich der Grad von p2 von X echt kleiner als der Grad von Q und hier haben wir ganz normales Polynom das können wir natürlich easy integrieren und da haben wir jetzt unsere Voraussetzung dass der Grad von dem was im Zähler steht kleiner sein soll als was im Nenner steht so das schon mal gut und dann machen wir als erstes wir bestimmen die Nullstellen und zwar vom Nenner also bestimme alle reellen Nullstellen X1 bis XM von Q ne das Polynom was im Nenner steht und die zugehörigen vielfachheiten wir kennen es ja schon so ein bisschen aus mit Nullstellen auch von Polynomen ne wir kennen die linearfaktorzerlegung und wissen wie das aussieht so also und wissen auch dass natürlich Nullstellen mehrfach vorkommen können also müssen wir auch die zugehörigen vielfachheiten L1 bis LM uns angucken dann lässt sich also Q zerlegen in Q von X = irgendeine konstante wir wissen das schon das ist der leitkoeffizient die konstante ne mal x- X1 hoch L1 und so weiter bis x- XM hoch LM je nachdem wie oft die dann vorkommen mal g von X warum mal g von X ja dieses g von X ist eben haben wir ja auch schon gelernt beim reellen Polynom kommen ja nicht immer nur reelle Nullstellen raus sondern manchmal auch komplexe die lassen sich also in R nicht in Linearfaktoren aufspalten ne das heißt wir haben eventuell noch ein Polynom dahinter ja also C aus R ist konstant g ist ein Polynom ohne reelle Nullstellen so über das Polynom g beachte g hat keine reell Nullstellen wissen wir schon dass Grad g eine gerade Zahl sein muss warum ja wir haben schon gelernt in hömer 1 dass wenn wir eine reelle ein reelles Polynom haben mit ungeradem Grad dann haben wir auf jeden Fall mindestens eine reelle Nullstelle das liegt daran dass ein Polynom mit reellen Koeffizienten wenn wir da eine Nullstelle raus kriegen dann haben wir noch eine Nullstelle raus nämlich auch die Komplex konjugierte ja und wenn wir Grad haben dann haben wir auf jeden Fall das dann nur das muss mindestens eine reell sein sonst kommen wir nicht auf eine ungerade Zahl ne Beier reellen ist die kon Komplex ja gleich der reellen also kriegen wir keine neue dazu bei einer komplexen hätten wir dann auf einmal noch ein mehr wie eine gerade Zahl okay so und G lässt sich zerlegen in die Form g von X = Q1 von X K1 x Q2 v x H K2 und so weiter mal qn von x hoch knn sieht ein bisschen kompliziert aus heißt aber eigentlich nur g von X kann man unterteilen in quadratische Polynome die keine reelle Nullstelle haben ja also wobei QJ von X = x² + ajx + BJ quadratische Polynome ohne reelle Nullstellen sind ne wir können das so runterbrechen dass wir immer ähm alten Produkt von quadratischen Polynomen haben ohne reelle Nullstellen so insgesamt gilt also Q von X = C mal und dann die reellen Nullstellen als quasi linearfaktorzerlegung und dahinter noch eben die quadratischen Polynome in bestimmter vielfachheiten alle ohne reelle Nullstellen ja also so ganz so übel werden unsere Polynome nicht aussehen aber hen können schon mal so ein zwe Polynome von grad 2 vor kommen mit nur komplexen Nullstellen das geht schon ne auch miter höheren Vielfachheit das geht alles so also zweite Schritt wir haben jetzt ja unsere Nullstellen ausgerechnet und unser Polynom so ein bisschen in so einer Art pseudolinearfaktor Zerlegung hingeschrieben zweite Schritt ist der partialbruchansatz so also man kann zeigenchuldigung dass ich r= P von X dur Q von X immer in eine Summe von einfachen rationalen Funktion die sogenannten partialbrüche zerlegen lässt okay gucken wir uns das mal am Beispiel an also R von X soll dieses hier sein x H 3 + 2x dur x H 5 + X ho 4 - X - 1 wir sehen der Grad oben ist echt kleiner als unten brauchen also nichts mehr mit Polynomdivision sondern können sofort starten wir berechnen also dann die Nullstellen des Nenners das machen wir und das sind das machen wir jetzt hier nicht vor sondern wir probieren natürlich ne wir wissen auch schon irgendwie nach dem Satz von Gaus was da so rauskommen kann ne 1 und -1 als rational und damit dann auch ganze Nullstellen also x = 1 kommt einmal vor x = -1 kommt zweimal vor dann haben wir alle reell Nullstellen damit ausgerechnet bzw alle rationalen und natürlich sind da auch noch ein paar komplexe dabei übrig bleibt dann noch nämlich wie kriegen wir das raus ja wir machen Polynomdivision erstmal durch x- 1 dann noch mal durch X + 1 und noch mal durch X + 1 und dann kriegen wir raus das Polynom x² + 1 das haben wir schon mal gesehen ne das kennen wir schon x² + 1 hat keine reell Nullstellen ne x² + 1 = 0 x² = -1 also wissen wir i und -i sind da die Nullstellen ne bei der Partialbruchzerlegung ist das aber eigentlich gar nicht so wichtig dass man die Nullstellen weiß sondern wir bleiben ja bei den Polynom okay und das ist unser g von X ne sozusagen unser restpolynom was keine reell Nullstellen hat so beachte g hat keine reell Nullstellen J also das sollte man jetzt auch wissen wenn man das sieht dass das keine reell Nullstellen hat und dass i und -i die Nullstellen davon sind also folgt R von X ist erstmal gleich das was wir oben schon hatten und jetzt können wir das Umschreiben unten ne wir machen dann quasi x- 1 ist ja die erste Nullstelle X + 1 also natürlich Quatsch zu sagen X - 1 ist die erste Nullstelle ihr wisst ja wie man das macht wir ziehen die ein da ab und haben unseren ersten Linearfaktor dann ziehen wir die -1 ab dadurch kriegen wir dann das Plus und haben unseren zweiten Linearfaktor und der kommt zweimal vor also haben wir hoch 2 und dann schreiben wir noch dahinter mal x² + 1 so und jetzt sag wir das ist auf jeden Fall gleich a dur x- 1 + B dur X + 1 + C dur X + 1 qu + D mal X + E dur x² + 1 das ist jetzt unsere Partialbruchzerlegung ja also und natürlich haben wir noch jede Menge unbekannt aber ich erklärre mal woher das jetzt kommt okay wir haben ja hier haben wir die einfache Nullstelle 1 mit also x- 1 steht da im ler da schreiben wir einfach hin und schreiben da ein Großbuchstaben a wir gehen immer der Reihe nach der nächste wä dann B ne wir starten mit a dann haben wir den da die nur einmal vorkommt haben wir auch nur einen Bruch der davon hergeleitet ist ne dann das nächste haben wir X + 1 und das ist hat hier D also das kommt ja zweimal vor also müssen wir das jetzt machen einmal mit X + 1 dann schreiben wir dann groß B drüber und einmal mit X + 1 zum Quadrat da schreiben wir dann C drüber wenn der jetzt dreimal aufgetaucht wäre hätten wir B dur X + 1 + C dur X + 1² + D dur X + 1 hoch 3 ja immer wenn die doppelt auftauchen oder dreifach müssen wir dann alle von Grad 1 bis zu dem bestimmten Grad dann immer mitnehmen so das waren jetzt unsere drei reellen Nullstellen ne man kann sich also merken für jede Nullstelle kriegen wir ein Bruch haben wir jetzt schon ne so und jetzt haben wir noch unsere beiden Komplexen Nullstellen und da nehmen wir einfach den gesamten Bruch aber wir wissen ja auch das sind zwei Nullstellen also brauchen wir da zwei Variablen und wir schreiben dann immer bei so einem komplexen bei so einem Polynom was nur komplexe Nullstellen hat schreiben wir oben immer D mal X + E bzw die Buchstaben die dann dran sind ne Buchstabe mal X + den nächsten Buchstabe und unten dann einfach dieses hier so wenn das jetzt hier auch zum Quadrat gewesen wäre dann müssen wir auch wieder doppelt das machen ne dann haben wir d mal X + E dur x² + 1 + und dann f* X + G dur x² + 1 zum Quadrat ne für jeden müssen wir immer ein machen okay also das ist schon mal unsere erste Auflösung hier dann müssen wir natürlich im nächsten Schritt müssen wir dann ausrechnen wie kriegen wir die ab CDE e dann jetzt raus beachte bei der doppelten Nullstelle x = -1 haben wir auch zwei Brüche ne einmal mit Ordnung 1 hier und ein mit Ordnung 2 jo wie kriegen wir jetzt die Koeffizienten raus ne das machen wir jetzt mit dem obigen partialbruchansatz erhält man nun die Unbekannten ne hier haben wir A bis E durch erstens Multiplikation mit dem Hauptnenner zweitens ordnen nach den Potenzen von x drittens Koeffizientenvergleich und viertens Lösung des linearen Gleichungssystems okay sehen wir uns das mal am Beispiel an also wir hatten ja unser R von X das hatten wir jetzt schon gebracht in diese Form und jetzt wollen wir unsere Koeffizienten hier ausrechnen so als erstes stand da wir multiplizieren mit dem Hauptnenner ja das heißt wir gucken uns nur diese Gleichung jetzt an das R von X brauchen wir jetzt nicht und multiplizieren mit dem Hauptnenner und zwar mit diesem hier ne mit dem machen wir auf beiden Seiten dann fällt der hier weg der Bruch und hier fällt auch jeweils der Bruch weg weil das ja alles Teiler von dem sind okay also also wir multiplizieren wenn wir mit dem multiplizieren dann wissen wir natürlich nicht genau was hier überbleleibt wir wissen h aber das ist genau das hier ja das heißt wir multiplizieren dann eigentlich mit dem wir wissen ab aber dass das der ist ne und dann können wir genau wissen was hier übrig bleibt was wegfällt ne also viel cooler so also wir multiplizieren damit und dann liefert das auf der linken Seite bleibt nur noch über x hoch 3 + 2x ne weil das ja mal genommen genau das hier gibt so und auf der rechten Seite sehen wir bei a z.B fällt ein x- 1 Weg der Rest bleibt bei B fällt ein X + 1 Weg der Rest bleibt ne also X + 1 nur noch hoch 1 nicht mehr hoch 2 bei C fällt dies komplett weg wir haben nur den und den über und bei DX + E fällt natürlich dann nur dieser Weg und die restlichen beiden stehen dann da ja sieht also wird nicht unbedingt so viel schöner jetzt aber Vertrauen das kommt gleich alles ne okay so jetzt müssen wir rechnen ja wir machen das erstm jetzt nach der Brachialmethode die eigentlich immer funktioniert die aber ein bisschen dumm ist ne aber wir bringen euch das einfach mal erstmal bei wie man das ganz dumm macht und dann also wie es immer funktioniert ohne nach vielleicht ist ja dumm nicht die richtige richtige Wort sondern ohne nachdenken wie man es einfach macht mit der Brute Force Methode quasi wir multiplizieren alles aus ja erstmal multiplizieren wir das alles aus so dann haben wir das dann multiplizieren wir das alles aus ne hier tatsächlich kommt ja x²- 1 aus und das mit damit genommen dritte binomische Formel x 4 -1 bei C rechnen wir was aus bei D und bei E ja ist also viel Arbeit und viel Potential um sich zu verrechnen deswegen ist die Methode nicht ganz so schlau aber wir machen die einmal jetzt so jetzt ordnen wir das stand da gerade ordnen wir nach den Potenzen ja also wir gucken wo taucht hier überall X + 4 x hoch 4 auf und das wä hier bei W a da + b c nicht D ja + D und sonst nichts mehr das heißt x 4 können wir ausklammern zu A + B + D das gleiche mit x H 3 ja dann haben wir hier 2a hier ist nix + C + D + E ja und so weiter das machen wir für alles für x² für x und auch für den die Terme ohne x das sind dann die restlichen hier sieht man auch hier das wären a - b - C die ist keine - e ne okay das haben wir jetzt schon so die rechte Seite muss und das ist jetzt eigentlich das das coole deswegen mache ich das jetzt vor weil das ist jetzt das wichtige das hier ist ja jetzt ein riesiges eklig aussehendes Polynom aber wir haben h ein Gleichzeichen zwischen und tatsächlich muss das dasselbe sein wie das hier ja das sieht noch ein bisschen angenehmer aus jetzt wissen wir nämlich schon ein bisschen was wir wissen z.B dass dieses hier A + B + D was vor dem x 4 steht hier steht gar kein x 4 ne hier könnte man vielleicht 0 x x 4 noch davor schreiben das heißt A + B + D = 0 ne okay so also was wir damit sagen wollen ist wir machen Koeffizientenvergleich also das hier muss gleich 0 ergeben dieses hier muss gleich 1 ergeben damit das passt x²adrat taucht Links nicht auf also muss das auch wieder 0 sein x taucht auf das hier muss g=ich 2 sein und konstante Faktor eine konstantensummant haben wir nicht also muss auch das hier gleich n0 se also die rechte Seite muss dasselbe Polynom ergeben wie das auf der linken Seite somit erhalten wir also durch Koeffizientenvergleich was ich gerade erklärt habe folgendes lineares Gleichungssystem ja wir kriegen also viele Gleichungen raus beachte es tauchen Links nur Koeffizienten ungleich 0 auf bei x hoch 3 und x genau also unser gleichungsystem was wir kriegen ist genau das wenn man für x hoch 4 guckt dann haben wir einmal a + b + D auf der linken Seite stand aber gleich 0 bei x hoch 3 hatten wir dieses hier auf der auf der linken Seite stand 1 x² auf der linken Seite stand 0 x auf der linken Seite stand 2 und ohne X auf der linken Seite stand 0 das ist unser lineares Gleichungssystem hier noch mal dazu geschrieben woher das genau jetzt kam das kennen wir schon wie wir das machen ja wir schreiben das in der Matrix rechne das einfach aus lösen das ne so die Lösung des Gleichungssystems lautet das machen wir jetzt nicht vor das könnt ihr euch zu Hause noch mal angucken müsst auf jeden Fall können weil bei sowas muss man das halt immer machen A = 38 b = -1/ c = 34 D = -14 und e =-1/4 also haben wir wir haben die fünf Koeffizienten jetzt ausgerechnet also haben wir R von X insgesamt umgewandelt in die Form R von x = 38 dur x- 1 -1 dur 8 x X + 1 + 3 dur 4 x X + 1 qu - X + 1 dur 4* x² + 1 okay also D und E haben wir beide hier reingezogen so sieht das aus ne das war die brotfce Methode das war jetzt sozusagen das Vorgehen ohne viel nachdenken das funktioniert natürlich immer wenn man sich dann nicht verrechnet und genug Zeit hat Alternative die ich euch auch dringend anraten würde wir sparen uns nach Multiplikation mit dem Hauptnenner das machen wir immer ne wir multiplizieren immer mit dem Hauptnenner dann sparen wir uns viel Rechen dabeit wenn wir einfach nur geschickt einsetzen danach und geschickt einsetzen heißt da steht ja immer was mit X wir setzen mal die Nullstellen ein die wir gefunden haben ja oder man kann später dann auch wenn z.B 0 jetzt keine Nullstelle ist kann man einfach mal die Null einsetzen und dann dadurch auch was rauskriegen ne okay also wir setzen viel Rechner wir sparen viel rechnerbeit durch nacheinander einsetzen spezieller Werte für X nämlich die reellen und komplexen Nullstellen des Nenners erstmal hier x = -1 1 i und -i das können wir alles einsetzen falls nötig kann man noch einfache Werte z.B die 0 einsetzen brauchen wir in dem Beispiel nicht aber das kann man tatsächlich manchmal machen ja das ist ja ein polyn n das gilt für alle reellen Zahlen also kann man alle reellen Zahlen einsetzen und dadurch kriegt man bestimmte vereinfachte Gleichung man hat ja kein X mehr da drin und dann kriegt man das auch raus ne meist genügen die Nullstellen tatsächlich für eine deutliche Vereinfachung wir gucken uns das mal an also z.B dann Einsetzen von x = 1 wir setzen also nachdem wir das mit dem Hauptnenner mal genommen haben auf linker und rechter Seite einfach mal x = 1 ein dann steht da 1 H 3 + 2 x 1 linken Seite auf der rechten Seite steht a mal 1 + 1 qu mal 1 qu + 1 also 3 = 8 x a und damit sofort A = 38 wir gehen mal ein bisschen zurück und gucken uns das noch mal genauer an an unserem Polynom das waren wir jetzt hier ein bisschen zu so hier gucken wir uns das noch mal ne wir nehmen das ja so wir haben das mal genommen mit dem Hauptnenner dann steht da das und dieses hier das machen wir jetzt nicht weiter sondern bleiben da und jetzt setzen wir da -1 ein ja hatten wir jetzt -1 eingesetzt muss ich gucken -1 oder 1 womit haben wir gestartet 1 ja -1 wäre vielleicht cooler gewesen jetzt aber wir haben mit 1 gestartet okay so also wir sehen uns das hier an ich mach vielleicht noch mal seit zurück dass wir nur das haben kanönnen wir das besser sehen so wir setzen jetzt x = 1 ein D steht h also hier 1 ho 3 + 2 x 1 okay jetzt gucken wir uns hier wenn wir da einsetzen setzen mal für x = 1 ein okay alles klar aber jetzt gucken wir uns mal die anderen an hier steht X - 1 wenn wir da 1 einsetzen kommt hier 0 raus das heißt der ganze Rest interessiert uns nicht mehr 0 mal irgendwas ist 0 hier auch 1 - 1 ist 0 also ist das insgesamt 0 und selbst hier bei dem komplizierten 1- 1 ist 0 also das alles weg das heißt wir haben das hier fällt komplett weg das fällt komplett weg und das fällt komplett weg ne wenn wir x= 1 hier einsetzen 1 1 1 und 1 und dann sieht man wir haben nur noch a und ansonsten zahlen und wir kriegen dann a raus und das ist 38 genauso macht man das für X = -1 ne dann sehen wir okay dann sehen wir hier fällt weg bei x= -1 fällt das hier weg x=- ein fällt das hier weg ne hier das jetzt nicht aber das hier fällt weg und dann kriegen wir eben kriegen wir raus das was mit C ja okay gehen wir wieder zurück machen wir das an der Stelle weiter dann habt ihr jetzt denke ich mal verstanden was wir da gemacht haben also für x = 1 haben wir rausgekriegt dieses hier die einzigen Sachen die überbleiben und umstellen nach a liefert dann A = 38 so nächste Nullstelle x = -1 fallen auch etliche Sachen weg und es bleibt nur das über mit C rechnen wir auch alles aus ne muss man nur aufpassen dass man sich nicht hier mit den Minuszeichen verrechnet und man sieht dann dass C = -34 -3 dur -4 also 34 ist ne wir haben also a und c jetzt schon raus einfach nur indem wir einfache Nullstellen eingesetzt haben ja also easy also B bekommt man hier so einfach nicht raus ne aber trotzdem ist die Berechnung nun deutlich einfacher da ja A und C schon bekannt sind ne wir können also a und c könnte man jetzt in diese Gleichung einsetzen und hat nur noch drei Unbekannte ne so aber wir machen natürlich weiter mit D und E denn das sind ja unsere Koeffizienten bei den kom Nullstellen und da setzen wir jetzt natürlich die komplexen Nullstellen ein also I und -i das führt auf ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ne wenn wir nämlich i einsetzen kommt das hier raus und genau das also das ist die linke Seite hier genau i H 3 ist -i + 2 ist i das die linke Seite und das wä die rechte Seite dann setzen wir das alles ein kriegen das raus und bei i kriegen wir auch was raus ne dann haben wir - I g=ich das hier i =ich das hier und i= das hier haben so zwei Gleichung immer noch mit zwei Unbekannten also ein kleines lineares Gleichungssystem wenn man die beiden addieren sieht man schon fällt was raus dann kriegen wir raus 2E = -i dur 2* 1 + i das ist immer ein bisschen kompliziert weil man dann erstmal die komplexen Zahlen aus dem Nenner vertreiben muss ne durch malnehmen durch erweitern mit dem konjugier Komplex und im Endeffekt kommt dann daraus - 1/ ja 2E = - 1/ also ist e = -1 vi und Subtraktion von den beiden Gleichungen führt dann zu D oder wir setzen einfach das E oben ein und dann kriegen wir es auch raus ne und liefert dann D =-1 so jetzt haben wir schon 4 raus ne A C D und E fehlt nur noch das B und B erhält man schließlich dann durch einsetz und dann kriegt man es raus ne so aber ist natürlich dann viel einfacher das einzusetzen wir haben dann nur noch eine Gleichung mit einer unbekannten ne okay bzw ja genau so ist das mit viel einfacherem Koeffizienten Vergleich so okay wir haben also R von X war ja unser unsere gegebene ganz rationale Funktion dann haben wir die umgestellt in diese Partialbruchzerlegung W haben jetzt die enten rausgekriegt und das ist unser Ergebnis hier so was nützt uns das jetzt ja erstmal ist immer gut wenn man sowas kann aber natürlich wollen wir das haben zur Integralrechnung denn also ich meine wenn wir es nicht zur Integralrechnung bräuchten könnte man noch sagen ja okay die sehen auf jeden Fall schon mal einfacher aus jeder für sich als dieses hier ne das heißt wir wir ersetzen ein schwierigen Bruch durch vier einfachere ne aber für Integralrechnung vor allen Dingen ist es jetzt extrem wichtig speziell z.B für die Berechnung von ja integral von diesem R von X DX ja da können wir natürlich jetzt das ersetzen durch die Summe von diesen dann machen wir da vier integrale raus und die müssen wir dann jo und der Max rechnet euch jetzt erstmal noch so ein paar partialbruch äh ung vor bevor wir das dann auch wirklich uns überlegen dann danach wie sehen diese einzelnen integrale von diesen auftretenden Brüchen dann aus okay also bis gleich so dann schauen wir uns einmal ein paar Aufgaben zum Thema partialbuchzähigung an in der ersten Aufgabe haben wir die Funktion f gegeben mit F vonx = - 2x - 2 x² + 7x + 12 und vorsichtig gesagt gesagt ist das hier eine recht komplizierte rationale Funktion und das Ziel einer partialbuchzerlegung ist es nun diese ja Funktion f als Summe von einfachen rationalen Funktionen aufzuschreiben sodass man dann z.B diese Funktion besser integrieren kann das werden wir später dann noch machen so und für diese partialbuchzerlegung gibt es ein Vorgehen das hat Martin gerade auch schon in der Vorlesung einmal ausführlich vorgemacht und wir werden das jetzt auch noch mal machen und zwar im ersten Schritt muss mus man immer überprüfen was ist der zählergrad und was ist der nennergrad also wie ist der Grad des Polynoms im Zähler und im Nenner abgekürzt mit ZG und mit ng und wir sehen in unserem Fall der zählergrad also das Polynom im Zähler hat grad 1 und im Nenner ist grad 2 bedeutet nennergrad ist größer zählergrad jetzt kann man sich überlegen okay was bringt mir das ja die Sache ist wenn der zählergrad größer gleich dem nennergrad ist dann kann man hier eine Polynomdivision machen dann vereinfacht sich das Polynom schon mal das ist hier aber nicht der Fall weil zählergrade echt kleiner nennergrad ist Polynomdivision ist nicht notwendig wird also nichts bringen hier okay dann kommen wir zum zweiten Schritt wir müssen die Nullstellen des Nenners bestimmen das das heißt in unserem Fall müssen wir jetzt von dem quadratischen Polynom im Nenner die Nullstellen bestimmen schau das noch mal auf also müssen schauen wann wird x² + 7x + 12 eben 0 ja da kann man jetzt pq Formel Satz von veta nehmen was auch immer auf jeden Fall kann man dieses quadratische Polynom hier faktorisieren zu X + 3 mal X + 4 das soll 0 werden und man sieht jetzt hier die Nullstellen tatsächlich das al x= - 3 oder x=-4 wir haben ja also zusammengefasst Z einfache Nullstellen also anders gesagt zwei Nullstellen mit vielfachhalt 1 das ist nämlich gleich bei dem partialbuchansatz wichtig welche Vielfachheit die Nullstellen haben so hier ist aber alles noch leicht sozusagen wir haben zwei Nullstellen beide sind einfache Nullstellen so vielfach hat eins also alles gut okay und jetzt kommt der Teil der sozusagen immer variiert in den Aufgaben wir müssen jetzt den partialbuchansatz aufstellen in 3i und der ändert sich eben je nach Vielfachheit sozusagen oder Art der Nullstellen des Nenners und zwar ich schreibe einmal die Funktion noch mal auf wobei der Nenner hier eben faktorisiert ist und wir möchten ja jetzt diese Funktion als Summe von einfachen rationalen Funktionen aufschreiben das heißt hier noch mal kurz ich sch es noch mal auf wir haben h zwei Nullstellen x = -3 x = - 4 also beide sind reell und einfach also mit Vielfachheit 1 das heißt der partialbuchansatz für sozusagen einfache Nullstellen lautet ja wir haben ein Koeffizienten a im Zähler den wir noch nicht kennen geteilt durch ja diesen Faktor hier mit der einfachen Nullstelle also X + 3 und dann das gleiche noch mal für die andere einfache Nullstelle also + B ge X + 4 natürlich könnt ihr auch tauschen dann steht hier a ge X + 4 + B ge X + 3 das jetzt egal so das ist also der Ansatz für Nullstellen der Vielfachheit 1 einfach ein Koeffizient il durch den Faktor sozusagen mit der einfachen Nullstelle gleich werden wir auch noch sehen was passiert wenn wir doppelte Nullstellen bzw Nullstellen der Vielfachheit n und eben auch komplexe Nullstellen haben so diese Gleichheit soll jetzt hier erfüllt werden und wir haben jetzt hier im zählerkoeffizienten A und B die wir noch nicht kennen die müssen wir also bestimmen wir müssen A und B so bestimmen dass diese Gleichheit hier gilt und da gibt es jetzt sozusagen verschiedene Möglichkeiten aber in beiden Möglichkeit multipliziert man zunächst diesen ganze Gleichung also beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner der linken Seite also mal X + 3 x X + 4 was passiert dann ja hier links erhalten wir nur noch den Zähler und hier ja was ist denn a X + 3 mal das ich kann das einmal ausführlich machen also a mal das hier geteilt durch X + 3 ja dann ist natürlich a mal X + 4 der Nenner fällt weg und das gleiche hier auch nur dass eben X + 4 wegfällt das heißt da bleibt übrig B mal X + 3 so und jetzt kommen wir zur Berechnung dieser Koeffizienten a und b und da gibt es eben zwei Möglichkeiten einmal nenne ich das immer oder spezielle Werte einsetzen und die zweite Möglichkeit ist der Koeffizientenvergleich wir werden hier in ersten Aufgabe spezielle Werte einsetzen der zweiten Aufgabe aber wir den Koeffizientenvergleich machen so was meine ich mit Werte einsetzen ja wir wissen jetzt dass das hier gleich sein muss diese Gleichheit muss erfüllt sein das heißt wenn ich jetzt hier links für X eine Zahl einsetze und rechts auch dann muss das ja gleich sein also da muss A und so gewählt werden dass diese Gleichheit hier gilt weil ich soll ja A und B herausfinden s dass diese Gleichheit gilt das heißt es bietet sich an die Nullstellen des Nenners von vorhin links und rechts einzusetzen das ist ja jetzt hier definiert weil wir keine Nenner mehr haben und das meine ich mit werteinsetzen man setzt jetzt quasi die Nullstellen des Nenners ein martin hat in der Vorlesung gesagt dass man das auch mit komplexen Nullstellen macht ja das könnt ihr machen rate ich persönlich immer von ab weil ja man muss dann damit mit komplexen Zahlen rumrechnen und das ist ja schon bisschen her aber wie gesagt es ist möglich könnt ihr gerne machen wir werden aber nachher sehen dass man dann auch noch andere Werte sowas wie ull oder so einsetzen kann aber dazu kommen wir gleich also erster Wert X1 = -3 das war eine Nullstelle das setze ich jetzt hier auf beiden Seiten ein das heißt links ist dann -2 x -3 -2 und rechts ist das dann a mal Klam auf -3 + 4 + B mal Klammer auf -3 + 3 und man sieht jetzt auch warum wir die Nullstellen einsetzen weil das wird immer passieren hier fallen einfach so Manen dann weg weil da ull rauskommt das sieht man ja hier -3 + 3 ist 0 das heißt das hier fällt weg ja und ich ma das hier schnell man weiß direkt was rauskommt und zwar a 4 denn das fällt weg hier steht a mal 1 und das kann man einfach ausrechnen das ist dann hier -2 - 3 6 - 2= 4 das heißt man hat direkt A = 4 und jetzt Set noch die andere Nullstelle ein also X2 = -4 also wieder -2* -4 also set das hier links ein und rechts natürlich und dann sehe ich das jetzt der erste summant wegfällt weil hier -4 + 4 steht so vereinfache ich das was kommt hier raus ja das ist 8 das ist hier wieder 2 das also 6 = das fällt weg und hier steht -b jetzt kann ich auf beiden Seiten noch -1 also mit -1 multiplizieren dann erhalte ich das B = -6 ist so und dann bin ich fertig ich kann also den partialbruch die Partialbruchzerlegung angeben und zwar F von X ist dann g=ich die Funktion kennen wir das kann ich jetzt also schreiben als ja a dur X + 3 aber a war ja 4 + B dur X + 4 aber B war ja -6 so wir haben also diese rationale Funktion f dargestellt als die Summe von leichten rationalen Funktion jetzt kann man sich z.B überlegen was passiert wenn ich jetzt das integrieren möchte dann sieht man okay da kann ich Fürst wahrscheinlich den LN also diese LN Regel anwenden was ja sehr leicht ist was man hier vielleicht nicht gesehen hätte okay dann kommen wir jetzt zu der zweiten Aufgabe in der zweiten Aufgabe haben wir die rationale Funktion f gegeben mit F vonx = x H 3 - 2x² + X - 1 x X - 1 Z quadr mal x- 2 und ich hoffe ihr seht hier sofort dass im dass wir im Nenner also nennergrad von 3 haben denn hier haben wir quadratisch hier linear das heißt wenn das multipliziert kommt da hoch 3 raus irgendwas mit hoch 3 und dem Zähler haben wir auch 3 bedeutet also im ersten Schritt müssen wir eine Polynom Division machen um ja die rationalfunktion zunächst zu vereinfachen das heißt für die Polynomdivision multiplizier den Nenner einmal aus und dann sieht man das vielleicht auch noch mal deutlicher hier nennerg 3 zgrad 3 also Polynomdivision das schreibbe ich noch mal auf da zählergrad g= 3 g nennergrad ist müss müssen wir eine Polynomdivision machen das heißt sollte das Thema Polynomdivision nicht mehr so frisch sein guckt euch das gerne noch mal an so wir schreiben das einmal auf also diesen Term geteilt durch diesen Term also Zähler geteilt durch Nenner so dann fangen wir an hier vorne mit X hooch 3 mit welcher Zahl muss ich x ho 3 multiplizieren dass ich hier auf X ho 3 komme und sieh man okay das ist die 1 und dann multiplizieren wir jetzt diese Zahl mit diesem ganzen term und schreiben das da drunter mit Minuszeichen davor also minus Klammer auf 1 x x H 3 ist x 3 ein - 4x² ist - 4x² und man sieht ich kann das ja einfach abschreiben weil einmal das ist halt das so denke das ist klar so und jetzt verrechne ich das Strich drunter und jetzt das hier min das hier dann sehe ich x 3 - x 3 0 - 2x² -- + 4x² ist 2x² X - 5x ist - 4x und -1--2 also -1 + 2 ist + 1 so jetzt ist der übrig gebliebene term hat grad 2 aber der Nenner hier sozusagen hat gerade dre das heißt wir können nicht mehr weitermachen Polynom Division ist quasi Ende wir haben ein Rest übrig wir schreiben also hin plus Rest geteilt durch eben diesen Term so also zusammen fasst F von X konnte ich schon mal vereinfachen zu 1 + ja im Zähler der Rest von der Polynomdivision und im Nenner eben das hier so und im Folgenden betrachten wir erstmal nur noch das hier weil wir müssen jetzt hier für die Partialbruchzerlegung durchführen aber die eins dürfen wir am Ende natürlich nicht vergessen so und hier ist zählergrad kleiner nennergrad 2 und 3 bedeutet also Polynomdivision ja wä auch schwachsinnig weil die haben wir ja gerade gemacht aber ist ja nicht mehr notwendig okay dann zweiter Schritt was war das Nullstellen des Nenners die können wir direkt ablesen schaut noch mal ganz am Anfang in die Aufgabe da war der Nenner schon faktorisiert das heißt wir müssen nur noch ablesen also müssen schauen wann wird x- 1 zum Quadrat mal x- 2 wann wird das 0 er kann man h ablesen wir haben 3 Stellen x1 und x2 ist 1 und X3 ist 2 das heißt zusammengefasst wir haben ja eine doppelte Nullstelle bei 1 und eine einfache Nullstelle bei 2 anders ausgedrückt haben wir hier eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 das ist das hier und eine Nullstelle mit vielfachalt 1 das ist das hier und beide natürlich reell okay so dann kommen wir zum partialbruchansatz und der sieht jetzt ein bisschen anders aus weil wir hier eine doppelte reelle Nullstelle haben aber erstmal schreiben wir die linke Seite auf das war F so dann starten wir mal mit der doppelten Nullstelle wenn wir eine doppelte Nullstelle haben dann fangen wir erstmal wie bei einer einfache Nullstelle ganz normal an mit a durch ja x das ist ja hier der entscheidende term sozusagen oder die Funktion die das hier als Nullstelle hat und am Anfang machen wir erstmal a durch und lassen das Quadrat hier weg einfach X - 1 der Term wo das eine Nullstelle ist we wes es aber eine doppelte Nullstelle ist machen wir noch + B und jetzt geteilt durch das hier aber zum Quadrat so das ist jetzt hier quasi der Ansatz für eine doppelte Nullstelle bei 1 wenn ich jetzt eine dreifache Nullstelle bei 1 hätte angenommen dann würde jetzt hier noch folgen C dur X - 1 hoch 3 wenn ich eine vierfache Nullstelle bei 1 hätte wird hier noch folgen X - 1 hoch 4 und ich denke ihr wisst was ich meine das geht hier hoch bis n sozusagen also okay und dann haben wir noch eine einfache Nullstelle und wie war das hier einfach dann nächsten Buchstaben nehmen C durch eben die Funktion die das als Nullstelle hat und das ist war X - 2 und das ist jetzt der partialbruchansatz so der nächste Schritt ist wieder wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner der linken Seite also hiermit das machen wir mal ich schreib das mal hin also mal beide Seiten mit X - 1 quadr mal x- 2 das heißt der Nenner auf der linken Seite fällt weg bleibt also nur noch übrig 2x² - 4x + 1 auf der rechten Seite wenn ich a dur X - 1 mal das rechne dann fällt das Quadrat hier sozusagen weg und der Nenner bleibt also üich a mal x- 1 mal X - 2 wenn ich B durch x- 1 Z Quadrat mit multipliziere dann bleibt nur noch übrig B mal X - 2 und hier hinten bleibt noch übrig C mal X - 1 Z quadr so dann multipliziere ich hier die Klammern mal aus denn wie vorhin angekündigt werden wir in dieser Aufgabe nicht mehr spezielle Werte für X einsetzen um die Koeffizienten a b und c zu bestimmen sondern wir werden den sogenannten Koeffizienten Vergleich machen dafür muss man sozusagen ein bisschen Vorarbeit machen denn wir müssen jetzt hier die rechte Seite quasi sortieren alles was alle Koeffizienten vor x²adr alle vor x und alle vor x hoch 0 oder alles was ohne X ist also genauso wie hier links hier ist auch das ist der der Koeffizient vor x² das ist der Koeffizient V x und das ist quasi alles ohne x und das müssen wir jetzt hier rechts auch machen das heißt wir schauen uns an welche Koeffizienten stehen alle vor x hoch 2 man sieht hier wenn ich das ausmultipliziere dann wird h stehen a mal x² das heißt ich kann schon mal schreiben hier a mal x² hier ist kein x²r und hier haben wir noch C mal x² und jetzt kann ich x² ausklammern und dann erhalte ich x² mal A + C so und das meine ich das machen wir jetzt auch mit X das heißt wo was ist hier mit X los ja die Koeffizienten lauten dann also hier A* -3 das ist -3a hier haben wir B mal x also nur B als Koeffizient und hier haben wir C mal -2x ist dann als Koeffizient - 2c so jetzt alle ohne alles ohne x also 2 x a - 2 x B + 1 x C und warum machen wir das weil wir jetzt die Koeffizienten der linken Seite mit der rechten Seite vergleichen können denn das muss hier gleich sein bedeutet es muss 2 das der Koeffizient von x²adrat auf der linken Seite = A + C sein dann haben wir eine Gleichung dann muss -4 = dem hier sein haben wir eine zweite Gleichung und dann muss + 1 g= dem hier sein haben wir eine dritte Gleichung und das ist eindeutig lösbar dann drei Gleichung drei unbekante alles gut okay schreiben wir auf Bestimmung der Koeffizienten und jetzt mit Hilfe des koeffizientenvergleichs wir können also drei Gleichung aufstellen quasi die die ich gerade gesagt habe erste Gleichung 2 = A + C das kann ich direkt nicht eindeutig lösen aber ich kann das z.B nach a umstellen dann ist A = 2 - C dann schaue ich mir an die Koeffizienten von X linke Seite war -4 rechte Seite war - 3 x A + B- 2c aber jetzt kann ich ja hier schon für a 2- C einsetzen das heißt -3 mal Klammer auf 2- C und dann der Rest noch so das kann ich jetzt ausrechnen also hier -6 + 3 C und so weiter dann erhalte ich das hier ja und das kann ich z.B nach B umformen und dann halte ich b= 2- C so und jetzt sieht man okay a= 2- C B auch bedeutet ja quasi dann dass A B sein muss also wenn A 2- C ist und B auch dann muss a= B sein so könnte man jetzt daraus theoretisch schon ziehen diese erkennnis aber lass wir das erstmal und dann alles ohne x linke Seite war 1 rechte Seite war 2a - 2b + C jetzt kann ich das Einsetzen ich habe ja eine Darstellung von A eine Darstellung von B also 2 mal das hier ist 4- 2c und das gleiche hier auch nur mit Minus davor und dann Plus C so das kann man jetzt verrechnen und dann erhält man weil es ist eine Gleichung nur mit C man sieht hier ja das fällt hier quasi weg und das ist ja null sieht man ja ja auch wenn A = B ist dann steht hier 2a - 2a das ist 0 das heißt C ist einfach 1 und das kann man jetzt hier oben einsetzen wenn C1 ist dann setzt man das hier ein und dann sieht man A = B = C = 1 weil wenn ich das hier einsetze kommt ein raus und hier auch und damit haben wir die Koeffizienten bestimmt und wir können den partialbuchansatz aufschreiben und zwar F von X schreiben wir ab von der Aufgabenstellung so ist gleich und jetzt darf man die ein der partial der der Polynomdivision nicht vergessen Plus und jetzt bei das ja a dur X - 1 also 1 dur X - 1 + 1 dur X - 1 Z qu + 1 dur x- 2 okay so dann wollen wir uns jetzt mal angucken wie wir jetzt die verschiedenen bruchtypen die wir jetzt da rausbekommen haben die ja immer irgendwie ähnlich sind auch wie wir die jetzt integrieren also wir können so nun integrale ganz rationaler Funktion berechnen das schon mal cool betrachten wir doch mal die Typen dieser speziellen Funktion nach Partialbruchzerlegung einmal genauer und berechnen jeweils die integrale integraltyp 1 also was wir auf jeden Fall hatten war 1 durch X - a hoch n ne aber dann eine Nullstelle hier also 1 dur X - a hoch n integral davon DX was ist das muss man natürlich unterscheiden wie sieht das n aus ne diese integrale haben wir schon gelöst ne hier gilt für n = 1 ne integral von 1 dur X - a da wissen wir schon das ist der natürliche Logarithmus ne und zwar von Betrag von x- A ne nicht vergessen Betragsstriche so und wenn das hoch 2 oder größer ist dann können wir das natürlich umstellen dann steht da nicht 1 durch x- a auch n sondern x- a hoch - N n ja und dann können wir das ganz normal integrieren die wir das so kennen ja also ach so immer noch bei unbestimmten integralen natürlich nie das C vergessen ne + C C aus R ne so n gröer = 2 gerade erklärt ne X - a hoch -n und dann einfach integrieren haben wir -1 dur n- 1 mal 1 dur x- a hoch n- 1 kommt also auch da gut raus + 10 nicht vergessen das sind dann also alle Möglichkeiten die wir da haben ja x- a hoch 1 und x- A mit höheren Potenzen okay kriegen wir alle mit unseren jetzigen Methoden schon raus also alle reellen Nullstellen haben wir damit jetzt schon abgearbeitet ja damit haben wir schon alle integrale der Terme mit reellen Nullstellen so integraltyp 2 das sieht natürlich dann so aus ne integral von AX + B durch so ein quadratisches Polynom hoch n und das hat keine reellen Nullstellen das wissen wir das wollen wir jetzt wissen so mit der Substitution ja das wird ein bisschen technisch jetzt wir haben uns jetzt nicht die Zeit genommen euch das noch mal komplett vorzuführen wie man die Substitution macht meiner Meinung nach ist das auch nicht ganz so wichtig jetzt hier aber mit Hilfe von dieser speziellen Substitution die jetzt nicht unbedingt sofort so offensichtlich ist aber irgendwie ja auch schon so ein bisschen ne also wenn wir das dann nutzen und einsetzen dann bleiben integrale folgender Form aus diesem eh was doch sehr kompliziert aussieht wird dann auf einmal sowas t dur t² + 1 hoch n ne so und natürlich unterscheiden wir wieder ne n = 1 dann haben wir t dur t² + 1 so t dur t² + 1 wir sehen dass oben eigentlich die Ableitung von unten steht ne das Hoch n ist ja jetzt einfach weg das ist ja hoch 1 also oben steht die Ableitung von unten natürlich nicht ganz weil das wäre ja 2 t also müssen wir dann noch mit einer Z erweitern ja und dann sehen wir ah da kommt auch der LN raus ne das haben wir ja schon gesehen wenn oben die Ableitung von unten steht ist das der len okay also kommt dann raus dieses hier ist gleich LN von t² + 1 also LN von dem Nenner ne so das Hoch n war ja jetzt weg mal das ja ein ist das ein/b kommt von diesem erweiter ne wir müssen ja 2T oben stehen haben dafür brauchen wir noch Z unten die ziehen wir dann davor das ist 1/alb also 1/2 LN t² + 1 + C das ist für n = 1 für n = n grö= 2 kommt dann dieses hier raus das ist -1 dur 2* n- 1 X t² + 1 hoch n- 1 ja okay + C also wenn man das so macht dann macht man das natürlich wieder so dass man das dann substituiert ne so kennen wir das wir substituieren das dann wird das ja abgeleitet damit kann man dann das T kürzen und dann kriegt man das so hin da kommt dann jedenfalls auch hier so raus okay das wäre a b also a haben wir dass oben noch ein T ist das also der Koeffizient davor nicht Null ist ne und unten t² + 1 h n man denkt das wäre schwieriger als wenn das oben wegfallen würde nein ist es nicht also wenn oben noch was ist ist das nämlich die Ableitung von unten und dann können wir durch diesen Trick das so fertig machen wenn oben nichts mehr steht mit T dann ist das komplizierter im Fall n= 1 ist es nicht kompliziert dann haben wir nämlich 1 durch t² + 1 und das kennen wir schon das ist arusangens ja also 1 dur t² + 1 DT ist Arus Tangens von t + C also im Fall g= 1 ist das ganz easy im Fall größer g=ich 2 haben wir ein ernsthaftes Problem ja für n größer= 2 schreiben wir zunächst also machen Trick 1 dur t² + 1 hoch n ist dasselbe wie t² + 1- t mal t also 1 steht ja oben und wir wollen gerne ein T Quadrat drin haben also schreiben wir t²r dazu damit das wieder stimmt müssen wir noch mal ein T qurat abziehen das haben wir hier ne wir schreiben das hier nur schon gleich geschickt dass wir das so ein bisschen nutzen können von gerade so und dieses hier und das hier können wir jetzt berechnen und erhalten dann mit partieller Integration integral DT t² + 1 n ist integral DT t² + 1 hoch n- 1 + T dur 2n- 1 t² + 1 hoch n- 1- integral von DT dur 2n - 1 t² + 1 hoch n- 1 auch hier machen wir das nicht sehr ausführlich sondern ich komme nur auf die wesentlichen Punkte ne ihr könnt das gerne alles mal probieren nachzurechnen mit partieller Integration ist eine gute Übung aber es wird ein bisschen hässlich ne wie man schon sieht so und jetzt daraus ergibt sich dann die Rekursionsformel für n größer= 2 integral DT dur t² + 1 hoch n ist eben wir kriegen halt eine Sache die nicht mehr integriert werden muss zack plus ein Integral was ein Vorfaktor hat und hier auf einmal nur noch eine Potenz weniger im Nenner ja das heißt wir müssen das dann immer so weitermachen bis das hier weg ist bis das nur noch hoch 1 ist und dann haben wir ein arkusangens deswegen nennt man das Rekursionsformel in jedem Schritt wird das n ein kleiner gemacht ne wir haben da eine schöne Formel eine Rekursionsformel dass in jedem Schritt das n ein kleiner macht also den Exponenten ein kleiner macht und bis wir dann bei ein sind wo dann arkusangens rauskommt ja okay wir haben also nun alle speziellen bei partialbruchzahlegung auftauchenden Typen integriert nur der letzte Typ macht für n größer=le 2 Probleme da man hier ja mit der gefundenen Rekursionsformel z.B bei N = 8 das wäre eine coole Sache für die Klausur ne wir machen das mit N = 8 da muss man acht Mal die Formel nutzen bis man zum Ergebnis kommt ne also all nicht nur sieben mal ne man muss das sieben Mal nutzen dann hat man ja nur noch hoch ein und dann kann man AK Tangens nehmen ne okay dieser taucht aber nicht häufig auf ne diese spezielle partialbruch den man dann integrieren muss also wir haben mal überlegt das in der Klausur zu machen aber dann bräuchten man eigentlich nur die Aufgabe stellen 3 Stunden Zeit und dann die Aufgabe für n g n= 13 und dann könnt ihr das Ausrechnen macht nicht so wirklich viel Sinn ne also dieses taucht nicht so ganz so häufig auf zumindest bei uns nicht ne aber man kann das ausrechnen und kriegt da also immer ein Ergebnis raus okay so kommen wir zurück zu unserem Beispiel und berechnen jetzt das Integral davon ne wir wollen ja dieses Integral berechnen jetzt haben wir ja schon gesehen wir haben ab CDE rausgekriegt ne und können natürlich die Vorfaktoren immer vor das Integral ziehen und jetzt sieht man da die einzelnen integraltypen ne das hier wird ein LN das wird auch LN das hier haben wir schon gesehen ne muss man einfach X + 1 hoch -2 und dann integrieren hier war in dem zweiten Typ bei Fall a und das hier ist der zweite Typ Fall B für n = 1 das ist natürlich dann Arus Tangens hier also wir kriegen raus 38 mal LN Betrag x- 1 - 18 LN Betrag X + 1 ne immer die Beträge nehmen - 3/4 1 dur X + 1 - 18 LN x² + 1 ne hier nutzen wir die LN Formel hier da müssen wir also eine 2 hier oben haben deswegen unten auch eine Z also ein A - 1/ x arusangens X + C so jetzt können wir noch die LN zusammenfassen das wäre LN ihr wisst ja noch dass 38 mal LN x- 1 Betrag dasselbe ist wie LN x- 1 Betrag hoch 38 und ihr wisst dass lna- LNB dasselbe ist dass man das als Bruch schreiben kann ne also das hier taucht jetzt als taucht jetzt im Nenner auf und hier haben wir noch ein ein LN auch mit minus ne dann können wir das auch noch hier zus schreiben also den l haben wir zusammengefasst dann bleibt noch über -3 vierel 1 dur X + 1 das ist das hier und dann haben wir doch - 1 vi4 arustangens X + C also jetzt sieht man auch warum man da nicht durch scharfes hingucken drauf kommt was da rauskommt ne das ist schon sehr schwierig hier ne kriegen wir nur durch partialbruchzahlegung raus so also machen wir noch ein zweites Beispiel integral e ho 2x + 3 durch e X + 1 DX das wollen wir jetzt ausrechnen wir substituieren ne e x nehmen wir als T also DT = e x* DX also t mal DX ja erhält man das Integral dann umgeschrieben ist t² + 3 durch T* t + 1 okay einfach mal nachprüfen ob das so stimmt und dann passt das beachte Trick so also t² + 3 unten steht t² + T dann macht man auf jeden Fall also wir haben jetzt ja oben und unten den gleichen Grad also muss man da irgendwie zusehen dass man da eine Polynom Division quasi macht oder das geschickt macht so wie wir es jetzt machen t² + 3 hier unten steht t² + T also schreiben wir oben einfach mal t + T und damit es wieder passt - T und dann die + 3 und unten steht ja t² + T jetzt können wir das aufspalten in zwei Brüche neäm ich einmal den mit dem das wäre dann 1 und dann min jetzt aufpassen wenn man da ein Bruch rausmach dann ist das nicht mehr - t + 3 sondern - t- 3 durch t² + T das ist ja der Nenner immer noch so und das ist 1 - T - 3 dur t mal t + 1 okay weiß jetzt selber nicht genau warum ich jetzt auf einmal das hier geschrieben hab das hätte man auch so stehen lassen können ne aber man muss wissen dass das natürlich t² + T ist so also das ist also das und jetzt in den Tutoriel haben wir schon haben wir solch eine einfache Partialbruchzerlegung haben wir schon mal gehabt ja das tauchte damals bei den Reihen haben wir das auch gemacht ja bei so soer so einer teleskopsumme oder bei so einer teleskopreihe da haben wir sowas ab und zu schon mal gemacht dass man hier raus partialbruch machen kann ne also die 1 sowieso aber das hier hinten jetzt also das 1- und dann a dur t + B dur t + 1 jetzt wissen wir sowieso dass es so ist ne wir haben die Nullstellen t 0 die Nullstellen 0 und -1 ne haben wir und das heißt wir können das Aufstellen in a durch t + B dur t + 1 genau so und das rechnen wir einfach aus und Kriegen dar raus 1 + 3 dur t- 4 dur t + 1 ne Klammer aufgelöst dann haben wir hier ein Minus gut also integral so wie wir es gerade hatten das Übel aussehende ändert sich also mit Hilfe von unserer kleinen Partialbruchzerlegung zu diesem hier ja das heißt wir können das Auseinanderziehen integral 1 DT ist dann t integral 3 dur t ist 3 x LN t eigentlich t Betrag sagt gleich warum ich das weglasse und dann 4 x LN t + 1 + 10 natürlich ne so und das ist dann wieder rücksubstituiert e X + 3 x X - 4 x LN e X + 1 + C okay so warum habe ich den Betrag jetzt weggelassen also ihr solltet das nie weglassen sondern immer hins schreiben so immer wenn den LN macht beim Integrieren immer den Betrag hinschreiben aber warum ist das nicht falsch dass ich das weggelassen habe ja der Grund ist t ist ja e x und e X ist immer größer als 0 also brauchen wir das gar nicht ne so zack beachte beim obigen integral hätten wir eigentlich immer den Betrag schreiben müssen bei den LN ausdrücken z.B bei LN t na da hier aber T = e x war und dieser Ausdruck immer positiv ist ist das jetzt nicht nötig ne generell gilt aber lieber einmal mehr Beträge schreiben als einmal zu wenig ne also in der klosur schreibt ihr auf jeden Fall da betragstrich ne oder ihr erklärt warum man den weglassen kann so jo alles klar das heißt wir haben jetzt zwei Beispiele dazu gemacht zwei Beispiele sind definitiv noch viel zu wenig und dafür haben wir ja unseren Max das heißt der Max rechnet jetzt noch mal ein paar Beispiele mit euch zusammen durch wenn ihr euch da Mühe gebt und das einmal vernünftig mitmacht dann sollte das auch für alle Zeiten lang und ihr könnt dann partialbuchzerlegung gut also maxu in dieser Aufgabe sollen wir die folgenden integrale mit Hilfe einer partialbuchzerlegung bestimmen und das Gute ist dass wir die ersten beiden Aufgaben ja sehr leicht lösen können weil wir weil wir die partialbuchzerlegung schon in der ersten Übung gemacht haben das heißt es gilt hier also wir sollen jetzt hier das unbestimmte integral bestimmen also wir sollen alle Stammfunktionen von dieser rationalen Funktion ermitteln und das mit der Partialbruchzerlegung die kennen wir aber schon denn es gilt das Integral über diese Funktion DX kann auch geschrieben werden als das Integral über 4 dur X + 3 + -6 X + 4 DX denn das ist hier die partialbuchzerlegung von dieser rationalen Funktion jetzt kann man die Linearität des Integrals ausnutzen also das Integral auf beide summanten getrennt anwenden so und das Minus ziehe ich direkt davor so und jetzt könnte man noch die vier und die se quasi auch davor ziehen weil es ja nicht mehr von X abhängt ist ja ein Faktor der nicht mehr von X abhängt so und dann kann man hier die Stammfunktion bilden wonach sieht das denn aus ja man sieht die Ableitung des Nenners ist ein und die steht ja quasi im Zähler außerhalb da steht jetzt eine vi die kann man ja aber davorziehen steht dann eine ein das das heißt man kann diese LN Regel anwenden das heißt es gilt 4 ziehen wir d vor und dann LN vom Betrag des Nenners und hier auch -6 und dann haben wir stehen integral 1 dur X + 4 das heißt die Ableitung des Nenner steht im Zähler also lnreel LN von Betrag X + 4 + C mit C aus R und damit sind wir fertig und das ist doch ganz cool oder weil das hättet ihr hier wahrscheinlich nicht so schnell rausbekommen aber mit Hilfe der partialbuchzerlegung kann man das eben in der Regel sehr leicht lösen so dann kommen wir zur zweiten Aufgabe wieder das unbestimmte Integral über diese rationale Funktion und auch hier kennen wir schon die partialbuchzerlegung von der Übung davor das heißt es gilt dass diese dieses recht komplizierte integral auch geschrieben werden kann als das Integral über 1 + 1 dur x- 1 + 1 dur x- 2 zum Quadrat + 1 dur x- 2 D x okay und auch hier kann man jetzt wieder das Integral auf jeden sum mal einzeln anwenden machen wir jetzt hier nicht wir schreiben das jetzt nicht so ausfühlich hin wir integrieren das quasi einfach in der Vorlesung wurde auch gerade gezeigt welche verschiedene integraltypen es da gibt wenn man eine Partialbruchzerlegung gemacht hat also schaut da gerne rein also wir integrieren 1 was ist die Stammfunktion davon das ist einfach x dann hier wieder X - 1 abgeleitet ist 1 das heißt Ableitung des Nenners steht im Zähler das heißt Stammfunktion mit der lnreel ist LN vom Betrag X - 1 so dann kommen wir hier zu diesem sumanden der ist neu sozusagen diesen Fall hatten wir bisher noch nicht aber schaut gerne in die Vorlesung dort stehen die verschiedenen integraltypen das heißt dort steht genau wie man das integriert eine Formel dafür da kommt dann auf jeden Fall raus -1 durch x- 1 ihr könnt es ja hier gerne mal ableiten dann kommt ihr genau hier hin hier wieder die lnreel das heißt + LN Betrag vom Nenner und dann + C mit C aus R okay und damit sind wir auch mit der zweiten Aufgabe fertig in der dritten Aufgabe müssen wir tatsächlich eine partialbuchzerlegung noch mal machen und dort haben wir dann auch komplexe Nullstellen so dann kom wir zur dritten Aufgabe hier haben wir das unbestimmte Integral über x hoch 5 + X + 1 ge x hoch 4 + 2 x x² DX und wie schon gerade angekündigt muss man jetzt hier eine partialbuchzerlegung machen das heißt erster Schritt zählergrad nennergrad wir sehen zählergrad ist 5 nennergrad ist 4 also zählergrad größer nennergrad wir müssen also eine Polynomdivision durchführen das machen wir jetzt nicht mehr ausführlich ist do nur ein Schritt quasi es kommt auf jeden Fall raus x Plus und dann haben wir den Rest im Zähler - 2x hoch 3 + X + 1 geil x ho 4 + 2x² so das heißt wir schauen uns erstmal wieder nur das hier an weil da natürlich zählergrad kleiner nennergrad ist und dafür machen wir dann die partialbuchzerlegung aber das X müssen wir hinter bei dem ger wieder beachten natürlich das heißt zweiter Schritt Nullstellen des Nenners so ist hier noch nicht faktorisiert das heißt das müssen wir noch herausfinden ist aber recht leicht denke ich mal so dann kann man auf der rechten Seite x²r ausklammern dann bleibt übrig 0 = x² und dann x² + 2 und jetzt sind wir auch quasi fertig denn wir haben alle Informationen die wir brauchen sozusagen denn x²adr also dieser Faktor hier liefert uns eine doppelte Nullstelle bei 0 ja und von dieser Funktion x² + 2 ja es gibt keine reelle Zahl so dass das Null wird das ist hier also eine Funktion die zwei komplexe Nullstellen besitzt wie die aussehen ist tatsächlich egal außer man möchte die komplexe Nullstellen dann hinterher bei der Berechnung der Koeffizient einsetzen wovon ich persönlich abrate weil das in der Regel immer irgendwie zu Fehlern führt weil man damit komplexen Zahlen rumrechnen muss aber wie gesagt erlaubt ist es natürlich okay fassen wir das zusammen doppelte Nullstelle bei x = 0 und eben eine Funktion mit zwei komplexe Nullstellen das ändert dann gleich den partialbruchansatz und zwar lautet der nämlich die linke Seite dieses Ansatzes ist natürlich klar das ist die Funktion die nach der Polynomdivision übrig blieb und rechts starten wir mit der doppelten Nullstelle bei x = 0 haben wir so a durch die Funktion die x = 0 als Nullstelle hat also x und weil das eine doppelte ist müssen wir noch + B dur x² hinzufügen das wäre der Ansatz für die einfache Nullstelle aber weil es ein doppelte ist müssen wir noch das Hinzufügen und jetzt haben wir noch ja diese Funktion die zwei komplexe Nullstellen besitzt und da wählen wir sozusagen den komplexen Ansatz das ist dann immer Koeffizient mal X + Koeffizient in diesem Fall CX + D geteilt durch eben genau diesen Term so und das war's also das ist hier der Ansatz für komplexe Nullstellen in diesem Fall für 2 die dann quasi also wenn z eine Nullstelle ist ist auch z ja Komplex konjugiert sozusagen an der Nullstelle okay dann was machen wir als erstes wieder wir Multi ieren beide Seiten mit dem Nenner der linken Seite das heißt hier quasi so was bleibt übrig ja der Zähler der linken Seite und hier dann x mal x² + 2 dann noch + B mal x² + 2 und hier Klammer auf CX + D mal x² okay so und dann könnt ihr euch jetzt wieder ein Ansatz sozusagen überlegen ich habe jetzt hier den Koeffizientenvergleich genommen aber wie gesagt das ist jedem selbst überlassen also Koeffizientenvergleich liefert wir müssen jetzt vier Gleichung aufstellen weil wir haben hier -2 x hoch 3 + 0 x x hoch 2 + X + 1 so das heißt wir schauen links an was ist alles vor x H 3 das ist -2 und jetzt suchen wir alle Koeffizienten die auf der rechten Seite vor x hoch 3 stehen das heißt wenn ich das hier multipliziere bleibt a übrig und hier wenn ich CX mal x² multiplizi bleibt C als Koeffizient sozusagen übrig das heißt auf der rechten Seite steht A + C so dann linke Seite x²adr das ist also 0 mal vorhanden und hier rechts haben wir dann quasi ja hier haben wir kein x² wenn wir das ausmultiplizieren hier haben wir B und hier haben wir d also B+ D okay dann alles was für X steht das ist hier eine 1 und hier ist das 2a hier haben wir kein X hier auch nicht das heißt hier kann man direkt a g 1/b heraus oder ausrechnen dann alles was oh X ist das ist hier auf der linkenite 1 ja hier ist überall NS hier haben wir ja 2b bleibt übrig und hier haben wir auch immer nur x das heißt das kann man auch wieder nach B auflösen haben wir b= 1/b ich hoffe euch ist klar wie diese Gleichung hier entstehen also rechnet das gerne mal ausführlich nach also hier ihr könnt das gerne mal ausrechnen dann steht hier AX hoch 3 + 2ax hier steht bx² + 2b und hier steht CX hoch 3 + dx² und dann seht ihr Okay bei x hoch 3 steht A + C hier steht für X Quadrat steht B + D für X steht 2a und für alles was oh ist es 2b so so und jetzt kann man A und B hier einsetzen und dann erhält man seine Koeffizienten das ist jetzt hier sehr schön sage ich mal weil das alles gut aufgeht A und B sind ein/b C5 Hal und D ist B okay das heißt wir können das Zusammenfassen wir können also jetzt das Integral umschreiben und zwar können wir das Schreiben als das Integral über ja dann das X von der polynomdision und jetzt setzen wir die ganzen Buchstaben quasi in den partialbuchansatz ein dann erhalten wir 1 dur 2 x X + 1 dur 2 x x² und jetzt kommt noch dieser Komplexe Ansatz und dann kommt da habe ich schon minus ausgeklammert min und im Zähler steht 5x + 1 geil durch 2 X x² + 2 DX so und jetzt muss man das integrieren und ist tatsächlich ein bisschen eklig muss ich zugeben und zwar wir machen langsam wir starten hier vorne was ist die Stammfunktion von X 1/b x² okay was ist von 1/b oder 1 durch 2x ja die einhb kann ich ja einfach davorziehen dann habe ich wieder diese lnreel dann steht da plus 1/b mal LN Betrag X auch gut dann das hier kann man auch nachgucken wie man das integriert das ist dann -1 dur 2x leitet das gerne mal ab dann kommt ihr genau hier drauf so aber das ist hier tatsächlich irgendwie ein Problem so da muss man also irgendwie noch so ein Trick anwenden also als erstes ziehen wir quasi hier 1/b also diesen Faktor hier diese das Minus und die 2 raus das heißt wir halten - 1/b mal Klammer auf okay und was bleibt dann übrig dann bleibt hier nur noch übrig 5x + 1 ge dur x² + 2 so davon können wir die Stammfunktion irendwie auch nicht deswegen splitten wir das auf zu zwei Brüchen so okay also Integral über 5x durch x² + 2 DX + das Integral über 1 dur x² + 2 DX warum machen wir das ja hier kann man jetzt man kann die fünf ja sozusagen wieder davor schreiben und sich dann hier sozusagen Faktor basteln so dass man die lnreel anwenden kann ja und hier muss man ein bisschen Arbeit investieren sage ich mal aber wir schreiben das mal auf also das hier vorne bleibt alles so dann kommt noch die minushb dazu Klam mal auf ja was die Stammfunktion hiervon ja die 5ün ziehe ich da nach vorne also 5 dann bleibt das hier stehen lnreel kann ich noch nicht anwenden denn die Ableitung von x² + 2 ist der 2x ma ich h eine 2 hin muss aber dann hier mal ein halb nehmen damit das sie sich ausgleicht das heißt das ist dann also 5 halbe mal LN vom Nenner so okay so dann kommen wir hierzu und das scheint auf den ersten Blick ein Problem zu sein also 1 dur x² + 2 DX wenn jetzt hier ein stehen würde dann würden wir die Stammfunktion kennen das wäre nämlich der Arus Tangens von X steht aber nicht aber wir können das so sage ich mal künstlich erzeugen und zwar was wir machen ist wir klammern im Nenner eine 2 aus dann erhalten wir hier ein halb mal das Integral über 1 durch ja x²r halbe + 1 DX das reicht aber auch nicht weil die Form ich brauche hier irgendwas zum Quadrat nicht x Quadrat halbe sondern irgendwas irgendeine Zahl zum Quadrat das heißt was wir jetzt hier machen müssen ist ja wir schreiben x durch Wurzel 2 und das zum Quadrat + 1 dann haben wir irgendwas Z Quadrat und jetzt kann man hier Substitutionen machen oder man kennt die Regel für den arkusangens aber mit Substitution wäre das dann quasi hier t wäre x durch wurel 2 was ja dann unser V von X wäre und dann DT dur DX wäre 1 dur wurel 2 und das kann ich jetzt nach DX umformen dann DX = DT mal wurel 2 also mit Substitution würde dann folgen ja ein/b mal dann hier schon Wurzel 2 ziehe ich nach vorne mal das Integral über 1 durch t² + 1 DT das hier kann ich kürzen das ist dann also 1 durch√urel2 und die Stammfunktion davon ist der Akus Tangens von T also Akan von T ma noch so Klammern rum jetzt kann ich eine rücksubstitution machen und dann steht hier 1 durch wurel 2 mal arcostangens von X durch wurel 2 + C mit C aus R so das heißt das ist hier die Stammfunktion kann ich also jetzt da hinschreiben so jetzt kann ich hier die klammern auflösen und hier noch mal ein halb rechnen und dann + C dahinschreiben das bleibt hier alles so und dann erhalte ich hier -5 vi und hier halte ich -1 dur 2 x wurel 2 und dann noch Plus C mit cusr jo das war's mal wieder von uns für heute zumindestens ja wir hoffen ihr habt viel mitgenommen davon und seid nicht zu mitgenommen davon wie immer vielen Dank für eure Aufmerksamkeit und wir sehen uns dann zur nächsten Vorlesung bis da eine gute Zeit und tschö [Musik]