シグマ下方族と速度論に関する講義

はじめに

• 本日のテーマ: シグマ下方族とそこから導かれる引き戻しと押し出しについて。
• 速度論からルベーグ積分への前段階。

ルベーグ積分の概要

• 高校数学の知識では積分できない不連続な関数も積分可能。
• ルベーグ積分は関数の定義域が実数以外でも定義できる。
• 速度空間を使うことでより広範な積分が可能。

シグマ下方族の定義

• 集合 X とその部分集合族 B の定義。
• B が満たすべき三条件：
  1. 空集合が B に含まれる。
  2. B の中の任意の集合の補集合が B に含まれる。
  3. B の中の集合の可算合併が B に含まれる。
• 可測空間の定義と加速集合。

引き戻しと押し出し

引き戻し

• X, Y を集合とし、f を X から Y への写像とする。
• BY を Y のシグマ下方族とする。
• f による引き戻しが X のシグマ下方族になることの証明。

押し出し

• BX を X のシグマ下方族とする。
• 押し出しの定義と証明。
• 証明のステップ：空集合、補集合、合併の処理。

結論

• 大学数学で使われる基本的な議論手法の紹介。
• 議論に慣れることで数学的思考を鍛えることが可能。

関連情報

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