こんにちは kfs です本日はですね 解説動画になるんですけど速度論の一番 最初に出てくる シグマか法則っていうものとそこから導か れる引き戻しそれから押し出しいっていう ものについて解説したいと思います速度論 の後はルベーグ積分っていうものに つながっていくんですけどその前段階とし て速度論それからシグマ下方族になれよー っていうのはそういった動画になってい ますここでですねいったんそのルベーグ 積分っていうものの凄さと甘みを超簡単に 説明しようと思うんですけど例えばですね こういった関数を考えます x が有理数の時 fx =0そして x が無理数のと寄付 x =1っていう感想 ですまあシンプルな定義ではありますよね シンプルではあるんですけどこの関数って 高校数学までの知識だったら積分できなく ないですかそもそもこれって連続関数では ないんですからねいや連続関数ではないっ ていう言葉がもう生易しく感じるぐらい この関数って全然連続ではないですよね もうめちゃくちゃ不連続な関数になってい ますシンプルな定義ではあるんですけど 高校数学でもここまで不連続な関数って まぁ出てこないと思うんですよねでもこう いった全然連続ではない関数っていうもの もルベーグ積分の考えを適用するとこれ 積分できるようになるんですねこれ なかなかすごくないですか まず卵ですねルベーグ積分ってこういった 関数を積分するために生まれたっていう わけではないんですけどまあそれでもです ねなんかそういう発想がすごいなという ふうに思うんですよねあと武兵衛癖気分の いいところっていうのはこの席分をする 関数の経営気が実数たいではなくても定期 できるというところにありますより具体的 にはですね速度空間っていうものを使うん ですけどこの速度空間というものがあれば それがですねどんな変なものであっても 積分を定義できるというところに めちゃくちゃすごいところがあるんですね まあ僕はですね解析学が専門ではないです のでこういったですねルベーグ積分とか 速度論とかこういったものをですね モーガンが使ってもう合流すして研究して いくような数学こういったものを全くやっ た事がないですけどもちろんですね数学科 であればルベーグ積分の授業これも学部生 が全員受けますからその時僕は以上を受け てはいるんですけどなんかですねもうその 実数から実数またもっと言うと服装する から複数ついた数ではなくてもまあ速度 空間っていうものありきでなんか積分を 定義できるって言うならそういうところが なんかすごいなーっていうふうに思ったん ですよねで一応ですねこれ速度論の授業話 一応ですねこれ速度論の動画にはなって いるんですけど大学以降の数学でやるよう な発想でもう大学以降の数学でやるもう とてもベーシックな議論の仕方が結構 詰まっていると思うんですよねはいですの でぜひですねそういったなんか議論に なれる定義になれるそういった意味でも ですね結構頭の体操とかになるんじゃない かなと思いますのでぜひですねよろしくお 願いしますはいではまゆきがちょっと長く なってしまったんですけど解説動画を作り ましたのでご覧くださいどうぞはいえーと いうことでスライドの方に行ってきました まずはですねシグマ下方除くっていうもの の定義についてやっていきたいとおもい ます基本なんですけどねはいまぁちょっと 読んでいきます x を空集合ではない 集合そして b オ x-部分集合から なる族とする主部分集合の集合みたいな 感じですねそして b が以下の3条件を 満たすとき b 押熊か法則シグマ主 ブラウンとか sigma field と いうふうに言いますまぁちょっとこの3 条件読んでいくとまず空集合が部分集合速 b の中に入る そして 部分集合族のこの b の中から適当に 文集を言いをとってくるとこのいいのし まーこれコンプリメントですねいいの補修 号という意味ですけどこのいいの コンプリメントはまた b に属するって いうことが会に馬名条件です はいそして次に良い123 e 4点全点 点々というこの加算このですねえ集合これ を b から掘ってくるそうするとそれの 合併集合ですね猫の en 各 enq もの全部ですね合併させたものもまた b の中に属するという条件ですこれで3本目 ですねはいこの3つを満たすときシグマ 夏帆族っていう風に そして a と b をですねこの x- シグマ下方族としてこのですね全体集合 x とシグマ下方族この b のペア xb の この2組ですねこれを可測空間っていう ふうに言います そしてこの b に属する部分集合いい ですねこれを加速集合目10レーヴル セットですかねまぁちょっとな画像が良く ないか知らないですけど あるいはそういうふうに言います あのちろんじゃないかこれ米魚速ルベーグ 測度とか ルベーグ積分とかそういったものを何かの 中でですねまぁこれの上で定義するとか そういったこともあると思いますけども まぁちょっと今日はとりあえずこの定義を 紹介という感じになります はいそして冒頭でも言ったですね こちらが8この邦題さんがですね引き戻し の体そしてこの引き戻しがまたしがうまく 保続になるっていう定理放題ですはいまぁ ちょっと読んでいきますね x y を 集合と4 f を x からはいえの写像 だとしますそして bey を1位の シグマ夏帆族っていう風にしてこの b は 良いをこのインバース f インバース b y と改定これをですね8この b y から拾ってきた加速集合ですね f を 普通にこの f で引き戻したもの全体 ですねこれもう懲りずにおくとこの f インバースey は x-シグマ夏帆族 っていうふうになるということです え このですね f インバース b y を b y の f により引き戻しっていう ふうに言いますはいだからまあをとその# 大野このちー行きですねそこでえっシグマ 下方族っていうものが定義されていたら それをですね f による引き戻し全部を 集めてくるとそれはですねえっと xの シグマ9保続になるって言うことですね はいねちょっとこの照明を読んでいきます ねはいでこの照明はええまあこのシグマか 法則を書シグマか法則になるということを 証明したいですのでこのシグマ後続の3 条件これをですねチェックすればよいと いうことになりますですので f インバース b y がシグマ下方族の3 条件を満たすことをチェックすればよい ここに書いてもするということになります ね まず1番目空集合が入ってくるかどうかな んですけど x-空集合ですねこれは f インバー数は位の空襲子になります空集合 のしても祝集合ですねそれぞれも何も無い ところ対応してます はいでえっと1位の空集合っていうのは これ b y に入ってますよね b に 属していますなぜならこの b はいって いうのははイノシシ熊か法則だからです シグマ皇族っていうのは風集合を含みます のでこの f y の空集合てのは bo への中に入ってくるのでこの f インバーター数は100集合っていうのは f インバース bui の中に入って いきますなのでこれさえから見てみると この x-空集合っていうのは f インバース b は胃の中に入るという ことで1番目の条件はチェックできました そして次にですね2番目の条件22 ff インバース bf エビーはいかがですねいいという加速集合 これをとってくるとこれですね f インバース b 輪の中に入ってくるので 適当にですね f という ey の金具 からジェントってくるとこの良いゴール f インバース y というふうに表せます はいでへとこれのコンプリメントがまた f インバース b は胃の中に入ってくるか どうかというのをチェックすればいいん ですけどこのいいのコンプリメントって いうのはこれ f インバース f コンプ イベントですねまぁこれいいを様は代入し ただけですけど f インバース f コンプリメントという風になってでこの逆 増の記号とこのコンプリメントっていうの はですねこれ日間っていうか入れ替える ことができますですので f インバース f コンプリメント格好というになります ねはいで今 af っていうのは b は 胃の中から撮ってきます bba の中 から取ってきているということはこの f がですね b 1だから入ってするという ことは f のコンプリメントも b は のほかに入ってくるのでこの f インバース f コンプイベントというの は f インバース b は胃の中に入っ てますなぁ f コンプリメント点が b は中に入ってくるからティっなのでこれ 最初から見てあげると良いの コンプリメントっていうのは fe verse be は胃の中に入ってくる ので結局には村条件も言えたということに ています はい大丈夫ですかねそして次に3番目の 条件ですね今度はイージー23天帝点々と いうこのか三戸の集合を af インバース bi の中から撮ってきますそうすると この時ですね各相に対してええまあ中で 非常にですねこの b はの中から永玄 fi をとってくると言い合い= f インバースfi というふうに勝ち表せ ますまあ ここからができてからそうですねねえ まあこういうふうにかけますはいねあとは ですねこの拾ってきたこのイージー23点 というこれの合併集合ですね無限リスの この合併集合っていうのがまた f インバース b 輪の中に入ってくるか どうかっていうのをチェックしないといけ ないんですけどコーデチェックしてますね n が1カラム現代に行く行くことの会 en ですねはいこれは まあまず en っていうのはこういう ふうに合わせてますから f インバース fn の合併というふうになります で衛藤またこの合併の記号とこの自虐増の 記号これまた果敢にすることができますの で f インバースの fn の合併集合 というふうになります ですよですかねでそして8この fn を これ n はですねこの無限まで走らせた ものですねこの合併集合っていうのはこれ ですね bui の中に入ってきますなぜ かというとこの fi っていうところ ですねこれっていうのは b の中に入っ ていきますのでこの中のところというのは 全部ですね buy なくなってますだけ なので合併集合というところはビューアの 中に入ってくるのでf インバーそのこの fn の合併集合というのは f のインバーその b は胃の中に入ると いうことがわかります なのでこれ最初から見てあげるとこの 2123天天天天というこれ走らせたもの をこれの合併集合というのは f インバース bo への中に入ってくると いうことが言えましたはいということで この3条件が満たさたということが確認さ れたのでこのですね引き戻しっていうのは ん x-シグマ下方族になるって事が言えた ってことになりますはいこれが引き戻し いいですね はいそして次にですね8こちら xy を 集合と4 f をですね x からは家の 車窓だとしますで今度ですねさっきは aby っていう風にして bgy を a 1位の子がマカ法則という風に撮ったん ですけど今度は逆ですねこの 者増のこの h 行く前のところ x- 腫瘍マーカー法則をこれ bx という風 にしておきます そうするとこの時ですね fbx っていうのをこういうふうに定め ますワインの部分集合の集まりでこの部分 集合をとってきたそれをえっ f で 引き戻してあげると bx の中に入る って言うような集合ですねはいでそういう ふうに置くとこの fbx っていうのは 1位のシグマか法則になりすってことです それはさっき台でてですねさっきは8 ワインのシグマか法則を定義してそこから x-自分は候補族を作るという感じでした けど今度逆ですね x-シグマか法則あり きで考えてそこからですね a な可愛いのシグマか補足を作るというふう になります ええっとこのここで定義したですね fbx っていうのは bx の f による 押し出しっていうふうに言います はいコレですねえと数学の議論に慣れてる 人からしたら相当つっと記号が混乱し やすいと思うんですけどこれ注意なんです が fbx っていうのは8この bx の 件いいを全部 f で送ったものっていう わけではないんですねなんかそういう風に 見えてしまいますよね数学の議論に入られ てしまうと政府に慣れてしまうんですけど マーナ相当ちょっと混乱しやすいと思うん ですけどちょっと定義がちょっと来て違う ということに違うというかなんか監修には 従ってないということに注意してください はいま fbx っていうのはこういう 定義になりますはい でへとまぁこれがですね氏がは下方族にな るってことを証明するんですけどはいこれ 将生と同じようにシグマか後続であること を 証明したいのであれば3条件を満たすと いうことをチェックすれば良いですねはい なので8空集合が入るコンプリメントが 入る合併集合が入るということを順張り ですね証明していきます待てがチェックし ていきます ということでへとまぁまずですねえっと これ定義こういう風になってますので拾っ てきたものの引き戻しが8また bx の 中に入るということを言えばよいという ことになりますのでまず空集合が入るか どうかは8ソロ引き戻し上げますまず f インバースは犬具集合っていうことを 考えるんですけどワイの空集合の質問を 知って-x 人も x-空襲後になります はいえこの x-空集合っていうの bx に入ってますよねなぜなら bxt の シグマが法則だから詩が魔法族っていうの は絶対空集合入っていきますのでなので8 をこの x-母ショアー x-空集合っていうのは abx マナティ ますじゃあこれから最初から読むとですね どf インバースは威力衆望てのは bx の中に入っています引き戻しが bx に 入るということが言えたのでこの y の 空集合というのは fbx の中に入ると いうことが言えました これが1番目のチェックですね そして a 棟2番目ですねまず f としてへと fbx から取ってきます はいでこの時ですねこの引き戻しが bx に入るっていうことはまずいいてますよね こんなからに入ってるっていう定義から でへとこの今コンプリメントもですねこの fbx の中に入るかどうかというのを チェックすればいいんですけど えっとまぁ一チェックしますね f インバース f コンプリメントはこれが た先と同じように逆増とコンプリメント っていうのはですねどこで果敢になります ので f インバース fc コンプリメントなりますねはいでへ二 インバース f っていうのはこれ bx の中に入っていきますのでこれの コンプリメントをとっているものも bx の中に入ってきます bxt のはシグマ 夏帆族だからですね ということでへと結局ですね f の コンプリメントそれの引き戻しは bx の 中に入るということが言えたので f の コンプリメントというのは bx の中に 入るということがやました 寝るんですかねああこれ bx だけて fbx ですね失礼致しましたはいこ一度 f 抜けてました失礼しました そして次にですね最後か3個の部分集5 f 1 f 2 f 3点定点店っていうもの これをですねえっと fbx からとって いきますはいでへとまたですねこれの合併 が永富 bx の中に入るかどうかという のチェックしば良いんですけど 8まずですねこの中に入ってプルっていう ことから各相に対して f インバース fi っていうのは bx の中に行って きます bxc 甘顔族だからですねはい でエイドそしてええええ塔子のですねう 合併をとってくるんですけど f インバースの会風合いのこれ集合ですね この合併集合 これって言うのはへとまた位逆増と合併の 記号っていうのはこれはですねか管理でき ますのでここを入れ替えて 8この f インバース fn の こちら合併集込んでいますはいでへどう またこの f インバース fi って いうものこれを8これを全部ですね拾って くるとこれは誰ですね ba の方に px の中に入っていきますのでこれもですね これ全体もの飛び x 中に入っていき ます bx 自体をシグマか法則ですかね bx 自体はシグマか法則ですので nbx はシグマ後続の3条件を使って良いわけ ですよね なので干支これはですねこの間に入ってき ます はいということでえっとこのですねえー どう 9引き戻しっていうのが bx の中に 入ってくるっていうことから8こちらです ねえーどこの fn これの合併集合って いうのは江戸 fbx の中に入ってくる ということがわかったのではい結局ですね えこの fbx っていうのはシグマか 法則であるということが言えたってことに なり はいまあこれは冒頭でも言った通りですね えーどうもー定義から8なんかこう いろいろガチャガチャ動かすとまたそれが 言えるって言うんですねもう結構 ルーティーンというか8大学の数学科はで はもうかなりよくやる手法ですのでこの辺 はですねやっぱり身に付けてた方がいいか なと思ってでまぁそれに対してちょっと いい題材かなと思ったのでこれを選んだみ ましたお疲れ様でしたはいということで 本日の動画は以上ですよかったら チャンネル登録とか高評価宜しくお願いし ますではまた次回の動画でお会いし ましょうだろ