Overview
Die Vorlesung behandelt lineare Funktionen, ihre allgemeine Form, das Berechnen von Steigung und y-Achsenabschnitt sowie das Aufstellen der Funktionsgleichung anhand von zwei gegebenen Punkten.
Grundlagen der linearen Funktionen
- Lineare Funktionen dienen als Basis für viele weitere mathematische Modelle.
- Allgemeine Form: ( f(x) = mx + n ), wobei ( m ) die Steigung und ( n ) der y-Achsenabschnitt ist.
- Eine Gerade ist immer eindeutig durch zwei Punkte bestimmt.
- Alternativ reicht ein Punkt und die Steigung zur eindeutigen Bestimmung.
Bestimmung von Steigung und y-Achsenabschnitt
- Die Steigung ( m ) berechnet sich als Differenzquotient: ( m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ).
- Bei positiver Steigung steigt die Gerade nach rechts, bei negativer Steigung fällt sie.
- Der y-Achsenabschnitt ( n ) ist der Funktionswert an der Stelle ( x = 0 ).
- ( n ) kann berechnet werden, indem man einen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispielrechnung mit zwei Punkten
- Gegeben sind die Punkte ( (-2, 5) ) und ( (1, -1) ).
- Steigung: ( m = \frac{-1 - 5}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2 ).
- Einsetzen von Punkt ( (1, -1) ) zur Berechnung von ( n ): ( -1 = -2 \cdot 1 + n \rightarrow n = 1 ).
- Ergebnis: Funktionsgleichung ( f(x) = -2x + 1 ).
- Die grafische Lösung könnte durch das Zeichnen beider Punkte und das Verbinden mit einer Geraden erfolgen.
Key Terms & Definitions
- Lineare Funktion — Eine Funktion der Form ( f(x) = mx + n ).
- Steigung (m) — Gibt an, wie stark die Gerade pro Schritt in ( x )-Richtung steigt oder fällt.
- y-Achsenabschnitt (n) — Der Wert, den die Funktion bei ( x = 0 ) annimmt.
- Differenzquotient — Formel zur Berechnung der Steigung zwischen zwei Punkten.
Action Items / Next Steps
- Beispiel mit nur einem Punkt und gegebener Steigung im Tutorium bearbeiten.