Die linearen Funktionen stellen die absolute Grundlage für alle weiteren Funktionen an, da wir darauf aufbauend schließlich Modelle entwickeln und versuchen, Sachen zu vereinfachen. Lineare Gleichungen haben wir schon kennengelernt. Bei linearen Funktionen oder auch Geraden haben wir als allgemeine Gestalt f von r nach r mit f von x ist gleich mx plus n.
Dabei ist m die Steigung und n ist der y-Achsenabschnitt, das heißt der Schnittpunkt mit der y-Achsenabschicht. Y-Achse. Eine Gerade ist durch zwei Punkte immer eindeutig definiert.
Sie haben zwei Punkte im Raum und können immer eine Gerade dadurch legen. Eine Alternative ist es, wenn ich einen Punkt habe und die Steigung irgendwie ein Punkt und jetzt weiß ich noch, wie die Steigung aussieht, dann habe ich auch immer eine Gerade eindeutig definiert. Die Steigung ist der Quotient aus dem Unterschied die zwischen den y-Werten und den x-Werten. wenn wir die Steigung 3 haben, meinen wir ja, wenn wir einen Schritt nach vorne gehen, gehen wir 3 nach oben.
Oder eine negative Steigung, zum Beispiel minus 2, bedeutet, wenn ich einen Schritt nach vorne gehe, gehe ich zwei Schritte nach unten. Wenn wir sagen a sei kleiner b, dann kann ich m immer berechnen als f von b minus f von a durch b minus a. n ist dann auch immer sehr einfach auszurechnen, entweder weiß ich, was f von 0 ist, dann habe ich schon n ausgerechnet, oder aber ich nehme einen Punkt, setze ihn ein und erfahre dann, was n ist.
Das machen wir gleich in dem Beispiel. So, wir haben natürlich zwei Möglichkeiten. Einmal, entweder haben wir zwei Punkte gegeben oder einen Punkt und die Steigung. Wir betrachten jetzt ein Beispiel zu den zwei Punkten, weil das ein bisschen mehr Rechenarbeit erfordert.
Den anderen Fall schauen Sie sich dann in den Tutorien an. geben sein zwei Punkte, einmal den Punkt minus 2,5 und der Punkt 1, minus 1. Da ja minus 2 kleiner als 1 ist, ist das hier in der Formel hier oben unser a, damit ist 5 unser f von a, 1 ist b und f von b ist 1. ist minus 1. Das heißt, ich muss diese Zahlen nur noch hier einsetzen. M ist also, f von b ist ja minus 1, f von a ist 5, also habe ich minus 1 minus 5 und unten habe ich 1 minus minus 2. Achten Sie darauf, dass Sie hier keinen Vorzeichenfehler machen und wirklich die minus 2 mitziehen. Dadurch wird das hier unten nämlich jetzt dann ja zu einem 1 minus minus 2, also 1 plus 2 wird ja nennen als eine 3 und hier im Zähler haben wir minus 1 minus 5 gibt minus 6, minus 6 geteilt durch 3 gibt minus 2. Jetzt haben wir zu dem Zeitpunkt, haben wir m ausgerechnet, n kennen wir noch nicht, das heißt aktuell sieht die Funktion so aus, f von x ist minus 2x plus n. Das n ist unbekannt, aber das können wir jetzt ausrechnen, indem wir einfach einen beliebigen Punkt einsetzen.
Ich wähle jetzt den zweiten, weil ich gerne mit den Einsen rechne. Ich weiß, f von 1 ist minus 1, das heißt, ich muss ja einfach nur den x-Wert und den y-Wert hier hier einsetzen in die allgemeine Gestalt. Und der Fahrer minus 1 ist gleich minus 2 mal 1 plus n.
Das kann ich sehr leicht nach n umstellen, einfach die minus 2 hier auf die andere Seite und damit weiß ich, n ist gleich 1. Damit weiß ich dann, wie die Funktion aussieht, nämlich f von x ist minus 2x plus 1. Wir hätten schon zu Anfang der Aufgabe unsere Skizze machen können, denn wenn wir zwei Punkte haben, können wir das grafisch auch eindeutig lösen. Ich zeichne einfach mal 1 minus 1 hier mit dem Kreuz ein und minus 2,5 da oben und ziehe eine Linie durch, und dann weiß ich, wie die Funktion aussieht. Aber um die konkrete Funktionsvorschrift zu bekommen, müssen wir halt ein klein wenig rechnen.