Overview
Die Vorlesung behandelt den Wertebereich (Wertemenge) von Funktionen, zeigt Beispiele und Methoden zur Bestimmung, sowie die Darstellung stückweise definierter Funktionen.
Wertebereich (Wertemenge)
- Der Wertebereich ist der Teil des Zielbereichs, der von der Funktion tatsächlich angenommen wird.
- Der Wertebereich der Parabel ( f(x) = x^2 ) ist ( [0, \infty) ), also alle nichtnegativen Zahlen.
- Die Bestimmung des Wertebereichs kann aufwendig sein und erfordert oft Kurvendiskussion und Grenzwertberechnungen.
Beispiel: Funktion ( f(x) = \frac{1}{x} )
- ( f(x) ) ist für ( x = 0 ) nicht definiert.
- Für negative ( x ) nähert sich ( f(x) ) bei ( x \to 0 ) gegen ( -\infty ) und für große negative ( x ) gegen 0 von unten.
- Für positive ( x ) nähert sich ( f(x) ) bei ( x \to 0 ) gegen ( +\infty ) und für große positive ( x ) gegen 0 von oben.
- Wertebereich: alle reellen Zahlen außer 0, also ( \mathbb{R} \setminus {0} ).
Stückweise definierte Funktionen
- Manche Funktionen werden nicht durch eine einzige Formel, sondern stückweise definiert.
- Beispiel: ( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ 2x, & -1 < x < 0 \ 1, & \text{sonst} \end{cases} )
- Zeichnung im Koordinatensystem: Für jeweilige x-Bereiche entsprechende Teilfunktionen skizzieren.
- Übergänge an Grenzen (z.B. bei ( x = 0, -1 )) sollten eindeutig markiert werden, z. B. mit Punkten oder Kreisen.
Key Terms & Definitions
- Wertebereich (Wertemenge) — Alle y-Werte, die eine Funktion tatsächlich annimmt.
- Kurvendiskussion — Untersuchung einer Funktion auf Eigenschaften wie Hoch- und Tiefpunkte, Monotonie und Grenzwerte.
- Stückweise definierte Funktion — Funktion, die auf verschiedenen Intervallen durch unterschiedliche Vorschriften definiert ist.
Action Items / Next Steps
- Zeichnen Sie Beispiel-Funktionen und markieren Sie Wertebereiche.
- Üben Sie, den Wertebereich für verschiedene Funktionstypen zu bestimmen.