Wir hatten uns letztes Mal mit dem Definitionsbereich beschäftigt. Jetzt geht es um den Wertebereich oder auch Wertmenge genannt. Dabei handelt es sich um den Teil des Zielbereichs, der tatsächlich getroffen wird.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Parabel f von x gleich x². Hier nochmal die Skizze dazu, die Sie sicherlich aus der Schule kennen. Und wie wir an der Skizze erkennen können, werden ja nur die Zahlen getroffen von der y-Achse, die positiv sind.
Dementsprechend ist der Wert Bereich dieser Funktion alle Zahlen von 0 bis unendlich. Die Bestimmung des Wertebereichs ist deutlich aufwendiger im Allgemeinen als im Definitionsbereich. Manchmal muss man eine Kurvendiskussion machen, man muss ja schließlich wissen, wo sind die globalen Hoch- und Tiefpunkte, man muss Grenzwertberechnungen durchführen, diese Dinge, die Sie wahrscheinlich aus der Schule kennen.
Kommen wir zur grafischen Darstellung. Das machen wir üblicherweise im Kurvenkreuz, Hier im Vorkurs bleiben wir auch jetzt hauptsächlich in reellen Zahlen. Und wir nehmen uns mal das Beispiel vor, die Funktion f auf den realen Zahlen, die f von x gleich 1 durch x berechnet.
Wir können ja zunächst einmal uns eine Wertetabelle angucken, um ein Gefühl für die Funktion zu bekommen. Wenn wir zum Beispiel die Zahl minus 2 minus 1 einsetzen, dann sehen wir, da haben wir einen kleinen Fehler, dass wir hier entsprechend minus 2 eingesetzt gibt minus 1 halb. denn ich kriege ja hier eine minus 2 rein.
also kriege ich minus 1,5. Wenn ich minus 1 einsetze, 1 durch minus 1 gibt immer noch minus 1. Wenn ich dagegen minus 1,5 einsetze, hier habe ich ja 1 durch minus 1,5. Kehrwert und Kehrwert drehen sich um, das heißt, ich habe dann minus 2. Minus 1 Drittel wird zu minus 3. Die 0 können wir nicht einsetzen, also überspringe ich die, gehen wir zum positiven Bereich.
1 Drittel wird zu 3, 1,5 wird zu 2, 1 bleibt 1, 2 wird zu 1,5, 3 wird zu 1 Drittel und so weiter. Wir sehen also, umso größer die Zahlen werden ab der 1, desto mehr gehen wir in Richtung 0. Weil 1 wird zu 1, 2 zu 1,5, 3 zu 1 Drittel, 4 zu 1 Viertel, 1000 wird zu 1 Tausendstel und so weiter. Gehen wir allerdings von der 1 in Richtung 0, Dann werden die Zahlen immer größer, denn wenn ich ein Halbzelt einsetze, werde ich zu 2, wenn ich ein Drittel, werde ich zu 3, wenn ich ein Tausendstel einsetze, werde ich zu 1000. Also geht das hier gegen unendlich.
Im Negativen ist das dann einfach nur gespiegelt. Umso näher ich an die 0 gehe, umso geht es nicht. umso mehr geht es dann gegen minus unendlich, aber umso größer ich hier werde, also in negative Achsenrichtung, umso mehr gehe ich auch hier gegen die Null, nur entsprechend dann von unten, weil ich ja von minus 1,5, minus 1,5, minus 1,25 immer näher an die Null rangehe.
Es gibt auch Funktionen, die kann man nicht so schön geschlossen aufschreiben, wie dieses f von x gleich 1 durch x, x², Sinus x oder dergleichen, sondern Funktionen, die man stückweise definieren muss. Hierzu mal ein Beispiel. Wir haben f von x ist gleich x, x², wenn x größer gleich 0 ist, 2x, wenn x zwischen minus 1 und 0 liegt und 1 sonst.
Das Aufschreiben oder das Zeichnen dieser Funktion ist recht einfach. Wir machen ein Koordinatenkreuz und fangen einfach mit der Funktion an. einfach mal im ersten Fall an. Hier steht ja, wenn ich mich mit x größer gleich 0 in dem Bereich befinde, das heißt hier alles in diesem Teil der x-Achse, dann zeichne einfach die Parabel, also diesen Teil hier.
Wenn ich mich zwischen minus 1 und 0 befinde, das heißt also hier in diesem Bereich der x-Achse, dann zeichne die gerade 2x ein. Das Einfachste ist, ich setze einfach mal zwei Punkte ein. Ich setze zum Beispiel mal die 0 ein.
Dann bin ich hier im Ursprung. wenn ich die Minus 1 einsetze. dann bin ich bei minus 2, also kann ich hier meine Gerade zeichnen.
Ansonsten, wenn ich weder da drin noch da drin bin, also alles quasi hier links von der minus 1, dann habe ich die konstante 1-Funktion, also habe ich einfach nur einen horizontalen Strich. Jetzt haben wir natürlich noch die Stellen, die nicht dazugehören. Zum Beispiel hätte ich ja gerade die 0 eigentlich gar nicht hier einsetzen sollen.
Hier steht ja, die 0 gehört ja hier zu dem oberen Pfeil. Allerdings nehmen Sie hier beide den gleichen Wert an, Und weswegen das jetzt kein Problem war. das zur Veranschauung zu benutzen. Man muss aber oder sollte irgendwie klar machen, wenn es nicht eindeutig ist, wo gehört denn irgendwas hin? Da gibt es verschiedene Arten, das zu machen.
Sie werden das in Büchern oder bei Dozentinnen und Dozenten unterschiedlich sehen. Eine Möglichkeit ist es, ich kann zum Beispiel mit so einem dicken Punkt hier anzeigen, dass hier der Punkt minus 1, minus 2 gehört noch zu diesem Teil. Oder ich könnte mit einem Kringel anzeigen, dass dieser Punkt nicht zu der Gerade da oben gehört, sondern erst alles ab danach.
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, die werden Sie dann gegebenenfalls kennenlernen.