Assalamualaikum Wr Wb Masih bersama saya, Denny Handayani di channel MadLab Ini adalah video bagian keempat Kita membahas materi polinomial Pada video ini, kita akan belajar teorema sisa dan teorema faktor Sebelum teman-teman lihat video ini Sebaiknya teman-teman pelajari dulu 3 video sebelumnya Linknya saya sertakan di deskripsi Oke, langsung aja kita bahas materinya Oke, pada video ini kita akan belajar polinomial bagian keempat. Pada video bagian keempat ini kita akan belajar teorema sisa dan teorema faktor. Nah, pada video sebelumnya kita udah belajar bahwa fx ini sama dengan px dikali hx ditambah sx. Dimana fx ini adalah polinomial yang dibagi, px ini adalah pembagi, hx ini adalah hasil bagi, dan sx-nya sisa. Jadi yang dibagi ini sama aja dengan pembagi.
kali hasil ditambah sisa. Nah, pada video ini kita akan belajar bagaimana cara mencari sisa pembagian tanpa melakukan proses pembagian. Tentu ini akan lebih mudah, lebih cepat dibanding kita melakukan proses pembagian seperti yang sudah kita lakukan di video sebelumnya. Nah, kita akan menggunakan beberapa teorema. Yang pertama teorema sisa 1, teoremanya seperti ini.
Sisa pembagian polinomial fx oleh x tambah k adalah s. Atau sisa ini sama dengan fx-k. Jadi cara mencari sisa ini gampang. Kita tinggal substitusi nilai pembuat 0 dari pembaginya. Jadi kalau x tambah k berarti pembuat 0-nya adalah negatif k.
Kita substitusi ke polinomial fx. Biar lebih jelas, teman-teman perhatikan contoh berikut ini. Tentukan sisa pembagian polinomial x-4 dikurangi 2x-3 ditambah 4x-5.
Oleh X-1 Nah kita akan mencari sisa pembagiannya Kita gunakan teorema pertama Teorema sisa pertama Polinomialnya yang ini X-4-2X-3 ditambah 4X-5 Oleh X-1 Langkah pertama teman-teman cari pembuat 0 dari pembaginya Ini kan pembagi Pembuat 0 nya berapa? Gampang aja gini aja X-1 sama dengan 0 Maka X nya berapa nih? Maka X nya kan positif 1 Nah ini teman-teman substitusi ke sini. Maka hasilnya itulah sisa yang kita cari.
Oke kita substitusi kita ganti nilai x nya dengan 1. Jadi sisanya adalah disini kan x pangkat 4 berarti 1 pangkat 4 min 2 kali x pangkat 3. X nya kita ganti dengan 1. Jadi min 2 kali 1 pangkat 3 ditambah 4 kali x kuadrat. X nya kita ganti dengan 1. 4 kali 1 kuadrat kemudian dikurangi 5. Gampang kan? 1 dipangkatkan 4 itu kan 1. 1 dipangkatkan 3 juga 1. Kemudian dikalikan min 2, tetap min 2. 1 dikuadratkan 1 kali 4, tetap 4. Kemudian dikurangi 5. 1 ditambah 4 kan 5. Kemudian dikurangi 5. Habis, maka tinggal negatif 2. Ini hasilnya.
Maka sisa pembagian polinomial x pangkat 4 min 2 x pangkat 3 ditambah 4 x kuadrat min 5 adalah negatif 2. Ini sisanya. Gampang kan? Oke, sekarang kita lanjut ke teorema sisa yang kedua.
Sisa pembagian polinomial fx oleh ax tambah b adalah s atau sisa sama dengan f min b per a. Caranya sebenarnya intinya sama saja. Teman-teman cari pembuat 0 dari pembaginya. Kemudian pembuat 0-nya kita substitusi ke fx-nya.
Itu adalah sisanya. Contoh. Tentukan sisa pembagian polinomial X pangkat 3 min 2X kuadrat tambah 3 oleh 2X tambah 3. Oke, langkah pertama kita cari pembuat 0 dari sini. 2X tambah 3 sama dengan 0. Maka 2X sama dengan negatif 3. X-nya berapa?
Negatif 3 per 2. Nah, ini kita substitusi ke sini, teman-teman. Jadi, sisanya adalah X-nya kita ganti dengan negatif 3 per 2. Negatif 3 per 2 dipangkatkan 3, dikurangi 2x kuadrat. Dikurangi 2 kali min 3 per 2 dipangkatkan 2, ditambah 3. Sama dengan negatif 3 per 2 dipangkatkan 3 kan negatif 27 per 8 ya.
Kemudian negatif 3 per 2 dikuadratkan itu kan positif 9 per 4. Positif 9 per 4 kali min 2, itu min 9 per 2. Kemudian ditambah 3. Nah, biar ini bisa kita jumlahkan, kita samakan penyebutnya. Kita jadikan penyebutnya semuanya 8 Min 27 per 8 dikurangi 9 per 2 biar jadi per 8 ini kan kali 4. Ini kali 4 maka atasnya pun ini kali 4. 9 kali 4 36 per 2 kali 4 8. Nah yang ini 3 kita kalikan dengan 8 per 8. 3 kali 8 24 kemudian per 8. Nah ini penyebutnya udah sama semua. Sekarang tinggal kita operasikan. Negatif 27 per 8 dikurangi 36 per 8 ditambah 24 per 8. Biar gampang gini aja, ini min 27 ditambah 24 kan min 3. Min 3 per 8 dikurangi 36 per 8 sama dengan min 39 per 8. Nah ini adalah sisa pembagian polinomial X pangkat 3 min 2X wadah tambah 3 oleh 2X tambah 3. Simpel ya. Oke, kita lanjut ke teorema sisa yang ketiga.
Oke sekarang kita bahas teorema sisa yang ketiga Sisa pembagian polinomial fx oleh x-a x-b adalah s sama dengan px tambah ki dengan fa sama dengan pa tambah ki dan fb sama dengan pb ditambah ki Jadi gini ketika suatu polinomial dibagi oleh polinomial berderajat 2 Jadi ini kalau kita kalikan x-a x-b ini akan menjadi Suatu polinomial yang berderajat 2 atau X-nya pangkat 2. Nah, jika polinomial dibagi oleh polinomial berderajat 2, maka sisanya adalah polinomial berderajat 1. Kita misalkan di sini PX tambah Q. Biar lebih jelas, teman-teman perhatikan contoh berikut ini. Nah, ini jenis soal yang paling sering keluar. Diketahui suatu polinomial FX, jika dibagi oleh X tambah A, akan bersisa 8. Jika polinomial fx dibagi oleh x-4, akan bersisa min 4. Tentukan sisa pembagian polinomial fx jika dibagi oleh x-2, min 2, x-8.
Perhatikan informasi yang kita peroleh dari sini. Jika diketahui polinomial fx dibagi x tambah 2, ketika dibagi x tambah 2, sisanya kan 8. Kita gunakan teorema sisa yang pertama. Ini pembuat 0 dari x tambah 2 kan min 2, maka kita peroleh.
f-2 sama dengan 8. Jelas ya, kita gunakan teorema sisa yang pertama. Ini juga sama, fx dibagi oleh x-4. Ini pembuat nolnya berapa? Pembuat nolnya adalah x sama dengan 4. Sisanya adalah negatif 4. Maka berdasarkan teorema sisa yang pertama, kita peroleh f4 sama dengan negatif 4. Nah sekarang kita akan mencari sisa polinomial fx dibagi oleh x2-2, x-8. X kuadrat min 2 X min 8 ini bisa kita faktorkan.
X kuadrat min 2 X min 8 ini sama saja dengan X tambah 2 kali X min 4. Jadi sama saja kita mencari sisa Fx dibagi oleh ini. Misal sisa pembagian Fx oleh X tambah 2 kali X min 4. Nah ini sama saja dengan ini ya. Adalah S sama dengan Px tambah Ki.
Ingat berdasarkan teorema 3. Suatu polinomial dibagi polinomial berderajat 2 Sisanya adalah polinomial berderajat 1 Jadi disini sisanya saya misalkan sebagai PX tambah Ki Mau teman-teman misalkan jadi AX tambah B boleh MX tambah N boleh, apa aja Intinya nanti kita akan mencari nilai P dan Ki Maka sisanya kita peroleh Nah sekarang kita akan lanjut mencari nilai P dan Ki Kita gunakan informasi ini Ingat sisanya itu 8 ketika X-nya min 2. Jadi X-nya kita ganti dengan negatif 2 dan sisanya kita ganti dengan 8. Jadi PX, P kali min 2 tambahki sama dengan sisa. Sisanya di sini 8 ketika X-nya min 2. Dari sini kita peroleh negatif 2 kali P itu negatif 2P kemudian ditambahki sama dengan 8. Ini kita sebut sebagai persamaan pertama. Kemudian dari sini Ketika X-nya 4, sisanya adalah negatif 4. X-nya sekarang kita ganti dengan 4 dan sisanya kita ganti dengan negatif 4. Jadi P kali 4 ditambahki sama dengan negatif 4 dari sini. Dari sini kita peroleh P kali 4 itu 4P.
4P ditambahki sama dengan negatif 4. Ini adalah persamaan kedua. Nah sekarang untuk mencari nilai P dan Ki, teman-teman bisa melakukan substitusi. Atau eliminasi.
Saya lakukan eliminasi saja biar gampang. Kita eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2. Persamaan 1-nya min 2P tambahki sama dengan 8. Dan persamaan keduanya 4P tambah Ki sama dengan negatif 4 dari sini. Ini kita eliminasi.
Variable Ki-nya ini sudah sama ya. Sama-sama 1, sama-sama Ki. Ini langsung saja kita kurangi. Min 2P dikurangi 4P itu negatif 6P.
Kemudian Ki dikurangi Ki kan habis. 0 kan. Kemudian 8 dikurangi negatif 4. Ini positif 12. Maka P-nya berapa? P-nya adalah 12 dibagi negatif 6. P-nya adalah negatif... Nah ini nilai P nya.
Nah langkah terakhir kita akan mencari nilai Ki nya. Caranya P sama dengan negatif 2 teman-teman substitusi boleh ke persamaan 1 atau boleh juga ke persamaan 2. Bebas. Di sini saya lakukan substitusi ke persamaan 1 saja.
Ke sini. Min 2P tambah Ki sama dengan 8. P nya kita ganti dengan negatif 2. Jadi negatif 2 kali negatif 2 ditambah Ki sama dengan 8. Negatif 2 kali negatif 2 itu. Itu positif 4 ditambah key sama dengan 8. Maka key-nya adalah 8 dikurangi 4. Key-nya sama dengan 4. Nah sekarang kita sudah dapat P dan key. Ingat sisa pembagian fx oleh ini adalah Px tambah key. Sekarang P-nya kita ganti dengan min 2. Key-nya kita ganti dengan 4. Maka sisanya adalah min 2x ditambah 4. Gampang kan?
Jadi, sisa pembagian fx oleh x tambah 2 kali x min 4 adalah s sama dengan min 2x tambah 4. Nah, itulah 3 teorema sisa. Kemudian terakhir kita bahas teorema faktor. Oke, sekarang kita lanjut ke teorema faktor.
Teman-teman harus tahu dulu apa yang dimaksud dengan faktor. Nah, faktor ini adalah pembagi tanpa sisa. Jadi ketika dibagi suatu polinomial ternyata sisanya 0, Maka polinomial itu dikatakan sebagai faktornya. Nah, teoremanya seperti ini.
X-K ini faktor dari Fx jika dan hanya jika Fk sama dengan 0. Nah, teman-teman hubungkan dengan teorema sisa yang pertama. Kalau pembaginya X-K maka sisanya apa? Sisanya kan Fk.
Nah, di sini Fk-nya 0. Artinya syarat suatu polinomial itu dikatakan faktor itu sisanya harus 0. Ketika dibagi, maka sisanya harus 0. Nah, biar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini. Salah satu faktor polinomial x pangkat 3 ditambah ke x kuadrat ditambah x dikurangnya 3 adalah x-1. Tentukan faktor lainnya.
Nah, x-1 ini faktor dari sini, teman-teman. Kalau ini adalah faktor, artinya ketika polinomial ini dibagi oleh x-1, maka sisanya harus 0. Gitu ya. Jadi kita gunakan teorema sisa, kita cari pembuat 0 dari X-1 ini kan sama dengan X sama dengan 1 kan.
Kita substitusi X sama dengan 1 ke sini, maka nilainya harus 0. Jadi F1 harus sama dengan 0 dari sini nih. Oke, kita ganti X-nya dengan 1. Jadi kita peroleh 1 pangkat 3 ditambah KX kuadrat, itu K1 kuadrat. Kemudian ditambah X, dikurangi 3. X-nya kita ganti dengan 1, dikurangi. Jadi kita peroleh 1 dipangkatkan 3 kan 1 1 dikuadratkan juga 1 Dikalikan dengan k itu k Kemudian ini 1 Kemudian dikurangi 3 1 ditambah 1 2 2 dikurangi 3 Min 1 Jadi ini k min 1 Sama dengan 0 Maka k nya berapa? K nya adalah 1 Nah sekarang kita sudah dapat nilai k nya Jadi polinomial ini kita ganti k nya dengan 1 Maka kita peroleh Polinomialnya adalah x pangkat 3 ditambah x kuadrat ditambah x min 3. Nah ini polinomial lengkapnya ya.
Kayaknya sudah kita ganti dengan 1. Nah berikutnya kita akan mencari faktor lainnya. Caranya kita bagi aja polinomial ini dengan x min 1. Untuk menentukan faktor lainnya kita bagi polinomial ini dengan x min 1. Untuk pembagiannya teman-teman bebas mau pakai cara bersusun atau mau pakai cara... Horner, boleh ya Nah disini saya pakai cara Horner aja biar cepat Ini koefisiennya 1, 1, 1, min 3 Oke Kemudian pembuat 0 dari sini X min 1 kan berarti X sama dengan 1 Kita simpan disini Masih ingat cara Horner, ini 1 kita simpan disini 1 kalikan dengan 1 1, jumlahkan 2, 2 kalikan dengan 1 2, kita jumlahkan lagi 1 tambah 2, 3 3 kalikan dengan 1, 3 lagi. Min 3 tambah 3, 0. Nah ini kan sisanya 0. Karena sisanya 0 maka jelas X-1 ini adalah faktornya. Lalu faktor lainnya, teman-teman lihat hasil baginya.
Yang ini, hasil baginya adalah x kuadrat tambah 2x tambah 3. Ini adalah hasil baginya. Masih ingat kan? fx itu kan sama aja dengan pembagi kali hasil ditambah sisa.
Gitu kan? Jadi fx-nya yang ini, x pangkat 3, itu pembagi kali hasil atau hasil kali pembagi ditambah karena sisanya 0 ditambah 0. Nah, maka ini adalah faktornya dan ini adalah faktor lainnya. Jadi faktor lainnya jelas yang ini.
Ini tidak bisa kita faktorkan lagi. Jadi faktor lainnya adalah x kuadrat tambah 2x tambah 3. Oke, sampai sini dulu video polinomial bagian keempat. Berikutnya kita akan belajar persamaan polinomial.
Sampai ketemu di video berikutnya. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.