Ableitungsregeln - Überblick

Ableiten von Konstanten

• Eine Konstante (nur eine Zahl) verschwindet beim Ableiten.
• Beispiele:
  • Bei (-\sqrt{2}) ohne weitere Variablen wird es beim Ableiten zu 0.

Potenzregel

• Wenn man (x^n) ableiten möchte:
  • Die Potenz (n) wird voran multipliziert ((n \cdot x^{n-1})).
  • Beispiel: Aus (x^3) wird (3x^2), aus (x^{1000}) wird (1000x^{999}).
• Auch bei negativen Potenzen anwendbar, z.B. (x^{-7}) wird zu (-7x^{-8}).

Faktorregel

• Ein Faktor, multipliziert mit einer Funktion, bleibt unverändert.
  • Beispiel: Bei (3x^5) bleibt die 3, und (x^5) wird zu (5x^4).
  • Auch bei Variablenwechsel, z.B. mit (t^4) und einem Faktor (\sqrt{2}).

Summenregel

• Bei Summen (+ oder -) kann jeder Summand einzeln abgeleitet werden.
  • Beispiel: (x^2 - 5x^3 + 6) wird zu (2x - 15x^2).

Produktregel

• Wenn zwei Funktionen multipliziert werden:
  • Regel: (u'v + uv').
  • Beispiel: (x^3 \cdot x^5) wird zu (3x^2 \cdot x^5 + x^3 \cdot 5x^4).

Quotientenregel

• Für Brüche ((\frac{u}{v})) gilt:
  • Regel: (\frac{u'v - uv'}{v^2}).
  • Beispiel: (\frac{2x^3}{x^5}) mit (u = 2x^3) und (v = x^5).

Kettenregel

• Bei verschachtelten Funktionen, z.B. ((x^4 + 5)^7):
  • Innere Funktion (u), äußere Funktion (v).
  • Regel: (u' \cdot v').
  • Beispiel: ((x^4 + 5)^7) abgeleitet mit der Regel ergibt (4x^3 \cdot 7(x^4 + 5)^6).

Spezialfälle

• Funktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens sowie Exponentialfunktionen können spezielle Ableitungsregeln benötigen.

Fazit

• Überblick über alle wichtigen Ableitungsregeln gegeben.
• Bei Fragen: Kommentare sind willkommen.