hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich euch alle ab leitungs regeln in einer übersicht mit vielen beispielen geben wir starten hier vorne beim ableiten von konstanten das ist eigentlich das schönste was passieren kann wenn ihr wirklich nur eine zahl da stehen habt ohne dass da nix noch irgendwie mit dabei ist wirklich nur eine zahl dann fällt sie einfach weg beim ableiten also da käme jetzt 0 raus auch hier unten in dem beispiel auch wenn die zahl super hässlich aussieht sowie wurzeln und man das beispiel sieht und erstmal schnappatmung bekommt weil man denkt um gottes willen was muss ich jetzt hier tun wir schauen uns das an wenn da kein iks mit drin steht also in irgendeiner form ob das nix ist oder mal hoch ex oder sonst irgendwas wenn dann wirklich nur - wurzel aus zwei steht irgendwas was man mit dem taschenrechner so ausrechnen kann dann fällt das beim ableiten weg und da kommt nun raus ist schon mal eine schöne regel oder das ist der anfang das einfachste was sein kann wir gehen über zur potenz regel das ist die die man eigentlich am häufigsten an wendet man möchte so was wie iks hoch drei ableiten und da ist folgendermaßen die drei also diese hoch zahl die wird vorne dran gezogen man macht so ein drei mal wenn man es ableitet und aus dem x3 wird jetzt folgendes nämlich ein ex hoch zwei also die alte hoch zahl wird um 1 verkleinert das ist die regel das bedeutet nochmal zusammengefasst die drei kommt hier nach vorne und die hoch zahl wird um 1 verringert in eurem herbst oder eurem buch habt ihr dann die regel folgendermaßen stehen wenn man nix hoch n ableiten möchte das ist ja hier noch hier ist n3 in dem fall dann kommt das n vorne dran als faktor und dann wird um 1 verkleinert also aus dem n wird ein n -1 und diese regel kann man bei sehr vielen fällen anwenden zum beispiel auch hier unten iks hoch 1000 das ist genau das wir sehen das ist nix hoch irgendeine zahl und dann machen wir das noch mal noch mal mit der regel das heißt die 1000 wird vorne dran geschrieben und aus dem ixs hoch 1000 wird ein iks hoch und die 1001 kleiner also 999 egal wie herzlich die zahlen aussehen das ist die regel auch im negativen iks hoch - 7 hat genau diese struktur hier wir ziehen also diese - 7 vorne dran immer als komplette hochtal gedacht und dann machen wenn ich's hoch und jetzt müssen wir die hoch zahl um 1 verringern also habt immer im kopf - 7 -1 rechnen das ist bei negativen zahlen dann halt eben -8 da muss man sich ein bisschen daran gewöhnen dass die sozusagen größer also außer 7 wir die acht aber das ist ja dann kleinere negative zahlen genau das ist die potenz regel also hoch zahlen nach vorne ziehen und hochsal um 1 kleiner machen was gibt es noch die faktoren das ist jetzt folgendes wenn also das hier kennen wir jetzt schon nex-5 wie wir das ableiten das haben wir gerade gesehen jetzt steht hier aber vor meinem x5 noch so ne 3 also dreimal steht da vorne dran das ist ein faktor alles was mit einem mal verbunden ist zählt als faktor und da ist es so diese teile bereiten gar keine probleme die werden eins zu eins so übernommen beim ableiten also die drei die mit einem mal verbunden ist bleibt beim ableiten einfach genauso da dreimal an der verändert sich gar nichts und nur dieses x5 muss ich dann ableiten was wir eben gesehen haben bedeutet die fünf kommt vorne dran und aus dem x5 wird ein ex hoch 41 kleiner die hohe zahl und dann kann man es noch ausrechnen dreimal 15 15 und die x4 dahinter auch wenn die dinge schlimmer aussehen wurzeln sind immer sein gutes ding um ausdrücke schlimmer zu machen hier habe ich jetzt noch was eingebaut nicht nur die wurzel hier sondern unsere variable heißt nicht mehr xviii hier oben sondern t es kann natürlich auch sein die variable muss ja nicht immer iks heißen aber das was hier drin steht das ist das wonach wir ableiten also genau mit den regeln die wir bisher hatten unsere unbekannte heiß hat ihm jetzt t was haben wir hier wenn wir das untersuchen steht eine mal zeichen vor diesem t hof 4 das heißt diese wurzel 2 ist ein faktor und wird einfach beim ableiten übernommen das heißt die wurzel 2 bleibt so hässlich sie auch ist sie wird einfach mitgenommen und nur das t hoch 4 wird ganz normal abgeleitet wie wir es hatten die vier kommen nach vorne und aus dem t hoch 4 wird ein t hoch drei das beispiel hier ist auch bezüglich der faktor regel abzuleiten das sieht nur ein bisschen eigenartiger aus ich würde euch immer raten last also schreibt niemals das ixs mit einem bruch mit drin sondern hier könnte man das ja eigentlich schreiben als ein fünftel x iks hoch drei also dass ihr das x3 nicht in den zähler schreibt sondern hinten dran und vorne eben diesen bruch hin schreibt und jetzt sieht man dass schon viel besser der 1 dass ein fünftel ist einfach nur ein faktor vorne dran mit einem mal das heißt es bleibt beim ableiten mit dabei und aus dem xo 3 das wissen wir jetzt schon wird ein 3x quadrat vielleicht sage ich noch eine sache der faktor muss natürlich nicht vorne nicht immer vorher dran stehen also so was wie ich so fünf mal sieben das ist ja auch ein faktor also es reicht mit mal muss es verbunden sein auch da bleibt die sieben beim ableiten einfach mit dabei die können nach vorne dran schreiben und dann wird er 65 eben als fünfmal so hoch vier abgeleitet gut das war de facto regel dann gibt es noch die summen regel das bedeutet wir kriegen jetzt mehrere teile die mit einem plus oder minus verbunden werden und da wissen wir noch gar nicht wie wir das ableiten dürfen aber es ist so einfach wie man sich wünscht wir dürfen jeden teil einzeln ableiten also das quadrat wird einzeln abgeleitet dann dem dieser - 53 teil und dann hinten die sie kümmern wir uns erst noch ein bis sechs grad das ist mit der potenz regel abzuleiten die zwei kommt vorne dran und aus dem ixs quadrat wird ein x1 oder einfach nur die einst kann man dann auch weglassen 2x dann kommt ein - die fünf ist mit einem mal verbunden das zählt auch wirklich nur für zahlen und faktor ist ja nur als zahl zu sehen die fünf bleibt also beim ableiten und aus dem x3 die drei kommt nach vorne und aus dem xo 3 wx quadrat und was passiert hier hinten auch das leiten wir einzeln ab da ist gar nix drin was haben wir gelernt das ist eine konstante die fällt beim ableiten einfach weg also ihr könnt ihr plus null schreiben oder einfach gar nichts und jetzt kann man das noch ein bisschen vereinfachen 2x lässt man so stehen das rechnet man zusammen - 15x quadrat also so einen regel so wie man sich wünscht bei plus und minus darf man jeden teil einzeln ableiten und die welt ist gut im gegensatz zu produkt regel bei mal wir haben jetzt hier das ist jetzt ein beispiel das könnte man auch anders lösen aber ich möchte euch nun mal die produkt regel jetzt klarmachen wie die funktioniert wir haben einen teil der einig es enthält multipliziert mit einem anderen teil der auch ein iks enthält und jetzt sag es euch direkt ihr könnt auch sagen ich rechne das einfach zusammen also das ist ja nix hoch acht ich darf die hochbahn er einfach zusammen rechnen und dann leite ich das ab ja klar geht würde ich empfehlen aber ich möchte euch jetzt die produkt regel zeigen weil die funktionen sind nicht immer so einfach wie sicher stehen es kann sein dass du so was kommt ex quadrat x xx x sinus iks also immer dann wenn ihr zwei funktionen miteinander multipliziert also in dem ein teil stecke nix und in dem anderen teil steckt nix dann braucht ihr die produkt regel und die möchte ich jetzt hier in dem einfachen beispiel demonstrieren weil die da wissen wir noch gar nicht wie man die ableitet wenn ihr so ein produkt von funktionen habt dann nennt ihr einen teil davon und in anderen teil v und dazwischen ist diesmal das heißt eine ist x3 und unser v ist x5 jetzt leiten wir jedes einmal ab für sich und strich abgeleitet das kennen wir xo 3 abgeleitet wird dreimal x2 und auch v abgeleitet kennen wir auch das sind 5 kommt nach vorne und dann wird er ein x4 draus und die produkt regel sagt jetzt folgendes wir dürfen so ein produkt ableiten und zwar mit folgender regel die muss man einfach auswendig lernen musste ich mal v plus x v strich das ist die produkt regel lernt die einfach auswendig und dann setzt jetzt die sachen ein die wir hier also hatten das wäre strich haben wir gesagt ist 3x quadrat das wird x dem v sowie das feld war das ist x5 dann kommt im plus dann kommt unser also das xo 3 was wir hier so schön in einer tabelle sozusagen aufgeschrieben haben und das wird noch mit dem v strich multipliziert also mit dem 5 x iks hoch vier schreibt euch das am anfang erstmal schön auf damit ihr eine übersicht habt und nicht durcheinander kommt und dann kann man die sachen eben noch zusammen rechnen also xf zweimal x5 sind x7 und hinten kommt auch ex 7 raus also fünf x7 und da kann man selbst in dem fall tatsächlich zu acht x7 zusammenrechnen das ist jetzt aber nur für das beispiel habe ich ja gesagt habe ich extra ein einfaches gewählt das wird die entfernte 10 da kaum schwierigere aufgaben auf euch zu das aber so viel zur produkt regeln und es gibt es natürlich nicht nur mit mal denn wir kennen auch durch und da kommt dann die kurz zinsen regel ins spiel prozenten regel gilt für brüche also oben steht was mit ex unten steht was mit ex da sollte man die patienten regel anwenden oder muss man dann tatsächlich auch die geht sehr ähnlich zur produkt träge auch hier nennen wir einen teil und den anderen teil v ist das was oben im zeller steht v das was unten erst also dass 2 x3 und x5 ist unterstrich leid mir das ding einmal ab was haben wir gelernt hier kommt jetzt noch was ins spiel was zur potenz regel zählt was wir aber noch nicht gesehen haben und zwar wenn da nur nix hoch 1 steht beim ableiten also eigentlich gar keine hoch zahl so wirklich nicht da steht die lassen wir eigentlich weg 2x leitet man einfach so ab da fällt das ixs einfach weg also die ableitung von iks ist 1 merkt euch das noch das brauchen wir sehr sehr häufig wenn ihr iks ableiten möchte kommt da einfach eins raus das heißt hier steht zweimal dass die zwei bleibt beim ableiten ja das haben wir gelernt und aus dem xvi 1 also zweimal 1 bis 2 und die drei als konstante fällt komplett weg sehr schöne ableitung auch hier v strich leiten wir ab das ist fünfmal iks hoch 4 und jetzt kommt die eigentliche quotienten regel ins spiel die folgendes sagt bruch mit hingeschrieben und da kommt folgendes reinen lauter curiel die man auch auswendig lernen muss steht da jetzt strich x v serie mit zur produkt regel von eben jetzt kommt aber ein minus um x v strich und unten wird das fahrwasser vorher stand einmal quadrat das ist die kurze und da setzen wir jetzt alles an wir haben ja schon viel vorarbeit geleistet strich ist 2 v ist x5 dann kommt ein - ist dass da immer wenn ihr summen habt schön eine klammer drum herum weil das er euer komplette ist und es wird x v strich das ist dieses ding bruch strichen v zum quadrat heißt der komplette nenner wird einmal quartiert so wie er ist also x5 wird kastriert und jetzt muss man das noch weiter vereinfachen kürzen wenn möglich also da werde ich jetzt nicht weitergehen das kommt dann immer auf die aufgabe an was man da zu tun hat aber einfach dinge ausreichende in klammern auflösen und dann versuchen noch mal was auszuklammern um hier unten was weg zu kürzen das geht sehr häufig aber da müsste einfach schauen was die aufgabe eben hergibt das hier ist jetzt erstmal nur die kurzen regel an sich den schritt des abgleitens haben wir es gemacht jetzt geht es nur noch ums vereinfachen aber das kriegt ja hoffentlich auch selbst dann gibt's nicht nur die produkt regel und prozenten regel sondern auch die unglaublich beliebte ketten regel kettenring dieses ding nutzt man immer dann oder muss man dann nutzen wenn funktionen ineinander verschachtelt sind was bedeutet das ja wir haben hier in dieser klammer dieses x4 +5 stehen das ist eine innere weil er in der klammer steht funktion das nenne ich einfach mal alles und wir haben eine äußere funktionen nämlich dieses hoch 7 das wird meine funktion werden also funktionen die ineinander verschachtelt sind muss man mit der ketten regel ableiten das ist zum beispiel auch so was wie wurzel aus aix quadrat - 5 da braucht man die ketten regel weil man die wurzel funktion hat und in der wurzel funktion steckt noch eine andere funktion drin oder sinus von 2x auch da hat man die sinus funktion und innen drin steckt schon wieder was anderes oder 5x genau dasselbe die ehe funktion und innen drin hat man noch mal was immer in diesen fällen braucht man die ketten regel und die funktioniert folgendermaßen wir haben ja unser das ist die innere funktion die heißt x4 +5 und wir haben unser v das ist dieses ding da hoch 7 also dieses ding das innere hoch 7 das haben wir als coo zeichnet deswegen können wir das als hoch 7 ausschreiben ja also die innere wird hoch 7 genau und jetzt leiten wir jedes einzelne mal ab warum ich jetzt komplett alles grün schreibt sich auch nicht sie das stelle ich brauche das hier ist rot jetzt leiten wir das ab x4 wird zu 4x hoch 3 und die 5 fällt weg und v strich das leiten wir jetzt mit also stelle ich froh hier wird eigentlich nichts stehen dass wir zu siebenmal so hoch 6 ganz normal abgeleitet und jetzt sagt die ketten regel folgendes wir leiten das ab indem wir die innere ableitung also strich einfach mit der äußeren ableitung multiplizieren das ist alles innere ableitung mal äußere ableitung also strich mal strich und da haben wir jetzt schon gute arbeit geleistet wir haben die ableitung ja schon strich ist das 4x hoch drei und das muss jetzt einfach nur multipliziert werden mit v strich jetzt schreiben wir hier aber nicht siebenmal hoch 6 hin das war ja total blöd wenn er plötzlich drin steckt sondern wir setzen unser uhr nochmal zurück also oder zurück substitution sozusagen zu dem was es mal war unser war ja die innere als das was in der klammer stand dieses x4 +5 das war unser und das müssen wir hoch 6 nehmen also mit der canon regel muss man erstmal zurechtkommen sich ein bisschen einarbeiten irgendwann macht man viele dinge im kopf aber am anfang würde ich euch sagen schreibt euch die innere und äußere immer dann hier einmal hin leitet die ab und dann müsst ihr die ableitung einfach nur noch miteinander multiplizieren gut das waren die einzelnen regeln wie man wurzeln ableitet die funktion ableitet sinus cosinus und tangens das sind dann nur noch spezialfälle von diesen regeln die wir gerade gelernt haben es gibt auch welche die man auswendig lernen muss zu den einzelnen hatte ich dann aber schon videos gemacht das hier ist jetzt nur so eine übersicht über alle wirklichen ab leitungs regeln die es geht ich hoffe dass ich euch einen überblick verschaffen konnte und dass sie jetzt wisst was ihr überhaupt anwenden könnt falls ihr fragen habt meldet euch wie immer gerne in den kommentaren