Lineære Algebra - Abstrakte Vektorrum

Introduktion

• Fokus på abstrakte vektorrum, som er mere generelle end de tidligere kendte vektorrum.
• Opsummering af tidligere viden om lineære kombinationer og baser.

Linære Kombinationer og Spænd

• Lineære kombinationer: K = C₁V₁ + C₂V₂ + ...
• Spænd: Mængden af alle lineære kombinationer kaldes spændet af vektorerne.
• Basis: Hvis en vektor kan skrives som en lineær kombination af basisvektorer, er det nok at kende koefficienterne C for at kende vektoren.

Koordinatvektorer

• Koordinatsystem: Beskrivelse af vektorer i forhold til en basis.
• Koordinatvektoren for V med hensyn til basis B er C₁, C₂, ..., Cₖ.

Generelle Vektorrum

• Definition: Et vektorrum V med elementer (vektorer) og operationer (addition og skalarmultiplikation).
• Vektoraddition: Skal opfylde kommutativitet, associativitet, eksistens af en nulvektor, og eksistens af en invers vektor.
• Skalarmultiplikation: Skal opfylde distributive og associative egenskaber samt multiplikation med 1.

Eksempler på Vektorrum

• Polynomier: Mængden af polynomier af grad højst n er et vektorrum.
• Matriser: Mængden af m x n matriser er et vektorrum.

Underrum

• Definition: En delmængde H af et vektorrum V, der opfylder tre betingelser:
  • Nulvektoren i V skal være i H.
  • Lukket under addition og skalarmultiplikation.

Spænd og Lineær Uafhængighed

• Resultat: Spændet af vektorer i et vektorrum er altid et underrum.
• Lineær uafhængighed: En mængde vektorer er lineært uafhængige, hvis den eneste løsning for lineær kombination = 0 er, at alle koefficienter er 0.

Baser

• Basis: En lineært uafhængig delmængde, der udspænder vektorrummet.
• Dimension: Antallet af vektorer i en basis.

Koordinatvektorer og Transformationer

• Koordinatvektorer: Repræsenterer en vektor i forhold til en basis.
• Lineære transformationer: Billeder af vektorer kan udtrykkes som matrixprodukter af koordinatvektorer med transformationsmatricer.

Eksempler og Øvelser

• Eksempler på beregning af koordinatvektorer og transformationsrepræsentationer i mere abstrakte vektorrum som polynomier og matriser.

Afslutning

• Praktisk anvendelse af abstrakte vektorrum i lineær algebra inklusive baser, koordinater, og transformationer.
• Spørgsmålsrunde og opsummering af dagens emner.