11. Lektion Abstrakte Vektorrum

Så blev klokken 12.30, og vi skal i gang i den sidste blok af Line Algevar. Og det den her blok skal handle om, det er abstrakte vektorum. Så vektorum kender vi jo i forvejen, dem har vi arbejdet med hele kurset, men nu skal vi til at kigge på nogle, der er lidt mere generelle end dem, vi kender fra tidligere. Og som altid, hvis der er spørgsmål, så... Skriv det i chatten, eller send en mail til mig. Jeg holder øje med begge dele. Så først skal vi måske lige huske tilbage på nogle ting, som bliver vigtigere senere, når vi skal til at snakke om mere generelle linære kognitioner. Også hvis vi skal snakke lidt om baser og repræsentationer. Så hvis nu jeg har nogle vektorer ved et TVK, så hvis vi tager sådan og siger en anden konstant gange den første, plus en anden konstant gange den anden, og så videre, så er det det, vi kalder en linær kombination af de her vektorer. Hvis vi så kigger på alle mulige linære kombinationer, så det vil sige, at jeg kan ligesom skrue på de her C'er, og vælge alle mulige forskellige C'er, så får vi det, vi kalder spændet af vektorerne. Så det er altså en linare kombination til sådan derud, og spændet det er altså alle mulige linare kombinationer. Så alt, der er på den der form. Så har vi også set, at hvis nu vi har en basis BTVK, og så er det en basis for et eller andet underrum, så hvis nu vi har en vektor V i underrummet, så kan vi skrive den som sådan en linare kombination af vores basisvektorer, og så fordi, Vi siger nu, at hvis vi kender basen alle sammen, og vi er enige om, hvilken rækkefølge vi skriver dem i, så er det ligegyldigt, om jeg fortæller, hvad V er, eller om jeg fortæller, hvad de her C2 op til CK er. Fordi hvis jeg kender basen, og jeg kender de her C'er, så kan jeg bare opskrive det her udtryk, og så kan jeg udregne V. Så det er lige så godt at kende C'erne, som det er at kende det her V. og det med at det er en basis gør så Derudover også, at de her c'er er entydige. Så hvis jeg skal sammenligne dem om to vektorer af ens, så kan jeg bare kigge på de der c'er, i stedet for først at skulle udregne den der lineare kombination. Men i hvert fald, det er nok at kende de der c'er for at udregne v. Så det vi så siger, det er, at koordinatvektoren for v, med hensyn til den her basis, det er c1, c2 osv. ned til. CK. Så jeg tager simpelthen bare de der C'er, og så samler jeg dem i en vektor, og det er det, vi kalder koordinatvektoren for V, med hensyn til den her basis. Så det er sådan set bare, det er den samme vektor, vi beskriver ved det der, men det er i et andet koordinatsystem. Så hvis I tænker, hvad hedder det? Normalt, når I tænker koordinatsystem, så tænker I et eller andet. Som det der, hvor vi har en koordinat, vi går ud af x-aksen, og en koordinat, vi går ud af y-aksen. Men der er sådan set ikke noget i vejen for, at vores koordinatsystem kunne se anderledes ud. Så jeg kunne f.eks. have x-aksen stadigvæk låst, som den gjorde, og så havde jeg en akse, der lå skråt. Ud fra de to ville jeg stadigvæk kunne beskrive planet, men de her koordinater har så en anden betydning. Og det er egentlig det, vi også har her, at de her... Koordinater C til 2 op til CK, det fortæller ikke, hvor langt jeg skal gå ud af x-aksen, y-aksen osv. Den fortæller, hvor langt jeg skal gå ud af den første basisvektor, hvor langt jeg skal gå ud af den anden basisvektor osv. Så det er koordinatvektorerne. Og det, der skal ske i dag, er, at på en måde bliver det nemt, det vi skal lave, og på en måde bliver det kompliceret. Fordi det, vi egentlig bare skal. det er, at vi skal tage alle de idéer, vi nu har set i Rn, og så skal vi prøve at se, kan vi gøre det her mere generelt? Er der nogle andre ting, som opfører sig på samme måde? Og hvordan skal vi så definere for eksempel linære uafhængighed for de her mere generelle vektorer? Så idéen er sådan set, at det her, sådan nogle vektorer, hvis man tænker sådan mere generelt, Så er de i alle mulige sammenhæn Så der er mange problemer, hvor hvis man kigger på dem matematisk, så opdager man, at det faktisk er et vektorrum, der ligger under. Men det behøver ikke være reelle vektorrum, altså det behøver ikke være R, N, vi kigger på. Så det, det egentlig betyder, det er, at de her, når vi snakker vektorer i det her generelle vektorrum, så ser de anderledes ud. Så det behøver ikke være de her søjlevektorer, som vi er vant til, men strukturen, de overholder, er den samme. Så det vil sige, at vi kan tage to vektorer og lægge dem sammen. Vi kan tage en vektor og gange en skalar på, og så vil den opføre sig, ligesom vi kender det, fra Rn. Så for at tage et eksempel på, hvordan sådan en anden samling kunne være, Så fra Kallius, der har I måske set differentielle linjer. Så hvis jeg har en differentielle linje på den her form, sådan en andenordens differentielle linje, så er løsningerne, de er givet på den her form, hvor y1 og y2, det er nogle funktioner. Så det vil sige, det jeg egentlig har her, hvis nu I tænker på, at vi lige har snakket om lineare kombinationer, så står der c1 gange en eller anden funktion plus c2. gang en eller anden funktion. Så det her kan man se som en lineær kombination af de her to funktioner. Og jeg synes også, at de her løsninger, det er faktisk et underrum af et vektorrum, som består af reelle funktioner. Så de der y1 og y2, de fungerer ligesom vektorer, som vi kender dem fra herinde, bare at det nu er nogle funktioner. Men på samme måde kan vi snakke om lineære kombinationer af dem. Vi kan snakke om lineær uafhængighed. Vi kan snakke om baser for underrum osv. Så det er ligesom det, vi skal prøve at indfange. Hvis vi får noget, der lidt ligner vektorum, kan vi så bruge de samme regler igen. Så hvis nu vi skal snakke om et helt generelt vektorum. Og nu har jeg skrevet, at det er et reelt vektorrum, fordi hernede vælger vi nogle skalarer, der ligger i R. Så man kan gøre det her endnu mere generelt og sige, at det hernede skal bare være det, der imellem en ting hedder lame. Men her er det altså bare, at det er, hvad hedder det, reelle tal, ligesom vi er vant til. Men det et vektorrum er, det er, at det er en mængde V, og de... elementer, der ligger i V, kalder vektorer, og den skal være ikke tom. Så der skal altså mindst være en vektor i vores vektor. Og så skal den opfylde de her to ting. Den første, det er, at der skal eksistere en eller anden form for vektoredition på V. Og den her vektoredition skal opfylde de her fem punkter, nemlig at uanset hvad for nogle vektorer, u, v og w, jeg vælger i min mængde, så skal det gælde at lægge dem sammen. Så lægger jeg stadigvæk i v, hvis jeg bytter om på rækkefølgen, når jeg laver vektordition. Det er ligegyldigt. Og hernede også, at har jeg tre vektorer, jeg skal lægge sammen, så om jeg tager de første to og lægger sammen først, og så lægger jeg den sidste til, eller om jeg tager de sidste to og lægger sammen, og så lægger jeg den første til, det giver det samme. Fjerde hernede er, at der skal være en vektor. i vores vektorrum, som vi kalder 0-vektoren. Og den her 0-vektor, det er den, der opfylder, at uanset hvad for en anden vektor u jeg tager, så hvis jeg lægger 0-vektoren til u, så får jeg bare den her vektor u tilbage. Så altså, vektoradditionen skal være defineret sådan, at vi kan finde en 0-vektor, og derudover så skal vi kunne finde en vektor, vi kalder minus u, så for hvert u. i vores vektorrum, så skal vi gå og finde en vektor minus u, og den her minus u, den opfylder så, at u plus minus u giver 0 vektoren. Så det der egentlig står her, hvis nu man sådan skal skrive det lidt kort, det er sådan set, at den her vektoreddition opfører sig som forventet. Fordi der står egentlig bare, at de ting, som... Som vi er vant til, at vi kan gøre, hvis vi snakker om Rn, der er vi vant til, at vi har en 0-vektor, altså den, der består af ene nuller, og hvis vi lægger den til en hvilken som helst anden vektor, så sker der ikke noget ved den der vektor u. Og omvendt har jeg en vektor minus u, jamen det har jeg, fordi hvis nu jeg skifter foretegn, så jeg har min u, det er en søjlevektor, og jeg skifter foretegn hele vejen ned igennem, så får jeg den her minus u, så den er den her opfyldt. Så det her er bare en fin måde at skrive det op på. Så det er vektorditionen, vi skal have. Tilsvarende skal vi have en skalarmultiplikation, hvor det er at skrive ud, hvad det er for nogle egenskaber, vi gerne vil have. Vi vil gerne have, at hvis jeg tager en vektor og ganger en skalar på, så skal jeg stadig få noget, der ligger inde i mit vektorum. Og det er også det samme heroppe. Det skal ligge inde i vektorummet. Så når jeg laver operationer, Er så vektoradition og skalarmultiplikation, så må jeg ikke ryge uden for vektorrummet. Så skal jeg må gange ind i en parenthes, både i forhold til skalarer og i forhold til vektorer. Jeg skal kunne gøre det her med, at om jeg først ganger D på, og bagefter ganger C på, det er det samme som at tage min skalar og gange sammen først, og så gange den på vektoren. Og så skal der gælde... Det ser sådan lidt mærkeligt ud hernede, når man lige ser det første gang, men der skal gælde, at den her, hvis jeg tager skalaren 1 fra de reeltalte, altså 1, som vi kender det, hvis jeg tager det og ganger på min vektor u, så skal skalarmultiplikationen være defineret sådan, at så får jeg bare vektoren u tilbage. Så den giver også, at den her skalarmultiplikation gør ikke noget mærkeligt. Den opfører sig, som vi er vant til. Så igen, det her er bare, at skalarmultiplication opfører sig som forventet. Så det her er altså det, man skal tjekke, hvis nu man skal vise, at et eller andet generelt noget er et vektorrum. Så skal man vise, at vi kan definere en form for vektoreddition, som opfylder de her fem punkter, og vi skal definere en form for skalarmultiplication, som opfylder de her. 5 punkter også. Og det ser måske skræmmende ud, men hvis man ser nogle eksempler, så er det måske ikke så slemt. Og et eksempel, vi kommer til at se nogle gange i løbet af den her kursusgang, det er de her pn. Og når jeg skriver det, så mener jeg, at mængden af polynomier er grad højst n. Så det vil sige sådan noget som den her fx. a0 plus a1x plus a2x i anden, og så videre op til a n x i endte. Det er noget, der ligger her i pn. Og de her skalarer, eller hvad er det, koefficienterne for polynomiet, de skal så være reelle tal. Og det vi skal for at vise, at det her er et vektorrum, det er, at vi skal definere en form for vektoraddition. Og den må vi gøre det. Jamen det er sådan set bare, at hvis vi bruger almindelig addition af polynomier, så min f er en vektor, og min g er en vektor. Og så siger jeg, hvad sker der, hvis nu jeg tager f plus g? Jamen det er bare, at jeg har a0 plus b0 plus a1 plus b1x plus a2 plus b2x i anden. Plus a n plus b n x i ende. Og det er jo sådan set ikke, det er der jo ikke noget overraskende i, fordi det er jo sådan, at vi normalt ville lægge to funktioner sammen. Det der er, kan man sige, det nye nu, det er, at nu sætter vi det ind i en lidt anden tankegang, hvor vi siger, at det er faktisk, de her f og g, dem kan vi tænke på som vektorer, og det vi så laver, det er en vektoredition. Fordi det vil også... Det vi ser her, det er, at det der står her, a0 plus b0, det er igen bare en eller anden koefficient, som ligger i det reelle tal. Den her a1 plus b1, det er også bare en koefficient i det reelle tal. Så den her, den ligger også i pn. Fordi jeg får lige præcis noget der har samme form som dem, der står deroppe. Det samme med skalarmultivation, der kan jeg gøre sådan set det samme. Hvis jeg tager en konstant c, gange mit f, så vil det sige, at jeg ganger c på det der, så det jeg normalt vil gøre, det er, at jeg vil bare tage og gange c ind på hvert led, og det kan jeg jo gøre igen her. c af 2x i anden, og så videre, c af n. x i ende, og hvis jeg så tager og kigger, det der er mine koefficienter, så får jeg igen noget her, der ligger i p'en. Så altså, på den her måde kan jeg definere vægteraddition og skalarmultiplikation. Og så selvfølgelig, så skal man tjekke, at de her... 5 punkter er overholdt for vektorelisionen, og de her 5 punkter er overholdt for skalarmultiplikationen. Men det kommer sådan set af, at de her regneregler, dem kender vi. Det er det samme, som hvis vi nu bare havde regnet med de her polynomier, uden at tænke på vektorum. Så det kommer af de regneregler, vi kender, at så opfylder den også dem her. Så man kan selvfølgelig... Skulle man gøre det stringent, så er man nødt til at gå igennem og tjekke, at den opfylder de her ting. Men det er altså vores første eksempel på et andet vektorum. Så altså, det her pn er et vektorum, og vektorerne i dem er polynomierne. Og hvis vi snakker om 0-vektoren i det her pn, så er det det her 0-polynomium. Fordi der gælder jo, at hvis jeg tager et virkelighedsmæssigt polynomium og lægger det her 0-polynomium til, altså det polynomium, som evaluerer til 0 i alle punkter, jamen så får jeg jo bare det oprindelige polynomium ud. Så det er noget, vi kender, men det er noget, der bliver sat ind i en ny kontekst nu, at vi kan tænke på det som et vektorrum. Et andet eksempel er, at vi kan kigge på vektorrummet bestående af matriser. Så hvis nu jeg tager, når jeg skriver m, m kryds n, så mener jeg, at det er mængden af alle m kryds n matriser. Og så påstår jeg, at det også er et vektorrum, fordi vi kan definere en vektoreddition, som opfylder den skal. Og hvordan gør vi det? Jamen det er bare almindelig sum af at triger sig, fordi jeg kan tage hvis nu jeg tager a, b, c, d plus e, f, g, h så nu det her det er et eksempel for m2x2 så er det simpelthen bare a plus e c plus g b plus f d plus h Og så får jeg igen her noget, som er en 2x2-matrix. Og hvis man går tilbage til den kursusgang, hvor I så om addition og også senere skalarmultiplikationer, eller sådan set sum nu, kigger vi på, jamen så vil den her sum af matriser opfylde det her. Fordi jeg kan finde en 0-vektor også. Det er bare den matrix, der består af ene nuller. Så vektoredition har vi, og skalarmultiplision, det er også bare igen almindelig skalar gange matrix. Fordi jeg simpelthen siger, at hvis jeg har, igen den er a, b, c, ja, det kan være. For at det ikke lige er samme størrelse hver gang, så kan jeg gøre sådan her. Hvis nu jeg tager en eller anden skalar S, så det her er et eksempel for 2x3. Jamen hvad gør jeg så normalt? Jamen så vil jeg bare til det der S og gange ind på hver indgang. Så jeg får SA, SB, SC, SD, SE, SF. Og så får jeg igen en 2 x 3 matrix, og man kan gå tilbage og tjekke, at når nu jeg gør at definere... skalar-multiplikation på den her måde, så opfylder den det, den skal, for at det her kan være et vektorrum. Så altså det, vi har her, er, at hvis vi fastlægger et m og et n, og så vi kigger på rummet af alle, eller mængden af alle matriser, som har de dimensioner, jamen så er det faktisk et vektorrum. Så det er de to eksempler, jeg typisk vil bruge her, fordi det er noget, hvor vi lidt kender de her vektorer i forvejen, men det er noget, der er abstrakt nok til, at det ikke bare er Rn, ligesom vi plejer at se det. Og ligesom, når vi for tidligere har set, at vi kan snakke om underrum, Så kan vi også snakke om det for nogle generelle vektorrum. Så er det jo så ikke sikkert, at vi har en geometrisk forståelse af det. Fordi normalt, så vil jeg måske sige noget med, at et underrum, det er ligesom at I forestiller jer en plan i R3. Så er planen et underrum. Men hvis jeg snakker om et underrum af sådan et rum, der består af matriser. Så er det ikke lige klart, hvordan jeg skal forestille mig det geometrisk. Men definitionen på, hvordan et underrum ser ud for et generelt vektor om v, det er, at det her underrum h skal være en delmængde. Så jeg udvælger nogle vektorer i v, sådan at de her tre ting er opfyldt, nemlig at 0-vektoren i mit vektorrum skal være med i mit underrum også. Hvis u og v er nogle vektorer, der ligger i mit underrum, så skal summen ligge der. Og hvis u er en vektor i mit underrum, og c er en skalar, så skal c gange u også ligge i. Så det der egentlig står, hvis man sådan skal samle lidt op på det, så er det, at et underrum skal... opfører sig pænt under lineare kombinationer. Det er sådan til det, at hvis jeg laver en lineare kombination af vektorer i u, eller undskyld i h, så skal det stadigvæk ligge i mit underrum. Så jeg kan ikke lave en lineare kombination og så ende uden for den her mængde, jeg har valgt. Så hvis den opfylder de tre ting, så er det et underrum. Så for eksempel så påstår jeg nu, at det her p3, altså polynomier af grad, højst 3, det er et underrum af polynomier af grad højst 5. Hvorfor er det det? Jo, men hvis nu vi kigger på så en og nu kalder jeg det en vektor for ligesom at slå fast, at vi snakker om et vektorrum. Så en vektor i p3 har formen Så må det blive A0 plus A1x plus A2x i anden plus A3x i tredje. Men det jeg jo kan gøre nu, det er, at hvis nu jeg skriver plus 0 gange x i fjerde plus 0 gange x i femte, så kan jeg jo se, at det jeg har nu, det er jo, at det er også noget, som ligger i P5. Fordi p5 var mængden af alle på normer af grad højst 5. Så det vil sige, at der kan jeg vælge en koefficient her og en koefficient her også. Nu har jeg bare tilfældigvis valgt den til 0. Så det vil sige, at dette ligger også i p5. Og så skal vi selvfølgelig tjekke det her med, at 0-vektoren ligger der. Og det kommer sådan set bare af, at jeg kan vælge alle de her a'er til 0, så får jeg, at 0-vektoren er der. Men man kan også sige faktisk, at en anden måde at definere et underrum, det er, at det selv er et vektorrum, der ligger inde i et andet vektorrum. Og det er det, vi har her, at p3 har jeg sagt, at det er et vektorrum, og p5 er også et vektorrum. Og det her viser, at p3 ligger inde i p5, fordi p3 er et vektorrum. P3 selv er et underrum, eller et vektorrum, så er det også et underrum af P5. Et andet eksempel her, det er, at nu kigger jeg så på de her matriser, mxn-matriser, og så påstår jeg, at den her mængde, der kun består af 0-matrisen, så når jeg skriver den der, så mener jeg 0-matrisen, så påstår jeg, at det er et underrum. Jamen der er de der tre ting, vi skal tjekke. Vi skal tjekke, at 0-vektoren, i mit vektorrum, også ligger i underrummet, og så det her med, at de nære kombinationer ligger der. Så det første er, hvad er 0-vektoren i det her vektorrum? Jamen det er 0-matrisen, fordi vi husker her, at det vi gjorde, det var, at vi tog bare almindelige matrix-sum. Så hvilken matrix skal jeg lægge til ABCD, for at få ABCD ud? Jamen det er Den, der består af ene nuller. Sådan her nullmatrix, den er altså god nok, at det er nullvektoren, den ligger også i det, jeg påstår i et underrum. Det med lineare kombinationer, det er, at hvis nu jeg tager to vektorer, der ligger i mit underrum, så skal det stadigvæk ligge der. Den eneste vektor, jeg kan vælge, det er nullmatrisen. Så en nullmatrix plus en nullmatrix, det giver nullmatrisen, og den ligger jo lige præcis her i mængden. Og det samme, hvis jeg tager en virkelighedsmældskalar og ganger på 0-matrisen, så får jeg 0-matrisen igen, og den ligger lige præcis. Så har vi sådan et modeksempel hernede, eller et ikke-eksempel, hvor jeg nu siger, okay, nu kigger jeg på 2x2-matriser, og så tager jeg dem, hvor diagonalelementerne her, de er, for det første, de er ens, og så har vi, at de ikke er 0. Så er det ikke et underrum. Hvorfor er det ikke det? Jo, det skal opfylde de her tre ting. Så da vi eksempelvis har et 0-vektoren i det her vektor, som jo altså er en 2x2 0-matrix, den her, den ligger ikke. I den her mængde. Fordi det, der står her, det er, at ja, netop, diagonalelementerne skal være ens, og de må ikke være 0. Jamen, så kan jeg jo aldrig nogensinde få den her 0-matrix. Og den skal ligge der. Det er det første punkt heroppe. Den skal ligge der, for at der kan være tale om et underrum. Øhm... Lad os tage det her slide også, inden vi holder en pause. Så det, jeg har vist heroppe først, det er, at hvis jeg kigger på de her polynomier, så har jeg at p3 er et underrum af p5. Hvis nu vi kigger på de her reelle, altså r2 og r3, så er r2 ikke et underrum af r3. Og hvorfor er det ikke det? Jamen, det er det ikke, fordi... Vektorer i R2 har formen A, B, mens vektorer i R3 har formen A, B, C. Så derfor har vi altså aldrig så... Så nu skal jeg skrive det ned. Vektorer i R2 ligger aldrig i R3. Og dermed kan det altså ikke være et underrum, fordi der stod også her, at vi skal vælge en delmængde af vektorer fra vores V. Og det jeg har valgt her, R2, er de vektorer, jeg har udvalgt. De ligger slet ikke her, så derfor kan det ikke være et underrum. Og hvis man skal sige det lidt mere generelt, så kan vi sige, at Rn er aldrig et underrum af Rm, hvis n er mindre end m. Og vi kan også, hvis nu vi vil sige noget om de der polynomier, så kan vi sige, at Pn er altid et underrum af Pm, hvis n er mindre end lige m. Så det er altså, man skal lige være opmærksom på det der med, at underrummet, det skal være en del af. det vektorrum, vi kigger på. Og det er det altså i det her eksempel med polynomierne. Hvis vi tager en mindre grad, så får vi stadigvæk noget, der ligger i det større rum, men det gør vi altså ikke her. Og så nogle af jer vil måske sige, jamen har vi ikke set, at planet, det er et underrum af R3? Jo, det har vi. Men planet i R3 har ikke vektorer på den der form. Med et fint ord er det isomorphet til noget på den der form, fordi vi har en basis, der består af to vektorer. Men har vi et plan i R3, så har de altså stadigvæk den der form. Det er bare ikke hele R3, vi har udvalgt, så der er nogle ligninger, de skal opfylde. Og jeg tror, det er et godt sted at tage den første pause. Så, hvis nu jeg lige trykker. Ja, så skulle vi gerne få lidt pausemusik. Danske tekster af Nic Hvad er det, du gør, når du er i en køkken Danske tekster af Nicolai Winther Danske tekster af Nicolai Winther Danske tekster af Nicolai Winther Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Danske tekster af Nicolai Winther Danske Hvad er det Ja, så der var et spørgsmål omkring det her med hvorfor er R2, hvorfor er det ikke et underrum af R3. Og for bare at holde det helt simpelt, så hvis nu vi tænker på, her har jeg R3, og så hvis nu jeg kigger på... Xy-planet. Det vil sige, at jeg kigger på planet hernede. Så det er min R3, og så kigger jeg på Xy-planen. Så det her Xy-plan har en basis, som er 1,0. 0, 0, 1, 0 eller med andre ord at alle vektorer i planet har formen x, y, 0 så den her den ligger jo ikke i R2. Så det vi får, hvis nu vi kigger på xy-planet i R3, det er stadigvæk nogle vektorer, som ligger i R3. Så det er rigtigt nok, at fordi de alle sammen har et 0 dernede, så kunne jeg sådan set, hvis jeg udtrykker det i den basis her, så de koordinatvektorer, jeg får, det vil være nogle, der ligger i R2. Så på den måde kan man godt betragte xy-planet her ved hjælp af R2, men mere formelt er det altså det her med, at de er isomorfe, siger man. Så jeg kan lave en afbildning fra xy-planet her i R3 til R2, som jeg kan bruge. begge veje. Men det er det altså ikke. Så ja. Hvis vi sådan... Så det var det her med underrum. Noget andet, vi har set med de her reelle vektorrum, det er, at vi kan lave vektorspænd. Og det kan vi så også gøre generelt, nemlig at nu siger jeg, at nu har jeg nogle vektorer, ikke nødvendigvis i Rn, men i et eller andet generelt vektorrum. Og så kigger jeg på mængden af alle mulige lineare kombinationer, og så kalder vi det spændet af vektorerne, og vi betegner dem ved at skrive spænd af de der vektorer. Så det er fuldstændig det samme, som vi har set tidligere, bortset fra at nu siger vi ikke længere, at vores vektorer skal ligge i Rn. Så når vi har den her matrix A og den her matrix B, Øhm, og Det er jo sådan nogle 2x2 matris Og der har vi set, at det er et vektorrum. Så det vil sige, at det giver mening at gå ind og kigge i den her definition og sige, hvad nu hvis jeg tager spændet af de her to vektorer? Så altså, hvad er spændet af A og B? Det er alle matriser, hvor vi tager en linær kombination af de her vektorer. Så det vil sige, at det er et eller andet C1 gange A plus C2 gange B. Altså C1, 0. 0 minus C1 plus 0, 2, C2, 0, C2. Og hvis jeg lægger dem sammen, så får jeg C1, 2, C2, 0, C2 minus C1. Så altså, det her spænd af de her to... Vektorer, fordi jeg arbejder i vektorrummet, der består af matriser, det er alle vektorer på den her form, hvor jeg må vælge C1 og C2 frit. Så hernede har vi, at C1 og C2 kan vælges frit. Så får jeg alle vektorer i det der spænd. Så det er altså... Sådan set det samme, som vi kender, vi laver lineare kombinationer, men nu, det vi får ud, er jo så ikke en vektor, eller det er en vektor i det her vektorrum, men det er ikke en søjlevektor, som vi er vant til. Her er det en matrix, fordi vores vektorrum består af matriser. Hvis nu jeg kigger i p4, og så jeg kigger på spændet af 1, x i anden og x i fjerde, jamen hvad er det så? Så skal jeg jo... Altså det er mængden af polynomier på formen et eller andet c1 gange 1 plus et eller andet c2 gange x i anden plus et eller andet c3 gange x i fjerde. Så det vil sige, at det er polynomier af grad. Højst 4, der ikke indeholder 1. grads led, 1. grads og 3. grads led. Så får vi lige præcis noget på den der. Så igen, når vi snakker om spændet her, så er det at få ud af ikke en vektor i søjleform, som vi normalt vil gøre det, men vi får en vektor i forhold til det vektorrum, vi kigger på. Og her er det netop polynomier, der er vores vektorer, så derfor er det den type vektor, vi får ud af det. Et resultat, som faktisk ofte er nyttigt her, hvis nu man skal tjekke noget af et underrum, det er det her, der siger, at hvis nu jeg har mit vektorrum, og jeg har nogle vektorer i dem, så hvis jeg tager spændet af de her vektorer, så er det altid et underrum af v. Så det vil sige, at i stedet for at jeg er nødt til at gå ind og kigge og se, jamen hvis nu jeg tager en vektor, der ligger der, eller først jeg tjekker, ligger 0-vektoren her, Hvis jeg tager to vektorer på den her form, at de er i linære kombinationer og lægger dem sammen, får jeg så igen noget, der er i en linære kombination. Og hvis jeg tager en skalar og ganger på, får jeg så igen noget, der ligger. Det behøver jeg slet ikke tjekke, fordi det siger, at det er et resultat, at det gælder altid. Så hvis jeg udvælger nogle vektorer og tager spændet af dem, så får jeg også et underrum. Så det kan være en genvej til at vise, at ting er et underrum. Så nu har vi snakket om spænd af vektorer. Så hvis I husker tilbage på historien om, hvad vi gjorde tidligere, da vi havde snakket om vektorspænd, så begyndte vi at snakke om linære uafhængighed og linære afhængighed. Og det kan vi sådan set også gøre i det generelle tilfælde. Og går I tilbage og kigger, så er det stort set det samme, der står her nu. Så jeg skriver, at den her mængd af vektorer ved et tvs, som ligger i et eller andet generelt, Vektoren v, dem siger vi, at de er lineært uafhængige, hvis den her lineære kombination af vektorer, eller sådan det er ligningen, at jeg tager en lineære kombination af vektorerne, og det skal give 0, så er mængden lineært uafhængig, hvis den eneste løsning er, at alle koefficienterne c, de skal være 0. Hvis vi kan finde nogle koefficienter, sådan at de ikke alle sammen er lige 0, og 1, den er opfyldt, så siger vi, at den her mængde er nært afhængig. Og det er fuldstændig det samme, som hvis her havde stået, at de lå i Rn. Så jeg har sådan set bare skiftet det her V, eller her stod Rn før, og det har jeg skiftet ud med et V, og så får jeg den samme definition. Det man så måske skal tænke lidt over, det er, at en måde vi ofte ville løse det der tidligere, det var, at vi stillede det op som sådan en. matrixligning på den her form for at finde ud af det der C skal det være 0-vektoren men det kan vi jo ikke nødvendigvis med de her generelle vektoren, fordi hvordan opstiller jeg lige sådan en matrixligning, hvis nu at mine vektorer er polynomier eller matriser eller et eller andet mere kompliceret så der kan det være, at man skal tænke sig lidt mere om for at vise det men ellers definitionen er den samme, vi kigger på En linær kombination af de her vektorer, hvis den eneste mulighed at få 0-vektoren, det er, at alle koefficienterne er 0, jamen så er de linært uafhængige. Så jeg spørger nu, her arbejder jeg i p2, så det er polynomier af grad højst 2, og så spørger jeg 1, x og x i anden, er de linært uafhængige? Det vi skal tjekke her, så vi skal tjekke, om, så jeg kigger på den her ligning c1 gange 1 plus c2 gange x plus c3 gange x i anden, det skal være 0-vektoren. Og husk på, at når vi snakker 0-vektoren her for polynomierne, så er det... 0-polynomet, altså det der hedder 0, gange 1 plus 0 gange x plus 0 gange x i anden. Så jeg skal spørge mig selv, har det her andre løsninger end c1 lige c2 lige c3 lige 0? Og her kan vi jo godt se, at hvis jeg sætter... C3 til at være noget forskelligt fra 0, så er der ikke nogen af enten 1 eller x, de kan ikke, fordi der er x i anden fjernet. Og det samme med de andre. Hvis jeg har et antal x'er, så kan jeg ikke ved at bruge x i anden, eller 1, få det til at gå væk. Så det ser vi, at... Så vi ser, at... Det netop er den eneste løsning, og derfor har vi så, at den her mængde 1xx i anden, den er linært uafhængig. Et andet eksempel her, hvis vi kigger på vores matriser. Så nu har jeg tre matriser. I m2 plus 2, og jeg vil gerne vide, om den er linært uafhængig. Jamen så er det igen, at jeg skal kigge på c1 gange, og nu skal jeg lige se. Ja, det er måske lettest at skrive op på den her måde. c2 0111 plus c3 2151. Det skal I give 0-vektoren i forhold til det vektorrum, I kigger på. Hvad er 0-vektoren for det her vektorrum? Det er 0-matrisen. Så det skal jeg prøve at se. Kan jeg finde C1, C2 og C3, så det her er opfyldt? En ting, jeg kunne prøve at gøre... Det er, at hvis nu jeg kigger på f.eks. 1x1,1, hvis jeg kigger på den, så står der, at C1... Øhm, plus 2C3 skal jeg vælge med 0. Så hvis jeg prøver at sætte ind, altså prøver at vælge C1 og C3, sådan at den første indgang er opfyldt, så jeg kan f.eks. vælge C3 til at være 1, fordi så står der 2, og så kan jeg vælge C1 til at være minus 2, så får jeg, at den er opfyldt heroppe i den første indgang. Og så kunne jeg jo prøve at kigge, hvad for en skal vi tage, hvis nu vi tager en gang. Hvis der er en grøn her, hvis jeg kigger på indgangen hernede, jamen så kan jeg se, at C2 plus C3 skal være lige med 0. Hvad betyder det? Det betyder, at den her C2, den skal være minus 1. Og så kan jeg jo prøve at tjekke. Hvad sker der i alle de andre indgange? Så hvis nu jeg tager minus 2 gange 1, 2, 0, 0, plus, nej, minus 1 gange 0, 1, 1, 1, plus 1 gange 2, 5, 1, 1. Så jeg har tjekket de to første indgange der. Hvad sker der i den anden søjle? Der har jeg minus 2 gange 2, det er minus 4. Minus 1, det giver minus 5, plus 5, det giver 0. Så har jeg minus 2 gange 0. Minus 1 gange 1, det giver minus 1, plus 1, det giver også 0. Så det vil sige, at det jeg har fundet her, det er, at jeg har fundet nogle koefficienter der, som ikke alle er lige 0. Sådan at den linære kombination af mine matriser giver 0-matrisen. Så det vil sige, at... at mængden er linært afhængig. Så selvom det altså ikke har noget med at gøre med de her søjleviktorer, som vi er vant til, jamen, så kan jeg godt snakke om, at de her er linært afhængige, fordi på samme måde som med de viktorer, vi kender, så betyder det, at jeg kan finde nogle koefficienter og gange på i den her linære kombination, sådan at jeg får... 0-vektoren, hvor 0-vektoren i det her tilfælde, fordi det er matriser, er en 0-matrix. Og nu hvor vi jo så har defineret, hvad det betyder, at noget er lineært uafhængigt, så kan vi også begynde at snakke om baser. Så fuldstændig ligesom vi kender det, så en basis for et eller andet vektorum, det er en lineært uafhængig delmængde, som udspænder. rummet. Så altså, ligesom før, basen den skal være noget, der udspænder, så enhver vektor i mit rum kan jeg skrive som en linære kombination af mine basis vektorer, og det skal være linært uafhængigt for at sikre, at de koefficienter, jeg bruger, når jeg udtrykker en vektor, de er entydige. Så eksempelet her er, at den er 1xx i anden, at det er en basis for for p2, og hvis vi skal sige lidt mere om det, så kunne vi skrive p2 som, altså den måde vi har defineret det, det var at det var a0 plus a1x plus a2x i anden, hvor de her er, det er nogle reelle tal, men hvad er det der står her? Jamen der står jo bare at det her er en dinare kombination, hvis nu jeg lige sætter et ettal ind der. Det, der står der, det er en linære kombination af 1, x og x i anden. Og fordi de der er, dem må jeg vælge frit, som jeg har lyst til, så får jeg jo alle mulige linære kombinationer af 1, x og x i anden. Så det her, det er lige præcis spændet af 1, x og x i anden. Og som vi viste før så er det her også en lineær uafhængig mængde i P2. Så derfor er det altså også en basis. Og hernede, hvis vi kigger på matriserne, så påstår jeg, at det her er en basis. Hvorfor er det det? Det er, at hvis nu jeg tager... For det første, at det burde være klart nok, at hvis nu jeg skriver en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, skal være 0-matrisen. Amen Så hvis vi læser op i 1x1, så står der, at den første skalar plus 0, plus 0, plus 0 skal være lige med 0. Altid skal den første skalar være 0. Tilsvarende skal den anden skalar være 0 ved at kigge i 1x1, 2 osv. Så det ligner, at du er afhængig. Og jeg har sådan en matrix A, B, C, D i mit vektor. Så den kan. skrives som A10000 plus B0100 plus C0100 plus D kan jeg lige få plads til den? Sådan der. Så altså argumentet for før, det siger at De er lige nær uafhængige, og det her siger, at de udspænder mængden også. Fordi ligegyldigt, hvilken vektor jeg vælger i mit vektorrum, så kan jeg udtrykke den ved hjælp af de her fire vektorer i gåsangen. Fordi de her vektorer er i mit vektorrum, men i det her tilfælde er det matriser, vi snakker om. Så det er altså baserne. Så kunne jeg spørge her, altså for at få nogle eksempler på noget, der ikke er en basis. Den her, hvis nu jeg tager 1, 1 plus x, x plus x i anden og 2x i anden, er det så en basis for, hvad hedder det, p2? Jamen det, så ja, lad os bare tage, hvad hedder det? Sådan den mindre komplicerede måde først. Så det jeg egentlig gerne vil vise nu, det er, at jeg vil gerne prøve at vise, at de her er linært afhængige. Fordi hvis de er det, så kan de ikke være en basis. Så hvis nu jeg skriver, at den her 2x i anden, det må jeg gøre det samme som 2x i anden plus x. Så det vil sige, at nu har jeg de 2x, men jeg har de 2x i anden, har jeg derfra. Jeg har så 2x, som jeg skal have fjernet. Så hvis nu jeg tager minus 2, 1 plus x, og ja, måske burde jeg skrive dem i samme række, som jeg gjorde derovre. Det gør ikke nogen forskel, men bare mere for, at der ikke er nogen, der bliver forvirret over, at det er nogle andre ting, jeg skriver. Så altså jeg har de 2x i anden, men jeg har 2x til overs, men hvis jeg så tager og trækker den her 1 plus x fra 2 gange, så får jeg så de der 2x, trykker fra, og så nu har jeg så minus 2 til overs, men hvis jeg tager den der og lægger til, så får jeg lige præcis den der 2x i anden. Så det her, det betyder jo så, at mængden, Årh, det bliver godt nok ikke særlig gønt. Men den er linært afhængig. Fordi jeg har fundet koefficienter her for de her, hvad hedder det, mektorer. Sådan at hvis jeg laver linære kombination, så får jeg den sidste. Og jeg kunne så tage den her og flytte over på den anden side. Så har vi det på den almindelige. linære uafhængighedsformer, der står 0 lige med en linær kombination, som ikke har en af nuller af mine elementer. En anden måde at kigge på det, sådan set, end hvor man skal have lidt mere overskud, og kigge sådan lidt mere teoretisk på det, det er at sige, vi har fundet ud af, at 1x x i anden, at det er en basis for p2. Så det betyder, så hvis nu kan jeg lige lave sådan en her, og så siger jeg alternativt, så siger vi, at dimensionen af p2, den er 3, fordi vi har en basis her med 3 elementer, og den gælder stadigvæk det her med, at ligegyldigt hvilken basis jeg vælger, så har den lige mange elementer. Så den må have dimension 3. Og så har jeg da... Mængden har fire vektorer. Kan det ikke være en basis? Altså, da den ikke kan være linært uafhængig. Et andet eksempel hernede, hvis nu jeg tager de her to matriser, hvor først har jeg de første to diagonalindgange, og her er den sidste diagonalindgang, hvad er det så en basis for underrummet af 3x3 matriser, hvor det her underrum, det er diagonalmatriserne, så kan jeg sige, at nej, det er det ikke, da eksempelvis 1, 2, 3 ikke ligger i spændet af dem fordi hvis nu jeg tager en eller anden skalar gang i den her plus en eller anden skalar gang i den der så vil jeg altid have at de her første to diagonalengange de vil være ens fordi det er jo den samme skalar jeg ganger på de to diagonalindgange. Så jeg kan aldrig nogensinde få den matrix, der står der, hvor de to første diagonalindgange er forskellige. Men den her er jo klart noget, som ligger i det her underrum, bestående af diagonalmatriser, fordi det her er en diagonalmatrix. Så det er altså to eksempler på, hvad der kan gå galt. Enten det her med, at vi er for mange, så vi ikke har lige nær uafhængighed. Det er også det, vi har set tidligere. Eller det her med, at vi ikke har nok, så vi ikke udspænder hele rummet. Og, og, og, ja. Lad os lige se den her med inden pausen. Så hvis man skal finde en basis, så kan man gøre det på den her måde. Så jeg tager s, det er en mængde i mit vektorum, og så kigger jeg på, at h, det er spændet. af den her mængde. Så det jeg egentlig har gjort nu, det er, at jeg siger, okay, jeg har sådan en kandidat, hvad hedder det, en kandidatbasis. Så det er noget, der udspænder. Det jeg så siger, det er, at hvis en af vektorerne i vi, eller en af vektorerne vi i min mængde, den kan skrives som en lineær kombination af de andre, så har vi så, at hvis jeg tager samme mængde, Men hvor jeg fjerner den i det, så bemærk her, at vi mangler, så har jeg, at hvis nu jeg tager spændet af resten af vektorerne, hvor jeg fjerner vi i, så er det stadigvæk spændet af hele mængden S. Og så har vi, at hvis det her, den delmængde, eller hvad er det? Det h, det underrum, jeg kigger på, det er ikke bare i 0-vektoren. Så er der en eller anden delmængde smerke af s, så den er det smerke af en basis for h. Så det, den siger, er egentlig, at hvis vi vil finde en basis for h, så kan vi starte med noget, der udspænder, og så fjerne. Vektorer, eller måske skal jeg med at sige, at vi skal fjerne linært afhængige vektorer, indtil vi ikke kan det mere. Så jeg går simpelthen igennem de her vektorer, jeg har, og så siger jeg, at er der en af dem? som kan skrives som en linær kombination af de andre, så det vil sige, at den her vægt, så jeg kigger på den her overfløde, så smider jeg den væk. Og så prøver jeg at kigge på en mængde igen, og se, er der en, som jeg kan skrive som en linær kombination af de andre, så smider jeg den væk, osv. Og hvis man gør det, så vil man på et tidspunkt komme til det, det her punkt 2 siger. Men på et tidspunkt, så vil man have smidt så mange væk, at der ikke længere er nogen, der er lige nær afhængig af andre, og så har man en basis tilbage. Så det er sådan en måde til at finde en basis, også for de her generelle vektoren. Og så inden vi går videre til den sidste del, så tror jeg det passer fint med en pause mere. Så den var der. Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Dans Danske Nå, ikke mere musik til jer. Den sidste ting, vi skal snakke om. nu her i dag, det er at vi skal til at kigge lidt mere på at nu har vi en basis, hvordan så med de her at udtrykke noget i den her basis også i forhold til hvis vi snakker transformationer og basisgifter osv. Så hvis nu, sådan set og det var den her jeg også repeterede der i begyndelsen hvis jeg har et vektorrum her, og jeg har en basis, så kan enhver vektor skrives på den form, at jeg tager et C1, gange min første basisvektor, plus C2, gange min anden basisvektor, og så videre op til CK, gange min k-basisvektor. Og det er fuldstændig det samme, som i repetitionen, hvor jeg nu, i stedet for at der står Rn, så står der nu V. Så jeg har tænkt at skrive den på den her form. Og hvis vi så er enige om, hvilken basis vi bruger, så er det nok bare at kende de der c1, c2 op til ck. Så det vi siger, det er, at koordinatvektoren for v med hensyn til basen b, det er den vektor, der består af de her koefficienter i den linære kombination, der er. Og så kan I jo tænke lidt over, hvad sker der, hvis nu den her b ikke er en basis, men at den bare... Ja, så man kan sige, at der er to ting, der kan gå galt. Det vi også har set i eksemplerne før, hvor enten så kan det være, at den ikke udspænder, så det vil sige, at V den sådan set ligger uden for spændet af dem her, og så kan vi jo ikke finde sådan en linær kombination. Eller også, så kunne det være, at benet ikke er linært uafhængigt. Hvis de ikke er det, så betyder det jo så, at de her C'er ikke nødvendigvis, eller så er de ikke. entydig, i hvert fald ikke for alle mulige V'er, så vi kan finde nogle V'er, hvor der er et valg med de her C'er. Så altså, koronavægter, det er det samme, som i tilfældet er N. Så hvis vi kigger på polynomierne her igen og ser, Nu har vi en basis, som sådan set er det, vi kalder standardbasen for polynomierne. 1, x, x i anden, op til x i endte. Hvad er koordinatvektoren så? Det, jeg skal sige, det er, at hvis jeg kigger på koordinatvektoren, så er det, hvor meget af b1 skal jeg bruge, hvor meget af b2 skal jeg bruge, hvor meget af bk skal jeg bruge. Så her har jeg, hvis jeg tager et polynomium, så spørger jeg, hvor meget af 1 skal jeg have med, hvor meget af x skal jeg have med, hvor meget af... x i n, det skal jeg have med, og det er jo lige præcis k-efficienterne i polynomiet. Så det vil sige, at hvis nu jeg tager sådan et eller andet som 4 plus 3x plus 0x i anden plus 5x i tredje, Ja, eller også skal jeg forholde det i pn, så kan det være, at jeg lige skal sige plus prik, prik, prik, minus 3x i andet. Så hvis jeg gerne vil finde koordinatvektoren for den, med hensyn til den basis, jeg har lagt, så er det jo, hvor mange 1'ere skal jeg bruge? Jamen der har jeg 4 1'ere. Hvor mange 3'ere har jeg? Eller hvor mange x'ere har jeg? Der har jeg 3. Hvor mange x2 har jeg? Eller x i anden? Der har jeg 0. Hvor mange x' i 3'et har jeg? Der har jeg 5. Og så videre og så videre ned til de minus 3'er der. Så den her koordinatvektor med hensyn til den her standardbasis, det er sådan set bare koefficienterne i den her opskrivning af polynomiet. Omvendt så, vi kan også gå den anden vej. Så hvis nu jeg har et underrum her p4, og jeg nu har en basis. som er 2 plus x i fjerde og x minus x i tredje, og så får jeg at vide, at der er et eller andet polynomium f, som har koordinatvektor 2 og minus 3. Så kan jeg også gå den anden vej og sige, hvad er mit polynomium f? Der står her, at jeg skal bruge 2 af den første basisvektor, så jeg vil sige 2 gange 2 plus x i fjerde, og så skal jeg bruge minus 3 af den anden. Så det vil sige, at det jeg får her er 4 plus 2x i fjerde minus 3x plus 3x i tredje. Og så kan man jo så omarrangere det der til at få det, altså hvis man vil sortere de her grader af dem her. Men det er sådan set bare det, vi gør. Vi udtrykker det ved hjælp af de her basisvektorer. Og vi kan både gå den ene og den anden vej. Og hvis vi så nu kigger på de her lineære transformationer, så har jeg nu t, det er en lineær afbilling mellem to vektorer. Og husk, at det der med, at noget er lineært, det betyder, at hvis jeg har to vektorer og tager billedet af dem, så er det samme som billedet af den ene plus billedet af den anden. Og hvis nu jeg tager... Billedet er c gange vektor, så er det c gange billedet. Så jeg må trække skalarer ud foran, og jeg må splitte op i summer. Og nu den tegning her jeg laver, kommer igen til at lide noget, som jeg har lavet. Eller som I har set tidligere, hvor vi bare har snakket om, at her havde vi r'n og her havde vi r'n. Men nu har vi altså de her mere. Hvad hedder det abstrakte vektorum? Så jeg har en eller anden vektor, og nu har jeg tegnet det som en plan, men I kan tænke, at det kunne være polonomer, det kunne være matriser, det kunne være alt muligt mærkeligt. Og jeg har min vektor v her, så det min t gør, det er, at den tager mit v og sender det over i et eller andet w, men jeg har også nogle baser b og c, som betyder, at jeg kan tage den her v, Og så kan jeg sende den ned i koordinatvektoren for v med indsyn til basen b. Og den der koordinatvektor, det er jo en, der ligger i rn, hvis nu v har dimension n. Og jeg kan også tage den her w. Ej, måske i stedet for at kalde den w, det er sådan set lidt dumt. Det er mere tydeligt, hvis nu jeg kalder den t af v, må jeg aldrig kalde den. Herovre har jeg også, at jeg kan tage en vektor herovre, og så kan jeg sende den ned i billedet. af V koordinatvektor med hensyn til C, fordi det er to forskellige baser, jeg har. Og hvor ligger den hen? Det er også noget, der ligger i R et eller andet. Og de behøver ikke nødvendigvis have samme dimension, de her to, så den her kunne godt være i RM. Og ligesom før, så kan vi spørge os selv, hvad nu, hvis nu jeg godt bare ville arbejde nede i de her koordinatvektorer? Fordi så er jeg jo sådan set nede i Rn og Rm, som er der, hvor vi har arbejdet mange gange før, så det er vi måske mere vant til at arbejde hernede. Jamen kan jeg så gøre det og også bruge den her t, ved at sige, at jeg kan gå direkte herfra, så jeg kan tage koordinatvektoren for v med hensyn til min ene basis, og gå over i koordinatvektoren for b med hensyn til den anden basis. eller er nødt til først at regne op igennem de her øh generelle vægt til rum, og så over, og så regne tilbage igen. Argumenterne er sådan set det samme, som vi har gjort en gang før. Fordi jeg siger nu, at nu kan jeg så se, at jeg har skrevet x her, så det er den, jeg kaldte v på det sidste slide. Jeg beklager, jeg var ikke lige... Jeg troede, jeg havde kaldt den v. Men i hvert fald, jeg tager den her x eller v, eller hvad nu jeg vil kalde den, og så skriver jeg den ud i den basis, jeg kommer fra. Så jeg kigger ned i basen her, og så skriver jeg den ud i det. Jamen så fordi t er en linær afbilling, så betyder det, at jeg får r gange t af b1, plus r2 t af b2, plus... og så videre og så videre, R, N, T, A, B, N. Og det her med, at når man tager koordinatvektoren af noget, det kan man så vise, at det også er en linær afbilling. Så tager jeg linær afbilling på venstre siden op her. Det er jo det, jeg har gjort her. Jeg har bare taget koordinatvektoren med indsyn til C af den her. Så må jeg splitte det op over på den anden side. Så jeg får, at det er 1. gange t af b1 med indsyn til basen c, plus r2 t af b2 med indsyn til basen c, plus osv. osv. rn t bn med indsyn til basen c. Og så ser jeg jo, at det der står der, det er en eller anden vektor i rm. Det der er en eller anden vektor i rm. Det der er en eller anden vektor i Rm, og så har jeg de her R1, R2 og Rn. Så hvis jeg tager de der vektorer, så er det nogle søjlevektorer, og samler dem som søjler i en matrix, og jeg kalder dem den der m, så har jeg, at det her billede, det sådan set bare er m, fordi det er de der søjler, og når jeg tager en linær kombination af sådan nogle søjler der, Jamen så kan jeg repræsentere det ved hjælp af sådan et matrixvektorprodukt, hvor de her vægte i lineare kombination er dem, jeg sætter i vektoren. Men hvad er det, den der vektor er? Den første indgang er, hvor meget jeg skal bruge af B1 for at få mit x. Den anden indgang er, hvor meget jeg skal bruge af B2 for at få mit x, og så videre ned til. Den sidste indgang er, hvor meget jeg skal bruge af Bn for at få mit x. Så det er jo lige præcis koordinatvektoren for x med hensyn til min basis b. Og det var jo sådan set det, jeg gerne ville. Jeg ville gerne finde en måde at gå fra, nu har jeg kaldt den v herovre, men jeg vil gerne finde en måde at gå herfra og herovre til billedet af den her vektor med hensyn til den basis, jeg gerne vil arbejde i. Og det viser sig, at det er lige præcis det, der er m. Vi leder efter det emne, der står her. Og ligesom tidligere, så kalder vi det her formatisk representation for t med hensyn til baserne b og c. Hvor nu er det bare i en mere general formulering, vi ser det. Så lad os prøve at se et eksempel, hvor vi ser det også i nogle mere abstrakte vektorer. Så nu har jeg en afbildning, som går fra... p2 ind i p3, så altså polynomier af grad højst 2 til polynomier af grad højst 3. Og den her afbildning, den er givet ved, at jeg tager mit på nummeret. og så ganger jeg det med x. Og man kan tjekke, at det her er en linær afbindning. Så hvis jeg vil finde matrixreparationen for t med hensyn til standardbaserne for de her polynomier, jamen hvad er det så, jeg skal? Det, der står, at jeg skal, det er, at jeg skal finde billederne af de basisvektorer, der hvor jeg kommer fra. Så det vil sige, at jeg skal finde t af 1, t af x, t... Ja, x i anden. Så hvad sker der, hvis jeg tager den her polomiet 1 og sætter ind i f? Så kommer det til at stå x gange 1. Så det er, hvis nu jeg skriver det ud, så får jeg x. Her får jeg dx gange x, som er x i anden. Her får jeg dx gange x i anden, som er x i tredje. Så nu har jeg det, der står. inderst her, så står der, at jeg skal tage koordinatvektor med hensyn til c. Så nu spørger jeg så, hvad nu hvis nu jeg tager den her t af 1, og jeg godt vil udtrykke den i den her basis, jamen så er det jo, at jeg skal sige, hvor mange gange skal jeg bruge 1 for at få billedet over, altså x, men der skal jeg bruge 0,1'ere, jeg skal bruge 1x, 0x i anden og 0x i tredje. Hvad så, hvis nu jeg tager og kigger på x, og tager billedet af den, så det er x i anden, jeg kigger på, så skal jeg bruge 0 etter, 0 x'er, 1 x i anden, og 0 x i tredje, og t x i anden med hensyn til basen, så er det x i tredje, jeg nu skal udtrykke, der skal jeg bruge 0 af de 3 først, og så skal jeg have 1 x i tredje. Så Det betyder altså, at hvis nu jeg tager dem og sætter ind som søjler, så får jeg den her matrixreformation for t med hensyn til de baser, jeg arbejder med. Altså den her m-matrix. Det bliver, at jeg sætter dem her ind som søjler, så jeg får 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1. Så hvis det er jo det her, jeg arbejder med. så kunne jeg sådan set tage mine polynomier og udtrykke dem som koordinatvektorer i den her basis B, og hvis jeg så ville bruge den her afbildning på dem, så kunne jeg tage den koordinatvektor og gange den på her, og så får jeg koordinatvektoren for billedet med hensyn til den her nye basis. Ja, og det sidste eksempel tror jeg nok det er. Ja, øhm... Det er så for de her matriser, så vi også lige får et eksempel med dem. Så nu, den afbildning jeg kigger på, det er, at jeg kigger på 2x2 matriser, og nu skriver jeg, at det er en afbildning på det her vektorrum. Og det der på, det betyder, at den går fra vektorrummet til sig selv. Så det vil sige, at t går fra m2x2 over i m2x2. Og den afbildning jeg kigger på, det er... at jeg transponerer den matrix, jeg stopper ind. Og man kan vise også, at det er en linær afbindning. Så vil jeg godt vide, hvad er matrix-reparationen af den her afbindning i mit vektorum, med hensyn til den basis, der er givet her. Så det jeg gør, det er, at jeg starter med først lige, så nu er det den samme basis, jeg bruger både der, hvor jeg kommer fra, og der, hvor jeg går til. Så jeg udtrykker den her koordinatvektor for mine basisvektorer. Og selvfølgelig, hvis nu jeg skal udtrykke, fordi det er en basis her, så for at få den første basisvektor, så skal jeg selvfølgelig have en af den første basisvektor og 0 af alle de andre. Af den næste her, der skal jeg bruge en af nummer to basisvektor og 0 af alle de andre. Fordi det er jo bare... en gang af den selv plus 0 af de andre. Her skal jeg bruge 0010 og her 0001. Okay. Det jeg skal, det er igen, jeg skal prøve at kigge på billedet af den her basisvektor. Så hvad sker der, hvis jeg transponerer den her matrix? Fordi det er det, min afbilling gør. Så får jeg matrisen til. Så det jeg har regnet ud der, det er t af b1. Der får jeg b1 selv. Så skal jeg udtrykke det i den basis, jeg gerne vil over i, som igen er b her. Så jeg skal tage den matrix, jeg får her, og udtrykke den i b, så det giver den vektor. Så det vil sige, at den første søjle her bliver altså 1, 0, 0, 0, fordi transponerer jeg den første basisvektor, får jeg den her matrix igen, og udtrykkes den som koordinatvektor, giver det det her. Så kigger jeg på den næste. For at få den næste søjle hernede, kigger jeg på den næste basisvektor. Så transponerer jeg her, så ryger det der et tal derned. Så det vil sige, at det er den der basisvektor. Så skal jeg udtrykke den, eller hvad er koordinatvektoren for den? Det var den, der stod der. Så derfor er 0, 0, 1, 0. For at finde tredje søjle, så kigger jeg på tredje basisvektor. Når jeg transponerer... så rykker jeg 1-tallet deroppe så det vil sige, at det er den der vektor jeg får ud, og nu igen jeg siger vektor fordi jeg tænker på det som et vektorrum selvom det egentlig er en matrice jeg snakker om men jeg får den der ud koordinatvektoren, det var den der stod dernede så den så gør vi 0, 1, 0, 0 og den sidste her transponerer jeg den, så får jeg igen bare den samme matrix ud og den har den der koordinatvektor 0, 0, 0, 1. Så det her er altså også et eksempel på, hvordan man kan tage en lineær afbildning på de her mere generelle vektorum, og så opskrive en matrixrepræsentation af den her afbildning med hensyn til en angiven basis. Så det, der man måske lige skal tænke lidt over, Det var sådan noget, det... Det var... Ja, for at forstå, hvad er det egentlig, der foregår, fordi det er sådan lidt, det er nogle matriser, vi arbejder på, og vores afbildning tager matriser som input, men det vi har fundet ud af, det er, at nu kan vi repræsentere den her afbildning ved hjælp af en matrix selv, som så tager de her koordinatvektorer som input. Ja, så det var sådan set det. vi skulle nå. Som altid får I lige et par minutter, så I kan nå at stille spørgsmål, hvis der skulle være nogen af dem. Så jeg sætter lige en timer på to minutter i gang. Så skulle I gerne kunne nå at stille spørgsmål. Danske tek Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Øhm... Det var da jeg skulle over. Over at jeg fik lyden til noget til. Øhm... Så der bliver spurgt om, hvordan jeg gik fra sådan en 2x2 matrix og så til den her koordinatvektor. Så det jeg skal gøre, det er... For at få koordinatvektoren, så det der skal stå i første indgang er, også fordi jeg har fastlagt min basis, at det er de der fire vektorer, og jeg har også en rækkefølge på dem. Så det der skal stå i den første indgang er, hvor mange gange, altså så den måde den her koordinatvektors kan læses på, det er at den repræsenterer den 2x2-matrix, som er 1x den der matrix, plus 0x den der, plus 0x den der. Plus 0 gange den der. Og tilsvarende, den her koordinatvektor er 0 gange den, plus 0 gange den, plus 1 gange den, plus 0 gange den. Og så var der noget, jeg glemte. Sådan der. Nu skulle vi gerne være med igen. Ja, så den her koordinatvektor, 1, 0, 0, 0, det er den... viser, eller det den repræsenterer, det er, at den repræsenterer den 2x2-matrix, hvor jeg tager 1x den der, plus 0x den, plus 0x den, plus 0x den. Og koordinatvektoren her, 0, 0, 1, 0, den repræsenterer den matrix, jeg får, hvis jeg siger 0x den, plus 0x den, plus 1x den, plus 0x den. Så generelt, hvis jeg skal finde koordinatvektoren for sådan en matrix, Så spørger jeg, hvor meget skal jeg bruge af hver af de her basisvektorer, for at få lige præcis den matrix, jeg er interesseret i. Og fordi jeg nu kigger på den første matrix her, så siger jeg, hvordan bygger jeg den her matrix ved hjælp af de her fire basisvektorer. Jamen så er det selvfølgelig, at jeg skal bruge en af den der, og 0 af alle de andre, fordi det er den eneste måde, jeg kan få den der matrix. Så derfor får jeg 1 gange den første, plus 0 gange alle de andre. Og tilsvarende med de andre her, at skal jeg bygge den der, så er det 1 gange den, 0 gange den, 0 gange den, 0 gange den. Aflæser man så, jeg har ikke fundet den, så får man 0, 1, 0, 0. Så det er en anden måde at repræsentere det på. Og lige i det her tilfælde, fordi jeg har ordnet det på den her måde, så svarer det sådan, at man bare kan aflæse. Hvad er det? Rækkevis så får man de der koordinatvektorer. Og det vi så gjorde hernede, det var at, for eksempel i søjlen der, så tager vi og transponerer den her anden basisvektor, som er en matrix. Den transponerer vi. Og så ser vi, hvad får vi ud af det. Hvis vi transponerer den der, så får vi den her matrix ud. Og så skal jeg udtrykke det i den basis, jeg har valgt. Men det er jo lige præcis... 1 gange den der basisvektor og 0 gange alle de andre så det er den der koordinatvektor og derfor sætter jeg den ind der det håber jeg at det klarede det lidt op men altså det er sådan man skal lige finde ud af hvad er hovedet at have i det her fordi man skal tænke på de her matriser på lidt en anden måde end vi er vant til Også det her med, at der er en vektor, der repræsenterer en matrix, kan måske godt være lidt udfordrende, når man ser det de første gange. Men hvis det var de spørgsmål, der var, så er det bare opgaveregning. Jeg lægger slides ud, og der skulle gerne komme hjælp rundt til jer i Esbjerg, og selvfølgelig også i Aalborg. Og jeg kommer også ind til jer, der sidder i Aalborg, når jeg lige får lagt kapitler. på den her stream. Og så ses vi igen torsdag, hvor vi så afrunder den her blog, og dermed også den sidste kursgang i den sidste forelæsning i kurset.

Og som altid, hvis der er spørgsmål, så... Skriv det i chatten, eller send en mail til mig. Jeg holder øje med begge dele.

Så først skal vi måske lige huske tilbage på nogle ting, som bliver vigtigere senere, når vi skal til at snakke om mere generelle linære kognitioner. Også hvis vi skal snakke lidt om baser og repræsentationer. Så hvis nu jeg har nogle vektorer ved et TVK, så hvis vi tager sådan og siger en anden konstant gange den første, plus en anden konstant gange den anden, og så videre, så er det det, vi kalder en linær kombination af de her vektorer.

Hvis vi så kigger på alle mulige linære kombinationer, så det vil sige, at jeg kan ligesom skrue på de her C'er, og vælge alle mulige forskellige C'er, så får vi det, vi kalder spændet af vektorerne. Så det er altså en linare kombination til sådan derud, og spændet det er altså alle mulige linare kombinationer. Så alt, der er på den der form. Så har vi også set, at hvis nu vi har en basis BTVK, og så er det en basis for et eller andet underrum, så hvis nu vi har en vektor V i underrummet, så kan vi skrive den som sådan en linare kombination af vores basisvektorer, og så fordi, Vi siger nu, at hvis vi kender basen alle sammen, og vi er enige om, hvilken rækkefølge vi skriver dem i, så er det ligegyldigt, om jeg fortæller, hvad V er, eller om jeg fortæller, hvad de her C2 op til CK er. Fordi hvis jeg kender basen, og jeg kender de her C'er, så kan jeg bare opskrive det her udtryk, og så kan jeg udregne V. Så det er lige så godt at kende C'erne, som det er at kende det her V. og det med at det er en basis gør så Derudover også, at de her c'er er entydige.

Så hvis jeg skal sammenligne dem om to vektorer af ens, så kan jeg bare kigge på de der c'er, i stedet for først at skulle udregne den der lineare kombination. Men i hvert fald, det er nok at kende de der c'er for at udregne v. Så det vi så siger, det er, at koordinatvektoren for v, med hensyn til den her basis, det er c1, c2 osv. ned til. CK. Så jeg tager simpelthen bare de der C'er, og så samler jeg dem i en vektor, og det er det, vi kalder koordinatvektoren for V, med hensyn til den her basis.

Så det er sådan set bare, det er den samme vektor, vi beskriver ved det der, men det er i et andet koordinatsystem. Så hvis I tænker, hvad hedder det? Normalt, når I tænker koordinatsystem, så tænker I et eller andet. Som det der, hvor vi har en koordinat, vi går ud af x-aksen, og en koordinat, vi går ud af y-aksen.

Men der er sådan set ikke noget i vejen for, at vores koordinatsystem kunne se anderledes ud. Så jeg kunne f.eks. have x-aksen stadigvæk låst, som den gjorde, og så havde jeg en akse, der lå skråt.

Ud fra de to ville jeg stadigvæk kunne beskrive planet, men de her koordinater har så en anden betydning. Og det er egentlig det, vi også har her, at de her... Koordinater C til 2 op til CK, det fortæller ikke, hvor langt jeg skal gå ud af x-aksen, y-aksen osv.

Den fortæller, hvor langt jeg skal gå ud af den første basisvektor, hvor langt jeg skal gå ud af den anden basisvektor osv. Så det er koordinatvektorerne. Og det, der skal ske i dag, er, at på en måde bliver det nemt, det vi skal lave, og på en måde bliver det kompliceret. Fordi det, vi egentlig bare skal. det er, at vi skal tage alle de idéer, vi nu har set i Rn, og så skal vi prøve at se, kan vi gøre det her mere generelt?

Er der nogle andre ting, som opfører sig på samme måde? Og hvordan skal vi så definere for eksempel linære uafhængighed for de her mere generelle vektorer? Så idéen er sådan set, at det her, sådan nogle vektorer, hvis man tænker sådan mere generelt, Så er de i alle mulige sammenhæn Så der er mange problemer, hvor hvis man kigger på dem matematisk, så opdager man, at det faktisk er et vektorrum, der ligger under.

Men det behøver ikke være reelle vektorrum, altså det behøver ikke være R, N, vi kigger på. Så det, det egentlig betyder, det er, at de her, når vi snakker vektorer i det her generelle vektorrum, så ser de anderledes ud. Så det behøver ikke være de her søjlevektorer, som vi er vant til, men strukturen, de overholder, er den samme. Så det vil sige, at vi kan tage to vektorer og lægge dem sammen. Vi kan tage en vektor og gange en skalar på, og så vil den opføre sig, ligesom vi kender det, fra Rn.

Så for at tage et eksempel på, hvordan sådan en anden samling kunne være, Så fra Kallius, der har I måske set differentielle linjer. Så hvis jeg har en differentielle linje på den her form, sådan en andenordens differentielle linje, så er løsningerne, de er givet på den her form, hvor y1 og y2, det er nogle funktioner. Så det vil sige, det jeg egentlig har her, hvis nu I tænker på, at vi lige har snakket om lineare kombinationer, så står der c1 gange en eller anden funktion plus c2.

gang en eller anden funktion. Så det her kan man se som en lineær kombination af de her to funktioner. Og jeg synes også, at de her løsninger, det er faktisk et underrum af et vektorrum, som består af reelle funktioner.

Så de der y1 og y2, de fungerer ligesom vektorer, som vi kender dem fra herinde, bare at det nu er nogle funktioner. Men på samme måde kan vi snakke om lineære kombinationer af dem. Vi kan snakke om lineær uafhængighed. Vi kan snakke om baser for underrum osv.

Så det er ligesom det, vi skal prøve at indfange. Hvis vi får noget, der lidt ligner vektorum, kan vi så bruge de samme regler igen. Så hvis nu vi skal snakke om et helt generelt vektorum. Og nu har jeg skrevet, at det er et reelt vektorrum, fordi hernede vælger vi nogle skalarer, der ligger i R. Så man kan gøre det her endnu mere generelt og sige, at det hernede skal bare være det, der imellem en ting hedder lame.

Men her er det altså bare, at det er, hvad hedder det, reelle tal, ligesom vi er vant til. Men det et vektorrum er, det er, at det er en mængde V, og de... elementer, der ligger i V, kalder vektorer, og den skal være ikke tom. Så der skal altså mindst være en vektor i vores vektor.

Og så skal den opfylde de her to ting. Den første, det er, at der skal eksistere en eller anden form for vektoredition på V. Og den her vektoredition skal opfylde de her fem punkter, nemlig at uanset hvad for nogle vektorer, u, v og w, jeg vælger i min mængde, så skal det gælde at lægge dem sammen. Så lægger jeg stadigvæk i v, hvis jeg bytter om på rækkefølgen, når jeg laver vektordition.

Det er ligegyldigt. Og hernede også, at har jeg tre vektorer, jeg skal lægge sammen, så om jeg tager de første to og lægger sammen først, og så lægger jeg den sidste til, eller om jeg tager de sidste to og lægger sammen, og så lægger jeg den første til, det giver det samme. Fjerde hernede er, at der skal være en vektor. i vores vektorrum, som vi kalder 0-vektoren. Og den her 0-vektor, det er den, der opfylder, at uanset hvad for en anden vektor u jeg tager, så hvis jeg lægger 0-vektoren til u, så får jeg bare den her vektor u tilbage.

Så altså, vektoradditionen skal være defineret sådan, at vi kan finde en 0-vektor, og derudover så skal vi kunne finde en vektor, vi kalder minus u, så for hvert u. i vores vektorrum, så skal vi gå og finde en vektor minus u, og den her minus u, den opfylder så, at u plus minus u giver 0 vektoren. Så det der egentlig står her, hvis nu man sådan skal skrive det lidt kort, det er sådan set, at den her vektoreddition opfører sig som forventet. Fordi der står egentlig bare, at de ting, som...

Som vi er vant til, at vi kan gøre, hvis vi snakker om Rn, der er vi vant til, at vi har en 0-vektor, altså den, der består af ene nuller, og hvis vi lægger den til en hvilken som helst anden vektor, så sker der ikke noget ved den der vektor u. Og omvendt har jeg en vektor minus u, jamen det har jeg, fordi hvis nu jeg skifter foretegn, så jeg har min u, det er en søjlevektor, og jeg skifter foretegn hele vejen ned igennem, så får jeg den her minus u, så den er den her opfyldt. Så det her er bare en fin måde at skrive det op på.

Så det er vektorditionen, vi skal have. Tilsvarende skal vi have en skalarmultiplikation, hvor det er at skrive ud, hvad det er for nogle egenskaber, vi gerne vil have. Vi vil gerne have, at hvis jeg tager en vektor og ganger en skalar på, så skal jeg stadig få noget, der ligger inde i mit vektorum.

Og det er også det samme heroppe. Det skal ligge inde i vektorummet. Så når jeg laver operationer, Er så vektoradition og skalarmultiplikation, så må jeg ikke ryge uden for vektorrummet. Så skal jeg må gange ind i en parenthes, både i forhold til skalarer og i forhold til vektorer.

Jeg skal kunne gøre det her med, at om jeg først ganger D på, og bagefter ganger C på, det er det samme som at tage min skalar og gange sammen først, og så gange den på vektoren. Og så skal der gælde... Det ser sådan lidt mærkeligt ud hernede, når man lige ser det første gang, men der skal gælde, at den her, hvis jeg tager skalaren 1 fra de reeltalte, altså 1, som vi kender det, hvis jeg tager det og ganger på min vektor u, så skal skalarmultiplikationen være defineret sådan, at så får jeg bare vektoren u tilbage. Så den giver også, at den her skalarmultiplikation gør ikke noget mærkeligt. Den opfører sig, som vi er vant til.

Så igen, det her er bare, at skalarmultiplication opfører sig som forventet. Så det her er altså det, man skal tjekke, hvis nu man skal vise, at et eller andet generelt noget er et vektorrum. Så skal man vise, at vi kan definere en form for vektoreddition, som opfylder de her fem punkter, og vi skal definere en form for skalarmultiplication, som opfylder de her.

5 punkter også. Og det ser måske skræmmende ud, men hvis man ser nogle eksempler, så er det måske ikke så slemt. Og et eksempel, vi kommer til at se nogle gange i løbet af den her kursusgang, det er de her pn. Og når jeg skriver det, så mener jeg, at mængden af polynomier er grad højst n. Så det vil sige sådan noget som den her fx.

a0 plus a1x plus a2x i anden, og så videre op til a n x i endte. Det er noget, der ligger her i pn. Og de her skalarer, eller hvad er det, koefficienterne for polynomiet, de skal så være reelle tal. Og det vi skal for at vise, at det her er et vektorrum, det er, at vi skal definere en form for vektoraddition. Og den må vi gøre det. Jamen det er sådan set bare, at hvis vi bruger almindelig addition af polynomier, så min f er en vektor, og min g er en vektor.

Og så siger jeg, hvad sker der, hvis nu jeg tager f plus g? Jamen det er bare, at jeg har a0 plus b0 plus a1 plus b1x plus a2 plus b2x i anden. Plus a n plus b n x i ende. Og det er jo sådan set ikke, det er der jo ikke noget overraskende i, fordi det er jo sådan, at vi normalt ville lægge to funktioner sammen. Det der er, kan man sige, det nye nu, det er, at nu sætter vi det ind i en lidt anden tankegang, hvor vi siger, at det er faktisk, de her f og g, dem kan vi tænke på som vektorer, og det vi så laver, det er en vektoredition.

Fordi det vil også... Det vi ser her, det er, at det der står her, a0 plus b0, det er igen bare en eller anden koefficient, som ligger i det reelle tal. Den her a1 plus b1, det er også bare en koefficient i det reelle tal. Så den her, den ligger også i pn. Fordi jeg får lige præcis noget der har samme form som dem, der står deroppe.

Det samme med skalarmultivation, der kan jeg gøre sådan set det samme. Hvis jeg tager en konstant c, gange mit f, så vil det sige, at jeg ganger c på det der, så det jeg normalt vil gøre, det er, at jeg vil bare tage og gange c ind på hvert led, og det kan jeg jo gøre igen her. c af 2x i anden, og så videre, c af n. x i ende, og hvis jeg så tager og kigger, det der er mine koefficienter, så får jeg igen noget her, der ligger i p'en.

Så altså, på den her måde kan jeg definere vægteraddition og skalarmultiplikation. Og så selvfølgelig, så skal man tjekke, at de her... 5 punkter er overholdt for vektorelisionen, og de her 5 punkter er overholdt for skalarmultiplikationen.

Men det kommer sådan set af, at de her regneregler, dem kender vi. Det er det samme, som hvis vi nu bare havde regnet med de her polynomier, uden at tænke på vektorum. Så det kommer af de regneregler, vi kender, at så opfylder den også dem her.

Så man kan selvfølgelig... Skulle man gøre det stringent, så er man nødt til at gå igennem og tjekke, at den opfylder de her ting. Men det er altså vores første eksempel på et andet vektorum.

Så altså, det her pn er et vektorum, og vektorerne i dem er polynomierne. Og hvis vi snakker om 0-vektoren i det her pn, så er det det her 0-polynomium. Fordi der gælder jo, at hvis jeg tager et virkelighedsmæssigt polynomium og lægger det her 0-polynomium til, altså det polynomium, som evaluerer til 0 i alle punkter, jamen så får jeg jo bare det oprindelige polynomium ud.

Så det er noget, vi kender, men det er noget, der bliver sat ind i en ny kontekst nu, at vi kan tænke på det som et vektorrum. Et andet eksempel er, at vi kan kigge på vektorrummet bestående af matriser. Så hvis nu jeg tager, når jeg skriver m, m kryds n, så mener jeg, at det er mængden af alle m kryds n matriser.

Og så påstår jeg, at det også er et vektorrum, fordi vi kan definere en vektoreddition, som opfylder den skal. Og hvordan gør vi det? Jamen det er bare almindelig sum af at triger sig, fordi jeg kan tage hvis nu jeg tager a, b, c, d plus e, f, g, h så nu det her det er et eksempel for m2x2 så er det simpelthen bare a plus e c plus g b plus f d plus h Og så får jeg igen her noget, som er en 2x2-matrix.

Og hvis man går tilbage til den kursusgang, hvor I så om addition og også senere skalarmultiplikationer, eller sådan set sum nu, kigger vi på, jamen så vil den her sum af matriser opfylde det her. Fordi jeg kan finde en 0-vektor også. Det er bare den matrix, der består af ene nuller. Så vektoredition har vi, og skalarmultiplision, det er også bare igen almindelig skalar gange matrix. Fordi jeg simpelthen siger, at hvis jeg har, igen den er a, b, c, ja, det kan være.

For at det ikke lige er samme størrelse hver gang, så kan jeg gøre sådan her. Hvis nu jeg tager en eller anden skalar S, så det her er et eksempel for 2x3. Jamen hvad gør jeg så normalt? Jamen så vil jeg bare til det der S og gange ind på hver indgang.

Så jeg får SA, SB, SC, SD, SE, SF. Og så får jeg igen en 2 x 3 matrix, og man kan gå tilbage og tjekke, at når nu jeg gør at definere... skalar-multiplikation på den her måde, så opfylder den det, den skal, for at det her kan være et vektorrum.

Så altså det, vi har her, er, at hvis vi fastlægger et m og et n, og så vi kigger på rummet af alle, eller mængden af alle matriser, som har de dimensioner, jamen så er det faktisk et vektorrum. Så det er de to eksempler, jeg typisk vil bruge her, fordi det er noget, hvor vi lidt kender de her vektorer i forvejen, men det er noget, der er abstrakt nok til, at det ikke bare er Rn, ligesom vi plejer at se det. Og ligesom, når vi for tidligere har set, at vi kan snakke om underrum, Så kan vi også snakke om det for nogle generelle vektorrum. Så er det jo så ikke sikkert, at vi har en geometrisk forståelse af det. Fordi normalt, så vil jeg måske sige noget med, at et underrum, det er ligesom at I forestiller jer en plan i R3. Så er planen et underrum. Men hvis jeg snakker om et underrum af sådan et rum, der består af matriser.

Så er det ikke lige klart, hvordan jeg skal forestille mig det geometrisk. Men definitionen på, hvordan et underrum ser ud for et generelt vektor om v, det er, at det her underrum h skal være en delmængde. Så jeg udvælger nogle vektorer i v, sådan at de her tre ting er opfyldt, nemlig at 0-vektoren i mit vektorrum skal være med i mit underrum også.

Hvis u og v er nogle vektorer, der ligger i mit underrum, så skal summen ligge der. Og hvis u er en vektor i mit underrum, og c er en skalar, så skal c gange u også ligge i. Så det der egentlig står, hvis man sådan skal samle lidt op på det, så er det, at et underrum skal...

opfører sig pænt under lineare kombinationer. Det er sådan til det, at hvis jeg laver en lineare kombination af vektorer i u, eller undskyld i h, så skal det stadigvæk ligge i mit underrum. Så jeg kan ikke lave en lineare kombination og så ende uden for den her mængde, jeg har valgt. Så hvis den opfylder de tre ting, så er det et underrum. Så for eksempel så påstår jeg nu, at det her p3, altså polynomier af grad, højst 3, det er et underrum af polynomier af grad højst 5. Hvorfor er det det?

Jo, men hvis nu vi kigger på så en og nu kalder jeg det en vektor for ligesom at slå fast, at vi snakker om et vektorrum. Så en vektor i p3 har formen Så må det blive A0 plus A1x plus A2x i anden plus A3x i tredje. Men det jeg jo kan gøre nu, det er, at hvis nu jeg skriver plus 0 gange x i fjerde plus 0 gange x i femte, så kan jeg jo se, at det jeg har nu, det er jo, at det er også noget, som ligger i P5.

Fordi p5 var mængden af alle på normer af grad højst 5. Så det vil sige, at der kan jeg vælge en koefficient her og en koefficient her også. Nu har jeg bare tilfældigvis valgt den til 0. Så det vil sige, at dette ligger også i p5. Og så skal vi selvfølgelig tjekke det her med, at 0-vektoren ligger der. Og det kommer sådan set bare af, at jeg kan vælge alle de her a'er til 0, så får jeg, at 0-vektoren er der. Men man kan også sige faktisk, at en anden måde at definere et underrum, det er, at det selv er et vektorrum, der ligger inde i et andet vektorrum.

Og det er det, vi har her, at p3 har jeg sagt, at det er et vektorrum, og p5 er også et vektorrum. Og det her viser, at p3 ligger inde i p5, fordi p3 er et vektorrum. P3 selv er et underrum, eller et vektorrum, så er det også et underrum af P5.

Et andet eksempel her, det er, at nu kigger jeg så på de her matriser, mxn-matriser, og så påstår jeg, at den her mængde, der kun består af 0-matrisen, så når jeg skriver den der, så mener jeg 0-matrisen, så påstår jeg, at det er et underrum. Jamen der er de der tre ting, vi skal tjekke. Vi skal tjekke, at 0-vektoren, i mit vektorrum, også ligger i underrummet, og så det her med, at de nære kombinationer ligger der.

Så det første er, hvad er 0-vektoren i det her vektorrum? Jamen det er 0-matrisen, fordi vi husker her, at det vi gjorde, det var, at vi tog bare almindelige matrix-sum. Så hvilken matrix skal jeg lægge til ABCD, for at få ABCD ud? Jamen det er Den, der består af ene nuller. Sådan her nullmatrix, den er altså god nok, at det er nullvektoren, den ligger også i det, jeg påstår i et underrum.

Det med lineare kombinationer, det er, at hvis nu jeg tager to vektorer, der ligger i mit underrum, så skal det stadigvæk ligge der. Den eneste vektor, jeg kan vælge, det er nullmatrisen. Så en nullmatrix plus en nullmatrix, det giver nullmatrisen, og den ligger jo lige præcis her i mængden.

Og det samme, hvis jeg tager en virkelighedsmældskalar og ganger på 0-matrisen, så får jeg 0-matrisen igen, og den ligger lige præcis. Så har vi sådan et modeksempel hernede, eller et ikke-eksempel, hvor jeg nu siger, okay, nu kigger jeg på 2x2-matriser, og så tager jeg dem, hvor diagonalelementerne her, de er, for det første, de er ens, og så har vi, at de ikke er 0. Så er det ikke et underrum. Hvorfor er det ikke det?

Jo, det skal opfylde de her tre ting. Så da vi eksempelvis har et 0-vektoren i det her vektor, som jo altså er en 2x2 0-matrix, den her, den ligger ikke. I den her mængde. Fordi det, der står her, det er, at ja, netop, diagonalelementerne skal være ens, og de må ikke være 0. Jamen, så kan jeg jo aldrig nogensinde få den her 0-matrix. Og den skal ligge der.

Det er det første punkt heroppe. Den skal ligge der, for at der kan være tale om et underrum. Øhm... Lad os tage det her slide også, inden vi holder en pause. Så det, jeg har vist heroppe først, det er, at hvis jeg kigger på de her polynomier, så har jeg at p3 er et underrum af p5.

Hvis nu vi kigger på de her reelle, altså r2 og r3, så er r2 ikke et underrum af r3. Og hvorfor er det ikke det? Jamen, det er det ikke, fordi... Vektorer i R2 har formen A, B, mens vektorer i R3 har formen A, B, C. Så derfor har vi altså aldrig så... Så nu skal jeg skrive det ned.

Vektorer i R2 ligger aldrig i R3. Og dermed kan det altså ikke være et underrum, fordi der stod også her, at vi skal vælge en delmængde af vektorer fra vores V. Og det jeg har valgt her, R2, er de vektorer, jeg har udvalgt. De ligger slet ikke her, så derfor kan det ikke være et underrum. Og hvis man skal sige det lidt mere generelt, så kan vi sige, at Rn er aldrig et underrum af Rm, hvis n er mindre end m.

Og vi kan også, hvis nu vi vil sige noget om de der polynomier, så kan vi sige, at Pn er altid et underrum af Pm, hvis n er mindre end lige m. Så det er altså, man skal lige være opmærksom på det der med, at underrummet, det skal være en del af. det vektorrum, vi kigger på.

Og det er det altså i det her eksempel med polynomierne. Hvis vi tager en mindre grad, så får vi stadigvæk noget, der ligger i det større rum, men det gør vi altså ikke her. Og så nogle af jer vil måske sige, jamen har vi ikke set, at planet, det er et underrum af R3?

Jo, det har vi. Men planet i R3 har ikke vektorer på den der form. Med et fint ord er det isomorphet til noget på den der form, fordi vi har en basis, der består af to vektorer. Men har vi et plan i R3, så har de altså stadigvæk den der form.

Det er bare ikke hele R3, vi har udvalgt, så der er nogle ligninger, de skal opfylde. Og jeg tror, det er et godt sted at tage den første pause. Så, hvis nu jeg lige trykker. Ja, så skulle vi gerne få lidt pausemusik.

Danske tekster af Nic Hvad er det, du gør, når du er i en køkken Danske tekster af Nicolai Winther Danske tekster af Nicolai Winther Danske tekster af Nicolai Winther Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Danske tekster af Nicolai Winther Danske Hvad er det Ja, så der var et spørgsmål omkring det her med hvorfor er R2, hvorfor er det ikke et underrum af R3.

Og for bare at holde det helt simpelt, så hvis nu vi tænker på, her har jeg R3, og så hvis nu jeg kigger på... Xy-planet. Det vil sige, at jeg kigger på planet hernede. Så det er min R3, og så kigger jeg på Xy-planen. Så det her Xy-plan har en basis, som er 1,0.

0, 0, 1, 0 eller med andre ord at alle vektorer i planet har formen x, y, 0 så den her den ligger jo ikke i R2. Så det vi får, hvis nu vi kigger på xy-planet i R3, det er stadigvæk nogle vektorer, som ligger i R3. Så det er rigtigt nok, at fordi de alle sammen har et 0 dernede, så kunne jeg sådan set, hvis jeg udtrykker det i den basis her, så de koordinatvektorer, jeg får, det vil være nogle, der ligger i R2. Så på den måde kan man godt betragte xy-planet her ved hjælp af R2, men mere formelt er det altså det her med, at de er isomorfe, siger man.

Så jeg kan lave en afbildning fra xy-planet her i R3 til R2, som jeg kan bruge. begge veje. Men det er det altså ikke.

Så ja. Hvis vi sådan... Så det var det her med underrum. Noget andet, vi har set med de her reelle vektorrum, det er, at vi kan lave vektorspænd.

Og det kan vi så også gøre generelt, nemlig at nu siger jeg, at nu har jeg nogle vektorer, ikke nødvendigvis i Rn, men i et eller andet generelt vektorrum. Og så kigger jeg på mængden af alle mulige lineare kombinationer, og så kalder vi det spændet af vektorerne, og vi betegner dem ved at skrive spænd af de der vektorer. Så det er fuldstændig det samme, som vi har set tidligere, bortset fra at nu siger vi ikke længere, at vores vektorer skal ligge i Rn. Så når vi har den her matrix A og den her matrix B, Øhm, og Det er jo sådan nogle 2x2 matris Og der har vi set, at det er et vektorrum. Så det vil sige, at det giver mening at gå ind og kigge i den her definition og sige, hvad nu hvis jeg tager spændet af de her to vektorer?

Så altså, hvad er spændet af A og B? Det er alle matriser, hvor vi tager en linær kombination af de her vektorer. Så det vil sige, at det er et eller andet C1 gange A plus C2 gange B.

Altså C1, 0. 0 minus C1 plus 0, 2, C2, 0, C2. Og hvis jeg lægger dem sammen, så får jeg C1, 2, C2, 0, C2 minus C1. Så altså, det her spænd af de her to...

Vektorer, fordi jeg arbejder i vektorrummet, der består af matriser, det er alle vektorer på den her form, hvor jeg må vælge C1 og C2 frit. Så hernede har vi, at C1 og C2 kan vælges frit. Så får jeg alle vektorer i det der spænd. Så det er altså... Sådan set det samme, som vi kender, vi laver lineare kombinationer, men nu, det vi får ud, er jo så ikke en vektor, eller det er en vektor i det her vektorrum, men det er ikke en søjlevektor, som vi er vant til.

Her er det en matrix, fordi vores vektorrum består af matriser. Hvis nu jeg kigger i p4, og så jeg kigger på spændet af 1, x i anden og x i fjerde, jamen hvad er det så? Så skal jeg jo... Altså det er mængden af polynomier på formen et eller andet c1 gange 1 plus et eller andet c2 gange x i anden plus et eller andet c3 gange x i fjerde. Så det vil sige, at det er polynomier af grad.

Højst 4, der ikke indeholder 1. grads led, 1. grads og 3. grads led. Så får vi lige præcis noget på den der. Så igen, når vi snakker om spændet her, så er det at få ud af ikke en vektor i søjleform, som vi normalt vil gøre det, men vi får en vektor i forhold til det vektorrum, vi kigger på. Og her er det netop polynomier, der er vores vektorer, så derfor er det den type vektor, vi får ud af det. Et resultat, som faktisk ofte er nyttigt her, hvis nu man skal tjekke noget af et underrum, det er det her, der siger, at hvis nu jeg har mit vektorrum, og jeg har nogle vektorer i dem, så hvis jeg tager spændet af de her vektorer, så er det altid et underrum af v. Så det vil sige, at i stedet for at jeg er nødt til at gå ind og kigge og se, jamen hvis nu jeg tager en vektor, der ligger der, eller først jeg tjekker, ligger 0-vektoren her, Hvis jeg tager to vektorer på den her form, at de er i linære kombinationer og lægger dem sammen, får jeg så igen noget, der er i en linære kombination. Og hvis jeg tager en skalar og ganger på, får jeg så igen noget, der ligger.

Det behøver jeg slet ikke tjekke, fordi det siger, at det er et resultat, at det gælder altid. Så hvis jeg udvælger nogle vektorer og tager spændet af dem, så får jeg også et underrum. Så det kan være en genvej til at vise, at ting er et underrum. Så nu har vi snakket om spænd af vektorer. Så hvis I husker tilbage på historien om, hvad vi gjorde tidligere, da vi havde snakket om vektorspænd, så begyndte vi at snakke om linære uafhængighed og linære afhængighed.

Og det kan vi sådan set også gøre i det generelle tilfælde. Og går I tilbage og kigger, så er det stort set det samme, der står her nu. Så jeg skriver, at den her mængd af vektorer ved et tvs, som ligger i et eller andet generelt, Vektoren v, dem siger vi, at de er lineært uafhængige, hvis den her lineære kombination af vektorer, eller sådan det er ligningen, at jeg tager en lineære kombination af vektorerne, og det skal give 0, så er mængden lineært uafhængig, hvis den eneste løsning er, at alle koefficienterne c, de skal være 0. Hvis vi kan finde nogle koefficienter, sådan at de ikke alle sammen er lige 0, og 1, den er opfyldt, så siger vi, at den her mængde er nært afhængig.

Og det er fuldstændig det samme, som hvis her havde stået, at de lå i Rn. Så jeg har sådan set bare skiftet det her V, eller her stod Rn før, og det har jeg skiftet ud med et V, og så får jeg den samme definition. Det man så måske skal tænke lidt over, det er, at en måde vi ofte ville løse det der tidligere, det var, at vi stillede det op som sådan en. matrixligning på den her form for at finde ud af det der C skal det være 0-vektoren men det kan vi jo ikke nødvendigvis med de her generelle vektoren, fordi hvordan opstiller jeg lige sådan en matrixligning, hvis nu at mine vektorer er polynomier eller matriser eller et eller andet mere kompliceret så der kan det være, at man skal tænke sig lidt mere om for at vise det men ellers definitionen er den samme, vi kigger på En linær kombination af de her vektorer, hvis den eneste mulighed at få 0-vektoren, det er, at alle koefficienterne er 0, jamen så er de linært uafhængige.

Så jeg spørger nu, her arbejder jeg i p2, så det er polynomier af grad højst 2, og så spørger jeg 1, x og x i anden, er de linært uafhængige? Det vi skal tjekke her, så vi skal tjekke, om, så jeg kigger på den her ligning c1 gange 1 plus c2 gange x plus c3 gange x i anden, det skal være 0-vektoren. Og husk på, at når vi snakker 0-vektoren her for polynomierne, så er det...

0-polynomet, altså det der hedder 0, gange 1 plus 0 gange x plus 0 gange x i anden. Så jeg skal spørge mig selv, har det her andre løsninger end c1 lige c2 lige c3 lige 0? Og her kan vi jo godt se, at hvis jeg sætter... C3 til at være noget forskelligt fra 0, så er der ikke nogen af enten 1 eller x, de kan ikke, fordi der er x i anden fjernet.

Og det samme med de andre. Hvis jeg har et antal x'er, så kan jeg ikke ved at bruge x i anden, eller 1, få det til at gå væk. Så det ser vi, at...

Så vi ser, at... Det netop er den eneste løsning, og derfor har vi så, at den her mængde 1xx i anden, den er linært uafhængig. Et andet eksempel her, hvis vi kigger på vores matriser.

Så nu har jeg tre matriser. I m2 plus 2, og jeg vil gerne vide, om den er linært uafhængig. Jamen så er det igen, at jeg skal kigge på c1 gange, og nu skal jeg lige se. Ja, det er måske lettest at skrive op på den her måde. c2 0111 plus c3 2151. Det skal I give 0-vektoren i forhold til det vektorrum, I kigger på.

Hvad er 0-vektoren for det her vektorrum? Det er 0-matrisen. Så det skal jeg prøve at se. Kan jeg finde C1, C2 og C3, så det her er opfyldt?

En ting, jeg kunne prøve at gøre... Det er, at hvis nu jeg kigger på f.eks. 1x1,1, hvis jeg kigger på den, så står der, at C1...

Øhm, plus 2C3 skal jeg vælge med 0. Så hvis jeg prøver at sætte ind, altså prøver at vælge C1 og C3, sådan at den første indgang er opfyldt, så jeg kan f.eks. vælge C3 til at være 1, fordi så står der 2, og så kan jeg vælge C1 til at være minus 2, så får jeg, at den er opfyldt heroppe i den første indgang. Og så kunne jeg jo prøve at kigge, hvad for en skal vi tage, hvis nu vi tager en gang.

Hvis der er en grøn her, hvis jeg kigger på indgangen hernede, jamen så kan jeg se, at C2 plus C3 skal være lige med 0. Hvad betyder det? Det betyder, at den her C2, den skal være minus 1. Og så kan jeg jo prøve at tjekke. Hvad sker der i alle de andre indgange? Så hvis nu jeg tager minus 2 gange 1, 2, 0, 0, plus, nej, minus 1 gange 0, 1, 1, 1, plus 1 gange 2, 5, 1, 1. Så jeg har tjekket de to første indgange der.

Hvad sker der i den anden søjle? Der har jeg minus 2 gange 2, det er minus 4. Minus 1, det giver minus 5, plus 5, det giver 0. Så har jeg minus 2 gange 0. Minus 1 gange 1, det giver minus 1, plus 1, det giver også 0. Så det vil sige, at det jeg har fundet her, det er, at jeg har fundet nogle koefficienter der, som ikke alle er lige 0. Sådan at den linære kombination af mine matriser giver 0-matrisen. Så det vil sige, at...

at mængden er linært afhængig. Så selvom det altså ikke har noget med at gøre med de her søjleviktorer, som vi er vant til, jamen, så kan jeg godt snakke om, at de her er linært afhængige, fordi på samme måde som med de viktorer, vi kender, så betyder det, at jeg kan finde nogle koefficienter og gange på i den her linære kombination, sådan at jeg får... 0-vektoren, hvor 0-vektoren i det her tilfælde, fordi det er matriser, er en 0-matrix. Og nu hvor vi jo så har defineret, hvad det betyder, at noget er lineært uafhængigt, så kan vi også begynde at snakke om baser. Så fuldstændig ligesom vi kender det, så en basis for et eller andet vektorum, det er en lineært uafhængig delmængde, som udspænder.

rummet. Så altså, ligesom før, basen den skal være noget, der udspænder, så enhver vektor i mit rum kan jeg skrive som en linære kombination af mine basis vektorer, og det skal være linært uafhængigt for at sikre, at de koefficienter, jeg bruger, når jeg udtrykker en vektor, de er entydige. Så eksempelet her er, at den er 1xx i anden, at det er en basis for for p2, og hvis vi skal sige lidt mere om det, så kunne vi skrive p2 som, altså den måde vi har defineret det, det var at det var a0 plus a1x plus a2x i anden, hvor de her er, det er nogle reelle tal, men hvad er det der står her? Jamen der står jo bare at det her er en dinare kombination, hvis nu jeg lige sætter et ettal ind der.

Det, der står der, det er en linære kombination af 1, x og x i anden. Og fordi de der er, dem må jeg vælge frit, som jeg har lyst til, så får jeg jo alle mulige linære kombinationer af 1, x og x i anden. Så det her, det er lige præcis spændet af 1, x og x i anden. Og som vi viste før så er det her også en lineær uafhængig mængde i P2. Så derfor er det altså også en basis.

Og hernede, hvis vi kigger på matriserne, så påstår jeg, at det her er en basis. Hvorfor er det det? Det er, at hvis nu jeg tager...

For det første, at det burde være klart nok, at hvis nu jeg skriver en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, plus en skalar gang i den der, skal være 0-matrisen. Amen Så hvis vi læser op i 1x1, så står der, at den første skalar plus 0, plus 0, plus 0 skal være lige med 0. Altid skal den første skalar være 0. Tilsvarende skal den anden skalar være 0 ved at kigge i 1x1, 2 osv. Så det ligner, at du er afhængig. Og jeg har sådan en matrix A, B, C, D i mit vektor. Så den kan. skrives som A10000 plus B0100 plus C0100 plus D kan jeg lige få plads til den?

Sådan der. Så altså argumentet for før, det siger at De er lige nær uafhængige, og det her siger, at de udspænder mængden også. Fordi ligegyldigt, hvilken vektor jeg vælger i mit vektorrum, så kan jeg udtrykke den ved hjælp af de her fire vektorer i gåsangen.

Fordi de her vektorer er i mit vektorrum, men i det her tilfælde er det matriser, vi snakker om. Så det er altså baserne. Så kunne jeg spørge her, altså for at få nogle eksempler på noget, der ikke er en basis. Den her, hvis nu jeg tager 1, 1 plus x, x plus x i anden og 2x i anden, er det så en basis for, hvad hedder det, p2? Jamen det, så ja, lad os bare tage, hvad hedder det?

Sådan den mindre komplicerede måde først. Så det jeg egentlig gerne vil vise nu, det er, at jeg vil gerne prøve at vise, at de her er linært afhængige. Fordi hvis de er det, så kan de ikke være en basis. Så hvis nu jeg skriver, at den her 2x i anden, det må jeg gøre det samme som 2x i anden plus x. Så det vil sige, at nu har jeg de 2x, men jeg har de 2x i anden, har jeg derfra.

Jeg har så 2x, som jeg skal have fjernet. Så hvis nu jeg tager minus 2, 1 plus x, og ja, måske burde jeg skrive dem i samme række, som jeg gjorde derovre. Det gør ikke nogen forskel, men bare mere for, at der ikke er nogen, der bliver forvirret over, at det er nogle andre ting, jeg skriver. Så altså jeg har de 2x i anden, men jeg har 2x til overs, men hvis jeg så tager og trækker den her 1 plus x fra 2 gange, så får jeg så de der 2x, trykker fra, og så nu har jeg så minus 2 til overs, men hvis jeg tager den der og lægger til, så får jeg lige præcis den der 2x i anden. Så det her, det betyder jo så, at mængden, Årh, det bliver godt nok ikke særlig gønt.

Men den er linært afhængig. Fordi jeg har fundet koefficienter her for de her, hvad hedder det, mektorer. Sådan at hvis jeg laver linære kombination, så får jeg den sidste.

Og jeg kunne så tage den her og flytte over på den anden side. Så har vi det på den almindelige. linære uafhængighedsformer, der står 0 lige med en linær kombination, som ikke har en af nuller af mine elementer.

En anden måde at kigge på det, sådan set, end hvor man skal have lidt mere overskud, og kigge sådan lidt mere teoretisk på det, det er at sige, vi har fundet ud af, at 1x x i anden, at det er en basis for p2. Så det betyder, så hvis nu kan jeg lige lave sådan en her, og så siger jeg alternativt, så siger vi, at dimensionen af p2, den er 3, fordi vi har en basis her med 3 elementer, og den gælder stadigvæk det her med, at ligegyldigt hvilken basis jeg vælger, så har den lige mange elementer. Så den må have dimension 3. Og så har jeg da... Mængden har fire vektorer.

Kan det ikke være en basis? Altså, da den ikke kan være linært uafhængig. Et andet eksempel hernede, hvis nu jeg tager de her to matriser, hvor først har jeg de første to diagonalindgange, og her er den sidste diagonalindgang, hvad er det så en basis for underrummet af 3x3 matriser, hvor det her underrum, det er diagonalmatriserne, så kan jeg sige, at nej, det er det ikke, da eksempelvis 1, 2, 3 ikke ligger i spændet af dem fordi hvis nu jeg tager en eller anden skalar gang i den her plus en eller anden skalar gang i den der så vil jeg altid have at de her første to diagonalengange de vil være ens fordi det er jo den samme skalar jeg ganger på de to diagonalindgange.

Så jeg kan aldrig nogensinde få den matrix, der står der, hvor de to første diagonalindgange er forskellige. Men den her er jo klart noget, som ligger i det her underrum, bestående af diagonalmatriser, fordi det her er en diagonalmatrix. Så det er altså to eksempler på, hvad der kan gå galt.

Enten det her med, at vi er for mange, så vi ikke har lige nær uafhængighed. Det er også det, vi har set tidligere. Eller det her med, at vi ikke har nok, så vi ikke udspænder hele rummet. Og, og, og, ja. Lad os lige se den her med inden pausen.

Så hvis man skal finde en basis, så kan man gøre det på den her måde. Så jeg tager s, det er en mængde i mit vektorum, og så kigger jeg på, at h, det er spændet. af den her mængde. Så det jeg egentlig har gjort nu, det er, at jeg siger, okay, jeg har sådan en kandidat, hvad hedder det, en kandidatbasis.

Så det er noget, der udspænder. Det jeg så siger, det er, at hvis en af vektorerne i vi, eller en af vektorerne vi i min mængde, den kan skrives som en lineær kombination af de andre, så har vi så, at hvis jeg tager samme mængde, Men hvor jeg fjerner den i det, så bemærk her, at vi mangler, så har jeg, at hvis nu jeg tager spændet af resten af vektorerne, hvor jeg fjerner vi i, så er det stadigvæk spændet af hele mængden S. Og så har vi, at hvis det her, den delmængde, eller hvad er det?

Det h, det underrum, jeg kigger på, det er ikke bare i 0-vektoren. Så er der en eller anden delmængde smerke af s, så den er det smerke af en basis for h. Så det, den siger, er egentlig, at hvis vi vil finde en basis for h, så kan vi starte med noget, der udspænder, og så fjerne. Vektorer, eller måske skal jeg med at sige, at vi skal fjerne linært afhængige vektorer, indtil vi ikke kan det mere. Så jeg går simpelthen igennem de her vektorer, jeg har, og så siger jeg, at er der en af dem?

som kan skrives som en linær kombination af de andre, så det vil sige, at den her vægt, så jeg kigger på den her overfløde, så smider jeg den væk. Og så prøver jeg at kigge på en mængde igen, og se, er der en, som jeg kan skrive som en linær kombination af de andre, så smider jeg den væk, osv. Og hvis man gør det, så vil man på et tidspunkt komme til det, det her punkt 2 siger. Men på et tidspunkt, så vil man have smidt så mange væk, at der ikke længere er nogen, der er lige nær afhængig af andre, og så har man en basis tilbage.

Så det er sådan en måde til at finde en basis, også for de her generelle vektoren. Og så inden vi går videre til den sidste del, så tror jeg det passer fint med en pause mere. Så den var der. Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Hvad er det, du gør, når du er i en køkken?

Hvad er det, du gør, når du er i en køkken? Dans Danske Nå, ikke mere musik til jer. Den sidste ting, vi skal snakke om.

nu her i dag, det er at vi skal til at kigge lidt mere på at nu har vi en basis, hvordan så med de her at udtrykke noget i den her basis også i forhold til hvis vi snakker transformationer og basisgifter osv. Så hvis nu, sådan set og det var den her jeg også repeterede der i begyndelsen hvis jeg har et vektorrum her, og jeg har en basis, så kan enhver vektor skrives på den form, at jeg tager et C1, gange min første basisvektor, plus C2, gange min anden basisvektor, og så videre op til CK, gange min k-basisvektor. Og det er fuldstændig det samme, som i repetitionen, hvor jeg nu, i stedet for at der står Rn, så står der nu V. Så jeg har tænkt at skrive den på den her form. Og hvis vi så er enige om, hvilken basis vi bruger, så er det nok bare at kende de der c1, c2 op til ck. Så det vi siger, det er, at koordinatvektoren for v med hensyn til basen b, det er den vektor, der består af de her koefficienter i den linære kombination, der er.

Og så kan I jo tænke lidt over, hvad sker der, hvis nu den her b ikke er en basis, men at den bare... Ja, så man kan sige, at der er to ting, der kan gå galt. Det vi også har set i eksemplerne før, hvor enten så kan det være, at den ikke udspænder, så det vil sige, at V den sådan set ligger uden for spændet af dem her, og så kan vi jo ikke finde sådan en linær kombination.

Eller også, så kunne det være, at benet ikke er linært uafhængigt. Hvis de ikke er det, så betyder det jo så, at de her C'er ikke nødvendigvis, eller så er de ikke. entydig, i hvert fald ikke for alle mulige V'er, så vi kan finde nogle V'er, hvor der er et valg med de her C'er.

Så altså, koronavægter, det er det samme, som i tilfældet er N. Så hvis vi kigger på polynomierne her igen og ser, Nu har vi en basis, som sådan set er det, vi kalder standardbasen for polynomierne. 1, x, x i anden, op til x i endte.

Hvad er koordinatvektoren så? Det, jeg skal sige, det er, at hvis jeg kigger på koordinatvektoren, så er det, hvor meget af b1 skal jeg bruge, hvor meget af b2 skal jeg bruge, hvor meget af bk skal jeg bruge. Så her har jeg, hvis jeg tager et polynomium, så spørger jeg, hvor meget af 1 skal jeg have med, hvor meget af x skal jeg have med, hvor meget af...

x i n, det skal jeg have med, og det er jo lige præcis k-efficienterne i polynomiet. Så det vil sige, at hvis nu jeg tager sådan et eller andet som 4 plus 3x plus 0x i anden plus 5x i tredje, Ja, eller også skal jeg forholde det i pn, så kan det være, at jeg lige skal sige plus prik, prik, prik, minus 3x i andet. Så hvis jeg gerne vil finde koordinatvektoren for den, med hensyn til den basis, jeg har lagt, så er det jo, hvor mange 1'ere skal jeg bruge?

Jamen der har jeg 4 1'ere. Hvor mange 3'ere har jeg? Eller hvor mange x'ere har jeg? Der har jeg 3. Hvor mange x2 har jeg?

Eller x i anden? Der har jeg 0. Hvor mange x' i 3'et har jeg? Der har jeg 5. Og så videre og så videre ned til de minus 3'er der. Så den her koordinatvektor med hensyn til den her standardbasis, det er sådan set bare koefficienterne i den her opskrivning af polynomiet.

Omvendt så, vi kan også gå den anden vej. Så hvis nu jeg har et underrum her p4, og jeg nu har en basis. som er 2 plus x i fjerde og x minus x i tredje, og så får jeg at vide, at der er et eller andet polynomium f, som har koordinatvektor 2 og minus 3. Så kan jeg også gå den anden vej og sige, hvad er mit polynomium f? Der står her, at jeg skal bruge 2 af den første basisvektor, så jeg vil sige 2 gange 2 plus x i fjerde, og så skal jeg bruge minus 3 af den anden. Så det vil sige, at det jeg får her er 4 plus 2x i fjerde minus 3x plus 3x i tredje.

Og så kan man jo så omarrangere det der til at få det, altså hvis man vil sortere de her grader af dem her. Men det er sådan set bare det, vi gør. Vi udtrykker det ved hjælp af de her basisvektorer.

Og vi kan både gå den ene og den anden vej. Og hvis vi så nu kigger på de her lineære transformationer, så har jeg nu t, det er en lineær afbilling mellem to vektorer. Og husk, at det der med, at noget er lineært, det betyder, at hvis jeg har to vektorer og tager billedet af dem, så er det samme som billedet af den ene plus billedet af den anden. Og hvis nu jeg tager...

Billedet er c gange vektor, så er det c gange billedet. Så jeg må trække skalarer ud foran, og jeg må splitte op i summer. Og nu den tegning her jeg laver, kommer igen til at lide noget, som jeg har lavet. Eller som I har set tidligere, hvor vi bare har snakket om, at her havde vi r'n og her havde vi r'n.

Men nu har vi altså de her mere. Hvad hedder det abstrakte vektorum? Så jeg har en eller anden vektor, og nu har jeg tegnet det som en plan, men I kan tænke, at det kunne være polonomer, det kunne være matriser, det kunne være alt muligt mærkeligt.

Og jeg har min vektor v her, så det min t gør, det er, at den tager mit v og sender det over i et eller andet w, men jeg har også nogle baser b og c, som betyder, at jeg kan tage den her v, Og så kan jeg sende den ned i koordinatvektoren for v med indsyn til basen b. Og den der koordinatvektor, det er jo en, der ligger i rn, hvis nu v har dimension n. Og jeg kan også tage den her w.

Ej, måske i stedet for at kalde den w, det er sådan set lidt dumt. Det er mere tydeligt, hvis nu jeg kalder den t af v, må jeg aldrig kalde den. Herovre har jeg også, at jeg kan tage en vektor herovre, og så kan jeg sende den ned i billedet.

af V koordinatvektor med hensyn til C, fordi det er to forskellige baser, jeg har. Og hvor ligger den hen? Det er også noget, der ligger i R et eller andet.

Og de behøver ikke nødvendigvis have samme dimension, de her to, så den her kunne godt være i RM. Og ligesom før, så kan vi spørge os selv, hvad nu, hvis nu jeg godt bare ville arbejde nede i de her koordinatvektorer? Fordi så er jeg jo sådan set nede i Rn og Rm, som er der, hvor vi har arbejdet mange gange før, så det er vi måske mere vant til at arbejde hernede.

Jamen kan jeg så gøre det og også bruge den her t, ved at sige, at jeg kan gå direkte herfra, så jeg kan tage koordinatvektoren for v med hensyn til min ene basis, og gå over i koordinatvektoren for b med hensyn til den anden basis. eller er nødt til først at regne op igennem de her øh generelle vægt til rum, og så over, og så regne tilbage igen. Argumenterne er sådan set det samme, som vi har gjort en gang før. Fordi jeg siger nu, at nu kan jeg så se, at jeg har skrevet x her, så det er den, jeg kaldte v på det sidste slide. Jeg beklager, jeg var ikke lige...

Jeg troede, jeg havde kaldt den v. Men i hvert fald, jeg tager den her x eller v, eller hvad nu jeg vil kalde den, og så skriver jeg den ud i den basis, jeg kommer fra. Så jeg kigger ned i basen her, og så skriver jeg den ud i det. Jamen så fordi t er en linær afbilling, så betyder det, at jeg får r gange t af b1, plus r2 t af b2, plus... og så videre og så videre, R, N, T, A, B, N. Og det her med, at når man tager koordinatvektoren af noget, det kan man så vise, at det også er en linær afbilling.

Så tager jeg linær afbilling på venstre siden op her. Det er jo det, jeg har gjort her. Jeg har bare taget koordinatvektoren med indsyn til C af den her.

Så må jeg splitte det op over på den anden side. Så jeg får, at det er 1. gange t af b1 med indsyn til basen c, plus r2 t af b2 med indsyn til basen c, plus osv. osv. rn t bn med indsyn til basen c. Og så ser jeg jo, at det der står der, det er en eller anden vektor i rm.

Det der er en eller anden vektor i rm. Det der er en eller anden vektor i Rm, og så har jeg de her R1, R2 og Rn. Så hvis jeg tager de der vektorer, så er det nogle søjlevektorer, og samler dem som søjler i en matrix, og jeg kalder dem den der m, så har jeg, at det her billede, det sådan set bare er m, fordi det er de der søjler, og når jeg tager en linær kombination af sådan nogle søjler der, Jamen så kan jeg repræsentere det ved hjælp af sådan et matrixvektorprodukt, hvor de her vægte i lineare kombination er dem, jeg sætter i vektoren. Men hvad er det, den der vektor er?

Den første indgang er, hvor meget jeg skal bruge af B1 for at få mit x. Den anden indgang er, hvor meget jeg skal bruge af B2 for at få mit x, og så videre ned til. Den sidste indgang er, hvor meget jeg skal bruge af Bn for at få mit x.

Så det er jo lige præcis koordinatvektoren for x med hensyn til min basis b. Og det var jo sådan set det, jeg gerne ville. Jeg ville gerne finde en måde at gå fra, nu har jeg kaldt den v herovre, men jeg vil gerne finde en måde at gå herfra og herovre til billedet af den her vektor med hensyn til den basis, jeg gerne vil arbejde i.

Og det viser sig, at det er lige præcis det, der er m. Vi leder efter det emne, der står her. Og ligesom tidligere, så kalder vi det her formatisk representation for t med hensyn til baserne b og c. Hvor nu er det bare i en mere general formulering, vi ser det. Så lad os prøve at se et eksempel, hvor vi ser det også i nogle mere abstrakte vektorer.

Så nu har jeg en afbildning, som går fra... p2 ind i p3, så altså polynomier af grad højst 2 til polynomier af grad højst 3. Og den her afbildning, den er givet ved, at jeg tager mit på nummeret. og så ganger jeg det med x.

Og man kan tjekke, at det her er en linær afbindning. Så hvis jeg vil finde matrixreparationen for t med hensyn til standardbaserne for de her polynomier, jamen hvad er det så, jeg skal? Det, der står, at jeg skal, det er, at jeg skal finde billederne af de basisvektorer, der hvor jeg kommer fra.

Så det vil sige, at jeg skal finde t af 1, t af x, t... Ja, x i anden. Så hvad sker der, hvis jeg tager den her polomiet 1 og sætter ind i f? Så kommer det til at stå x gange 1. Så det er, hvis nu jeg skriver det ud, så får jeg x.

Her får jeg dx gange x, som er x i anden. Her får jeg dx gange x i anden, som er x i tredje. Så nu har jeg det, der står. inderst her, så står der, at jeg skal tage koordinatvektor med hensyn til c.

Så nu spørger jeg så, hvad nu hvis nu jeg tager den her t af 1, og jeg godt vil udtrykke den i den her basis, jamen så er det jo, at jeg skal sige, hvor mange gange skal jeg bruge 1 for at få billedet over, altså x, men der skal jeg bruge 0,1'ere, jeg skal bruge 1x, 0x i anden og 0x i tredje. Hvad så, hvis nu jeg tager og kigger på x, og tager billedet af den, så det er x i anden, jeg kigger på, så skal jeg bruge 0 etter, 0 x'er, 1 x i anden, og 0 x i tredje, og t x i anden med hensyn til basen, så er det x i tredje, jeg nu skal udtrykke, der skal jeg bruge 0 af de 3 først, og så skal jeg have 1 x i tredje. Så Det betyder altså, at hvis nu jeg tager dem og sætter ind som søjler, så får jeg den her matrixreformation for t med hensyn til de baser, jeg arbejder med.

Altså den her m-matrix. Det bliver, at jeg sætter dem her ind som søjler, så jeg får 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1. Så hvis det er jo det her, jeg arbejder med. så kunne jeg sådan set tage mine polynomier og udtrykke dem som koordinatvektorer i den her basis B, og hvis jeg så ville bruge den her afbildning på dem, så kunne jeg tage den koordinatvektor og gange den på her, og så får jeg koordinatvektoren for billedet med hensyn til den her nye basis. Ja, og det sidste eksempel tror jeg nok det er. Ja, øhm...

Det er så for de her matriser, så vi også lige får et eksempel med dem. Så nu, den afbildning jeg kigger på, det er, at jeg kigger på 2x2 matriser, og nu skriver jeg, at det er en afbildning på det her vektorrum. Og det der på, det betyder, at den går fra vektorrummet til sig selv. Så det vil sige, at t går fra m2x2 over i m2x2. Og den afbildning jeg kigger på, det er...

at jeg transponerer den matrix, jeg stopper ind. Og man kan vise også, at det er en linær afbindning. Så vil jeg godt vide, hvad er matrix-reparationen af den her afbindning i mit vektorum, med hensyn til den basis, der er givet her. Så det jeg gør, det er, at jeg starter med først lige, så nu er det den samme basis, jeg bruger både der, hvor jeg kommer fra, og der, hvor jeg går til. Så jeg udtrykker den her koordinatvektor for mine basisvektorer.

Og selvfølgelig, hvis nu jeg skal udtrykke, fordi det er en basis her, så for at få den første basisvektor, så skal jeg selvfølgelig have en af den første basisvektor og 0 af alle de andre. Af den næste her, der skal jeg bruge en af nummer to basisvektor og 0 af alle de andre. Fordi det er jo bare... en gang af den selv plus 0 af de andre.

Her skal jeg bruge 0010 og her 0001. Okay. Det jeg skal, det er igen, jeg skal prøve at kigge på billedet af den her basisvektor. Så hvad sker der, hvis jeg transponerer den her matrix?

Fordi det er det, min afbilling gør. Så får jeg matrisen til. Så det jeg har regnet ud der, det er t af b1.

Der får jeg b1 selv. Så skal jeg udtrykke det i den basis, jeg gerne vil over i, som igen er b her. Så jeg skal tage den matrix, jeg får her, og udtrykke den i b, så det giver den vektor. Så det vil sige, at den første søjle her bliver altså 1, 0, 0, 0, fordi transponerer jeg den første basisvektor, får jeg den her matrix igen, og udtrykkes den som koordinatvektor, giver det det her.

Så kigger jeg på den næste. For at få den næste søjle hernede, kigger jeg på den næste basisvektor. Så transponerer jeg her, så ryger det der et tal derned.

Så det vil sige, at det er den der basisvektor. Så skal jeg udtrykke den, eller hvad er koordinatvektoren for den? Det var den, der stod der. Så derfor er 0, 0, 1, 0. For at finde tredje søjle, så kigger jeg på tredje basisvektor.

Når jeg transponerer... så rykker jeg 1-tallet deroppe så det vil sige, at det er den der vektor jeg får ud, og nu igen jeg siger vektor fordi jeg tænker på det som et vektorrum selvom det egentlig er en matrice jeg snakker om men jeg får den der ud koordinatvektoren, det var den der stod dernede så den så gør vi 0, 1, 0, 0 og den sidste her transponerer jeg den, så får jeg igen bare den samme matrix ud og den har den der koordinatvektor 0, 0, 0, 1. Så det her er altså også et eksempel på, hvordan man kan tage en lineær afbildning på de her mere generelle vektorum, og så opskrive en matrixrepræsentation af den her afbildning med hensyn til en angiven basis. Så det, der man måske lige skal tænke lidt over, Det var sådan noget, det... Det var...

Ja, for at forstå, hvad er det egentlig, der foregår, fordi det er sådan lidt, det er nogle matriser, vi arbejder på, og vores afbildning tager matriser som input, men det vi har fundet ud af, det er, at nu kan vi repræsentere den her afbildning ved hjælp af en matrix selv, som så tager de her koordinatvektorer som input. Ja, så det var sådan set det. vi skulle nå. Som altid får I lige et par minutter, så I kan nå at stille spørgsmål, hvis der skulle være nogen af dem.

Så jeg sætter lige en timer på to minutter i gang. Så skulle I gerne kunne nå at stille spørgsmål. Danske tek Hvad er det, du gør, når du er i en køkken?

Øhm... Det var da jeg skulle over. Over at jeg fik lyden til noget til. Øhm...

Så der bliver spurgt om, hvordan jeg gik fra sådan en 2x2 matrix og så til den her koordinatvektor. Så det jeg skal gøre, det er... For at få koordinatvektoren, så det der skal stå i første indgang er, også fordi jeg har fastlagt min basis, at det er de der fire vektorer, og jeg har også en rækkefølge på dem.

Så det der skal stå i den første indgang er, hvor mange gange, altså så den måde den her koordinatvektors kan læses på, det er at den repræsenterer den 2x2-matrix, som er 1x den der matrix, plus 0x den der, plus 0x den der. Plus 0 gange den der. Og tilsvarende, den her koordinatvektor er 0 gange den, plus 0 gange den, plus 1 gange den, plus 0 gange den.

Og så var der noget, jeg glemte. Sådan der. Nu skulle vi gerne være med igen. Ja, så den her koordinatvektor, 1, 0, 0, 0, det er den... viser, eller det den repræsenterer, det er, at den repræsenterer den 2x2-matrix, hvor jeg tager 1x den der, plus 0x den, plus 0x den, plus 0x den.

Og koordinatvektoren her, 0, 0, 1, 0, den repræsenterer den matrix, jeg får, hvis jeg siger 0x den, plus 0x den, plus 1x den, plus 0x den. Så generelt, hvis jeg skal finde koordinatvektoren for sådan en matrix, Så spørger jeg, hvor meget skal jeg bruge af hver af de her basisvektorer, for at få lige præcis den matrix, jeg er interesseret i. Og fordi jeg nu kigger på den første matrix her, så siger jeg, hvordan bygger jeg den her matrix ved hjælp af de her fire basisvektorer.

Jamen så er det selvfølgelig, at jeg skal bruge en af den der, og 0 af alle de andre, fordi det er den eneste måde, jeg kan få den der matrix. Så derfor får jeg 1 gange den første, plus 0 gange alle de andre. Og tilsvarende med de andre her, at skal jeg bygge den der, så er det 1 gange den, 0 gange den, 0 gange den, 0 gange den.

Aflæser man så, jeg har ikke fundet den, så får man 0, 1, 0, 0. Så det er en anden måde at repræsentere det på. Og lige i det her tilfælde, fordi jeg har ordnet det på den her måde, så svarer det sådan, at man bare kan aflæse. Hvad er det? Rækkevis så får man de der koordinatvektorer.

Og det vi så gjorde hernede, det var at, for eksempel i søjlen der, så tager vi og transponerer den her anden basisvektor, som er en matrix. Den transponerer vi. Og så ser vi, hvad får vi ud af det. Hvis vi transponerer den der, så får vi den her matrix ud.

Og så skal jeg udtrykke det i den basis, jeg har valgt. Men det er jo lige præcis... 1 gange den der basisvektor og 0 gange alle de andre så det er den der koordinatvektor og derfor sætter jeg den ind der det håber jeg at det klarede det lidt op men altså det er sådan man skal lige finde ud af hvad er hovedet at have i det her fordi man skal tænke på de her matriser på lidt en anden måde end vi er vant til Også det her med, at der er en vektor, der repræsenterer en matrix, kan måske godt være lidt udfordrende, når man ser det de første gange. Men hvis det var de spørgsmål, der var, så er det bare opgaveregning.

Jeg lægger slides ud, og der skulle gerne komme hjælp rundt til jer i Esbjerg, og selvfølgelig også i Aalborg. Og jeg kommer også ind til jer, der sidder i Aalborg, når jeg lige får lagt kapitler. på den her stream.

Og så ses vi igen torsdag, hvor vi så afrunder den her blog, og dermed også den sidste kursgang i den sidste forelæsning i kurset.

Transcript for:11. Lektion Abstrakte Vektorrum

Transcript for:
11. Lektion Abstrakte Vektorrum