Exponentialfunktion und e

Overview

Die Vorlesung behandelt die Exponentialfunktion, insbesondere mit der Basis e (Euler-Zahl), ihre mathematischen Eigenschaften, Umkehrfunktionen und das Konzept des exponentiellen Wachstums anhand eines anschaulichen Beispiels.

Allgemeines zu Exponentialfunktionen

• Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = a^x mit a > 0 und a ≠ 1.
• Die wichtigste Basis ist die Euler-Zahl e, etwa 2,71828.
• Die Euler-Zahl entsteht aus der unendlichen Reihe: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
• e ist auch der Grenzwert der Folge (1 + 1/n)^n für n → ∞.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

• Die Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = e^x.
• Schreibweisen: e^x oder exp(x), vor allem in der Programmierung gebräuchlich.
• Die Funktion ist von R nach R, d.h. definiert für alle reellen Zahlen x.
• Der Graph von e^x geht durch den Punkt (0,1) und wächst für große x sehr schnell.

Beziehung zum Logarithmus

• Die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ln(x).
• Es gilt: ln(e^x) = x und e^{ln(x)} = x.
• Umkehrfunktion bedeutet, dass sich beide Funktionen gegenseitig „aufheben“.

Exponentielles Wachstum

• Exponentielles Wachstum beschreibt Prozesse, bei denen Werte sich immer wieder vervielfachen.
• Beispiele: Verdopplung der Dicke eines gefalteten Blattes, bekannte Reiskorn-Schachbrettgeschichte.
• Schon nach wenigen Verdopplungen werden riesige Werte erreicht.

Beispiel: Papierfaltung und Distanz Erde-Mond

• Ein DIN-A4-Blatt ist etwa 0,1 mm dick (entspricht 1×10^{-7} km).
• Die Entfernung Erde-Mond beträgt ca. 380.000 km.
• n-maliges Falten entspricht einer Dicke von 0,1 mm * 2^n.
• Um den Mond zu erreichen, müsste man ein Blatt etwa 42 Mal falten.
• Zum Mars wären etwa 51 Faltungen nötig, zum Rand des Universums ca. 93 Mal.
• In der Realität sind mehr als 7 Faltungen physikalisch nicht möglich.

Key Terms & Definitions

• Exponentialfunktion — Funktion der Form f(x) = a^x mit a > 0, a ≠ 1.
• Euler-Zahl (e) — Mathematische Konstante, ca. 2,71828, Basis des natürlichen Logarithmus.
• Natürlicher Logarithmus (ln) — Logarithmus zur Basis e.
• Exponentielles Wachstum — Prozess, bei dem eine Größe sich in gleichen Schritten vervielfacht.
• Umkehrfunktion — Zwei Funktionen, die sich gegenseitig aufheben (z.B. ln und e^x).

Action Items / Next Steps

• Beispiel mit Papierfaltung und exponentiellem Wachstum selbst berechnen.
• Funktionsweise und Bedeutung der Euler-Zahl nachlesen.